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8/16/2019 mn_cap1.pptx

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Métodos Numéricos Juan Manuel Rodríguez

PrietoI.M., M.Sc., Ph.D.


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Integración numérica


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Integración numérica

• Objetivo: aproximar el valor de laintegral

• Limitaciones de la integración

analítica• Las expresiones analíticas de son

desconocidas

•

tiene una integral analíticacom licada o desconocida

I = f ( x )dx a

b

∫ f ( x )

f ( x )


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Integración numéricade Newton!otes

• Métodos que remplazan una funcióncomplicada o datos tabulados por unpolinomio de aproximación que esfácil de integral

• onde es un polinomio de laforma

I = f ( x )dx a

b

∫ ≅ f n( x )dx a

b

∫

f n( x )


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Integración numéricade Newton!otes

!proximación de una integralmediante el área ba"o una parabola#


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"a reg#a de# tra$ecio

.eométricamente/ la regla del trapecio equivale a

aproximar el área ba"o la curva f(x)/ como el área deltrapecio que se forma al unir los puntos

I = f ( x )dx a

b

∫ ≅ (b− a) f (a) + f (b)2

(a, f (a)) (b, f (b))


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%rror de #a reg#a de# tra$ecio

'uando usamos la integral ba"o un segmento de línearecta para aproximar la integral ba"o una curva/ setiene un error que puede ser importante# 0naestimación al error de truncamiento para una solaaplicación de la regla del trapecio es

onde esta en alg1n lugar del intervalo de a a b

Et = − 112 f ''(ξ )(b− a)3

ξ


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%jem$#o de #a reg#a de# tra$ecio

!proxime la integral de la curva

,ntre a23 * b23#4 usando la regla del trapeciof ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5

f (a= 0) = 0.2

f (b= 0.8) = 0.232

b− a= 0.8

I ≅ (b− a) f

(a

)+ f

(b

)2 =

0.8 0.2+

0.2322 =

0.1728


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f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5


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,l área ba"o la curva es muc5o ma*or que el áreadeba"o de la aproximación lineal/ de acuerdo a lagrá6ca mostrada en la diapositiva anterior#

7'uanto es el error debido al aproximar la integraldel polinomio de grado usando la regla del

trapecio8

f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5

I = f ( x )dx 0

0.8

∫ = (0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5 )dx0

0.8

∫

= 1.640533


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,l error porcentual es de

7'ómo se puede disminuir el error8

9e puede dividir el intervalo deinterés/ en más intervalos# ,n otras

palabras aplicar varias veces la regladel trapecio en el intervalo deinteres

E(%) = 1.640533 − 0.1728

1.640533*100 = 89.5%


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"a reg#a de# tra$ecio dea$#icación mti$#e

0na forma de me"orar laprecisión de la regla deltrapecio consiste endividir el intervalo deintegración de a a b en varios segmentos/ *

aplicar el método a cadauno de ellos# La áreaasociada a cada uno de losintervalos se sumandespués para obtener laintegral en todo elintervalo# Las ecuacionesresultantes se llamanfórmulas de integración/de aplicación m1ltiple ocompuesta#

:amos a dividir elintervalo de interés en n


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!plicando la regla del trapecio a cada una de lasintegrales


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9impli6cando/ se

obtiene

I = f ( x )dx a

b

∫ ≅ h

2f (a) + 2 f ( x

i)

i=1

n−1

∑ + f (b)

I = f ( x )dx a

b

∫ ≅ (b− a)f (a) + 2 f ( x

i)

i=1

n−1

∑ + f (b)

2n


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,ntre a23 * b23#4 usando la regla del trapecio deaplicación m1ltiple0saremos inicialmente n2=/ lo cual da un 523#<

f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5

f (a= 0) = 0.2

f ( x 1 = 0.4) = 2.456

f (b= 0.8) = 0.232b− a

n = 0.4

I = f ( x )dx a

b

∫ ≅ h

2 f (a) + 2 f ( x 1) + f (b)[ ]

= 0.4

20.2 + 2*2.456 + 0.232[ ]

= 1.0688


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f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5


