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Análisis Dimensional y semejanzaTRANSCRIPT
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MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
IP-2012 Semejanza Página 1
TEMA NO. 4
SEMEJANZA
Análisis Dimensional
Significado Físico de los Parámetros Adimensionales más Comunes
Semejanza y Modelos
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MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
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Análisis Dimensional
Introducción
Considérese un fluido de propiedades constantes ρ y μ, el cual fluye alrededor de una
esfera lisa de diámetro D, acercándose a la misma a una velocidad uniforme V∞.
Considerar solamente 10 valores de cada una de las variables independientes D, V∞, ρ y
μ significaría realizar 104 experimentos, cuyo procesamiento y análisis también exigiría
un gran esfuerzo.
= �(�, ��, �, �)
La fuerza de arrastre FD, a lo largo del flujo,
entre el fluido y la esfera viene dada por la
relación funcional
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MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
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Análisis Dimensional (Cont.)
Introducción (Cont.)
El Análisis Adimensional de la mencionada relación funcional la transforma en
� = (��), donde � = �(�∞�/2)�� y �� = ��∞�/�⁄
Los parámetros CD y Re son adimensionales y se denominan Coeficiente de Arrastre y
Número de Reynolds, respectivamente. Por consiguiente, solo sería necesario un
número relativamente bajo de experimentos, que en todo caso se representarían en una
sola curva.
Airship hull: Casco de un dirigible
Disk normal to stream: Disco normal a la corriente
Ellipsoid: Elipsoide
Sphere: Esfera
Stokes’ law: Ley de Stokes
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MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
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Análisis Dimensional (Cont.)
Introducción (Cont.)
∴ dos flujos diferentes, pero con Re1 = Re2, significaría CD1 = CD2 y dichos flujos se
calificarían de semejantes.
Si el material de la esfera posee rugosidad &, surge otro parámetro adimensional
dependiente &/D, denominado rugosidad relativa, i.e.
� = (��, &/�)
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MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
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Análisis Dimensional (Cont.)
Teorema ππππ de Buckingham
Sean (i (i = 1, 2,.., n-1, n) n variables relacionadas por (1 = f((2, (3,.., (n-1, (n) y m el
número de dimensiones básicas incluidas en dichas n variables, entonces existen n – m
parámetros adimensionales π relacionados por π1 = f(π2, π3,.., πn-m).
Notas:
- el teorema está relacionado con el Principio de Homogeneidad Dimensional
- algunas veces m es menor que el número usual de variables básicas, i.e. 3.
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Análisis Dimensional (Cont.)
Pasos en la Determinación de los Parámetros ππππ
1. Establecer la relación funcional dimensional e identificar las dimensiones de las
variables involucradas.
p.ej. = �(�, &, ��, �, �) → n = 6
Variable D є V∞ ρ μ FD Longitud [L] 1 1 1 -3 -1 1 Tiempo [T] 0 0 -1 0 -1 -2 Masa [M] 0 0 0 1 1 1
2. Seleccionar m variables repetitivas, las cuales deben incluir las dimensiones básicas,
pero no pueden formar un parámetro adimensional entre ellas.
p.ej. D, V∞ y ρ, las cuales son variables dependientes geométrica, cinemática y dinámica,
respectivamente.
→ m = 3 (rango de la matriz de la tabla)
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Análisis Dimensional (Cont.)
Pasos en la Determinación de los Parámetros ππππ (Cont.)
3. Combinar las m variables repetitivas con cada una de las n – m variables restantes,
formando los parámetros adimensionales.
p.ej. 34 = �5��6�7& → 89:9;9 = 85(8<:=<)6(;<8=>)78
∴ surge un sistema de ecuaciones algebraicas lineales ? + A − 3C + 1 = 0
−A = 0
C = 0
Ya que la solución de este sistema es a = -1, b = 0 y c = 0, resulta entonces
34 = 4 ∶ rugosidad relativa
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Análisis Dimensional (Cont.)
Pasos en la Determinación de los Parámetros ππππ (Cont.)
