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MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN DE SAN MIGUELITO
INSTITUTO RUBIANO
MATEMATICA
PRIMER TRIMESTRE
POTENCIACION Y RADICACION ALGEBRAICA
DECIMO GRADO
NOMBRES DE LOS PROFESORES:
Raquel Atencio
Harmodio Archibold
Jessica Sáenz
Darcy Grajales
Gloribeth Vega
Juan Carlos De Sedas
FECHA
19 de octubre del 2020
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INDICE
• Indicaciones generales……………………………………………… 3
• Unidad didáctica # 1 ………………………………………………. 5
• Ecuaciones cuadráticas ……………………………………………. 6
• práctica # 1 ………………………………………………………… 6
• Resolución de ecuaciones cuadráticas ……………………………… 8
• Asignación # 1 ……………………………………………………… 10
• Asignación # 2 ……………………………………………………… 10
• Unidad didáctica # 2 ………………………………………………... 11
• Primer teorema de Tales ……………………………………………. 13
• Variante del teorema de Tales ……………………………………… 15
• práctica # 1 …………………………………………………………. 17
• práctica # 2 …………………………………………………………. 18
• Asignación # 1 ……………………………………………………… 20
• Asignación # 2 ……………………………………………………… 23
• Unidad didáctica # 3 ………………………………………………... 25
• Ángulos de referencia ………………………………………………. 27
• Funciones trigonométricas en el plano cartesiano …………………. 28
• Ejercicios resueltos ………………………………………………… 30
• Asignación # 1 ……………………………………………………… 32
• Bibliografía …………………………………………………………. 35
• Correo institucional de los profesores ……………………………… 35
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INDICACIONES GENERALES:
Estimado estudiante, lea comprensivamente el contenido que se te presenta a continuación y analiza los ejemplos resueltos con el fin de que pueda comprenderlos; luego de esto realiza en su cuaderno de matemática las prácticas correspondientes a cada tema; finalmente resuelve la asignación de cada tema, estas últimas deben ser entregada de la manera que te indiquemos, para su evaluación.
OBJETIVOS GENERALES:
✓ Disfruten de las matemáticas, desarrollen su
curiosidad por estas y comiencen a apreciar su elegancia y las posibilidades que ofrecen.
✓ Desarrollen una comprensión de los principios y la naturaleza de las matemáticas.
✓ Se comuniquen con claridad y confianza en diversos contextos.
✓ Desarrollen el pensamiento lógico, crítico y creativo.
✓ Adquieran confianza en sí mismos y sean perseverantes y autónomos al pensar y resolver problemas en un contexto matemático.
✓ Desarrollen sus capacidades de generalización y abstracción.
✓ Apliquen y transfieran habilidades a una amplia variedad de situaciones de la vida real, a otras áreas del conocimiento y a avances futuros.
✓ Aprecien cómo los avances tecnológicos (de manera virtual) han influido en el aprendizaje de las matemáticas en estos tiempos específicamente.
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OBJETIVOS ESPECIFICOS:
➢ Resuelve problemas cotidianos que involucren conceptos básicos, propiedades y operaciones con ecuaciones cuadráticas.
➢ Analiza a profundidad la proporcionalidad que ofrece el teorema de Thales de Mileto.
➢ Valora la aplicabilidad con las funciones trigonométricas en el contexto.
INDICADORES DE LOGROS:
➢ Describe, con seguridad y en forma oral, el concepto de ecuaciones cuadráticas ➢ Responde con Razonamiento lógico preguntas sobre la aplicación de las
ecuaciones cuadráticas a situaciones reales. ➢ Aplica las propiedades del teorema de Thales para la solución de problemas del
contexto, en equipo de trabajo. ➢ Aplica adecuadamente las propiedades de las funciones trigonométricas en las
operaciones indicadas. ➢ Muestra el dominio sobre las funciones trigonométricas en los diferentes
cuadrantes.
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Unidad Didáctica N°1
ECUACIÓN CUADRÁTICA O ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
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En la lectura se muestra una de las muchas aplicaciones de la ecuación que estudiarás a continuación.
Al final de la unidad didáctica encontrarás enlaces de sitios web donde encontrarás todo lo referente a este
tema que estamos seguros, despertará tu curiosidad por este tipo de ecuaciones.
Una vez hayas desarrollado esta unidad didáctica:
➢ Definirás una ecuación cuadrática.
➢ Reconocerás una ecuación cuadrática completa e incompleta.
➢ Determinarás la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática.
