mf tema 6 flujos internos-1

8/20/2019 MF Tema 6 Flujos Internos-1

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Mecánica de Fluidos 1

Tema 6

FLUJOS INTERNOS

IntroducciónEl objeto de este tema es el estudio de los flujos reales (viscosos) en el interior de conductos, ya sean circulares o de

otras formas. Es decir todos aquellos flujos limitados por superficies sólidas.

Cuando se trata con flujos reales las fuerzas viscosas suelen tener una gran importancia ya que producen esfuerzos

cortantes con el movimiento del fluido.

Flujo laminar y lujo tur!ulentoLos flujos viscosos se pueden clasificar en laminares y turbulentos, tendiendo en cuanta la estructura interna de

flujo. En un flujo laminar, la estructura del flujo se caracteriza por el movimiento en lminas o capas.

En r!gimen turbulento la estructura del flujo se caracteriza por movimientos tridimensionales aleatorios de las part"culas

de fluido, superpuesto al movimiento promedio.

#n parmetro muy importante en los flujos reales es el n$mero de %eynolds, que se define como el cociente entre las

fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas, y se suele e&presar como'

%e = V μ ρ

l

La importancia de este parmetro radica principalmente en el eco de permitir

definir si el flujo es laminar o turbulento. Esto ya que mucos estudios emp"ricos

an permitido estimar, en función del n$mero de %eynolds, el tipo de flujo que se

tiene. Es as" por ejemplo que se sabe que para n$meros de %eynolds pequeos

(%e*+ en tuber"as o %e*- en un canal abierto, considerndose %e/+0

como el punto de transición) se tendrn flujos laminares en cambio si se tienen

n$meros de %eynolds grandes se tendrn flujos turbulentos.

E&isten pocos casos en la naturaleza de flujo laminar, un ejemplo particular es el

flujo sangu"neo, y algunos sectores del flujos lentos como al inicio del movimientode una columna de umo (umo del cigarrillo por ejemplo).

1urbulento

Laminar

#n e&perimento clsico para mostrar las diferencias cualitativas entre el flujo laminar y el flujo turbulento es el inyectar

un delgado filamento de tinta en un flujo. Cuando la velocidad del flujo es baja (bajo n$mero de %eynolds) la tinta

inyectada permanece en un solo filamento, porque el flujo es laminar, y no ay mezcla entre las diferentes capas de

fluido. 2ientras que para flujos altos (alto n$mero de %eynolds) el filamento de tinta se vuelve inestable y se rompe en

un movimiento aleatorio, la l"nea de tinta se estira y se tuerce y rpidamente se dispersa por todo el campo de flujo.

La solución de las ecuaciones de flujo pueden resolverse anal"ticamente para algunos casos sencillos de flujos laminares.

3ero en el caso de flujo turbulento esto no es posible, por lo tanto se deber confiar en teor"as semiemp"ricas y datos

e&perimentales.

Flujo de entrada y lujo desarrollado4l ingresar un fluido en un conducto el flujo comienza a variar para adaptarse al conducto, en esta parte del conducto el

perfil de velocidades del flujo var"a en la dirección del flujo, y este se denomina flujo de entrada. 5e dice que el fluido es

completamente desarrollado cuando el perfil de velocidades del flujo deja de cambiar en la dirección del flujo.

5i idealizamos este flujo podremos observar que a la entrada el flujo se comporta como un flujo uniforme, luego aparece

una capa de pared viscosa en las inmediaciones de la pared del tubo que crece a lo largo de la longitud del tubo, asta

que los esfuerzos viscosos dominan toda la sección del tubo, despu!s el perfil sigue cambiando por efecto de los

esfuerzos viscosos asta obtener un flujo completamente desarrollado. La figura siguiente ilustra este fenómeno.

Jean-François DULHOSTE – Escuela de Ingeniería Mecánica - UL


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Mecánica de Fluidos !

Li longitud de centro Longitud de desarrollo de perfil

no viscoso

u(x,y) u(y)

Pdy − P + dP dy −τ dx + τ + d τ dx + γ dxdy sinθ =


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L E longitud de entrada

Este fenómeno es similar para flujos laminares o turbulentos, diferencindose solo por las longitudes necesarias para

obtener un perfil completamente desarrollado.

En el caso de un flujo laminar, por ejemplo se admite que si se trata de flujo en una tuber"a circular se obtiene el flujo

completamente desarrollado para' L E = .6%e %e =

VD

D v7onde el n$mero de %eynolds se basa en la velocidad promedio y el dimetro medio.En el caso de un canal rectangular con alta relación de aspecto (anco dividido entre la altura h entre placas superior e

inferior) la longitud de entrada se puede calcular como'

L E = .8 %e %e = Vh

h vEn el caso de flujos turbulentos se obtiene un flujo desarrollado cuando todas les caracter"sticas de flujo dejan decambiar en la dirección del flujo. Esto implica que despu!s de la región de n$cleo no viscoso que termina en L i, viene laregión de desarrollo de perfil que termina en este caso en una longitud Ld , y finalmente se requiere una distanciaadicional para que se desarrolle la estructura detallada del flujo turbulento que termina en L E . En el caso de flujos en

tuber"as con %e 9 -

las pruebas a dado' Li ≈ - Ld ≈ 8 L E ≈ -+

D D D3ero estas longitudes cambian muco en función del n$mero de %eynolds, es as" que para el caso de %e/8 estas

longitudes pueden ser asta veces mayores a las mencionadas.

