MM442 - Introdução aos SistemasDinâmicos

Segundo semestre de 2020

Ricardo M. Martins

rmiranda@unicamp.br

http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda

Aula 9: Formas normais

http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda

Formas normais

A ideia principal da teoria de formas normais é “simplificar” a

expressão do campo vetorial (ou do difeomorfismo) na vizinhança

de um ponto de equiĺıbrio.

Ela permite estudar o campo vetorial sobre a variedade central.

A grande vantagem da teoria de formas normais é o uso de

mudanças de coordenadas polinomiais.

Formas normais

Dado um campo vetorial

ẋ = X (x)

de classe C∞ e um ponto de equiĺıbrio x0 (junto com algumas

hipóteses de não-degenericidade), efetuando sucessivas mudanças

de coordenadas polinomiais, eliminaremos todos os termos

“desnecessários” da série de Taylor de X ao redor de x0.

Exemplo

Exemplo: ẋ = εx + f (x), com f : R → R de classe C∞ comf (0) = f ′(0) = 0 e ε ∈ R.

Considere que numa vizinhança de origem temos

f (x) = ax2 + o(|x |3). Assim, a equação terá a forma

ẋ = εx + ax2 + . . . , (1)

onde . . . contém somente termos de ordem superior.

Exemplo

ẋ = εx + ax2 + . . .

Mudança de coordenadas: x = y + αy2

ε(y + αy2) + a(y + αy2)2 = ẋ = ẏ + 2αy ẏ ,

ou seja,

ẏ =εy + εαy2 + ay2 + . . .

1 + 2αy

= εy + (a− αε)y2 + . . . ,(2)

onde em (2) usamos a expansão em séries de Taylor

∞∑k=0

(−r)k = 11 + r

, |r | < 1.

Exemplo

ẏ = εy + (a− αε)y2 + . . .

Se ε 6= 0 podemos escolher α = a/ε, obtendo

ẏ = εy + o(y3),

ou seja, eliminamos os termos quadráticos da equação original.

Veremos agora como construir estas mudanças de coordenadas no

caso geral.

Equação homológica

Seja A ∈ Rn×n uma matriz quadrada, f : U ⊂ Rn → Rn de classeC∞ com f (0) = 0 e Df (0) = 0 e considere a equação diferencial

ẋ = Ax + f (x). (3)

Introduzindo a mudança de variáveis

x = y + h(y),

com h : V ⊂ Rn → Rn diferenciávei, com h(0) = 0 e Dh(0) = 0,ficamos com

ẋ = ẏ + Dh(y)ẏ = (Id + Dh(y))ẏ .

Equação homológica

Usando a expansão

∞∑k=0

(−B)k = (Id + B)−1,

que vale para matrizes quadradas com ||B|| < 1, obtemos

ẏ = (Id + Dh(y))−1ẋ

= (Id + Dh(y))−1(A(y + h(y)) + f (y + h(y)))

= (Id − Dh(y))(Ay + Ah(y) + f (y + h(y)))

(4)

Equação homológica

Vamos considerar f , h escritas em termo de suas séries de Taylor,

f (x) = f2(x) + f3(x) + . . . ,

h(x) = h2(x) + h3(x) + . . . ,(5)

onde fr , rk ∈ Hnr , o conjunto das funções Rn → Rn em que cadacomponente é um polinômio homogêneo de grau r .

Um elemento de Hnr é uma combinação linear de monômios

vetoriais

xmej = xm11 x

m22 . . . x

mnn ej ,

com m1 + . . .+ mn = r e mj ≥ 0. Note ainda que Hnr é um espaçovetorial de dimensão

dimHnr = n

(n + r − 1

r

).

Equação homológica

Bbtemos então

ẏ = Ay + [Ah2(y) + f2(y)− Dh2(y)Ay ]

+∞∑k=3

[Ahk(y) + gk(y)− Dhk(y)Ay ],(6)

onde gk depende somente de h2, . . . , hk−1 e f2, . . . , fk−1.