➢ Aplicarás correctamente la fórmula general en la solución de ecuaciones cuadráticas.
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor
exponente de la incógnita es 2. Así, 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 es una ecuación de segundo grado. En esta
ecuación La “x” es la variable o incógnita y las letras a, b y c son constantes, las cuales pueden tener
cualquier valor, excepto que a ≠ 0.
Es decir, toda ecuación de segundo grado es de la forma:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 con 𝒂 ≠ 𝟎
Recibe el nombre de ecuación cuadrática en la variable x o ecuación de segundo grado, ya que la mayor
potencia que aparece en ella es dos.
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:
1) 3𝑥2 + 5𝑥 − 2 = 0 4) 𝑦2 = 7𝑦 + 2
2) 𝑥2 − 1 = 0
3) 5𝑡2 = 1
5 t 5) 8𝑥2 = 0
Las ecuaciones en los ejemplos 1, 2 y 5 están dadas en su forma estándar, es decir, en un miembro de la
ecuación están los términos que tienen la variable y la constante y en el otro miembro se encuentra el cero.
Práctica #1 (Se desarrollará en clase)
Coloca las siguientes ecuaciones en la forma general o estándar
1) 𝑥2 − 2𝑥 − 1 = 2 4) 3x-𝑥2 = 5 − 3𝑥2
2) 4+𝑥2 + 2𝑥 = 0 5) 5𝑥2 = 125
3) 2𝑥2 = 8𝑥 − 3𝑥
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ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETAS
Son ecuaciones de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, tienen un término 𝒙𝟐, un término 𝒙 , un término
independiente o término libre. Así, 2x2 + 5x + 3 = 0 es una ecuación cuadrática completa.
ECUACIONES CUADRÁTICAS INCOMPLETAS
Son ecuaciones de la forma ax2 + c = 0 que carecen del término x o de la forma ax2 + bx = 0 que carecen
del término independiente. Así, 2x2 + 3 = 0 y 2x2 + 5x=0 son ecuaciones cuadráticas incompletas.
Práctica #2 (Se desarrollará en clase)
Clasifique las ecuaciones de segundo grado en Completas e incompletas:
5𝑥2 + 3𝑥 + 7 = 0____________________ 2𝑥2 + 𝑥 = 0 ____________________
7𝑥2 − 49 = 0 ____________________ 8 + 2𝑥 + 𝑥2 = 0____________________
8𝑦2 = 0 ____________________ 𝑚2 − 𝑚 + 2=0 ____________________
RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación. Toda ecuación cuadrática tiene dos raíces.
RESOLVER una ecuación de segundo es hallar las raíces de la ecuación.
Hay tres métodos para resolver ecuaciones cuadráticas
a) Factorización b) Completando Cuadrado c) Fórmula General.
Para efecto de esta guía sólo se aplicará la Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.
Para resolver ecuaciones de segundo grado utilizamos la siguiente fórmula:
Esta fórmula nos permite resolver cualquier ecuación de segundo grado.
La expresión b2 – 4ac que aparece bajo el signo de la raíz cuadrada se llama Discriminante de la ecuación
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 y lo utilizamos para determinar el tipo de raíces. Tenemos los siguientes casos:
Caso 1: Si el discriminante es positivo(D>0), las raíces son números reales y diferentes
Caso 2: Si el discriminante es cero(D=0), las raíces son números reales e iguales
Caso 3: Si el discriminante es negativo(D<0), las raíces son números complejos conjugados.
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USO EL DISCRIMINANTE
Práctica #3
Use el discriminante para determinar el número de soluciones reales de la ecuación. No resuelva la
ecuación.
1) 𝑥2 − 6𝑥 + 1 = 0 3) 𝑥2 + 2.20𝑥 + 1.21 = 0
2) 3𝑥2 = 6𝑥 – 9 4) 3𝑥2 = 6𝑥 − 9
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
Ejemplo 1
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:
Solución:
Los coeficientes en este caso son: , , y . Vamos a sustituir los coeficientes en la
fórmula y después realizamos los cálculos que quedan indicados.
Observe que 8 es positivo, por lo tanto, las raíces son reales y desiguales.
