misión 6°

Contenido de tu libro 12

Pensom/enro

L Ó G I C A Y C O N J U N T O S Es tándar : Reconozco las pr inc ipales características de un con junto y una proposición.

numérico - Lógica: Proposiciones, conect ivos lógicos y cuant i f icadores 13

variaáonal Con jun tos 16 variaáonal

Rincón de la historia: J o h n V e n n 16

Pensamiento numérico -variacional

SISTEAAAS DE N U M E R A C I O N Es tándar : C o m p r e n d o los diferentes sistemas de numeración.


Sistemas ant iguos de numeración 21 Pensamiento numérico -variacional Sistema de numeración b inar io 2 4


Sistema de numeración dec ima l 2 6

Pensamiento numérico-variacional

N U M E R O S NATURALES Es tándar : Resuelvo y f o r m u l o p rob lemas c o n los números naturales y sus operac iones .


O r d e n de los naturales 3 0


Adición y sustracción de números naturales 3 3 Pensamiento numérico-variacional

Propiedades de la adición de números naturales 3 6 Pensamiento

numérico-variacional

Multiplicación y división de números naturales 3 9


Propiedades de la multiplicación 4 2


Situación p r o b l e m a 4 6

E L E M E N T O S DE G E O M E T R Í A Y M E D I C I Ó N Es tándar : Reconozco los términos básicos de la geometría y las re laciones entre un idades de l o n g i t u d .

Pensamiento métrico -

geométrico

C o n c e p t o s básicos de geometría 4 9


geométrico

Ángulos 5 4 Pensamiento métrico -

geométrico Un idades de t i e m p o y long i tud 5 7


geométrico Sistema de medición inglés 6 0

Pensamiento aleatorio

DATOS E S T A D Í S T I C O S Es tándar : Resuelvo s i tuaciones p r o b l e m a usando recolección d e datos .

Recolección de datos : población, muestra y var iables estadísticas. 6 3

Páginas especiales

Proyecto: Conversión d e números arábigos a números romanos c o n ayuda de l c o m p u t a d o r 6 6 Páginas

especiales Matemática recreativa: Internet sano 6 8 Páginas

especiales Prueba de unidad 70

Pág.

Pensamiento numérico -

T E O R Í A DE N Ú M E R O S Es tándar : Reconozco y uti l izo a lgunos conceptos de la teoría de números.

Pensamiento numérico -

Múltiplos y divisores 7 3 Pensamiento numérico - Criter ios de div i s ib i l idad 7 6 variacional Descomposición de números en factores pr imos 7 9 variacional

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor 8 2

P O T E N C I A C I Ó N , R A D I C A C I Ó N Y L O G A R I T M A C I Ó N Estándar: Resuelvo y formulo problemas con potenciación, radicación y logaritmación.

Pensamiento Potenciación de números naturales 8 5 numérico -variacional

Propiedades de la potenciación 8 7 numérico -variacional

Radicación de números naturales y p rop iedades 9 0

numérico -variacional

Logaritmación de números naturales 9 4


E C U A C I O N E S Es tándar : Uti l izo todas las estrategias p a r a resolver ecuac iones . Pensamiento

numérico -variacional Igua ldades y ecuaciones 9 7


geométrico

P O L I G O N O S Es tándar : C las i f ico polígonos según sus p rop iedades .


geométrico

Polígonos 1 0 0 Pensamiento métrico -

geométrico Tr iángulos 104


geométrico

Cuadriláteros 1 0 8


D I S T R I B U C I Ó N DE F R E C U E N C I A S Y D IAGRAMAS E S T A D Í S T I C O S Es tándar : Uti l izo diferentes representaciones gráficas p a r a mostrar un c o n j u n t o de datos .

Pensamiento aleatorio Frecuencias 1 1 0

D i a g r a m a s y gráficos estadísticos 113

Páginas especiales

: P royecto: Sal ida pedagógica (Recorramos el barr io) 116 Páginas

especiales Matemática recreativa: La magia del origami 1 1 8 Páginas

especiales Prueba de unidad 1 2 0

Pág.

,

HBHHMHMHBHHHiHfflHI HBHHMHMHBHHHiHfflHI 1 F R A C C I O N E S

Es tándar : Emplea las f racciones y sus operac iones .


Representación de f racciones 123 Pensamiento numérico -variacional

Clasificación de f racciones y números mixtos 126


Fracciones equivalentes. Complificación y simplificación 1 3 0


Representación de f racciones en la recta numérica y o rden 134


Adición y sustracción de f racciones 137


Multiplicación y división de f racciones 141


Potenciación y radicación de f racciones 144


SUPERF ICIE Es tándar : C a l c u l o áreas por m e d i o de la composición y descomposición de f iguras .


Un idades de superf icie 148 Pensamiento métrico - Área de políqonos 151

geométrico Perímetro d e la c i rcunferencia y área del círculo 154

geométrico

Área de f iguras sombreadas 1 5 7


D i a g r a m a c i rcu lar 1 6 0 Pensamiento aleatorio M e d i d a s de tendenc ia central 164

Páginas especiales

Proyecto: M a q u e t a galería de arte 1 6 7

Páginas especiales

Matemát ica ciudadana: P ropiedad intelectual 1 6 8 Páginas especiales

P rueba d e unidad 170

Pág.

Grandes inventos de la historia

Pensamiento

N Ú M E R O S D E C I M A L E S Es tándar : Reconozco y uti l izo los números dec imales .

Pensamiento

Fracciones decimales y números dec imales 173

Pensamiento

Clasificación de números decimales y convers iones 176

Pensamiento Rincón d e la historia: J o h n N a p i e r 1 8 0


O r d e n entre números dec imales 181 numérico -variacional Adición y sustracción de números dec imales 184


Multiplicación y división de números dec imales 187


R A Z O N E S Y P R O P O R C I O N E S Estándar: Explico con gráficas situaciones de proporc ional idad directa e inversa.


Razón y proporción 192 Pensamiento numérico -variacional Proporc iona l idad di recta y regla de tres 195


Proporc iona l idad inversa 199


Porcentajes 2 0 2


• N Ú M E R O S E N T E R O S Estándar: Identifico y reconozco los números enteros en diferentes situaciones.


Números relativos opuestos e inversos adit ivos de un número 2 0 5 Pensamiento numérico -variacional Rincón de la historia: origen del calendario gregoriano 2 1 0


O r d e n entre números enteros y va lor abso lu to 2 1 1


Adición y sustracción de enteros 2 1 4


geométrico

V O L U M E N Y C A P A C I D A D Estándar: Identifico relaciones entre unidades para medir diferentes magnitudes. Pensamiento

métrico -geométrico Vo lumen 2 1 7


geométrico Un idades de c a p a c i d a d 2 2 0


geométrico

Traslaciones, ref lexiones, rotaciones 2 2 2


«• PROBABIL IDAD Y C O N T E O Estándar: Utilizo las técnicas de conteo y las reglas básicas de probabi l idad. Pensamiento

aleatorio C o m b i n a c i o n e s y permutac iones

C o n c e p t o s básicos de p r o b a b i l i d a d ^

2 2 7

2 2 9

Páginas especiales

Proyecto: Cálculo de c o m b i n a c i o n e s y permutac iones c o n ayuda del c o m p u t a d o r 2 3 1 Páginas

especiales Matemática recreativa: dominó y sudo/cu 2 3 4 Páginas

especiales Prueba de unidad 2 3 8

Lógica y conjuntos • Sistemas de numeración Números naturales • Propiedades y operaciones

• Elementos de geometría • Ángulos • Recolección de datos

Las tecnologías del siglo XX y X X I

"¡Tan+o hemos cambiado!"

Los aparatos tecnológicos son las so luciones dadas por el ser h u m a n o para me jo ra r la c a l i d a d de v i d a . El s iglo XX fue el escenar io para grandes inventos y c a m b i o s tecnológicos, los cuales han m a r c a d o el desar ro l lo de nuestra s o c i e d a d ; po r e j e m p l o , el telégrafo, a p a r a t o eléctrico q u e emite y recibe señales según un código de impulsos eléctricos (clave Morse) ; el pr imer telégrafo fue inventado en 1 8 3 3 por Samuel Morse .

O t r o c a m b i o tecnológico s igni f icat ivo fue la evolución de instrumentos para g u a r d a r i n f o r m a ción de a u d i o o v ideo. Hoy en día c o n t a m o s con medios de audío y v ideo ópticos c o m o el C D y digitales como, el ¡Pod, los cuales f u n c i o n a n c o n códigos internos.

Una nueva her ramienta tecnológica c reada en el s iglo XIX y desar ro l lada en los siglos XX y XXI es el c o m p u t a d o r . En 1 9 4 3 se crea el c o m p u t a d o r ENIAC, const ru ido con tubos al vacío, c o n densadores , interruptores, resistencias, entre otros, por lo que requería de un espacio a m p l i o equiva lente al de un salón de clase para su f u n c i o n a m i e n t o y pesaba a p r o x i m a d a m e n t e 3 0 tone ladas . En 1 9 6 0 , se diseñó el pr imer c o m p u t a d o r to ta lmente automático, que f u n c i o n a b a en su c o m p o n e n t e aritmético con ceros y unos, c o m o los actuales sistemas digitales e m p l e a dos po r c o m p u t a d o r e s , celu lares, sistemas de grabación de a u d i o y v i d e o , entre otros.

Responde en tu cuaderno.

¿Qué n o m b r e recibe la clave ut i l izada por el telégrafo?

2 . ¿Cuáles números ut i l izaba el c o m p u t a d o r c r e a d o en- 1 9 6 0 para procesar la' in formación?

3 . Hoy en día, ¿en qué fo rmatos se g r a b a la información de texto, a u d i o y v ideo?

¿Cómo se podrían clas i f icar los diferentes aparatos m e n c i o n a d o s en la lectura?

¿Cuáles con juntos se podrían f o r m a r con los e lementos de a u d i o y v ideo?

6 . ¿Qué benef ic ios nos ha traído la evolución tecnológica? Justifica tu respuesta.

¿Qué características de las ant iguas tecnologías le aportarías va las actuales y por qué? C o n estas características, ¿qué invento tecnológico crearías?

«•»• Pensamiento numérico - variacional

* Lógica: Proposiciones, conectivos lógicos y cuantificadores

Clave matemática

Las proposiciones son oraciones a las cuales se les puede asignar un valor de verdad. Las proposiciones se nombran con letras minúsculas, ejemplo:

q : un CD guarda in fo rmac ión (V) r ; el XBOX es un animal (F)

Las anteriores proposiciones se denominan proposiciones simples.

Al agregar la palabra NO en una p ropos ic ión , el valor de verdad cambia; es decir, se niega la p ropos ic ión . Esta negac ión se representa con el s ímbo lo ~ .

P : el cuadrado NO tiene cuatro lados p : el cuadrado tiene cuatro lados

Verdadero Falso Dos o más proposiciones simples se pueden unir por medio de los conectivos lóg icos: A ( y ) , v (o), ~~* (entonces), (si y solo si), formando proposiciones compuestas con las que se pueden construir tablas de verdad.

P<-><J Si en el long play la información es producida de forma análoga, si y solo si, el long play guarda la vibración producida por el sonido de la cinta.

V F F V

p p A q

Escuchó músi Escuchó mú Escuchó música en ca en cásete.

V

V

F

F

sica en CD.

V

F

V

F

cásete y en CD.

V

F

F

F

<Í pvq

Escuchó músi Escuchó mú Escuchó música en ca en cásete.

V V

sica en CD. V F

cásete o en CD. V V

F F

V F

V F

P q

Si los impulsos del iPod y el CD

Si los impulsos del iPod y el CD El ¡Pod y el

Si los impulsos del iPod y el CD

Los impulsos CD transfor producen cedel ¡Pod y el man los ce ros y unos, CD producen ros y unos entonces, el ceros y unos. en audio o iPod y el CD

imagen. los transforma en audio o imagen.

los transforma en audio o imagen.

V V V V • F F

F V F

F V V

En el long play la información es producida de forma análoga.

El long play guarda la vibración producida por el sonido en la cinta.

O TALLER Lógica O o ° P 1 . En los enunciados escribe si corresponde a una p r o p o s i c i ó n o no. En caso de que sí

corresponda, escribe su valor de verdad.

á . 5 x 4 = 20

Nos vemos m a ñ a n a _

C. El CD no es.circular

d . Todos los celulares son de color n eg ro

e. El computador tiene m á s de un teclado

i/f . ¿ C u á n t o s ¡Pods tienes?

g. El triple de cinco es quince h. 3 + 3 + 3 = 3 x 3

13

Completa la tabla.

P

15 x 10 = 150 El Sol es un planeta.

Valor de verdad V

P Valor de verdad

15 X 10^150 F

Un dólares igual a un peso colombiano.

En las siguientes proposiciones resalta con rojo las que son simples, y con azul, las que son compuestas. En las proposiciones compuestas subraya el conectivo l ó g i c o .

a . Los c u a d r i l á t e r o s tienen cuatro lados.

b. La fiesta estuvo tranquila o yo estuve aburrido.

c Febrero tiene 28 d ías .

d . 2 + 3 ^ 6 0 3 x 2 = 6.

e . Roma es la capital de Italia.

f. Vamos a ir al cine y comeremos palomitas.

g . El mar es azul y el planeta Tierra es redondo.

h . Si está lloviendo, entonces, me voy a mojar.

¡« El vallenato no es un g é n e r o musical.

Í. 5 x ó = 30 si y solo si 6 + ó + ó + 6 + ó = 30.

k« La Luna es redonda o el Sol es amarillo.

Escribe proposiciones simples de tal manera que el valor de verdad de las proposiciones compuestas sea verdadero.

246 es par, si y solo si,

V

c. La palabra " c a f é " es aguda, si y solo si,

d . El c í r c u l o es un s ó l i d o o

e . Si 48 es m ú l t i p l o de ó , entonces,

f, Los caballos no tienen alas y _

g , El domingo voy al parque o

b. El gato toma leche y

h . Si la m ú s i c a es un deporte, entonces,

Y 5. Teniendo en cuenta las siguientes proposiciones simples:

P: El primer t e l é g r a f o se u t i l i zó en 1833.

q : Los computadores no han evolucionado.

r: El CD es un medio ó p t i c o de audio y video.

Encuentra el valor de verdad de las proposiciones compuestas. En las proposiciones con p a r é n t e s i s , primero se encuentra el valor de verdad de ellos.

a . p A r

b . ~ r V q

c. ?v p — » ~ (q *-* r)

ú, ~ (~ q) —> q

e» ~ (p A q ) v ( ~ q A p ) 9» ~ (~ p r )

f. ~ (~ (p A q) —>~ r )

: 6 . Sean p y q dos proposiciones simples. Escribe falso o verdadero según corresponda y justifica tu respuesta.

a . p A q = q A p d. p—> q = ~ p q

b. p V q = q V p e. p ^ q = q<-^p

C. p—>q = q - + p f. p — > q = ~ q — > ~ p

/../; 7. Completa las proposiciones con los cuantificadores correspondientes para que la proposición sea verdadera.

V: Cuantificador universal (para todo, todos, cualquiera)

3 : Cuantificador existencial (existen, algunos, unos)

ci. ¡Pods son rectangulares d . días llueve

b. los números son primos e. letra pertenece al abecedario

c. computadores son negros f. los peces viven en el agua

Durante las vacaciones de diciembre del año pasado, la familia de Juanita decidió viajar por cinco días a la isla de San Andrés. Durante el vuelo, ellos planearon sus actividades de la siguiente forma.

DÍA HORA ACTIVIDAD

PRIMERO 2:00-3:00 p.m. Llegada al aeropuerto, registro e instalación en el hotel.

PRIMERO 3:00-5:30 p.m. Recorrido por los alrededores del hotel y observar el mar.

5:30 - 9:00 p.m. Descanso en el hotel y cena.

SEGUNDO 7:30-9:00 a.m. Desayuno, alquilar lancha y dirigirse hacia Johnny Cay.

SEGUNDO 9:00 a.m.- 5:00 p.m. Entrar al mar, almorzar y disfrutar los cocteles.

5:00-8:30 p.m. Regreso al hotel, descanso, cena y dormir.

TERCERO 8:00-8:30 a.m. Desayuno.

TERCERO 8:30 a.m.-5:30 p.m.' Alquilar automóvil y recorrido por la Isla, almorzar.

5:30-8:30 p.m. Devolver el automóvil, caminar por la playa, cenar y dormir.

CUARTO 9:00-3:30 a.m. Desayuno, disfrutar de las olas del mar y almorzar.

CUARTO 3:30-6:00 p.m. Disfrutar de la piscina del hotel.

6:00-9:00 p.m. Organizar maletas, cenar y dormir.

QUINTO 7:00- 10:30 a.m. Desayuno e ir de compras.

QUINTO 10:30 a.m.-1:00 p.m. Almorzar y dirigirse al aeropuerto.

4:00 p.m. Llegada al aeropuerto de Bogotá.

y 8 . Teniendo en cuenta la información anterior, escribe falso (F) o verdadero (V), según corresponda.

a . La familia de Juanita todos los días observará el mar.

b. La familia de Juanita todos los días entrará al mar.

c. Todo el tiempo de la estadía, la familia permanecerá en el hotel.

d . El tercer día, la familia alquilará el carro por algunas horas.

e. Todas las vacaciones, la familia de Juanita visita San Andrés.

f. Todas las horas de permanencia en la isla estarán fuera del hotel.

Descriptor de desempeño: / Identificar proposiciones simples y compuestas y establecer su valor de verdad.

Pensamiento numérico - variacional

( ¿ , Conjuntos A

M á q u i n a de hilar Ferrocarril

Bombilla Telégrafo

Las herramientas - tecnológicas creadas en el siglo XVIII y principios del siglo XIX,

forman el conjunte A" y las herramien+as creadas en el

siglo XX determinan el conjunte B.

B Radio Teléfono Au tomóv i l Televisor

Computadores Electrodomésticos

C l a v e matemática

Un conjunto es una c o l e c c i ó n de elementos que tienen por lo menos una c a r a c t e r í s t i c a o propiedad c o m ú n . Usualmente los conjuntos se nombran con letras m a y ú s c u l a s , ejemplo C = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } Un conjunto se determina cuando se sabe si un elemento pertenece o no al conjunto, el s í m b o l o utilizado para indicar la r e l a c i ó n de pertenencia es e y el de no pertenencia es £ . Si el conjunto C = { l , 2 > 3 , 4 , 5 } , entonces, 4 6 C y 9 ^ C Si todos los elementos de un conjunto D es tán contenidos en otro conjunto C, entonces se dice que D es subconjunto de C. El s í m b o l o de contenencia es C y el de no contenencia es (¡L . Ejemplo: ' • Dados los conjuntos C = { l , 2 f 3 , 4 , 5 } y D = { 1 , 2 } , entonces D C CY C (t D.

O TALLER Conjuntos H 1 . Comp le ta la tab la .

Escritura de los conjuntos

Comprensión Para determinar un conjunto por comprensión se enuncia una propiedad que cumplen todos los elementos del conjunto antecediendo la expresión x/x.

Extensión Para determinar un conjunto por extensión se nombran todos los elementos del conjunto, si un conjunto es infinito se utiliza puntos suspensivos.

A = { x / x es un d í g i t o pa r } A = {2 ,4 ,6 ,8 }

/ = { x / x es un d í g i t o impar }

,P = {13,1 7 ,19,23,29}

1 x / x es un elemento empleado para 1

[grabar i n f o r m a c i ó n de audio y v ideo j

Q = { x / x es un invento del siglo XIX}

R = { x / x es un invento del siglo XX}

Rincón de ta

historia

John Venn

(1834-1923)

Matemático y filósofo británico, que introdujo el sistema de representación que hoy conocemos como "diagrama de Venn".

Observa la tabla y responde las preguntas.

Operaciones entre conjuntos. Dados los conjuntos U = {1,2,3,4,5,6,7,8}, C = {l,2,3,4,5}, D = {2,4,7}

Unión u Intersección D Diferencia Complemento' Producto cartesiano X

La unión de los conjuntos C y 0 es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto C, o al conjunto D.

C u D = { x / x e C v x e ü }

C „ D = {1,2,3,4,5,7}

La Intersección entre La diferencia de C y Si C está conteni- El producto cartesiano de los conjuntos C y D, D, es el 'conjunto for-es el conjunto forma- mado por los elemen-do por los elementos tos que pertenecen al que pertenecen al conjunto C y no perte-conjunto C y al con- • junto D. C n D = { X / X € C A X 6 D }

necen al conjunto D.

- D = { x / x e C A x ¿ D }

- D = {l,3,5}

do en un conjunto CxD es un conjunto for-referencial U, el mado por todas las parejas complemento del ordenadas, cuyos primeros ele-conjunto C son los . mentas pertenecen al conjunto elementos que le C y los segundos elementos hacen falta a C para pertenecen al oonjunto-D. ser el conjunto refe-

' (1.2){UH1,7)

C u D C n D C - D

2, Lee la in fo rmac ión y represéntala en el diagrama de Venn.

Las letras H, A/1 y C son los nombres de los conjuntos formados por las pizzas hawaiana, mexicana y carnes, respectivamente. Ana Mar ía invitó a su fiesta de cumpleaños a Camilo, Andrés, Mar ía Paula, Jennifer, Federico, César y Daniel. En la fiesta comieron pízza según el gusto de cada uno. Camilo dijo que quería hawaiana y mexicana, Mar ía Paula escog ió de carnes y hawaiana; Jennifer, al igual que César, solamente seleccionó hawaiana, Federico p id ió mexicana y carnes, Daniel y Ana Mar ía comieron una pízza de cada sabor.

H ^ M

C x D (2,2¡(2,4)(2,7 (3,2)(3,4)(3,7 (4,2)(4,4)(4,7) (5,2)(5,4)(5,7)

El producto cartesiano" se puede representar en un plano cartesiano.

Observa el diagrama y escribe el s ímbolo e o í , según corresponda.

a . Federico 0 H porque Federico no pertenece al conjunto H.

b . Mar ía Paula _ C c . Camilo H d . Jennifer M e. Daniel _ C

3. Dados los conjuntos:

L — {x/x es un díg i to impar} ,.»•.

D = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} '

T = {3,6,9} Completa las proposiciones con el símbolo e, ÍÉ , <z o ce para que cada afirmac ión sea verdadera.

Ejemplo: 3 G T porque 3 pertenece al conjunto T; L(£T porque no todos los elementos del conjunto L están contenidos en. el conjunto T.

a . 5 L b . T D c . 4 T

d. L D

4. Dados los conjuntos:

U = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 7,1 8,1 9 , 2 0 } , , , .. , , í x / x es un número menor de 20

D = {x/x es un divisor de 2 0 } , C = {3 ,6 ,9 ,1 2,1 5 } , y V =

y la suma de sus dígitos es

Realiza las operaciones en el cuaderno y escribe el resultado por extensión. a. D U C

b. Vn D

c. D - C

d. C x V

i 10

9 -

8 -

7 -

6

5 -

4 -

3 -

2 -

1

e . O

f. V

g. VxD

h. (VUD)'

1

¡. (VnD)

¡. (C-D) n V

k . (CuV) 'U C .

í. (Cuv)n(C-D)

2

1 0 ¥

9

- 8«»

» •

- O -

1 2 3

4 5 6

7 i

8 i 1

9 i >

4 3

• 5 7

0 1 2 3 4

5. Escribe las coordenadas de los vértices de cada figura.

a. P ( , ) c. P3 ( , ) e . P5 ( , ) g . P7 ( , ) i . P9 ( , ) b. P 2 ( , ) d . P4 ( , ) f. P ( , ) h. P 8 ( , ) j . PIO ( , )

3 5 6 i 7

i 8

i 9 10

6. Ubica las coordenadas en el plano cartesiano y une los puntos correspondientes a cada parte en el orden que se presentan.

10 -

9 -

8

7

6

5 -

4 -

3 -

2

1

M e n ú

" i 1 1 1 1 1 1 1 -

1 2 3 4 5 6 7 8 10

1 . a Parte 2 . a Parte 3. a Parte 4 . a Parte

a . Pl (2,10)

b. P2 (2,1)

c. P3 (7,1)

d . P4 (7,10)

P5 (6,9)

i P6 (3,9)

g . P7 (3,7)

h. P8 (6,7)

i . P9 (5,5) m . P13 (4,2)

| . PIO (4,5) n . P14 (5,2)

k . Pl 1 (3,4) n . P15 (6,3)

I. P12 (3,3) o. PIÓ (6,4)

p. P17 (5,4)

q. P18 (4,4)

r. P19 (4,3)

s. P20 (5,3)

Ubica las coordenadas en el plano cartesiano y une los puntos correspondientes a cada parte en el orden que se presentan.

1 . a Parte 2 . a Parte 3 . a Parte 4 . a Parte

a . Pl (10,2)

b. P2 (1,2)

c. P 3 ( l , 7 )

el. P4 (10, 7)

e . P5 (9, 6)

f. P6 (9, 3)

g . P7 (7, 3)

h. P8 (7, 6)

i. P9 (5, 5) m. P13 (2, 4)

j . PIO (5, 4) n. P14 (2, 5)

k. Pl 1 (4, 3) ñ . P15 (3, 6)

I. P12 (3, 3) o , PIÓ (4, ó)

p. P17 (4, 5)

q . P18 (4, 4)

r. P19 (3, 4)

s. P20 (3, 5)

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

y 8. Johanna, Sergio, Juan, Wil l iam, Andrés, Viviana, Mónica, Kevin, Gisel y Paula son estudiantes de grado sexto. El diagrama muestra sus preferencias al seleccionar un programa de televisión.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

o ¿Qué relación existe entre las figuras obtenidas?

Al comparar las coordenadas de las dos figuras anteriores, ¿qué concluyes?

7, Sombrea la operación indicada en cada diagrama de Venn.

(HnC)U(L-C)

H

Videos musicales Novelas Muñecos

animados Películas Seriados

Juan William Sergio Mónica Viviana

Paula Viviana Gisel Kevin Mónica

Andrés Kevin Mónica William Sergio

Viviana • Andrés Juan Gisel Paula

William Juan Andrés Johanna Gisel

Mónica Gisel Kevin Viviana Johanna

Sergio Johanna Paula Andrés Juan

Si el conjunto referencial es:

U

Johanna, Sergio, Juan, Wil l iam,

Andrés, Viviana, Mónica, Kevin,

Gisel y Paula

Determina por extensión:

o. N = { x / x prefieren ver novelas}

x / x prefieren ver muñecos b . M = •

animados

c. S = { x / x prefieren ver seriados}

x / x prefieren ver videos y j

películas

x / x prefieren ver novelas o

películas

d. R =

C

i N'

g. M '

h . ( N n M ) u S

i. D - N

Descriptor de desempeño: / Reconocer las principales características de un conjunto, realizar, representar e interpretar operaciones entre ellos.


Sistemas antiguos de numeración mm

- • :

Sistema de numeración romano: es un sistema de numeración aditivo en el cual los símbolos: I, X, C y M aparecen máximo tres veces; V, L y D no se repiten; I, X y C suman cuando están a la derecha de un símbolo y restan cuando están a la izquierda.

Número arábigo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 30 40 50 60 90

Número romano

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XX XXX XL L LX XC

100 101 110 200 300 400 500 600 900 1 000 4 000 1'000 000

c Cl ex ce C C C CD D DC CM M V /

1 689: MDCLXXXIX 957: CMLVII 2 007: MMVII 394: CCCXCIV

Sistema de numeración egipcio: es un sistema de numeración aditivo que utiliza jeroglíficos para representar las unidades con su respectivo orden.

Número

arábigo 1 10 100 1 000 10 000

100 000

1 000 000

Número

egipcio I A 9

2 4 5 3 6 : 2 0 0 0 0

SLSLSÍSL, 99999 AAA J mm 4 0 0 0 5 0 0 3 0

Sistema de numeración maya: es un sistema de numeración posicional de base 2 0 , los números se colocan verticalmente de abajo hacia arr iba, multipl icando el primer nivel por uno, el segundo por 2 0 y el tercero por 3 6 0 .

Número

arábigo 0 1 2 3 4 5 6 10 15 20

Número

maya < ^ > • • • • • • • • • • • < É >

1 x 2 0 = 2 0 6 x 1 = 6

2 0 x 3 6 0 = 7 2 0 0 6 x 2 0 = 1 2 0 6 x 1 = 6

< É > 2 0 x 2 0 = 4 0 0 < D 0 x i = 0

21

O TALLER Sistemas antiguos de numeración O r\ o

Q,,,) 1. Escribe en el paréntesis la letra correspondiente teniendo en cuenta los números equivalentes en los tres sistemas de numeración.

CL ( ) 2 536 ( A A A A A

b. MMMDXCIII ( ) 739 ( ) 99 n i

c. MMDXXXVI ) 150 0 0 0 0 9 0 0 0

) A A A A

d . DCCCXLII ( ) 203 ) 09099 A A A A A A A A A

J7

e . can ( ) 3593 ( ) A A A INIIINI

f. DCCXXXIX ( ) 842 SLSL

<p <p <p C) (p A A A n n n

? 2 . Escribe en tu cuaderno cada enunciado con su correspondiente número en el sistema de numeración decimal.

| a . En el año A A A A A A A A A s e reformó la Constitución Política de Colombia.

1

b. La selección de fútbol de Colombia fue campeona de la Copa América en el

año MMII .

c. El papa Juan Pablo II falleció en el año ,f, ,

d . El n imin de abril de MCMXLVIII fue asesinado Jorge Eliécer Garrón. e . En el año MCDLXVII un emperador chino puso cerdas en un mango de

hueso.

f. En 9999999 Will iam Adis inventó nuestro cepillo actual. A A A A A A A A

g . Gali leo inventó el termómetro en el año 99999

*7 3. Completar la tabla convirt iendo cada número romano y maya en número decimal .

Número romano Número decimal Número maya Número decimal

CDXLIV • • • • •

MMMCCXLI • • • •

DCCCXXIV • •

MML • • • •

L Encuentra la solución en el sistema de numeración decimal de los siguientes problemas.

a . En el año ¿ > ¿ ) ¿ ) £ ) ¿ ) C ) S e menciona por primera vez la pólvora en China y en el año

J*?*?*?*?*? r\r\^ realiza la primera producción de porcelana en este mismo país.

¿Cuánto más antigua es la pólvora que la producción de porcelana?

b. En Europa aparece la carretilla en el año MCCCXI y en MDCXVIII el primer microscopio. ¿Cuánto más reciente es el microscopio que la carretilla?

c. La balanza de dos platillos es inventada en el año MDCCXX y el manómetro en MDCCV. ¿Cuál es la diferencia de años entre estos dos inventos?

d . El transbordador espacial Challenger explotó en MCMLXXXV y el transbordador Columbio en 41 H 111. ¿Cuántos años han transcurrido entre los dos inventos?

e . En MCMLVII viaja el primer ser vivo al espacio: una perrito l lamada Laika, en

Q**? 9 9 9 f\ f\ f\ í\ f\ f\\ " e 9 a e ' primer hombre al espa

cio; el ruso Yury Gagarín. ¿Cuántos años transcurrieron entre el viaje de la perrito

Laika y el viaje del hombre al espacio?

f. En MDCCLXXXIX se produce la Revolución francesa. ¿Hace cuántos años se conme

moró el centenario de la Revolución francesa?

Descriptor de desempeño: / Identificar los sistemas antiguos de numeración y representar números del sistema de numeración decimal utilizando la simbologia de

estos sistemas.

*» Pensamiento numérico - variacional

Sistema de numeración binario El sistema de numeración b jnar io se util iza en sistemas electrónicos, por e j e m p l o , un b o m bi l lo e n c e n d i d o ® representa el número 1, p o r q u e hay un paso de cor r iente, mientras q u e un b o m b i l l o a p a g a d o © representa el 0 , por no tener cor r iente.

© © © © © © representa el número 100100 ( 2 )



m a t e m á t i c a

El s i s tema d e numeración b inar io es pos ic iona l , po r lo t a n t o , el va lo r de un número d e p e n d e de su ubicación.

E jemplo: en el número b inar io 1 1001 1 ( 2 ) c a d a uno t iene un va lo r específico, el pr i mero de derecha a izquierda equiva le a u n o , el s iguiente a dos , el qu in to a dieciséis y el sexto a treinta y dos , al sumar estos números se obt iene 5 1 , por t a n t o , el número 1 1001 1 „. eau iva le a 51 en el sistema de numeración d e c i m a l .

1 0

| 0 1

|

1

to to ' 1 to

1 ero

d o 6 5 4 3 2

(2 x 1) + (2 x 1) + ( 2 x 0 ) + ( 2 x 0 ) + (2 x 1) + (2 x 1)

O r d e n posicional

Orden

posicional 9 8 7 6 5 4 3 2 1

5) (en base 10)

Valor representado

en cada posición

2 e

1 254

2 7

i

128

2 4

i 64

2 5

i 32

2a

l 16

1

8

2 2

1 4

2'

i 2

2 o

l 1

O TALLER Sistema de numeración binario €> ® • / , „ ) 1 , Escribe el va lo r pos ic ional de 1 en c a d a caso.

a . 1 0 0 ( 2 ) = 4 p o r q u e el número 1 en 100(2) está en la tercera ubicación. 2 2 = 4

b . 1000(2)

c . 10000(2)

d . 1 0 0 0 0 0 0 ( 2 )

-,)) 2 . En el a r reg lo se pueden encont ra r de manera hor izontal y vert ical números binar ios de c inco cifras. Escribe todos los números binar ios que a p a r e c e n en el a r reg lo .

V 2 4

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 0 0

1 0 1 1 0

a . 1 1 0 0 1 ,

b . Escribe en decimal los números-binarios del ejercicio anterior.

19_,

El número natural equivalente al número 1 001 1 ( 2 ) es 1 9, porque el primer uno de derecha a izquierda es 1, el segundo equivale a dos y el quinto a 1 ó. Al sumar estos valores se obtiene el número diecinueve.

3 . Escribe en el sistema binario los siguientes números del sistema decimal.

Ejemplo:

27 b. 76

1 9 = 1 0 0 1 1

c. 120 (2)

d . 45 e . 37

? 4 . La suma de los números binarios se realiza teniendo en cuenta el valor posicional de las cifras. Ejemplo:

1 1 0 0 ( 2 ) + 1 1 1 ( 2 ) =

+ 1

o

1

1 + 1 = 2. 2 en base 2 es ICL,

Por eso se escribe 0 y se lleva I.

1 (2)

1 0 0 1 1

Calcula la suma de los siguientes números binarios.

o . 1 1 0 1 1 ( 2 ) + 1100 ( 2 ) b . 1 0 1 1 0 ( 2 ) + 1111 ( 2 )

y 5 . La calculadora internamente convierte los números del sistema decimal a números binarios, los opera como binarios y, finalmente, entrega el resultado como un número en base diez. Felipe realiza las cuentas de los dulces recogidos el día de los niños con la calculadora. El 31 de octubre recibe 1 7 dulces en el colegio y 45 en su barrio.

a . Felipe dígita primero la cantidad de dulces que le entregaron en el colegio. Para la calculadora este número es: .

b. ¿Cuántos dulces más recibe en el barrio que en el colegio? Escribe el resultado en número binario. .

c. Si la abuela de Felipe le regala 1100 ( 2 ) dulces, ¿cuántos dulces tiene ahora Felipe? Escribe la respuesta en el sistema de numeración binaria y en el sistema de numeración decimal

Descriptor de desempeño: / Solucionar situaciones usando la conversión de un número binario a número decimal y viceversa.

<»*• Pensamiento numérico - variacional

• Sistema de numeración decimal Clave matemática

Unidades de billón

Centenas de mil de millón

Decenas demude millón

Unidades de mil de millón

Centenas de millón

Decenas de millón

Unidades de millón

Centenas de mil

Decenas de mil

Unidades de mil

Centenas Decenas Unidades

u.b. c.m.M. d.m.M. u.m.M. C.M. d.M. u.M. c.m. d.m. u.m. c d U

1012 10" 10'° 10' 108 107 10" 105 10" 103 102 10 10»

1 0 c.m. = 1 u.m. 1 0 c.M. = 1 u.m.M. 1 u.b. = 1 0 c.m.M.

Cada dígito recibe su nombre de acuerdo con la posición que ocupa, por esto el s is t e m a d e n u m e r a c i ó n d e c i m a l es un sistema posicional.

Ejemplo: para octubre de 2 0 0 7 el número de usuarios de internet en Colombia era de 9 6 8 1 5 8 3 (1 de cada 4 colombianos es usuario de internet), con un crecimiento del 2 3 % , porcentaje considerado de los más altos de América Latina.

Descompongamos esta cifra en forma polinomial, según la posición de cada una de sus cifras.

9 6 8 1 5 8 3 = 9 x 1 0 0 0 0 0 0 + 6 x 100 0 0 0 + 8 x 10 0 0 0 + 1 x 1 0 0 0 + 5 x 100 + 8 x 10 + 3 x 1

= 9 x l 0 6 + 6 x l 0 5 + 8 x l 0 4 + 1 x l 0 3 + 5 x l 0 2 + 8 x 1 0 + 3 x 1 0 °

= 9 0 0 0 0 0 0 + 6 0 0 0 0 0 + 8 0 0 0 0 + 1 0 0 0 + 5 0 0 + 8 0 + 3

"Nueve millones seiscientos ochenta y un mil quinientos ochenta y tres"

O TALLER Sistema de numeración decimal O o 1 . Escribe la lectura correspondiente con los siguientes números.

a. 1 7 8

b. ó 4 7 8 3 6 7

c. 1 2 0 0 0 0 5

d . 3 8 4 0 0 2 0 .

e. 8 9 0 0 0 2 5 3 6 1 0 0 2

i 2 4 5 1 3 6 5 7 8 4 0

2 , Escribe con dígitos los siguientes números.

a . Dos millones cuatrocientos ocho mil nueve

b . Un billón doce mil millones trescientos quince mil

c. Tres mil millones ocho mil novecientos once

d . e .

f .

Ciento catorce mil millones quinientos diecinueve Setenta y tres millones ciento noventa y seis mil trescientos doce Cincuenta mil millones nueve mil diecisiete

Realiza una correspondencia entre la letra y la descomposición polinomial, escribiendo en el paréntesis la letra respectiva.

a . 8 c.m. b . 2 u.b. c . 7 d d . 2 u.M. e. 9 c.m.M. f . 1 1 d.m. g . 3 c.m.

Completa la tabla.

) 3 x 100 000 = 300 000 ) 8 x 100 000 = 800 000 ) 11 x 10 000 = 11 000 ) 9 x 100 000 000 000 - 900 000 000 000 ) 7 x 10 = 70 ) 2 x 1 000 000 000 000 = 2 000 000 000 000 ) 2 x 1 000 000 = 2 000 000

Número Más 3 u.m Menos 2 d Más 1 c Más 1 u.M. Menos 2 d.m

3427 865

7 843 510

507 437 687

143 278 409

3 430 865 3 427 845 3 427 965 4 427 865 3 407 865

Encuentra los números correspondientes a las descomposiciones decimales en la siguiente sopa de números. Ten en cuenta que los números aparecen de forma horizontal o vertical y algunos están invertidos.

a . 3 u.m. + 3 c.m. + 2 u + 7 d.m. b . 4 c + 5 c.m. + 7 d.m. + 2 u.M. + 1 u c . 8 d + 4 c.m. + 4 u + 8 d.m. d . 2 u.m. + ó d.m. + 7 c.m. + 7 u.M. + ó d.M.

+ 2 u.m.M. e. 2 u.b. + ó c.m. + 7 d.m. f. 8 u + l d + 2 c + 4 u.m. + 1 c.M. + 2 d.M. + 3 c.m. g . 3 c.M. + 4 d.M. + 8 u.M. + 3 u + 2 u.m.M. h . 3 u.m.M. + 4 c.M. + 5 d.M. + 7 d.m. + ó u.m. i. 2 d + l c + 3 u j . 5 d + 8 c + 7 u.m. + 3 u

• 2 4 6 0 0 0 6 7 0 0 5 4 3 8 0 1 3 5 7 9 0 2 4 6 8 0 1 3 5 2 0 6 7 7 6 2 0 0 0 7 9 0 2 3 6 8 0 1 3 5 7 9 3 0 2 4 0 8 0 1 3 5 7 9 1 2 0 0 0 0 0 0 6 7 0 0 0 0 1 0 2 4 0 6 8 0 1 3 5 7 4 9 3 0 2 0 4 6 8 7 8 5 3 0 1 7 3 5 0 7 9 0 2 4 6 8 7 3 3 2 4 8 1 3 6 4 7 0 4 5 2 0 1 0 4 8 0 0 8 4 5 8 2 0 0 5 9 3 1 5 7 3 0 8 5 7 9 2 7 1 2 0 3 0 4 2 1 8 0

' 6 . Teniendo en cuenta las equivalencias entre cada valor de posición, une con una línea según corresponda.

3 c 8 u.m. 370 d.m.M.

70 d.M.i 1 u.b.

7 c.M.

80 c

410 u.M.

5 d.m.M. 10 c.m.M. 30 d

37 c.m.M. 50 u.m.M.

7. Encuentra la cifra correspondiente al valor posicional dado. En cada línea escribe la letra que acompaña al número donde encontraste la cifra. Descubrirás otro nombre empleado para los símbolos de nuestro sistema de numeración decimal.

&29120 B 7 3 6 5 9 3 0 * 3 7 5 3 3 2 G1008602400 1818130758 N15128 R4932191 S2390087970 \ l 9 9 3 1 9 3 9 l 0 l 2 3 9 A03893167 0 3 9 8 7 R38101 S7127

1 d.m. 9 u 4u.m. 3 c.m. 9 c.m. 0 c O.u.M.

9 u.M. l u 8 c.m. óu.m. 7c 0 c.M. 8d 7u.M.

A continuación se muestra el nombre de la montaña más alta de cada continente.

Continente Montaña Longitud

América Aconcagua 6 959 m

Europa Elbrus 5 633 m

Asia Everest 8 848 m

África Kilimanjaro 5 895m

Oceanía Jaya 5 029 m

Antártida Monte Vinson 4 897 m

Teniendo en cuenta la anterior información, contesta las preguntas.

a . ¿Cuáles son las montañas que tienen ocho en la posición de las centenas?

b . ¿Cuántas centenas tiene más el Aconcagua que el Elbrus?

c. ¿Cuántas unidades de mil tiene menos la montaña más alta de la Antártida que la de Oceanía?

d . ¿En cuál continente se encuentra la montaña de mayor longitud?

e . ¿Cuál es el nombre de la montaña de menor longitud que aparece en la tabla?

* 9. Compara y escribe la diferencia entre las unidades de mil de las longitudes de las montañas.

Unidades de mil

a . Everest-Aconcagua.

b . Everest-Kilimanjaro-

c. Everest-Elbrus

d . Everest-Jaya

S 10. Compara y escribe la diferencia entre las decenas y centenas, de las longitudes de las montañas.

a . Everest-Monte Vinson

b. Elbrus-Kilimanjaro —

c . Aconcagua-Elbrus -

d . Kilimanjaro-Jaya

decenas centenas

11. Completa la tabla.

Montaña Descomposición decimal Lectura

Aconcagua 6 x 103 + 9 x 102 + 5 x 10 + 9 x 10° Seis mil novecientos cincuenta y nueve

Elbrus

Everest

Kilimanjaro

Jaya

Monte Vinson

Descriptor de desempeño: / Realizar la descomposición de números en el sistema de numeración decimal y aplicarlos en la solución de problemas. 2 9

i»* Pensamiento numérico - variacional

• Orden de los naturales

La l ínea d e l t i e m p o m u e s t r a a l g u n o s d e los a d e l a n t o s tecnológicos o c u r r i d o s e n los s ig los XIX y XX.

