Sesin 17

Ficha 17 - Matemtica

Transformaciones geomtricas con azulejos

En pleno centro limeo se encuentra el convento de Santo Domingo, entre sus paredes vivieron personajes tales como San Martn de Porres, San Juan Macas y en su interior se encuentra el sepulcro de Santa Rosa de Lima.

Cuando accedimos al convento pudimos observar, en la decoracin del patio, esplendidos azulejos que fueron trados a Lima desde Sevilla, ciudad en la que los fabrico el taller de Hernando de Valladares. Los azulejos sevillanos fueron colocados utilizando algunas transformaciones geomtricas.

El enorme claustro est decorado por azulejos en todas sus paredes hasta una altura de 240 cm. y que culmina en una cenefa en la que se representan los grandes personajes de la orden dominica. En los grandes paneles de azulejos sevillanos se intercalan algunos de tipo limeo y que se caracterizan por una superficie ms porosa y sin el vidriado de los espaoles.

1. Cmo son las figuras que ves en los azulejos?

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2. Se pueden observar cambios de posicin con respecto a una figura determinada en los diseos de los azulejos?

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3. Qu se entiende por transformaciones geomtricas?

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4. Qu transformaciones geomtricas se han aplicado en las paredes del convento de Santo Domingo?

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5. Conoces otros tipos de transformaciones geomtricas?

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Aprendemos:

Respecto a la situacin planteada Los azulejos del Convento de Santo Domingo en Lima, se observan que los diseos utilizados en las paredes estn formado por cuatro azulejos los cuales para la decoracin de toda la superficie se aplica las transformaciones geomtricas: simetra, traslacin y rotacin.

TRANSFORMACIONES GEOMTRICAS

TRASLACIN

Es una transformacin geomtrica que se realiza en el plano. En esta transformacin, las figuras solo cambian su posicin, es decir, solo cambian de lugar. Su orientacin, tamao y formas se mantienen.

ROTACIN O GIRO

Es una transformacin en la que los movimientos de la figura alrededor de un punto fijo en el plano. En las rotaciones, las figuras conservan su forma, tamao y ngulos. Si el giro es en sentido antihorario, ser positivo, y ser negativo cuando sea un sentido horario.

SIMETRIA

Son aquellas transformaciones que invierten los puntos y figuras del plano, puede ser respecto de un punto (simetra central o puntual) o respecto de una recta (simetra axial)

La cancha de ftbol es simtrica

Eje de reflexin

HOMOTECIA

Es la transformacin geomtrica que no tiene una imagen congruente, ya que, a partir de una figura dada, se obtiene una o varias figuras de mayor o menor que la figura inicial. Para ello se parte de un punto escogido arbitrariamente, el cual se llama centro de homotecia (O). Desde l se trazan tanto segmentos de recta como vrtices tenga la figura que se va a transformar. Se debe considerar la razn de homotecia (k), que viene a ser la escala en la que se realiza la reproduccin.

Ampliacin

Reduccin

2

0 < k < 1

k>1

Analizamos

1. Seala el centro (o) y la razn de homotecia en los siguientes casos.

Fig. (2)

Fig. (1)

Fig. (3)

Fig. (4)

RESOLUCIN

Se considera a los cuadrados ABCD como la figura original y los cuadrados ABCD como la figura transformada de acuerdo a una razn.

Para determinar el centro de homotecia trazamos rectas que pasen por los vrtices A y A, B y B, y as sucesivamente; el punto de intercepcin ser el centro de homotecia.

La razn de homotecia (k) se calcula:

Si los vrtices estn a un mismo lado del centro de homotecia (O), se dice que la homotecia es directa, por lo tanto la razn ser positiva.

Si los vrtices estn a distinto lado del centro de homotecia (O), se dice que la homotecia es inversa, por lo tanto la razn ser negativa.

Entonces:

En la figura 1: la razn de homotecia es: ________ porque: _____________________

En la figura 2: la razn de homotecia es: ________ porque: _____________________

En la figura 3: la razn de homotecia es: ________ porque: _____________________

En la figura 4: la razn de homotecia es: ________ porque: _____________________

2. Observa la siguiente figura:

Cul de las siguientes figuras se obtiene al aplicarle una rotacin de centro O y ngulo de giro de 90?

(c)

(d)

(a)

(b)

RESOLUCIN:

Cuando no se indica el sentido de giro, se entiende que es antihorario (+).

Desde el punto O, se hace el giro de 90 con ayuda del transportador.

Por tanto, la respuesta es la figura C.