Simplificamos dividiendo entre dos cada término:
=−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =−2 ± √(2)2 − 4(1)(−1)
2(1)
𝑥 =−2 ± √4 + 4
2
𝑥 =−2 ± √8
2
Y las soluciones de la ecuación cuadrática son:
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Ejemplo 2
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:
Solución:
Solución
Solución: {𝒙𝟏 =
𝟑
𝟓
𝒙𝟐 = − 𝟏𝟐
Ejemplo 3
Reemplazando estos valores en la fórmula general
tenemos:
,
𝐸𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜, 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑎 1. Solución:
𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 = 𝟏
En los siguientes sitios web encontrarás todo lo referente a la guía.
https://www.youtube.com/watch?v=NpVOOr9ouWg
https://www.youtube.com/watch?v=BxrJmKdPHRs
https://www.youtube.com/watch?v=-qq8Vsxjr4w
https://www.youtube.com/watch?v=KJxWGwObrmY
https://www.youtube.com/watch?v=26rkIGjlz80
discriminante
positivo: raíces
diferentes y
racionales diferentesdiferent
es y ra
discriminante es cero:
una raíz
: Comparando la ecuación dada con la forma de la ecuación general:
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ASIGNACIÓN #1
I Parte. Escriba las siguientes ecuaciones en la forma general o estándar (1 punto c/u)
1) 6𝑥2 − 3𝑥 + 5 = 1____________________. 4) 3𝑦2 − 3 = 7𝑦____________________.
2) 4𝑥 − 𝑥2 − 5 = 1 ____________________. 5) 4𝑧2 = 8𝑧 ____________________.
3) 𝑥2 = 9 ____________________.
II Parte. Clasifique las ecuaciones de segundo grado en Completas e incompletas (1 punto c/u)
1) 3𝑡2 + 5𝑡 = 0____________________. 4) 𝑚2 + 2𝑚 − 1 = 0____________________.
2) 𝑥2 − 16 = 0 ____________________. 5) 6𝑥2 + 5𝑥 + 10 = 0____________________.
3) 5𝑝2 + 4𝑝 − 2 = 0____________________.
ASIGNACIÓN #2
Encuentre las soluciones reales de la ecuación cuadrática. (5 puntos c/u)
1) 𝑥2 − 2𝑥 − 15 = 0 5) 12 − 𝑟 − 𝑟2 = 0
2) 2𝑥2 + 𝑥 − 3 = 0 6) 4𝑚2 − 3 = 0
3) 8𝑥2 − 2𝑥 = 3 7) 4𝑡2 − 21𝑡 − 7 = 0
4) 𝑥2 − 4 = 0 8) 𝑠2 − 4𝑠 − 4 = 0
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UNIDAD DIDACTICA # 2
TEOREMA DE TALES
El primer y el segundo teorema de Tales de Mileto se basan en determinar triángulos a partir de otros
semejantes (primer teorema) o de circunferencias (segundo teorema). Han sido de mucha utilidad en
diversos campos. Por ejemplo, el primer teorema resultó muy útil para medir grandes estructuras cuando
no había sofisticados instrumentos de medición.
Tales de Mileto fue un matemático griego que proporcionó grandes aportes a la geometría, de los cuales
resaltan estos dos teoremas (en algunos textos lo escriben también como Thales) y sus útiles aplicaciones.
Estos resultados han sido utilizados a lo largo de la historia y han permitido resolver una amplia variedad
de problemas geométricos.
Tales de Mileto
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¿PARA QUÉ SIRVE EL TEOREMA DE TALES?
El teorema de Tales te permite calcular la longitud de un segmento, conocidos los valores de todos los
demás segmentos de dos rectas que se encuentran en posición de Tales.
Encontrarse en posición de Tales significa que las rectas tienen que estar tal y como dice el teorema de
Tales, es decir, dos rectas secantes cortadas por varias rectas paralelas.
APLICACIÓN
Entre sus múltiples aplicaciones resalta una de particular interés y tiene que ver con una de las maneras
en que se hacían mediciones de grandes estructuras en la Antigüedad, tiempo en el que vivió Tales y en
el que no se contaba con los modernos aparatos de medición que existen ahora.
Se dice que fue así como Tales logró medir la más alta pirámide de Egipto, Keops. Para ello, Tales
supuso que los reflejos de los rayos solares tocaban el suelo formando líneas paralelas. Bajo esta
suposición, clavó en el suelo una vara o bastón de forma vertical.
Luego usó la semejanza de los dos triángulos resultantes, uno formado por la longitud de la sombra de la
pirámide (que se puede calcular con facilidad) y la altura de la pirámide (la desconocida), y el otro formado
por las longitudes de la sombra y la altura de la vara (que también se pueden calcular fácilmente).Usando
la proporcionalidad entre estas longitudes, se puede despejar y conocer la altura de la pirámide.