Flujo laminar En esta sección se van a desarrollar las ecuaciones de flujo para flujo laminar en diversos conductos utilizando el

enfoque elemental. El objetivo de esto es obtener una e&presión para el perfil de velocidades completamente

desarrollado, as" como una e&presión para el caudal, la ca"da de presión y el esfuerzo cortante.

Es de notar que se pueden obtener los mismos resultados integrando las ecuaciones de :avier;5to


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Mecánica de Fluidos "

d dyτ =

dP dx − γ sinθ

a h

y

Pdy (τ + d τ )dxU

u(y)

τ dx x

( P + dP )dyγ dxdyComo se trata de un esfuerzo unidimensional el esfuerzo cortante se puede e&presar como'

τ = μdu

dyEl ngulo por su lado se puede e&presar como'

sinθ = − dh

5ustituyendo obtenemos' dx

d ⎛ du ⎞⎜ μ ⎟⎜

dy⎟

dP ? dh ?⎝ ⎠ = − γ −d

y

dx⎜

dx⎟

? ?

μ d + u = dP + γ d h

=d ( P + γ h )

dy+ dx d

x

dx

5i dividimos la e&presión entre μ e integramos dos veces obtenemos'

u( y) = y+

d ( P + γ h ) + C y + C +

+ μ dx -

7onde C - y C + son constantes de integración. 5i consideramos como condiciones de borde (frontera) que'

u = en y = u = U en y = a

>btenemos' U −

a d ( P + γ h )C = B =

- a + μ dx>btenemos entonces la e&presión para la distribución de velocidades'

u( y) = - d ( P + γ h )( y + − ay)+ U

y

+ μ d x

a

Lo que implica que la distribución de velocidades es una parbola.


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5i el movimiento se debe $nicamente al movimiento de la placa el flujo se denomina flujo de Couette.

Jean-François DULHOSTE – Escuela de Ingeniería Mecánica -ULA


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Mecánica de Fluidos #

%antidades de lujo5i consideramos una simplificación del caso anterior donde U / , la e&presión para el perfil de velocidades ser'

u( y) = - d ( P + γ h )( y + − ay)+ μ dx

Con esta e&presión se puede obtener la razón de flujo por unidad de anco'

Q = ∫ a udA =

∫ a

- d ( P + γ h )( y+ − ay)dy

+ μ dx

Q = − a0 d ( P + γ h )

-+ μ

dx

La velocidad promedio V es'

V = Q = Q A a ×-

V = − a+

d ( P + γ h )-+ μ dx

4dicionalmente es fcil, observar que la velocidad m&ima ocurre para y = a ? + '

uma& = − a+ dP

@ μ dx

3or lo que la velocidad media est relacionada con la velocidad m&ima por'

V = 0+ uma&

#&rdida de car'a

4 partir de la e&presión para la velocidad promedio es posible obtener una e&presión para la ca"da de presión, si

consideramos que el cambio de presión por la diferencia de altura es despreciable (tuber"a orizontal), y consideramos

que para una longitud L dP

dx = − L P

, por ser constante el diferencial de presión en un flujo desarrollado, obtenemos'

= − -+ μVL

P a+

5e puede e&presar el esfuerzo cortante como'

τ = μdu

dy = -+

dpdx (+ y − a)

En la pared donde y / tenemos'

τ = − a dp

+ dx

Lo cual implica que para una longitud L tenemos que la ca"da de presión ser'

P = +τ

a L

5i introducimos el factor de fricción definido como'

f = τ = @ ⎛− a dP ? = 8@ μ = 8@ ρV + ρV +

⎜ ⎟-

⎝ + dx ? ρaV %e@Considerando que'

%e = ρaV

μ

Esta e&presión se puede escribir, e&presada en t!rminos de p!rdida de carga como'


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Jean-François DULHOSTE – Escuela de Ingeniería Mecánica - ULA


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Mecánica de Fluidos $

h % P % f L V +

L γ +a + g Aue es una ecuación equivalente a la ecuación de 7arcy;Beisbac para tuber"as.

>bservamos finalmente que la p!rdida de carga en flujos laminares es directamente proporcional a la velocidad media.

Los clculos realizados en esta sección son vlido para flujos entre placas paralelas donde el anco es muco mayor que

la separación entre las placas, en por lo menos un factor de @, en caso contrario se requerir"a aadir un esfuerzo cortanteadicional por los efectos laterales.

Flujo laminar en un tu!oConsideremos un flujo desarrollado, estable e incompresible en un tubo de dimetro D.

#eril de $elocidades

1omamos un elemento diferencial volum!trico cil"ndrico de radio r y anco dx, tal como se muestra en la figura

siguiente.

