miércoles 30 de octubre de 2002 construcción y diseño de controladores de un péndulo invertido...
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21/04/23
Construcción y Diseño de Controladores
de un Péndulo Invertido Rotante
AutoresSebastian MalloVirginia Mazzone
DirectorRoberto Saco
Universidad Nacional de QuilmesIngeniería en Automatización y Control Industrial
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Contenidos
1. Introducción2. Descripción del Sistema3. Modelización Matemática4. Diseño y simulación de Controladores5. Análisis del Efecto de Perturbaciones6. Ensayos en el sistema real7. Conclusiones
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Problema interesante desde el punto de vista de control.
Ilustra muchas de las dificultades asociadas con problemas de control del mundo real.
Introducción
Consiste en un brazo giratorio horizontal, con una barra vertical en su extremos, la cual gira libremente alrededor de un eje paralelo al brazo.
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Objetivo
Construir el prototipo utilizando un bajo presupuesto Diseñar estructuralmente el sistema Elegir los sensores y actuadores Elegir la forma de implementación de los
controladores
Controlar el sistema Diseñar distintos controladores lineales Implementar dichos controladores
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1. Introducción2. Descripción del Sistema3. Modelización Matemática4. Diseño y simulación de Controladores5. Análisis del Efecto de Perturbaciones6. Ensayos en el sistema real 7. Conclusiones
Contenidos
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Esquema Básico de Control
Controlador PC
Actuador Sistema de movimiento del Brazo
Sensores Posición del Brazo y péndulo
Actuador
Sistema Físico
Sensores
Controlador
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Programa de Simulación y Control Matlab 5.3, Simulink, Watcom C/C++, Real Time Windows Target,
Real Time Workshop
Driver (S-Function)
Placa adquisidora de datos Slot ISA 8 entradas analógicas de 0-5V, conversor A/D de 8 bits 2 salidas analógicas de 0-5V, conversor D/A de 8 bits 8 entradas digitales 8 salidas digitales
Controlador
Controlador
Sensores ActuadorPlaca Aduisidora
de Datos
Driver
Programa de Simulación y Control
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Puente H Amplificador de Potencia Inversor de Marcha
Actuador
Motor Características Eléctricas:
sin escobillas tensión nominal 24 VCC corriente nominal 2A
Características Mecánicas: Reducción: 1-130 a engranajes
Generador de Señal PWM Por medio de un canal analógico de la placa
adquisicón
GeneradorPWM
Salida Digital
Salida Analógica
Puente HOn/Off
Dirección
Placa Adquisidora de Datos
Actuador
M
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Limitaciones Debidas al Motor
15 V
-15 V
SATURACIÓN
Tensión real
Tensión aplicada
CUANTIZACIÓN
0.15
FRICCIÓN ESTÁTICA
JUEGO EN EL EJE
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Sensores
Posición del Péndulo
Sensor Magnéto-Resistivo
Caracteristicas generales: Precisión: 0.0024 radianes Rango: 18º
x y q y I
l Epot
mgl cos q
Energía Cinética: E cin
1 2 I ÿy2 debido al brazo 1 2 m
l 2 ÿq2 r 2 ÿy2 2rl ÿq ÿy cos q debida al péndulo
Fuerza Aplicada: f
t
f q t f y t
bs ÿq t K R v
t
K 2 R ÿy t v t es la tensión aplicada
al motor.