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Aunque este método de medición puede arrojar un error de aproximación significativo con respecto a la
exactitud de la altura y depende del paralelismo de los rayos solares (lo cual depende a su vez de un tiempo
preciso), hay que reconocer que es una idea muy ingeniosa y que proporcionó una buena alternativa de
medición para la época.
PRIMER TEOREMA DE TALES
Dado un triángulo , si se traza un segmento paralelo, , a uno de los lados del triángulo, se
obtiene otro triángulo , cuyos lados son proporcionales a los del triángulo .
Ejemplo #1:
Hallar las medidas de los segmentos y .
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Solución:
Ejemplo #2: Hallar el valor del segmento X
Solución:
Aquí tenemos dos triángulos, uno de estos formado por un segmento paralelo a uno de los lados del otro
(precisamente el lado de longitud x). Por el primer teorema de Tales se tiene que:
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VARIANTE DEL TEOREMA DE TALES
Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las
rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.
Ejemplo #1: Las rectas y son paralelas. Halla la longitud de .
Solución:
Aplicando el teorema de Tales, tenemos:
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Ejemplo #2:
1. Si las rectas son paralelas. ¿Podemos afirmar que es paralela a las rectas y ?
Solución:
Sí, porque se cumple el teorema de Tales, pues:
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Ejemplo #3: Halle el valor de x
Solución
Aquí tenemos dos rectas cortadas por dos rectas paralelas. Por lo tanto se tiene que sus respectivos lados
son proporcionales.
Práctica #1: (Se desarrollará en clase)
1. Sabiendo que el segmento DE es paralelo a la base del triángulo, las medidas de los segmentos a
y b son:
A. a = 8 cm y b = 10 cm
B. a = 9 cm y b = 11 cm
C. a = 9 cm y b = 10 cm
D. Ninguna de las anterior.
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2. ¿Cuál es la altura del montón de libros situado sobre el césped?
Práctica #2: (Se desarrollará en clase)
1. Sabiendo que las rectas r, s y t son paralelas, la longitud de x es:
A. 2.5 cm
B. 3 cm
C. 3.5 cm
D. No se puede calcular
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En los siguientes sitios web encontrarás todo lo referente a la guía:
https://www.youtube.com/watch?v=JGyYSzhCxFA
https://www.youtube.com/watch?v=-MplVMcxOEY
https://www.youtube.com/watch?v=T5Bn8024LuQ
https://www.youtube.com/watch?v=NoiOPdYtT1o
https://www.youtube.com/watch?v=staL7w-eT58
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ASIGNACION #1
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3) CALCULA EL VALOR DE X
4) CALCULA EL VALOR DE X
22
5) CALCULA EL VALOR DE X
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ASIGNACION #2
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Unidad didáctica # 3
TRIGONOMETRÍA
Objetivo:
1. Reconocer la importancia de la historia y origen de la trigonometría como rama de la matemática.
2. Adquirir la habilidad en encontrar las razones trigonométricas a partir de datos dados.
Origen De La Trigonometría
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un
triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de
pirámides.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo
Griego Hiparco de Nicea, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde
Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una
rama independiente que hace parte de la Matemática.
Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos.
A finales del siglo VIII los astrónomos, Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya
habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron
teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos.
El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo
alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los
cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje, también por este tiempo Bartolomé Pitiscus,
escribió el primer texto que llevo el título de Trigonometría con el deseo de exponer lo que el nombre
significa: MEDICION DE TRIANGULOS.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de
la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las
funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
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La trigonometría esta basada en razones llamadas FUNCIONES O RAZONES TRIGONOMETRICAS
que tuvieron sus primeras aplicaciones en la topografía, la navegación y la ingeniería.
El ángulo y sus medidas:
Si dos rayos tienen el mismo origen o extremo, pero no están en la misma recta, entonces su unión es un
ANGULO. Los 2 rayos se llaman LADOS del ángulo y el extremo común es e vértice.
Por lo general en trigonometría se considera que un
ángulo se genera por la rotación de un rayo (lado terminal) alrededor de un punto fijo (vértice)
perteneciente a un rayo estacionario (lado inicial). Si la rotación es contraria a las manecillas del reloj el
ángulo es positivo de lo contrario el ángulo es negativo.
El grado es la medida del ángulo formado por 1/360 de una revolución completa en sentido positivo.