Alexonder Guglielmo Se lanza el : Graham Beli y Marconí John Logíe Se lanza el Se pone en

Thomas transmite Baírd transmite primer satélite órbita la Watson señales de la primero Sputnik 1 al Estación

exhiben un radio desde señal de espacio. Espacial teléfono Cornualles a televisión. Internacional.

eléctrico en Terra nova. Boston.

O LO I\ co O CN LO CN

co O O CN o •— 1 1 1 1

l 1 1 1 1

1800 2 0 0 0

A l o r g a n i z a r c rono lóg icamente los d i f e r e n t e s a d e l a n t o s tecno lóg icos , d e l m á s a n t i g u o a l r e c i e n t e ,

se o b t i e n e e l s i g u i e n t e o r d e n :

T e l é f o n o , t r a n s m i s i ó n d e seña les d e r a d i o , p r i m e r a t r a n s m i s i ó n d e seña les d e te lev i s ión , p r i m e r

saté l i te, se p o n e e n órb i ta la Es tac ión E s p a c i a l I n t e r n a c i o n a l .

Orden de los naturales

Si a y b r e p r e s e n t a n c u a l q u i e r p a r e j a d e n ú m e r o s n a t u r a l e s , a l c o m p a r a r l o s es v e r d a d e r a

u n a y s o l a m e n t e u n a d e las s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s .

a > b , a < b , a = b

a es mayor que b, a es menor que b, a es igual a b

E j e m p l o : Si a = 5 y b = 8 La p r o p o s i c i ó n v e r d a d e r a es 5 < 8

5 > 8 , 5 < 8 , 5 = 8

i i i F V F

O TALLER Orden de los naturales O o °

S 1 , En la s e m i r r e c t a numér ica se p u e d e n u b i c a r los n ú m e r o s n a t u r a l e s . El n ú m e r o m a y o r es

a q u e l q u e se e n c u e n t r e a la d e r e c h a d e l o t r o y m e n o r e l q u e se e n c u e n t r e a la i z q u i e r

d a . Por e j e m p l o :

8

3 está a la i z q u i e r d a d e 6 , l u e g o 3 < ó. 8 está a la d e r e c h a d e ó, l u e g o 8 > 6.

30

Teniendo en cuenta el valor numérico asignado a cada letra, ubícalas en la semirrecta y encontrarás el nombre de un matemático.

• • • • • /A • • • • 100 000 A 200 000 300 000 1 000 000 2 000 000 3 000 000

R = 380 000 T = 1 750 000 R = 350 000 1 = 1 200 000 A = 150 000 H = 100 000 O = 1 500 000

a. Consulta quién fue este matemático y qué aportes realizó. b. Compara el valor numérico asignado a cada letra y completa las proposiciones con

el símbolo < , > , = correspondiente.

I T, A H, O I, O A, A A, T+A _ I, O + H A

Encuentra el menor valor con el cual la proposición es verdadera. a . 315 + < 635 b. 1 635 012 + = 3 265 124 c. 89 + 12 + 36 = 1 4 0 - | d . 8 256 987 - < 5 456 345 e . 7 + 2 > 4 + f. 1 458 000 + 6 859 000 < 1 265 x

Escribe el mayor número posible que hace verdadera cada desigualdad. a. 5 + _ < 9 d . 45 x 12 - < 36 b. 7 + 8 + < 18 e . 36 + 6 5 - > 100 c. 9 + 12 - 3 + < 30 f. 5 x 45 - < 1 70

4. Crucinúmero.

Menor número posible de nueve dígitos. Menor que 406 943 022 y mayor que 406 943 020. El número que es una unidad de diez mil mayor que 220 429. Mayor número posible formado con los dígitos 9, 4, 3, 2, 3, 1. Menor número posible formado por tres dígitos ¡guales.

S 5. Utiliza los datos de la tabla para responder las preguntas.

Algunos inventos tecnológicos de los siglos XIX y XX A*0

Cásete compacto 1963

IPod 2001

Telégrafo 1833

Celular 1939

Computador ENIAC 1943

o . En orden c r o n o l ó g i c o , ¿cuá les inventos t e c n o l ó g i c o s surgieron en el siglo XX?

b. ¿ C u á l fue el primer invento t e c n o l ó g i c o del siglo XIX?

c. Si se traza la l ínea del tiempo, ¿ c u á l es el orden de los inventos, del m á s antiguo al m á s reciente? ;

Y~ 6. El costo de una c á m a r a de video en febrero es de $ 1 245 000, en ¡u l io el costo ha disminuido en $ 60 000, pero en diciembre ha aumentado $ 50 000 con respecto al costo de ¡u l i o . ¿En c u á l mes la c á m a r a es m á s costosa?

S 7. El precio de un celular es $ 80 000 en agosto, en la semana de p r o m o c i ó n en diciembre el valor es de $ 23 000 menos, pero en enero disminuye en $ 20 000 con respecto a agosto. ¿En c u á l mes el celulares m á s e c o n ó m i c o ?

8. Escribe los n ú m e r o s t e l e f ó n i c o s de cuatro c o m p a ñ e r o s .

¿ C u á l es el menor y el mayor n ú m e r o ? _

Y* 9 , Ordena cada conjunto de n ú m e r o s de mayor a menor.

a . 6 304 ó 034 634 4 603 4 630

b. 95 600 956 000 956 9 560 90 500

c. 28 533 25 633 26 000 25 000 25 533

d. 6 071 7 601 1 650 6 701 1 607

Descriptor de desempeño: / Establecer el orden entre los números naturales y aplicarlos en situaciones problema.

Pensamiento numérico - varíacional

Adición y sustracción de números naturales ¿Cuántos años han pasado

desde la invención del telégrafo

en 1833 hasta el 2007?

¿Cuántos años transcurrieron

desde el nacimiento de la Pas-

calina en 1642 hasta la creación

del computador ENIAC en

1943?

C l a v e m a t e m á t i c a

r5 m 6*0* íf |W> 5rc«o Lll IIIIBI m

M i - i J ^ t)í » J i-• i

a : I - 1 1 J

A B C 1 2007 174 2 1883 3 4

Andrés decidió utilizarla calculadora del computador, dígito la operación 1 9 4 3 - 1 6 4 2 y obtuvo como resultado 3 0 1 .

Para contestar la primera pregunta, Luisa decidió utilizar la hoja de cálculo de Excel y obtuvo como respuesta 1 74 años.

HG3CD S amfZDHE] B E S s a r u m a s H E3EDGJ H ruQaaaE] HGJJEDG]

Para sumar y restar números naturales es importante sumar o restar cifras que se encuentren en la misma posición, es decir, unidades con unidades, decenas con decenas, etc.

143 784 + 63 782 = 207 566 V V „ „ J i

Sumandos i

Total

34 5 0 4 - 1 356 = 33 148 v y ' -v-^

i i i Minuendo Sustraendo Diferencia

La adición y la sustracción de números naturales son operaciones inversas. Es decir, para encontrar un sumando en una adición utilizo la sustracción y para encontrar el minuendo o sustraendo en una sustracción empleo la adición. Ejemplos:

3 590 + X = 46 789

X = 46 7 8 9 - 3 590

X = 43 199 Prueba: 43 199 + 3 590 = 46 789

Y - 1 905 = 43 Y = 432 + 1 905

Y = 2 337

Prueba: 2 337 - 1 905 432

) TALLER Adición y sustracción de números naturales 0 €>0 La tabla muestra el año de creación de algunos inventos.

Invento Reloj de bolsillo

Aparición de la bicicleta

Primera máquina de escribir con memoria

Primera máquina de vapor

Técnica de cinematografía en color

Aparición de los juegos artificiales

1458

1869

1964

1705

1951

1378

Primeros robots láser

Primer cronómetro de Marina

1986

1736

Primeros teléfonos públicos de tarjeta .1980

Descubrimiento de los vasos capilares 1661

1. Con la i n f o r m a c i ó n anterior, contesta las preguntas.

a . ¿ C u á l es la diferencia entre el invento m á s reciente y el m á s antiguo?

b. ¿ C u á n t o s a ñ o s es m á s antiguo el reloj de bolsillo que el c r o n ó m e t r o de Marina?

C. ¿ Q u é inventos tienen una a n t i g ü e d a d mayor a ocho centenas de a ñ o s ?

d . ¿ Q u é inventos se realizaron entre los a ñ o s 1 700 y 1 710?

e. ¿ C u á n t o m á s reciente es la a p a r i c i ó n de la bicicleta que el descubrimiento de los vasos capilares?

2. La siguiente in fo rmac ión corresponde a la superficie de cada una de las regiones colombianas.

Región Superficie (km2) Amazónica 403 348

Andina 305 000 Caribe 132 218

Orinoquia 310 000 Pacifica 83170

De acuerdo con la tabJa, escribe falso o verdadero s e g ú n corresponda.

a . Colombia tiene una superficie de 1 233 736 km 2

b. La r e g i ó n Andina es mayor que la r e g i ó n de la Orinoquia

c. La r e g i ó n A m a z ó n i c a excede en 98 348 km 2 a la r e g i ó n Andina

d. La r e g i ó n del Caribe excede en 1 77 782 km 2 a la r e g i ó n de la Orinoquia

e. La reg ión Pacífica y la reg ión Andina tienen una diferencia de superficie entre 220 000 km 2

y 223 000 km 2

f. El total de la superficie de la r e g i ó n Andina y la r e g i ó n Pací f ica es igual al total de la superficie de la r e g i ó n Pací f ica y la r e g i ó n Andina

* Responde las preguntas 3,(4 y 5 de acuerdo con la siguiente i n f o r m a c i ó n .

El g r á f i c o corresponde al consumo de agua de la familia G o n z á l e z durante los ú l t i m o s cinco periodos.

Consumo familia González 9 T

Febrero Abril Junio Agosto Septiembre Abril Junio Agosto Septiembre Noviembre

MESES

El valor de la factura incluye cinco servicios: 1) el consumo de agua a $ 1 951 cada metro cúbico, 2) servicio de alcantarillado por un valor de $ 1 1 96 por metro cúbico, 3) cargo fijo de acueducto con un valor de $ 1 1 492, 4) cargo fijo de alcantarillado con un valor de $ 5 855 y, finalmente, el valor del servicio de aseo por $ 1 9 600.

f 3, Calcula el valor que la familia González pagó en cada periodo facturado.

a . Febrero - Abril d . Agosto - Septiembre

b. Jun io -Agos to e . Septiembre - Noviembre

c. Ab r i l - Jun io

^ 4 . Si la factura no incluyera el servicio de aseo, calcula el total por pagar en los periodos facturados.

a . Febrero - Abril d . Agosto - Septiembre

b . Jun io -Agos to e . Septiembre - Noviembre

c. Abril - Junio

S 5, La cantidad de metros cúbicos en los cinco periodos facturados es 32 , ¿cuál es la cantidad de consumo en el último periodo facturado? .

}•>)> 6. En 1 947 se postuló el concepto de una red de radio celular y en 1 983 se fabricaron los primeros equipos. En los siguientes enunciados escribe falso o verdadero, según corresponda. Justifica tu respuesta.

a . Transcurrieron 36 años desde la postulación de la red hasta la creación de los primeros equipos.

b . Han pasado más de 61 años desde la postulación de la red hasta el año 2008.

C. Han transcurrido 25 años desde la creación del primer equipo hasta el año 2008.

d. Para contestar el literal a, debo sumar 1 947 y 1 983.

7 . Completa el siguiente crucigrama. En 1 877 se inventó el primer tocadiscos y en 1 895 se descubrieron las radiografías. c j

Años transcurridos desde el invento de tocadiscos hasta el descubrí- b | miento de las radioqrafías.

Años que han pasado desde el a

invento del tocadiscos hasta el 2008.

Años transcurridos desde el descubrimiento de las radiografías hasta . el 2008.

Descriptor de desempeño: / Aplicar la adición y la sustracción de números naturales en el análisis y solución de situaciones problema.

»«•• Pensamiento numérico - variaciona!

Propiedades de la adición de números naturales

¿eré igual..." ... ¿Un carro con radio que un radio con carro?

... ¿Un televisor con antena que una antena con televisor?

Los casos anteriores no son conmutativos, porque no se

obtiene el mismo artefacto.

Propiedad Ejemplo

Elemento neutro o módulo E! número que sumado con cualquier número natural 1 542 310 + 0 = 1 542 310 da como resultado el mismo número natural es el 0, por tanto, el cero es el módulo de la adición.

Propiedad clausurativa La suma de dos números naturales es otro número natural.

165 e N y 1 583 e N

Luego 165 + 1 583 = 1 748 y 1 748 e N

Propiedad conmutativa El orden de los sumandos no altera la suma.

1 345 + 3 478 = 4 823 3 478 + 1 345 = 4 823

Propiedad asociativa (1 356 + 1 256) + 2 568 = 2 612 + 2 568 = 5 180 Al agrupar los sumandos de diferente manera la suma ^ + M 256 + 2 568 ) = 1 356 + 3 824 = 5 180 no se altera.

O TALLER Resuelve cada suma en la forma convencional y luego realiza una correspondencia con la propiedad empleada para su solución.

a. 24 562 321 + 6 536 321= 6 536 321 + 24 562 321 = 5 436 235 + 0 =

c. 32 565 + (26 569 652 + 1 2 5 ó ) = _ 32 565 +

( ) Propiedad asociativa

( ) Propiedad conmutativa

( ) Elemento neutro

Escribe las propiedades) utilizada(s) para resolver cada uno de los siguientes ejercicios,

o, 98 565 + 28 569 762 + 5 256

= 98 565 + 5 256 + 28 569 762 Propiedad conmutativa

= (98 565 + 5 256) + 28 569 762 Propiedad asociativa

= 103 821 + 28 569 762

= 2 8 673 583

b. 56 325 + 59 321 + 9 658 + 658 123

= (56 325 + 59 321) + (9 658 + 658 123)

= +

12 325 + 0 + 568 235

0) + 568 2 .+ 568 235 y

= (12 325 + 0) + 568 235 Propiedad

d. 163 587 + 385 126 + 123 987

= (163 587 + 123 987) + 385 126 Propiedad _

+ 385 126

Aplica las propiedades mencionadas para resolver cada ejercicio.

o, 35 325 697 + 2 358 + 12 698

= Propiedad conmutativa

= Propiedad asociativa

b. 56 328 369 + 23 956 123 + 0

+ Propiedad asociativa y elemento neutro

c. 2 358 265 + 123 1 68 + 45 698 256 + 21 859 569

+ Propiedad asociativa

d. 5 456 865 + 1 35 685 + 0 + 6 987 364

= + Propiedad asociativa y

= elemento neutro

f 4. Resuelve las siguientes situaciones.

a . De la lista de út i les escolares, Sergio compra cinco cuadernos cuadriculados, tres rayados y uno pentagramado. Su hermana M ó n i c a le dice que compre primero los tres rayados, luego el pentagramado y, por ú l t i m o , los cinco cuadriculados. ¿ C a m b i a la cantidad de cuadernos comprados por Sergio? . Justifica la respuesta.

b, M a r í a Camila tiene 21 m u ñ e c a s de trapo. Para su c u m p l e a ñ o s quiere otra, pero se agotaron. ¿ C u á n t a s m u ñ e c a s de trapo tiene M a r í a Camila d e s p u é s de su c u m p l e a ñ o s ? ¿ C u á l fue la propiedad de la a d i c i ó n utilizada?

Felipe tiene un tarro con canicas y para contarlas organiza tres grupos. El primero con 56 , el segundo con 63 y el tercero con 45. Para saber la cantidad de canicas suma primero 56 y 63. Al resultado le agrega 45 , ¿ o b t i e n e el mismo resultado si primero suma 63 con 45 y al resultado le adiciona 56? Justifica la respuesta.

•JÍJ

Tatiana tiene doce insignias scout, en el campamento Kevin le regala seis, Alejandro le obsequia nueve y Gloria ninguna. ¿ C u á n t a s insignias recopila entre Alejandro y Gloria? ¿ C u á l fue la propiedad de la a d i c i ó n utilizada?

5. Un vendedor de celulares compra el lunes tres decenas de carcasas amarillas, 15 decenas de color rosado y 27 carcasas azules.

a . Si el s á b a d o compra 150 carcasas de color rosado, 30 amarillas y 27 azules, ¿ c a m b i a la cantidad de carcasas compradas entre el lunes y el s á b a d o ? . Justifica la respuesta.

b. ¿ C u á l fue la cantidad de carcasas compradas?

c. Al colocar las carcasas en la vitrina mezcla los colores y organiza tres grupos: uno de 50 , otro de 80 y el ú l t i m o de 77. Para verificar que e s t á n todas las carcasas, primero suma las del grupo dos y tres y, por ú l t i m o , las del primer grupo. El hijo del vendedor rectifica el conteo y primero suma los grupos uno, dos y finalmente el grupo tres. ¿El vendedor y su hijo obtienen el mismo n ú m e r o de carcasas? . Justifica tu respuesta.

Descriptor de desempeño: / Identificar y aplicar las propiedades de la adición de números naturales en la solución de situaciones problema.

Multiplicación y división de números naturales

Con el paso de los años los artefactos tecnológicos bajan de precio debido a su mayor demanda. A finales de los noventa el costo de un

r minuto a celular era de ? I 500, hoy el valor es cercano a la quinta parte, es decir, 1 500 -s- 5 = 300 , de igual manera, un televisor

plasma de 42 pulgadas en el 2 0 0 0 costaba unos $ 8 500 0 0 0 , hoy su valor es de aproximadamente la mitad.

Clave matemática0

AHHHHBHHHHHHHHHHHBHHHHHHHHBHHHB El valor de un minuto a celular en una cabina telefónica es de $ 300, ¿cuánto valen 1 4 minutos? 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 + 3 0 0 = 14 x 3 0 0 = 4 2 0 0

1 4 sumandos

La adición de sumandos ¡guales puede representarse por medio de una multiplicación o producto de dos números naturales. El primer número representará la cantidad de veces o sumandos de la operación, el segundo indica el sumando repetido.

• Multiplicación De manera general la multiplicación se define así:

Si c,b € N, entonces c x b = b + b + b + b+ ... + b _ ^ c y ¿, s e denominan factores c veces

y a producto. En la multiplicación se puede emplear el símbolo • o x • División La división es la operación inversa de la multiplicación, porque se conoce un factor y el producto, se debe encontrar el otro factor. La multiplicación 14- = 252 ; puede reescribirse en forma de una división, así: 252 14 = 18, en este caso 252 es el d i videndo, 1 4 el divisor y 1 8 el cociente.

TAUL6SR Multiplicación y división de números naturales O

1 1. Escribe falso o verdadero según corresponda. Justifica la respuesta.

a. 5 4 - 1 2 8 = 6 912 b. La mitad de 1 568 986 es 786 493 c. 407 904 ^ 28 = 1 4 568 d. El triple de 156 894 es 478 682

Completa la tabla.

b a-b

264 132 34 848

216 27

768 3

1 170 24

26 568 324

a*b 2

Exacta Inexacta

Exacta Inexacta

Exacta Inexacta

Exacta Inexacta

Exacta Inexacta

Mitad de a El doble de b Tercera parte de b

132 264 44

Encuentra el número desconocido.

ó - = 72

b. 12 • = 6 0

c. -100 =1 200

d . 1 2 0 - = 1 2

e . 68 i = 34

i 360 - = 1 2 0

Completa los dígitos en las operaciones.

a . 3 2

x 3 c. 8 7

x 2 ti.

• 0 1

1 3 •

1 8 2

7 6

7 3

7 1 0

1 4 8 8

3 4 6 0 7 3 1 8

0 2 1 3

Plantea multiplicaciones o divisiones según el caso y completa las proposiciones.

a , La tercera parte de 156 es

b. La mitad de 250 es

C. El doble de 52 aumentado en 4 es

d . La mitad del doble de 50

e , El triple de la mitad de 8

f 6 , La distribuidora de carcasas para celular recibió $ 1 766 730 por concepto de las ventas de abril.

a . Si se vendieron 987 unidades, ¿cuál es el precio unitario?

b. En el mes de julio el valor de cada carcasa aumentó $ 50. La venta en este mes fue de 235 unidades, ¿cuánto dinero se recaudó en ¡ulio?

El cuadro representa la venta promedio de algunos artículos electrónicos en un día de lunes a viernes. Responde.

r 7 .

a.

b.

c.

d.

é.

f.

g.

Cantidad Cada A representa 8 unidades Costo de una unidad

Xbox

Cámaras de vídeo

A A A

A A

$ 800 000

« 1 258 000 \J\A \ 1 lu í U \ J \J w V l * J ^ / U

Celulares A A A A $ 250 000

La mitad del costo de cada artículo equivale a la inversión y la otra mitad es la ganancia. ¿Cuál es la ganancia diaria por las cámaras de video?

¿Cuánto dinero se recibe por ventas de Xbox en un día?

Los fines de semana se vende en promedio el triple de un día entre semana, ¿cuántos celulares se venden un sábado?

Si la mitad del costo de cada celular equivale a la inversión y la otra mitad es la ganancia. ¿Cuál es la ganancia por las ventas de celulares el fin de semana?

En un día de promoción la ganancia es la cuarta parte del costo del artículo. ¿Cuál es la ganancia por la venta de tres Xbox en un día de promoción?

¿Cuántos artículos se venden un día de lunes a viernes?

¿Cuánto dinero se recauda en un día de ventas?

Y 8 . Observa las listas de precios en tres restaurantes y responde las preguntas.

f i e s t a uran te , 5 a n t a n d e r e a n o

Chivo $ 12 000

Tamales $ 5 600 santandereanos

Hormigas culonas $ 2 500

Chivo y tamal para niños a mitad de precio

O

ra x¡ o

ra O <D

C

ra >_

3

ra M CU

0 ¿

Ajiaco $ 9 500

Chocolate $ 3 500 santafereño

Hormigas culonas $ 2 500

Ajiaco para niños $ 5 300

Restaurante A n t i o q u e ñ o

Bandeja paisa $ 10 200

Mazamorra . . . $ 7 800

Arepa de Chócolo Arepa de Chócolo ...$ 2 800

Bandeja Paisa para niños a mitad de precio

/

a . Mauricio fue ayer con sus dos hijos a uno de los restaurantes y pagó $ 24 000, ¿a cuál restaurante fue?

b. Sandra pidió cuatro bandejas paisas y dos arepas de chócolo, ¿cuánto pagó?

c. Felipe fue al Restaurante Antioqueño con 23 compañeros del colegio y cada uno ordenó una arepa, si la cuenta se paga entre 1 ó de ellos, ¿cuánto paga cada uno? T

Descriptor de desempeño: / Analizar y solucionar problemas utilizando la multiplicación y división de números naturales.

»»*• Pensamiento numérico - variacional

Propiedades de la multiplicación

Para todo número natural la multiplicación cumple con las siguientes propieda

des. V a , b, c e N , s e tiene: • Propiedad conmutativa:

a x b = b x a

El orden de los factores no altera el producto, ejemplo:

15 x 30 = 30 x

450 = 450

• Existencia de elemento neutro:

a x 1 = 1 x a = a Al multiplicar un número natural por 1, el producto es el mismo número. El número 1 recibe el nombre de elemento neutro o módulo de la multiplicación, ejemplo:

5 320 • 1 = 1 • 5 320 = 5 320

• Propiedad asociativa: a x (b x c) = (a x b) x c

Al agrupar de diferentes formas tres o más factores, el producto no cambia, ejemplo:

12 x (3 x 10) = (12 x 3) x 10 12 x 30 = 36 x 10

360 = 360

• Propiedad anulativa:

o x 0 = 0 x o = 0

Al multiplicar un número natural por cero, el producto es cero, ejemplo:

3 7 8 5 - 0 = - 3 7 8 5 = 0

• Propiedad distributiva de la multiplicación o división con respecto a la suma o resta

a x ( b + c) = a x b + a x c

Al multiplicar un número por una suma, da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y luego sumar cada producto, ejemplo:

6 • ( 4 + 3 ) = ( 6 • 4 ) + ( 6 • 3 )

= 24 + 18

= 42

(18 + 6 ) - 3 = ( 1 8 - 3 ) + ( 6 - 3 )

= 6 + 2

= 8

O TALL6R Propiedades de la multiplicación O o ° %>> 1. Completa el espacio.

a . El elemento neutro o módulo de la multiplicación es el .

b. En la propiedad al cambiar el orden de los factores el producto no cambia.

C. Al multiplicar un número natural por el el producto es cero. d . Al agrupar de diferentes formas tres o más factores, el producto no cambia, hace

referencia a la propiedad . e. Al multiplicar un número natural por el el producto es el mismo

número.

7 2. Escribe falso o verdadero según corresponda. Justifica tu respuesta con ayuda de las propiedades estudiadas.

a . 3 452 x 0 = 3 452 e . i x 0 = 0 b. 56 253 x 1 = 56 253 i 9 038 x 1 = 9 038 c. (25 x 15) x 10 = 25 x (15 x lO ) 9- 0 x 65 378 = 0

d . 563 x 48 = 48 x 563 h. 0 x 1 = 0

fh») 3. Determina la propiedad que se aplicó y escríbela en el espacio.

a- 264 x 35 x 10 x 20 x 1 = 264 x 10 x 35 x 20 x 1 = (264 x 10) x (35 x 20) x 1 = 2 640 x 700 x 1 = (2 640 x 700) x 1 = 1 848 000 x 1 -1 848 000

b. 1 245 x 6 473 x 0 x 1 564 x 1 546 = 1 245 x 6 473 x 1 564 x 1 546 x 0 = (1 245 x 6 473 x 1 564 x 1 546) x 0 = 0

c. 1 x 0 = 0 x 1 = 0

f„» 4 . En las siguientes multiplicaciones se ha cometido un error. ¿Cuál es? Corrígelo.

a . 4 352 x 962 x 10 x 0 = 4 352 x 0 x 962 x 10 = (4 352 x 0) x (962 x 10)

= 0 x 962 = 0

b. 34 x 421 x 11 x 10 34 x 11 x 421 x 10 (34 x 11) x (421 x 10)

374 x 4 210

157 454

Federico el lunes compró cinco cuadernos a $ 2 000 cada uno, y el martes, tres lápices a $ 300 cada uno. Su hermana tenía que realizar una compra igual: ella compró primero la misma cantidad de lápices al mismo precio y luego los cuadernos en la misma cantidad e igual precio.

o . ¿Cuál fue el valor de los artículos comprados por Federico?

b. ¿Cuál fuel el valor de los artículos comprados- por la hermana de Federico?

c. ¿Federico y su hermana gastaron igual cantidad de dinero? Justifica tu repuesta.

Marcela para su café internet ordena cinco pedidos de tarjetas prepago de $ 1 0 000 cada una, un pedido es de 20 tarjetas.

a . Completa la multiplicación para calcular el valor de los pedidos.

5 • ( • ) b . Escribe otra forma de calcular el valor del pedido usando la propiedad modulati-

va.

c. Escribe otra forma de calcular el valor del pedido utilizando la propiedad asociativa.

Encuentra los números desconocidos aplicando la propiedad distributiva y resuelve las divisiones o multiplicaciones.

a . 1 000 +

(1 000 H- 2) +

+ 80 + 2) - 2 =

| -s- 2) + ( 8 0 H - 2 ) + (2 + 2)

200 + 1 I + 1 =

( + 2 4 + 9

* 3) + (

10 +

) * 3 =

3) + (9 + 3 ) + (3 + 3) =

+ 3 + 1

c. 5 - f

( 5 - ;

+ 8 +

i + (5 - ;

+ 3)

+ .(5- + (5-3)

10 + + 15 + = 80

d . (8 + | | +1 | + 4) • 12 =

= (8 • 12) + ( | | • 12) + ( 5

= I + 120 + 6 0 +

+ 12) =

= 324

8. Cada n ú m e r o del sistema decimal tiene una d e s c o m p o s i c i ó n s e g ú n su valor posicional; por ejemplo, 4 596 = 4 000 + 500 + 90 + 6. Utiliza la propiedad distributiva para calcular la mitad y el doble de cada n ú m e r o , en lo posible realiza el proceso empleando c á l c u l o mental.

Mitad

4 596 +• 2 = ( 4 000 + 500 + 90 + 6 ) - 2

= ( 4 000 - 2 ) + ( 500 - 2 ) + ( 90 * 2 ) + ( 6 - 2 )

= 2 000 + 250 + 45 + 3 = 2 298

Doble

4 596 x 2 = ( 4 000 + 500 + 90 + ó ) x 2

( 4 000 x 2 ) + ( 500 x 2 ) + ( 90 x 2 ) + ( 6 x 2 )

8000 + 1 000 + 180 + 12 = 9 192

a . 840 c. 930 e. 456 g. 1 560

b . 650 d . 658 i 328 h . 2 458

Y 9. Hoy asistimos al museo Siglo XIX y XX. Cada n i ñ o p a g ó $ 8 000 y cada adulto el doble de lo que p a g ó cada n i ñ o .

En la taquilla h a b í a la siguiente tabla de precios, c o m p l é t a l a .

Aplica la propiedad distributiva y responde:

Cantidad de boletos para adulto 1 2 3 10 20 50

Precio

Cantidad de boletos para niño 1 2 3 10 20 50

Precio

o. ¿ C u á n t o dinero se paga por los boletos de trece adultos y v e i n t i d ó s n i ñ o s ?

b. Si se paga con $ 150 000, ¿es posible comprar las entradas de doce n i ñ o s ? Justifica tu respuesta.

c. Teniendo en cuenta la s i t u a c i ó n , inventa una pregunta cuya s o l u c i ó n sea posible empleando la propiedad distributiva.

Descriptor de desempeño: / Identificar y aplicar las propiedades de la multiplicación en la solución de situaciones problema.

i » * Pensamiento numérico - variacional

Situaciones problema

Uno de los carros más veloces del m u n d o es el BUGATTI V E Y R O N 16.4, que desarro l la una v e l o c i d a d de 4 0 7 k m / h . ¿Cuántos kilómetros recorre en cuat ro horas?

Datos: (información útil para resolver el p rob lema)

4 0 7 kilómetros en una ho ra .

Pregunta: (¿Sabes a qué quieres l legar? ¿Hay suficientes datos? ¿Hay información extraña?)

¿Cuántos kilómetros recorre en cuat ro horas?

Estrategia y ejecución: (una estrategia se ent iende c o m o los pasos para l legar a una m e t a ; en la solución de s i tuaciones pueden ser un d i a g r a m a , resolver una o varias operac iones , usar c o o r d e n a d a s , etc.)

En este caso la estrategia es mul t ip l icar 4 0 7 por 4 .

4 0 7 • 4 = 1 6 2 8

Respuesta: recorre 1 6 2 8 km en cuat ro horas.

Examine la solución obtenida

¿Puedes c o m p r o b a r la respuesta, es a c o r d e c o n la pregunta p l a n t e a d a ? , ¿puedes obtener el resul tado por un c a m i n o d i ferente?, ¿puedes usar el resultado o el p roced im ien to para resolver ot ro p r o b l e m a ?

Para so luc ionar una s i tuación p r o b l e m a se debe tener en cuenta los datos y la p r e g u n t a , con esta información se dec ide la estrategia para resolver la pregunta p l a n t e a d a , no s iempre es una operación, en a lgunos casos puede servir una representación gráfica, d i b u j o , un esquema u ot ra her ramienta.

TAULGR Situaciones profcl Y 1, Escribe una pregunta para c a d a e n u n c i a d o y luego p lan tea , en tu c u a d e r n o , el p r o c e d i

miento requer ido para resolver las s i tuaciones.

a . A lba compró 17 paquetes de dulces para la sal ida de c a m p o de g r a d o sexto. C a d a paquete tenía 12 un idades . Al f inal del día q u e d a r o n 8 d u l ces.

b. C lar i ta t iene una fábrica de cuentos en la que se p r o d u c e n al año 1 7 0 cuentos clásicos, 6 4 0 de Bob Esponja y 2 5 0 de los padr inos mágicos. El costo de c a d a l ibro es $ 5 0 0 0 .

46

c. Lupita tiene ahorrados $ 430 000. Ella quiere comprar dos muñecas, cada una vale $ 185 500.

y 2 . Plantea y resuelve una operación acorde con la información dada. El número desconocido represéntalo por una incógnita.

La suma de dos números es 45 386 ; si uno de los sumandos es 1 2 456, calcula el otro sumando.

La suma de tres números naturales diferentes es 8. ¿Cuál puede ser su producto?

¿Cuál es el menor número de tres cifras, cuya suma digital es 27?

¿Cuál es el número cuyo triple es 60?

El producto de dos numerases 1 28. Si uno de los factores es 32, encuentra el otro factor.

Mario tiene el triple de la edad de su hijo. Si la edad de Mario es 45 años, la edad del hijo es:

La diferencia de la edad de Carolina y Ana María son dos años. Si Carolina es la mayor y tiene 1 6, la edad de Ana María es:

La tabla muestra el área y la población aproximada de los continentes. Responde las preguntas 3 a 6 con base en ella.

Continente Área (km2) Población

África 30 370 000 890 000 000

América 42 330 000 890 000 000

Asia CTi irrtrto

43 810 000 1 n 1 fin nnn

3 800 000 000 71 n nnn nnn

turupd

Oceanía

I U ! OU UUU

9 010 000 I ÍU UUU UUU

33 552 994

y 3 . ¿Cuál es el área total y la población total de los cinco continentes?

a . Área total

b . Población total

y 4 . Encuentra la cantidad de población que le falta a cada continente para obtener la población total.

a . África d . Europa

b. Asia e . Oceanía

c. América

y 5 . Teniendo en cuenta la información registrada en la tabla anterior, responde las preguntas.

a . ¿Cuál es la cantidad de kilómetros cuadrados que le debo sumar al área de Oceanía para igualar el área de Asia?

b. ¿Cuántos kilómetros cuadrados debo restar al área de África para igualar el área de Europa

c. ¿Qué cantidad debo restar de la población de América para igualar la población de Europa?

d . ¿Qué cantidad debo restar de la población de Asia para igualar la población de Europa y Oceanía juntas?

e . ¿Qué población debo sumar a la población de Asia para igualar la población de África y América ¡untas?

f. ¿Cuántos kilómetros cuadrados debo restar del continente con mayor área para igualar al continente con menor área?

6. Escribe la letra correspondiente.

En 1 945, el norteamericano Percy Le Barón Spencer patentó el microondas y en 1967 salieron los primeros de uso doméstico. En 1901 apareció la primera lavadora creada por Alva Fisher.

a . Años transcurridos desde la patente del microondas hasta la aparición del primer uso doméstico.

b . Años transcurridos desde la patente hasta el 2009.

c. Años transcurridos desde la aparición del primer uso doméstico hasta el 2009.

d . Años transcurridos desde la aparición de la lavadora hasta el 2009.

( ) 42 años ( ) 108 años ( ) 64 años ( ) 22 años

Descriptor de desempeño: / Analizar y solucionar situaciones problema aplicando las operaciones básicas entre números naturales.

• Conceptos básicos de geometría

El museo Vitro Design, en Suiza, es una de las maravillas de la arquitectura m á s importantes del siglo XX y XXI. El museo se c o n s t r u y ó con modernas t é c n i c a s de i n g e n i e r í a , lo que permite al espectador apreciar muchos elementos fundamentales de g e o m e t r í a y d i s e ñ o .

Clave matemática

En g e o m e t r í a encontramos algunos conceptos b á s i c o s que no tienen d e f i n i c i ó n , por esta r a z ó n reciben el nombre de ¡deas primitivas; sin embargo, podemos tener una n o c i ó n de ellos a partir de las formas de nuestro entorno.

Concepto Idea Dibujo Notación El punto no tiene longitud, Un punto se denota con una ni ancho, ni grosor. La idea igy letra mayúscula.

Punto de un punto es la marca \ que deja un lápiz en un V .B papel. .B

Una recta se denota con una letra minúscula o una línea con flechas en sus

extremos sobre el nombre de dos puntos por los

cuales pasa.

Recta

La recta no tiene ancho, ni grosor, ni extremos. La idea

de recta es la línea que pasa por dos puntos.

A < > m B > >

Recta m Se lee recta m

IB

Se lee recta que pasa por los puntos A y 8

Los puntos que se encuentran en la misma recta se llaman puntos colineales.

Plano

El plano no tiene ancho, ni grosor. La idea de un plano es una hoja de papel lisa. Tres puntos que no están en la misma recta determi

nan un plano.

.A

C

Se denota nombrando los puntos que están conteni

dos en él.

Clave matemática

En cuanto a las rectas encontramos las siguientes definiciones.

Nombre Definición Dibujo y notación

Segmento de Es un trozo de recta que recta tiene principio y fin.

Un segmento se denota con una línea sin flechas en sus extremos sobre el nombre de dos puntos

de sus bordes.

B

Se lee segmento AB

Semirrecta o rayo E s u n t r o z o d e r e c t a ^ u e

tiene principio, pero no tiene fin.

Una semirrecta se denota con una línea con una flecha sobre el punto por el cual comienza la recta y un punto

por donde pasa.

C D

CD

Se lee semirrecta que empieza en C y pasa por D

Rectas intersecantes

Rectas perpendiculares

Son dos rectas que tienen un punto en común, es decir, se unen en un

punto.

Son dos rectas intersecantes que forman un

ángulo recto (90°).

Se lee rectas p y q intersecantes

Y

a-Lb

Son aquellas rectas que no tienen puntos en co-Rectas paralelas , . , . . ^ mun. Las rectas paralelas

nunca se cruzan.

m

m II n Se lee recta m paralela a recta n

O TALLER Conceptos básicos de geometría O o ° 1» Traza rectas que pasan por los puntos que se nombran con letras m a y ú s c u l a s .

a . . p b. • A c. . Ñ

. Q . 8 . N

. M

f..)) 2 . En las i m á g e n e s , nombra y re t iñe con verde los segmentos que forman el contorno y con rojo los puntos de i n t e r s e c c i ó n de los segmentos.

fw>* 3 . En los enunciados escribe falso o verdadero, s e g ú n corresponda.

ci, La pantalla de un computador es un ejemplo de plano.

b. Un mouse no es un ejemplo de una figura plana.

c. Una canica es un ejemplo de una figura plana.

d. La u n i ó n de dos puntos determina un plano.

e . La u n i ó n de tres puntos determina un plano.

f. Tres rectas que se cortan entre sí determinan un plano.

1 4 . Dibuja en tu cuaderno utilizando los instrumentos adecuados.

a. Traza y denota la recta que pasa por dos puntos: C y D.

b. Traza y denota el segmento que comienza en un punto O y finaliza en un punto P.

c. Traza y denota la semirrecta que comienza en un punto C y pasa por un punto 8.

d. Traza dos semirrectas que comiencen en un punto M.

e. Traza tres rectas que pasen por un punto Z.

f. Construye una figura con tres segmentos.

g . Construye una figura con cinco segmentos.

;,i)í 5 . Escribe falso o v e r d a d e r o , según c o r r e s p o n d a .

a . Una antena de televisión es un e j e m p l o de rectas intersecantes.

b. Una cruceta es un e j e m p l o de rectas intersecantes.

c . Los lados opuestos de un iPod no son intersecantes.

d . En un asterisco se encuent ran rectas intersecantes.

i- El número c inco en el Sistema de Numeración Romana es un e j e m p l o de rectas intersecantes.

f. En el número diez en el Sistema de Numeración Romana no se observan rectas para le las .

y 6 . Obse rva la f igura y luego so luc iona los ejercicios. Ten en cuenta q u e puntos col ineales son los que se encuent ran en una misma recta.

a . M e n c i o n a tres rectas.

b. M e n c i o n a cuat ro g rupos de puntos col ineales

c. M e n c i o n a dos g rupos de puntos no col ineales

d . M e n c i o n a tres segmentos.

e . M e n c i o n a tres semirrectas.

f. M e n c i o n a los pares d e rectas p a r a l e las que se encuent ran en la f igura

g . M e n c i o n a dos parejas d e rectas intersecantes.

? 7 . Da dos e jemplos de c a d a definición.

a . Rectas para le las

b. Rectas intersecantes .

c . Puntos col ineales

d . Puntos no col ineales

e . Semirrecta

f. Segmento

I H

}.,» 8 . Determina si las rectas de cada imagen son paralelas, horizontales, verticales o diagonales.

9 . Dibuja con regla tres rectas paralelas a la recta dada de tal forma que pasen por tres países y una recta perpendicular.

Descriptor de desempeño: / Identificar y establecer conceptos básicos de geomet r ía re lac ionándolos con mi entorno. 53

««• Pensamiento métrico - geométrico

Ángulos wmmmmmmmmmKmmmmmmmmmmmamm

Uno de los inventos más importantes del siglo XX fueron los robots, algunas de estas máquinas simulan la estructura humana. El robot de la imagen fue fabricado por Toyota, para que este alcance la corneta con el brazo derecho, debe girarlo un cuarto de vuejta. Si el brazo se encuentra en posición vertical y gira un cuarto de vuelta contrario a la forma como giran las manecillas del reloj, el brazo robótico habrá realizado una rotación de 90 grados. El codo es el vértice y los lados son los brazos. Empleando los ángulos se programa internamente el robot para que realice giros en sus extremidades.

Clave matemática

Para nombrar un ángulo se marca y nombra sobre cada lado un punto.

El ángulo se puede nombrar como <ABC o <CBA, se lee ángulo ABC o ángulo CBA, respectivamente, es decir, que la letra que nombra el vértice quede en el centro. Algunas veces se puede nombrar mediante la letra que corresponde al vértice o a un número.

.La medida de la amplitud de un ángulo se realiza empleando como unidad el grado sexagesimal, que equivale a la trescientos sesentava parte de un giro. La medida del <A8C se escribe m<ABC = 45° .

O TALLGR Ángulos O o

JQfP El reloj de cristal de cuarzo se desarrolló en 1929. w ¿, Estefanía y su primo Fernando tienen una cita en el centro comercial a las

i p 3:00 p.m. A las 4:1 0 p.m. quieren ir a la heladería y a las 5:55 p.m. a cine, pero, a las 8:10 p.m. deben estaren casa. Ellos llevan un reloj de cuarzo.

a, ¿Qué horas aparecen en la situación anterior?, represéntalas en un reloj de cuarzo.

b . ¿Cuál es la medida de los ángulos formados por el horario y el minutero a las horas mencionadas en la situación? El lado inicial del ángulo será el horario y recuerda que la medida de un ángulo se realiza al contrario de las manecillas del reloj.

2, O b s e r v a la clasificación de ángulos. M i d e los ángulos y l u e g o clasifícalos según su m e d i d a .

Los ángulos se clas i f ican e n :

Ángulo a g u d o m e n o r de 9 0 °

Ángulo recto de 9 0 °

Ángulo obtuso mayor de 9 0 °

Ángulo l lano de 1 8 0 °

Ángulo c o m p l e t o de 3 6 0 °

a . c.