Entrada Analógica
Sensor Magnéto-Resistivo
Acondicionadorde Señal
Placa Adquisidora de Datos
60
Brazo
Sensor
Imán
Eje
Péndulo
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Sensores
Posición del Brazo Encoder incremental
Características Generales: Precisión: 5150 pulso por vuelta 0.0012 rad Rango: ilimitado
Entradas Digitales
EncoderIncremental
Placa Adquisidora de Datos
ContadorDe Pulsos
Programa de Simulación y Control
ControladorSensor
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Contenidos
1. Introducción2. Descripción del Sistema3. Modelización Matemática4. Diseño y Simulación de Controladores5. Análisis del Efecto de Perturbaciones 6. Ensayos en el Sistema Real 7. Conclusiones
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Modelización Matemática
Ecuaciones de Euler-Lagrange
Variables del Sistema m: masa del péndulo g: gravedad l: longitud del péndulo r: radio de giro del brazo I: inercia del brazo
z
xy
r,Il
m,g
( ( ), ( ))
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
cin potq t q t E E
t tq t q t
t t
L
con y
Definamos
d d df
dt dq dq
L L
f
ff
con
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2 2 2 2 21 12 cos
2 2cinE I m l r rl
cospotE mgl
Modelización Matemática
Energía
2
( )( )
( ) ( )
sb tf t K K
v t tR R
2
( ) ( )K K
v t tR R
Fuerza Aplicada
v
R
e=K+
_
, -Ki Ri v K y
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Ecuaciones de Estado ( , )x f x u
2
2
3
4
2 21 13 4 1 3 1 3 1 42 2
2 2 2 2 2 2 2
1 1
21 13 1 4 1 3 4 1 1 32 2
2 2 2
1
1
2
3
4
( )( sin ) cos ( sin )
( cos ) ( cos )
sin cos ( sin sin
( cos )
K Ks R R
K KsR R
x
x
I mr mrlx x x b x r x mrlx x u x
ml I mr mr x l I mr mr x
mrlx x u x r x x x x mgl x b x
I mr mr x
x
x
x
x
2 2 2
1
)
( cos )l I mr mr x
1 2 3 4, , ,x x x x u v y Tomando
2
2
2
cos 0 sin1
2cos sin 0
sin
0s
K KR R
ml mrl mrl
mrl I mr mrl
bmgl
v
Reemplazando
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22 2
2
2
0 0 1 0 00 0 0 1 0
( )( )0
0
s
s
I mr b rKI mr g rK ulIRIl lIRml IKrbrmg KIRI Il IR
Ecuaciones de Estado
20 ( ,0) 0 0 0TT
eq eqf x x x Punto de equilibrio
x Ax Bu
2
2 2
00 0 1 0
00 0 0 1,
0 0
0 0 0
g rl l
rl
K Ku
Mr R Mr R
y
Modelo Simplificado Suponiendo bs 0 y M >>m
2
1( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( )
( )
rl
gl
s
s s sY s C sI A B U s U s
s
s s
Representación entrada-salida
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Ajuste de Parámetros
Parámetros conocidos l =0.3 [m] r =0.3 [m] M = 0.5 [kg] m = 0.05 [kg] g = 9.8 [m/seg2]
Parámetros desconocidos K: constante de fuerza electromotriz R: resistencia eléctrica
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Ajuste de los Parámetros Excitamos al sistema con un escalón de 1.5V. Dimos valores a y en Tomamos = 11.8 y = 9.8
( ) ( )( )
s U ss s
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Contenidos
1. Introducción2. Descripción del Sistema3. Modelización Matemática4. Diseño y Simulación de Controladores5. Análisis del Efecto de Perturbaciones6. Ensayos en el Sistema Real 7. Conclusiones
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Control en Cascada Diagrama del Lazo de Control
Y(s)R(s)G2(s) G1(s)K2(s)K1(s)
--
Lazo Secundario
Lazo Primario
Sistema a lazo abierto
2
8.82
( 11.8)( 32.66)
s
s s
2
2
( 32.66)
0.9
s
s
U(s)
(s)
(s)
Lazo Abierto
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Diseño de K1(s) y K2(s)
Lazo Secundario
Diseño de K2(s) por asignación de polos
2
2
129.67( 11.8)( 5.715)( )
( 52)( 7.341)
1143.7( )
( 14)( 13)( 12)
s sK s
s s
sT s
s s s
y
12 13 14p
2
8.82
( 11.8)( 32.66)
s
s s
2
2
( 32.66)
0.9
s
s
(s)
(s)K2(s)
-
T2(s)
K1(s)-
R(s)
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-20 -10 0 10-10
-5
0
5
10
Real Axis
Ima
g A
xis
Diseño de K1(s) y K2(s)
Lazo PrimarioDiseño de K1(s) por lugar de raíces
2
1 2
1270.7( 32.66)( ) ( )
( 14)( 13)( 12)
sG s T s
s s s s
K1(s)=0.2
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0 2 4 6 8 10-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Tiempo[seg]
Pos
ició
n [ra
d]
0 2 4 6 8 10
-0.05
0
0.05
0.1
Tiempo [seg]
Pos
ició
n [ra
d]
Simulación Función Transferencia a Lazo Cerrado
2
1 2
25.41( 32.66)( )
( 20)( 0.35)( 17.7 95.05)
sT s
s s s s
Posición del Péndulo Posición del Brazo
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Control por Realimentación de Estado
Diagrama del Lazo de Controly