Alternativamente, los parámetros π pueden construirse por inspección:
La 2da. Ley de Newton permite generar un producto de las variables repetitivas con
dimensiones de fuerza,
3 = OPQ5 = OP
RS5 = OPRT(SU V)⁄ = OP
RTSU (W SU⁄ )⁄ = OPRSUX X = YZ[\]7][^_[ `[ abb5c_b[ YP
�
La Ley de la Viscosidad de Newton y la Ecuación de Bernoulli permiten generar un
producto de las variables repetitivas con dimensiones de viscosidad,
3d = �e (fg fh⁄ )⁄ = �
i (�� �⁄ )⁄ = �(����)� ��⁄ = �
���� = 1júl�mn f� ��ohnpfq ��
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Análisis Dimensional (Cont.)
Pasos en la Determinación de los Parámetros ππππ (Cont.)
4. Establecer la relación funcional adimensional, considerando que elevar un parámetro
π a una potencia y/o multiplicarlo por un número u otro parámetro π no cambiaría su
carácter adimensional.
p.ej.
OP
RSUX X = r dRSU , 4
s ⇒ OPRuSUX �⁄ vX = r4
, RSUd s w. �. � = (��, & �⁄ )
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Significado Físico de los Parámetros Adimensionales más Comunes
Número de Símbolo Definición
Euler Eu ∆i ���⁄
Reynolds Re ��ℓ �⁄
Froude Fr � (ℓz)</�⁄
Mach M � C⁄
Weber We ���ℓ {⁄
Strouhal St ℓ| �⁄
Variables Significados
ℓ y V longitud y velocidad características del flujo
ρ, μ y ϒ densidad, viscosidad y tensión superficial del fluido
c velocidad del sonido del fluido
g aceleración de gravedad
Ω velocidad angular, frecuencia o inverso del período
Δp diferencia de presión
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MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
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Significado Físico de los Parámetros Adimensionales más Comunes (Cont.)
Los parámetros adimensionales representan ya sea relaciones geométricas (i.e. de
aspecto), cinemáticas o dinámicas.
p.ej.
�� = RSℓd = uRℓXSvS
d(S ℓ⁄ )ℓX ∼ �� SO��������
∼ O�������O��������
∴ �� ↑ ⇒ �]c7Zc5c ↓
� = OPR(SX �⁄ )ℓX = OP
(RℓXS)S �⁄ ~ OPO�������
En Flujo Compresible se demuestra que M↑ ⇒ Compresibilidad ↑
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MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
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Semejanza y Modelos
Los ensayos en un flujo Modelo m pueden usarse para la predicción de un flujo
Prototipo p. Para ello es necesario establecer semejanzas de distinta naturaleza y
niveles. Obviamente, no puede existir semejanza plena entre dos flujos sin semejanza
geométrica: para todo par de longitudes o distancias homólogas ℓ�ℓ�
= C��.
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MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
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Semejanza y Modelos (Cont.)
La semejanza de mayor envergadura es la dinámica: para todo par de puntos homólogos
y tipo de fuerza t (viscosa, gravitacional, etc.) se cumple
O�,�O�,�
= O�,�O�,�
= C��. ∴ rO�O�
s�
= rO�O�
s�
w. �. 3_,� = 3_,�
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MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
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Semejanza y Modelos
Pero O�,�O�,�
� C��.t �5�� �5��
� uR
∴ si el flujo es incompresible
�� �� � C��.⁄ , y resultaría la semejanza cinemática
�� ��⁄ .
MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
Semejanza
Semejanza y Modelos (Cont.)
uRℓTSX ℓ⁄ v� RℓTSX ℓ⁄ ��
� uRSXv�(RSX)�
= C��.
si el flujo es incompresible, entonces ocurre una especie de semejanza “másica”
semejanza cinemática: para todo par de puntos
Página 14
semejanza “másica”:
para todo par de puntos homólogos
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MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
IP-2012 Semejanza Página 15
Semejanza y Modelos (Cont.)
En conclusión, la existencia de semejanza dinámica significa semejanza tanto
geométrica, como cinemática y “másica”, concurrentemente.
Algebraicamente, esto se traduce en: si los parámetros π independientes de los flujos
modelo m y prototipo p son iguales entre sí, el parámetro π dependiente también lo es,
i.e.
3],� = 3],�, w = 2, 3, . . , h − l ⇒ 3<,� = 3<,�
p. ej.
r4s
�= r4
s�
o (��)� = (��)� ⇒ (�)� = (�)