D=2r h

r

u(r)

P π r + r dx

τ

+π rdx

x

( P & dP )π r +

γπ r +dx

=aciendo un balance de fuerzas en la dirección x y, considerando que no ay aceleración del fluido, por lo que no aycambio del perfil en la dirección x, obtenemos'

P π r + ' ( P & dP )π r + 'τ +π rdx & γπ r +dx sinθ % Aue tomando en cuenta que'

sinθ % ' dh

dx5e puede simplificar como'

τ % ' r d ( P & γ h ) + dx :ótese que esta ecuación es vlida tanto para flujos laminares como para flujos turbulentos.

Como el esfuerzo cortante se puede e&presar en función de la viscosidad y el gradiente de velocidad, la ecuación se puede escribir como'

' μ du

% ' r d ( P & γ h )dr + dx

5i integramos esta ecuación obtenemos'

u(r ) % r + d ( P & γ h ) & A

8 μ dx


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Mecánica de Fluidos (

7onde A es una constante de integración que se puede obtener con las condiciones de frontera, que en este caso son' en

u = r = r .La ecuación para el perfil de velocidades ser entonces'

u(r ) = - d ( P + γ h )(r + − r + ) 8 μ dxEste representa un perfil parabólico que se conoce como Flujo de Poiseuille.

%antidades de lujo

4 partir de la e&presión para el perfil de velocidades en el tubo se puede determinar la e&presión para el caudal en latuber"a'

Q = ∫ r , u(r )+π rdr

=

+π d ( P + γ h )∫ ,r , (r + − r ,

+ )rdr = π d ( P + γ h ) ∫ ,

r

,

r 0dr − r ,

+rdr

8 μ dx + μ dx

π d ( P + γ h)⎛

8+ r + ⎞r 8

d ( P + γ h )Q = ⎜

r − r , ⎟ =

−

r , π

+ μ dx

⎜

8 +

⎟

@ μ dx⎝ ⎠

Con el valor del caudal podemos obtener la velocidad media en la tuber"a'

V = Q = Q = − r + d ( P + γ h ) A π r

+ dx@ μ

1ambi!n es posible obtener la velocidad m&ima a partir de la ecuación del perfil de velocidades, en r = '= r + d ( P + γ h )

uma& 8

μ dx

>bservamos entonces que e&iste una relación entre la velocidad m&ima y la velocidad promedio que es'

V=

-

+ uma&

#&rdida de car'a

4 partir de la e&presión para la velocidad promedio es posible obtener una e&presión para la ca"da de presión, si

consideramos que el cambio de presión por la diferencia de altura es despreciable (tuber"a orizontal), y consideramos

que para una longitud LdP = − P

, por ser constante el diferencial de presión en un flujo desarrollado, obtenemos'

Ldx

P = @ μVLr +

Esta ca"da de presión se puede e&presar en función del esfuerzo cortante tomando en cuenta que'

τ = − μ du = − r d ( P + γ h )dr + dx

3or lo tanto si τ = τ en r = r , la ca"da de presión en una longitud L de tuber"a se puede e&presar como'

P = +τ

L

r ntroduciendo el factor de fricción f '

τ , @ ⎛ r P ⎞ @ ⎛ r @ μ V ⎞ 68 μ 68 f = = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = =

- ρV + ρV + ⎝ + L ⎠ ρV + ⎜ + r + ⎟ ρV +r %e

@ ⎝ ⎠ Con lo cual e&presando la ca"da de presión como una p!rdida de carga tenemos'


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Mecánica de Fluidos )

h L = P = f L V+

γ D + g

>bservamos finalmente que la p!rdida de carga es directamente proporcional a la velocidad media en un tuber"a.

E&presión aplicable a cualquier flujo laminar.

Flujo laminar entre cilindros 'iratoriosConsideremos un flujo desarrollado, estable e incompresible entre dos cilindros conc!ntricos giratorios como se

muestran en la figura'

ω+ vθ d r

y

ω-r θ

r

r + r - τ +π rL

(τ + d τ )+π (r + dr ) L

7onde las figuras muestran los dos cilindros conc!ntricos y el elemento diferencial cil"ndrico de longitud L

respectivamente.

Este caso particular es interesante porque corresponde al flujo entre un eje girando sobre un cojinete.

#eril de $elocidades

7espreciando las fuerzas volum!tricas, o considerando que los cilindros son verticales, y aciendo sumatoria de torsoressobre un elemento diferencial cil"ndrico de longitud L, obtenemos lo siguiente'

τ +π rL ×r −(τ + d τ )+π (r + dr ) L ×(r + dr ) = 7onde la longitud L debe ser grande comparadas con la separación entre los cilindros para evitar los efectostridimensionales en los e&tremos. Esta ecuación se puede reducir a'

+τ + r d dr τ =

1omando en cuenta que'