Para eliminarmos os termos quadráticos em (6) basta escolher

h2 ∈ Hn2 tal que

f2(y) = Dh2(y)− Ah2(y). (7)

Equação homológica

Se mostrarmos que é posśıvel resolver todas as equações

gk(y) = Dhk(y)Ay − Ahk(y), (8)

para k ≥ 3, então será posśıvel linearizar o sistema (6) utilizandomudanças de coordenadas polinomiais (e, portanto, o sistema (3)).

As equações (7) e (8) são chamadas de equações homológicas.

Operador homológico

Para cada m ≥ 2 e r ∈ N, defina Lr ,nA : Hnr → Hnr como

Lr ,nA (h)(y) = Dh(y)Ay − Ah(y).

O operador Lr ,nA é uma transformação linear. As equações

homológicas podem ser escritas como

L2,nA (h2) = f2, Lk,nA (hk) = gk .

Um monômio w de grau r será eliminado de uma expansão como

(4) se, e só se, estiver na imagem de Lr ,nA .

Operador homológico

Lema

Se Lr ,nA : Hnr → Hnr for invert́ıvel então a equação diferencial

ẋ = Ax + Xr (x) + o(|x |r+1),

com Xr ∈ Hnr pode ser transformada na equação

ẏ = Ay + o(|y |r+1)

usando uma mudança de coordenadas polinomial da forma

x = y + hr (y)

onde hr (y) = (Lr ,nA )−1(Xr (y)).

Operador homológico

No caso geral, precisamos estudar condições para a invertibilidade

de Lr ,nA , ou pelo menos entender bem qual é sua imagem, já que os

monômios que não estiverem na imagem não aparecerão na

expressão após a mudança de coordenadas.

Assim, uma boa estratégia seria obter um complemento ortogonal

para a imagem de Lr ,nA em Hnr .

Produto interno usual em Hnr :

〈xmei , x sej〉 = δi ,jδm,sα!.

Operador homológico

Corolário

Com respeito ao produto interno usual em Hnr temos que (Lr ,nA )∗ =

Lr ,nA∗ . Logo,

Hnr = Lr ,nA (H

nr )⊕ Ker(L

r ,nA∗ ).

Operador homológico

Teorema (Poincaré-Dulac)

Considere a equação diferencial

ẋ = Ax + f2(x) + . . .+ fm(x) + o(|x |m+1), (9)

com fk ∈ Hnk . Então existe uma mudança de coordenadas polino-mial, da forma x = y + h(y), que transforma o sistema (12) num

sistema da forma

ẏ = Ay + w2(y) + . . .+ wm(y) + o(|y |m+1)

com wk ∈ Ker(Lk,nA∗ ).

Forma normal de Poincaré-Dulac

A equação diferencial

ẋ = Ax +m∑j=1

Xj(x) + o(|x |m+1)

é dita estar na forma normal de Poincaré-Dulac até ordem m se

Lk,nA∗ (fk) = 0,

para todo k entre 2 e m.

Observação: A escolha de Ker(Lk,nA∗ ) como complemento ortogonal

de Lk,nA (Hnk ) é, de certa forma, particular.

É posśıvel provar versões diferentes do Teorema 1 considerando

outras opções de complementos ortogonais e isto dá origem a

outras formas normais.

Exemplo

Exemplo: Considere um sistema de equações diferenciais da forma{ẋ = y + F (x , y),

ẏ = G (x , y),(10)

com F ,G de classe C∞, F (0, 0) = G (0, 0) = 0 e

∇F (0, 0) = ∇G (0, 0) = (0, 0).

Vamos construir uma forma normal até ordem 2. Uma base para

H2k é dada por

{xke2, xk−1ye2, . . . , xyk−1e2, yke2, xke1, xk−1ye1, . . . , xyk−1e1, yke1}.

Exemplo

Seja (p(x , y), q(x , y)) ∈ H2k . Então

Lk,2A∗

(p(x , y)

q(x , y)

)=

(px(x , y) py (x , y)

qx(x , y) qy (x , y)

)(0 0

1 0

)(x

y

)

−

(0 0

1 0

)(p(x , y)

q(x , y)

)

=

(ypy (x , y)

xqy (x , y)− p(x , y)

)

Exemplo

Em H22 temos a base

{(0, x2), (0, xy), (0, y2), (x2, 0), (xy , 0), (y2, 0)}.