3. Const ruye los ángulos en el c u a d e r n o y clasifícalos según su m e d i d a .

m<MFR = 35 , m<AGP = 128* , m<JNR = 47 , m<MPR = 53 , m<GJR = 27*

4. C o m p l e t a las expresiones usando las pa labras recto, a g u d o u obtuso ,

a . Un ángulo de 5 3 ° es:

b. El ángulo que cor responde a la m i tad de un ángulo l lano es:_

c . Un ángulo de 1 2 8 ° es:

y "i. Dos ángulos son complementarios si la suma de las medidas es 90° y dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas esl 80°. Completa la tabla:

Ángulo 57° 123° 12° 39°

Complemento 48° 27° 25°

Suplemento 63° ' 153°

•f El día 1 7 de diciembre de 1903 se realizó el primer vuelo propulsado por motor. Artefacto elaborado y probado por los hermanos Wright La estética de los aviones ha cambiado con el paso del t iempo, para ganar velocidad y seguridad en el vuelo.

Nombra por lo menos diez de los ángulos que se encuentran en la figura.

¿Cuál es la amplitud de los ángulos ¿AM., ¿GFJ, ¿CDF, ¿JKLy ¿KJL .

¿Cuáles ángulos de la figura son obtusos?

d . ¿Cuáles ángulos de la imagen son rectos?

6 . En la figura hay cuatro parejas de ángulos suplementarios, ¿cuáles son?

Los ángulos que tienen un lado en común se denominan adyacentes. Ejemplo: <A8C es adyacente a <C8D, encuentra otras cuatro parejas de ángulos adyacentes.

7, Mide con el transportador los ángulos. Escribe en cada | °| la respuesta. G

Pensamiento métrico - geométrico

Unidades de tiempo y longitud El 21 de julio de 1969, Neil Armstrong realizó el primer paseo a la Luna, la duración fue de 9 100 segundos. Como vehículo de lanzamiento se utilizó el Saturno V que tenía 1 1 dam de altura. Teniendo en cuenta que una hora tiene 60 minutos y un minuto 60 segundos y que 1 dam = 10 m, determina las horas y minutos que demoró el astronauta en la Luna y halla la altura del Saturno V en metros. Realiza las operaciones indicadas.

Las operaciones son: (9 1 00 + 60) + 60 y 1 1 x 1 0

Tiempo caminata lunar : Altura Saturno V J71.

El tiempo y la longitud son magnitudes, es decir, son cualidades que se pueden medir. Las principales unidades que se utilizan para medir el tiempo son años, días, horas, minutos y segundos; y para medir longitudes se emplean kilómetros', hectómetros, decámetros, metros, decímetros, centímetros y milímetros.

Existen algunas relaciones entre las unidades de tiempo y longitud.

T I EMPO

1 minuto = 60 segundos 1 bimestre = 2 meses

1 hora = 60 minutos

1 día = 24 horas

1 mes = 30 días

L O N G I T U D

1 trimestre = 3 meses

1 semestre = 6 meses

1 año = 12 meses

1 lustro = 5 años

1 década = 10 años

1 siglo = 1 00 años

1 milenio = 1 000 años

Kilómetro

km

Hectómetro

hm

Decámetro

dam

Metro

m

Decímetro

dm

Centímetro

cm

Milímetro

mm

1 000 m 100 m 10m 1

— = 0,1 m 10

l = 0,01 m

100 — - 1 — = 0,001 m 1000

O TALLGR Unidades de tiempo y longitud O o ° 1. Escribe falso o verdadero según corresponda. Justifica tu respuesta.

o. El periodo de gestación de un bebé es de dos trimestres.

b. El movimiento de rotación de la Tierra tiene una duración de 24 horas, es decir, 86 400 segundos.

57

c. Los periodos académicos en una universidad están dados por semestres. Una carrera profesional tiene una duración de 10 semestres, es decir, 30 trimestres.

d. En Colombia la mayoría de edad se adquiere a los 240 meses.

e . Un partido de fútbol se juega en 5 400 segundos.

2, Soluciona el siguiente crucinúmero.

a . Cantidad de lustros en un siglo.

b. Cantidad de horas en un bimestre.

C. Cantidad de décadas en un milenio.

d. Cantidad de milenios en 1 2 000 años.

e. Cantidad de siglos en tres milenios.

f. Cantidad de minutos en tres días.

g . Cantidad de meses en una década.

h. Cantidad de días en cuatro meses.

i . Cantidad de horas en 86 400 segundos,

j . Cantidad de semestres en veinticinco años,

k. Cantidad de horas en un mes.

I. Cantidad de horas en 1 4 400 segundos.

!»» 3, En los siguientes acontecimientos históricos de Bogotá, calcula los años transcurridos hasta el 2009 y exprésalos en décadas y meses.

a. En 1959 se inauguró el Aeropuerto Internacional El Dorado.

b. El edificio de Avianca se inauguró en 1 969 y se incendió el 23 de ¡ulio de 1 973.

c. En 1979 se inauguró el edificio más alto de Colombia, la Torre Colpatria con 198 m.

d. En 1 984 se inició la era de los cajeros electrónicos.

e . En 1 995 se inauguró el Parque Simón Bolívar y el primer festival de Rock al Parque.

I. En 1 998 se inauguró el centro interactivo Maloka.

g . En el 2000 se inauguró el sistema de transporte masivo TransMilenio.

4. Ordena, de mayor a menor, los siguientes años que se encuentran separados por un guión.

a , Cuatro siglos, dos décadas, tres lustros y dos años - un milenio, dos siglos, una década y dos años.

b. Dos milenios, ocho décadas y once años - veinte siglos, trece lustros y cuatro años.

h l "a

_b WSBSmm

91

_c

f WBBBtm s&mmmm HMH *~~

c. Cuarenta décadas, veinticuatro lustros y nueve años - quince siglos, dos décadas, tres lustros y seis años

d. Dos milenios, tres siglos, siete lustros y un año - veinte siglos, ocho décadas y doce años

|,)¡) 5. Completa los enunciados con la unidad de medida apropiada (kilómetro, decímetro, metro, centímetro o milímetro) para medir cada longitud. a . La altura de una montaña:

b. El ancho de un cuaderno:

c. El largo de una cancha de fútbol:

d . La altura de una persona:

e . La altura de una hormiga:

? 6. Responde.

a . ¿Cuántos centímetros hay en tres decímetros?

b. ¿Cuántos metros hay en cinco kilómetros?

c ¿Cuántos decímetros hay en un metro?

d. ¿Cuántos kilómetros hay en un metro?

e . ¿Cuántos milímetros hay en 3 kilómetros?

*f 7 . Realiza una correspondencia entre unidades de medida equivalentes.

a . 12,3 dam

b. 1,23 km

c. 12,3 cm

d . 123 hm

e . 1 230 hm

) 1 230 m

) 123 m

) 123 000 m

) 12 300 m

) 0 ,123 m

8. Completa la equivalencia con la unidad de medida en cada caso.

a . 350 km = 35 000

b. 324 hm = 324 000

c. 13,56 m = 0 ,1356

d . 154, 9 dam = 1 549 000

9. Escribe < , > o = , según corresponda.

a . 25 m

b. 38 dam

c. 32,1 km

d . 124 cm

3 dm

380 cm

32 145,7 hm

12,4 dm

1 0 . De acuerdo con la tabla, contesta las preguntas.

Medio de transporte Velocidad máxima

Moto Kawasaki ZZR 1400

312 kilómetros por hora

El carro más potente, costoso y veloz del mundo El BUGATTI VEYRON 16.4

407 kilómetros por hora

Tren bala 360 kilómetros por hora

Avión Lockheed L-1011 970 kilómetros por hora

I I .

a . ¿Cuál es la máxima velocidad del carro expresada en decímetros por hora?

¿Cuál es la máxima velocidad del tren bala expresada en metros por hora?

¿Cuál es la diferencia en metros por hora, entre la velocidad del avión y la del tren bala?

Transforma las siguientes unidades a la unidad solicitada.

53 m =

b.

a . b. 248 km =

m =

mm

lam = mm

c. 843 hm = m—

dam

cm d . 459 dam

cm = m

mm

Descriptor de desempeño: / Resolver situaciones problema usando conversiones entre las unidades de longitud.

««• Pensamiento métrico - geométrico

Existen algunas longitudes que se miden en unidades diferentes a las del Sistema de M e d i c i ó n Internacional (metro, k i l ó m e t r o , c e n t í m e t r o , etc.); por ejemplo, las pantallas de los televisores y de los computadores se miden en pulgadas (televisores de 2 0 " , 25" , etc.), la altura de los aviones y la profundidad de los pozos petroleros se miden en pies, las distancias de naveg a c i ó n m a r í t i m a se mide en millas; estas unidades son universales, es decir, son iguales en cualquier lugar del mundo.

La principal unidad de longitud en el sistema de m e d i c i ó n internacional es el metro; sin embargo, algunos países utilizan otras unidades, como las que conforman el Sistema de M e d i c i ó n Ing lés .

Las equivalencias entre las unidades del Sistema de M e d i c i ó n Internacional y el Sistema de M e d i c i ó n Ing lés son:

1 yarda (yd) = 91,44 cm

1 milla (mile) = 1,61 km

1 milla = 1 760 yardas (mile = 1 760 yd)

1 pulgada (in) = 2,54 cm

1 pie (ft) = 30,48 cm

Otras equivalencias son:

1 pie = 12 pulgadas (ft = 1 2 in)

1 yarda = 3 pies (yd = 3ft)

TALL6R Sistema de medición inglés O o ° 1, La tabla muestra las principales m o n t a ñ a s de A m é r i c a con su respectiva altitud en me

tros. C o m p l é t a l a realizando las respectivas conversiones.

Montaña

Monte Aconcagua

Ojos del Salado

Monte Pissis

Nevado de Huascarán

Volcán Llullaillaco

Cerro Mercedario

Cerro Yerupajá

Altitud (metros) Países

Altitud Altitud (centímetros) (kilómetros)

Pulgadas Pies Yardas Millas

6 959 Argentina

6 893

6 795

6 746

6 739

Chile Argentina

Argentina

Perú

Chile Argentina

6 720 Argentina

6 617 Perú

60

Nevado e c

p . 6 542 Sajama

Bolivia

V 0 , C á n 6 440 Antofalla

Argentina

y*? 6 438 llimani Bolivia

y 2, En el municipio de Guatapé (Antioquia) se encuentra un lugar turístico l lamado "Piedra del Peñol", cuya altura máxima es de 200 m, su perímetro es de 770 m y la altura sobre el nivel del mar es de 2 137 m.

¿Cuántas pulgadas de diferencia hay entre la a tura máxima y el perímetro?

¿A cuántas millas se encuentra la "Piedra del Peñol" sobre el nivel del mar?

C . ¿A cuántos pies de perímetro tiene la "Piedra del Peñol"?

d . ¿cuántas yardas equivale la altura máxima de la Piedra?

y 3 . Un atractivo natural l lamado "Las piedras del Tunjo" se encuentra ubicado en el municipio de Facatativá (Cundinamarca). Consiste en un conjunto de rocas de arenisca de más de 1 5 m de altura que forman grutas o socavones de 50 o más metros de profundidad. Este atractivo se ubica a 2 585 m de altitud.

a . ¿Cuántas yardas mínimas de altura tienen las roc a s dfi a r e n i s c o ?

b . ¿Cuántas millas de altitud tiene "Las piedras del Ti mjr>"2

c , ¿Cuántas pulgadas mínimas de profundidad tienen Ins s o c a v o n e s ?

d . ¿Cuántos pies en total se tienen entre la altura de las rocas y la profundidad de los socavones?

c , ¿Cuántas pulgadas mínimas de profundidad tienen Ins s o c a v o n e s ?

d . ¿Cuántos pies en total se tienen entre la altura de las rocas y la profundidad de los socavones?

y 4 , En la ciudad de San Gi l , Santander, se encuentra ubicado "El Parque Gall inera!" a 98 km al sur de Bucaramanga; el parque está en una isla formada por el río Fonce y la quebrada Curití.

a, ¿A cuántas millas se encuentra ubicado "El Parque Gallinera!" HÉ* CI i r n p n i i r n r n n n n n n n c

J : :

U t i l o U I U C U U L U I U l 1 I U l í y U V ; .

b . ¿A cuántas pulgadas?, ¿a cuántos pies?

61

y 5 . A 50 km de Bogotá se encuentra una de las maravillas del mundo, la "Catedral de Sal" de Z ipaqu i rá , en la que se encuentra una cúpula desde donde se observa a 145 metros de distancia una cruz mayor de 1 6 metros de altura.

b.

c.

¿A cuántas pulgadas de distancia se encuentra la "Catedral de Sal" de la ciudad de Bogotá? ¿A cuántos pies de distancia se observa una cruz mayor de 1 ó metros de altura? ¿Cuántas yardas como mín imo tiene la cruz que se observa desde la cúpu la?

y 6. En el departamento de Cundinamarca, a 30 km al suroeste de Bogotá , se encuentra una cascada natural que recibe el nombre del "Salto de'Tequendama"; este salto cae desde una altura de 2 467 m sobre el nivel del mar ya 1 57 m forma la cascada sobre un abismo rocoso.

¿A cuántas millas del suroeste de Bogotá se encuentra el "Salto de Tequendama"? ¿A cuántos pies de altura cae el salto? ¿A cuántas pulgadas se forma la cascada sobre el abismo rocoso?

y 7 . En Bogotá se encuentra un cerro en el que descansa una imagen de Cristo que representa una de las etapas del vía crucis, este cerro recibe el nombre de "Monserrate" y tiene una altitud de 3 210 m sobre el nivel del mar. Desde allí es posible observar El Parque de los Nevados, que está ubicado a más de 300 km de este lugar.

a . ¿Cuántas yardas de altitud tiene el cerro de "Monserrate"?

b. ¿A cuántas millas de distancia se encuentra El Parque de los Nevados de "Monserrate"?

y 8. A 1 1 0 km de Bogotá ya 14 km de Tunja encontramos el "Puente de Boyacá" , que tiene una altura de 2 820 m sobre el nivel del mar; en este lugar se realizó una de las batallas de la c a m p a ñ a libertadora de Colombia.

a . ¿A cuántas millas se encuentra el "Puente de Boyacá" de la ciudad de Bogotá?

b. ¿Cuántos pies de altura tiene el "Puente de Boyacá"? c. ¿A cuántas pulgadas se encuentra el "Puente de Boyacá" de

la ciudad de Tunja? •MBa^^ea^ - .uriHM» - «k. . . xm&m

Descriptor de desempeño: / Identificar y establecer relaciones y diferencias entre las unidades de medición del Sistema Internacional y el Sistema Inglés en la

solución de situaciones problema.

>«• Pensamiento aleatorio

Recolección de datos l población, muestra y variables estadísticas

Para llegar a una conclusión acerca de un grupo o situación, es necesario realizar un estudio estadístico a partir de la recolección, análisis e interpretación

de los datos o variables.

Población: es un c o n j u n t o de ind iv iduos , objetos o medidas del cual se van a obtener los datos para ser anal i zados . C u a n d o la población es muy g r a n d e , se t o m a un sub-c o n j u n t o de esta l l a m a d o m u e s t r a .

Por e j e m p l o , si la población son los celulares que se encuent ran en C o l o m b i a , la muestra son los celulares de una c i u d a d de C o l o m b i a .

V a r i a b l e : es una característica q u e , c o m o su n o m b r e lo ind ica , c a m b i a de una s ituación o persona a ot ra . Estas características a lgunas veces son magn i tudes , es decir, son atr ibutos o cua l idades que p u e d e n ser med idos , en este caso se d e n o m i n a n v a r i a b l e s cuant i ta t ivas ; por e j e m p l o , la e d a d , el peso.

C o n t r a r i o a las cuant i tat ivas están las v a r i a b l e s cual i ta t ivas , que no a p a r e c e n en números y expresan una c u a l i d a d o gus to ; por e j e m p l o , el co lo r de los o jos , profesión, sexo, p r o g r a m a de televisión favor i to , etc.

TALL6R Recolección de datos O o ° 1 , C o m p l e t a el s iguiente c r u c i g r a m a ,

a . Subcon junto de una población.

tí, C u a l i d a d de los ojos que cor responde a una var iab le cual i tat iva.

N o m b r e que reciben las var iables que no se pueden medir.

C o n j u n t o de indiv iduos , objetos o medidas del cual se obt ienen los datos .

N o m b r e que reciben las var iables que se pueden medir.

C u a l i d a d de los panta lones que cor responde a una var iab le cuant i tat iva.

N o m b r e que recibe la característica de una situación o persona.

di

If

9t

63

I» 2 Teniendo en cuenta las siguientes poblaciones, escribe una muestra para cada una de ellas, a . Género musical preferido por los estudiantes de tu colegio.

b, Enfermedades que más se presentan a nivel mundial.

c . Cantidad de niños menores de 1 2 años que acceden a grado sexto en Colombia.

d. Cantidad de adolescentes que en tu departamento ingresan a la universidad.

Preferencia de las mujeres de Cartagena por una celebración.

Escribe si es necesario tomar una muestra de las siguientes poblaciones.

a . Cantidad de niños de tu barrio que tienen Xbox

b . Cantidad de empresas de celulares en Colombia

c . Color preferido por los niños de un jardín infantil

el Equipo de fútbol que prefieren los hombres colombianos

e. Cantidad de vehículos particulares en un barrio del lugar donde vives.

f. Cantidad de familias de Medellín que tienen computador en su c a s a -

Escribe falso o verdadero, según corresponda,

a . Una muestra es igual a su población

b . La población es mayor que la muestra

C. Todos los conjuntos requieren de una muestra —

eí. La muestra es un subconjunto de una población,

e. La población es un subconjunto de la muestra

Subraya las variables cualitativas en la siguiente lista:

Edad, peso, sabor de la gaseosa, color de los ojos, número de hermanos, talla, marca de celular, consumo de agua en litros, sabor del postre.

S 6. En tu cuaderno realiza la siguiente encuesta a diez personas que correspondan a una muestra de una población que elijas, empleando variables cualitativas y cuantitativas.

Nombre de la persona Edad ¿Qué postre prefiere?

c.

Helado

Gelatina

Dulce de fruta

Otro

No le gustan los postres

a . ¿Qué población escogiste? b. ¿Cuál es la variable cualitativa en la encuesta y cuál la cuantitativa? c. Según la encuesta realizada y al comparar los datos con tus compañeros, ¿las per

sonas de qué edad prefieren helado, gelatina y dulce de fruta? d . ¿Influye la edad en el gusto de los postres? e . En todas las poblaciones encuestadas en tu salón, ¿se obtuvieron las mismas res

puestas?

y 7. La siguiente información corresponde al consumo de teléfono de la familia Romero. Contesta las preguntas de acuerdo con la gráfica.

350 O 300 | 250 ¿o 200 O 1 5 0

<-> 100 50

0

133 A

CONSUMO DE TELEFONO

2 9 4

•O

259 264 276

L i l i MESES

4 O

voz | INTERNET

a . ¿Qué tipo de variables corresponden a voz e internet?,

b. ¿El mayor consumo durante los últimos seis meses corresponde a voz o internet? Justifica tu respuesta

c. ¿En cuál mes el menor consumo semestral supera al mayor consumo?

d . ¿En cuál mes se presenta un consumo mayor a 290? e. ¿Cuál es la diferencia entre el menor mes de consumo de voz y el mes de mayo?

f. Elabora una tabla que muestre el consumo total de voz e internet.

Descriptor de desempeño: / Resolver situaciones problema usando recolección de datos relacionados con el entorno.

Matemática I n t e r n e t sano

El mundo de hoy nos ha llevado a estar m á s cerca unos de otros y tener i n f o r m a c i ó n inmediata de lo que deseamos por medio de las nuevas t e c n o l o g í a s .

En internet tenemos muchas herramientas como: el correo e l e c t r ó nico, el messenger, facebook para hablar, compartir videos, tareas y documentos con nuestros amigos y amigas.

Internet es como una ciudad en la que puedes transitar por las calles, conocer monumentos y ¡ u g a r en un parque con tus amigos. Pero, así como hay peligros en la calle, gente que te inspira desconfianza, lugares sospechosos, t a m b i é n en internet hay grandes peligros que debes saber identificar.

Debes saber que es muy fác i l publicar una p á g i n a en internet, por eso mismo, hay muchas p á g i n a s creadas por delincuentes, cuyo contenido atenta contra la dignidad infantil y juvenil. Esas p á g i n a s son ¡ l ega les , porque su contenido es d a ñ i n o ; por eso debemos estar atentos, y si encuentras una p á g i n a de estas, lo ú n i c o que debes hacer es denunciarla en internet sano.

¿Cómo se denuncia? Es muy f á c i l , debes copiar la d i r e c c i ó n o URL de la p á g i n a sospechosa y entrar a www.internetsano.gov.co, o l lamara la l ínea gratuita 018000 912667.

Estas denuncias llegan al DAS o a la Pol icía Nacional, que luego e n v í a n al Ministerio de Comunicaciones el listado de direcciones de p á g i n a s ilegales. De esta forma, el Ministerio exige el bloqueo de estas p á g i n a s en Colombia para que no se puedan ver.

(fuente: http://www.colombiaaprende.edu.co/html/estudiantes/1 599/art ic le-73581 .html)

Veamos algunas recomendaciones que nos da el Estado colombiano a t ravés de su proyecto Internet sano, para viajar seguros en el ciberespacio.

Estos consejos son para protegerte en el ciberespacio, pero uno que nunca debes olvidar es dialogar con tus padres sobre las p á g i n a s que visitas, las personas con las que entras en contacto y, sobre todo, cuando te sientas amenazado u ofendido por alguien a t ravés de internet.

Nunca aceptes citas a ciegas o entables amistades con gente que has conocido por internet.

Nunca aceptes regalos en línea, podrían estar cargados de virus o material indeseable.

Competencias ciudadanas

( onvivencia v paz * Comprendo los riesgos y el cuidado que debo tener al manejar internet y las nuevas

t e c n o l o g í a s de c o m u n i c a c i ó n .

http://www.internetsano.gov.co

http://www.colombiaaprende.edu

Matemática ciudadana Actividades

1, Reúnete con tres compañeros del curso:

o. Realicen una cartelera en la que expongan otras recomendaciones para manejar de manera segura la red de internet.

b, ¿Por qué es importante saber algunas normas para navegar de manera segura en internet?

2, Comparte en clase la cartelera y comenta las respuestas dadas a la pregunta anterior.

3, Pregúntale a tus padres, ¿por qué es importante saber navegar de manera segura en internet? Anota estas respuestas y compárala con las de tus compañeros. ¿Qué elementos nuevos encontraste?

4, Datos estadísticos sobre internet.

(j Población mundial: I

6 4 9 0 697 060

Cantidad de usuarios en 1994: 3 000 000

Cantidad de usuarios en el 2000: 330 000 000

Cantidad de usuarios en el 2002: 560 000 000

Cantidad de usuarios en el 2006: 1 038 057 389

El buscador AlltheWeb.com tenía en el 2002 más de doscientos mil millones de páginas registradas.

Unos 69 millones de personas visitan semanalmente sitios pornográficos de la red, la tercera parte de ellos se encuentran en Estados Unidos y Canadá.

De acuerdo con un estudio, uno de cada cinco niños que utilizan internet han recibido proposiciones sexuales.

El 30% de los usuarios de internet en Colombia están entre los 12 y los 19 años.

Con base en los anteriores datos, responde:

o. Escribe en el sistema de numeración egipcio y romano, el número de usuarios de internet en 1994 y en 2006. ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de usuarios de internet entre 1 994 y 2006?

b . ¿Cuáles de los anteriores datos tienen un 3 en la posición de decenas de millón?

c. Escribe en cifras el número de páginas registradas que tenía el buscador AlltheWeb.com en el 2002.

d . ¿Cuántas personas en Estados Unidos y Canadá visitan semanalmente sitios pornográficos?

http://AlltheWeb.com

http://AlltheWeb.com

Conversión de números arábigos a números romanos con ayuda del computador

Excel es una hoja de cálculo muy útil, en la cual se puede realizar cualquier tipo de cálculo, conversiones, gráficas, conteos, etc.

Es importante tener en cuenta que la hoja de cálculo cuenta con columnas numeradas con letras mayúsculas y las filas con números; observa que en el cuadro de nombres se encuentra la celda que está seleccionada, en la gráfica corresponde a B3.

O Microsoft Excel - Librol : ¿ ] firthivo Bidón £er Insertar Eormato

<•«

A •B C 1 2 3 l I ; 4 5 6 7 , , . „

8

Vamos a escribir en la celda Al el primer número formado por dos cifras iguales, el 11 y en A2 el segundo, 22.

C Microsoft Excel -Librol ^ M P lrtswt<v

: _J w A _i • i -* « 1 : m — 3f ái

C? A . B [ _

X 3

11 22 K

X 3

11 22 K

5

E Microsoft Excel Libn

i VJ ftrchwo £duán

*• I A!

A B 1 11 2 22 3

Para continuar con los números hasta el 99, se seleccionan las celdas Al y A2 y se ubica el cursor sobre el cuadrado negro que se encuentra en la parte inferior derecha de la selección.

Con el cursor en esta ubicación, se desplaza manteniendo el click sostenido hasta completar el 99, al soltar el click, los números ya se habrán copiado.

C Microsoft Ixccl 1 inro l E3 Microsoft íxcel Librol

i 2] Sr**« t * w i s«r i r »

I J • J > J J < ~ : l ^ L J \ i J \ *

|- * ÉJ

A1 1 * 11 Al A 11

A ' B _L A B 1 11 1 11 2 2 2 2 2 2

3 3 3

4 • • 4 4

5 5 5 5

6 6 6 6

7 7 7 7

8 8 8 8

9 9 9 9

10 aJ 10 B 11

aJ 11 i f

l-1

1 2

Vamos a calcular el cuádruple de los anteriores números. En la celda Bl escribimos la siguiente fórmula: =A1 *4 y oprimimos enter, automáticamente nos aparecerá el cuádruple del valor digitado en A l , es decir, 44. Si se quiere, en lugar de digitar el nombre de las celdas, se da click en ellas. Observa que en la barra de fórmulas se muestra la fórmula dada.

fÜ? Microsoft E x c e l - l i b r o l

: á j frchrVO £dkson insertar £

i A 2M i TA- "*Á 1 i

A B c 1 111=A1*4 2 22 3 33 4 44 5 55 6 86 7 77 8 88 9 99 10 II 12

Excel Librol £cki6o i»- Insertar formato

A =A1*4

\ 1 111 44Í 2 22

33 4 44 5 55 6 66 *

8 88 9 99 10

h i

6 6

Para copiar la fórmula ubicamos el cursor en el recuadro y con click sostenido la desplazamos hasta la celda B9, se observará el cuádruple de los números copiados anteriormente.

Para calcular la suma de los últimos resultados, ubicamos el cursor en la celda

l lamado en Excel

1 11 44 2 22 96 3 35 132 4 44 176 5 55 220 6 $6 2S4 7 77 306 e N 352 9 99 396 10

Bl 0 y oprimimos autosuma; así obtendremos la suma de las celdas Bl a la B9; oprimimos enter y se nos mostrará el resultado.

B Microsoft Excel - Librol £ j archivo EcWon ¡¿er Insertar fiomwto Herramientas

SUMA fi. =SUMA(B1:D16B9) A B C 0

1 I T 44; 2 22 88 3 33 132 4 44 176 5 55 220 6 66 264 ¡ 7 77 308 8 88 352 •

9 99 396 1D |=suMA¡gflgJHS3! 11 | SUMA(númerol; [número2]¡ ,..) | 12 13

! Microsoft Excel - Librol

archivo £o5ctón 5¡er Insertar Eormato

B10 fit =SUMA(B1:B9) A B c

1 11 44 2 22 88 3 33 132 4 44 176 5 55 220 6 66 264 7 77 308 8 88 352 9 99 396

.10 I 1980 11

IÍ2l I 1

De esta forma se procede a realizar cualquier operación con ayuda de la hoja de cálculo de Excel.

Ahora, para convertir este resultado en número romano, nos ubicamos en la celda en la cual queremos ver la conversión y digitamos la siguiente fórmula: =NUMERO, ROMANO(B10;0) y oprimimos enter; esto quiere decir, que el valor encontrado en la celda Bl 0, en nuestro caso, la suma realizada, lo convertirá en número romano; el cero indica el estilo clásico para Excel. Es necesario conservar la escritura en mayúscula.

[ A .1 B 1 1 11 44

22 88 X 33 132

3 ML_ 176 55 220

6 SE 264 7 77 308 e 86 352

11 99 396 en 1960

m ra MCMLWX l _ l

Al oprimir enter, se mostrará el número romano.

Ahora, realiza el procedimiento anterior para los dígitos. No es necesario realizar todo de nuevo, únicamente digitar en la celda A l el número 1 y enter, en la celda A2 el 2 y arrastrar la serie como se realizó inicial-mente, observa cómo cambian automáticamente los resultados y la conversión.

ET Microsoft Excel l ibrol

Ü t* IPMrtw

• J ^ A 4 J J X *' *. :- - » JÉ

A.' * * 22 í \ A l B

1 1 • 2 el • 3 8' 132 4 44 176 5 66 220 6 66 264 7 77 308 e 69 362 9 99 396 10 1940 ' i 12 13

' i 12 13

F Microsoft fxcel Librol

S* tmut 1

: 1 * A ; . .j ~ t* ... i - . " n 1

A3 * : A 1 B

1 i 1 4 2 1 11 • 3 55' 132

X ! 44 176 66 220

fi 77 264 306

J 66 363 J 9) 396

!! 1660

!! M0CCCIX

j f i [ 1

Prueba de un idad

Contesta las preguntas 1 a la 4 con base en la siguiente información.

En la visita al Museo del Siglo XIX-XX, el 4 de mayo del 2009, la familia Marín disfruta del espectáculo central y del recorrido guiado que les muestra el au-diocasete compacto creado por Philips en 1963, el telégrafo desarrollado en diciembre de 1836 y las tarjetas perforadas inventadas por el estadístico estadounidense Hermán Hollerith en 1880, entre otros inventos.

Desde el desarrollo del telégrafo hasta la visita de la familia Marín han pasado:

Más de 1 70 años.

Más de 1 836 meses y menos de 3 846 meses.

Exactamente 1 73 años.

D, 1 833 meses.

2. La bisabuela de la familia Marín en el 2009 tendría el triple de años que el audiocasete compacto creado por Philips. La bisabuela nació en el año:

A . 1963 C. 1871

B. 1919 D. 1900

3. La diferencia de años entre el telégrafo y las tarjetas perforadas es:

44 años

B. 83 años

C. 171 años

D. 100 años

4. El invento más reciente de los mencionados en la lectura, es:

El telégrafo

Las tarjetas perforadas

C. El audiocasete

El audiocasete y las tarjetas perforadas

En el siguiente plano se observa la ubicación del Museo del Siglo XIX-XX:

5. En el plano se encuentran varios segmentos paralelos, dos de estos segmentos son:

AB1| AD

BC\\HE

HG || EF

D. HG || GF

En el plano los ángulos se pueden clasificar en agudos, rectos y obtusos. Uno de los ángulos obtusos es:

<HEF

<FGH

<ADC

D. <EFG

de unidad 7, En el plano dos segmentos intersecantes

pueden ser:

A, HE y HG C. DC y HG

ñ AB y DC D, BC y AD

S, En el plano del museo la medida del segmento AB es 43 cm. Teniendo en cuenta que 1 cm equivale a 1 m, el segmento AB mide: TOO

A . 4 300 m C. 4,3 m

B. 0,43 m 43 m

9. La altura de una persona en promedio es 1,60 m, esta medida en kilómetros equivale a:

A, 1,60 km 16,0 km

B. 0 ,00160 km D. 1 600 km

Contesta las preguntas 10 a 12 con base en la siguiente gráfica

VENTA DE CELULARES EN EL

CENTRO COMERCIAL

10. La tabla de datos que mejor representa la gráfica es:

3

Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

65 80 60 55 180


60 80 60 50 180


65 85 60 55 182


65 75 60 45 172

50 100 150 Venta de celulares

200

B.

I*

D

1 1 , Las variables empleadas en la gráfica son de t ipo:

Cualitativas

B. Contables

C. Tanto cuantitativas como contable

P, Cuantitativas

De la gráfica se puede afirmar que:

Se vendió igual cantidad de celulares en agosto y octubre.

B. En agosto se vendieron menos de la mitad de celulares que en diciembre.

Se vendieron más celulares en octubre que en agosto.

D. En diciembre se vendió el doble de celulares que en septiembre.

A

B

6 8 10 n 12

C

Teoría de números Potenciación, radicación y logaritmación

• Ecuaciones • Polígonos • Frecuencias y diagramas estadísticos

E l barr io

Colombia se encuentra divida en 32 departamentos, algunas ciudades se organizan por loca lidades y otras por comunas.

Bogotá con sus 20 localidades Cali con sus 22 localidades Medellín y sus 16 comunas

Popular Manrique

Gafad

En cada localidad se encuentra un centro comercial, una avenida principal y en la mayoría de los barrios colombianos, sin importar la ciudad, se halla cerca una iglesia, un parque con su zona infantil y área deportiva.

Las edificaciones en cada barrio varían según la época de construcción: las antiguas, de los años 50 aproximadamente, constaban de una o dos plantas o pisos y se empezaba a construir edificaciones de más de dos pisos. Hoy en día se encuentran construcciones similares, sin embargo, predominan los edificios de mínimo cuatro pisos.

Para la organización y la ubicación de los barrios y de cada una de las edificaciones se emplea el sistema de direcciones, formado por calles, carreras, diagonales, transversales y avenidas. Este sistema facilita el desplazamiento por las ciudades y la entrega de correspondencia.

Exploro los conceptos

¿Qué diferencia hay entre comuna y localidad?

? Menciona la quinta parte de las localidades de Bogotá.

Y 3 Menciona la cuarta parte de las comunas de Medellín.

%,)) Consulta cuántas localidades tiene la capital de tu departa

mento.

y El centro comercial de Girardot tiene cuatro pisos y en cada

uno de ellos, en promedio, hay cuatro locales de comidas.

¿Cuántos locales de comidas se encuentran en el centro

comercial? ? ¿Qué números son la suma de dos números cuadrados?

5, 10, 13, 17, 20, 29, 40 , 53 , etc.

Y 7 ¿Qué números son la suma de tres números cúbicos?

36, 73, 134, 225, etc.

Rincón

de ta historia

Diofanto (Siglo III d.C.)

Este matemático es cono

cido por ser el "padre del

álgebra" y por crear una de

las ramas de las mate

máticas que estudia las

propiedades y relaciones

de los números, denomina

da Teoría de los números.


Una hacienda cafetera produce en promedio semanal la cantidad de c a f é registrada en la tabla.

Días de la semana Lunes Lunes y

martes

Lunes, martes,

miércoles

Lunes, martes,

miércoles, jueves

Lunes, martes, miércoles, jueves,

viernes

Cantidad de café

55 kg 110 kg 165 kg 230 kg 285 kg

La cantidad de ca fé que se produce en la hacienda corresponde a los mú l t i p l os de 55 kg.

' l a t í c a

Un n ú m e r o natural "a " es múl t ip lo de otro n ú m e r o natural " b " , si existe otro n ú m e r o natural c que al multiplicarlo por b, se obtiene como producto a.

Por ejemplo, si a = 28, b = 14, luego 1 4 • • = 28, el n ú m e r o desconocido es 2, por tanto, 28 es m ú l t i p l o de 1 4.

Un n ú m e r o a es divisor o factor propio de otro n ú m e r o b, si a divide exactamente a b.

Por ejemplo, ó es divisor de 24 porque ó divide exactamente a 24.

Ten en cuen+a que: • El cero es múltiplo de cualquier

número. • Todo número es

múl+iplo y divisor de sí mismo.

• Todo número es múltiplo del número uno.

• I es divisor de cual" quier número.

O TALLER Múltiplos y divisores O o ° S~ 1 En la cancha de baloncesto del barrio todas las tardes juega balon

cesto el equipo de Camilo contra el equipo de Federico. El equipo de Camilo anota ú n i c a m e n t e canastas de dos puntos, mientras que el equipo de Federico solo encesta canastas de tres puntos.

a, ¿ C u á n t a s canastas necesita anotar cada equipo para obtener un empate de 24 puntos?

Si la diferencia en puntos fue uno a favor del equipo de Federico, ¿cuán tas canastas necesita anotar cada equipo?

C, Si el equipo de Federico obtuvo cuatro puntos m á s que el de Camilo, ¿cuán tas canastas a n o t ó cada equipo?

d . ¿A c u á l e s n ú m e r o s corresponden los m ú l t i p l o s de los puntos anotados por los equipos de Federico y Camilo?

La golosa es el juego de moda del barrio Diamante de la ciudad de Girardot, Cundinamarca. Una tarde llegaron a participar del juego 48 chicos, pero para poder jugar se tenían que formar grupos de igual cantidad de participantes.

¿Cuántas posibilidades hay para organizarse?

o. En cada posibil idad, ¿cuántos niños habría en cada grupo?

¿La cantidad de participantes en cada equipo corresponde a los múltiplos o a los divisores de 48? Justifica la respuesta.

Completa los espacios vacíos:

M, = {3,D,D,12 /15,18,21 /D...}

M D = {D,D,36,48A72, . . . }

^ = { • , 1 0 4 , 1 56,208A...}

d. Ma — {•,•,•, 72,•, 108,...}

DD = { l , 2 , 3 A 5 , 6 A l 2,15,D,n,n}

f« D 3 4 = { 1 , D A 3 4 }

g. f ^ = { l , 2 , D A K a }

Completa la tabla.

Número

Primeros diez múltiplos

diferentes de cero

Múltiplos mayores de

100 y menores de 160

• • • • • • •

Divisores

25 32 37 46

Encuentra los dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, ó, 7, 8, 9) que hacen verdadera cada proposición:

Múltiplo par de 3

b. Divisor de 81

Múltiplo de 2 y 8

d . Divisor de 137

Múltiplo

f. Impar de 1


a . Con los dígitos 1, ó, 8 y 9, ¿qué números de tres cifras diferentes y múltiplos de 1 3 se pueden formar?

b. Con los dígitos 1, 4, 5 y 8, ¿qué números diferentes de dos cifras y divisores de tres se pueden formar?

Escribe verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

a . Los múltiplos de un número son infinitos. ( )

b. El uno es divisor de algunos números. ( )

c. El 7 es divisor de 1 7 y 27. ( )

ci, 1 8 es m ú l t i p l o de 2 y del 9. ( )

111 es m ú l t i p l o de 3. ( )

Resuelve en el cuaderno.

Los conjuntos residenciales de edificios son viviendas comunes en las ciudades. El conjunto Platini comprende 15 bloques de apartamentos y en cada bloque hay 20 apartamentos.

a, ¿ C u á n t o s apartamentos hay en dos bloques, tres bloques, cuatro bloques, cinco bloques... 15 bloques de apartamentos?

b . Si en promedio en cada apartamento habitan tres personas, ¿ c u á n t a s personas habitan en todo el conjunto?

C, Para el d ía de los n i ñ o s se quiere organizar una fiesta en el conjunto para los 1 82 n i ños residentes, por ello se establece una cuota de $ 6 500 por apartamento. ¿ C u á n t o dinero se recauda en tres bloques de apartamentos?

d. El d ía de la fiesta asisten los 1 82 n i ñ o s y el animador dice: organicen grupos de 8 y quedan sin grupo 2 n i ñ o s . ¿Todos los grupos es tán formados por 8 n i ños? Justifica tu respuesta.

^ 9. En B o g o t á , los domingos y festivos se realizan c i c l ov ías . En uno de los puntos de la c i c l ov ía se r e ú n e n los domingos 205 personas para practicar deporte.

El instructor organiza a los participantes en grupos con m á s de un integrante, de tal manera que todos estén conformados por igual n ú m e r o de personas. ¿ C u á n t a s posibilidades hay para organizar los grupos y con q u é cantidad de participantes?

S Empleando los d í g i t o s del 0 al 5:

a . Escribe todos los n ú m e r o s de dos cifras m ú l t i p l o s de 3 que se pueden formar.

b . Escribe todos los n ú m e r o s de dos cifras m ú l t i p l o s de 5 que se pueden formar.

C. Escribe todos los n ú m e r o s de dos cifras m ú l t i p l o s de 2 que se pueden formar.

d . Escribe todos los n ú m e r o s de dos cifras m ú l t i p l o s de ó que se pueden formar.

S La edad de Felipe es el segundo m ú l t i p l o c o m ú n de 2 y 7. ¿ C u á n t o s a ñ o s tiene Felipe?

S 2* La edad de M a r í a es el primer m ú l t i plo c o m ú n entre 3 y 7. ¿ C u á l será la edad de M a r í a dentro de 5 a ñ o s ?

/ Identificar los múltiplos y divisores de un número para aplicarlos en la solución de situaciones problema.

» Pensamiento numérico - variacional

i' Criterios de divisibilidad mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

Clave matemática

Existen regularidades entre los números que nos permiten determinar cuando un número es divisible entre otro sin necesidad de efectuar la división. Estas regularidades se conocen como los criterios de divisibilidad, estos son:

• Divisibilidad entre dos: un número es divisible entre dos, si su última cifra es cero o par.

• Divisibilidad entre tres:, un número es divisible entre tres, si la suma de sus cifras (suma digital) es múltiplo de tres. Por ejemplo, 2 730: 2 + 7 + 3 + 0 = 1 2 ; como doce es múltiplo de tres, 2 730 es divisible entre tres.

• Divisibilidad entre cuatro: un número es divisible entre cuatro, si sus dos últimas cifras son cero o múltiplos de cuatro. 1 00, 32 124, 520 y 948 son algunos ejemplos de números divisibles entre cuatro.

• Divisibilidad entre cinco: un número es divisible entre cinco, si su última cifra es cero o cinco.

• Divisibilidad entre seis: un número es divisible entre seis, si es divisible entre dos y tres simultáneamente.

• Divisibilidad entre nueve: un número es divisible entre nueve, si la suma digital es múltiplo de nueve.

• Divisibilidad entre diez: un número es divisible entre diez, si su última cifra es cero.

En 1900, Bogotá tenía una superficie de 2 6 0 hectáreas. Vamos a averiguar cómo se puede repartir el terreno sin que sobren hectáreas

Como 2 6 0 es divisible entre dos, cuatro, cinco y diez, se puede afirmar que es posible repartir 2 6 0 en dos, cuatro, cinco y diez terrenos sin que sobre algún

espacio

Q TALLER Criterios de divisibilidad y números primos < Completa la tabla, escribiendo la última cifra del número dado para que cumpla la condición.

Número HHHHflHHHHflflflHHH Divisible entre Número Dos Cuatro Cinco Seis Nueve Diez

96_ 1 0 3 _

10 34

78 21

103 26_

76

Escribe verdadero (V) o falso (F), según corresponda. Justifica tu respuesta.

a . Todo número par es divisible entre dos

Todo número impar es divisible entre tres

C. Algunos números pares son divisibles entre cinco :

Algunos números divisibles entre cinco son divisibles entre diez.

, Todos los números divisibles entre tres son divisibles entre nueve

f. Todos los números divisibles entre nueve son divisibles entre tres

!. Todos los números divisibles entre tres son divisibles entre seis

Todos los números divisibles entre seis son divisibles entre tres

Completa el siguiente crucinúmero.

d_

h c e

f ¡1

i

b

i i a

Número de tres cifras iguales que es divisible entre nueve y cuya suma digital es 27.

b . Número divisible entre seis, mayor que 1 1 5 y menor que 1 25.

C. Número divisible entre nueve con cero decenas.

d. Número divisible entre dos, tres, cuatro, cinco, seis, nueve y diez, mayor que 7 1 95 y menor que 7 205.

e . Número de cifras diferentes divisible entre cinco, cuya suma d i gital es 1 8.