τ = −τ r θ τ = − μ r d ⎛

vθ ⎜

r dr ⎝

⎞⎟⎠

>btenemos'd ⎛ vθ ⎞ d ⎛ d ⎛ vθ ⎞⎞

− + μ r ⎜r

⎟ − μ r ? r ⎜r

⎟⎟ =

dr ⎝ ⎠ dr ⎝ dr ⎝ ⎠⎠5i dividimos entre μ r , multiplicamos por dr e integramos obtenemos'

A = + vθ + r

d ⎛ vθ ⎞ = dvθ + vθ =- d (rvθ )r ⎜ r ⎟ dr r r dr

dr ⎝ ⎠5i multiplicamos por rdr y volvemos a integrar obtenemos una e&presión para la velocidad tangencial en función del

radio'


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vθ (r ) = A

+ r + B

r



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Mecánica de Fluidos *

7onde A y B, son constantes de integración que se obtienen con las condiciones de frontera' vθ = r -ω- en r = r - y vθ =

r +ω+ en r = r + , con lo cual el valor de las constantes de integración ser'

A = + ω r + − ω r + D B = r +r +(ω

− ω )+ + - - - + - +

r +− r+

+ − r +r + - + -Estas ecuaciones son vlidas para n$meros de %eynolds pequeos, %e * - y siempre la velocidad del cilindroe&terior sea cero. En este caso el n$mero de %eynolds se calcula como'

%e = ω -

r -

δ donde δ = r − r

v + -

Momento de 'iro

4 partir de la e&presión anterior es posible encontrar el valor del torsor necesario para girar el cilindro interior,

considerando que el e&terior est fijo. En este caso particular la velocidad se puede e&presar como'

r +ω ⎛ r + ⎞vθ = - - ⎜ + − r ?

r + − r + ⎜ r + ⎟+ - ⎝ - ⎠El esfuerzo cortante sobre el cilindro interior es en este caso'

⎛ μ r d ⎛ v ⎞⎞ + r +r +ω + μ r +ωτ - = −⎜ ⎜ θ ⎟⎟ = μ

r+ - + - = r +

+ -

⎝ dr ⎝ r ⎠⎠ r =r r + − r + − r +- + - + -

-

El momento torsor necesario para girar el cilindro ser'

T = τ A r =+ μ r ++ω- +π r Lr = 8πμ r -

+r +

+ Lω-

- - - r+ − r + - - r + − r +

+ - + -

La potencia requerida para girar el eje es'

+ = T ω- = 8πμ r

-+r

++ Lω

-+ r +

+

− r -+

Esta es la potencia requerida para vencer la viscosidad del fluido, y por lo general genera calor en !ste.

Ejercicios

Ejercicio (

4gua a +FC fluye entre placas orizontales con un anco de cm y separadas de -. cm. El n$mero de %eynolds es

-. Calcule'

a) La razón de flujo b) El esfuerzo cortante en la pared

c) La ca"da de presión e una distancia de 0md) La velocidad en y / . cm y la velocidad m&ima.

Ejercicio ) ! /+ m

#n tubo orizontal de dimetro pequeo se conecta a un

dispositivo de suministro como se muestra en la figura. 5i en D/- mm

-segundos se capturan 66 mm0 en la salida, calcule la

viscosidad del agua.

Ejercicio * L/-.+ m

#n sistema idrulico opera con una presión manom!trica de +

234 y FC. El fluido idrulico es aceite 54E -B. #na vlvula de control se compone de un !mbolo de + mm de


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Mecánica de Fluidos ,

dimetro ajustado dentro de un cilindro con una separación radial media de . mm. 7etermine el flujo de fuga si la

presión manom!trica del lado de baja presión del !mbolo es de - 23a. El !mbolo tiene - mm de largo.

Ejercicio +

Es posible construir un viscos"metro sencillo y preciso a partir de un tramo de tuber"a capilar. 5i se miden el flujo y laca"da de presión, y se conoce la geometr"a del tubo, la viscosidad puede calcularse a partir de la ecuación del caudal.

#na prueba de cierto l"quido en viscos"metro capilar brindó los siguientes datos'Glujo' @@mm

0?sD Longitud del tubo' - mD 7imetro del tubo' . mmD Ca"da de presión' -

23a. 7etermine la viscosidad del l"quido.

Ejercicio ,

#n cojinete de cumacera de cigHeal en un motor de automóvil se lubrica por medio de aceite 54E 0 a +-FG. El

dimetro del cojinete es de 0 pulgadas y la separación diametral es de .+ pulgadas, gira a 06 rpm y su longitud es

de -.+ pulgadas. El cojinete no est sujeto a carga, por lo que la separación es sim!trica. 7etermine el momento de

torsión requerido para acer girar el cojinete, as" como la potencia disipada.

Flujo tur!ulento

Es muy importante el estudio del flujo turbulento porque la mayor"a de las aplicaciones de ingenier"a son flujos de estetipo. En este caso nos limitaremos al estudio del flujo en un tubo.