Portanto:

L2,2A∗ (0, x2) = (0, 0)

L2,2A∗ (0, xy) = (0, x2)

L2,2A∗ (0, y2) = (0, 2xy)

L2,2A∗ (x2, 0) = (0,−x2)

L2,2A∗ (xy , 0) = (x2,−xy)

L2,2A∗ (y2, 0) = (2xy ,−y2)

Exemplo

Portanto, a matriz de L2,2A∗ é dada por

L2,2A∗ =

0 1 0 −1 0 0

0 0 2 0 −1 0

0 0 0 0 0 −1

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 2

0 0 0 0 0 0

e seu núcleo é gerado por

{(0, 1, 0, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0, 0)},

ou seja, pelos monômios (x2, xy) e (0, x2).

Exemplo

Desta forma, (10) é C 2-conjugado ao sistema{ẋ = y + αx2 + . . . ,

ẏ = αxy + βx2 + . . . ,

com α, β ∈ R dependendo do campo original.

É posśıvel provar ainda que a forma normal de (10) até ordem r é

da forma {ẋ = y + x2φ(x),

ẏ = x2ψ(x) + xyφ(x),(11)

com φ, ψ funções C r . Foi demonstrado em 2002 por Zoladek que a

mudança de coordenadas que transforma (10) em (11), no caso de

F ,G anaĺıticas, pode ser tomada anaĺıtica.

Monômios ressonantes

Um caso em que o cálculo de Ker(Lk,nA∗ ) se torna bem simples é

quando a matriz A é diagonal (neste caso A∗ = A).

Lema

Seja A ∈ Rn×n uma matriz diagonal, com λ = (λ1, . . . , λn) seusautovalores. Então Lr ,nA é invert́ıvel se, e só se,

〈m, λ〉 − λi 6= 0

para todo m = (m1, . . . ,mn) ∈ Nn com m1 + . . .+ mn ≥ 2.

Prova: Vamos calcular a imagem por Lr ,nA de um monômio da base

de Hnr .

Monômios ressonantes

Lr,nA (xmei ) = D(x

mei )Ax − A(xmei )

= D(0, . . . , 0, xm11 xm22 · · · x

mnn , 0, . . . , 0)(λ1x1, . . . , λnxn)

t

− (0, . . . , 0, λixm11 xm22 · · · x

mnn , 0, . . . , 0)

=

0 0 · · · 0 0...

m1x1

xmm2x2

xm · · · mn−1xn−1

xmmnxn

xm

...

0 0 · · · 0 0

λ1x1...

λixi...

λnxn

− (0, . . . , 0, λixm11 x

m22 · · · x

mnn , 0, . . . , 0)

=

{∑nj=1 λjxj

mjxj

xmei

}− λixmei

=

(〈m, λ〉 − λi

)xmei

Monômios ressonantes

Assim, os números 〈m, λ〉 − λi são os autovalores de Lr ,nA e dáı Lr ,nA

é invert́ıvel se, e só se, todos eles são diferentes de zero. c.q.d.

Os autovalores de A, λ1, . . . , λn são ditos ressonantes de ordem r

se

λi =n∑

j=1

mjλj

para certos mj ∈ N com∑n

j=1mj = r e algum i ∈ {1, . . . , n}.

A cada relação do tipo λi =∑n

j=1mjλj associamos o monômio

xmei , chamado de monômio ressonante.

Monômios ressonantes

Com isto, podemos re-enunciar o Teorema 1 da seguinte forma:

Teorema (Poincaré-Dulac)

Uma equação diferencial da forma

ẋ = Ax + f2(x) + . . .+ fm(x) + o(|x |m+1), (12)

com fk ∈ Hnk é Cm-conjugada a uma equação da forma

ẏ = Ay + w(y) + o(|y |m+1),

onde w(y) é formado somente por monômios ressonantes de or-

dem menor ou igual a m.