B-
Lazo abierto
C
A
K
x xur
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
32.66 0 0 10.62 8.82
0 0 0 11.8 9.8
u
Ecuaciones de Estado
+
u r Kx
x A BK x Br
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Control por Realimentación de Estado Análisis de la Existencia de K
Matriz de Controlabilidad 2 3[ ]B AB A B A B C
rango() = 4 el sistema es controlable
Diseño de la Matriz K Control Optimo LQR
0
( ) ( ) ( ) ( )t
T TJ x t Qx t u t Ru t dt
100 0 0 0
0 1 0 0 100 0 1 00 0 0 1
Q R
con y
Minimizando el Funcional
24 0.3 3.8 2.4K obtenemos
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Control por Realimentaciónde Estado Seguimiento Robusto: Acción Integral
0 1 0 0ax r C Tomando y
0 0
0 0 1a a
x xA Bu r
x xC
Proponiendo
yrB
---
C
A
K
Kax xuax ax
aa
xu K K
x
![Page 27: Miércoles 30 de Octubre de 2002 Construcción y Diseño de Controladores de un Péndulo Invertido Rotante Autores Sebastian Mallo Virginia Mazzone Director](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022051116/5665b4451a28abb57c909610/html5/thumbnails/27.jpg)
Control por Realimentaciónde Estado
0
( ) ( ) ( ) ( )t
T TJ x t Qx t u t Ru t dt
100 0 0 0 00 1 0 0 0
100 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1
Q R
con y
Diseño de la Matriz K y Ka (LQR)
[ 27 1.06 4.29 2.85] 0.316aK K obtenemos y
Minimizando
lim 0 lim( ) 0 limat t t
x r r
Estabilizando xa
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Estimación de las variables de Estado y
Aproximación de la Derivada
( 1) ( )
( 1) ( )
: 0.01
k k
Tk k
TT seg
Periodo de muestreo
Observador de las Variables Estado
ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )
x t Ax t Bu t L y t Cx t
x t A LC x t Bu t Ly t
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Estimación de las variables de Estado y
ˆ( ) ( ) ( )x t x t x t ( ) ( )x t A LC x t Error de Estimación
Observador de las Variables Estado (cont.)
Análisis de la Existencia de L Matriz de Observabilidad 2 3[ ]TC CACA CA O
rango() = 4 el sistema es controlable
0.5335 0.13120.0177 0..35337.6284 4.37910.2567 1.4825
L
Diseño de L por asignando autovalores a (A-LC)
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Simulación
Posición del Péndulo Posición del Brazo
Aproximación de la derivada vs. Observador
4.157.34
21.7179.48
5771678
Obs.Aprox.
ˆ
ˆ ˆ
u
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1. Introducción2. Descripción del Sistema3. Modelización Matemática4. Diseño y Simulación de Controladores5. Ensayos en el Sistema Real6. Análisis del Efecto de Perturbaciones7. Conclusiones
Contenidos
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Análisis del Efecto de Perturbaciones
Efecto de las Cuantizaciones
Posición del PénduloPosición del Brazo
Real Mejorado Unidad
0.0024 0.0012 rad
0.0012 0.0003 rad
u 0.05859 0.0036 grados
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Análisis del Efecto de Perturbaciones
Fricción Estática20 veces menor
Posición del PénduloPosición del Brazo
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Análisis del Efecto de Perturbaciones
Juego en el Eje
Posición del Péndulo Posición del Brazo
Real Mejorado Unidad
1 0.1 grados
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1. Introducción2. Descripción del Sistema3. Modelización Matemática4. Diseño y Simulación de Controladores5. Análisis del Efecto de Perturbaciones6. Ensayos en el Sistema Real7. Conclusiones
Contenidos
![Page 36: Miércoles 30 de Octubre de 2002 Construcción y Diseño de Controladores de un Péndulo Invertido Rotante Autores Sebastian Mallo Virginia Mazzone Director](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022051116/5665b4451a28abb57c909610/html5/thumbnails/36.jpg)
Ensayos sobre el sistema real Seguimiento a Referencias Constantes
Acción IntegralControl en Cascada
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1. Introducción2. Descripción del Sistema3. Modelización Matemática4. Diseño y Simulación de Controladores5. Análisis del Efecto de Perturbaciones6. Ensayos en el Sistema Real7. Conclusiones
Contenidos
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Conclusiones
Ventajas en la utilización de un Software
de Tiempo Real
Simplicidad de diseño del Control en
Cascada
Desempeño del Observador
Robustez del Agregado de Acción Integral
Sensibilidad frente a Perturbaciones en el
Actuador