minesight clasificación de las reservas de mineral 1999

Seminario anual de Mintec 1999Clasificación de las reservas de mineral: Un método alternativoPágina 1

notas:Clasificación de las reservasde mineral:

Un método alternativo

IntroducciónHasta la fecha no existe una forma fácil o práctica, que pudiera servir de guía para clasificarreservas, de medir la confianza en las estimaciones. Por consiguiente, actualmente es difícilencontrar una práctica estándar para la clasificación de las reservas de mineral. Mejor dicho,cada compañía o profesional de reservas de mineral ha adoptado una propia metodología paraclasificar las reservas dentro de alguna pauta u otra, aplicando ese método de yacimiento enyacimiento con algo de refinamiento.

La cuestión de evaluar la incertidumbre de las estimaciones de ley se ha deliberado desde queprimero se introdujo el Kriging. Al principio se decía que el uso de la variancia de Kriging eratodo lo que se necesitaba para cuantificar la confianza en las estimaciones de ley. Desdeentonces, el uso de la variancia de Kriging para tal propósito se ha puesto en duda, y se hanpropuesto algunas técnicas tal como la �jackknife� (acodillarse) y la simulación condicional paradesarrollar una medida con más significado de la incertidumbre en las estimaciones.

Los objetivos de este taller son dobles. El primer objetivo es proponer una medida alternativapara accesar la incertidumbre de las leyes de bloque estimadas. Repasaremos la varianciaKriging tradicional y sus límites como indicador de la incertidumbre. Esta plática se seguirá porla metodología de computar la �Combined Variance� (Variancia combinada) propuesta. El segundoobjetivo de este taller es demostrar la aplicación de esta variancia nueva en un yacimiento deoro, y su uso en la clasificación de las reservas de oro o recursos.

La variancia Kriging

Como técnica de estimación, el Kriging ordinario se distingue por su intento de producir unconjunto de estimaciones para el cual la variancia de los errores es mínima. Al usar el modelo dela Random function (RF) (Función al azar probabilística), se puede expresar la variancia delerror como función de los parámetros de modelo RF s2, C

ij, y las ponderaciones w

i (Isaaks y

Srivastava, 1989):

s2k = s2 + S w

i w

j C

ij � 2 S w

i C

io i = j = 1, n [Eq. 1]

donde n es el número de muestras, s2 es la variancia total de la muestra, Cij son las covariancias

de muestra en muestra, Cio son las covariancias entre muestra y bloque, y w

i son los

ponderaciones asignados a las muestras. A la variancia minimizada del error mediante el uso dela técnica de multiplicadores Lagrange se le refiere por lo regular como la variancia Krigingordinaria:

s2ok

= s2 - S wi C

io + m i = 1, n [Eq. 2]

donde m es el multiplicador Lagrange.

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notas: La variancia Kriging computada para algún punto o bloque en particular que se esté estimando,es fundamentalmente independiente de los valores de los datos utilizados en la estimación. Essimplemente una función de la distribución espacial y la configuración de los puntos de datos,tanto como la versión de Kriging utilizada. La única conexión entre la variancia Kriging y losvalores de los datos es por medio del variograma, que es global en vez de local en su definición.Por esta razón, la variancia Kriging no siempre proporciona una reflección exacta de la variaciónlocal. Por ejemplo, el usar el mismo variograma y los mismos puntos de datos alrededor delbloque que se está estimando le proporciona la misma variancia Kriging, no obstante losvalores de los puntos de los datos.

Una medida de la incertidumbre alternativa

La intención de la variancia Kriging no fue de tratar en particular, la cuestión de evaluar laincertidumbre. Lo que se usa es un intermediario para encontrar un conjunto óptimo deponderaciones. Aunque la variancia Kriging es una buena medida de la configuración espacialde los puntos de datos, no imparte su variación local ya que no depende de ellos directamente.Por consiguiente, cualquier medida alternativa de la variancia debe incluir una provisión paramedir la variabilidad local.

Aquí, el autor sugiere la determinación de una �Combined Variance� (Variancia combinada)(s2

cv) para atacar la cuestión de calcular la incertidumbre. Esta variancia es una combinaciónde la variancia Kriging y la variancia del valor promedio de bloque ponderado con base a losvalores de los datos usados.