En flujo se considera turbulento en una tuber"a a partir de %e / 8, entre + y 8 el flujo oscila entre laminar y

turbulento. En un flujo de este tipo las tres componentes espaciales de la velocidad son diferentes de cero medidas

instantneamente, sin embargo si tomamos en cuenta velocidades promedio, las componentes transversales sern cero.

uv "

T

# # #

En la figura se observan las grficas apro&imadas de las tres componentes de velocidad en el tiempo, estas se pueden

e&presar como una función de la velocidad promedio en el tiempo (V ) y la variación de velocidad (V I ) para las trescomponentes tendremos'

u = u + uI v = v + vI " = " + "IEn donde la velocidad promedio temporal se define como'

V = T -

∫ T V (# )d# 7onde T es un incremento de tiempo suficientemente grande para eliminar toda dependencia en el tiempo. Esto paracada una de las componentes. 7ebe notarse sin embargo que para las componentes transversales este suele ser cero

( u ≠ D v = D " = )

#eril de $elocidades3ara obtener el perfil de velocidades en un flujo turbulento podemos utilizar el enfoque de part"culas de fluido viajando

en la tuber"a. En este caso debemos considerar que el esfuerzo cortante viscoso ser de dos tipos'

• #n esfuerzo viscoso laminar que se puede obtener tal como se izo para flujo laminar, pero tomado en cuenta

velocidades promedio en la tuber"a, esto es'

τ la$ = μ∂∂

u y


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• #n esfuerzo cortante turbulento que es producto del efecto de frenado del fluido cando una part"cula de fluido

pasa de una capa ms lenta a una capa ms rpida o aceleración del fluido cuando una part"cula de fluido pasa

de una capa ms rpida a una capa ms lenta, produci!ndose as" un intercambio de momentum. En este caso la

e&presión para el esfuerzo cortante ser'

τ #ur% = d&

dA = − ρuIvI

Aue como por lo general se consideran valores promedios en vez de valores puntuales se utilizar el esfuerzo

cortante promediado temporalmente denominado esfuerzo cortante aparente'

τ #ur% = − ρuIvIEl esfuerzo cortante total en un flujo turbulento ser"a entonces la suma de los dos esfuerzos cortantes antes mencionados'

τ = τ la$ +τ #ur% = μ∂∂u y − ρuIvI

3or otro lado si tomamos la sumatoria de las fuerzas sobre un elemento cil"ndrico de fluido, tal como el utilizado para el

flujo laminar obtendremos que este esfuerzo debe ser igual a'

τ = − r dP

+ dxgualando las dos e&presiones tendremos'

− +r dP

dx = μ∂

∂u y − ρuIvI

Esta e&presión muestra una función de la ca"da de presión como función de la velocidad, sin embargo no es muy $til en

la prctica porque no es posible obtener una e&presión anal"tica para uIvI, por lo tanto se debe determinar una e&presiónemp"rica para este t!rmino, lo cual es equivalente a obtener directamente una e&presión emp"rica para el perfil de

velocidades, opción que escogemos para la continuación.

Ru'osidad de la tu!er-aLos esfuerzos cortantes anteriormente ycalculados var"an desde cero en la l"nea r central asta un valor m&imo en la pared dela tuber"a tal como se muestra en la figura'

>bservamos en la figura que el esfuerzo

cortante laminar es importante solo en una parte muy delgada de la sección cerca de la

pared de la tuber"a denominada capa de pared

viscosa, con un anco δ V . τ #ur%

Esto ace que la rugosidad de la tuber"a tenga

una influencia importante sobre la forma quetendr el flujo en esta. 7ebido a que si la δ

V τ la$

altura media de los elementos de aspereza ' es

superior a la capa de pared viscosa el esfuerzocortante laminar no tendr prcticamente τ τ influencia sobre el flujo, mientras que si este

espesor es menor a la capa de pared viscosa

entonces este esfuerzo tendr ms importancia sobre el flujo. En este $ltimo la aspereza no tiene muca importancia

sobre el flujo y se dice entonces que la tuber"a es idrulicamente lisa. En definitiva se tendrn e&presiones diferentes

seg$n la rugosidad de la tuber"a, diferencindose entre tuber"a lisa y tuber"as speras.

Es com$n representar la aspereza de una tuber"a en función de la denominada rugosidad relativa ' ? D .


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#eril de $elocidad. #rimer m&todo

E&isten varios m!todos emp"ricos para determinar el perfil de velocidades en una tuber"a.

En el primer m!todo el flujo en la tuber"a se divide en varias secciones'• #na región de pared, dividida en una capa de pared viscosa que representa las zonas cercanas a la pared del

tubo y una región turbulenta ms cerca de la parte central del tubo, y una zona de amortiguación en el

intermedio de las dos.• #na región e&terior que representa la pared del tubo.

:ótese que estas zonas de flujo se solapan en la sección de tuber"a y estn representadas por e&presiones distintas.

En una tuber"a lisa el perfil de velocidades en la región de pared se representa mediante la velocidad de corte definida

por'

uτ =τ ρ

J la longitud viscosa definida por v ? uτ , donde v , es la viscosidad cinemtica.

En este caso el perfil de velocidades se representa en forma adimensional y se consideran dos secciones'

• Capa de pared viscosa' u=

u τ

y ≤

u τ

y ≤

uτ v v• %egión turbulenta' u = +.88ln

uτ y + 8.K 0


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Mecánica de Fluidos 1!