Número de tres cifras divisible entre tres y cinco, cuya suma d i gital es tres y con dos cifras iguales.

g. Número divisible entre nueve mayor que 1 040 y menor que 1 050.

h. Número de tres cifras iguales que es divisible entre seis, cuya suma digital es 1 8.

Múltiplo de siete que es divisible entre dos y tiene una decena.

¡, Número de tres cifras con suma digital igual a doce, divisible entre seis, con cero decenas y las centenas corresponden al doble de las unidades.

Escribe los divisores de los años en que ocurrieron diferentes acontecimientos en Bogotá. Ten en cuenta únicamente los criterios de divisibilidad.

a. El 6 de agosto de 1 538, Gonzalo Jiménez de Quesada fundó la ciudad de Bogotá

b. En 1 830 se disolvió La Gran Colombia

C. El acueducto de San Victorino fue inaugurado en 1803

d. En 1938 se realizó la construcción del campus de la Universidad Nacional :

y

En 1998 se inicia la ejecución del proyecto de construcción y dotación de centros educativos en zonas marginales

La información representa el número de establecimientos educativos de Bogotá del año 2001 al 2004.

Establecimientos educativos de Bogotá

2924 2549 ¿uuu

B Oficiales | Privados

2001 2002 2003 2004

Año

Escribe los números entre los cuales es divisible cada uno de los años de la información de los establecimientos educativos. Ten en cuenta los criterios anteriores.

2 0 0 1 -

b. 2002 .

2003.

2004_

Y" ' De acuerdo con la información anterior, contesta las preguntas.

a . En el 2 0 0 1 , ¿qué colegios oficiales o privados corresponden a un número divisible entre seis?

b . En el año 2002 , ¿qué colegios oficiales o privados corresponden a un número divisible entre cinco?

En el 2003 , ¿qué colegios oficiales o privados corresponden a un número divisible entre dos?

ci. En el 2004 , ¿qué colegios oficiales o privados corresponden a un número divisible entre cuatro?

El conjunto de los números primos es un subconjunto de

los números naturales formado por todos los números mayores que I que son divisibles, únicamente entre I y el mismo número, £\ número diferente de I no es primo se

denomina compuesto.

Escribe cada número como la suma de dos números primos y como la suma de dos números compuestos.

a . 32 = • + • 32 = • + • 28 = • + • 28 = • + • 40 - • + • 40 = • + •

c.

d . 124 = • + •

124 = • + •

Crucinúmero

u , Vertical: número primo mayor de 62 y menor de 70.

a c

b d

b. Horizontal: número compuesto mayor de 100 y menor de 130, divisor de 250.

C. Vertical: número primo impar divisor de 152.

Horizontal: número primo par.

Vertical: número compuesto mayor que 560 y menor que 630, divisor de 1 254.

Descriptor de desempeño: / Identificar los criterios de divisibilidad y aplicarlos en la solución de algunas situaciones.

Desc Hay dos fo rmas para d e s c o m p o n e r un número en factores p r imos ; po r e j e m p l o , descomponer el número 1 ó en factores pr imos ut i l i zando dos métodos.

Diagrama de árbol

16

A 8 x 2

A \ A

16 = 2 x 2 x 2 x 2

Algoritmo de descomposición

1 6 es divisible entre el factor primo dos.

16 8 4 2

2 = 8 2 = 4 2 = 2 2 = 1

4 veces

16 = 2 x 2 x 2 x 2 -i

4 veces

C l a v e r-í • .

Todo número c o m p u e s t o es igual al p r o d u c t o de dos o más factores pr imos. Esta afirmación se d e n o m i n a " T e o r e m a f u n d a m e n t a l d e la ar i tmét ica" .

Existen dos métodos para d e s c o m p o n e r un número en factores pr imos : el d i a g r a m a de árbol y el a l g o r i t m o de descomposición; para una a d e c u a d a descomposición es impor tante ap l ica r cor rectamente los criterios de div i s ib i l idad y la identificación de números pr imos.

O TALLER Descomposición de números en factores primos O O ° C o m p l e t a las descomposic iones en factores pr imos por med io del d i a g r a m a de árbol.

es, 4 0

4 0

A 4 x

2 x x x 2

b , 3 6 0 3 6 0

A / \ /\

. 3 . 2 .

A I I I . 2 . . . 5

A I I I I

79

150 150 400 400

15

A l\ . 3 . . 2

I \ / Y A J\ /\

(,,;•, Completa las descomposiciones en factores primos usando el algoritmo de descomposición.

840

840

840 =

c . 1 000

000 500 2

125 25 • 5

5

000

1500 500

3

5

1 500 _ 2 3

4410

4 410 —

4 410 =

3 3

? 3, Escribe en el paréntesis la letra correspondiente, teniendo en cuenta los números y su respectiva descomposición en factores primos.

a . 5 2 • 5 2

132 055

c. 2 2 • 3 2 • 5 2 • 7 2 • 11

d . 622 545

e . 2 4 • 3 2 • 5 3 • 7 • 11

i 1 830 125

( ) 4 8 5 100

( ) 1 386 000

( ) 5 • 7 4 • 11

( ) 5 3 - U 4

( ) 3 • 5 • 7 3 • 11 2

( ) 1 225

v Transcribe la si tuación con el mé todo de descompos ic ión en factores primos y encuentra el número respectivo.

Un barrio tiene cinco manzanas, cada una de ellas tiene cinco casas y en cada casa hay tres habitaciones.

b, En una ciudad hay cinco barrios, en cada uno de ellos hay siete casas y en cada casa hay tres habitaciones.

c En una manzana hay siete casas con siete habitaciones cada una y en cada habitac ión hay dos camas. • ,

; En un conjunto residencial hay once edificios con once pisos cada uno, en cada piso hay cinco apartamentos con tres habitaciones cada uno y en cada hab i tac ión hay dos camas.

i En una cuadra hay siete casas con tres pisos cada una, en cada piso hay tres habitaciones con dos camas cada una. La tabla corresponde a la cantidad de habitantes de cinco localidades de Bogotá . Realiza los ejercicios 5 al 8, teniendo en cuenta la in fo rmac ión .

Localidad Población

Antonio Nariño 110 000

Chapinero 122 491

La Candelaria 27 450

Puente Aranda 370 292

Teusaquillo 157 884

San Cristóbal 460414

* Realiza la descomposición en factores primos de la población de las siguientes localidades. a . La Candelaria t Teusaquillo

Antonio Nar iño Teniendo en cuenta las descomposiciones anteriores, contesta las siguientes preguntas. a . ¿A cuál localidad corresponde la descompos ic ión con mayor cantidad de factores

primos? b. ¿A cuál localidad corresponde la descompos ic ión con menor cantidad de factores

primos? c. ¿A cuál localidad corresponde la descompos ic ión que contiene un factor con suma

digital igual a siete? el ¿A cuál localidad corresponde la descompos ic ión que contiene un factor de dos cifras

iguales?

Descriptor de desempeño: / Aplicar la descomposición de números en factores primos en la solución de situaciones problema.

* Pensamiento numérico - variacional

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor Para calcular el m.c.m. de dos o más números se descompone cada número en sus factores primos, se expresa la descomposición como potencias, luego se multiplican los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. El producto corresponde al mínimo común múltiplo de estos números.

Calcular el m.c.m. (120, 80) =

Para calcular el M.C.D. de dos o más números se descompone cada número en sus factores primos, se expresa la descomposición como potencias, luego se multiplican únicamente los factores comunes con su menor exponente. El producto corresponde al máximo común divisor de estos números.

120 2 80 2 120 2 80 2 60 2 40 2 60 2 40 2 30 2 20 2 30 2 20 2 15 3 10 2 15 3 10 2

5 5 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1

120 = 2 3 • 3 - 5 80 = 2 4 • 5 120 = 2 3 • 3 - 5 80 = 2 4

m.c.m. (120, 80) = 2 4 3 • 5 = 240 M.C.D. (120, 80) = 2 3 5 = 40

Clave m atemática

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales es el menor número natural diferente de cero, múltiplo común de estos números.

El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números es el mayor número común divisor de estos números.

O TALLER Mínimo común múltiplo y máximo común divisor O O °

: 1. Escribe los diez primeros múltiplos de cada número y todos sus divisores en el lugar correspondiente.

My = {

^ 1 6 = {

c . ^ = {

M5 = { M 4 5 = {

f.

} } } }

D 7 = { D 1 6 = { D 2 = {

D 1 5 = {

D 4 5 = {

} }

¿Cuáles son los múltiplos comunes entre 7 y 2? ¿Cuál es el m.c.m. entre 7 y 2?

82

g . ¿Cuál es el m. c. m. de 1 5 y 45?

¿Cuál es el M.C.D. de 2 y 16?

i. ¿Cuál es el M.C.D. de 15 y 45?

Realiza la descomposición en factores primos, encuentra los números faltantes en las pirámides. El número superior corresponde al m.c.m. de los dos números que se encuentran en la parte inferior.

12

7 9 12 4 15 5 7 12

Realiza la descomposición en factores primos y encuentra los números faltantes en las pirámides. El número superior corresponde al M.C.D. de los dos números que se encuentran en la parte inferior.

18 12 14 21 42

Completa la tabla y realiza los procedimientos en el cuaderno.

a b c m.c.m. ( a , b )

m . c m . ( b , c )

m.c.m. (a, b, c)

M.C.D. (a ,b)

M.C.D. ( b , c )

M.C.D. (a, b, c)

2 3 6

4 '5 8

7 9 3

12 13 18

18 24 36

7 35 40

„;,,,; 5 . Encuentra los números desconocidos.

m.c.m. ( D y 20) =

. m.c.m. (1 2 y • ) =

60

36

M.C.D. ( • y 24) = 6

c M.C.D. (15 y D ) = 180

Dos números se denominan primos relativos, si el M.C.D. de los dos números es uno. ¿Cuáles de las siguientes parejas de números son primos relativos?

a . 24 y 41 i 24 y 4

b. 3 y 18 f. 8 y 19

6 y 9 g . 20 y 21

d. 33 y 38 h. 31 y 43

S Resuelve en tu cuaderno.

J Tatiana, Luisa y Kevin realizan una competencia de atletismo. Tatiana emplea cuatro •^o minutos en dar una vuelta, Luisa utiliza cinco minutos y Kevin tarda ocho minutos.

<fi\ %c' Si mantienen la misma velocidad por una hora, ¿en'cuántos minutos los tres pasan al tiempo por el sitio de partida?

Los padres de Camilo le permiten salir al parque cada ó días, y los padres de Sebastián lo dejan salir cada 5 días. Si hoy es 4 de mayo, ¿en qué fecha se encontra-

f/\ rán nuevamente en el parque?

Al salir de la ¡ornada escolar se reúnen en el parque 40 estudiantes de un colegio y 24 de otro, para contestar una encuesta sobre los derechos de los niños. El organi-

¿ zador reparte a los estudiantes en grupos con igual cantidad de estudiantes de cada •f ' colegio. ¿Cuál es el mayor número de estudiantes de cada colegio por grupo?

d 8 . Resuelve en el cuaderno las siguientes situaciones.

La torre Colpatria tiene 41 pisos y tres ascensores. El ascensor A se detiene cada tres pisos, el ascensor 8 para en los pisos pares y el ascensor C se detiene cada cinco pisos.

i, Si parten del sótano (piso 0), ¿en qué pisos paran los ascensores A y 8?

b . ¿En qué piso se encuentran por primera vez los ascensores A y 8, partiendo del sótano?

Partiendo del sótano, ¿en qué piso paran por primera vez los ascensores 8 y C?

Resuelve en el cuaderno.

Cada semana los proveedores de galletas surten la tienda con 15 paquetes de galletas de chocolate y 25 paquetes de galletas de vainilla.

a . Sonia quiere organizar el pedido en la vitrina y ubica en filas igual cantidad de paquetes de galletas de cada sabor. ¿Cuál es el mayor número de galletas que se pueden ubicaren una misma fila?

El pedido de galletas es entregado cada siete días y el de lecheritas cada 13 días. Si el 24 de julio entregan pedido los dos proveedores, ¿cuándo volverán a entregar pedido el mismo día?

Descriptor de desempeño:

• Solucionar situaciones cotidianas usando el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de un conjunto de datos.

• Potenciación ele* iQL^KjQSifis i s na t ir/a lc s

En mi barrio hay cinco manzanas con cinco conjuntos

residenciales cada uno. Cada conjunto tiene cinco edificios,

en cada edificio hay cinco pisos, en cada piso hay cinco apartamentos y en cada apartamento viven cinco personas, ¿cuántas personas viven en mi

barrio?

Para responder la pregunta es necesario realizar las siguientes operaciones:

• Cinco manzanas con cinco conjuntos residenciales cada una: 5 • 5 = 25 ; hay 25 conjuntos residenciales en el barrio.

• Cinco edificios en cada conjunto residencial: 25 • 5 = 1 25 ; hay 125 edificios en el barrio.

• Cinco pisos en cada edificio: 1 25 • 5 = 625 ; hay 625 pisos en el barrio.

•Cinco apartamentos en cada piso: 625 - 5 = 3 125; hay 3 125 apartamentos en el barrio.

• Cinco personas en cada apartamento: 1 25 • 5 = 625 ; hay 1 5 625 personas en el barrio.

5.5.5.5.5.5 En resumen, se realizaron los siguientes productos: > „ < = 15 625

6 veces

La anterior multiplicación puede expresarse como 5 6 = 1 5 625

La potenciación de números naturales es el producto de factores iguales; para todo

a, b, n € N.

a • a • a • a... • a = b; a" = b

O TALLER Potenciación de números naturales O o Completa la tabla.

Potencia

7' = 49

6 HHHHI •••••I

3

121

C o m p l e t a la t a b l a , ten iendo en cuenta los números c u a d r a d o s y números cúbicos.

. . 4 .

Base 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cuadrado perfecto

(segunda potencia)

Cubo perfecto

(tercera potencia)

C a l c u l a las operac iones y encuent ra el resultado en la sopa de números.

La qu inta potenc ia de c inco .

b . El c u a d r a d o de d o c e .

c, La sexta potenc ia de la mi tad de dos.

El c u b o de tres.

e. La tercera parte del c u b o de seis.

El d o b l e de la tercera potencia de d o c e ,

g . El c u a d r a d o de diez.

La mi tad de la cuarta potenc ia de cuat ro .

El c u b o de diez.

La décima potencia de uno .

Treinta e levado a la uno .

La cuarta potenc ia de diez,

m . Tres veces el c u b o de dos.

El c u b o de o c h o menos el c u a d r a d o de nueve.

ti. La qu inta potencia de diez,

o . El c u a d r a d o de c inco más el c u b o de tres,

p . El c u b o de dos más el c u b o de c inco .

Escribe las diez pr imeras patencias de diez y encuent ra una g e n e r a l i d a d para hal lar c u a l qu ier potenc ia de diez. ] : :

Un edif ico tiene cinco pisos, en cada piso hay cinco ascensores y cada ascensor tiene una capac idad para cinco personas. ¿Cuál es la capac idad total de los ascensores del edif icio?

0 1 3 5 7 9 0 0 2 4 6 0 1 0 8 3 0 1 3 3 5 9 9| 0 0 0 0 2 | 0 4 6 8 3 1 2 5 5 7 9 7 2 0 6 2 4 0 0 6 8 0 1

B 3 5 5 5 7 9 0 1 0 0 0 0 0 0 H 4 4 2 H 0 4 H 6 0 0 8 0 0 0 3 M 3 3 0 0 0 5 0 7 9 2 0 4_ 6 3 0 8 0 H 3 0 5 7 9 0 2~ 4 Q 1 0 0 0 0 0 6 2 "8 3 1 8 2 1 0 5 7 0 9 0 4 2 4 6 8 | 0 4 3 0 0 3 5 7 9 0 2 4 6 8 1 3 0 0 0 5 7 7 2 9 0 2 4 6 8 1 0 1

6 , Un comerc iante empacó cierta c a n t i d a d de choco lat inas en un camión, en el camión hay siete cargas , c a d a c a r g a cont iene siete cajas , c a d a ca ja t iene siete bolsas de c h o colat inas y c a d a bolsa t iene siete choco lat inas . ¿Cuántas choco lat inas se e m p a c a r o n en el camión?

7. Un centro comerc ia l t iene 2 0 0 locales, en c a d a uno de ellos ingresan aprox imadamente 2 0 0 personas al día. ¿Cuántas personas ingresan al centro comerc ia l durante 2 0 0 días?

8 6 Descriptor de d e s e m p e ñ o :

/ Aplicar la potenciación de números naturales en la solución de situaciones problema.

ropiedades de la potenciación

Producto de potencias de igual base.

Si a, m, n son números naturales

an-am = a n + m

2 3 • 2 2 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 2 5

Cociente de potencias de igual base.

Si a, es número natural, y n menor q u e m . n

n

2 3 2 • 2 • 2 = 2 3 _ 2 = , =

2 2 2 - 2

Exponente cero 1 5 1 5 3 - 3 = 1 5 0 = 1

15 3

Distributiva de la potenciación respecto a la multiplicación y a la división.

Si a, b y n son números naturales.

UJ b-

{a-b)n=a"-bn

(4^5 _ 4 4 4 4 4 _ 4 5

UJ 5 5 5 5 5 5 5

( ó - 7 ) 4 = 6 - 7 - ó - 7 . ó - 7 - ó - 7 = ó 4 - 7 4

Potencia de una potencia.

Si a , n, m son números naturales.

(a n ) m =o"'m

(2 4 ) 3 — 2 4 • 2 4 • 2 4 — 2 ' 2

TALLER Propiedades de la potenciació 1, Completa los espacios vacíos.

Producto de potencias de igual base.

23 • 2 4 • 2 2 • 2 = 2-2-2 -QOOD -2-2-2 = 2 73 .75 .72 = - 7 - 7 = 7 °

'• 1 3 3 - 1 3 - 1 3 3 = 3 • • £ ] = 13°

18 3 • 18 5 • 18 9 = 18°

e . 2 4 2 - 2 4 8 -24 3 = 24 '

Cociente de potencias de igual base

1 4 5 14.14.14.14.14 . 1 6 ' 2

= = 14 •• = • 143 14.14.14 1 ó 9

3 5 8 D ¡ 1 4 8 . , n

—- = =oD — - = 14° 3 5 5 1 4 3

5 1 6 • 2 7 ' 1 „ —- = =• * ——r=a 5 1 2 ••• 2 7 6

Distributiva de la potenciación con respecto a la multiplicación y la división.

\3 (24-1 7 ) 3 = (24-17 )- (OD)- (24-17 )

= • 0 0 0 0 0 (7 0 ) 8 = 7 8 - 3 4 ° = 0 0 0 0 1 7 0

: 2 4 a O 3

(15 O ) 4 = ( 0 7 ) - ( 1 5 0 ) - ( 1 5 0 ) - ( O D )

= 0 0 0 0 0 0 0 7 = 0 0 0 0 7 0 - 7 0

= 1 5 D O 4

o. v 2 3 y

O

v 2 3 y

5 f CP v 2 3 y

r9?

O I 1Q-110 23 0-23 0-23

• 5

Potencia de una potenc ia .

( 1 5 3 ) 2 = ( D 3 ) - ( 1 5 a )

- 1 5 a

( 2 7 5 ) 3 = ( D 5 ) - ( D 5 ) - ( 2 7 D )

= 2 7 a

(126 4) 5 =(D4)-(D4)-(D4)-(D4)-(D4) = D 2 0

(2Ó5 8 ) 1 2 = D D

Escribe cada número como el producto de factores primos y luego aplica las propiedades de la potenciación para expresar el número como el producto de potencias con factores primos.

12 5 =(3-2-2) 5 = 3 5 - 2 5 - 2 5 = 3 s - 2 10

o. 18 d . 5ó 4

b . 216 e , 1205

c. 70 9

Situaciones problema.

a . En el hospital de Pe re i ra se realizó un análisis sobre el crecimiento de una bacteria adquirida por los niños. Al iniciar el estudio hay 2 3 bacterias, a los diez minutos hay el cuadrado de bacterias del minuto anterior, a los siguientes diez minutos nuevamente el cuadrado de bacterias del anterior registro y así sucesivamente. ¿Cuántas bacterias hay a los 30 minutos de iniciado el estudio?

b . La gripe se transmite por medio de una bacteria. El crecimiento de la bacteria está dado por (4- D ) 5 ; • equivale a la edad de la persona, escribe como producto de potencias la cantidad de bacterias que crecen en una persona de tu edad.

C. Al tomar medicamentos se eliminan bacterias que afectan el cuerpo, la cantidad

Í 2 V

de bacterias eliminadas en un día está dada por — , al segundo día se eliminan

el cuadrado del día anterior, así sucesivamente. Emplea las propiedades de la po

tenciación para expresar la cantidad de bacterias eliminadas a los cuatro días. S~ J~~~~ En un conjunto residencial hay 20 torres con 20 pisos cada una; en cada piso hay 20

zonas de parqueo con 20 parqueaderos cada zona. ¿Cuántos parqueadero hay en el conjunto?

Expresa como producto de factores ¡guales las siguientes potencias.

a . 12 3 = ci. 2 8 =

b. 10 5 = . 7 5 =

c. ó 6 = 1 1 2 = ,

Expresa como potencia los siguientes productos.

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 =

1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 =

9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 =

1 5 x 1 5 x 1 5 x 1 5 x 1 5 x 1 5 x 1 5 = :

e . 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 =

f • 5 x 5 x 5 " - -

3 x 3 x 3 x 3 x 3 =

Descriptor de desempeño: / Resolver situaciones usando las propiedades de la potenciación de números naturales.


Radicación de números naturales y propiedades C l a v e matemática

La radicación de números naturales es una operación inversa a la potenciación; la radicación busca la base de la potenciación, por ejemplo:

Si 2 5 — 321 entonces, Indice! 32 = 2 l - v - J

Radicando Se lee "raíz quinta de 32 igual a dos"

• yfTó = 4 porque 4 2 = 16 ; se lee "raíz cuadrada de 16 igual a cuatro" , cuando se

trata de raíz cuadrada se omite el índice, es decir, VTó = 4 (el 2 no se escribe).

• yj]25 = 5 porque 5 3 = 1 2 5 ; se lee "raíz cúbica de 125 igual a c inco" . . .

En general, para todo o, b, n e N

yfb = a si y solo si a" = b

\

• • • • w r i m n n j Ejemplo

La raíz de un producto es el producto de las . raíces de cada factor.

Si a ,b ,n pertenecen al conjunto de los naturales

?Ja-b=Z¡a-l¡b

V4-9=^/4-V9 = 2-3 = 6

La raíz de un cociente es el cociente de cada una de las raíces.

Ja Va

Vb " Vb

O TALLER Rad icación de números naturales y propiedades O O ° • /,.)) 1. Calcula las siguientes raíces escribiendo la base correspondiente de la potenciación.

b.

= 625

= 10 000 000

c.

d.

49

1 728

90

= 243 e. f. —

= 4 096

2, Escribe dentro del paréntesis la letra correspondiente, teniendo en cuenta la relación entre la potenciación y la radicación de números naturales.

a . Vi 4 641 = 11

14 2 = 196

c. VTOO = 10

9 4 = 6 561

e. V8 000 = 20

f. 2 1 0 = 1 024

g. V32 768 = 8

7 3 = 343

)V343 = 7

) 2 0 3 = 8 0 00

) 8 5 = 32 768

rVl 024 = 2

)Vó 561 = 9

)1 14 = 14 641

)VÍ96 = 14

)10 2 = 100

Escribe falso o verdadero, según corresponda. Justifica tu respuesta.

V225 = V225

Vi 331 = 11 _

VToo = 50 Vó4 = VTó _

e. Vl21 + V441 = Vi21 + 441 _

f. Vi 000 - 216 = Vi 000 - V2Í6

V729-216 =V729 • V2T0

V225 - VT69 = V225 -5- 169

Calcula las siguientes raíces, encuentra una regularidad. Justifica tu respuesta.

; VToo =_ Vi 000

VToooo = d. Vi 00 000

e. Vi 000 000 =

f. Vio 000 000 =

g. Vi 00 000 000 =

Vi 000 000 000 =

i. 'V 10 000 000 000 =

Si en la c o m u n a Cast i l la de Medellín se desea construi r un c o l e g i o p a r a 1 6 0 0 es tud iantes, ten iendo en cuenta que la c a n t i d a d de salones debe ser igual a la c a n t i d a d de estudiantes en c a d a salón, ¿cuántos salones y estudiantes po r salón d e b e tener el co leg io?

6, En la c i u d a d de Ca l i se construye un p a r q u e a d e r o para los ó 5 6 1 vehículos de una de las manzanas de la l o c a l i d a d 1 7. El número de conjuntos residenciales d e b e ser igual al número de edif icios de c a d a c o n j u n t o , igual al número de pisos de c a d a edi f ic io e igual al número de apar tamentos de c a d a piso.

a . ¿Cuántos con juntos residenciales y edif ic ios por c a d a con jun to t iene la manzana?

b. ¿Cuántos pisos y a p a r t a m e n t o s por c a d a uno hay en c a d a edi f ic io?

A la c o m u n a Tesorito de Maniza les se envían 1 0 2 4 bombi l los para me jo ra r la i l um inación de sus iglesias. El número de iglesias es igual al número de vehículos q u e t ransporta ron los bombi l lo s , igua l al número de cajas por vehículo, igual al número de bolsas po r caja e igual al número de bombi l lo s por bolsa.

es. ¿A cuántas iglesias y vehículos po r iglesia se env iaron?

b, ¿Cuántas cajas y bolsas por c a d a caja t ranspor taba c a d a vehículo?

c. ¿Cuántos bombi l lo s hay en c a d a bolsa?

Encuentra el va lo r de c a d a raíz a p l i c a n d o las p rop iedades de la radicación y realiza una cor respondenc ia entre la letra que acompaña al e jerc ic io y los resultados que a p a r e c e n en la t a b l a . Luego, descubre cuat ro pa labras hindúes.

Raíz de un producto

a . (V) V49 -64 =

b. (A) V 8 M 2 1 =

c. (G) V 8 - 1 2 5 - 2 1 6 =

d. (M) V 2 4 3 - 3 2 =

Raíz de un cociente

h. (N)

/

56 3 99 6 5 15 4 60 1

56 99 3 60 99 6 5 15 99

mam 60 1 99 4 99 6 ,5 99

Los hindúes empleaban las anteriores palabras, propias del vocablo sánscrito, para expresar raíz cuadrada y

raíz cúbica, respectivamente.

Calcula las raíces cuadradas como lo muestra el ejemplo.

V900 = 900 450 225

45 9 3 1

900 = 2 2 - 5 2 - 3 2 j ^ g o , V900 = V 2 2 • 5 2 • 3 2

AplicancLp la propiedad distributiva con respecto a la multiplicación se tiene:

j22-52-3^J¥-sf¥-4¥ = 2-5-3 = 30

ci \/324 g- Vi 764

y/5184 h. l¡2 304 ^9 801 i. ^5 929

el. 7441 i- >/l 225 e. 024 Vi 296

f. ^7 744 i. 7 3 600

Descriptor de desempeño: / Resolver situaciones usando la radicación y sus propiedades de números naturales.

"» Pensamiento numérico - variacional

JL«f ogaritmacion de números naturales •••••••••••••••••• La l o g a r i t m a c i ó n de n ú m e r o s naturales es una o p e r a c i ó n inversa a la p o t e n c i a c i ó n ; la l oga ritmación busca el exponente de la p o t e n c i a c i ó n , por e jemp lo :

Si 3 4 = 8 1 , entonces, l o g 3 81 = 4 ,

Se lee " l oga r i tmo en base tres de 81 igual a cua t ro "

• l o g 4 16 = 2 , po rque 4 2 = 1 6 ; se lee " l oga r i tmo en base cuat ro de 1 ó igual a d o s "

• l o g 8 4 0 9 6 = 4 , porque 8 4 = 4 0 9 6 ; se lee " l oga r i tmo en base ocho de 4 0 9 6 igual a cua t ro "

• l o g 1 0 1 0 0 0 0 0 0 = ó ; se lee " l o g a r i t m o de 1 0 0 0 0 0 0 igual a seis", cuando se trata de

un logar i tmo en base diez se omi te el s u b í n d i c e , es decir, log 1 0 0 0 0 0 0 = ó .

Para t o d o a, b, n e N y a ^ 1

l o g a b = n si y solo si a n = b

O TALLER Logaritmación de números naturales # o o

Ca lcu la los logar i tmos, escr ib iendo el exponente correspondiente de la p o t e n c i a c i ó n .

a. 4 ° = 6 4

b. 3 ° = 7 2 9

c. 2 = 1 0 2 4

d. 2 6 = 2 6

2 3 4 ° = 1

l 1 0 ° = 1 0 0 0 0 0

Ca lcu la los logar i tmos, encuentra una regu lar idad y explica en tu cuaderno por q u é la regu la r idad .

a . log 10 =

b. log 10 0 0 0 =

c. log 10 0 0 0 0 0 0 =

t i log 1 0 0 =

e. log 1 0 0 0 0 0 =

f. log 1 0 0 0 0 0 0 0 0 =

log 1 0 0 0 =

h. log 1 0 0 0 0 0 0 =

í. log 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = _

* Pensamiento numérico - variacional

La logar i tmac ión de números naturales es una operac ión inversa a la po tenc iac ión ; la loga-r i tmación busca el exponente de la po tenc iac ión , por ejemplo:

Si 3 4 = 81 , entonces, log 3 81 = 4, Se lee "logaritmo en base tres de 81 igual a cuatro"

• log 4 16 = 2 , porque 4 2 = 16; se lee "logaritmo en base cuatro de 16 igual a dos"

• log 8 4 096 = 4 , porque 8 4 = 4 096; se lee "logaritmo en base ocho de 4 096 igual a cuatro"

• log 1 0 1 000 000 = ó ; se lee "logaritmo de 1 000 000 igual a seis", cuando se trata de un logaritmo en base diez se omite el subíndice, es decir, log 1 000 000 = 6 .

C lave matemática J

Para todo a, b, n e N y a * 1

loga b = n si y solo si a n = b

O TALLGR Logaritmación de números naturales O o ° i„,. Calcula los logaritmos, escribiendo el exponente correspondiente de la po tenc iac ión .

a . 4 ° = 64 b. 3 J = 729 c. 2 ° = 1 024 d. 2 6 ° = 26 e. 2 3 4 ° = 1 f. 10 D = 100 000

Calcula los logaritmos, encuentra una regularidad y explica en tu cuaderno por qué la regularidad.

log 10 = log 10 000 =

c. log 10 000 000 = log 100 =

e. log 100 000 •= i log 100 000 000 =

log 1 000 = h, log 1 000 000 = i, log 1 000 000 000 =

Expresa c o m o logaritmación las siguientes potencias .

C 5 3 = 125

12 2 = 144

c. 2 8 = 256 _

10 5 = 100 0 00

e. 3 5 = 243

f. 4 4 = 256

},,>) C a l c u l a los s iguientes logar i tmos .

a. l o g 1 5 3 375=

l o g 2 0 3 200 000

c. l o g 9 6 561 =

d . l o g 3 59 049 = _

log 5 , 3 125 = —

l o g 1 0 100 000 000 :

y ^J íp En el c o m e d o r escolar hay c a p a c i d a d para 512 estudiantes; si la distribución es de grupos de 8, ¿cuál es la organización?

*7 Ca lcu la los siguientes logar i tmos usando las p rop iedades respectivas:

a l o g 3 (81 + 3) =

b. l o g 2 8 4 =

c. l o g 4 ( 4 - 6 4 ) =

d . l o g 5 25 2 =

l o g 3 (9 • 3) =

l o g 2 (128 + 4) =.

y El sistema de t ransporte masivo TransMi lenio t iene c a p a c i d a d para 225 personas, si la distribución cor responde a grupos de q u i n c e , ¿cómo es la organización?

, La alcaldía de Maniza les dec ide distr ibuir 216 cupos para jardines infanti les, si la organización cor responde a grupos de seis, ¿cómo es la distribución?

/ " \ \ El col i seo El Salitre t iene una c a p a c i d a d para 1 331 personas, si la distribución se hace con grupos de o n c e , ¿cómo es la organización?

y Una b ib l io teca de Ca l i t iene c a p a c i d a d para 8 000 l ibros, si la organización corresp o n d e n a grupos de 20, ¿cómo es la distribución?


• Identificar la relación entre potenciación y logaritmación y la aplicar en la solución de situaciones problema.

• Pensamiento numérico - variacionai

El número de centros comerciales de Cali es el doble de los registrados en el directorio de Manizales. Si en el directorio de Cali hay 46 centros comerciales, ¿cuántos centros comerciales hay registrados en Manizales?

La ecuación que representa la situación anterior es 2 • x = 46, luego en Manizales hay 23 centros comerciales registrados porque 2 • 23 = 46

Una igualdad es una equivalencia entre dos o más expresiones numéricas. El símbolo que representa la igualdad es (=) .

39 657 + 41 520 = 56 893 + 24 284 45 362-61 = 2 767 082

Miembro izquierdo Miembro derecho

Las igualdades donde hay un término desconocido reciben el nombre de ecuaciones. El término desconocido se denomina incógnita y, por lo general, se representa con cualquier letra minúscula (a, b, c, d . . . ) .

El conjunto solución o la solución de una ecuación es el conjunto de números naturales que hacen la ecuación una igualdad.

O TALLGR Igualdades y ecuaciones O o 0

Determina con un V cuáles de las siguientes expresiones son igualdades. En caso de no ser ¡guales, cambiar el signo = por ^ . •

40 + 12 + 8 = 7 0 - 1 0

60 = 60

b. 21 -4 + 8 = 90 + 2

+ =

d . 16 + 4 - 7 = 3 0 - 1 8 + 1

182-18 - 72 = 1 7 0 - 3 - 8

c, 56 + 8 + 6 = 7 0 - 8

• + =

f. 721 + 31-11 = 2 7 - 3 0 + 252

+ = +

. Clasifica en la tabla las expresiones en igualdades o ecuaciones.

567 + 263 + 1 4 5 = 1 4 9 + 5 1 5 , • 2 - a = 13 + 15 , - 1 8 - 4 + 3 2 = 5 0 - 2 + 4 ,

1 5 0 + 3 6 8 + 2 2 1 = 7 0 0 + 3 0 + 9 / • 2- j = 1 3 8 , . 635 + 5 + 8 = 270 + 2 ,

1 280 = 1 160+v/ • t + 1 8 = 1 368/ • 1 4 5 + 1 8 0 + 2 = 2 3 5 , • 2 8 0 = 2 1 8 + v

97

Igualdades Ecuaciones

Escribe como ecuación cada enunciado y emplea el cálculo mental para encontrar la solución.

a. Un número aumentado en 20 es 45 s + 20 = 45 s = 25

b. La mitad de un número es 56

c. El doble de un número es 1 440

d '

La quinta parte de un número es 1080

e. Un numero disminuido en 64 es 6

f. El triple de un número es 1 74

g- La tercera parte de un número es 46

h. La diferencia entre un número y 9 es 42

La mitad de un número aumentada en 20 es 60 ¡ + 2 + 2 0 = 6 0 ¡ = 80

El doble de un número disminuido en 30 es 50

El triple de un número aumentado en 60 es 120

Realiza una correspondencia entre la situación y la ecuación que la representa.

I El doble de la cantidad de personas que van al parque es 1 38

, La tercera parte de las tiendas de un municipio es 1 38

I La mitad de los almacenes de ca-C ' rros en una ciudad son 138

H j La diferencia entre centros comer-d. cíales y hoteles en una ciudad es

138

( ) g + 3 = 138

( ) h - d = 138

( ) 2-¡ = 138

( ) k + 2 = 138

5. Soluciona las siguientes ecuaciones:

a . q + 45 = 186

b. 645 + w = 54 180

c. 6 4 5 9 + w = 89 380

r _ 4 3 = 154

e. y + 16 = 928

i 8 268 - e = 5 698

g . 96 458 - w = 87 568

y - 38 = 4 750 + 2 894

¡. 6 498 + w = 54 180 + 2 356

j . 128 + 646 + x = 87 568

y í?, Soluciona en tu cuaderno cada situación, plantea ecuaciones y encuentra el valor de la incógnita.

i.J La diferencia entre la población de Pereira y la de Manizales es 56 890 personas. Si la población de Manizales es 1 568 386, ¿cuál es la población de Pereira?

b. En un centro comercial la cantidad de locales de ropa son el triple de los locales de comidas. Si la cantidad de locales de ropa es 120, ¿cuántos locales hay de comida?

)j3 La suma de las edades de Adriana y Alexandra es 39 años. Si Adriana tiene 18 años, ¿cuántos años tiene Alexandra?

I d. l Daniel y Felipe compraron nueve camisetas del mismo color. Daniel compró tres camisetas más que Felipe, ¿cuántas camisetas compró cada uno?

í e . l A Fernando le regalaron $ 8 500, luego de pasear por la plazoleta de comidas del ' centro comercial quedó con $ 3 250, ¿cuánto dinero gastó Fernando?

f. María solicitó un préstamo de $ 580 000, con ese dinero pagó la primera cuota del crédito. Si luego del pago María quedó con $ 524 000, ¿cuál es el valor de la cuota pagada?

En un almacén de juguetes la cantidad de muñecos de peluche es el doble de la de muñecos de caucho. Si el total de muñecos de peluche es 458, ¿cuántos muñecos de caucho hay?

h . La diferencia entre la cantidad de centros comerciales y alcaldías locales de una ciudad es doce. Si la cantidad de alcaldías locales es 20, ¿cuántos centros comerciales hay?


/ Solucionar situaciones problema usando igualdades y ecuaciones.


Polígonos Los planos son una de las formas de representar gráficamente las ciudades. Para delimitar la mayoría de los lugares del centro de una ciudad se emplean segmentos que forman figuras cerradas.

Estas figuras se denominan polígonos.

Clave matemática

Un polígono es una figura plana formada únicamente por segmentos que se unen solo en sus extremos como máximo dos segmentos se encuentran en un punto y cada segmento toca exactamente con otros dos.

Las diagonales de un polígono son segmentos que unen vértices no consecutivos.

Ciasifi lasificación de los polígonos según los ángulos Clasificación según los lados y ángulos

A Si todos los lados y angu- Si no todos los lados y Si todos os angu os Si uno o mas de los ángulos . , ., A • , A i-

M , . , . , 3 , . „ los de un polígono son de ángulos de un polígono son internos son menores de interiores es mayor de 180, . . , . ... , ,. ' . , „ ' . igual medida, el polígono de igual medida, el poligo-180 grados, se denomina el polígono se denomina ys e d e n o m ¡ n a n Q

ye d e p o m ¡ n a

convexo. concavo. r e g u ) a r ¡ r r e g u | a r

Según el número de lados, los polígonos reciben un nombre:

A Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono

Nonágono Decágono Endecágono Dodecágono

100

O TALLER

En el plano de la página anterior resalta figuras planas que no sean polígonos.

Colorea las figuras que son polígonos.

Construye en el geoplano cinco polígonos y escribe el nombre de cada uno, según el número de lados.

Completa la tabla escribiendo el número que le corresponde a cada polígono y nómbralo según sus ángulos.

Polígonos convexos Polígonos cóncavos

HBHHBHHHHHHHI ' { 5, Completa la tabla escribiendo el número que le corresponde a cada polígono. Nombra

los según sus lados y ángulos.

"? 6. Completa la tabla escribiendo el número que le corresponde a cada polígono.

Polígono Regular Irregular

Cóncavo

Convexo

Traza las d iagona les de c a d a polígono y c o m p l e t a la t a b l a .

^ O Polígono Cantidad de diagonales

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

¿Qué concluyes?

y Señales de tránsito.

Las señales de tránsito se instalan en las calles, carreras, avenidas y carreteras. Sirven para regular el tránsito, prevenir accidentes y advertir o informar a los conductores, mediante palabras o símbolos.

a , ¿Cuáles de las señales de tránsito d ibu jadas son p o l i gonales?

¿Consulta la di ferencia entre e m p l e a r cuadriláteros, tr iángulos y círculos en las señales de tránsito?

Observa en tu c i u d a d y en tu c o l e g i o qué señales d i fe rentes a las de tránsito hay. ¿Son o no pol igonales?


/ Resolver situaciones, identificando y clasificando polígonos. 103

«• Pensamiento métrico - geométrico

Triángulos Manhattan es uno de los barrios (distrito metropolitano) más famosos de Nueva York. Allí se encuentran los principales rascacielos de la ciudad, los cuales tienen una arquitectura rica en detalles geométricos. La imagen corresponde al "Hearst Tower", de Manhattan, en este edificio se destacan polígonos que tienen tres lados, tres vértices y tres ángulos.

Clasificación de triángulos

Según la medida de los lados Según la medida de los ángulos

Equilátero Isósceles

Es el triángulo que Es el triángulo que tiene sus tres lados tiene dos lados de de igual longitud, igual longitud. Los

ángulos opuestos a los lados iguales

también son iguales.

Sus tres ángulos son de igual

medida.

Escaleno Rectángulo Obtusángulo Acutángulo

Es el triángulo que tiene sus tres lados de diferente

longitud.

Es el triángulo que tiene un ángulo

recto: 90°.

A

Es el triángulo que tiene un ángulo obtu

so, mayor de 90°.

-7

Es el triángulo que tiene sus tres ángulos agudos, menor

de 90°.

A Sus ángulos son de k r diferente medida.

Todos los triángulos cumplen la llamada "Propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo", que dice: la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es 1 80°. Por tanto, el ángulo desconocido (x°) del triángulo de la imagen equivale a: x° = 180 - (60 + 70) -+ x° = 50°.

TALLGR Triángulos O o ° Clasi f ica los triángulos ten iendo en cuenta la long i tud de sus lados y la m e d i d a de sus ángulos.

C. e* V" tí

b. d . f.

M e n c i o n a tres objetos de un parque mecánico que al real izar sus mov imientos f o r m e n respect ivamente los s iguientes tr iángulos:

Tr iángulo isósceles

T r iangulo e s c a l e n o _

c. Tr iángulo equilátero_

Encuentra la p a l a b r a cor respondiente a c a d a proposición en la sopa de letras.

Figura geométrica de tres lados.

Triángulo cuya longitud de sus lados son iguales.

Unión de dos semirrectas con un or igen c o mún.

Tr iángulo que t iene un ángulo obtuso .

Intersección de dos rectas.

f. Tr iángulo con dos lados de igual l o n g i t u d .

Punto común entre los lados de un ángulo.

Triángulo cuyos lados son de diferente longitud.

i . Unión de dos puntos y f o r m a parte de un triángulo.

Tr iángulo que t iene un ángulo recto.

k . Los triángulos se según la long i tud de sus lados y la m e d i d a de sus ángulos.

Tr iángulo que t iene sus ángulos a g u d o s .

a r o a b c o d a 1 d e f n e 1 n a c i f i s a 1 c g c u i s o s c e 1 e s g u t g e h i ¡ k 1 m n ñ o 1 a n s p q r s t u V w x

o n a c t r i a n g u 1 o y g s a z a b c d e f g e h U u 1 i i k 1 m n ñ o c p 1 t e q r s t u v w X i y o b n z o t n u P a b t c d o o e f g h i i k 1 r m o 1 u g n a t u c a n e o r e t a 1 i u q e ñ o V

4 , Escribe falso o verdadero, según corresponda. Justifica tu respuesta.