Si se tiene un sistema de coordenadas rectangulares, un ángulo esta en POSICION NORMAL cuando su
vértice coincide con el origen y su lado inicial con el eje positivo de las x. El ángulo queda localizado en le
cuadrante donde se encuentra su lado terminal. Si este coincide con un eje coordenado, entonces el ángulo
se llama ANGULO DE CUADRANTE.
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Como se presenta en la ilustración anterior tenemos ángulo en el primer, segundo, tercer y cuarto cuadrante
respectivamente.
Ángulos coterminales: son aquellos que colocados en posición normal, tienen lados terminales
coincidentes. Así por ejemplo 30° y 390° es un par de ángulos coterminales.
Ángulo de Referencia o relacionado: Toda función trigonométrica de un ángulo mayor de 90°; puede ser
expresado en termino de función trigonométrica de un ángulo del primer cuadrante y ello es posible
mediante el ángulo relacionado.
Sea Ꝋ un ángulo en posición normal mayor que 90° y no múltiplo de él. El ángulo agudo positivo formado
por su lado terminal y el eje X se denomina ÁNGULO DE REFERENCIA O RELACIONADO. Si el
agudo dado es un múltiplo de 90°, entonces su ángulo relacionado es 0° ó 90°, según su lado terminal
coincida con el eje X o con el eje Y. A continuación se ilustra lo antes dicho.
II cuadrante
α =180°- Ꝋ
III cuadrante
α = Ꝋ - 180°
IV cuadrante
α = 360° - Ꝋ
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Veamos algunos ejemplos de cómo hallar el ángulo de referencia para los ángulos dados con su gráfica.
1. Hallar el ángulo de referencia α para el ángulo Ꝋ =240° y Ꝋ= 150° utilizando el cuadro anterior.
El ángulo de referencia es: α=60° El ángulo de referencia es: α=30°
Razones trigonométricas: Si Ꝋ es un ángulo en posición normal y P(x,y) un punto distinto del origen, perteneciente al lado terminal
del ángulo, las seis razones trigonométricas en Ꝋ definen en términos de la abscisa (x)o lado adyacente
del ángulo , ordenada (y) o lado opuesto del ángulo y la hipotenusa (c=r) o distancia de P al origen, así:
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Signos Algebraicos de las Funciones Trigonométricas:
Al tomar en consideración los signos de coordenadas de un punto cualquiera, se puede
determinar los signos que tendrán las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes ( la
distancia es siempre positiva).
Valores de las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo:
Conocido alguno de los elementos del triángulo rectángulo podemos encontrar el valor de las
razones trigonométricas, se puede calcular el resto de ella haciendo uso de las definiciones.
Soluciones a funciones trigonométricas
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EJERCICIOS RESUELTOS
Calcule los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo θ; recuerde que podemos
utilizar el Teorema de Pitágoras cuando necesitamos encontrar un dato del triángulo rectángulo que nos
haga falta donde r2 = x2 + y2 (r en algunos ejemplos también se denomina como d de distancia que
representa la hipotenusa; a=x ; b=y).
1. Funciones trigonométricas donde x=3; y=4; r=5 ejercicios resueltos:
Sen θ = 4/5
Cos θ = 3/5
Tan θ = 4
Cot θ = 3/4
Sec θ = 5/3
Csc θ = 5/4
2.Funciones trigonométricas donde r=5; y=2 x=? ejercicios resueltos
x2 + 22 = 52
x2=25-4
x = √21
Sen θ = 2/5
Cos θ = √21/5
Tan θ = 2/√21
Cot θ = √21/2
Sec θ = 5/√21
Csc θ = 5/√21
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3. Si tenemos una de las funciones como por ejemplo sen θ = 3/5 encontraremos las otras:
y = 3; r = 5; por el teorema de Pitágoras obtenemos que x = 4 por lo tanto:
Sen θ = 3/5; Cos θ = 4/5; Tan θ = 3/4; Cot θ = 4/3; Sec θ = 5/4; Csc θ = 5/3.