3. Se desea enchapar el piso del parque municipal con el siguiente diseo. Podras determinar qu tipo de transformacin geomtrica se realizaron para ubicar las piezas desde la A hasta la F?

Resolucin:

Desde la posicin A hasta la posicin F, la transformacin geomtrica utilizada ha sido la rotacin, con respecto a un punto.

Desde A hasta B: Rotacin 60 Antihorario

Desde B hasta C: _______________________

Desde C hasta D: _______________________

Desde D hasta E: _______________________

Desde E hasta F: _______________________

4. Cristian investiga para la clase de CTA sobre la formacin de las imgenes en el ojo, encontrando la siguiente informacin:

A partir de la imagen se da cuenta que el rbol observado se refleja en nuestra retina de forma invertida. Qu transformacin geomtrica se presenta en la formacin de las imgenes en el ojo? Y Sern semejantes los dos rboles mostrados en la imagen?

Resolucin:

La transformacin geomtrica es la ____________________________

Los objetos observados son semejantes porque ___________________________ y

______________________________________

PRACTICAMOS

1. Observa la siguiente imagen y colorea las figuras que tienen una misma letra en su parte inferior, de acuerdo con la transformacin geomtrica correspondiente: traslacin de color verde, rotacin de rojo y simetra de amagrfica e identifica: traslaciones y pntalas de verde, rotaciones de rojo y simetras de amarillo

2. Usa la siguiente cuadricula y dibuja el mosaico mostrado, sombrea de modo que el sombreado reproduzca la composicin dada.

Sector A

Sector C

Sector B

a) Qu tipo de transformacin geomtrica has empleado en el sector A?

___________________________________________________________

b) Qu tipo de transformacin geomtrica has empleado en el sector B?

___________________________________________________________

3. Considere la siguiente figura:

I) Q es una traslacin de P

II) R es una rotacin en 180 de P

III) S es un rotacin en 180 de R.

a) Slo II

b) Slo III

c) Slo I y II

d) Slo II y III

4. Por aniversario del IE Juan Pablo, se convoc al concurso de diseos artsticos, quedando tres finalistas. Relaciona los diseos finalistas con el tipo de transformacin geomtrica utilizado.

Traslacin

Homotecia

Rotacin

5. A partir del diseo mostrado, completa toda la cuadricula utilizando las trasformaciones geomtricas ms convenientes.

6. La figura muestra las medidas de un campo de futbol de una asociacin comunal, Felipe quiere realizar la representacin reduciendo las medidas en su tercera parte. Grafica el campo de futbol y cunto mide el permetro del campo reducido?

a) 60 m

b) 90 m

c) 135m

d) 270 m

7. Gerardo necesita cercar su jardn y decide elaborar una reja utilizando las transformaciones geomtricas. Disea dos modelos diferentes de reja decorativa a partir de figura mostrada, similares al diseo de abajo.

Similares al diseo mostrado.

8. Cul de las siguientes sera una imagen de la figura original bajo rotacin?

d)

c)

b)

a)

9. Encuentre el patrn con el que fueron generadas las figuras. Cul sera la figura que sigue?

d)

c)

b)

a)

10. Si a la siguiente figura le haces una homotecia cuyo centro sea O y su razn sea -2. Representa la figura que obtendras dentro de la cuadricula y determina su permetro. Considerar

a) 100 cm

b) 150 cm

c) 180 cm

d) 200 cm

Homotecia y tecnologa

Al fotocopiar la fotografa de Albert Einstein con la finalidad de colocarlo en el peridico mural del aula de 2do grado de secundaria se pide una ampliacin, pero la encargada de fotocopiar dicha foto, por error programa a la fotocopiadora un zoom del 70%.

15cm

10cm

11. Cules son sus dimensiones?

a) 10,5 x 7 cm

b) 9 x 6 cm

c) 7,5 x 5 cm

d) 6 x 5 cm

12. Si se programa la fotocopiadora a un 150%. Cules seran las dimensiones de la fotografa obtenida?

a) 30 x 20 cm

b) 25 x 8 cm

c) 22,5 x 15 cm

d) 20 x 10 cm

13. Cul de las siguientes alternativas representa una rotacin de la figura en 45 con centro P?

D)

14. Con el transportador determina el ngulo de giro de las figuras mostradas y relaciona su medida.

45

135

60

15. El siguiente grafico muestra la reproduccin de una imagen realizado con un pantgrafo, el cual es un dispositivo mecnico que se usa para hacer ampliaciones o reducciones de dibujos.

Figura

original

a) Cul es el factor de escala de la homotecia?

a)

b)

c) 2

d) 3

1

90 metros

4

5

m

e

t

r

o

s