Un triángulo equilátero también es acutángulo

h,: Un triángulo equilátero también puede ser rectángulo

c. Un triángulo equilátero también es isósceles

á. Un triángulo puede tener dos ángulos rectos

e. Un triángulo puede tener un ángulo recto y los otros dos de igual medida

f, Un triángulo equilátero tiene sus ángulos de 60°

5. Encuentra la medida de los ángulos que se indican, teniendo en cuenta la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo.

a . A = 25°, 8 = 92°, C = ?

b. Triángulo rectángulo en 8, C = 38°, A = ? :

Triángulo isósceles con el ángulo diferente en A = 40°, 8 = ?, C = ?

Triángulo isósceles con el ángulo diferente en C — 72°, A = ?, 8 = ?

e . A = ?, 8 = 75°, C = 15 o

f. Triángulo rectángulo en A, 8 = 30°, C = ?

é. Observa la figura y responde

c

b

c

Nombra dos triángulos i s ó s c e l e s —

Nombra tres triángulos rectángulos.

Nombra un triángulo escaleno

Nombre un triángulo equilátero

D E

7. La figura corresponde al plano de un centro comercial.

1 Terraza de comidas

2 Locales de ropa 1 0

3 Locales de muebles

4 Jugueterías

5 Parqueadero 1 C 5

Parqueadero 2 ^ s .

"7 Parqueadero 3

Parqueadero 4 9

? Cinemas

Parque infantil

11 Lago

1.2 Pista de karts

Soluciona los ejercicios a y b, teniendo en cuenta el plano del centro comercial.

a. Escribe la clasificación de las zonas del centro comercial, según las clases de triángulo.

/ Jugueterías

/ Parqueadero 2

• Zona de comidas ¡unto con locales de ropa

/ Parque infantil

b. Escribe las zonas del centro comercial que forman los siguientes triángulos.

/ Triángulo equilátero

/ Triángulo acutángulo

• Triángulo isósceles

/ Triángulo rectángulo

Diseña un dibujo o plano que presente las seis clases de triángulos.

+


/ Identificar las diferentes clases de triángulos y establecer relaciones entre ellos y el entorno.


% Cuadriláteros El distrito de Pudong en Shanghai (China), es el barrio financiero y comercial más importante de Asia, en él se encuentran dos de los edificios más altos del mundo: la torre Jin Mao y el Shanghai World Financial Center. Estos dos edificios presentan en su fachada diseños con cuadriláteros.

¿Cómo podemos

clasificar estos cuadriláteros?

Shanghai World Financial Torre Jin Mao

Clave matemática

Un cuadrilátero es un polígono formado por cuatro lados. Además, la suma de sus ángulos es 360°.

Paralelogramo

Dos pares de lados paralelos

_ ' 1 ' Rectángulo Romboide

Trapecio

Un par de lados paralelos

Trapezoide

Ningún par de lados paralelos

Cuatro ángulos

No equilátero y sin los 4

ángulos rectos

C u a d r a d o s -

Rombo

• Equilátero

Equilátero y 4 ángulos rectos

Q TALl€R Cuadriláteros O o ° },-,) Contesta V (verdadero) o falso (F) y justifica la respuesta.

Un cuadrado es un paralelogramo. ( )

Todos los rombos son cuadrados. ( )

c. Un trapecio es un paralelogramo. ( )

108

Todo cuadrado es un rombo.

Un rectángulo es un trapecio. ( )

( )

Clasificar los cuadriláteros en trapezoides, trapecios y paralelogramos, empleando la notación correspondiente.

Trapezoides:

b . Trapecios:

Paralelogramos:

*? 3. Construye y clasifica cuadriláteros que cumplan las siguientes características.

Un cuadrilátero con un ángulo de 30°.

Un cuadrilátero con dos lados paralelos.

Un cuadrilátero por lo menos con un ángulo recto.

Un cuadrilátero con dos ángulos obtusos.

Un cuadrilátero con un ángulo agudo y un ángulo obtuso.

La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es 360°.

Formula una ecuación para calcular la medida del ángulo desconocido de cada uno de los siguientes cuadriláteros.

h

90°

Las tiendas de barrio ofrecen productos como dulces, leche, mantequilla, entre otros. La Tienda Inmickey realiza un registro de las ventas de cada producto, para efectuar el siguiente pedido.

Producto Art ículos vendidos Totales

Dulces 1 1 1 1 1 1 1 1 8

Leche 1 1 1 1 4

Mantequilla l i l i l í 6

La columna de los totales se denomina Frecuencia absoluta.

Clave matemática

La frecuencia o frecuencia absoluta es la cantidad de observaciones que corresponden a un dato.

La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra o suma de todas las frecuencias. Se puede expresar mediante fracción, número decimal o porcentaje

La frecuencia absoluta acumulada de una variable es el número de veces que ha aparecido en la muestra un valor menor o igual que el de la variable.

O TALLGR Frecuencias # • ° Escribe el nombre de cada columna teniendo como referente la clave matemática.

Edad de los encuestados

11 años 25 personas 25 personas 25 106

0,23 23%


0,301 30%


0,330 33%


0,13 13%

Los centros comerc ia les t ienen zonas de bancos , c o m i d a s , a lmacenes de zapatos , entre otros. Un cent ro comerc ia l registra las personas que c o m p r a n entre las 1 0 : 0 0 y las 1 1:00 de la mañana del sábado. El resul tado del registro fue:

depor tes , r o p a , zapatos , bancos , depor tes , r o p a , zapatos , zapatos , b a n c o s , r o p a , bancos , depor tes , zapatos , r o p a , bancos , r o p a , zapatos , r o p a , r o p a , bancos , bancos , depor tes , deportes , r o p a , zapatos , depor tes , r o p a , zapatos , depor tes , r o p a , b a n c o s , zapatos , zapatos , bancos , r o p a , bancos , depor tes , zapatos , r o p a , b a n c o s , r o p a , zapatos , r o p a , r o p a .

ti. Realiza una tabla de frecuencias absolutas para los datos obtenidos en el registro,

b. ¿Cuál zona es d o n d e más c o m p r a n y d o n d e menos c o m p r a n ?

Para real izar un estudio sobre el m a n e j o del t i e m p o l ibre, la Univers idad Palermo realizó un c o n t e o de la c a n t i d a d de personas que están en su t i e m p o l ibre en los parques públicos en las horas de la tarde del jueves 8 de abr i l .

Localidades de Bogotá Cantidad de personas asistentes a un parque público en horas de la tarde

Bosa 164 000

Chapinero 48 000

Suba 175 000

Engativá 290 000

Santa Fe 50 000

Usaquén 317 000

Total 1 044 000

¿Cuántas loca l idades se m e n c i o n a n en la encuesta?

b. ¿Cuál es la loca l idad con m a y o r número de personas?

C. ¿Cuál es la loca l idad con el menor número de personas?

et ¿Cuántas personas de las seis loca l idades se encuent ran en su t i e m p o l ibre en el parque?

El calentamiento global afecta la temperatura en todo el planeta y, por ende en las ciudades colombianas. Una empresa de m e t e o r o l o g í a registra cada hora, durante 5 d í a s , las diferentes temperaturas alcanzadas en San A n d r é s .

Temperatura Frecuencia absoluta Frecuencia acumulada 24° C 20 26° C 24 28° C 8 30° C 28 32° C 40

Completa la tabla.

b. ¿ Q u é tipo de variable es la temperatura? Cualitativa o cuantitativa, justifica la respuesta.

Durante los cinco d í a s , ¿ c u á n t a s horas se obtuvo una temperatura igual o inferior a 2 8 ° C?

Durante los cinco d í a s , ¿ c u á n t a s horas se obtuvo una temperatura igual o mayor a 3 0 ° C?

y En los hospitales es necesario llevar la es tad ís t i ca de c u á n t a s personas ingresan al servicio de urgencias para determinar la cantidad de profesionales y medicamentos que se necesitan.

La siguiente tabla muestra la cantidad de personas atendidas un lunes festivo entre 1 1:00 p.m. y 5:00 a.m.

Hospital Personas atendidas Frecuencia relativa

Hospital Personas atendidas Fracción Decimal Porcentaje

Pediátrico 25 25 194 0,1288 12%

Materno 46

Físico 62

Universitario . 27

Odontológico 34

Completa la tabla.

¿ Q u é f r a c c i ó n representa la frecuencia relativa en el Hospital Universitario?

¿ Q u é hospital requiere mayor n ú m e r o de m é d i c o s ?

Descriptor de desempeño: / Analizar y solucionar situaciones usando las diferentes clases de frecuencia.


• Diagramas y gráficos estadísticos Un estudiante de g r a d o sexto decide representar la información de la apertura de esta un i d a d , acerca de la cant idad de local idades o comunas de algunas c iudades de C o l o m b i a .

La información es la s iguiente: Bogotá, 2 0 ; Medellín, 1 ó; C a l i , 2 2 y Manizales, 1 1 . Las registra por medio de dos representaciones: distribución de frecuencias y d i a g r a m a de barras h o r i z o n t a l e s .

Ciudad Frecuencia Maniza les

Bogotá 20 "O

• Cal i

Medellín 16 u Medellín

Bogotá Cali 22

Medellín Bogotá

Manizales 11

Comunas o Localidades

10 Frecuencia

Clave - á tic. -

Las representaciones gráficas son a p r o p i a d a s para representar y o rgan i zar los d a tos recogidos en un estudio estadístico; otros e jemplos son: el d i a g r a m a de barras ver t ical , d i a g r a m a ci rcu lar y d i a g r a m a de línea o polígono de f recuenc ia .

Localidades o comunas

• • • Medellín Cali Manízale

Ciudad


• Bogotá

• Medellín

• Cali

• Manizales


Medellín Cali

Ciudad

Manizales

O TALLGR Diagramas y gráficos estadísticos €> o ° },,)) Realiza una distribución de f recuencias , según el s iguiente polígono de f recuenc ia .

BARRIOS POR LOCALIDAD

Antonio La Los San Nariño Candelaria Mártires Cristóbal

LOCALIDAD

Usme

113

Realiza un d i a g r a m a de barras para la s iguiente distribución de f recuencias .

Localidad Superficie (km2)

Bosa 23,91

Chapinero 38,98

Kennedy 38,58

Rafael Uribe 13,44

Santa Fe 44,76

Sumapaz 727,44

Suba 43,72

Tunjuelito 10,62

3 . Escribe falso o ve rdadero según c o r r e s p o n d a .

C u a l q u i e r distribución de f recuencias se puede representar por m e d i o de ot ro d i a g r a m a estadístico.

C u a l q u i e r d i a g r a m a estadístico se puede representar por m e d i o de una distribución de f recuencias

c. La información suminist rada por un g r u p o de estudiantes acerca de la loca l idad d o n d e vive se puede representar por m e d i o de cua lqu ie ra de los gráficos e jemp l i f icados

Un d i a g r a m a estadístico es un m e d i o para anal i zar información

e. Los d i a g r a m a s estadísticos se uti l izan para representar únicamente var iables c u a l i tativas

La información cor responde a la c a n t i d a d de hombres y mujeres que estudian a lgunas profes iones en una univers idad de la c i u d a d de Bogotá.

< 23 23

25 20 2 1 20 20

y 2 0

z 10

u • i i l H i J. 4 / / f

PROFESIONES

IHOMBRES

• MUJERES

114

y 4 . De acuerdo con la i n f o r m a c i ó n anterior, responde:

¿ C u á l es el t í t u l o m á s apropiado para el diagrama?

¿La variable representada en el diagrama es cualitativa o cuantitativa?

¿ Q u é nombre recibe el diagrama anterior?

y Contesta las preguntas, teniendo en cuenta la i n f o r m a c i ó n representada.

¿ C u á l es la p ro fes ión que menos prefieren los hombres?

¿ C u á l es la p ro fes ión que más prefieren las mujeres?

¿ C u á l es la p ro fes ión que m á s prefieren los hombres?

¿ C u á l es la p ro fes ión que menos prefieren las mujeres?

¿ Q u é p ro fes ión tiene igual cantidad de preferencia por los hombres y las mujeres?

f. ¿ Q u é profesiones prefieren m á s los hombres que las mujeres?

• ¿ Q u é p ro fes ión es la que tiene mayor preferencia entre los estudiantes entrevistados?

¿ C u á n t a s personas fueron entrevistadas? :

La i n f o r m a c i ó n corresponde al porcentaje de estudiantes de primaria de un colegio.

• Primero • Segundo

• Tercero D Cuarto I Quinto

^ 6, De acuerdo con la g r á f i c a , soluciona:

¿ C u á l es el t í t u l o apropiado para el diagrama?

¿La variable representada en el diagrama es cualitativa o cuantitativa?

¿ Q u é nombre recibe el diagrama anterior?

y Contesta las preguntas de acuerdo con la i n f o r m a c i ó n representada.

¿En c u á l grado hay mayor cantidad de estudiantes?

¿En c u á l grado hay menor cantidad de estudiantes?

Descriptor de desempeño: / Interpretar y analizar información por medio de los diferentes diagramas estadísticos. 115

Matemática necieftt¿v&

La magia del origami / La grulla voladora Para tu comodidad en las p a p e l e r í a s venden papel listo para origami. Recomendamos papel de 90 g / m 2 , con los colores que m á s te gusten. Necesitas por lo menos dos octavos de papel. Cuando desarmes la figura, marca con colores diferentes todos los t r i á n g u l o s y c u a d r i l á t e r o s que identificaste. ¿ C u á n t o s son?

Vamos a construir nuestra grulla.

Toma un pedazo de papel cuadrado. Haz dos dobleces en las esquinas y dos dobleces en el centro de cada lado del cuadrado. Desdobla y pliega las cuatro esquinas del cuadrado hacia abajo.

Dobla uniendo los lados inferiores sobre la diagonal central del rombo.

Dobla el triángulo superior sobre el resto de la figura.

Desdobla los tres pliegues anteriores.

Levanta la esquina inferior del rombo hacia arriba y haz dos dobleces siguiendo los dos pliegues laterales que realizaste anteriormente.

Vuelve la figura y repite.

Esta es la base de la grulla terminada. Continúa para plegar la grulla voladora.

Haz dobleces siguiendo la ilustración (estas dos puntas van a ser el cuello y cola de la grulla).

Haz un contradoblez (de afuera hacia adentro) siguiendo los pliegues definidos en el paso 8.

Dobla, desdobla y haz un contradoblez (de afuera hacia adentro). Esta es la cabeza de la grulla.

Haz un doblez siguiendo la ilustración.

Vuelve la figura y repite. Las dos alas deben quedar simétricas.

Esta es la grulla voladora terminada.

Salida pedagógica: recorramos el barrio

Esta salida pedagógica la realizo a: fecha: Esta salida pedagógica es una oportunidad y una invitación a razonar y aplicar las competencias adquiridas en la unidad. Debes ser muy disciplinado y prestar atención a las orientaciones, tanto en el lugar al cual nos dirigimos, como fuera de él.

Actividad 1. Ubicación

¿Dónde vivo?

1 . Escribe el nombre de la localidad a la que perteneces.

2 . Averigua la cantidad y escribe los nombres de los barrios que la conforman.

3 . Al recorrer la localidad, indaga y escribe los siguientes sitios de interés:

• Centros comerciales:

• Parques:

• Iglesias:

• Colegios:

• Avenidas principales:

4 . Escoge un lugar específico que te gustaría visitar:

5. Menciona las rutas posibles que tienes para ir de tu casa al lugar que escogiste: • ; ' 1

6 . Teniendo en cuenta las rutas que escribiste, contesta las siguientes preguntas:

• ¿En cuál recorrido se gasta menos tiempo?

• ¿En cuál recorrido se gasta más tiempo?

• ¿En cuál recorrido se recorre mayor distancia?

• ¿En cuál recorrido se recorre menor distancia?

• ¿Qué recorrido no harías nunca?

¿Por qué?

• ¿Cuál es el recorrido que más prefieres? ¿Por qué?

Actividad 2. Geometría Completa la siguiente tabla con base en la observación, la descripción y la representación de objetos o construcciones que encuentres en tu entorno.

Nombre Característica Representación

Tiene caras triangulares

Tiene caras formadas por cuadriláteros

Tiene caras poligonales

Tiene caras circulares

No tiene caras poligonales

Actividad 3. Estadística Elige un centro comercial: 1 , Observa la cantidad de personas que ingresan a la plazoleta de comidas del centro

comercial elegido y registra la información de las siguientes tablas: Edad Número de personas Frecuencia Frecuencia

(Frecuencia) acumulada relativa Niños hasta doce años Jóvenes hasta 28 años Adultos hasta 60 años

Adultos mayores

Tipo de comida Número de personas Frecuencia Frecuencia (Frecuencia) acumulada relativa

2 . Diseña en tu cuaderno un diagrama de barras con la información obtenida.

Prue

Contesta las preguntas 1 a 3, con base en la siguiente información:

En la mayoría de ciudades a nivel mundial se presentan dificultades por la propagación de virus, la siguiente gráfica ilustra el crecimiento del virus o bacteria de la gripe en temporada de invierno.

**%

unidad c . 13, 5 3 • 5 1 (5 + 5) 2

Si a las 12:30 p.m. hay cinco bacterias, la cantidad de bacterias existentes a las 3:30 p.m. es:

A . 25 bacterias

625 bacterias

C. 50 bacterias

ih 825 bacterias

Contesta las preguntas 4 a 8, con base en la siguiente información:

12:30 p.m. 1:30 p.m.

La gráfica que corresponde a la cantidad de bacterias existentes a las 2:30 p.m. es:

A

La potencia que representa la cantidad de bacterias existentes a las 3:30 p.m. se puede expresar como 5 2 - 5 2

y es equivalente a:

2 5 4 B. 5 2 + 5 2

Cada una de las ciudades de Colombia se identifica por la elaboración de algún producto específico. Medellín sobresale por las confecciones y telas.

Edificio Vista superior

• ••• • ••• • ••• • ••• • ••• • ••• • ••• • ••• • •••

Edificio Vista frontal

El dibujo de la izquierda corresponde a un cuadrado que representa la vista desde arriba del edificio Textidúo de Medellín y el de la derecha es la vista frontal de la misma empresa.

En la empresa de Textidúo los empleados desempeñan los siguientes roles: 36 son operarios, 1 8 son jefes y 20 son de servicios generales. Para todos, además de los sueldos, se ofrece uno de dos incentivos económicos: la primera propuesta inicia con $3 000 e incrementa la cantidad en $1 000 semanalmente. La otra propuesta se inicia con $10 en la primera semana, la segunda semana corresponde al cuadrado de la semana anterior y así sucesivamente.

\

Prueba d e u n i d a d 4. Si el área de la vista desde arriba del edi

ficio es 1 96 m 2 , su perímetro es:

14 m 28 m

52 m 1 9 6 m

5. La cantidad de empleados en la empresa corresponde a:

A. Un múltiplo de 37

B. Un múltiplo de 19

C. Un múltiplo de 18

Un múltiplo de 8

Para una actividad de análisis de resultados en la empresa Textidúo se organiza a los empleados en equipos con igual cantidad de personas que desempeñen el mismo rol. En un primer momento el coordinador organiza los grupos con la mayor cantidad de personas posibles, por tanto, la cantidad de personas en cada grupo es:

A . Más de quince

Seis personas

C. Más de uno y menos de cinco

O. Más de doce personas

7, En la empresa Textidúo las personas de servicios generales ofrecen al público aromática cada 1 5 minutos, tinto cada 1 0 y agua cada 2 minutos. Si a las 4:00 p.m. ofrecieron los tres líquidos, a qué hora volverán a ofrecerlos:

6:00 p.m. 6:15 p.m.

B. 6:30 p.m. D. No se encuentran.

8. Daniel, un empleado de la empresa Textudúo, afirma que es mejor aceptar el segundo incentivo económico porque en comparación con el primer incentivo

A A la segunda semana recibirá $ 3 900 más de bonificación.

B. A la primera semana recibirá $ 1 000 mas de bonificación.

C . A la cuarta semana recibirá $ 1 0 000 más de bonificación.

13% A la tercera semana recibirá el doble de bonificación.

9. Al realizar un censo sobre la edad de los niños entre 9 y 13 años se obtuvo la siguiente información:

Edad HH Frecuencia Frecuencia acumulada

9 150 150 10 132 282 11 185 467 12 587 13 146 733

La fracción que representa la frecuencia relativa en los niños de once años es:

150/733

1 85/467

C. 120/733

D. 146/150

Fracciones • Operaciones con fracciones • Superficie • Diagrama circular • Medidas de tendencia central

La matemática a lo la rgo de la historia ha s ido una her ramienta útil para el arte y sus diferentes ramas , c o m o la música, la p in tu ra , la escul tura y la a rqu i tectu ra , entre otras. Una aplicación de la matemática en el arte está en la geometría, pues muchos autores uti l izan f iguras p lanas y cuerpos geométricos para desar ro l lar sus creaciones .

La matemática y la física se encuent ran re lac ionadas con la música: las ondas sonoras t ienen un carácter periódico y a pesar de su d i fe rencia se rigen por un m o d e l o matemático, el anális is de las p r o p i e dades del son ido genera las notas musicales para d a r o r igen a nuevas compos ic iones . Además, las notas musicales t ienen una relación q u e evidencia el uso de los números f racc ionar ios , pues c a d a nota vale la mi tad que la anter io r y el d o b l e de la s iguiente.

redonda blanca negra corchea semicorchea fusa semifusa

5= o a d )

m m

1/2 1/4 1/8

J J j) $ J 1/16 1/32 1/64

fr,)) í

I 2^

M e n c i o n a un e jemp lo d o n d e sea ap l icab le la matemática o la geometría en la p in tu ra , música, escultura y la arqu i tectu ra .

¿Qué relación existe entre la matemática, la física y la música?

¿Cuál es la relación entre las osci laciones y la f recuencia de una nota musical?

¿Cuál es la u n i d a d de m e d i d a de las osci laciones de las notas musicales?

Explica la relación matemática entre las f iguras musicales.

Escribe los d e n o m i n a d o r e s cor respondientes a las siete f iguras musicales.

C o m p l e t a gráficamente y expl ica con tus palabras el s ign i f icado de los f r a c c i o n a rios en el p e n t a g r a m a .

122


Representación de fracciones La nota musical corchea se representa y t iene un valor p r o p o r c i o n a l de

_ , número que matemáticamente se representa po r 8

i€ mal ¡ :ica

Una fracción representa la relación entre las partes de un tota l l l a m a d o u n i d a d ; po r o

e j e m p l o , si Rocío t o m a _ (2/3) litros de a g u a , s ignif ica que el l itro de a g u a fue d iv id i -3

d o en tres partes ¡guales y se tomó dos.

Una fracción está c o n f o r m a d a por dos términos:

Denominador: indica el número de partes ¡guales en que se div ide la u n i d a d .

Numerador: ind ica el número de partes d iv id idas que se d e b e n tomar.

Si a, b e N , b * 0,

N u m e r a d o r

a

b D e n o m i n a d o r

Por e j e m p l o :

z.; de las siete partes se t o m a n tres

; se t o m a n siete partes de varias un idades div id idas en dos partes ¡guales.

Q TALLGR Representación de factores O o Escribe la fracción que representa la parte s o m b r e a d a .

Representa las fracciones.

4 a . —

11

b . 8 d .

Completa la tabla.

_ _ Unidades Representación Fracción .... . coloreadas r utilizadas . . .

totalmente

Unidad no coloreada

totalmente I Fracción

sombreada Fracción no sombreada

~ 1 9

4 3 2 1

4

3

4

10

6 2 1

12

20

3 2 2

3

2

7

Escribe falso o verdadero según corresponda. Si el denominador de una fracción es menor que el numerador, se utiliza menos de una unidad. Si el denominador de una fracción es menor que el numerador, se utiliza más de una unidad. Si el numerador de una fracción es menor que el denominador, se utiliza más de una unidad. Si el numerador es igual al denominador, se utiliza más de una unidad. Si el denominador y el numerador son ¡guales, la fracción equivale a la unidad. •

5, Encuentra la fracción ten iendo en cuenta las siguientes cond ic iones .

a , El d e n o m i n a d o r es el d o b l e del n u m e r a d o r y la suma de los dos es seis.

Si al n u m e r a d o r se le a d i c i o n a tres se obt iene el m i smo d e n o m i n a d o r .

C. El n u m e r a d o r más el d e n o m i n a d o r es igual al d o b l e de o c h o .

El n u m e r a d o r menos el d e n o m i n a d o r d a c o m o resul tado cuat ro .

El d e n o m i n a d o r menos el n u m e r a d o r d a c o m o resul tado cuat ro .

La información cor responde al va lo r p r o p o r c i o n a l de a lgunas notas musicales. C o n base en esta so luc iona los ejercicios.

Nombre Figura Valor proporcional

Redonda o 1

Blanca J 1 2

Negra J 1 4

Corchea 1 8

y Contesta las preguntas .

¿Qué relación hay entre el va lo r p r o p o r c i o n a l de la r e d o n d a y la b lanca?

b. ¿Qué relación hay entre el va lo r p r o p o r c i o n a l de la b lanca y la negra?

¿Qué relación hay entre el va lo r p r o p o r c i o n a l de la negra y la corchea?

S Teniendo en cuenta el e jerc ic io anter ior , o r d e n a de m e n o r a mayor, las f iguras representadas.

f Según la relación anter ior, escr ibe el va lo r p r o p o r c i o n a l de las siguientes f iguras , sab i e n d o que en la tabla de manera descendente continúan la semicorchea, la fusa y la semifusa.

Semicorchea

b. Fusa

c. Semifusa

/ Representar fracciones y aplicarlas en la solución de situaciones problema.

«*• Pensamiento numérico - variacional

Clasificación de fracciones y números mixtos

La nota musical " l a " t iene una f recuencia de — con respecto al d o . En esta fracción el

n u m e r a d o r es mayor que el d e n o m i n a d o r , po r t a n t o , se d e n o m i n a fracción impropia.

Matemáticamente, esta f recuencia se representa por

Observa que se util izo más de una u n i d a d ; la fracción anter io r se puede escribir c o m o

2

3 1

Parte entera F r a ¡ d ó n

La parte entera indica la c a n t i d a d de un idades completas que se ut i l izaron y la fracción p rop ia indica la fracción cor respondiente a la ot ra u n i d a d .

Clave Si a, b, c, d e N , entonces , — se d e n o m i n a p rop ia si a < b .

b

Si a, b, c, d G N , entonces , — se d e n o m i n a i m p r o p i a si a > b . b

Si a, b, c, d e N , entonces , — se d e n o m i n a unitar ia si a = b . b

Si a, b, c, d e N , entonces , — se d e n o m i n a entera si el n u m e r a d o r es múltiplo del b

d e n o m i n a d o r .

Las fracciones impropias se pueden expresar c o m o números mixtos y viceversa.

TRANSFORMACIONES

De fracción impropia a número mixto

Se d iv ide el n u m e r a d o r entre el d e n o m i n a d o r : el cociente indica la parte entera , el res iduo el n u m e r a d o r de la fracción p rop ia y el divisor, el d e n o m i n a d o r de la fracción p r o p i a .

— ; 17 + 3 = 5 y sobran 2 ; po r t a n t o , — = 5— 3 3 3

De número mixto a fracción impropia

Se mult ip l ica el d e n o m i n a d o r de la fracción p rop ia por la parte entera , este resultado se suma con el n u m e r a d o r de la fracción p r o p i a , el resul tado cor responde al n u m e rador de la fracción i m p r o p i a ; el d e n o m i n a d o r es el mi smo de la fracción p rop ia del número mixto.

2 9 9 3 3 y ; 7 • 3 + 2 = 21 + 2 = 2 3 ; po r t a n t o , 3 y = y

126

O TALL6R Clasificación de fracciones y números mixtos O o

Realiza una correspondencia entre las tres columnas.

Impropia

Propia

16 7

21 7

Unidad

Entera

Escribe la fracción que le corresponde a la parte sombreada en cada figura y luego clasifícala en propia, impropia, entera o unidad.

a .

j ^ j La fracción es:

b,

La fracción sombreada de amarillo es j==j,

La fracción sombreada de gris es O, por

La fracción sombreada es por tanto se denomina: EH

127

j = j La fracción es:

Completa los espacios vacíos, con una de estas palabras: propia, impropia, unidad y enteras.

Si el numerador es el doble del denominador la fracción es:

Si el denominador es el triple del numerador la fracción es:

Si el denominador es la tercera parte del numerador la fracción es:

Si el numerador y el denominador son ¡guales la fracción es:

Si el numerador es la cuarta parte del denominador la fracción es:

S Soluciona las situaciones.

Las alcaldías de las diferentes ciudades y municipios apoyan diferentes grupos artísticos. Al grupo Candidúo le obsequiarron 40 instrumentos musicales: 12 son flautas, 5 son tambores y los demás son instrumentos de cuerda.

El grupo Candidúo contaba únicamente con 10 flautas, fracción que tiene ahora

de flautas es O, por tanto, la fracción es: •

La fracción que representa la totalidad de los instrumentos es: O, por tanto,

es: '

Escribe en el paréntesis la letra correspondiente, teniendo en cuenta la relación entre números mixtos y fracciones impropias.

128

o .

c.

24

5

2

3

]_

4

53

4

( ) 13 1

)i2

10

5 ( ) 29

73

8

10

) 9 i 8

1-3! 4

La información representa la frecuencia de las notas musicales con respecto a la nota musical do. Soluciona los ejercicios teniendo en cuenta la siguiente información.

Nota Frecuencia Do 1

Re 9 8

Mi 5 4

Fa 4 3

Sol 3 2

La 5 3

Si 15 8

Do 2

y Contesta las preguntas.

¿ C u á l es la nota con menor frecuencia?

¿ C u á l es la nota con mayor frecuencia?

¿ Q u é notas tienen una frecuencia mayor a la nota fa?

¿ Q u é notas tienen una frecuencia menor a la nota fa?

y Responde.

¿ C u á n t o s octavos de frecuencia reúnen las notas si y re?

¿ C u á n t o s tercios de frecuencia reúnen las notas la y fa?

¿ C u á n t o s cuartos de frecuencia tiene la nota mi?

y Expresa las frecuencias de las notas musicales como números mixtos.

a. re c. fa e. la

b. mi d. sol f. si

Descriptor de desempeño: / Reconocer fracciones propias e impropias y expresar estas últimas en números mixtos y viceversa.

«+ Pensamiento numérico • variacional

Fracciones equivalentes. Complificación y simplificación

La fotografía como arte se desarrolla a partir del momento en que un individuo deja de considerarla como una reproducción de la realidad y decide trabajarla a partir de las ¡deas, en ese momento comienza la necesidad de expresar por intermedio de la luz contenidos que les son propios del llamado "Arte mayor"(p¡ntura, escultura, arquitectura).

La fotografía permite visualizar la imagen en diferentes tamaños, conservando sus características iniciales, por tanto, se considera como una representación a escala. Los dibujos a escala cumplen una característica particular, la fracción formada por la fotografía original al comparar sus dimensiones, representa la misma fracción que la formada por la fotografía en reducción o ampliación al comparar las mismas longitudes.

2cm

3 cm

6 cm

— Representa la misma región que — 3 ó

Luego, estas dos fracciones son equivalentes.

Las fracciones equivalentes son fracciones que representan el mismo punto en la semirrecta numérica, por tanto, su representación gráfica también corresponde a la misma región sombreada.

2

I 0

O TALLER Fracciones equivalentes. Complificación y simplificación O o °

Realiza particiones adicionales para representar fracciones equivalentes a la fracción dada.

Elimina particiones de cada unidad para representar tres fracciones irreductibles y equivalentes a las fracciones dadas.

a .

Por medio de la complificación y simplificación de fracciones se pueden encontrar fracciones equivalentes a una fracción dada.

Complificación de fracciones Simplificación de fracciones

Consiste en multiplicar el numerador y el denominador, por un mismo número.

Consiste en dividir el numerador y el denominador entre un divisor común de estos dos números. Toda fracción se debe simplificar hasta que el numerador y el denominador sean primos relativos, es decir, la fracción obtenida sea irreductible. El mayor número que simplifica un fraccionario es el máximo común divisor del numerador y del denominador. &

2 2

2 4

1 1 - 2 2 1 2 — = = —, por tanto, — = — 2 2 - 2 A 2 4

4 2 1 1 8 4 4 2

Es posible volver a 4^-2 2 simplificar el nume- 2-^-2 1 Q + 2~ 4 r a c ' o r y denominador ~ 2

entre 2

El máximo común divisor de 4 y 8 es 4, por tanto:

Al complificar una fracción se aumenta la cantidad de partes en que está dividida la unidad, pero se representa el mismo fraccionario, por tanto, son equivalentes.

4 8

4 ^ 4 _ 1 8-5-4 ~ 2 1

2

Al simplificar una fracción se reduce la cantidad de partes en que está dividida la unidad, pero se representa el mismo fraccionario, por tanto, son equivalentes.

Completa la tabla.

Representación Fracción complificada por Representación

_3_ 12

Fracción

Jl 4

2 3 2 5

6

Fracción

j4_ 16

J _ 14 10 15 _6_ 18

Simplifica las fracciones hasta determinar una fracción equivalente irreductible.

Representación Fracción irreductible

1_ 4

Representación

36 b . 120 c.

15 250 360

140 f.

180 480 200 150

Encierra en un círculo las parejas de fracciones equivalentes.

a. 1 = 11 4 _ ] 6 c # 3 _ 30 d U 3 ~ 27 7 " 49 5 " 50 36

Encuentra el valor desconocido para que las fracciones sean equivalentes.

72

240

2

3

11 36

X

3

X

30

2

x

V2 18

X

8

49

56 3 4

x

28

S Resuelve en tu cuaderno. Para construir un estante en la Galería de Arte, Henry divide una lámina en 4 partes ¡guales y utiliza 3, pero Alejandro divide una lámina con las mismas características en 1 2 partes ¡guales y emplea 9. ¿Henry y Alejandro utilizan la misma cantidad de lámina para construir un estante? Justifica tu respuesta.


/ Encontrar fracciones equivalentes por medio de la complificación y simplificación.

• Representación de fracciones en la recta numérica y orden Un estudiante de g r a d o sexto dec ide ub icar en la recta numérica las notas musicales, redon

da o , b lanca J, negra J y corchea #h

La representación de las f iguras musicales es la s iguiente:

>J J — h - ¥ — ¥ I ¥ i—I—h—¥—I—I—I—I—I—I—I—I •

0 1 1 1 1

8 4 2

Al o r d e n a r estas notas musicales de mayor a m e n o r tenemos :

! > — > — > — / por tanto, las notas ordenadas de la que más a la que menos vale es: o 2 4 8

tica Para r e p r e s e n t a r números f racc ionar ios en la recta numérica, se d iv ide la u n i d a d tantas veces c o m o lo indica el d e n o m i n a d o r y se t o m a n tantas partes c o m o indica el n u m e r a d o r de la fracción.

2 Al ub icar _ en la recta numérica se t iene

5 1 — h — * - H — I — I — I — I — I — I — I — I — I — I — I •

0 2 1 2 3

7 S

Al ub icar _ en la recta numérica se t iene

0 1 2 7 3

3

Para o r d e n a r números f racc ionar ios es necesar io c o m p a r a r los números en la recta numérica. Un número f racc ionar io es m e n o r que ot ro número f r a c c i o n a r i o , si está a la izquierda sobre la recta numérica. Igua lmente , es mayor si se ubica a la d e r e c h a .

2 7 Al o r d e n a r las dos f racciones anter iores de menor a mayor, el resul tado es _ < _

5 3

O TALLER Representación de fracciones en la recta numérica y orden O 0 o

Representa las f racciones en la recta numérica.

Escribe la f r a c c i ó n que se representa en las rectas n u m é r i c a s .

ci >¡

fa.

0 1 — 1 — * —

1 2

0 1 2 3

0 1

— 1 — 4 — h -

2

O 1

Escribe falso o verdadero, s e g ú n corresponda.

15 Al ubicar — en la recta n u m é r i c a se necesitan m á s de ocho unidades.

2

15 Al ubicar — en la recta n u m é r i c a se necesitan menos de siete unidades.

2 —

15 Al ubicar — en la recta n u m é r i c a se necesitan exactamente ocho unidades.

2

Escribe la f r a c c i ó n que resulta al realizar los siguientes desplazamientos.

o a . _ desplazarlo tres unidades a la derecha.

5 o

— desplazarlo cinco partes a la izquierda. 13 27

c . —desplazar lo dos partes a la derecha.

36 — desplazarlo dos unidades a la izquierda.

12 — desplazarlo cuatro unidades a la izquierda.

La g r á f i c a representa algunas notas musicales ubicadas en la recta n u m é r i c a . Soluciona los ejercicios teniendo en cuenta la recta n u m é r i c a .

Do Re Mi Sol Si Do 1 1 1 1 1 1 1 f | I 1 f •

135

f Escribe las notas musicales correspondientes. Notas musicales mayores a la unidad. Notas musicales menores a la unidad.

c. Notas musicales exactas a la unidad. • Notas musicales exactas a dos unidades.

y Teniendo en cuenta la representación anterior escribe la nota musical que corresponde a la fracción dada.

O» _ f3• ~~~ c* ~~ cS* 1 6* 11'11 2 2 8 4 8

^ Expresa las notas musicales anteriores en números mixtos. a . Re b. Mi c. Sol d. Si

•}•"> 8. Ubica las siguientes fracciones en la recta numérica.

3 5 1 9 2 11 6 4 ' 4 ' 4 ' 4 ' 4 ' 4 ' 4

0 1 2 3 Completa los enunciados con los símbolos > , < , = , según corresponda.

2 6 b . l ] 8 4 d . 7 12 8 5 6 14 4 — 4 4 — 4 4 — 4 — 4 4 — 4 4 — 4

Escribe la fracción de cada ficha del tangram, arma diferentes figuras y organiza las fichas del rompecabezas, de menor a mayor.

y Solución de problemas. , I En una competencia de atletismo se encuentran Federico, Mauricio y Felipe. Al pasar

2 1*1 1 hora cada uno lleva —, —, —del recorrido. En ese momento, ¿quién va ganando la

3 2 3 carrera? ¿Quién va de último?

136 / Representar en la recta numérica fracciones y establecer relaciones de orden de los números fraccionarios.

• Adición y sustracción de fracciones •mw iin w • i i • • HHM

En la clase de m a t e m á t i c a s , una estudiante comenta que J m á s ^ es igual a o . Otra

o estudiante dice que es igual a ¿ C u á l de las dos estudiantes tiene la r a z ó n ?

El profesor de la clase les comenta que _ + 2. 2 2

equivalente a la figura musical redonda.

2 2

Por lo tanto, una de las estudiantes afirma que _ + _ no es correcto. 2 2

1,

2 4

Para sumar o restar fracciones h o m o g é n e a s , es decir, fracciones con igual denominador, se suman los numeradores y se escribe el mismo denominador.

2 4 — + — 7 7

6 7

2_2_9 = 3 3_ 14 = ]7_ 7_ J _ 6_

5 ~ 5 ~ 5 11 1 1 1 1 13 ~ 13 ~ 13

Para sumar o restar fracciones h e t e r o g é n e a s , es decir, fracciones con diferente denominador, se encuentra el m í n i m o c o m ú n m ú l t i p l o de los denominadores, luego se buscan fracciones equivalentes cuyo denominador sea el m.c.m. y se suman las fracciones encontradas.

7 5

7 5 5 7 1 7 1

m.c.m. (5,7)= 5 • 7 = 35

3 7

V5 35

2 5

11 35

Al sumar las fracciones equivalentes tenemos — + — M 35 35

5 8 ó

8 ó 4 3 2 3 1 3

1

m.c.m. (8,6)= 2 3 • 3 = 24

15 4 Al restar las fracciones equivalentes tenemos — —

H 24 24

29 3 2 29 — , por tanto, — + — = — 35 7 5 35

5 8 24

_4_ 24

11 5 1 11 — , por tanto, = — 24 8 6 24

137

O TALLER Adición y sustracción de fracciones O o ° . 1, Escribe la fracción que satisface la igualdad.

. í + 1 = ° 9 9 a

b. 7_ 11

3_ 11

• •

Calcula las operaciones.

o. I + 8 + 1 =

5 5 5

c.

1 + 1 7 7 í—

lio"

4 • = ] 0 7 + • ~ 7

I 2 . 17

• •

_2_ 17

2

7 ~

10 J 10

d. — -

e .

f.

7_ 20

í-

U8 1 8 ,

e . •

4 13

12 ~ 13

• 8 12

• 15 15

r i — h 2 > / Uo 20y r + 2^

3y +

^3 " 3 y

11 í— U8

V 18

Escribe falso o verdadero, según corresponda.

a. La suma de dos fracciones propias siempre es una fracción propia._

La suma de dos fracciones propias puede ser una fracción impropia.

La suma de dos fracciones impropias puede ser una fracción propia.

d. La resta de dos fracciones propias nunca es una fracción impropia._

La resta de dos fracciones propias puede ser una fracción impropia._

f. La resta de dos fracciones impropias puede ser una fracción propia._

Soluciona las expresiones.

3 2 a. _ aumentado en _

7 3 La diferencia entre — y —

8 Y 4 8 2 / C. _ disminuido en _ / 3 5

d, — aumentado en

o c J -i i

e. La suma de _ v _ aumentada en _ 3 y ó :

Expresa los enunciados en forma numérica.

3 3 7 La diferencia entre — y la suma de — y —

7 2 11"

5 5 2 La suma de — y la diferencia entre — y —

9 7 3."

138

C. La diferencia entre la suma de — y — y la suma de — y — 6 2 y 8 11

4 1 3 1 La suma de — disminuido en — y — aumentado en —

13 8 7 3

La suma de — disminuido en — y la diferencia entre — y — 8 3 11 9

La tabla muestra las notas musicales con su respectivo valor proporcional.

Figura Valor proporcional Nombre

o 1 Redonda

J 1/2 Blanca

J 1/4 Negra

J> 1/8 Corchea

1/16 Semicorchea

} 1/32 Fusa

i 1/64 Semifusa

•f De acuerdo con la anterior i n fo rmac ión , soluciona los ejercicios. Ordena de mayor a menor, según el valor proporcional, las figuras negra, redonda, fusa y blanca.

¿ Encuentra el valor de la semicorchea más la blanca. Encuentra el valor de la redonda menos la semifusa. Encuentra la diferencia entre la redonda y la suma de la blanca y la semicorchea.

f 1 Simplifica el resultado de cada operac ión y encuentra la figura que es equivalente.

5_ _3_ . _6_ J_ 10 10

1 3 1

64 64 24 24 128 128

La in fo rmac ión corresponde a cinco compases musicales.

12 12

" T ^ T

c o

139

S Contesta las preguntas de acuerdo con la información anterior.

¿A cuántas negras equivale una blanca en el primer compás?

¿A cuántas negras equivale una redonda en el tercer compás?

c. ¿A cuántas blancas equivale una redonda?

¿A cuántas corcheas equivale una negra?

y De acuerdo con la información anterior, halla el resultado de las operaciones.

El primer compás, más el segundo compás, más el tercer compás.

El cuarto compás, más el quinto compás.

El tercer compás más el cuarto compás.

el. La suma de los cinco compases.