⎛⎞-?(

u y= ⎜ ⎟

uma& ⎜ r ⎟⎝ ⎠

7onde y se mide desde la pared asta el centro de la tuber"a y es un entero entre y - que depende del n$mero de

%eynolds y se puede relacionar con el factor de fricción como'

= - f

En el caso de tuber"as lisas el e&ponente se puede determinar en función del n$mero de %eynolds con la siguiente

tabla'

%e 8&-0

-

-6

9+&-6

( 6 K -

Es de notar que este m!todo tiene ciertas imprecisiones y no permite determinar el perfil ni en el centro del tubo en

donde la pendiente debe ser cero, ni en las paredes del tubo donde se obtiene una pendiente infinita.

La figura siguiente muestra el perfil de velocidades obtenido con este m!todo comparado con un perfil laminar'

Laminar

V

1urbulento

3ara este m!todo se puede obtener la e&presión siguiente para la velocidad promedio en la tuber"a'

r u(r )+π rdr +(+

V =∫

= uma&π r

+

(+

-)(+ +

-)

#&rdida de car'aEn el caso de flujo turbulento el clculo de la p!rdida de carga se realiza al igual que para flujos laminares mediante la

ecuación de 7arcy;Beisbac'

h L = P = f L V+

γ D + g

La diferencia radica en la forma de obtener el factor de fricción f , el cual en este caso se determina por m!todosemp"ricos obtenidos mediante la utilización de parmetros adimensionales. En este caso sabemos que el factor defricción f depende de los siguientes parmetros'

f = f ( ρ, μ ,V , D,')En donde mediante un anlisis dimensional obtenemos'

⎛ ρVD ' ⎞ ⎛ ' ⎞ f = f ⎜ , ⎟ = f ⎜ %e, ⎟

⎝ μ D ⎠ ⎝ D⎠

7onde 'D es la rugosidad relativa.

Los valores e&perimentales obtenidos para diferentes n$meros de %eynolds y rugosidades relativas (aspereza relativa) serepresentan en le diagrama de 2oody. En este diagrama se puede observar que el flujo se puede clasificar de 8 formas'

• 3ara n$meros de %eynolds bajos (%e *+0) el flujo ser laminar.

• 4 medida que aumenta el n$mero de %eynolds aparece una zona llamada zona crítica en donde el flujo pasa delaminar a turbulento alternativamente.


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Mecánica de Fluidos 1"

• J al principio del r!gimen turbulento e&iste una zona donde el factor de fricción cambia tanto con el n$mero de

%eynolds como con la rugosidad relativa llamada zona de transición.

• Ginalmente aparece la zona completamente turbulenta donde para una rugosidad dada e&iste un %e por encima del cual el factor de fricción se vuelve constante.

1ambi!n es posible utilizar la ecuación empírica de Colebrook que representa el diagrama de 2oody en la zona de

transición'

-

⎛ ' + +.- ⎞= .@6ln⎜ ⎟ f

⎜0. D %e f

⎟⎝ ⎠

Esta ecuación se puede simplificar para las otras zonas del diagrama, as" tenemos que para una tubería lisa ' = laecuación se convierte en'

- f = .@6ln %e f − .@

J en la zona completamente turbulenta consideraremos que %e = ∞y la ecuación se convierte en'

- f = .@6ln 0.

' D

%onductos de sección no circular

Es de notar que tanto el diagrama de 2oody como la ecuación de Colebroo< se obtuvieron para tuber"as de sección

circular, sin embargo estas pueden ser utilizadas para secciones transversales distintas utilizando el radio idrulico *

que se define como'

* = P A

7onde A es el rea de la sección transversal y P es el perímetro mojado, el cual corresponde al per"metro en el que elfluido est en contacto con la frontera sólida.

Como para el caso de una tuber"a circular completamente llena el radio idrulico es * = +r , entonces se debersustituir a r por 2* para utilizar el diagrama de 2oody'

%e = 8V*

v '

rugosidad relativa =8 *

h = f L V +

L 8 * + g

%oeicientes de ru'osidad e "ara tu!er-as comerciales

1ipo de tuber"a %ugosidad ' 1ipo de tuber"a %ugosidad '

idrio cobre o latón estirado *.- (lisa =ierro galvanizado .- a .+

Latón industrial .+ Gundición corriente nueva .+

4cero laminado nuevo . Gundición corriente o&idada - a -.4cero laminado o&idado .- a .+ Gundición asfaltada .-

4cero laminado con incrustaciones -. a 0 Cemento alisado .0 a .@

4cero asfaltado .- Cemento bruto =asta 0

4cero roblonado .0 a .- 7uelas de madera .-@0 a .K-

4cero soldado, o&idado .8


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Mecánica de Fluidos 1#

Ejercicio 6

4gua fluye a +FC por una tuber"a de - cm de dimetro a una velocidad de -.6 m?s. 5i los elementos de rugosidad

tienen .86 mm de altura, Mla pared es lisa o rugosaN

Ejercicio /

#na tuber"a orizontal lisa de 8 cm de dimetro transporta .8 m0?s de agua a + FC. #tilizando el perfil de ley de potencia, apro&ime (a) el factor de fricción, (b) La velocidad m&ima, (c) la posición radial donde u / V , (d) el esfuerzocortante en la pared y O la ca"da de presión en un tramo de - m. (f) Calcule la velocidad m&ima con el primer m!todode clculo del perfil de velocidades.