En un programa de Kriging ordinario el primer componente de s2cv, la variancia Kriging (s2

k),ya está computado. Computaremos el segundo componente de s2

cv, la variancia local del

promedio ponderado (s2w), a continuación

s2w = S w2

i * (Z

0 - z

i)2 i = 1, n (n>1) [Eq. 3]

donde n es el número de datos usados, wi son las ponderaciones correspondientes a cada

dato, Z0 es la estimación del bloque, y z

i son los valores de los datos. Si sólo hay un dato, el s2

w

se fija en s2k.

La Combined Variance (Variancia combinada) (s2cv

), entonces, es calculada de esta manera:

s2cv

= Ö(s2k * s2

w) [Eq. 4]

Un ejemplo de la variancia combinada

Tomaremos el caso hipotético mostrado en la Figura1. Para simplificar, hay sólo cinco puntos de datospara el bloque ejemplar a ser interpolados. Usandoun modelo de variograma esférico con rango isotrópicode100, sill (umbral) de 0.6, y nugget (pepita) de 0.1,se hizo una estimación Kriging ordinaria. La leyresultante de esta corrida es 0.237, y la varianciaKriging es 0.065.

Cambiaremos el valor del primer punto de dato de0.5 a 0.1, y mantendremos todo lo demás igual. Estavez la estimación de ley es de 0.110. La varianciaKriging permanece igual en 0.065, ya que no hemos

Figura 1.Los cincopuntos de datos parael bloque ejemplar


notas:cambiado los parámetros del variograma o de la configuración de los datos.Similarmente, la ponderación Kriging para cada punto permanece igual que en laprimera corrida. La Tabla 1 resume los resultados. La misma tabla proporciona lavariancia local del promedio ponderado (s2

w) para ambos conjuntos de datos usados.Usaremos los valores s2

w para computar la Combined Variance (Variancia combinada)(s2

cv).

Usando una variancia Kriging de 0.065 para el primer y el segundo conjunto de datos,y aplicando la Ec. 4, obtenemos

s2cv = Ö(0.065 * 0.008474) = 0.02347 para el primer conjunto, y

s2cv = Ö(0.065 * 0.000045) = 0.00171 para el segundo conjunto.

Las variancias anteriores reflejan la magnitud de la variabilidad local y de laincertidumbre para las estimaciones de bloque que tenemos en este ejemplo.

Tabla 1. Los resultados para el primero y segundo conjunto de datos(Nota: sólo la ley de la muestra #1 fue cambiada)


notas:

Figura 2. Ploteo de contorno de la variancia delos bloques en los cuartiles superior einferior en el banco 225, mostrado conintercepciones de barreno en este banco.

Applicación en un yacimiento de oro

El estudio se ejecutó en un yacimiento de oro. El área del estudio era de aproximadamente1000x1000m en plano. El espaciamiento de barreno nominal en el yacimiento era de 50m. Eltamaño de bloque utilizado para el modelo construído para el yacimiento era de 12.5x12.5mcon altura de banco de 5m. La ley promedio de los compósitos de 5-m dentro de la zonamineralizada era de 1.51 g/t, con variación de coeficiente de 0.57. El modelo del variogramausado en el plano de Kriging ordinario para la zona mineralizada era un modelo exponencialcon nugget (pepita) de 0.138 y sill (umbral) de 0.893. La búsqueda elipsoidal (150x90x15m)fue basada en los rangos del variograma con el eje mayor a lo largo de 45 grados hacia elEste. Se usaron unos compósitos con un mínimo de 3 y un máximo de 15 en la interpolación.

La ley promedio de las leyesde bloque kriged eran de 1.50g/t, con coeficiente devariación de 0.41. Para cadabloque, la variancia Kriging yla Combined Variance(Variancia combinada)fueron computadas. La Fig-ura 2 muestra el ploteo delcontorno de la varianciaKriging en las calidadesinferiores y superiores en elbanco 225 del modelo. Enesta figura, las intercepcionesdel barreno en el bancotambién fueron ploteadospara mostrar los valores deoro del compósito en estebanco. Esta figura es un buenejemplo de qué tan inútilpuede ser la variancia Krigingpara evaluar la incertidumbreen las estimaciones. Porejemplo, la variancia Krigingdisminuye naturalmentecuando los bloques estáncerca de los barrenos. Porconsiguiente, los que contornan la variancia Kriging en el cuartil indicador inferior en la Figura2 es nada menos que las ubicaciones de los barrenos. Similarmente, la variancia Krigingcontornada en el cuartil superior básicamente está mostrando la periferia de los barrenos. Esobvio que está información no es muy útil.


notas:

Figura 3. Ploteo de contorno de laVariancia combinada de los bloqueskriged en el valor cuartil más bajo en elbanco 225, mostrado con las intercepcionesde barreno en este banco.