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0tilizando dos divisiones del intervalo el error 5adisminuido de un 4>#?@ a un A@

f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5

E(%) = 1.640533 −1.06881.640533

*100 = 34.9%


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,ntre a23 * b23#4 usando la regla del trapecio deaplicación m1ltiple0saremos n2A/ lo cual da un 523#=BBC

f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5

f (a= 0) = 0.2

f ( x 1 = 0.2667) = 1.4327

f ( x 2 = 0.5333) = 3.4872

f (b= 0.8) = 0.232

b− a

n = 0.2667

I = f ( x )dx a

b

∫ ≅ h

2f (a) + 2 f ( x 1) + 2 f ( x 2 ) + f (b)[ ]

= 0.4

20.2 + 2*1.4327 + 2*3.4872 + 0.232[ ]

= 1.3695


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,ntre a23 * b23#4 usando la regla del trapecio deaplicación m1ltiple0saremos inicialmente n2A/ lo cual da un 523#=BBC

f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5


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,ntre a23 * b23#4 usando la regla del trapecio deaplicación m1ltiple0saremos inicialmente n2A/ lo cual da un 523#=BBC

0tilizando dos divisiones del intervalo el error 5adisminuido de un 4>#?@ a un A@

f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5

E(%) = 1.640533 −1.36951.640533*100 = 16.5%


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%jem$#o de #a reg#a de# tra$eciomti$#e en Mat#ab

n ' ne!"al

2 0,4000 1,0688

3 0,2667 1,3696

4 0,2000 1,4848

5 0,1600 1,53996 0,1333 1,5703

7 0,1143 1,5887

8 0,1000 1,6008

9 0,0889 1,6091

10 0,0800 1,6150

11 0,0727 1,6195

12 0,0667 1,6228

13 0,0615 1,625414 0,0571 1,6275

15 0,0533 1,6292

Resultados obtenidos paradiferentes valores de n

! medida que n incrementa/ el valor de la integral que seobtiene usando la regla del

trapecio m1ltiple se aproxima

#$" n= 2%15a = 0;b = 0.8;x = linspace(a,b,n+1);x2 = x.*x;x3 = x2.*x;

x4 = x3.*x;x5 = x4.*x;y = 0.2+25*x-200*x2+675*x3-900*x4+400*x5; ine!"al = y(1);

#$" i = 2%n ine!"al = ine!"al + 2*y(i);en&ine!"al = ine!"al + y(n+1);' = (b-a)n;ine!"al = ine!"al*'2;

"esla&$(n-1,%)= n,', ine!"al;


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'eg#a de Sim$son ()*

!demás de aplicar la regla deltrapecio con una segmentación 6na/otra forma de obtener unaestimación más exacta de unaintegral consiste en usar polinomiosde grados superior para unir los

puntos#Por e"emplo/ otro punto entre lamitad entre f(a) * f(b)/ los tres puntosse pueden unir con una parábola# 9i5a* dos puntos igualmenteespaciados entre f(a) * f(b)/ los

cuatro puntos se pueden unir conmediante un polinomio de tercergrado#Las formulas que resultan de tomarlas integrales ba"o esos polinomios seconocen como reglas de 9impson

f ( x 0 ) = a0 + a1 x 0 + a2 x 02

f ( x 1) = a0 + a1 x 1 + a2 x 12

f ( x 2 ) = a0 + a1 x 2 + a2 x 22

1 x 0

x 0

2

1 x 1 x 12

1 x 2 x 22

a0

a1

a2

=

f ( x 0)

f ( x 1)

f ( x 2 )

a0

a1

a2

=

−( x 1 x 2 ) / ( x 0 x 1 + x 0 x 2 − x 1 x 2 − x 02 ) −( x 0 x 2 ) / ( x 0 x 1 − x 0 x 2 + x 1 x 2 − x 1

2 ) ( x 0 x 1) / ( x 0 x 1 − x 0 x 2 − x 1 x 2 + x 22 )

( x 1 + x 2 ) / ( x 0 x 1 + x 0 x 2 − x 1 x 2 − x 02 ) ( x 0 + x 2 ) / ( x 0 x 1 − x 0 x 2 + x 1 x 2 − x 1

2 ) −( x 0 + x 1) / ( x 0 x 1 − x 0 x 2 − x 1 x 2 + x 22 )

