Mínimos Cuadrados

Aplicaciones del mé-todo:

Este método es una aproxima-ción que nos permite represen-tar un grupo de datos mediante una sola función.

Así que donde haya un conjun-to de valores registrados, sin importar la cantidad de estos ni su tamaño, ahí estará el méto-do de mínimos cuadrados para proporcionarle una tendencia.

Las aplicaciones del método son ilimitadas señores, el límite esta en su imaginación: desde conocer la tendencia de su éxi-to con las mujeres, hasta mo-delar la producción y ventas de una gigantesca y exitosa em-presa petrolera.

Para la ingeniería, los nego-cios, la investigación y todas las ciencias en general, el mé-todo de los mínimos cuadrados, le garantiza su tendencia con el mínimo margen de error.

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Qué es el método de mínimos cuadrados?

Es el método más usado para el ajuste de una recta a una serie de datos.Supongamos el siguiente ejemplo:Un investigador captura 5 valores de temperatura en la Ciudad de Méxi-co a lo largo de un día, los valores son los siguientes:

Este investigador requiere expresar estos datos de una manera más conveniente y apegada a sus datos reales. Y es aquí donde podemos recurrir a los mínimos cuadrados.Con el método de los mínimos cuadrados se puede calcular en una función una serie de datos registrados.

Cómo aplicar el método de los mínimos cuadrados:Tomando en cuenta que el método de los mínimos cuadrados consiste en ajustar una recta a valores dispersos, necesitamos entonces conocer las características de la recta, como son, su pendiente y su ordenada al origen, de la cual necesitamos esti-mar los valores de a y de b de la siguiente ecuación:Y = a + bx

Por lo que, sabiendo que el método de los mínimos cuadrados calculará la recta que pasa por la media de todas las observacio-nes representadas por (x1, y1), (x2, y2), ... (xn, yn), entonces la ecuación de la recta seraY = y + b(x− x)

En donde:y= media de y1, y2, ... yn x = media de x1, x2, ... xn

Temperatura

05

101520

0 7.5 15 22.5 30

Arturo Padilla RazoHéctor Zárate Rea

b =P

(x−x)(y−y)P(x−x)2

Tendremos así entonces la ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada que corresponderá a la recta que satisface la condición:�

(x− x)(y − y) = (x1 − x)(y1 − y) + (x2 − x)(y2 − y) + ... + (xn − x)(yn − y)

de que las constantes “a” y b” hacen mínima la suma

�(y − Y )2 =

�(y − y)2 − (Y − y)

de los cuadrados de las desviaciones de los valores observados respecto a dicha linea.

Arturo Padilla RazoHéctor Zárate Rea