Ahora le daremos un vistazo aalgunos ploteos generados para laCombined Variance (Varianciacombinada). La Figura 3 muestrael ploteo de contorno de la Com-bined Variance en el valor delcuartil inferior en el banco 225 delmodelo. Si amplificamos el enfoqueen una porción de este ploteo,mostrado en la Figura 4, podemosver que el área rodeada por loscompósitos de ley similar tiene laCombined Variance más baja,como se pudiera esperar.

Figura 4. Ploteo de contorno de laVariancia combinada de los bloqueskriged en el valor de cuartil más bajo,con el enfoque amplificado para mostrarque los valores de compósito similaresgeneran Variancia combinada más baja.


notas:

Figura 5. Ploteo de contorno de lavarianza combinada de los bloques krigeden el valor del cuartil superior en elbanco 225, mostrado con intercepcionesde barreno en este banco.

Figura 6. Ploteo de contorno deVariancia combinada de bloqueskriged en el valor del cuartilsuperior con amplificación de enfoquepara mostrar que los valores decompósito variable generan laVariancia combinada más alta.

Similarmente, la Figura 5 muestra elploteo del contorno de la CombinedVariance en el valor del cuartil supe-rior en el banco 225 del modelo.

Si amplificamos también el enfoqueen una porción de este ploteo,mostrado en la Figura 6, podemos verque el área de alta ley rodeado porcompósitos de baja ley tiene lavarianza combinada más alta. Porconsiguiente, en cualquier momentoque haya una variabilidad más grandeen los datos que lo rodean, los bloquestendrán unas varianzas combinadasmás altas, reflejando la incertidumbreen las estimaciones.


notas:

Figura 7. Distribución alternativa delÍndice de variabilidad relative (VI) for gold

Clasificación de las reservas de mineral

Para clasificar las reservas de mineral en las categorías de probadas, probables y posibles,usaremos lo que el autor denomina Relative Variability Index (Índice de variabilidad relativa)como se encuentra a continuación:

Relative Variability Index (RVI) = scv

/ mk

mk >0 [Ec. 5]

donde scv

es la raíz cuadrada de la Combined Variance (Variancia combinada), y mk es la ley

del bloque computada del Kriging.

La Figura 7 muestra elhistograma resultante y laestadística del Relative Variabil-ity Index (RVI) para el oromediante el uso de todos losbloques kriged en la zona min-eralizada. Estos valores RVIdespliegan una distribucióntorcida. Para clasificar nuestrasreservas en las categoriasprobadas, probables y posibles,hay que obtener dos valores: unvalor para separar las categoriasprobados/probables, y otro valorpara separar las categoriasprobables/posibles. Como laregla, usaremos el medio RVI detodos los bloques kriged para ellímite probados/probables. Estevalor es 0.23. Ahora nos faltadeterminar el valor para el límiteprobables/posibles. Mediante eluso del ploteo logritmo de

probabilidad cumulativa de los valores RVI, identificamos un punto de kink ( falla) en la curvade probabilidad. Este punto corresponde al valor RVI de 0.39 por la intersección de dos líneasrectas, ubicadas en las porciones inferior y superior de la curva de probabilidad. A propósito,esto corresponde a aproximadamente la percentila 90 de la distribución RVI en este yacimiento.

En sumario, clasificaremos nustras reservas o recursos en las categorías de probadas,probables y posibles mediante el uso del Relative Variability Index como se encuentra acontinuación:

Proven Reserves (Reservas probadas): bloques con RVI values # media RVI

Probable Reserves (Reservas probables): bloques con valores RVI entre el medio yla percentila 90 RVI

Possible Reserves (Reservas posibles): bloques con valores RVI > percentila 90RVI


notas: Repaso de los resultados

Las Tablas 2 y 3 reportan las reservas de mineral clasificadas en los cortes de oro de 0.6 y 1.5g/t, respectivamente. Los resultados son basados en los valores RVI y la �Distancia al compósitomás cercano.� La razón por la inclusión del método anterior es el de ver cómo nueva la técnicade clasificación se compara a uno de los métodos de clasificación convencionales.