Ejercicio 0

4 trav!s de una tuber"a orizontal de - mm de dimetro ('D / .+) fluye agua a +FC con un gasto volum!trico de

.- m0?s. 7eterminar la ca"da de presión que corresponde a - m de longitud del tubo. 5e puede suponer que el flujo es

completamente desarrollado.

Ejercicio 1

MAu! nivel h se debe mantener en el depósito de la figura para producir ungasto volum!trico de .0 m

0?s de aguaN El dimetro interior del tubo liso es de

mm y la longitud del conducto es - m. El agua se descarga a la atmósfera.El efecto del cambio de sección sobre la ca"da de presión se puede despreciar.

Ejercicio (2

h D/

L/- m

#n barreno que funciona a base de aire comprimido requiere un suministro de aire de .+ Pg?s a una presión

manom!trica de 6 P3a. La manguera que va del compresor al barreno tiene un dimetro interior de 8 mm. La presión

manom!trica m&ima de descarga del compresor es 6K P3a. 7espr!ciense los cambios de densidad y cualquier efecto

ocasionado por la curvatura de la manguera. El aire comprimido sale del compresor a 8 FC. Calcular la longitud ms

grande que se puede utilizar en la instalación.

Ejercicio ((

Las puntas de un aspersor de un sistema de riego agr"cola se alimentan con agua mediante conductos de pies, ecos

de aluminio, desde una bomba operada por un motor. En el intervalo de operación de mayor rendimiento, la descarga de

la bomba es - gpm a una presión que no e&cede los 6 psig. 3ara una operación satisfactoria los aspersores deben

operar a 0 psig o a una presión mayor. 5e pueden despreciar los cambios de nivel y el efecto de los accesorios.

7eterminar el dimetro de la tuber"a estndar ms pequeo que se pueda utilizar.

Ejercicio ()

4gua a + FC se transporta m por una tuber"a orizontal de ierro forjado de 8 cm de dimetro con una razón de

flujo de .0 m0?s. Calcule la ca"da de presión en el tramo de m de tuber"a.

Ejercicio (*

5e mide una ca"da de presión de P3a en un tramo de 0 m de una tuber"a orizontal de ierro forjado de - cm de

dimetro que transporta petróleo (7% / .K, v / -; m+?s). Calcule la razón de flujo.

Ejercicio (+

7etermine el dimetro de tubo estirado que debe escogerse para transportar .+ m0?s de agua a + FC una distancia de

8 m sin que la p!rdida de carga e&ceda 0m.

Ejercicio (,

5e desea transportar aire en condiciones estndar por m de ducto rectangular liso y orizontal de 0 cm & + cm con

una razón de flujo de .+8 m0?s. Calcule la ca"da de presión.

Jean-François DULHOSTE – Escuela de Ingeniería Mecánica - ULA


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Mecánica de Fluidos 1$

#&rdidas menores en lujos "or tu!er-as=asta aora se a aprendido a calcular las perdidas de carga que se producen en tuber"as con flujos completamente

desarrollados, estas se denominan com$nmente perdidas primarias o mayores. 5in embargo sabemos que el flujo no ser

completamente desarrollado en la tuber"a en toda su longitud, sino que despu!s de cualquier accesorio (vlvula, codos,

ensancamientos, contracciones, etc) e&iste lo que denominamos flujo de entrada en el cual el perfil de velocidades

var"a en el espacio. Esta variación puede darse por cambios de sección o cambios de dirección.

Esta variación en el flujo de la tuber"a, provoca tambi!n p!rdidas las cuales se denominan com$nmente p!rdidasmenores o secundarias.

Estas p!rdidas dependen principalmente de la geometr"a del accesorio y sern mayores a medida que los cambios degeometr"a sean mas bruscos y menores a medida que los cambios sean ms suaves.Las perdidas totales en una tuber"a sern iguales a la suma de las p!rdidas primarias ms las p!rdidas secundarias'

h L = h P + h+ La influencia de las p!rdidas menores en las p!rdidas totales de la tuber"a depender del n$mero de accesorios y de las

longitudes de tuber"a. 3ara sistemas con tramos rectos muy largos (9- dimetros, el ramal principal de un acueducto

por ejemplo) las p!rdidas menores son muy pequeas comparadas a las p!rdidas primarias, por lo cual estas se suelen

despreciar. 3ara sistemas con longitudes de tuber"as intermedias ( dimetros, la distribución de agua dentro de una

urbanización), las perdidas secundarias suelen tener magnitudes similares a las primarias. Cuando se esta en presencia de

tramos de tuber"as muy cortos las p!rdidas secundarias suelen tener un magnitud superior a las p!rdidas primarias.