S Paola interpretó una semifusa, dos corcheas y tres blan cas. ¿Qué fracción tocó Paola?

y Si Andrés tocó dos corcheas y otra nota musical y ob

tuvo en total — . ¿Cuál fue la otra nota que tocó

Andrés?

o

y Diana tocó en total _ . ¿Cuál y cuántas notas tocó? 2

Rincón de ta historia

Pitágoras (582 a.C. - 500 a.C.) Fue uno de los primeros en estudiar la naturaleza de los sonidos musicales, descubrió que existía una relación numérica entre tonos que sonaban "armónicos" y fue el primero en darse cuenta de que la música, siendo uno de los medios esenciales de comunicación y placer, podía ser medida por medio de razones de enteros. Pitágoras descubrió que al dividir la cuerda en ciertas proporciones era capaz de producir sonidos placenteros al oído, encontró que al dividir una cuerda a la mitad producía un sonido que era una octava más agudo que el original (do al do superior); que cuando la razón era 2:3 se producía una quinta (la distancia de do a sol) y que otras razones sencillas producían sonidos agradables. Eso era una maravillosa confirmación de su teoría. Números y belleza eran uno. El mundo físico y el emocional podían ser descritos con números sencillos y existía una relación armónica entre todos los fenómenos perceptibles.


/ Solucionar situaciones de estructura aditiva utilizando números fraccionarios.


Multiplicación y división de fracciones La música cora l o c o r o es un g r u p o de personas que cantan c o m o una u n i d a d . G e n e r a l m e n t e , el término música cora l señala que hay dos o más cantantes por c a d a voz, mientras que el término canción se usa para la música vocal con un solo cantante po r c a d a parte.

El c o r o de un c o l e g i o de B u c a r a m a n g a está f o r m a d o por

2 4 estudiantes, de los cuales .1 de la mi tad son mujeres; la 3

c a n t i d a d de mujeres que pertenecen al co ro cor responde a :

4 p o r q u e : 2 4 • 1 1-^1 3 ' 2 " . 6

= 4

/ Multiplicación

La multiplicación entre fracciones se realiza mu l t ip l icando numeradores c o n n u m e r a dores y d e n o m i n a d o r e s con d e n o m i n a d o r e s . Conv iene hacer la simplificación s iempre que sea pos ib le.

4 7 _ 2 8

9 ' 3 ~ 2 7

Si a, b, c, a1, e, f e N , entonces , — . a - c b d b-d f

/ División

La división entre fracciones se realiza mu l t ip l icando una fracción por la recíproca de la o t ra .

El recíproco (lat. reciprocus = invert ido) de un número es el número que mu l t ip l icado con el n u m e r o obt iene c o m o p r o d u c t o 1. En una fracción se obt iene la recíproca in te rcamb i a n d o el n u m e r a d o r y el d e n o m i n a d o r de la fracción.

, , , . ' . , 2 5 2 5 10 e rec ip roco de la tracción — es —, p o r q u e — • — —

H 5 2 H H 5 2 10 1

Si a, b, c, d, e, f e N entonces SL ^ £ = -b ' d b e

d _ a • d _ e = ~b~c~ = J

VLLGR Multiplicación y división de fracciones C o m p l e t a los espacios vacíos en c a d a operación.

a,

b.

5 • 3 5 3 . 7 3 • . 2 4

• ' 6 " ' 2 4 5 • " 5 7 " •

3 4 3 • _ 21 • • 5 _ • 2 • ~ 2 ' 4 " • 7 " 5 " 1 • 28

141

Si o = b = 1, c = 4 y , d = realiza la operación y ubica el resultado en la parte

correspondiente de la tabla.

a • b c+b D ' C d + a c- d b + c d a

Propia

Impropia

Unidad

Entera

Realiza las operaciones en tu cuaderno.

0 .1-5 b . 3 + ? c . i . s 8 + l , 2 . 9 7 , 2 7 9 9 6 8 3

En la unidad se selecciona la fracción representada por el primer factor, en este caso — y 4

en la región seleccionada se sombrea la región representada por el segundo factor -2.

La región sombreada de la última gráfica representa el resultado de la multiplicación

— x — simplificado, por tanto, el resultado es — 4 2 8

Sombrea en cada figura la multiplicación indicada.

o. 2 1 — X — 3 4

Aplica la jerarquía de operaciones para resolver los siguientes ejercicios.

5 _ 3 2 5 7 + 4 ' ó

5 6 9_ 7 ' 5 + 12 ' ó

5 ó

]_

8 5 2

5 3 ó 5

3_

15

5 3

Escribe falso o verdadero.

a . El producto de dos números fraccionarios siempre es un número natural.

b. Un número natural es un fraccionario con denominador 1.

C . El producto de un número fraccionario y su recíproco es una fracción unitaria.

El producto de dos fracciones impropias es una fracción impropia.

El cociente de dos fracciones impropias es siempre una fracción impropia,

f. El número recíproco de un número natural es una fracción unitaria.

El número recíproco de una fracción propia es una fracción impropia.

El número recíproco de una fracción impropia es una fracción propia.

El producto de todo número por su recíproco es uno.

En el colegio se organiza una función especial con todos los grupos artísticos. De los

— son músicos y de estos — 30 3

1 500 estudiantes 2 L son músicos y de estos — son mujeres y el resto son hombres,

adicionalmente _L de la totalidad de los estudiantes son actores, -1 son de grado 10

sexto.

¿Cuántas mujeres pertenecen al grupo de música asistente a la función?

¿Cuántos hombres pertenecen al grupo de música asistente a la función?

C. ¿Cuántos estudiantes de grado sexto son actores?


/ Solucionar situaciones problema usando la multiplicación y división de números fraccionarios. 1 4 3

«• Pensamiento numénco - variacional

'% Potenciación v radicación de fracciones En la clase de música se deduce que la semifusa es la mitad de la fusa, la fusa es la mitad de la semicorchea, la semicorchea es la mitad de la corchea, la corchea es la mitad de la negra y la negra es la mitad de la blanca.

Por tanto, la semifusa es la mitad de la mitad, de la mitad, de la mitad, de la mitad, de la mitad de la blanca; la situación expresada matemáticamente es:

]_]_]_]_]_]__ J _

2 2 2 2 2 2 ^

La multiplicación anterior se puede expresar como 6 4

Clave matemática

La potenciación de fracciones es el producto de factores iguales. En general, para todo

a, b, n e N , b * 0,

a o a

b'b'b o

b

a ' a ^

v o y

/ La potenciación de fracciones cumple con las propiedades:

Propiedad nHHHHNNMBi^Hi^^HiHHHRliMflMHHBi

Generalización Ejemplo

Potencia de una fracción con exponente cero u, u, = 1

Potencia de una fracción con exponente uno U,

1 _ a " b

^ 8 Y 0 3 ,

. 8

13

Potencia de una fracción 1 _ a n /

\

12V 5 J

1 2 3

" 5 3

Producto de potencias de igual base

n + m u, 4 í 1 1t

+ 4

v 3 J

Cociente de potencias de igual base ,b)

" (i ' l

. n - m

1 í 1 0l

7 per U,

^ 3

U, I 7 " ' Í10T UJ

144

/ La radicación con fracciones cumple con las propiedades:

Propiedad

Raíz n-esima de un producto de

fracciones

Raíz n-esima de un cociente de

fracciones

Generalización

la b c' d

ib

la _yfa

~b~!b

Ejemplo

79^16 = V9 • Vl6 = 3 -4 = 12

Í16 _ Vl6 _ 4

V 81 ~ M " 9

Raíz n-esima de una raíz m-esima a a

VVib h [256 6561

2 3

"ALLER Potenciación y radicación de fracciones O o 1, Calcula las potencias.

o

b .

3

lllj

• •

• •

C.

d. ' 6 N

V10y

• • • •

e . 9

UoJ

• •

• •

2 , Escribe el exponente que hace verdadera la igualdad.

1 024 O*

b .

(2\ •

< 5 Y ,10 )

16 81

625 " 10 000

UJ

V 8 y

16 807

1 000 512

e. Í-T v4,

46 656 4 096

_4_ 25

Escribe la letra correspondiente teniendo en cuenta las propiedades de la potenciación de fracciones.

a. (4 y

f 4Y

( ) 4

V5 4

v5y

( )

( )

4

4

5

Escribe falso o verdadero, según corresponda.

Cualquier fracción elevada a la cero da como resultado cero._

b .

e .

í-1 3^

7 2 ' r Cualquier fracción elevada a la cero da como resultado uno.

Una fracción elevada a la uno da como resultado la misma fracción.

3 2 Í 3 ^ 4

4 2

4 2

3 2

V4y

Í-T v 4 ,

Í-T v 4J

Una fracción elevada a la uno da como resultado uno.

s2 (7} 8 (7^ 10

l i o , l io , OoJ

Contesta las preguntas teniendo en cuenta la siguiente información.

Figura Valor proporcional Nombre

o 1 Redonda

J 1/2 Blanca

J 1/4 Negra

1/8 Corchea

1/16 Semicorchea

1/32 Fusa

1/64 Semifusa

¿Cuál es la nota musical que corresponde a la cuarta parte de la cuarta parte de la negra? ¿Cuál es la nota musical que corresponde a la octava parte de la corchea?

146

~f Soluciona las siguientes situaciones. ¿Cuál es la dieciseisava parte de la semicorchea? ¿Cuál es la treintaidosava parte de la treintaidosava de la fusa? ¿Cuál es la sesentaicuatroava parte de la sesentaicuatroava de la sesentaicuatroava de la semifusa?

Completa los espacios y escribe la propiedad empleada en cada caso.

^32-100 000 = ^ 3 2 -^D 2 ?

'625 625

a . Vi 81 \ 81 ^625 _ • ^81 ~ •

2/9 • 1 6 • 4 = • VTó • Í4

c.

d . ^ 6 4 - 4 096 = ^64-4 096

^64-VB = • • •

9. Aplica la propiedad distributiva para calcular cada raíz cuadrada.

144 64 900 3 2 1 6

J l 024 3 [ 8 "

36 V 2 8 9 V324 V l 2 5 V 243 \ 6 4

400 121

/441 Vi 69

Í 4 8 4 Í 81

16 V625

¡ 64 í l \ 7 2 9

V 2401

Expresa cada cantidad subradical como el producto de números cuadrados y aplica la propiedad.

a . Vf96 b. yÍ900 c. V225 d. V576 e. ^ 225 f. ^7 744

Realiza primero las operaciones entre fracciones y luego calcula la raíz cuadrada de la f racc ión resultante.

h . íl±Jl V 8 ' 4

a

b.

(100 4 81 9

Encuentra el error.

a, 16 16

_7_ 16 + V16 16 16

V4

Descriptor de desempeño: / Aplicar las propiedades de la potenciación y radicación de fracciones en la solución de situaciones problema. 147

* Pensamiento métrico - geométrico

• Unidades de Superficie i i i mmmmmmmmmmmmmmmm

El lienzo es una tela para pintar al ó l e o , se compone de una sola urdimbre elaborada de lino, a l g o d ó n , c á ñ a m o o yute preparado. El mejor lienzo para la pintura es el de lino, debidc a que tiene la superficie m á s suave y es el menos absorbente. Los lienzos se encuentran en cortes rectangulares de diferentes t a m a ñ o s , cada corte recibe un c ó d i g o especial y se pueder cubrir con una cantidad de cuadrados de 1 cm de lado. La cantidad e s t á n d a r de cuadrados en los cuadros se encuentra en la siguiente tabla.

Cantidad de cuadrados de un centímetro Número

o

Código de cada lienzo

OF OP OM 1F 1P 1M 2F 8F

La cantidad de cuadrados de un c e n t í m e t r o de lado que cubre un lienzo se denomina á r e c

del lienzo. • • . •

Una r e g i ó n del plano delimitada por una l ínea cerrada se denomina superficie. A la cantidad de unidades cuadradas que cubren una superficie se le denomina á r e a de la r e g i ó n .

Para medir el á r e a de una superficie se seleccionan cuadrados cuyos lados correspondan a una unidad de longitud. La unidad principal para medir el á r e a es el metro cuadrado, es decir, un cuadrado de 1 m de lado.

Los s u b m ú l t i p l o s del metro cuadrado son cuadrados cuyos lado son los s u b m ú l t i p l o s del metro cuadrado, m 2 .

D e c í m e t r o cuadrado, dm 2 , cuadrado de l d m de lado.

C e n t í m e t r o cuadrado cm 2 , cuadrado de 1 cm de lado.

M i l í m e t r o cuadrado m 2 , cuadrado de 1 mm de lado.

Los m ú l t i p l o s del metro cuadrado son cuadrados cuyos lados son los m ú l t i p l o s del metro cuadrado, m 2 .

D e c á m e t r o cuadrado, dam 2 , cuadrado de 1 dam de lado.

H e c t ó m e t r o cuadrado, hm 2 , cuadrado de 1 hm de lado.

K i l ó m e t r o cuadrado km 2 , cuadrado de 1 km de lado.

Q TALLER Unidades de superficie O o o

Observa la g r á f i c a y contesta las preguntas. La g r á f i c a que se muestra corresponde a un metro cuadrado a escala y en su interior cuatro d e c í m e t r o s cuadrados.

J

r ¿ C u á n t o s d e c í m e t r o s cuadrados hay en un metro cuadrado?

¿ C u á n t o s c e n t í m e t r o s cuadrados hay en un d e c í m e t r o cuadrado?

¿ C u á n t o s c e n t í m e t r o s cuadrados tiene un metro cuadrado?

t i ¿ C u á n t o s metros cuadrados t e n d r á un d e c á m e t r o cuadrado?

e. Analizando las preguntas y respuestas de la a a la d, ¿ q u é puedes concluir?

2. Convierte a metros cuadrados, d e c í m e t r o s cuadrados y c e n t í m e t r o s cuadrados las siguientes á r e a s .

a . 25 dam 2 =

4 8 h m 2 = _

c. 1 3 4 k m 2 =

36 hm 2 =

m 2 —

m

nrr

2 _

rrr

d m 2 =

d m 2 =

d m 2 =

d m 2

cnrr

cnr

3. Completa las equivalencias con la unidad de medida en cada caso,

a 376 hm 2 = 37 600 9 800 cm 2 = 98

1 580 dam 2 = 15 800 000 6 350 000 d m 2 = 635

2 380 km 2 = 2 380 000 000

4 . Transforma cada medida a la unidad solicitada

a . 453 000 km 2 = dam 2

12 3 0 0 d m 2 =

c, 12 535 hm 5

m u 1 350 dam 2

Realiza una correspondencia entre las unidades solicitadas trazando una l í nea .

a.

b.

c,

e.

1 568 hm 2

15 680 km 2

1,5680 dam 2

156,80 cm 2

156 800 dm 2

156 800 d m 2

1 568 m 2

1 568 000 000 000 dm 2

15 680 000 m 2

15 680 mm 2

Escribe F o V, s e g ú n corresponda.

234 dam 2 equivalen a 23 400 m 2 , 340 000 dm 2 ( )

b. 1 250 hm 2 equivalen a 1 250 000 000 d m 2 y 25 000 dam 2 ( )

450 cm 2 equivalen a 400 d m 2 y 50 cm 2 ( )

280 km 2 equivalen a 28 000 hm 2 y 2 800 000 dam 2 ( )

Un lienzo de 24 dm 2 , tiene la siguiente d i s t r i b u c i ó n : 1 de su á r e a para los datos del

dibujo, 1 para la pintura y el resto para d e c o r a c i ó n .

2 a . ¿ Q u é f r a c c i ó n del lienzo corresponde a la d e c o r a c i ó n ?

b. ¿ C u á n t o s m 2 del lienzo ocupan los datos del dibujo?

¿ C u á n t o s cm 2 del lienzo ocupa la pintura?

¿ C u á n t o s cm 2 del lienzo ocupa la d e c o r a c i ó n ?

f Resuelve las situaciones.

El á r e a del s a l ó n de clases de grado sexto es 36 m 2 . ¿ C u á n t a s baldosas cuadradas de 1 60 cm 2 se necesitan para cubrirlo totalmente?

b. Un terreno tiene un á r e a de 285 hm 2 . Si el valor del metro cuadrado es 1 250 000 pesos, ¿ c u á l es el costo del terreno?

*f Calcular en m 2 la superficie de un cuadrado cuyo p e r í m e t r o es:

a . 632 m b. 740 m c « 1 5 d m d. 86 dm

< W v- ' v y- : T u r v mm Medidas agrarias

Las medidas agrarias son medidas de superficie muy utilizadas para medir terrenos. Son: el á r e a , la h e c t á r e a y la c e n t i á r e a , cuyas definiciones son:

1 á r e a = cuadrado de 10 metros de lado = 1 00 m 2

1 h e c t á r e a = cuadrado de 1 00 metros de lado = 1 0 000 m 2

1 c e n t i á r e a = cuadrado de 1 m de lado = 1 m 2

... $<err,—r-— <J'- . ._>V-_.. ___.J c Completa los espacios.

1 0 km 2 = h e c t á r e a s

1 20 m 2 = c e n t i á r e a s

c. 8 000 000 m 2 = á r e a s

240 h e c t á r e a s = m 2

e. 60 000 = ó

f. 800 h e c t á r e a s = hm 2

Descriotor de desernosno!

150 / identificar las unidades de superficie y establecer equivalencias entre estas en la solución de problemas.

Area de polígonos

Para la clase de arte de grado sexto, una estudiante va a realizar una exposición de la pintura de la Gioconda o Mona Lisa, para la exposición va a cubrir la pintura con cuadrados de un centímetro de lado. ¿Cuántos cuadrados se necesitan?

5 m

Para calcular el área de la pintura se multiplica la longitud de la base

por la al+ura, por tanto, A = 3 m • 5 m = 15 m2; es decir, se necesitan quince cuadrados.

3 m

Para calcular el área de las figuras geométricas se utilizan las siguientes fórmulas. ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

Nombre

Triángulo

Figura Área b: base h: altura

A = b_H

Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Paralelogramo

Trapecio

Polígono regular

b

b h

~~E~

I: lado

A - I 2

b: base h: altura

A = b • h

D: diagonal mayor

d: diagonal menor

2

b. base h: altura

A = b • h

B: base mayor b: base menor

h: altura

Bñ> P: perímetro a: apotema

P a

El perímetro de una figura geométrica es la suma de la longitud de todos sus lados.

151

Q TALL6R Área de polígonos O O °

/ i 1. Encuentra el área de las siguientes figuras, según el patrón de medida indicado.

C. A =

A

A

D

b. n A = •

A = í\

A = •

Encuentra el valor de x:

Q. fe-

Perímetro = 80 cm Área = 152 dam

A

A o

Área = 36 m

3. Encuentra el área de los polígonos.

3 cm

b.

3 cm

3 m

12 m

m

d.

7 m

5 m

3 m

4 . Calcula el perímetro y área de las figuras,

a . Cuadrado cuyo lado mide 5 cm.

6 mm

i

3 cm

Rectángulo cuya base mide 3 m y su altura es el doble de la base.

Un rombo cuyos lados miden 7 m y cuyas diagonales suman 19,5 m y una de ellas es el doble de la otra.

Un trapecio cuyas bases son 7 dm y 3 dm y su altura corresponde a la mitad de la suma de las bases y los otros dos lados suman 8 dm.

152

5, Escribe falso o verdadero, según corresponda. a . El perímetro de una figura geométrica es igual a su área.

El área de un rectángulo es la mitad del área de un triángulo. El área de un rectángulo es el doble del área de un triángulo.

d. El área de un paralelogramo es igual al área de un rectángulo. e. El perímetro de una figura geométrica siempre es menor que el área.

Y~ Una sala de exposición de forma rectangular tiene un área de 48 m 2 . ¿Cuál puede ser el perímetro de la sala?

y 7. Una pintura en forma cuadrada tiene un perímetro de 36 m. ¿Cuál es el área de la pintura?

y 8 Una escultura de forma triangular tiene 6 m de base y su altura es la mitad de la base. ¿Cuál es el área de la escultura?

y ' ¿Qué figura geométrica tiene un área igual a su perímetro? Da un ejemplo.

10. Las aristas de una caja como la de la figura se van a reforzar con cinta plástica adhesiva. ¿Cuánta cinta se necesita?

300 mm 60 cm

y 1 1 . De una revista se obtuvo el diseño de un jardín que se va a construir en un terreno. La forma que tendrá se muestra en el modelo. Con base en los datos que ahí aparecen, contesta las preguntas.

Lado de la fuente = 50 m

Distancia de la fuente a la esquina de cada área con jardín = 80 m

a . ¿Cuántos dam 2 mide cada parte triangular? b. ¿Cuál es el área que ocupará la fuente? C. ¿Qué superficie ocupan los jardines con la fuente?

Descriptor de desempeño: / Calcular el área de figuras geométricas usando las respectivas fórmulas y aplicarlas en la solución de situaciones problema.


Perímetro de la circunferencia v área del círculo Leonardo da V i n a es uno de los más importantes artistas y genios de toda la historia . U n a de sus obras más importantes es " H o m b r e de Vi t ruv io" , representa una f igura mascu l ina desnuda en dos posic iones sobre impresas de brazos y piernas e inscrita en un círculo y un c u a d r a d o . Se trata de un estudio de las proporc iones del cuerpo h u m a n o , rea l i zado a partir de los textos de arquitectura de Vitruvio, arquitecto de la ant igua R o m a .

i /A I % i n . . . . . . •" ÉÜ

¿Cuál es el área y el perímetro

de esta circunferencia?

Clave matemática El perímetro de una circunferencia se determina por:

P = 2_^1T • r :

| I >• Longitud o med ida de c a d a rad io .

En la c i rcunferenc ia completa hay 2 • TC. Equivalentes a ó radios y 0 , 2 8 3 2 partes de radio

El á rea del c í rculo se determina por medio del producto A = 7Y • r 2

Por tanto , el perímetro de la c i rcunferenc ia del Hombre de Vitruvio, es —»

P = 2 - T C - r = 2 - T T - l .

El á r e a que a b a r c a la c i r cunfe renc ia es —> A — 7T • r 2 = TC • 1 2 = 3,1 41 ó m 2

O T A L L E R Perímetro de la circunferencia y área del círculo O O ° C a l c u l a r el perímetro de las siguientes c i rcunferenc ias .

E m p l e a n d o compás , r e g l a , c o l o r e s y t i j e r a s , rea l i za los s i gu i en t e s pa sos .

D i b u j a y r e c o r t a en c a r t u l i n a un c írculo d e r a d i o de l número n a t u r a l q u e q u i e r a s .

Traza y m i d e la l o n g i t u d de l r a d i o .

C a l c u l a e l perímetro d e la c i r c u n f e r e n c i a .

d. D e l i n e a la m i t a d d e la c i r c u n f e r e n c i a c o n un c o l o r y la o t r a m i t a d c o n o t r o co l o r .

D i v i d e e l c í rculo en d i e c i s e i s avo s , t r a za un r a d i o c o n un c o l o r d i f e r e n t e p a r a d i v i d i r

u n a región en d o s sec to re s ¡guales.

Reco r ta c a d a p a r t e .

U b i c a las f i c h a s c o m o se m u e s t r a n a cont inuac ión.

r a d i o

¿Es pos i b l e u b i c a r t o d o s los sectores c i r cu la res d e l i n e a d o s d e un m i s m o c o l o r a r r i b a o

a b a j o ? Justi f ica la respuesta c o n las f i chas .

Si las líneas d e la pa r te supe r i o r n o f u e r a n curvas s ino un s e g m e n t o , ¿qué f i gu ra se for

maría?

¿Cuá l es la fórmula pa r a c a l c u l a r el área de la f i g u r a p r opues t a en el p u n t o an te r i o r ?

Para d e t e r m i n a r e l á rea d e un c írculo se r e c u b r e p o r sec to res c i r c u l a r e s ; un s e c t o r es

u n a región l i m i t a d a p o r d o s r a d i o s y un a r c o d e la c i r c u n f e r e n c i a . A l u n i r los d i f e r e n t e s

se c to re s c i r c u l a r e s se f o r m a u n a región n o p o l i g o n a l , e n t r e más pequeño sea el a r c o d e

la c i r c u n f e r e n c i a se aprox imará más un p a r a l e l o g r a m o . La ba se d e la f i g u r a p o l i g o n a l

es m e d i a c i r c u n f e r e n c i a , p o r t a n t o , e q u i v a l e a I T • r, y el área d e la c i r c u n f e r e n c i a se

d e t e r m i n a p o r el p r o d u c t o TV • r • r = TV • r ? •

E n c u e n t r a el área d e c a d a c írculo c o n ba se en c a d a r a d i o :

r = ó c m r = 1 1 c m r = 1 3 c m r— 1 9 c m r = 2 1 c m r = 2 4 c m

Real iza u n a c o r r e s p o n d e n c i a e n t r e las d i f e r en t e s c o l u m n a s .

Circulo Radio Área

4 cm 64 • I T cm 2

8 cm 4 TC cm 2

2cm ^ 16 • TC cm 2

Calcula el á r e a y el p e r í m e t r o de la figura total y de los sectores sombreados.

Área total Perímetro total Área sombreada

Perímetro de la región (radio + radio + longitud del sector

circular)

r = 8 cm

S> r= 6 cm Q r= 12cm e r = 4 cm

r = 10 cm

y Resuelve las situaciones. : ; El radio de una piscina circular es de ó m. ¿ C u á l es la cantidad de baldosas cua

dradas de 4 cm de lado, que se necesitan para cubrir el piso de la piscina? fe J u l i á n tiene cuadrados de cartulina de 50 cm de lado, para construir algunas figu

ras empleando el arte ó p t i c o . ¿ C u á l es la medida del radio de la circunferencia con mayor longitud que se puede trazar en cada cuadrado de cartulina?

C. Si el radio de cada uno de los c í r cu l os delineados con rojo en la obra de arte, mide 35 cm, ¿ c u á l es el á r e a de los cuatro c í r cu l os s e ñ a l a d o s ?

Título: Arte óptico - Op Art A548W Técnica: digital sobre papel Fujlcolor Profesional Medidas: 1 m x 1 m


/ Aplicar el perímetro de la circunferencia y área del círculo para solucionar problemas.

w Área de figuras sombreadas — Un artista desea exponer su trabajo en una galería de arte, y necesita encontrar el área de pintura, que está compuesta por el área de la pintura y el área sombreada.

A = A -4- A " T O T A L PINTURA ' "SOMBREADA

TOTAL

TOTAL

TOTAL

TOTAL

TOTAL

(2 m • 4 m ) + 2 • 2 m • 2 m

+ 2 J

= 8 m 2 + 2 • íüf- + 2 8 m ^ 2

8 m 2 + (4 m 2 + 8 m 2 )

8 m 2 + 12 m 2

20 m 2

El área del trabajo para exponer es de 20 m 5

r2 m • 4 m

l 2

Clave matemática

Para calcular el área de figuras sombreadas, se le resta el área menor al área mayor o con las figuras sombreadas se forma una figura y se calcula el área.

4 cm

sombreada

4 cm

= área cuadrado mayor - área cuadrado menor

(4 cm - 4 cm) - (3 cm - 3 cm) sombreada

A . . = 16 c m 2 - 9 c m ' sombreada

A . . = 7 c m 2

sombreada

O TALLER Área de figuras sombreadas O o o

Escribe la diferencia de las áreas respectivas para calcular el área sombreada. a , c. e .

Dibu ja una f igura dent ro de las f iguras d a d a s , de tal f o r m a que se pueda ap l ica r el área de f iguras sombreadas .

j

— / — \ i

\ i

1

1 i * — i — • V 1 i / \ 1 i ) — 1 i / \ —

Escribe la letra cor respondiente ten iendo en cuenta la fórmula respectiva para ca lcu la r el área s o m b r e a d a .

ASOMBREADA = 1 6 O! - 4 01 = 1 2 OI

b . ( ) A SOMBREADA 4 TV C ID 2 - 2 C m 2

Ce ( ) ASOMBREADA 4 TV m 2 - 2 ^

el» ASOMBREADA = 1 8 m - 9 m = 9 m '

Escribe falso o v e r d a d e r o , según c o r r e s p o n d a .

C u a l q u i e r f igura se puede inscribir en otra f igura de mayor área.

C u a l q u i e r f igura se puede inscribir en otra f igura de menor área.

c . C u a l q u i e r área s o m b r e a d a es mayor a cua lqu ie ra de las áreas de las f iguras que la c o n f o r m a n .

C u a l q u i e r área s o m b r e a d a es m e n o r a cua lqu ie ra de las áreas de las f iguras que la c o n f o r m a n .

C u a l q u i e r área s o m b r e a d a es igual a la suma de las áreas de las f iguras q u e la c o n f o r m a n .

-f Una o b r a de arte t iene f o r m a rectangu lar c o n una base de 6 0 c m y altura de 4 0 c m . El c o l o r pr inc ipal o c u p a un área t r iangu la r inscrita en el rectángulo con igual base y al tura del rectángulo. ¿Cuál es el área de la o b r a q u e no cor responde al co lo r pr inc ipal?

1 5 8

Encuentra el área de la circunferencia sabiendo que el radio es la mitad de la base.

y - Una obra de arte tiene forma circular con un diámetro igual a 4 m y dentro de ella se encuentra inscrito un círculo con un radio igual a 1,5 m. ¿Cuál es el área comprendida entre los dos círculos?

En un centro comercial se observa una baldosa cuadrada con el siguiente diseño:

10 m ¿A cuánto equivale el área sombreada de esta figura? Si un almacén tiene 15 baldosas, ¿cuánto es el área del piso sin sombrear?

-f En la plaza central de un centro comercial se encuentra el siguiente diseño con cuatro fuentes circulares:

16 m

Calcula el área sombreada de esta plazoleta.

/ Aplicar el área de figuras sombreadas en la solución algunas situaciones. 159

Diagrama circular Una función de teat ro se c o m p o n e de varias escenas o rgan i zada por diferentes g rupos de artistas. En la A c a d e m i a Abst racta ningún actor está en dos o más escenas. En la pr imera escena par t ic ipan 2 0 artistas, en la s iguiente 1 0 artistas y en la última cuat ro artistas.

Para un estudio se muestra la información de la s iguiente m a n e r a :

Clave matemática

El d i a g r a m a c i rcu la r muestra la relación entre la c a n t i d a d tota l del registro y la f re cuencia de c a d a d a t o , es decir, entre el tota l del círculo y sus partes. La comparación se puede d a r por m e d i o de números f racc ionar ios o porcenta je .

El porcenta je se p u e d e ca lcu la r rea l i zando un p r o d u c t o entre la f recuencia relativa de c a d a d a t o por 1 0 0 .

T \JL»l»€!Fl Diagrama circular ®

Revisa periódicos o revistas y encuent ra c inco d i a g r a m a s ci rculares, luego recórtalos, pégalos en el c u a d e r n o y realiza c o n c a d a uno el s iguiente anális is:

T í tulo del gráfico.

Var iables e m p l e a d a s (cual itativas o cuant i tat ivas) .

Total de personas encuestadas.

Conclus iones de la información.

Observa los s iguientes d i a g r a m a s y comple ta c a d a una de las tablas . Emplea la par t i ción más pequeña para expresar la fracción q u e cor responde a c a d a región s o m b r e a d a .

Total de encuestados: 80 n i ños de 1 0 a 13 a ñ o s .

• Punk Q S k a • Rock • Tropipop • Salsa

Géneros musicales Punk

Fracción del círculo Porcentaje Frecuencia

Ska Rock Tropipop Salsa o merenge

Total de encuestados 80: j ó v e n e s de 1 4 a 20 a ñ o s .

• Punk • Ska • Rock • Tropipop • Salsa




Total de encuestados: 80 adultos de 21 a 35 a ñ o s .

• Punk B S k a • Rock • Tropipop • Salsa




Total de encuestados: 80 adultos de 36 a 60 años.

\ \

• Punk B S k a • Rock • Tropipop • Salsa

Géneros musicales Fracción del círculo Porcentaje Frecuencia Punk

Fracción del círculo Porcentaje


¿En qué rango de edades se prefiere escuchar más salsa o merengue? ¿Cuál es el género musical que escuchan todas las edades?

h . Inventa una pregunta y socialízala con tus compañeros.

Realiza una correspondencia entre la tabla y el diagrama circular.

Guitarra Flauta

Organeta Batería

Guitarra Flauta

Organeta Batería

Guitarra Flauta

Organeta Batería

Guitarra Flauta

Organeta Batería

ffl Guitarro 8 Flauta ü Organeta • Batería

C o n t e s t a f a l s o o v e r d a d e r o , t e n i e n d o c o m o r e f e r e n t e el d i a g r a m a c i r c u l a r .

Cantidad de estudiantes inscritos en cursos de manualidades

• Vitrales

H Cerámica

H Títeres

B Bordados

La c a n t i d a d d e e s t u d i a n t e s i n sc r i to s e n c l a s e d e v i t r a l e s es m e n o r q u e la c a n t i d a d

d e e s t u d i a n t e s in sc r i to s e n t í teres y b o r d a d o s .

El m a y o r p o r c e n t a j e d e e s t u d i a n t e s i n sc r i to s a c l a s e d e m a n u a l i d a d e s c o r r e s p o n

d e n a e s t u d i a n t e s d e v i t r a l e s .

La c a n t i d a d d e e s t u d i a n t e s in sc r i to s e n v i t r a l e s y b o r d a d o s r e p r e s e n t a n e l 5 0 % d e

los e s t u d i a n t e s .

El 2 5 % d e los e s t u d i a n t e s lo r e p r e s e n t a n los e s t u d i a n t e s d e cerámica y v i t r a l e s .

Si e l t o t a l d e e s t u d i a n t e s es 1 2 0 , la c a n t i d a d d e e s t u d i a n t e s q u e as i s ten a cerámica

y v i t r a l e s es 2 5 .

Rea l i za u n a e n c u e s t a e n el c o l e g i o d e u n a p r e g u n t a y c u a t r o o p c i o n e s d e r e s p u e s t a a

2 0 p e r s o n a s s o b r e sus a p t i t u d e s ar t í s t icas. L u e g o , r e g i s t r a la i n fo rmac ión e n u n d i a g r a

m a c i r c u l a r .

S Para r e a l i z a r u n c o n c i e r t o e n la c i u d a d d e M o n t e r í a , se a d e l a n t a u n e s t u d i o e m p l e a n d o

c o m o técnica p a r a r e c o l e c t a r d a t o s el env ío g r a t u i t o d e los m e n s a j e s a c e l u l a r . L u e g o

d e e n t r e v i s t a r a 4 8 0 p e r s o n a s se n o m i n a r o n a los s i g u i e n t e s t res c a n t a n t e s .

Cantante Cantidad de Votos Sakira 240

Wamba 60 Juanes 180 Otros 0

¿ Q u é f racción d e l t o t a l r e p r e s e n t a c a d a d a t o d e la t a b l a d e f r e c u e n c i a s ? E sc r ibe

e l p o r c e n t a j e .

Cantante Fracción /o Sakira

Wamba Juanes Otros

C o n s t r u y e el d i a g r a m a c i r c u l a r t e n i e n d o e n c u e n t a la i n fo rmac ión a n t e r i o r .


/ Interpretar y analizar información por medio de diagramas circulares. 163

«• Pensamiento aleatorio

Medidas de tendencia central La d i s t r i b u c i ó n de frecuencias y su respectivo diagrama circular representan la i n f o r m a c i ó n obtenida al encuestar un grupo de personas sobre su preferencia por alguna actividad ar t ística.

• M ú s i c a

• Pintura

• Escultura

• Bordado

• Vitrales

Actividad Frecuencia Música 25 Pintura 20

Escultura 12 Bordado 18 Vitrales 30

Teniendo en cuenta el resultado de la encuesta, se observa que la actividad de mayor preferencia son los vitrales, este dato recibe el nombre de moda (Mo).

Clave matemática

Las medidas de tendencia central son valores descriptivos cuyo objetivo principal es ubicar el centro del conjunto de datos; estas medidas son el promedio X , la mediana (Me) y la moda (Mo).

/ El promedio, t a m b i é n conocido como media a r i t m é t i c a o media, se utiliza cuando no se encuentran datos extremos en el conjunto. Para calcular la media se suman las frecuencias y el resultado se divide entre la cantidad de datos.

Para el ejemplo anterior, el promedio se calcula:

X = 25 + 20 + 12 + 18 + 30 105

= 21

/ La mediana no se ve afectada cuando hay valores extremos, esta divide al conjunto de datos en dos conjuntos ¡gua les . Para calcular la mediana se organizan los datos de menor a mayor o viceversa y se ubica el dato que se encuentra en el centro del conjunto.

Cuando el conjunto tiene un n ú m e r o impar de datos, la mediana corresponde al dato que divide al conjunto en dos conjuntos ¡ g u a l e s ; para el ejemplo anterior tenemos:

12 18 20 25 30

El 20 es el dato que divide al conjunto en dos partes ¡ g u a l e s , por tanto, la mediana es 20.

Cuando el conjunto tiene un n ú m e r o par de datos, la mediana corresponde al promedio entre la pareja de datos que divide en dos partes ¡gua les al conjunto; supongamos que para el ejemplo anterior tenemos:

12 18 20 24 25 30

164

La pareja que div ide el con jun to en dos partes iguales es 2 0 y 2 4 , p o r t a n t o la med ia -

i i - i 2 0 + 2 4 4 4 na cor responde al p romed io entre estos números, es decir, = — = 2 2 / 2 2

la med iana es 2 2 .

/ La m o d a es el dato que t iene mayor f recuenc ia ; si un con jun to t iene una moda se dice que la d istr ibución es u n i m o d a l ; si t iene dos modas , b imoda l y tres o más modas , mu l t imoda l ; cuando el con jun to no t iene m o d a se dice que es a m o d a l .

Para el e jemplo anterior, la mayor f recuencia es 3 0 , que cor responde a vitrales; por tanto la moda del con jun to es vitrales.

O TALLER Medidas de tendencia central O o ° ,)j 1, Encuentra el p romed io y la med iana de las distr ibuciones de f recuencias.

o.. Músico Frecuencia Mozart 27

Bach 11

Bethoven 32

Vivaldi 12

c . — Voces

Soprano

Bajo

Media

Alta

Barítono

fa.

Identif ica la m o d a en los gráf icos estadísticos.

35

30

< 25 u Z 20

ti 15

£ 10

5

0

GUSTO LITERARIO PELICULA PREFERIDA

40 35

" 25 Z 25 " 20 U 15 | 10

5 0

Frecuencia 22

13

15

20

5

Instrumento Frecuencia d . Género musical Frecuencia Vlolín 25 Clásica 12

Flauta 20 Pop 33

Clarinete 12 Instrumental 10

Bajo 18 Tropical 15

Jazz 15

Suspenso Drama Novela Científica Universal

LITERATURA

Suspenso Ciencia ficción

Cómica Cultural

GÉNERO

b , CANTANTE PREFERIDO

• Shakira

|H Juanes

• Maia

I -! Corlos Vives

[~l Los de Adentro

d . EMISORA PREFERIDA

99.9

Amor Stereo

Vibra Bogotá

La Mega

Tropícana

0 10 20 30 40 50

FRECUENCIA

Escribe la letra correspondiente en el p a r é n t e s i s , teniendo en cuenta el promedio y la mediana de los conjuntos dados.

2 1 , 10, 14, 19, 20 , 17

46, 40 , 42 , 44

87, 90 , 85, 80, 83

d . 8, 4, 9, 3, 1

1 0 1 , 98, 100, 90, 95

) 9 Ó , 8

) 5

) 16,8

) 4 3

) 85

4

85

98

43

18

Escribe falso o verdadero, s e g ú n corresponda.

En un con

En un con

En un con

En un con

En un con

En un con

unto de variables cuantitativas se puede calcular el promedio,

unto de variables cualitativas se puede calcular el promedio._

unto de variables cualitativas se puede calcular la mediana.

unto de variables cuantitativas se puede calcular la mediana._

unto de variables cuantitativas se puede calcular la moda.

unto de variables cualitativas se puede calcular la moda.

La i n f o r m a c i ó n representa la preferencia de un grupo de personas por algunos pintores famosos.

Pintores Frecuencia Miguel Ángel 24

Picasso 30 Rafael 15

Leonardo 22 Van Gogh 27

Escribe el nombre de la r e p r e s e n t a c i ó n anterior.

b. ¿ C u á l es el pintor que prefieren la m a y o r í a de las personas?

¿ C u á l es el pintor con menor preferencia?

¿ C u á l es la moda del conjunto anterior?

¿ Q u é tipo de variable se representa en el diagrama?

r El diagrama representa la preferencia de personas por algunos escultores famosos.

Escultores preferidos

• Rodin

H Bosío

D Algardi

O Canova

Escribe el nombre de la r e p r e s e n t a c i ó n anterior.

¿ C u á l es el escultor que prefieren la m a y o r í a de las personas?

¿ C u á l es el escultor con menor preferencia?

¿ C u á l es la moda del conjunto anterior?

¿ Q u é tipo de variable se representa en el diagrama?

166 / identificar y calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos.

Galería de ar te Objetivo Diseñar la maqueta de una galería de arte apl icando los temas vistos en la unidad.

Materiales • Cartón paja rectangular (mínimo un cuarto

de pliego)

• Cartulina y papel de colores

• Lápices, colores, regla, coibón, compás, tijeras

• Elementos para decorar

Distribución de la galería A continuación encontrarás la distribución de la maqueta y la fracción del cartón paja que corresponde a cada lugar.

• Sala de exposición de pintura, —.

• Sala de exposición de escultura,

• Hall, el doble de la entrada.

• Plazoleta de comidas, — .

1

• Entrada, J _ 48

• Sala de espera, el doble de la entrada.

• Marca de la maqueta (datos del estudian

te), igual a la entrada.

Instrucciones Debes tener en cuenta que:

• La entrada comunica con el hall.

• El hall comunica con la sala de exposición, la plazoleta y la sala de escultura.

í • 1 1

• La plazoleta comunica con la sala de espera.

• El alto de las paredes interiores y exteriores de los lugares de la galería corresponde a la menor longitud de uno de los lados de la sala de exposición de pintura.

• En las paredes de la sala de pintura se deben insertar cuadros (mínimo tres por pared) con figuras geométricas; los datos de estas pinturas corresponderán al área y el perímetro de ellas.

En la sala de escultura, diseñar y ubicar algunas esculturas en un lugar visible.

• En la plazoleta, crear dos mesas redondas proporcionales al tamaño de la plazoleta; sobre la tapa de una de la mesas escribir el perímetro de la circunferencia que la forma y sobre la otra tapa, el área del círculo de la tapa.

• En la sala de espera, en el hall y en la entrada, la creatividad corre por tu cuenta.

« La marca no debe estar sobrepuesta en ningún lugar.

• La maqueta no debe estar cubierta y debes preparar con tus compañeros una socialización de las diferentes galerías de arte.

¿Qué es la propiedad intelectual?

La propiedad intelectual tiene que ver con las creaciones de la mente: las invenciones, las obras literarias y artísticas, los símbolos, los nombres, las imágenes, los dibujos y modelos utilizados en el comercio.

La propiedad intelectual se divide en dos categorías: la propiedad industrial, que incluye las invenciones, patentes, marcas, dibujos y modelos industriales e indicaciones geográficas de origen; y el derecho de autor, que abarca las obras literarias y artísticas, tales como las novelas, los poemas y las obras de teatro, las películas, las obras musicales, las obras de arte, tales como los dibujos, pinturas, fotografías y esculturas, y los diseños arquitectónicos. Los derechos relacionados con el derecho de autor son los derechos de los artistas intérpretes o ejecutantes sobre sus interpretaciones o ejecuciones, los derechos de los productores de fonogramas sobre sus grabaciones y los derechos de los organismos de radiodifusión sobre sus programas de radio y de televisión.

El derecho de autor y los derechos conexos

¿Qué es el derecho de autor?

El derecho de autor es un término jurídico que describe los derechos concedidos a los creadores por sus obras literarias y artísticas.