4. Otro ejemplo similar al anterior, si tengo que tan θ = 5/12
y = 5; x = 12; con el teorema de Pitágoras obtenemos que r = 13 por lo tanto:
Sen θ = 5/13; Cos θ = 12/13; Tan θ = 5/12; Cot θ = 12/5; Sec θ = 13/12; Csc θ = 13/5
Tenemos otros ejemplos desarrollados: 1. Si tan Ꝋ = 4 /-3 y Ꝋ está en el II cuadrante
P(-3,4) r =√𝑥2 + 𝑦2 =√−32 + 42 = √9 + 16 = √25=5
Como tenemos x = -3; y= 4; r=5 entonces:
Sen Ꝋ=4/5 cot Ꝋ=-3/4
Cos Ꝋ =-3/5 sec Ꝋ = 5/-3
Tan Ꝋ=4/-3 csc Ꝋ = 5/4
2. Si sen Ꝋ =- 4 /5 y Ꝋ esta en el IV cuadrante
X= ?
x =√(r2+y2) =√(5)2 - 42 ) = √(25 - 16) = √ 9 = 3
Como tenemos x = -3; y= 4 ; r=5 entonces:
r=5 y= -4 Sen Ꝋ= -4/5 cot Ꝋ=3/-4
Cos Ꝋ = - 3/5 sec Ꝋ = 5/3
Tan Ꝋ= -4/3 csc Ꝋ = 5/-4
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Asignación # 1
Nombre:___________________________________ Grupo:________________ Puntaje: 45 pts.
I Parte. Tema: La trigonometría y su origen.
Llena los espacios es blanco con las respuestas correctas (valor 20 puntos)
1. Fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para
efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides hace 3000 años
__________________________ y __________________________.
2. Mencione 4 lugares donde la trigonometría fue objeto de estudio: ____________________,
_________________________, _______________________ y ______________________.
3. Fue uno de los principales desarrolladores de la trigonometría: ________________________.
4. Establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos:_______________.
5. Descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos
planos como esféricos: _____________________________.
6. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo
alemán ___________________________________, llamado ________________________.
7. ________________________________escribió el primer texto que llevo el título de
Trigonometría con el deseo de exponer lo que el nombre significa:
________________________________.
8. Demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números
complejos __________________________.
9. La trigonometría està basada en razones llamadas________________________________ que
tuvieron sus primeras aplicaciones en la topografía, la navegación y la ingeniería.
10. Completa las razones trigonométricas que faltan teniendo Ꝋ un ángulo en posición normal, el punto
P (x,y) en el primer cuadrante y la distancia d al origen igual a r.
Sen Ꝋ= y/r cot Ꝋ=___________
Cos Ꝋ = __________ sec Ꝋ = __________
Tan Ꝋ= __________ csc Ꝋ = __________
Tienes toda la teoría necesaria y problemas resueltos para desarrollar la asignación que se te presentan a continuación… adelante!!
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II Parte. Desarrollo. Tema: Ángulo de referencia y razones trigonométricas (valor 25 puntos).
Para los siguientes problemas debe realizar el procedimiento para encontrar las respuestas y las gráficas
en el plano cartesiano. Para graficar el ángulo puede usar un transportador.
1. Hallar el ángulo de referencia α para el ángulo Ꝋ = 130°. (3 puntos)
2. Hallar el ángulo de referencia α para el ángulo Ꝋ = 305°. (3 puntos)
3. Encontrar las funciones trigonométricas donde x= -1; y= 1; r=? recuerde utilizar el Teorema de
Pitágoras. (4 puntos)
y= 1
x= -1
4. Construir el ángulo en posición normal (gráfica en el plano) y calcular los valores de las otras
funciones trigonométrica si: (5 puntos cada uno)
a) tan Ꝋ= -3/4 y se localiza en el II cuadrante.
b) cot Ꝋ= 3/2 y se localiza en el III cuadrante.
c) sec Ꝋ= 2
√3 , sen Ꝋ= 1/2 (debe deducir en que cuadrante está según los datos que se le dan).
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Si llegaste a los resultados por tí mismo significa que ya dominas el tema, si todavía
no lo lograste entonces quiere decir que necesitas estudiar más el tema, ¡¡revisar y
practicar con más funciones trigonométricas los ejercicios resueltos…sabemos que lo lograras!!
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Bibliografía:
Matemática 10, Ediciones Santillana;
Matemática 10 Ediciones Susaeta;
Bendiburg Zoyla y Ubaldino Sandoval (2004) Matemática I Liceo;
Matemática 10 – PEASON PRENTICE HALL,
Guía didáctica elaborada para MEDUCA por el prof. Irvin Pinto, entre otros.
Correo Institucional de los Profesores
Nombre Correo Institucional Raquel Atencio [email protected]
Jessica Saènz [email protected] Darcy Grajales [email protected]
Harmodio Archibold [email protected] Gloribeth Vega [email protected]
Juan Carlos De sedas [email protected]