MÉTODO DE TENDENCIA LINEAL (mínimos cuadrados)

Un segundo enfoque del método de tendencias (lineal) es aplicable para determinar matemáticamente las estimaciones futuras de una serie de cifras históricas como pueden ser las ventas, los costos, los gastos o las utilidades de una empresa. Esto se logra mediante la utilización del método de los mínimos cuadrados, el cual consiste en adaptar la línea recta que presenta mas exactamente a la curva de la serie de datos mediante la aplicación de la fórmula de la línea recta:

y = a + b x

Los mínimos cuadrados reportan resultados más precisos cuando se aplican a una serie de datos históricos; sin embargo, cuando en la información aparezca una cifra anormal deberá eliminarse para que los resultados no se obtengan distorsionados.

Las ecuaciones simultáneas de segundo grado que se utilizan en este método son:

y = b x + na

xy = b x2 + a x

_______________________________________

Las literales tienen el siguiente significado:

y = Importe de ventas, costos o utilidades a proyectar

b = Cuota variable unitaria.

x = Medida de actividad.

n = No. De datos o puntos representados.

a = Parte fija.

= Suma de las cantidades que debemos tomar en cuenta.

El cálculo será determinado por los valores de las siguientes incógnitas: "a" y de "b" que se obtienen mediante los tres pasos siguientes:

1o.- Calculando los valores de x; y; xy; x2

2o.- Haciendo la sustitución en las fórmulas de este método

3o.- Resolviendo las ecuaciones para conocer el valor de "a" y de "b"

E j e m p l o.-

Con la información que se proporciona en seguida calcular la tendencia de la recta de las unidades de esa empresa.

MES UNIDADES VENDIDAS

(Miles)

Enero 350

Febrero 410

Marzo 630

Abril 520

Mayo 1,010

Junio 980

Julio 1,000

Agosto 1,270

Septiembre 1,160

S o l u c i ó n

Cálculo de los valores sumatoria en miles de unidades:

n y x x y x2

1 350 1 350 1

2 410 2 820 4

3 630 3 1,890 9

4 520 4 2,080 16

5 1,010 5 5,050 25

6 980 6 5,880 36

7 1,000 7 7,000 49

8 1,270 8 10,160 64

9 1,160 9 10,440 81

y 7,330 x 45 xy 43,670 x2 285

Las ecuaciones de 2° grado que se forman quedan:

7,330 = 45 b + 9 a

43,670 = 285 b + 45 a

____________________________

Las ecuaciones anteriores pueden resolverse por cualquiera de los métodos algebraicos conocidos como son: Eliminación por suma o resta; por sustitución; por igualación; por determinantes, etc. Sin embargo también podrán resolverse por la formula despojada para cada incógnita como se muestra a continuación:

a = x2 y - x x y

n x2 - ( x)2

n x y - x y

n x2 - ( x)2

Las sustituciones de los valores sumatoria en las fórmulas queda:

a = ( 285 x 7,330 ) - ( 45 x 43,670 )

(9 x 285) - (45)2

a = 229.44

b = (9 x 43,670) - (45 x 7,330)

(9 x 285) - (45)2

b = 117.0

Por lo tanto, los valores de "y" (miles de unidades) en la formula de la línea recta correspondientes a c/u de los meses que se tienen serian los siguientes:

a + b x = y

Enero 229.44 + (117.0 x 1) = 346

Febrero 229.44 + (117.0 x 2) = 463

Marzo 229.44 + (117.0 x 3) = 580

Abril 229.44 + (117.0 x 4) = 697

Mayo 229.44 + (117.0 x 5) = 814

Junio 229.44 + (117.0 x 6) = 931

Julio 229.44 + (117.0 x 7) = 1,048

Agosto 229.44 + (117.0 x 8) = 1,165

Septiembre. 229.44 + (117.0 x 9) = 1,282

También podrán estimarse o proyectarse las unidades a venderse para los meses siguientes como sigue:

Octubre 229.44 + (117.0x10) = 1,339

Noviembre 229.44 + (117.0x11) = 1,516

Diciembre 229.44 + (117.0x12) = 1,633

Las cifras obtenidas podrán llevarse a una grafica de coordenadas cartesianas anotando los puntos para cada mes de unidades vendidas realmente, trazando posteriormente la línea recta que cruza a las unidades reales de venta.

Error relativo y error absoluto

Ea = m' - m

m' es la media de X mediciones y m es una medida puntual de esas X mediciones

Y

Er = Ea/'m

Donde Ea es el error absoluto y m es una media obtenida

Para simplificártelo conceptualmente, el error absoluto es la dispersión de las medidas y el relativo, el porcentaje de esta dispersión respecto al valor total de lo medido.

El error relativo puede expresarse en porcentaje, como he hecho, o en p.p.m. (partes por millón).

EJEMPLO:

En una balanza hago una serie de mediciones....

15,24 g; 15,21 g; 15,22 g; 15,21 g; 15,23 g

Hacemos la media:

15,24 +15,21 +15,22+15,21+15,23 /4 =15,22

Tenemos que m' = 15,22

Ahora voy a hallar e Ea

Ea1= 15,22 - 15,24= - 0,02

Ea2= 15,22 - 15,21= 0,01

Ea3= 15,22 - 15,22= 0

Ea4= 15,22 -15,21 = 0,01

Ahora el error relativo nos dará cual es la medición más exacta.

Er= Ea/'m

Er1= -0,02/15,22= -0,001*100=1%

Er2= 0,01/ 15,22= 6,50=0,0650 %

Er3 =0 /15,22= 0 %

Extrapolación con ajuste de curva

Supón que tienes datos como estos:

Año y Población = {1960 8000 1970 9500 1980 10400 1990 12600 2000 13500} ¿Cual será la población pronosticada para el 2010}

La solución te la da un método para interpolar y extrapolar datos. Generalmente son técnicas estadísticas que te permiten ajustar una curva a los datos y con esa curva obtener el dato que te falta, ya se en el interior de los mismos o de pronóstico. Para este ejemplo que te improvise, la ecuación por el método de mínimos cuadrados ordinarios es Pob = -268380 + 141*año

Y el pronóstico : Pob = -268380 + 141*2010 = 15030

La ecuación la obtuve por el método de mínimos cuadrados ordinarios que trae Excel.