Fuente: Organización Mundial de la Propiedad Intelectual. "Acerca de la Propiedad Intelectual" OMPI 2008. Fuente: Organización Mundial de la Propiedad Intelectual. "Acerca de la Propiedad Intelectual" OMPI 2008. Fuente: Organización Mundial de la Propiedad Intelectual. "Acerca de la Propiedad Intelectual" OMPI 2008.

¿Qué abarca ei derecho de autor? El tipo de obras que abarca el derecho de autor incluye: obras literarias como novelas, poemas, obras de teatro, documentos de referencia, periódicos y programas informáticos; bases de datos; películas, composiciones musicales y coreografías; obras artísticas como pinturas, dibujos, fotografías y escultura; obras arquitectónicas; publicidad, mapas y dibujos técnicos .

Portanto cuando uno hace trabajos escritos y toma ideas, frases, conceptos de otros autores para realizar esos trabajos estas obligado a citar el o los autores, ya que eso tiene que ver con el respeto, veneración, acatamiento que se hace a alguien.

Para citar a otros autores hay unas normas y una forma de hacerlo, por eso averigua y responde las siguientes preguntas:

1 , ¿Qué es una bibliografía?

2. ¿Qué es una cita bibliográfica?

3 ¿Qué es una nota al pie?

4 , Pregúntale a tus padres ¿Por qué es importante saber hacer citas bibliográficas y notas de pie de página en un trabajo escrito que realicemos? Anótala.

5, Pregúntales a tus compañeros. ¿Por qué es importante saber hacer citas bibliográficas y notas de pie de página en un trabajo escrito que realicemos? Anótala y compárala con la que respuesta que tus padres te dieron y, ¿qué elementos nuevos encontraste?

6- ¿Qué son las normas Icontec?

*í. Escribe un breve resumen de cómo citar a otros autores de acuerdo a las normas Icontec.

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Prueba de unidad Contesta las preguntas de la 1 a la 6 con base en la siguiente información.

En un colegio de la ciudad de Bucara-manga, los estudiantes del grado 601 optaron por una de las electivas artísticas, la cantidad de participantes en cada clase se presenta en la siguiente tabla.

Cant idad de estudiantes inscritos

I Cantidad de estudiantes

I , La tabla que representa la información anterior es:

A,

ÍA

Electiva Cantidad de estudiantes

inscritos Música 8

Manualidades 10 Ballet 12

Vitrales 7


inscritos Música 8


Vitrales 7


inscritos Música 7


Vitrales 8


inscritos Música 8


Vitrales 7

2, La fracción de los estudiantes que prefieren música corresponde a:

A , Una fracción propia

Una fracción impropia

C. Una fracción entera

3. La fracción de estudiantes que prefieren vitrales y manualidades es equivalente a una fracción:

A , Con numerador 148 y denominador 57

B, Con numerador 74 y denominador 38

C, Con numerador 57 y denominador 148

D Con numerador 38 y denominador 74

4. La cantidad promedio de estudiantes inscritos en las electivas artísticas es:

A: Mayor de 1 2 y menor de 1 4

¡A Menor de 1 0

C, Menor de 37 y mayor de 1 2

D. Mayor de 20 y menor 23

5. La operación que modela la situación "La mitad de los estudiantes que prefieren música" es:

; 1 + A l.JL 2 37 2 37

2 37 2 37

6. El diagrama circular que representa la información es:

Música fu Música

Ü Ballet • Ballet

H[ Manualidades ¡ü Manualidades

• Vitrales • Vitrales

D. Una fracción unitaria

Prueba de unidad

t,. D.

Si Músico 0 Música

• Ballet • Ballet

|§| Manualidades B Manualidades

• Vitrales • Vitrales

Contesta las preguntas de la 7 a la 10 con base en la siguiente información.

Observa algunos elementos empleados en un concierto musical, algunos de estos dejaron marcas.

7., El perímetro de la pantalla gigante se calcula:

A. Multiplicando la longitud de todos sus lados.

Sumando la longitud de dos de los lados.

Multiplicando la longitud de dos délos lados.

Sumando la longitud de todos los lados.

8, La luz reflejada en el suelo del concierto demarca un polígono regular, si el lado de un lado de un polígono demarcado en el suelo es 80 cm, el perímetro es equivalente a:

2 0 0 c m + 200 cm

80 cm

400 cm + 8 0 cm

800 cm

9. Si la fórmula para calcular el área de un círculo es TV r2. El área de la tapa del tambor es:

30 IV c m 2 225 T í c m 2

15 TI c m 2 120 TV c m 2

A El área del lugar del concierto es 450 m 2 , luego su equivalente en c m 2 es:

45 000 c m 2

4 500 000 c m 2

C. 450 000 m 2

450 c m 2

A

B

C

D

O o o o o o ^ Z - ^ ^ Z Z - ^ Z _ Z ^ ^CZZ^ ^ZZZ^

^ZZ^ ^ZZ-^ CZZ-^ --—- ^ZZZ^ ^ZZ^

8 <

CU) c s s v_

o c

10

o

J

Números decimales • Magnitudes proporcionales • Números enteros • Capacidad

• Movimientos rígidos • Combinaciones y permutaciones • Probabilidad

En esta u n i d a d realizarás un recor r ido a través de la máquina del t i e m p o desde nuestra época hasta m u chos años antes de Cristo. Tu viaje será representado en una línea d e n o m i n a d a línea del t i e m p o .

En este viaje te most raremos a lgunos de los inventos que el ser h u m a n o ha real i zado a lo la rgo del t i e m p o para me jo ra r su c a l i d a d de v i d a .

Prepárate, in ic iamos el recor r ido, pero antes observa la ruta de desp lazamiento .

a.C. —\ 1— 300 150

—I h— 1500 1610

+ - • d.C.

5000 1500 1742 1801 1982

En la línea del t iempo los puntos que representan años consecutivos son equidistantes, es decir, se encuentran a la misma distancia. Observa que en la línea del t iempo unos acontecimientos están más cerca que otros por esta razón, así se puede determinar qué acontecimientos sucedieron antes de determinado año, después de cierto acontecimiento cuántos años han transcurr ido entre un descubrimiento y ot ro, la cant idad de años que se encuentran entre un invento y el nacimiento de Jesucristo y los acontecimientos ocurr idos la misma cant idad de años antes y después de Cristo, entre otros.

Exploro los conceptos

•7

•7

u }„))


1 . Consu l ta inventos y ub ica por lo menos tres en la línea del t i e m p o .

2 . N o m b r a dos inventos que estén a la misma distancia del año cero .

3 . ¿Cuántos años han transcurrido entre el nacimiento de Cristo y la invención del microscopio?

4 . ¿Cuántos años han pasado entre la invención del s ismoscopio y el termómetro?

5 . ¿Qué s ign i f icado t iene el año cero?

6 . Antes y después del nac imiento de Cr is to, ¿cuál es el acontec im ien to más a n t i g u o ? , ¿Cuál es el más reciente?

7 . Si el año cero cor responde al año de tu n a c i m i e n t o , traza una línea del t i e m p o y ubica acontec imientos s ignif icativos para tu f a m i l i a , antes y después de tu nac im iento .


• Fracciones decimales y números decimales La balanza es un dispositivo empleado en diferentes lugares: casas, colegios, laboratorios, empresas e industrias para determinar el peso o la masa de un objeto o sustancia. Un invento del siglo XXI es la balanza digital.

En la pantalla de la balanza digital se indica el peso del objeto una vez se coloque sobre el sensor, esta medida es dada en múltiplos y submúltiplos del gramo, los cuales corresponden a potencias de 10.

La balanza digital de la imagen indica que el bolígrafo pesa 0,30 g, número que equivale a 30

100 g y se lee 30 centesimos de gramo.

Clave matemática

Las fracciones con denominador 10 o alguna potencia de 1 0 se denominan fracciones decimales, se leen de forma particular y equivalen a un número decimal.

1 1 7 — = — - = 0,1 se lee "un décimo"; — 10 10' 6 6

103 ~ 1 000

7

100 102 = 0,07 se lee "siete centesimos";

= 0,006 se lee "seis milésimos" y 8 0 0 0 5 = 8 0 0 0 5 = 8 0005 / se lee como 104 10 000 '

fracción ochenta mil cinco diezmilésimas; como número decimal ocho enteros, cinco diezmilésimas. Cada uno de los dígitos de un número decimal recibe un valor. Observa.

Parte entera I Parte decimal

u.m. c d u Décimas Centésimas Milésimas Diezmilésimas

10 Partes iguales

100 Partes iguales

1000 Partes iguales

10 000 Partes iguales

0 •

0 0 1

TALLER Fracciones decimales y números decimales O o < 1. Completa la tabla teniendo en cuenta el peso de cada objeto, la fracción decimal que

lo representa en kilogramos y su lectura.

Pésol00g 100 1000 K " ° g r a m o s

Cien milésimas de kilogramo

JJlJl Peso 120 g

4 C - .

343 g

H H H H 3 0 g

v„» 2. Escribe la fracción decimal que corresponde a cada una de las gráficas y su lectura.

a .

-- • I • •

• • • •

3 . Encierra el número que corresponde a la escritura.

a . Un entero doscientos treinta y cinco centésimas

b. Ochocientos treinta y cuatro decimos

c. Cincuenta y cuatro milésimas

d . Mil cuatrocientos ochenta y dos diezmilésimas

e . Cuatrocientos veintidós enteros y 1 5 centésimas 422,15

12,35 1,235 1,200305

834 800304 834 100 10 10

0,54 0,054 1 000,54

1 482 1 482 1 428 1 000 10 000 10 000

422,15 40022,15 242,15

f 4 . Escribe el menor y el mayor número que cumpla con las siguientes característ icas: a. 3 decenas, 2 unidades, 1 centésima.

• b. 5 unidades de mil, 7 mi lésimas, 8 déc imas, 2 centésimas, 4 decenas. C. 8 centenas, ó unidades de mil, 3 mi lésimas, 7 decenas, ó unidades, d. 1 centena, 1 mi lés ima.

7 5. Completa la secuencia: a. 22,152; 22,252; 22,352; b. Según el valor posicional, ¿cuál es la cifra que varía?

. 6. C ruc inúmero . a. El mayor número con tres cifras decimales que se puede formar con los dígitos 1, 2,

5, 8, 9, 3 b. El menor número con tres cifras decimales que se puede formar con los dígitos

1,7,5,8,9,3 c. Ochocientos cuarenta y tres enteros, ciento veinticuatro diezmi lésimas d. Cincuenta y siete diezmilésimas. e. Treinta y tres enteros ochocientos noventa y cinco milésimas

a.

Y~ 7. Observa la tabla de los múl t ip los y submúl t ip los del gramo y la in fo rmac ión nutricional de una porc ión de gelatina.

¿Cuál es la f racc ión decimal Múltiplos del gramo gramo Submúltiplos del gramo que representa la cantidad de k g h g d a g

hg producidos por los carbohidratos en una porc ión de gelatina?

dg cg mg 1 000 g 100 g 10 g 1g 0,1 g 0,01 g 0,001 g

_L JL_ i i o ? i oo g iooo g

b.

c.

¿Cuál es la f racción decimal que representa la cantidad de dg producidos por los azúcares en una porc ión de gelatina?

¿Cuál es la f racc ión decimal que representa la cantidad de g producidos por el sodio en una porc ión de gelatina?

¿Cuál es el número decimal que representa la cantidad de g producidos por la vitamina C en una porc ión de gelatina?

Descriptor de desempeño: / Identificar fracciones decimales y números decimales.

Sodio 50 mg Carbohidratos 6g

Azúcares 6g 1 n

rroieina

Vitamina C

1 g 9mg


Clasificación de números decimales y conversiones

El microchip fue patentado en abri l de 1949 por el ingeniero a l e m á n Werner Jacobi . Es un p e q u e ñ í s i m o circuito

que, gracias a su sofist icado d i s e ñ o , ha log rado reducirse 11 3

al t a m a ñ o de un q rano de arroz ( — cm de larqo por — 2 5

cm de circunferencia), permite su paso a t r a v é s de una

agu ja h i p o d é r m i c a para ser imp lan tado en el o rgan ismo de cualquier especie an ima l .

La memor ia de un microch ip puede a lmacenar un n ú m e r o compues to por nueve d í g i t o s y cuat ro letras, los cuales comb inados entre sí of recen 7 0 tr i l lones de posib i l idades.

11 3 Ana l i cemos lo que representa — y — , ¿ c u á n t o s c e n t í m e t r o s son?

11 10

3_

2 5

1 1 x 1 0

1 0 x 1 0

3 x 4

10

110

100

12

1,10cm

2 5 x 4 100 = 0,12 cm

Por tan to , un microch ip t iene de largo 1 cm y 1 0 c e n t é simas de c e n t í m e t r o y de ancho t iene 12 c e n t é s i m a s de c e n t í m e t r o .

Sabías que nuestro mundo está lleno de microchips; por ejemplo, el microprocesador es un circuito integrado que procesa toda la

información en una computadora, también se encuentran en todos

os aparatos electrónicos modernos, como automóviles, televisores,

reproductores de CD, reproductores de MP3, te léfonos móviles, etc.

Para convertir una f racción decimal a n ú m e r o decimal, se coloca el numerador de la f r a c c i ó n y se ubica la coma de tal forma que la cantidad de cifras decimales corresponda con la cantidad de ceros que hay en el denominador de la f r a c c i ó n decimal; en ocasiones es necesario agregar m á s ceros para completar el n ú m e r o decimal.

2,36 — = 0 , 4 1 2 =0,0012 100 10 10 000

Para convertir un n ú m e r o decimal en f r a c c i ó n decimal, se coloca como numerador el n ú m e r o decimal sin coma y como denominador el uno seguido de tantos ceros como cifras decimales haya. Recuerda que los ceros a la izquierda no tienen n i n g ú n valor.

41,12 = ^-ü2- 0,002 = —^— 0,8 = —

100 1 000 10

Algunas fracciones que no son decimales se pueden convertir en n ú m e r o decimal, siempre y cuando el denominador de la f r a c c i ó n sea divisor de una potencia de diez; para la c o n v e r s i ó n se busca una f r a c c i ó n decimal equivalente a la f r a c c i ó n dada.

3 75 2 4 7 35 - = — = 0,75 - = — = 0,4 - = — = 3,5 4 100 5 10 2 10

1 lé\

O TALLGR Clasificación de números decimales y conversiones # ® •

. 1 . C o n v i e r t e las f r a c c i o n e s d e c i m a l e s e n n ú m e r o s d e c i m a l e s .

a . 26

100000 c.

d.

1 652

10

100

e . 13 563

1 000

f. - L 100 10 10

/.:i¡ 2. Exp resa los n ú m e r o s d e c i m a l e s e n f r a c c i o n e s d e c i m a l e s .

a . 0,003 = C. 45,28 = e . 0,5 =

b. 10,289 = d, 28,0004 = 1 0,001 =

3 . Esc r ibe la le t ra c o r r e s p o n d i e n t e t e n i e n d o e n c u e n t a la f r a c c i ó n d a d a , su f r a c c i ó n d e c i m a l e q u i v a l e n t e y su r e s p e c t i v o n ú m e r o d e c i m a l .

a . -

b .

c. -

d . —

1 . . 8

5 100

11 í ) 2 0

2 100

5 í ) 2 2

4 100

2

25 100

11 f ) 1 2 5

50 100

4 . C o m p l e t a la t a b l a .

15,50

10,08

11,25

10,22

10,20

Fracción Decimal Lectura parte decimal

56

lo 5,6 Seis décimas

Tres milésimas

0,4

Tres milésimas

21

0,4

Y 12

1 000

13

50

Doce decimales

y 5, En 1856 se inventó la nnáquina de coser que podía utilizar solamente un hilo; este año se encuentra entre 1851 y 1861 .

a. ¿Qué fracción de esta década corresponde al año de invención de la máquina de coser?

b. Escribe una fracción decimal equivalente a la fracción del indicador a.

c. Escribe el número decimal correspondiente a la fracción del indicador b.

6. En 1 895, la armada de los Estados Unidos le encomendó a J. R Holland la construcción de un submarino que recibió el nombre de Plunger; este año se encuentra entre 1 894 y 1899.

a . ¿Qué fracción de este periodo corresponde al año de creación del Plunger?

b. Escribe una fracción decimal equivalente a la fracción del indicador a.

c. Escribe el número decimal correspondiente a la fracción del indicador b.

Teniendo en cuenta la información de los ejercicios 5 y 6 responde las preguntas.

a . ¿Cuál es el acontecimiento más antiguo?

b. ¿Cuál es el acontecimiento más reciente?

c. ¿Cuántos años de diferencia hay entre el año de invención de la máquina de coser con un hilo y la construcción del Plunger?

Plantea y soluciona un problema en el que se involucre la conversión de fracciones decimales a números decimales o viceversa.

f 7.

Son ios decimales con una cantidad de cifras numerable

Clasificación de decimales

Observa la clasificación de números decimales y contesta las preguntas con base en este.

—4 Df Decimales infinitos Son los decimales con una cantidad de cifras no numerable

•Win rin

L

Periódicos puros

Periódicos mixtos

Desde la cifra de las décimas se repite una cifra o varias cifras decimales periódicamente.

Se repite una cifra o varias cifras decimales periódicamente, pero no desde la cifra de ias décimas.

Las cifras decimales no se repiten periódicamente

178

9 . Entrevista a una persona mayor de 60 años, pregúntale sobre las monedas que se empleaban en su infancia o juventud y el costo de los artículos en aquella época, completa la tabla.

Nombre: Año de nacimiento:

Año del que recuerda los precios:

Producto Precio Número decimal al que equivale el precio teniendo como

referente el peso.

cuestan lo mismo hoy que hace 30 años?

b. Consulta qué es la devaluación del peso.

C . ¿El peso colombiano se ha devaluado? Justifica la respuesta.

d. ¿Los números decimales empleados para representar el costo de cada producto son finitos o infinitos?

e . ¿Consulta cuál fue la devaluación del peso el año anterior? ¿Qué clase de decimal es este número?

1 0 . Escribe cada número decimal periódico empleando la notación en barra y clasifícalo en decimal periódico puro o decimal periódico mixto

a , 0 ,23232323. . . c. 352 ,128971289712897. . . e . 589 ,12539523523523. . .

b. 2 ,5898989. . . d . 12,15434343. . .

11 . Con la ayuda de la calculadora encuentra los cocientes.

a . — = b. — = c . ——;= d . 9 99 . 999 9 999

e . ¿Qué regularidad encuentras?

1 2 . Escribe cada decimal periódico o finito como una fracción. Sigue los pasos del ejem

plo. Si el número es decimal periódico puro, como es el caso de 7,45, se realizan los

siguientes pasos:

P a s o 1

cantidad de ceros igual a las cifras del periodo

í Número buscado 100- • =745,45 — ^ Número decimal periódico por 100 n „ 738 82

P a s o 2 • = = — - • =7,45 99 l i

99 •• =738

100 números buscados menos un número buscado son 99

ci, 1,25 c. 27,42 e . 16,2

b. 51,215 d . 7,287 f. 10,12

13.Completa la tabla.

P,aoc t ó„ Factores primos del

denominador de la fracción Decimal Finito Periódico

3 4 4 = 2-2 0,75 X

10 25

24 80

5 8

2 100

6 16

3 5

4 25

a . ¿Qué concluyes de la tabla anterior?

f 14,Responde falso o verdadero.

a . Un decimal finito, algunas veces es un número decimal periódico. ( )

b. Todo decimal periódico se puede expresar mediante una fracción. ( )

c . 0,02es un número decimal periódico mixto. ( )

d. Toda fracción con denominador nueve equivale a un número decimal finito. ( )

e. Una fracción decimal equivale siempre a un número decimal finito. ( )

Rincón de ta historia ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ K

John Napier(1550-1617)

Matemático escocés que desarrolló la forma actual de escribir I las fracciones decimales con números en los cuales utilizaba la flflH coma o un punto para separar la parte entera de la parte deci- I mal. Antes usaba una línea en la parte decimal. • ^ ^ • I ^ ^ B

Descriptor de desempeño: 180 Clasificar números decimales en finitos e infinitos y convertir fracciones decimales en números decimales y viceversa.


W Orden entre números decimales El primer teléfono celular apareció por primera vez en 1 983 y medía 1 2,9 cm. Para 2008 se desarrollaron teléfonos pequeños que tienen cámara, reproductor MP3, grabador, entre otros servicios. La imagen corresponde a un teléfono chino que tiene un largo de 6,7 cm, y uno coreano, el cual mide 6,95 cm. ¿Cuál es el teléfono más pequeño?

C l a v e m a t e m á t i c a

Para establecer relaciones de orden entre números decimales se procede de la siguiente forma:

• Se comparan las partes enteras.

74,23 > 12,91 10,77 < 12,05

• Cuando la parte entera es igual, se comparan las cifras decimales. Al comparar cifras decimales, los números deben tener igual número de cifras decimales, si uno de ellos tiene menor cantidad de cifras, estas se deben igualar completando con ceros.

45,211 45,9 35,29 < 35,45 123,65 > 123,09

45,211< 45,900

O TALLER Orden entre números decimales 0 # 0

/<•» 1. Escribe < , > , o = , según c o r r e s p o n d a .

a . 2 3 , 5 6 2 3 , 6 5 c. 9 8 , 3 2 8 9 , 3 2 e. 1 9 0 , 8 7 1 9 0 , 9

b. 2 0 , 2 3 4 2 0 , 9 d. 2 7 , 9 0 2 7 , 9 f. 1 2 , 0 9 1 2 , 0 9 0

181

f 2. Completa la tabla cambiando solamente una cifra del número dado.

Menor Número

178,973

Mayor

2,08

12,65

90,07

10,8

9,14

3. Escribe la letra correspondiente teniendo en cuenta las características dadas y el número respectivo.

a . Número decimal comprendido entre 5,15 y 5,16 ( ) 5,120

b . Número decimal mayor que 5,10 ( 15,115

c. Número decimal menor que 5,2 ( ) 5,11

d . Número decimal igual a 5,1 2 ( ) 5,155

e . Número decimal comprendido entre 5,11 y 5,12 ( )5 ,1

v 4» Escribe la letra correspondiente al orden, de mayor a menor, de los siguientes números decimales y descubrirás el nombre del inventor del reloj de péndulo en el año 1 657.

j^f8(D31 g H l s « $fl8$ü (J 15,503

MflS^S® Y 15,350 g,üisS®g

S 5. En l 787, John Fitch construyó el primer buque a vapor. En el primer mes recorrió 65,89 millas náuticas, en el segundo 66,89 y en el tercero 55, 89. De acuerdo con esta información, responde las siguientes preguntas.

a . ¿En qué mes recorrió la menor cantidad de millas náuticas?

b . ¿En qué mes recorrió la mayor cantidad de millas náuticas?

C . ¿En cuántas millas difieren los meses de los indicadores a y b?

182

y 6 . La taladradora fue inventada en 1 798 por John Wilkinson. En su primer trabajo t a l a d r ó 4,8 m; en el segundo 3,9 m; en el tercero 4,01 m y en el cuarto 3,09. Teniendo en cuenta esta i n f o r m a c i ó n , contesta las preguntas.

a . ¿En c u á l trabajo se t a l a d r ó mayor cantidad de metros, en el primer o en el tercero?

b. ¿En cuá l trabajo se t a l a d r ó menor cantidad de metros, en el segundo o en el cuarto?

c. ¿ C u á n t o s metros de diferencia hay entre los trabajos a y b.

Guericke i n v e n t ó el m a n ó m e t r o en 1 663, que se utiliza para medir la t e n s i ó n de los gases y su unidad de medida son las libras. En su primer uso se registraron 3,5 Ib, en el segundo uso 3,005 y en el tercero 3,15. Contesta las preguntas de acuerdo con la i n f o r m a c i ó n .

a, ¿En c u á l uso se obtuvo la menor cantidad de libras?

b , ¿En c u á l uso se l o g r ó la mayor cantidad de libras?

c, ¿En c u á n t a s libras difieren los usos a y b?

y 8 . La tabla muestra los elementos de la tabla p e r i ó d i c a que no son metales.

Elemento Símbolo Peso atómico

Hidrógeno H 1

Flúor F 19

Cloro Cl 35,5

Bromo Br 80

Yodo 1 126,90

Oxígeno 0 16

Azufre s 32

Selenio Se 78,96

Teluro Te 127,60

Nitrógeno N 14

Fósforo P 31

Arsénico As 74,92

Antimonio Sb 121,75

Boro B 10,81

Bismuto Bi 208,98

Carbono C 12

Ordena los elementos de menor a mayor peso. ¿ C u á l es el elemento m á s l i v i a n o ? ¿ C u á l es el m á s pesado?

Descriptor de desempeño: / Establecer relaciones de orden entre números decimales.


Adición y sustracción de decimales

El primer telescopio fue mostrado por Gal i-leo en 1610, su lente no superaba los 0,15 m de diámetro. Hoy los dos telescopios más famosos son: el telescopio espacial Hubble, localizado en los bordes exteriores de la atmósfera, cuyo espejo principal tiene un diámetro de 2,55 m; el otro es el Very Large Telescope, es el más grande del mundo, ubicado en Chile, con un lente de 8,50 m.

£] se alinearan los lentes del telescopio Hubble y el Very Large Telescope Project, ¿qué ongitud alcanzarían? ¿Cuál es la diferencia en metros de os diámetros de estos dos telescopios?

Para resolver la primera pregunta tenemos que hacer una adición, en la segunda una diferencia.

Adición Sustracción

u J déc ima centés ima d • M M M

U I déc ima centés ima

2 •

5 5 Diámetro del Hubble

8 i 5 0 Diámetro del Very Large

8 5 0 Diámetro del Very Large

2 •

5 5 Diámetro del Hubble

1 1 0 5 Longitud de ambos lentes

5 9 5 Diferencia entre los dos

diámetros

Por tanto, si los lentes de los telescopios Hubble y el Very Large Telescope se alinearan alcanzarían 1 1,05 m y la diferencia entre los diámetros de estos telescopios es 5,95 m. Recuerda el orden de las décimas, centésimas, milésimas, etc., al realizar la suma y la resta con números decimales.

Clave matemática

Para sumar o restar números decimales se tiene en cuenta el valor posicional de cada dígito: se suman o restan unidades con unidades, décimas con décimas, centésimas con centésimas, etc.

Q TALLER Adición y sustracción de decimales O o • í ' , , ) 1 , Realiza las siguientes adiciones o sustracciones.

a . 327,42 + 68,43 d . 9 654,42 - 568,9

b. 6 3 8 , 9 6 - 8 9 , 1 2 e. 652,359 + 128,13

c. 43,568 + 2,56 f. 7 8 2 4 , 6 3 8 - 3 568

!•>)) 2 , Encuentra los números desconocidos en cada una de las operaciones

a . b. c.

g. 658 + 1235,78

h . 12 8 9 7 - 1 5 8 , 9 6

7 3 , 4 8 9 6 5 8 7 + 0 , 6 + 2 0 - 7 6 4

8 9 1 , 5 7 0 8 0 4 1 3 5 6 7

3, Realiza una correspondencia entre la columna de la derecha y la columna de la izquierda.

a . 256,913 + 79,24

b. 25,6913 + 792,4

c. 2569,13 + 7,924

d . 2569,13 + 79,24

e. 2569,13 + 79,25

Observa la tabla y responde.

) 818,0913

) 2577,054

) 2 648,37

) 336,153

) 2648,37

Barcos de vapor del m á s antiguo al m á s reciente

Velocidad en ki lómetros por hora

Cunard Line

Great Britain

16,668 km/h

22,224 km/h

Clippers

Criarles Agernon Persons

28,675 km/h

64,82 km/h

a . ¿Cuántos kilómetros es más veloz el Great Britain que el Clippers?

b. Los trasatlánticos viajaban a una velocidad mayor del Clippers en 13,665 km/h ¿Cuál era la velocidad de un transatlántico?

c. ¿Cuál es la diferencia en kilómetros entre la velocidad del Charles Agernon Persons y el Cunard Line?

d . Con unas buenas condiciones climáticas el Great Britain aumentaba la velocidad en 4,35 km/h y en condiciones adversas disminuía la velocidad 5,48 km/h. ¿Cuál era la velocidad del Great Britain en condiciones favorables y en condiciones adversas?

185

5. Completa el cuadrado mágico, recuerda que todas las columnas, filas y diagonales suman el mismo número.

12,72

15,9

25,44 19,08

y 6 . Una atleta recorre 1,56 km el lunes, 2,63 km el martes y 6,654 km el miércoles. Responde.

o. ¿Cuántos kilómetros recorre entre el lunes y el martes?

b. ¿Cuántos kilómetros recorre entre el martes y el miércoles?

c. ¿Cuántos kilómetros recorre en los tres días?

d. ¿Cuántos kilómetros recorre más el martes que el lunes?

e . ¿Cuál es la diferencia en kilómetros entre el lunes y el miércoles?

§P 7. Consulta el largo de tres barcos y completa la tabla con estos datos, de mayor a menor, empleando números decimales.

Nombre del barco Largo

A

B

C

a . ¿Cuántos metros es más largo el barco A que el barco B?

b. ¿Cuál es la diferencia en metros entre el barco B y el barco C?

c. Si un barco fuera tan largo como el barco A, B y C, ¿cuántos metros mediría de largo?

d. Inventa una pregunta y respóndela.

Descriptor de desempeño: 1 8 6 / Solucionar situaciones de estructura aditiva utilizando los números decimales.


Multiplicación y división de decimales

El primer automóvil fue inventado en Alemania en 1 886 por Cari Benz, alcanzaba una velocidad máxima de 1 ó km por hora. Hoy el auto más rápido del mundo es el Thrust SSC, que alcanzó a recorrer 1 km en tan solo 2,95 segundos en 1997. Suponiendo que la velocidad que alcanzó el Thrust SSC fuera constante, respondamos:

I. ¿Cuánto tiempo tardaría en llegar a Barranquilla si partiera de Cartagena (la distancia entre Barranquilla y Cartagena es 1 1 0,4 km)?

I I . ¿Cuántos minutos representa este tiempo?

I I I . ¿Cuánto tiempo tardaría en recorrer 1 km el auto de Cari Benz, (recuerda que 1 hora tiene 60 minutos)

Para resolver la primera pregunta efectuamos una multiplicación, para las otras dos, dividimos.

Pregunta

Operación 1 1 0,4 X 2,9 5

5520

325,6 80 60 1 1 0,4 X 2,9 5

5520 25 6 5,428 99 36 1 68

2208 480 325,6 80 0

Respuesta El Thrust SSC tardaría El Thrust SSC tardaría 325,68 segundos en llegar a 5,428 minutos en llegar a Barranquilla. Barranquilla.

60 16 120 3,75

80 0

El auto de Cari Benz recorría 1 km en 3,75 minutos.

Clave matemática

Para mult ip l icar un número decimal por un número natural se realiza la multiplicación común y corriente, el producto o resultado de la multiplicación debe tener el mismo número de cifras decimales que el factor decimal. 3 4 , 5 - 5 = 1 7 2 , 5 23 ,46-7 = 1 6 4 , 2 2 12,001-2 = 24,002 Para multiplicar un número decimal por otro número decimal se realiza la multiplicación común y corriente, el producto o resultado de la multiplicación debe tener el mismo número de cifras decimales que los factores. 2 ,5-3 ,3 = 8,25 2 3 , 1 2 - 2 , 3 = 53,176 2 , 1 - 1 , 0 0 1 = 2,1021

1 8 7 # »

En la divis ión de números naturales o decimales se presenta uno de los siguientes cuatro casos: División de un n ú m e r o natural entre un n ú m e r o natural: se realiza la divis ión de manera convencional, si el residuo es diferente de cero se escribe un cero al lado derecho del residuo, en el cociente se coloca una coma y se cont inúa la d iv is ión. División de un n ú m e r o decimal entre un n ú m e r o natural: Se realiza la divis ión de manera convencional, pero en el momento de emplear las déc imas , se escribe la coma decimal en el cociente y se cont inúa normalmente. División de un n ú m e r o natural entre un n ú m e r o decimal y División de un decimal entre un n ú m e r o decimal: se multiplica el dividendo y el divisor por la potencia de 10 con exponente igual a la cantidad de cifras decimales del divisor y se procede a realizar la d iv is ión.

O TALLER Multiplicación y división de decimales O o °

1, En las siguientes multiplicaciones ubica la coma en el lugar correspondiente.

a . 23,8 • 3,1 = 7378 c. 5 • 3,21 = 1605

b . 2,05 • 0,1 = 0205 d . 27,901 -3 = 83703

2 . Escribe el resultado de las siguientes multiplicaciones.

a . 2,45 • 2,1 = c. 2,1 • 1,01 =

b. 2 • 2 , 0 0 9 = d . 9,1 • 0,21 =

3, Escribe falso o verdadero, s e g ú n corresponda.

a . 23,09 • 0,5 < 11,545

b . 23,09 • 0,5 > 1 1,545

c. 4,7 • 2 = 4,7 + 4,7

d . 6,09 + 6,09 > 2 • 6,09

e . 3,2 • 4 = 6,4- 2

e . 2,01 • 2,04 = 41004

i 0,001 • 9 = 0009

e. 1,09 • 1,9 =

f« 5 f 5 2 f 2

Encuentra en la sopa de letras los siguientes resultados.

a . 1 , 2 - 5

b . 11,4 • 55

c. 2,8 • 5

d . 3,6 • 5

©• 4,5 • 8

f« 9,2 • 5

8,8 • 5

h . 55 • 0,2 • 1 • 7,6- 5

i . 6,6 • 5

s U N 0 D O S T R E S C U A T R 0 E C 1 N C O S E 1 S S 1 E T E O c 1 H O N U E V E D 1 E C R O T A c s E z O O N C E D O C E T R E O c c E c R A T 0 R C E Q U 1 N C H E 1 D 1 T E C 1 S E 1 S D 1 E C C 1 E S 1 A S E T E D 1 E C 1 0 C 0 H N 0 D U E 1 E C 1 N U E V E V Y E T 1 N C R T E V E S E 1 S 1 N A T 0 1 U Y T N 0 V E 1 N T 1 D 0 T S S V E A Y 1 N T 1 T R E s V E N 1 V N T T A T R E 1 N T A Y S E 1 s E 1 C N T U A T R 0 V E 1 N T E 1 1 C 1 E N N C O V E 1 N T 1 S R 0 N E 1 R 1 S V E 1 N T 1 S 1 E T H T T E A E V E 1 N 0 N C E T 1 0 c 1 C H U R 0 V E 1 N T 1 N U E V 0 S E T C T R E I N T A T R E 1 N 1 1 T A Y U N 0 T R E 1 N T A Y D c E 0 S T R E 1 N T A Y T R E S T E T R S 1 E S Y A T N E R A U C E 1 E 1 N T A Y C U A T R O T R E 1 D

y 5. El español Miguel Servet fue el primero en descubrir la circulación de la sangre en 1553. A una persona le toman unas muestras de sangre para realizarle unos exámenes médicos, las muestras fueron depositadas en tubos con una capacidad de 5,6 mm. Si se utilizaron 5,2 tubos, ¿cuántos mililitros de sangre fueron extraídos?

y 6. El reloj de bolsillo fue inventado en 1 502 por el alemán Peter Hein-lein. Un reloj se atrasa 3,5 segundos cada minuto, teniendo en cuenta esta información contesta las siguientes preguntas.

a . ¿Cuántos segundos se atrasa en cinco minutos?

b . ¿Cuántos segundos se atrasa en 7,5 minutos?

c. ¿Cuántos segundos se atrasa en una hora?

d . ¿Cuántos segundos se atrasa en hora y media?

•f 7. En el 1 593, Gali leo Galilei inventó el termómetro, instrumento que se utiliza para medir la temperatura de las personas; su unidad de medida es el grado centígrado (°C). Al tomarle la temperatura a un niño el termómetro registra 37,7 °C. Con la información anterior soluciona los siguientes ejercicios.

a . Si en la segunda toma, la temperatura aumenta 1,1 veces la cantidad de la primera toma, ¿cuál es la temperatura de la segunda toma?

b . Al cabo de unas horas, la temperatura del niño es 0,9 veces la temperatura inicial. ¿Cuál es la temperatura del niño en este instante?

c. En la última toma, la temperatura es 1,2 veces la temperatura registrada del punto b, ¿cuál es la temperatura de la última toma?

8 . Realiza las divisiones siguiendo el ejemplo 'mi

División de un número natural entre un número natural

a . 126 -5

I 5 1 2 2

6 6 1

c. 16 5 9 8 - 5

2 5 0

0

b , 1 3 5 8 - 8 d , 13 5 6 7 - 9

División de un número decimal entre un número natural

f. 126,8-5 h. 8 965 ,2 -8

1 2 2

6 6 1

8 5 2 5 3 6

8 3 0

0

e . 83 676-11

j . 32 ,263-25

g . 4 597,4-127 i. 3528,19-16 k. 36 ,8 -5

1 8 9 * «

División de un número natural entre un número decimal i, 8268-5,21; 8 268 100-5,21 • 100 = 826 800-521 n. 6312-2,5 o, 92 658-0,4

8 2 6 8 0 0 15 2 1 3 0 5 8 1 5 8 6 , 9

4 5 3 0 3 6 2 0

4 9 4 0 2 5 1 0

m. 36 582-1,6 ñ. 3589-0,8 p. 1 268-3,6

División de un decimal entre un número decimal q . 82,68-5,2; 82,68-10-5,2 10 = 826,8-52 s. 40 729,6125-12,5 ü. 258,8775-0,07

8 2 6 , 8 1 5 2 3 0 6 1 5 , 9

4 6 8 0

r. 16 097,13-3,24 t. 39682,68-0,2 v. 188,535-1,5 9. Realiza una correspondencia en las divisiones.

a. 126,598-5 ( ) 4,967808 b. 62,358-12,56 ( ) 83,73 c. 126,98-32= ( ) 25,3196 d. 1 256-15 ( ) 3,968125

10. Realiza las siguientes divisiones en el cuaderno y escribe el cociente.

a. 13,6958-10= b. 13,6958-100 = c. 13,6958-1 000 = d. 13,6958-10 000= e. Al observar los resultados qué concluyes:

1 1 , Realiza las siguientes divisiones en el cuaderno y escribe en el libro únicamente los resultados.

a. 6958-0,1= b. 6958-0,01= c. 6958-0,001= d. 6958-0,0001= e. Al observar los resultados que concluyes:

f 1 2.Entre 1452 y 1 500 se imprimieron aproximadamente ó 045,8 obras. La primera imprenta se f u n d ó en Venecia en 1469 y hacia el a ñ o 1500 la ciudad ya contaba con 41 7 imprentas y cada una necesitaba 251,25 kilos de lingotes para la p r o d u c c i ó n anual de material.

a . Suponiendo que cada a ñ o se imprimieron la misma cantidad de obras, ¿ c u a n t a s obras se imprimieron cada a ñ o ?

b. ¿ C u á n t o pesaba la cantidad de lingote empleado cada mes en una sola imprenta?

c. ¿ C u á n t o pesaba la cantidad de lingote empleado cada mes por todas las imprentas en la ciudad de Venecia?

y Completa la tabla. En los espacios vac íos de la columna de productos escribe tres a r t í c u los de venta en paquete, el costo real y el valor unitario.

Producto por paquetes Valor unitario

1 resma de papel $10125 1 hoja $ 20,25

1 libro de 220 hojas $ 65 800 1 hoja

1 docena de cuadernos de 100 hojas

$ 29 766 1 hoja

100 dulces $3 050 1 dulce

a . ¿ C u á l es el costo de media resma de papel y media docena de cuadernos de 1 00 hojas?

b. En la lista de precios c u á l es el a r t í c u l o m á s e c o n ó m i c o .

c. ¿ C u á l es el costo de la tercera parte de una hoja?

d. Inventa una pregunta y s o l u c i ó n a l a

Descriptor de desempeño: / Aplicar la multiplicación y división de números decimales en la solución de situaciones problema.

Pensamiento numérico - variacionai

Orden entre números enteros y valor absoluto El t e r m ó m e t r o fue inventado por Galileo en el a ñ o de 1 603, gracias a él podemos medir la temperatura en cualquier lugar y fecha del a ñ o . Observa la temperatura de algunas ciudades en enero.

JÍ

Ciudad Cartagena Moscú París Berlín Bogotá Medellín Temperatura 35 -20 2 -5 15 25

Ubiquemos en la recta n u m é r i c a las temperaturas de la tabla.

> aumenta

• París M e d e l l í n

i

I ' 1 1 1 I I i

i

l I I

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35J

Ber l ín Bogotá Cartagena

disminuye

Al ordenar las temperaturas de la m á s baja a la m á s alta (menor a mayor), tenemos:

- 2 0 < - 5 < 2 < 15 < 25 < 35 >• M o s c ú < Ber l ín < Paris < B o g o t á < M e d e l l í n < Cartagena

Observa que para que M o s c ú ¡ g u a l e la temperatura de Cartagena debe aumentar 55 grados. (20 + 35 = 55)

Clav<

• Un entero negativo siempre es menor que un entero positivo.

- 7 < 1 9 > -1 000 - 1 1 < 5 2 > - 1

• Entre dos enteros negativos es menor el que se encuentra m á s alejado del cero; es decir, entre m á s cerca esté un entero negativo del cero, es mayor.

- ó > - 1 1 1 -1 90 < - 8 0 - 7 8 < - 1 - 5 > - 2 7 6

• Entre dos enteros positivos es menor el que se encuentra m á s cerca del cero; es decir, entre m á s cerca esté un entero positivo del cero, es menor.

45 < 67 100 < 10 35 < 98 12 > 1

El valor absoluto de un n ú m e r o entero es la distancia entre dicho n ú m e r o y el cero. El valor absoluto se representa por dos barras | | y en el interior se escribe el n ú m e r o .

| + b I = b I - a I = a

O TALLER Orden entre números enteros y valor absoluto O o ° 1, En cada ejercicio, ordena los números enteros de mayor a menor.

a . 9, - 2 , 0, 2, - 9 , 10, - 8 d . 15, - 3 2 , 19, - 3 4 , - 1 , 4

b. - 7 , 0, - 4 , - 1 8 , - 3 4 , - 8 e . 0, 2, 78, 45, 10, 12, 7

c. 12, 100, - 4 6 , - 7 8 , -1 000 f. - 9 8 , 10, - 4 3 , 0, - 1 , 1, 4

7 2 . Completa los espacios con un número entero.

a . Un número tres unidades menor a - 8 .

b. Un número mayor cinco unidades a -1 0.

c. Un número menor dos unidades a 7.

d . Un número mayor una unidad a 11 .

e . Un número menor ocho unidades a 4.

f. Un número mayor seis unidades a - 1 .

7 3 . Escribe falso o verdadero, según corresponda.

a . Un entero positivo es mayor a un entero negativo.

b. Un entero negativo es mayor a un entero positivo.

C. Cualquier entero es menor si se encuentra más alejado del cero.

d . Un entero negativo es menor si se encuentra más cerca al cero._

e . Un entero negativo es mayor si se encuentra más cerca al cero._

4. En el siglo II a.C. se descubrieron los ritmos biológicos del cuerpo humano y en el siglo IV a.C. se inventó la campana afinada. De acuerdo con esta información, responde las siguientes preguntas.

a . ¿Cuál de los dos siglos es más antiguo?

b. ¿Cuál es el inventó más reciente?