3ara calcular las p!rdidas menores h+ en una tuber"a e&isten principalmente dos m!todos, el m!todo del coeficiente de perdidas secundarias y el m!todo de la longitud equivalente.

M&todo del coeiciente de "&rdidas secundariasEn el m!todo del coeficiente de p!rdidas de carga secundarias, las p!rdidas menores se e&presan en función de un

coeficiente de perdida de carga secundaria de la forma siguiente'

h+ = V

+

+ g En donde los valores del coeficiente de p!rdida de carga secundaria depende de la geometr"a del accesorio. Estos

valores se determinan e&perimentalmente y se puede conseguir en tablas.

M&todo de la lon'itud e3ui$alenteEn el m!todo de la longitud equivalente se considera cada accesorio como si se tratase de una longitud de tuber"a recta

equivalente, lo cual incrementa en un cierto valor la longitud real de la tuber"a, para efectos del clculo de las p!rdidas

de carga. 7e esta forma se calcularn las p!rdidas menores de la misma forma que las p!rdidas primarias, es decir con la

ecuación de 7arcy;Beisbac'

h = f L V+

'

+ D + g En realidad con este m!todo se calcular directamente las p!rdidas de carga totales como'

h L = h P + h+ = f ( L

+

L' )

V +

D + g 7e igual forma que en el primer m!todos los valores de longitud equivalente se an obtenido e&perimentalmente para un

gran n$mero de accesorios y se pueden conseguir en tablas o nomogramas.


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Mecánica de Fluidos 1(

Ejercicio (6

5i la razón de flujo a trav!s de la tuber"a de ierro forjado de 8Q de dimetro nominal, que se muestra en la figura, es de

.8 m0?s, calcule la diferencia de altura ! entre las superficies de los tanques.

lvula de globo

roscada

totalmente abierta

Codo estndar

- m

Codo estndar

+ m + m

Ejercicio (/

Calcular el dimetro que debe tener la tuber"a de descarga deltanque elevado de la figura, para que se pueda tener un caudal de

descarga de - pie0?s. La tuber"a es de acero comercial y transporta

agua con una densidad de 6+.8 lbm?pie0 y una viscosidad de -&-

;

pie+?s.

Ejercicio (0

5i el dimetro nominal de la tuber"a del problema - es de +Q, cual

deber ser el valor de la altura ! del tanque para que tenga un

caudal de .- pies0?s.

-R

! / R

Codo Llvula de cierre

estndar

Ejercicio (1

3ara el sifón de la figura, calcular el caudal de gasolina (7% / .) descargado (en lts?s) si la

tuber"a es de cobre e&tru"do de + mm de dimetro y la presión P A si !ste descarga a presiónatmosf!rica (- P3a).

R

. m

4. m

Ejercicio )2.0 m

3ar el mismo esquema del problema -K, cul ser la m&ima altura ! que puede emplearse

para obtener el m&imo caudal de gasolina sin que la presión absoluta sea inferior a + P3a.

Ejercicio )(

Aue dimetro de tuber"a debe emplearse si se desea duplicar el caudal del problema -K ! / 0 m

Ejercicio ))

Aue altura ! debe emplearse en el problema -K si se desea duplicar el caudal con el mismo

dimetro de tuber"a.


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Mecánica de Fluidos 1)

Ejercicio )*

El sistema de bombeo de la figura debe enviar + l?s al tanque elevado, Somba

donde la presión manom!trica es de 0P3a. La tuber"a de succión tieneun dimetro de -cm, una longitud de @ m, es de acero comercial y tiene

una entrada de borda, una vlvula de retención y un codo de KF. Latuber"a de descarga es de acero comercial con cm de dimetro y m de

longitud, tiene dos codos de KF y una salida. La bomba tiene unaeficiencia del T.

Calcular la potencia que consume la bomba y las presiones manom!tricasa la entrada y salida de la bomba.

0 m

m

Ejercicio )+

Aue caudal de agua puede bombearse entre los dos tanques de lafigura.

La tuber"a es de acero comercial de mm de dimetro y posee una !

/ 8 m

Somba entradauna salida, dos codos estndar de KF y tiene una longitud deKm. La bomba es accionada por un motor de +0 PB y !sta tiene una

eficiencia del @T

Ejercicio ),

Aue potencia de bombeo se requerir"a para aumentar el caudal del problema +8 en 0T.

Ejercicio )6

La tuber"a del sistema idrulico de la figura tiene

06Q de dimetro y - Pm de longitud total. Esta

es de acero comercial y tiene una entrada, +

vlvulas de cierre, 8 codos de 8F, - codo de KF y

una salida.

Calcular el caudal de agua necesario para que la

turbina de KT de eficiencia produzca una potencia mecnica de 2B.

Ejercicio )/

3ara el mismo esquema del problema +6, calcular el dimetro de tuber"a requerido para que la

turbina (de KT de eficiencia) genere +2B con un caudal de + m0?s

.

! / + m

1urbina

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mf tema 6 flujos internos-1

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