Exemplo

Exemplo: Considere o sistema de equações diferenciais{ẋ = x + f (x , y),

ẏ = 2y + g(x , y),(13)

onde p, q são funções C∞, f (0, 0) = g(0, 0) = 0,

∇f (0, 0) = ∇g(0, 0) = (0, 0).

Se λ1 = 1 e λ2 = −2 são os autovalores da parte linear, entãoλ2 = 2λ1 + 0λ2 é a única relação de ressonância existente.

Esta relação está associada ao monômio x2e2.

Exemplo

Portanto, para todo r , o sistema (13) é C r -conjugado até ordem r

a um sistema da forma{ẋ = x + o(|(x , y)|r+1),ẏ = 2y + αx2 + o(|(x , y)|r+1),

onde α depende somente da série de Taylor de ordem 2 do sistema

original.

Exemplo

Exemplo: Considere o sistema de equações diferenciais{ẋ = −y + p(x , y),ẏ = x + q(x , y),

(14)

onde p, q são funções C∞, p(0, 0) = q(0, 0) = 0,

∇p(0, 0) = ∇q(0, 0) = (0, 0).

Calculando as ressonâncias, podemos provar que (14) é

C r -conjugado a um sistema da forma{ẋ = −y +

∑rk=1(x

2 + y2)k(akx − bky) + . . . ,ẏ = x +

∑rk=1(x

2 + y2)k(aky + bkx) + . . . ,

onde ak , bk são coeficientes que dependem do sistema original.

Teorema de Siegel

Um resultado muito interessante:

Teorema (Siegel)

Seja A ∈ Rn×n e suponha que o fecho convexo dos autovalores deA não contenha a origem (neste caso, dizemos que σ(A) está no

doḿınio de Poincaré). Seja f : U ⊂ Rn×Rn uma função anaĺıticacom f (0) = 0, Df (0) = 0 e f (x) = o(|x |2) quando x → 0.Então existe uma mudança de variáveis anaĺıtica x = y + h(y),

onde h(y) = o(|y |2) quando y → 0, que transforma o sistemaẋ = Ax + f (x) num sistema da forma ẏ = Ay +w(y), com w um

polinômio e tal que w(y) comuta com exp(S), onde S é a parte

semisimples de A.

Referências

# S-N Chow, Chengzhi Li, Duo Wang, Normal forms andbifurcation of planar vector fields, Cambridge U. Press, 1994.

# James A. Murdock, Normal forms and unfoldings for localdynamical systems, Springer, 2003.

# A. D. Bruno, Local Methods in Nonlinear DifferentialEquations, Springer-Verlag, 1979.

# William F. Langford, Wayne Nagata, Normal Forms andHomoclinic Chaos, AMS Bookstore, 1995.

# Giampaolo Cicogna, Giuseppe Gaeta, Symmetry andPerturbation Theory in Nonlinear Dynamics, Springer, 1999.

# Michael Charles Irwin, Smooth dynamical systems, AcademicPress, 1980.

Referências

# G. Belitskii, C∞-normal form of local vector fields., In:Proceedings of Symmetry and Perturbation Theory. World

Scientific, Singapore (2002).

# C. Elphick, E. Tirapegui, M.E. Brachet, P. Coullet, G. Iooss,A simple global characterization for normal forms of singular

vector fields.,Physica D, 29:95-127(1987).

# E. Strózyna, H. Zoladek, The analytic and formal normal formfor the nilpotent singularity, JDE 179, 479-537.

# G. Gaeta, Normal forms for reversible dynamical systems,IJTP 33 1917-1928.

# G. Gaeta, Poincaré renormalized forms, Ann. Inst. HenriPoincaré 70, 461-514.

# C. Rousseau, Normal Forms, Bifurcations and FinitenessProperties of Vector Fields, 2002.

Próxima aula: Alguns teoremas de convergência de formas

normais, formas normais para difeomorfismos.

Se cuidem: usem máscaras, limpem as mãos com álcool em gel.

Fique em casa.