Para preparar los resultados de la �Distancia al compósito más cercano�, usamos unametodología similar para determinar el rango de los valores a usarse para la clasificación delas reservas. Por consiguiente, aplicamos la distancia del medio (55m) en las categoríasapartes de probadas/probables separadas, y la percentila 90 de la �distancia� (91m) encategorías apartes de probables/posibles.

Aparte de las toneladas y ley, también reportadas en las Tablas 2 y 3 son la distancia promedioal compósito más cercano y el número promedio de compósitos usados en la interpolación.Primero vemos los resultados de la clasificación RVI. De esto resultados podemos ver que ladistancia promedio se hace más grande de categorías probada a probable, y de categoríasprobable a posible. Al contrario, el número promedio de compósitos usados por bloque disminuyeen lo que pasemos de la categorías de probadas a la de probables, que pasando de lacategoría probables a posibles. Esto es lo que se pudiera esperar. Éste es un aspecto inherentede este método debido al uso de la variancia Kriging en el cálculo del Relative Variability Index.

Al comparar los resultados de estos dos métodos en estas tablas, encontramos que lasdiferencias son significativas entre los dos métodos en las categorías particulares. Sin em-bargo, cuando las categorías probadas y probables sean combinadas, los resultados se hanparecido más, uno al otro. En general, con la clasificación RVI resulta que un mineral de leyrelativamente marginal se ha colocado en la categoría posibles, indicando una mayorincertidumbre con respecto al corte usado. Por consiguiente, al saber que se está tomando encuenta la variabilidad local de las leyes al determinar las categorías de las reservas, la técnicaRVI debe proveer una estimación y clasificación de las reservas más presentable.

Tabla 2. Comparación de reservas a 0.6 g/t oro mediante el uso delRelative Variability Index (RVI) vs. método de clasificación de “Distanceto the nearest composite” (Distancia al compósito más cercano) (DTNC)


notas:Tabla 3. Comparación de reservas a 1.5 g/t oro mediante el uso delRelative Variability Index (RVI) vs. métodos de clasificación de“Distance to the nearest composite” (DTNC)

Conclusión

El concepto de la Combined Variance (Variancia combinada) puede ser muy convenientepara evauluar la incertidumbre en los bloques. Adicionalmente, el Relative Variability Index(Índice de variabilidad relativa) (RVI) puede ser una herramienta efectiva para clasificar lasreservas de mineral o recursos en las categorías de probadas, probablesy posibles. Losvalores de la Combined Variance y el RVI son fáciles de computar e implementar.

La única desventaja del uso del método de Combined Variance y RVI es que, requiere elcálculo de la variancia Kriging. Por consiguiente, la aplicación más fácil de este método escuando el Kriging ordinario es usado para asignar leyes al bloque. Sin embargo, es posiblecomputar una Combined Variance para el método del Inverse Distance Weighting (IDW)(Ponderación inversa a la distancia) mientras que la variancia Kriging sea computada primerousando los mismos parámetros de interpolación. El programa IDW debe entonces ser modificadopara leer la variancia Kriging para cada bloque, para calcular la Combined Variance resultante.Alternativamente, el programa IDW puede ser modificado para escribir el primer componentede la Combined Variance [Ec. 3]. Este valor entonces se toma y se multiplica por la varianciaKriging. La raíz cuadrada de este producto proporciona la Combined Variance.

Esta técnica de clasificación de las reservas de mineral mediante el uso del Relative VariabilityIndex (RVI) ha sido aplicado en otros tipos de yacimientos, incluyendo el cobre, molibdeno,cinc y plata. Los resultados han tenido sido más razonables que aquellos de los métodosconvencionales, tal como la �Distancia al compósito más cercano.� Esto es a causa de que latécnica RVI no sólo toma en cuenta la variabilidad local, sino también incorpora todo loscriterios ventajosos para clasificar las reservas, tales como la distancia, el número y laconfiguración de los compósitos alrededor del bloque, así como también la correlación espacialde los compósitos.


notas: Referencias

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