−1/ ( x 0 x 1 + x 0 x 2 − x 1 x 2 − x 02 ) −1/ ( x 0 x 1 − x 0 x 2 + x 1 x 2 − x 1

2 ) 1 / ( x 0 x 1 − x 0 x 2 − x 1 x 2 + x 22 )

f ( x 0 )

f ( x 1)

f ( x 2 )


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'eg#a de Sim$son ()*

I = f ( x )dx

a

b

∫ ≅ f 2( x )dx a

b

∫ = h

3

f ( x 0 ) + 4 f ( x 1) + f ( x 2 )[ ]

I ≅ (b− a) f ( x 0 ) + 4 f ( x 1) + f ( x 2 )

6

I ≅ Ancho por altura prom!"o


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'eg#a de Sim$son ()*%rror

!sí/ la regla de 9impson -DA es más exacta que la regla deltrapecio# !demás/ es más exacta de lo esperado/ porque enlugar de ser el error proporcional a la tercera derivada/ el

error es proporcional a la cuarta derivada# ,n otraspalabras/ da resultados exactos para polinomios c1bicosaun cuando se obtenga un parábola#

Et = −

1

90h

5f

4 (ξ )

Et = −

(b− a)5

2880

f 4 (ξ )


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+$#icación de #a reg#a deSim$son ()*

!proxime el valor de la integral de la siguiente función

0sando la regla de 9impson -DA

f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5

f (a= 0) = 0.2f ( x 1 = 0.4) = 2.456

f (b= 0.8) = 0.232

I ≅ 0.8 0.2+

4 *2.456 +

0.2326 =

1.367467


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+$#icación de #a reg#a de Sim$son ()*%rror


,s aproximadamente ? veces más precisa que una solaaplicación de la regla del trapecio

f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5

Et =

1.640533−1.367467( )

1.640533100 =16.6%


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'eg#a de Sim$son ()* dea$#icación mti$#e

La regla de 9impson se me"ora al dividir el intervalo deintegración en varios segmentos de un mismo tamaEo#9e debe utilizar un n1mero par de segmentos paraimplementar el método !proxime el valor de la integral de la siguiente función

0sando la regla de 9impson -DA de aplicación m1ltiple

f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5

f (a= 0) = 0.2f ( x 1 = 0.2) =1.288

f ( x 2 = 0.4) = 2.456

f ( x 3 = 0.6) = 3.464

f (b= 0.8) = 0.232

I ≅ 0.8 0.2 + 4(1.288 + 3.464) + 2(2.456) + 0,232

12

= 1.623467


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'eg#a de Sim$son*)

e manera similar a la obtención de la regla deltrapecio * 9impson -DA/ es posible a"ustar un polinomiode Lagrange de tercer grado a cuatro puntos eintegrarlo

La regla AD4 es más exacta que la regla de -DA#Por lo general/ se pre6ere la regla de 9impson -DA/ *aque alcanza una exactitud de tercer orden con trespuntos en lugar de los cuatro puntos requeridos en la versión AD4# $o obstante/ la regla de AD4 es 1til cuando

el n1mero de segmentos es impar#

I ≅ 3h8

f ( x 0 ) + 3f ( x 1) + 3f ( x 2 ) + f ( x 3)( )

Et = −

(b− a)5

6480f

4 (ξ )


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'eg#a de Sim$son*)


0sando la regla de 9impson AD4

f ( x ) = 0.2 + 25 x − 200 x 2 + 675 x 3 − 900 x 4 + 400 x 5

f (a= 0) = 0.2

f ( x 1 = 0.2667) = 1.432724

f ( x

2 = 0.5333) = 3.487177

f (b= 0.8) = 0.232

I ≅ 0.8 0.2 + 3(1.432774 + 3.487177) + 0.232

8

= 1.519170

Et =

1.640533 −1.519170

1.640533100 = 7.4%


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-area

,valué la integral siguiente+

(a)e forma analítica

(b)'on una aplicación de la regla de trapecio(c)'on aplicación m1ltiple de la regla de trapecio n2A(d)'on una aplicación de la regla de 9impson -DA(e)'on una aplicación de la regla de 9impson AD4

8 + 4co#( x )dx 0

π /2

∫

Et =

1.640533 −1.519170

1 640533100 = 7.4%

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