C. ¿Cuál es el inventó más antiguo?

d . ¿Cuál de los dos siglos es más reciente?

y 5. La balanza fue creada hace más de 5000 años a.C. y el calendario se creó en el año 1500 a.C.

a . ¿Cuál de los dos años es más antiguo?

b. ¿Cuál es el inventó más reciente?

c. ¿Cuál es el inventó más antiguo?

d . ¿Cuál de los dos años es más reciente?

6. Plantea y soluciona un problema en tu cuaderno usando las relaciones de orden entre números enteros.

',))) 7. Escribe la distancia de cada número hasta 0, empleando la notación de valor absoluto.

a ,

b .

c.

d .

e .

30

- 2

50

8. Completa la tabla -70

a • l*l ' |c| |a| + 5 H - 9

2 -10 -15

-9 -20 36

-12 36 -69

35 98 -124

^t56 -120 364

-56 -35 -235

78 -21 525

' 9 . Escribe falso o verdadero según corresponda.

a . El valor absoluto d e - 1 ó es 26 ( )

b . El valor absoluto de un entero negativo es positivo ( )

c. El valor absoluto de un entero positivo es negativo ( )

d . El valor absoluto de cero es uno ( )

1 0 . Encuentra el mensaje escondido.

a = | - 3 | , e = |8|, o = |-15| , r= | - 7 | , b = |10|, u | - 4 | , v = | - l l | , g =

8 L 11 3 L 15 7 3 10 s 15 L 4 t 15 8 s m 3 y 15 7 15 i 2 4 3 L

3 c 8 7 15

Descriptor de desempeño: / Establecer relaciones de orden entre números enteros y aplicarlas en la solución de situaciones problema.


A.dicióit v sustracción de cuteros

Un anónimo cirujano chino en el año 200 a.C. recomendó el té para aumentar la capacidad de concentración y 81 8 años después fue la mejor época del té en la dinastía Tang, ya no fue solo un remedio, sino una bebida popular, al reconocerse sus propiedades reconstituyentes y el sabor especial.

¿En que año se comenzó el té como bebida popular en China?

Para sumar dos números enteros empleando la recta numérica se parte de la ubicación del primer sumando y luego se realiza un desplazamiento a la derecha si el segundo sumando es positivo, o a la izquierda si el segundo sumando es negativo, la distancia recorrida para ubicar el punto de la suma o resultado es igual al valor absoluto del segundo sumando.

-7 + 5 = 4 i _ - « — i — i — i — i — i — i — i — • — i — i — i — •

- 7 - 4 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 Para calcular la sustracción de dos números enteros, se suma el minuendo con el opuesto del sustraendo. 4 _ ó = 4 + (-Ó) = 2 - 1 2 - 4 = - 1 2 + (-4) =

En general, si a, b, e N , entonces, a - b = a + (-b)

-16 -Ó - 4 0 = -Ó + (-40) = - 4 6

O TALLER Adición y sustracción de enteros # • o

,- ¡: 1, Representa las siguientes sumas en la recta numérica, para cada suma traza una recta.

a . - 8 + ( - 5 ) = b. 9 + ( - 2 ) = c. 6 + ( - 5 )= d . - 3 + ( - 5 )= e . - 2 + (-6) =

/:><> 2, Emplea la recta numérica para calcular el resultado de cada adición de números enteros,

o. - 17 + 8 = e. - 6 + ( - 9 ) = e . 14 + ( - 5 ) = g . -19 + 7 =

b. 12 + ( - 2 4 ) = d . 27 + ( - 1 5 ) = f, 23 + ( - 5 )= h. -15 + ( - 8 ) =

3. Completa la tabla.

a 12 -8 6

-20

b -31 -24 32

-15

C 52

^ 3 -16 78

? 4 . Soluciona los cuadrados m á g i c o s

a.

-12 -6 -8

a + b

c.

b + c c + a

-3 6 -4 -3 -2

-7 -1 3 -4 -1

• H M 1 2

-7 5 -3 -2

9 14 -3

5. Resuelve las siguientes preguntas teniendo en cuenta la i n f o r m a c i ó n .

Temperatura de Edmonton, C a n a d á

Día

Lunes

Pronóstico

Nublado / Sol por la tarde Max: igual a la mínima aumentada en 7 grados, Mín: - 2 o

Martes Llovizna ligera

Max: 5o, Mín: 1+(-5)

Miércoles Chubascos

Max: 6o Mín: - 2 o

Jueves Lluvia por la tarde

Max: 6o Mín: -4 o

Viernes Nublado / Sol por la tarde Max: 9o Mín: 0o

Sábado Aguanieve

Max: 7o Mín: - 2 o

Domingo Aguanieve

Mín: - 2 o a las 3 a.m;

a. ¿ C u á l fue la temperatura m á x i m a del d ía lunes?

b. ¿ C u á l fue la temperatura m í n i m a el martes?

c. Empleando la temperatura m í n i m a , exprese la temperatura m á x i m a del jueves mediante una suma

d. Empleando la temperatura m í n i m a exprese la temperatura m á x i m a del sá bado mediante una suma.

e. El domingo la temperatura estaba a - 2 o a las 3 p.m., a u m e n t ó 3 o a las 5 a.m., d i s m i n u y ó 4 o a las 7 a.m. y s u b i ó 10 grados a las 11:30 a.m. ¿ Q u é temperatura hay el domingo a las 1 1:30 a.m.?, escribe los cambios del domingo mediante una suma de enteros.

6. Escribe la suma que se debe efectuar para realizar las sustracciones. a . 5 - 10 c. - 1 3 - 7 e. - 9 8 - 1 5 0 b. 4 5 - 2 7 8 d . - 3 6 - 2 7 f. 7 8 - 5 6 1

7. Completa los espacios de tal forma que se obtenga la igualdad. a . - 2 3 + (-£3 = - 4 7 c. • + (-37) = - 1 0 0 e. - 8 7 + ( - Q = - 2 4 0

b. • + (-210) = - 4 5 0 d . - 7 8 + O = - 2 0 0 f. Q + (-78) = 110

8 . Escribe la letra correspondiente teniendo en cuenta los resultados de las sustracciones.

a . 5 4 - 7 8 ( ) - 5 2 b. - 1 2 - 8 7 ( ) - 9 5 c. 7 9 - 1 2 0 ( ) - 9 9 d . 9 8 - 1 5 0 ( ) - 1 3 2 e. 9 0 0 - 1 200 ( ) - 2 4

f. - 1 2 0 - 1 2 ( ) - 4 1

9- - 2 6 - 69 ( ) - 3 0 0

7 9. Escribe falso o verdadero, según corresponda.

a . La sustracción de números enteros se puede expresar como una adición.

b. La sustracción de números enteros no siempre es un entero.

C. La sustracción de enteros negativos es un entero negativo.

d . La sustracción de números enteros es un entero. e. Cero menos un entero negativo da como resultado el mismo entero negati

vo.

f. Un entero negativo menos cero da como resultado un número diferente al entero negativo.

10.En el siglo IV a.C. se inicia el cultivo en surcos y en el siglo III se inventa el estribo. Contesta las preguntas de acuerdo con la información.

a . ¿Cuál es el invento más reciente?

b. ¿Cuántos siglos hay de diferencia entre los inventos?

c. ¿Cuántos siglos es más antigua la iniciación del cultivo en surcos que la invención del estribo?

11 .Recuerda que el sismoscopio se inventó en el año 150 a.C. y el calendario en el 1500 a.C. a . ¿Cuál es el invento más reciente?

b. ¿Cuántos años hay de diferencia entre los inventos?

12.Plantea y soluciona un problema en el que utilices la sustracción de números enteros.

Ecuación

Descriptor de desempeño: / Encontrar la suma y diferencia entre números enteros y aplicar estas operaciones en la solución de problemas.


m Volumen El cubo m á g i c o o cubo de Rubik fue inventado por el arquitecto h ú n g a r o Erno Rubik en 1 974. Hacia 1980 todo el mundo hablaba de é l , lo t en ía en sus manos e intentaba resolverlo. Lamentablemente, ese furor fue menguando, hasta que en los ú l t i m o s a ñ o s , q u i z á s alimentado por la nostalgia, el in terés en el cubo ren a c i ó .

Si un cubo de Rubik mide ó cm de lado, ¿ c u á n tos de estos cubos caben dentro de una caja de 60 cm x 42 cm x 48 cm?

Clave matemática metro cúbico

Las unidades de volumen se emplean para medir el espacio que ocupa un cuerpo. El volumen se mide en múl t ip los o submúl t ip los del metro cúb ico (m3), que es un cubo de 1 m de arista. Comercialmente las unidades más utilizadas son el

3 3 1m cm y m . 1m

60 x 42 x 4 8 - ó 3 = 560

Por tanto, caben 560 cubos de Rubik.

O TALLGR Volumen O O 0

1. Completa la i n f o r m a c i ó n teniendo en cuenta la tabla.

Múltiplos del metro cúbico m3 Submúltiplos del metro cúbico

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

1 000 000 000 m

son necesarios para llenar un cubo de un kilómetro de

lado.

1000 000 m

son necesarios para llenar un cubo de un

hectómetro de lado.

1 000 m3

son necesarios para llenar un cubo de un

decímetro de lado.

1 cubo de un metro de

lado.

1 3 m

1 000 u n

cubo de un decímetro

de lado es la milésima parte de un cubo de un metro de

lado.

1 3 m

1 000 000 un cubo de

un centímetro de lado es la

millonésima parte de un cubo de un

metro de lado.

1 * ' 1 000 000 000 un cubo de un milímetro de lado es la mil millonésima parte de un cubo de un metro de

lado.

a . 8 dam3 = m3 d . 23 hm 3 = m3 g . 16 km 3 = m3

b. 20 hm 3 = m3 e. 21 dam3 = nr h . 32 km 3 = m3

c. Idm3 = m3 f. 24cm3 = m3 ¡. \Smm3 = m3

2. Contesta las preguntas, teniendo en cuenta que cada uno de los cubos que forman el cubo de Rubik miden 1 cm de lado.

a. ¿Cuál es la medida del lado del cubo de Rubik? b . ¿Cuántos cubos de 1 cm de lado hay en un cubo de Rubik? c. ¿Qué relación existe entre las dimensiones del cubo de Rubik y la cantidad de cubos

de 1 cm de lado determinada en el punto anterior? d . Escribe la fórmula para calcular el volumen de un cubo: e. Escribe la fórmula para calcular el volumen de un prisma de base rectangular: _

3, Calcular el volumen de los prismas de base rectangular.

a, Volumen = cm m d . Volumen cm = m

A cm

5 cm

b. Volumen cm m e. Volumen = cm m

1 1 fe*"

3 cm

2ar

5 cm

c. Volumen cm m3

f. Volumen cm m

4 cm

6 cm

4 cm

3cm

4, Calcular el volumen de cada prisma recto de base triangular. Sugerencia: recuerda que la fórmula para calcular el volumen de un prisma es a-h (área de la base por altura) y

1 la fórmula para calcular el área de un triángulo es — b.h 2

Volumen= a-h Volumen = %cm 1 4cm- }cm

Volumen= a. *b,h V¿ J

Volumen = 8 cm • í — cm2

Volumen= %cm • (6cm2) - 48 cm3

o . Volumen cm = m c. Volumen = m

6 cm

5 cm

3 crr

ó crr

6 cm

b . Volumen cm m d . Volumen cm m

2 cm

7 cm

8 cm

5, Calcula el volumen de un cilindro. Sugerencia: emplea la misma formula utilizada para calcular el volumen de un prisma a-h, debido a que se puede considerar la base del cilindro un c í r c u l o como un p o l í g o n o con un n ú m e r o infinito de lados.

u - Volumen

Volumen

Volumen

Volumem

Volumem

: ( á rea de la base) • altura : {n • r 2). altura

-- {n • 32 cm 2 ) . 5 cm

{K • 9 . cm 2 ) . 5 cm

45 • TI • cm 3

3 cm

5 cm

b. Volumen = cm"

2 cm c. Volumen = cm^

4 cm 6 cm

2 cnn

y 6 . Resuelve las siguientes situaciones:

a. Una caja de cubos de a z ú c a r tiene de dimensiones: 12 cm, 3 cm y 4 cm, respectivamente, si cada cubo mide 1 cm de lado, ¿ c u á n t o s cubos de a z ú c a r se pueden ubicar dentro de la caja?

b. Para un juego infantil se utilizaron 20 cubos de 5 cm de lado y para guardarlos se necesita una caja. ¿ Q u é dimensiones debe tener la caja?, ¿ c u á n t a s posibilidades hay?

Descriptor de desempeño: / Solucionar problemas aplicando el concepto de volumen. 219


Unidades de capacidad

¿Cuánto líquido

cabe aquí?

Con frecuencia habrás escuchado frases como, ¡un litro de leche!, ¡dos litros y medio de gaseosa!, ¡tres litros de agua!

Para responderle la pregunta a nuestro personaje se usan las unidades de capacidad, las cuales se utilizan para determinar la cantidad de líquido que cabe en un recipiente.

•

La principal unidad para medir la capacidad es el l i t ro, I. Sus múltiplos son: el kilolitro (kl), hectolitro (hl) y decalitro (dal). Sus submúltiplos son: el decilitro (di), el centilitro (el) y el mililitro (mi).

Las equivalencias entre el litro, sus múltiplos y submúltiplos son:

1 kl = 1000 / ; l hl = 100 / ; 1 dal = 10 / ; 1 / = 10 di; 1 / = 100 el; 1 / = 1000 mi Las unidades de capacidad y volumen también se relacionan entre sí de la siguiente forma:

1 / = 1 dm} = 0,001 m3 = 1 000 cm3; 1 000 / = 1 m3

es TALLER Unidades de capacidad />>;; 1 , Completa los espacios de tal forma que se cumpla la igualdad.

a . 3 / = mi C. 2 dal = el e. 4 A7 = di

kl f. 580 / = dal b. 7 hl = mi d . 1 500 dal =

Escribe la letra correspondiente, teniendo en cuenta las equivalencias entre las unidades de capacidad y volumen.

a . 300 /

b. 3 kl

c. 3 000 mi

d . 30 / ; /

( ) 30 000 cm3

( ) 3dm3

( ) 0,003 m3

( ) 3m3

e. 3 000 el

f. 30 dal

g. 300 di ( )

30 dm3

300 000 cm3

3 000 000 m3

? 3 . Escribe < , > , ó = , s e g ú n corresponda.

a . 10 / 1 dal C, 21 1 000 cm3

b. 1 m3 3 kl d . 20 hl 100 da/ e. 5 000//?/ 500 el f, 5 / 500 cm3

y 4, Una atleta consume el primer d ía 1 30 dal, el segundo 1 200 hl y el tercero 1 500 el. Contesta las siguientes preguntas de acuerdo con la informac i ó n .

a . ¿ C u á n t o s decalitros de agua consume el atleta durante el primer y segundo d í a ?

b. ¿ C u á n t o s centilitros de agua consume el atleta durante el segundo y el tercer d í a ?

c. ¿ C u á n t o s litros de agua consume el atleta durante los tres d ías?

d. Expresa la cantidad de litros del punto c. en mililitros.

e. Determina los litros que le faltan a la atleta para completar un kilolitro en los tres d ías .

y 5. En una granja se obtiene en la primera semana 230 000 mi de leche, en la segunda semana 32 000 di y en la tercera semana 30 dal. Teniendo en cuenta la i n f o r m a c i ó n contesta las siguientes preguntas.

a . ¿ C u á n t o s decilitros de leche se obtuvieron durante la primera y segunda semana?

b. ¿ C u á n t o s decalitros de leche se obtuvieron durante la segunda y tercera semana?

c. ¿ C u á n t o s litros de leche se obtuvieron durante las tres semanas?

d. Expresa la cantidad de leche del punto c en kilolitros.

Descriptor de desempeño: / Identificar las unidades de capacidad y establecer relaciones entre ellas y entre las unidades de volumen.


• Traslaciones, reflexiones, rotaciones

A n t i g u a m e n t e los espejos eran chapas convexas de plata o de cobre f u n d i d o con estaño, pero con el paso del t i e m po estos espejos de metal se volvían oscuros y o p a c o s . Los pr imeros espejos de v idr io fueron inventados en M u r a n o (Italia) en el año 1 5 0 7 por dos artesanos c o n o c i d o s c o n los nombres de D o m i n i c o y A n d r e a .

Los espejos nos permi ten ver i f icar si una f igura es simétrica o no .

Clave matemática

Continuamente estamos ante situaciones en las que los objetos que nos rodean se mueven mediante rotaciones, traslaciones o reflexiones, movimientos denominados isométricos. Iso significa igual y métricos medida, es decir, movimientos que mantienen la forma y el tamaño de los objetos.

La rotación es una transformación en el plano, consiste en girar una figura alrededor de un punto con una amplitud y un sentido específico.

El punto sobre el cual gira la figura se denomina centro de rotación; la amplitud son los grados que gira la figura y el sentido es positivo cuando gira en dirección contraria a las manecillas del reloj y negativo cuando gira en el mismo sentido de las manecillas del reloj.

Para realizar una rotación debes primero unir el centro de rotación con cada uno de los vértices de la f igura; segundo, ubicar el grado según la amplitud con cada una de las líneas trazadas en el primer paso; tercero, con un compás marcar la amplitud de los vértices en los nuevos ángulos y, por último, unir los puntos respectivos.

O TALLER Traslaciones, reflexiones, rotaciones O o °

1 . La i m a g e n que muestra un espejo se d e n o m i n a reflexión, además del espejo, en el en t o r n o se encuent ran e lementos que ref lejan diferentes objetos o seres de la naturaleza ¿Cuáles son?

2, Observa la imagen y determina el valor de verdad de cada enunciado.

a . Cada punto de los que forman el personaje de la unidad tiene una imagen. ( )

b. El personaje de la unidad y la imagen en el espejo no coinciden en tamaño y forma. ( )

c. Un punto del personaje de la unidad y su imagen están a igual distancia del eje de reflexión. ( )

3, Utilizando el espejo refleja cada uno de los siguientes objetos: un reloj de pulso, una foto, el teclado del celular, la palma de la mano sobre una superficie

Emplea también el espejo para encontrar los mensajes escondidos.

- D m i 9 D 9 u q o n o 2 i 9 q onu 9 u p o l oboT" " b D b Ü D 9 T oh9DoH n ó i b o q a o i t o cionig

.eáonDit Dt2Ü9von ,9meV oiluL

9219DDH 9 b T D ¡ 9 b Ofl 29 9 t n D t l O q m ¡ oJ" " 2 D t n u g 9 i q

.oDÍtóm9tDrn y coiait ,(529 f -9X8 T) nigtaniB tigdIA

¿Qué concluyes?

4. Calca la silueta del personaje de la unidad, recórtalo y dóblalo por la mitad, ubica el tronco del muñeco de lado al espejo.

a. ¿Qué figura se ve?

b. ¿Qué elementos de tu entorno natural y artificial cumplen esta característica? Sugerencia: verifícalo ubicándolos de lado al espejo.

£} un eje de reflexión (espejo) divide una figura u objeto en partes iguales, se dice que la figura es simétrica y tiene simetría de reflexión. El eje de reflexión se denomina eje

de s¡me+tía.

En la silueta del personaje ubica los puntos A, A ' , 8, 8 ' y mide la distancia entre los puntos.

a . ¿Cuál es la distancia entre el punto A y el eje de simetría?

b. ¿Cuál es la distancia que hay entre el punto A ' y el eje de simetría?

c. ¿Cuál es la distancia hay entre el punto 8 y el eje de simetría?

d. ¿Cuál es la distancia entre el punto B' y el eje de simetría?

e . Ubica otros puntos y contesta las preguntas d y e, con los nuevos puntos.

f. ¿Qué concluyes?

5, Las siguientes figuras son simétricas, utiliza la cuadrícula para completar la figura.

I y 7. Diseña en cartulina un cuadrilátero similar a este I I y recórtalo.

a . En un octavo de cartulina diseña un geoplano, la distancia horizontal y vertical entre puntos es de 2 cm.

b. Ubica la figura en el punto A del geoplano.

c. Traza una flecha que inicie en el punto A y pase por el punto 8 y traslada la figura hasta el punto 8, cálcala.

d. Traza una flecha del punto A al punto 8, del punto 8 al punto D, del punto D al punto C.

e. Siguiendo la flecha traslada la figura del punto A al punto 8 y cálcala, del punto 8 al punto D y cálcala, finalmente del punto D al punto C y cálcala. ¿Para llegar a la última ubicación es posible realizar otras traslaciones de la figura? Justifica la respuesta.

f. Selecciona un punto y denótalo con M, y ubica un punto de la figura en este lugar, luego trasládala 3 unidades hacia la izquierda y 4 unidades hacia abajo. ¿A qué posición llegaste?

g. Inventa una traslación y socialízala a tus compañeros.

B

S 8. El arte usa muchas veces figuras trasladadas y simétricas. Traslada el diseño a cada uno de los cuadros, cálcalo y encuentra los ejes de simetría en la figura formada.

* 7 9 . Escribe falso o verdadero, s e g ú n corresponda.

a . Al girar una figura, se conserva su forma.

b. Al girar una figura, la p o s i c i ó n no cambia.

c. Al girar una figura, se conserva la forma mas no la u b i c a c i ó n ni la p o s i c i ó n .

d. El centro de r o t a c i ó n puede estar fuera de la figura.

e. Si una figura gira 9 0 ° en sentido positivo, equivale a girar 9 0 ° en sentido negativo.

f. Si una figura gira 6 0 ° en sentido negativo, equivale a girar 3 0 0 ° en sentido positivo.

f 10.Teniendo en cuenta los giros que realizan las manecillas de un reloj, contesta las siguientes preguntas.

a . De las 1 2:00 a las 12:15, ¿ c u á n t o s grados g i r ó el minutero?

b. De las 1 2:35 a la 1:00, ¿ c u á n t o s grados g i r ó el minutero?

C. De las 2:45 a las 3:30, ¿ c u á n t o s grados g i r ó el minutero?

d. De las 4:00 a las 5:00, ¿ c u á n t o s grados g i r ó el minutero?

1 1 . Teniendo en cuenta un transportador, contesta las siguientes preguntas.

a . Si tengo un á n g u l o de 3 0 ° y el lado final gira en sentido positivo 9 0 ° con respecto al v é r t i c e , ¿ c u á l es la medida del nuevo á n g u l o ?

b. Si tengo un á n g u l o de 4 5 ° y el lado final gira en sentido positivo 4 5 ° con respecto al v é r t i c e , ¿ c u á l es la medida del nuevo á n g u l o ?

C. Si tengo un á n g u l o de 1 6 0 ° y el lado final gira en sentido positivo 2 0 0 ° con respecto al v é r t i c e , ¿ c u á l es la medida del nuevo á n g u l o ?

d. Si tengo un á n g u l o de 1 8 0 ° y el lado final gira 3 6 0 ° con respecto al v é r t i c e , ¿ c u á l es la medida del nuevo á n g u l o ?

1 2 . Mide y determina la cantidad de grados y sentido en el cual se g i r ó la siguiente figura.

\ / \ \ A / / \ \ \ / \

A* \ & \ J '

X , u 5 — u X

Descriptor de desempeño: / Aplicar rotaciones, reflexiones y traslaciones en el plano a diferentes figuras.


• Combinaciones y permutaciones En la línea del t i e m p o se encuent ran diferentes hechos y escritos sobre los derechos h u m a n o s :

Cilindro de Ciro;

declaración de los derechos humanos del

rey persa Ciro el Grande.

Declaración de los

Derechos Humanos

de Francia.

Antonio La ley general Nariño divulgó de educación

los derechos crea el cargo humanos en de personero Colombia. estudiantil.

I

V / \ J

1 - - - 1 1

1795 1798 1994 4 0 0

539

8 0 0 1 2 0 0

En un c o l e g i o de la c i u d a d se realiza la e lección de personero estudiant i l , representante del comité de conv ivencia y representante al conse jo d i rect ivo. Para los tres cargos hay c in c o c a n d i d a t o s : Mar ía, Pablo, M a r i b e l , Car los y M i r i a m .

¿De cuántas fo rmas pueden estar o c u p a d o s los tres cargos?

1 6 0 0 2 0 0 0

Clave matemática

Al ordenar un conjunto de objetos se dice que se está haciendo una permutación de esos objetos.

Al organizar varios objetos y no es indispensable el orden, se dice que se está haciendo una combinación de esos objetos.

w TALLER Combinaciones y permutaciones O o 0

1. Para contestar un examen de cuat ro preguntas se da la opción a un estudiante de resolver so lamente dos preguntas .

a . Escribe todas las pos ib i l idades q u e t iene para se leccionar las dos preguntas .

b. ¿La situación anter io r cor responde a una permutación o una combinación? Justifica la respuesta.

C. ¿Cuántas pos ib i l idades t iene c a d a estudiante de se leccionar las dos preguntas?

d . ¿Cuántas pos ib i l idades t iene el estudiante, si o b l i g a t o r i a m e n t e d e b e contestar la pr imera pregunta?

y 2 . Camilo se encuentra en la Casa C y en la tarde tiene planeado ir a entregar invitaciones para la fiesta de cump l e a ñ o s a sus t ías Adriana, Elizabeth, Beatriz y Doris.

a . Antes de salir, Camilo traza todos los posibles recorridos desde su casa, a y ú d a l e delineando cada recorrido con un color diferente.

b . Escribe en el cuaderno todas las posibilidades que tiene:

1) Casa , Casa , Casa , Casa

C . ¿ C u á n t a s posibilidades tiene Camilo para entregar las invitaciones?

• / * 3 . En una competencia de atletismo hay tres participantes y se p r e m i a r á n ú n i c a m e n t e los dos primeros puestos

a . Escribe todas las posibilidades para ocupar los dos primeros lugares.

b . ¿ C u á n t a s posibilidades hay para ocupar los dos primeros lugares?

c. ¿En esta s i t u a c i ó n es importante el orden? Justifica tu respuesta.

d . ¿La p r e m i a c i ó n de la competencia corresponde a una p e r m u t a c i ó n o a una combin a c i ó n ?

y 4. Las placas de los carros en Colombia se componen de tres letras y tres d í g i t o s , para asignar la placa al carro de Luis se tienen las letras S, T, A y los n ú m e r o s 3, 5, 8.

a . Escribe todas las posibilidades para formar la placa del carro.

b . ¿ C u á n t a s opciones hay para formar la placa del carro?

c. ¿En este caso es importante el orden? Justifica tu respuesta

d . ¿Esta s i t u a c i ó n corresponde a una c o m b i n a c i ó n o a una p e r m u t a c i ó n ?

y 5. Soluciona cada s i t u a c i ó n y c l as i f í ca la en c o m b i n a c i ó n o p e r m u t a c i ó n .

a . En un grupo de trabajo de cuatro integrantes hay cuatro roles definidos: l íder, secretario, tesorero y relaciones p ú b l i c a s . ¿ D e c u á n t a s maneras se pueden organizar?

b . En el centro comercial Sof ía c o m p r ó pantalonetas, camisetas y cachuchas, cada a r t í c u l o en un lugar diferente. ¿ C u á n t o s y c u á l e s recorridos pudo haber realizado So f í a?

C . Al ingresar cuatro n i ñ a s , Johana, M ó n i c a , M a r í a Fernanda y Ana M a r í a , a una flota hay tres asientos libres. ¿ C u á n t a s y c u á l e s posibilidades tienen para sentarse?

Descriptor de desempeño: / Establezco diferencias entre combinaciones y permutaciones.


% Conceptos básicos de probabilidad Supongamos que los números de los billetes de lotería tienen tres cifras. Escribe 40 posibles números para 40 billetes y escoge uno; ten en cuenta que es posible tener números con cifras ¡guales.

Luego, pregúntale a un grupo de cinco personas por un número de tres cifras, ¿cuántas personas dijeron un número de los 40 que escribiste?, ¿cuántas dijeron el número que escogiste?

¡Imagínate la posibilidad de que nuestro personaje se gane la lotería, si los billetes tienen números de cuatro cifras!

¿Qué tan posible es ganarme la lotería?

Clave matemática • Un experimento aleatorio es un ensayo o acción en la cual no se conoce el resulta

do hasta que se realice; sin embargo, se pueden determinar los posibles resultados antes de ser realizado.

• El espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento muestral; se simboliza con S.

• Un evento es un conjunto formado por elementos del espacio muestral. • La probabilidad de un evento es el cociente entre el resultado favorable y el núme

ro de elementos del espacio muestral. Un experimento aleatorio es lanzar una moneda, para este experimento el espacio muestral es S = {cara, sello}; un evento podría ser obtener cara en un lanzamiento, por

tanto, la probabil idad de que eso ocurra es — =0,5 ; es decir, de las dos posibilidades, una es cara. ^

O TALLGR Conceptos básicos de probabilidad O S 1. Escribe el espacio muestral de los experimentos.

a . Lanzar un dado. b. Lanzar dos monedas. c. Sacar una balota negra de una bolsa que contiene dos balotas blancas, dos negras

y dos grises. d . Lanzar dos dados. e. Escoger una mujer de un grupo de diez personas, donde la mitad son hombres y el

resto son mujeres.

^ 2. Teniendo en cuenta el ejercicio uno, calcula la probabil idad de los siguientes eventos: a . Obtener un número par al lanzar un dado. b. Obtener dos figuras ¡guales al lanzar dos monedas.

C. Sacar una balota negra de la bolsa que contiene dos blancas, dos negras y dos grises.

d. Obtener dos n ú m e r o s iguales al lanzar dos dados. e . Escoger una mujer de un grupo de diez personas donde la mitad son hombres y el resto

son mujeres.

3. Escribe falso o verdadero, según corresponda. a . La probabilidad de un evento se encuentra entre 0 y 1. b. La probabilidad de un evento puede ser mayor a 1.

un espacio mues-

c. La probabilidad de un evento puede ser 1. d. Un evento puede tener los mismos elementos de

tra I. e . Un evento puede tener mayor cantidad de elementos que un espacio mues

tral. f. Un evento puede tener menor cantidad de elementos que un espacio mues

tral. g . El resultado de una o p e r a c i ó n m a t e m á t i c a es un experimento aleato

rio. 4 . La siguiente i n f o r m a c i ó n corresponde a algunas comidas

y bebidas que se encuentran en un restaurante. Contesta las preguntas de acuerdo con la i n f o r m a c i ó n . a . ¿ C u á l es la probabilidad de comer pizza? b. ¿ C u á l es la probabilidad de comer perro caliente y

salchipapas? c. ¿ C u á l es la probabilidad de comer hamburguesa y

tomar malteada? d. ¿ C u á l es la probabilidad de comer hamburguesa,

salchipapas y jugo?

Comida Bebida

Perro caliente Jugo

Hamburguesa Gaseosa

Pizza Malteada

Salchipapas Yogurt

/ " 6.

La siguiente i n f o r m a c i ó n corresponde al g e n e r ó de pel ícu las que se encuentran en diez salas de cine de un centro comercial. De acuerdo con la informac ión contesta las preguntas.

a . ¿ C u á l es el g é n e r o con mayor probabilidad de ser escogido?

b. ¿ C u á l es el g é n e r o con menor probabilidad de ser escogido?_

c. ¿ C u á l es la probabilidad de escoger una pe l ícu la de terror?

d. ¿ C u á l es la probabilidad de escoger una pe l ícu la infantil?

e. ¿ C u á l es la probabilidad de escoger una pe l ícu la de drama?_

Sala Género Sala Género 1 Drama 6 Terror 2 Terror 7 Drama 3 Infantil 8 Infantil 4 Drama 9 Terror 5 Drama 10 Drama

Plantea y soluciona un problema que involucre el c á l c u l o de la probabilidad de algunos eventos.

Descriptor de desempeño: / Calcular la probabilidad de eventos simples en la solución de situaciones problema.

Matemática tecneativa D o m i n é y s u d o k u

/ S u d o k u

Soluciona las ecuaciones. Escribe el resultado en el cuadro correspondiente y resuelve el sudoku.

A . 2 x Y - 3,5 = 7,5

B. 2,5 x Y + 15 = 35

C. 2 x Y + 3 = 7

D. X - 5 , 2 5 - 3,75

E. X - 2 , 0 8 = 0,92

F. G. H, I

/

X + 8,01 = 9,01

X - 4 , 9 = 1,1

3 x Y - 1 = 2 0

X - 1,6 = 2,5

C E A H 1 G D

1 1 G F D H B

¡ H D B 1 F

E F 1 C 8 1 H

G H C 1 D F 5 E

A E H F C 1

C E B G D F )

A D H F C B E G ¡

B B A E H 1 D o m i n ó

Materiales

• Cartón paja o cartón cartulina

• Tijeras

• Colores, temperas o recortes de gráficos de revistas

Marcadores

Instrucciones 1 Realiza en la cartulina 20 rectángulos de 3 cm x 6 cm, es decir del mismo tamaño que

el rectángulo que aparece más adelante en el dibujo, y córtalos.

Divide en dos partes ¡guales los rectángulos y marca la división con colores o marcadores, tal y como aparece en el dibujo. Realiza este paso con todos los rectángulos.

1

Matemática netneattouz

3, Escribe los siguientes n ú m e r o s racionales en diferentes r e c t á n g u l o s , de tal manera que solo utilices una cara de cada r e c t á n g u l o

6_ 12 11 7

Por ejemplo:

3 7

l 3

5 3

0 9

2_ 11

J_ 6

1_ 13 6 9

2

5 7

4. En los otros r e c t á n g u l o s escribe solamente en una cara los n ú m e r o s decimales, que son equivalentes a cada uno de estos n ú m e r o s racionales.

o

5. En otras caras puedes escribir n ú m e r o s racionales que sean equivalentes a algunos de los n ú m e r o s que aparecen en el punto 3.

o

6. Por ú l t i m o , en las caras que te faltan realiza g r á f i c o s que representen algunos de los n ú m e r o s que aparecen en el punto 3.

Juega

Este d o m i n ó lo puedes jugar con tres personas m á s .

/ Reparte las fichas, que son los r e c t á n g u l o s que cons t ru í s te .

Tapa tus fichas, para que nadie las vea y rifa la salida.

Comienza el que haya ganado la rifa, colocando una de las fichas en la mesa para que todos la vean.

D e s p u é s el jugador que está a su derecha coloca una ficha que tenga a l g ú n n ú m e r o o dibujo relacionado con lo que aparece en la ficha del primer jugador, solamente tiene dos opciones puesto que hay dos caras en la ficha.

/ C o n t i n ú a el jugador que está a su derecha y así sucesivamente.

/ Si a l g ú n jugador no tiene ninguna ficha relacionada con las que es tán puestas en la mesa, por tanto, c e d e r á el turno a otro jugador.

/ Gana el jugador que quede sin fichas.

Jornada lúdica (paper toys)

A c t i v i d a d comp lementa r ia

C u a n d o se t ienen objetos semejantes, es decir, sus fo rmas son iguales, pero di f ieren en t a maño, se pueden establecer p roporc iones entre sus longi tudes. Por e j e m p l o , el diámetro de las l lantas del PT Cruiser que vas a a r m a r es 2 ,3 cm a p r o x i m a d a m e n t e , y en la rea l idad el diámetro de esta l lanta es 51 c m , con lo cual se d e d u c e que cua lqu ie r m e d i d a del m o d e l o

a r m a d o se mul t ip l ica por —^r = 2 2 . z, ó

También se puede c o n o c e r el a n c h o real del a u t o . En el m o d e l o su a n c h o es 7 c m y mul t ip l i c a d o por 2 2 se obt iene el a n c h o real 154 cm Act iv idad

Al te rminar el a r m a d o del m o n t a j e , t o m a las med idas necesarias con una regla para ca lcu la r las s iguientes medidas . De ser necesar io, usa n = 3

1. La long i tud del auto real .

2. La al tura del a u t o .

3. La long i tud del capó.

4. El a n c h o y el a l to del v idr io panorámico.

5. Teniendo en cuenta las expresiones para área del círculo, hal la el área de las ruedas del m o d e l o , y del a u t o en la rea l idad .

6. Hal la el área de la parte metálica de la rueda del car ro (aro o rin) en el m o d e l o y en la r e a l i d a d .

7. Restando las áreas anter iores, hal la el área de la parte de c a u c h o (neumático) en el m o de lo y en la rea l idad .

A n o t a los p rocedimientos en tu c u a d e r n o . C a l c a el s iguiente m o d e l o , recórtalo y ármalo.

Matemática w&teOtiouZ

Modelo PT Cruiser

Cálculo de combinaciones y permutaciones con ayuda del computador

Ejercicio: 1 . Encuentra el número de combinaciones posibles que se pueden realizar con la letras a,

b, c, d y e, formando grupos de dos, tres, cuatro y cinco letras en cada combinación. 2. Halla el número de permutaciones que se pueden realizar con los números 1, 2, 3, 4 y

5, formando grupos de dos, tres, cuatro y cinco números en cada permutación. 3. Encuentra el número de combinaciones posibles que se pueden realizar con ó, 7, 8, 9 y

1 0 letras diferentes. 4. Encuentra el número de permutaciones que se pueden realizar con 6, 7, 8, 9 y 1 0 nú

meros diferentes. Para realizar la actividad número uno, el procedimiento es muy sencillo, solo debes escribir en una celda la siguiente fórmula: = combinat(5;2), el número 5 indica la cantidad de elementos, cinco letras, y el número 2 indica la cantidad de elementos que tiene cada combinación. Recuerda que para introducir una fórmula en Excel se debe anteponer el signo = . Al dar enter, el programa nos genera el número de combinaciones, 10.

Ahora, con tres elementos en cada combinación, se pueden realizar diez combinaciones; la fórmula es = combinat(5;3).

Con cuatro elementos en cada combinación, se forman cinco combinaciones.

mmm »m

Con cinco elementos en cada combinación se puede obtener una combinación.

•t;.-i-.: re ! ¡ . ;

u n j I O r a »

Realizaremos las actividad dos, el procedimiento es similar; la fórmula que se dígita es — permutaciones(5;2) para dos elementos en cada permutación; se obtienen 20 permutaciones.

* - % m *4 - 1

íPffiMUTACIOMES{57}

J 4 1 wl 5 8 T

• 9 W 11 11 11

í*

232

Para tres elementos en cada permutación se pueden obtener 60 permutaciones.

a • A • m m m •* * ••

Para cuatro elementos en cada permutación se pueden obtener 120 permutaciones.

:c¿'¡ A ••> p J .j ¿> ¡i . i ~ .:i a • ^ ITKIO Irairiw Cutno de pagns formulas BMoi

¡ a j í ' - J 3 « J e -¿ 7 ti í i • —* ; Inioo ; Insertir Diieñc Se oigme Fe,™

* % 9» *J .1

Dívudve « número de

t;o Oí 0t))*iM er

*ceol» I C*nc»»r

A 8 C • 0 i f Q Jí_ • ' 1 129

3

4

5

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Con cinco elementos en cada permutación se pueden obtener 120 permutaciones.

=P£RMUT ACIONES(5.5)

mm Tamaño :

SI - s m ••

objetn Qjt pueden M

TamaAo ei MI " w o de objetoeen ctdt. otntuwodn.

Actppy ] | C»r«*-y

Pega, -j Copiai

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M i 1

-|u

5 ' _ '

A* A

m m m ir m. Generji

Al - ^ £ =PERMUTACI0MES(5,5)

1 120

2

3

4

5

6

7

S

9

10

11

12

13

Las actividades tres y cuatro tú las debes realizar.

Prueba de unidad

Contesta las preguntas 1 al 10 con base en la siguiente información.

Al pesar diferentes objetos en la báscula se observan los siguientes pesos:

1. Los objetos del más liviano al más pesado se encuentran en el siguiente orden:

Carpetas, marcadores, cuadernos, maleta.

Carpetas, marcadores, maleta y cuadernos.

C, Marcadores, carpetas, maletas y cuadernos.

Maleta, cuadernos, marcadores y carpetas.

2 . En cuántos kilogramos es más pesado la maleta que las carpetas:

A. 3 660,76 g C 3 200,4 g

2 740,04 g 0 460,36 g

El peso de cinco cajas de marcadores se obtiene:

Dividiendo 480,78 entre 5 g

5

8.

Sumando 480,78 con 5 g

C. Multiplicando 480,78 por 5 g

D. Restar 480,78 de 5 g

La caja de marcadores vacía pesa 0,050 kg y contiene 12 unidades. El peso de un solo marcador es:

A, 2 403,9 g C, 492, 78 g

B. 40,065 g D, 40,069 g

El triple del peso de los cinco cuadernos y la caja de marcadores es:

A. 3 • (3200,38 g + 480,78 g)

B. 3 200,38 g + 3. 480,78 g

C. 3 • (3200,38 g) + 480,78 g

3 • 3200,38 g

Si una caja de ¡abones pesa la mitad de la maleta con ropa, el peso de la caja es:

A. 1 600,2 g C . 9 601,2 g

6 400,8 g 3 200,4 g

La razón entre la cantidad de carpetas y la cantidad de marcadores es:

4 4_ 10

8 12 8 12

De las cualidades de los marcadores son magnitudes:

A. El color y el peso.

El peso y el ancho

C, El ancho y el color

D, El color y la forma Hoy puedo comprar con $ 1 0 000 los cinco cuadernos, pero al pasar el tiempo sube el precio de cada cuaderno a $2 500, luego con el mismo dinero compraré solamente 4 cuadernos. La situación anteriores ejemplo de:

A. Una proporción directa

Una razón

Prueba de unidad C. Una proporción inversa

ti. Una multiplicación

Teniendo en cuenta que con $ 1 0 000 puedo comprar hoy cinco cuadernos. La cantidad de cuadernos que puedo comprar hoy con $60 000 es:

La tercera parte

B. El doble

Seis veces más

D. La quinta parta

Conteste las preguntas 11 a la 15 con base en la siguiente información.

El túnel férreo de Seikan (Japón) fue construido a 240 m bajo el nivel del mar.

El túnel vehicular de Hitra, Noruega, se construyó a 264 m bajo el nivel del mar.

La estatua más larga se ubica cerca de Bami-yan (Afganistán), mide 305 m de alto

La escalara en espiral más alta se encuentra en Barcelona (España), mide 63 m

Will iam G. Smith, de Inglaterra construyó uno de los submarinos más pequeños y alcanza una profundidad aproximada de 348 m bajo el nivel del mar.

Los submarinos rusos de clase Alfha, activados por energía nuclear, alcanzan una profundidad de 762 m bajo el nivel del mar.

Los números enteros que representan cada una de las situaciones anteriores en el orden que se presentan son:

240, - 2 6 4 , 305, 63, - 3 4 8 , 762

240, 264, - 3 0 5 , - 6 3 , 348, 762

- 2 4 0 , 264, - 3 0 5 , 63, 348, - 7 6 2

- 2 4 0 , - 2 6 4 , 305, 63, - 3 4 8 , - 7 6 2

La cantidad de metros de altura que hay entre la estatua y un submarino Alfha en su máxima profundidad equivale a:

A. - 7 6 2 + 1 0 6 7

305 - (-762)

C. - 7 6 2 - 3 0 5

D. - 3 0 5 + 7 6 2

La distancia entre la escalera más alta y el submarino construido por Smith en su máxima profundidad se determina por:

|63| + |-348|

B. ( -63)+348

|63| +1-348| D. 63 + ( -348)

La distancia del nivel del mar (0 m) al submarino construido por William G. Smith en su máxima profundidad se representa por:

|348|

348

C. - 3 4 8

1-3481

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

B O O O O O O O O O O o o o o c o o o o o o o o o o o o o o

239

misión 6°

Education