MTODOS NUMRICOS

Instituto Tecnolgico de Apizaco

Ingeniera Civil

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA TIERRA/DEPARTAMENTO DE CIENCIA BSICAS

Anlisis Numrico(Ingeniera Civil)

M. en C. JOS LUIS HERNNDEZ GONZLEZEnviar las tareas al correo : tareasjlhg@yahoo.com Alum.:______________________________________No. Lista: _________

Apizaco Tlax., Enero 2015

UNIDAD I Anlisis del ErrorERRORES

Los errores se generan con el uso de aproximacin para representar las operaciones y cantidades matemticas.

Valor verdadero = valor aproximado ( error

Exactitud: Se refiere a la cercana de un nmero o de una medida al valor verdadero que se supone que representa.

Precisin: se refiere al nmero de cifras significativas que representa una cantidad.

Dependiendo de la fuente que produzca los errores, pueden clasificarse como:

Errores inherentes: Tambin llamados errores propios de los datos, son aquellos que se producen al leer en algn dispositivo de medicin, al transmitirla o reproducirla; debido a la imprecisin en los instrumentos o por errores humanos.

Errores por truncamiento: Son aquellos que se presentan al utilizar series en los clculos, sen(x), ex, los cuales tienen un nmero infinito de trminos y al realizar un calculo, es necesario utilizar un determinado numero de trminos, truncndolos dems, Tambin se presenta en los nmeros irracionales , (, e, etc.

Errores por redondeo: Se deben a la imposibilidad de manejar en ciertas operaciones todos los dgitos resultantes. En este caso el resultado se redondea o aproxima al numero de dgitos deseados.

Error numrico total: Es la suma de los errores de redondeo o truncamiento.

CALCULO DEL ERROR

Error absoluto. Se define como la diferencia en valor absoluto del valor verdadero y el valor aproximado.

Error relativo. Se define como el cociente del error absoluto y el valor verdadero.

Se acostumbra denotar a los errores en valor porcentual.

Ejemplo: Calcular los errores absolutos y relativos de la funcin ex para el valor de x = 1, mediante una serie y trunque a n = 4 trminos.

S x = 1 y n = 4 entonces

Podemos organizar la informacin en una tabla como sigue:

neeaer

01.000001.7182863.2100

12.000000.7182826.4240

22.500000.218288.03000

32.166670.051621.89880

42.708300.009950.36598

SERIES DE TAYLOR

Teorema de Taylor.

Suponga que f ( Cn en [a, b], que f(n+1) existe en [a, b] y x0 en [a, b]. Para cada x ( [a,b], existe un nmero ((x) entre x0 y x tal que

F(x)=Pn(x) + Rn(x),

donde

y

En este caso, Pn(x) es el n-simo polinomio de Taylor para f respecto a x0, y Rn se llama el trmino del residuo (o error de truncamiento) asociado a Pn(x). La serie infinita obtenida al tomar el lmite de Pn(x) cuando es la serie de Taylor para f en torno a x0. En el caso x0 = 0, el polinomio de Taylor suele llamarse polinomio de Maclaurin, y la serie de Taylor se nombra serie de Maclaurin.

El trmino error de truncamiento se refiere al error implcito al usar una suma truncada, o finita, para aproximar la suma de una serie infinita. [Burden y Faires. 2002].

Ejemplo. Calcular la serie de la funcin y = ex, alrededor de x0 = 0.

y = ex y(0) = 1

y = ex y(0) = 1

y = ex y(0) = 1

y = ex y(0) = 1

yk = ex yk (0) = 1

Ejemplo. Calcular la serie de la funcin y = e-x, alrededor de x0 = 0.

y = e-x y(0) = 1

y = -e-x y(0) = -1

y = e-x y(0) = 1

y = -e-x y(0) = -1

Ejemplo. Calcular la serie de la funcin y = cos(2x), alrededor de x0 = 0.

y = cos(2x)

y(0) = 1

y = -2sen(2x)

y(0) = 0

y = -4cos(2x)

y(0) = -4

y = 8sen(2x)

y(0) = 0

yIV = 16cos(2x)

yIV(0) = 16

yV = -32sen(2x)

yV(0) = 0

yVI = 64cos(2x)

yVI(0) = -64

Inexacto e impreciso Exacto e impreciso

Aumenta la exactitud

Aumenta la precisin

Inexacto y preciso Exacto y preciso

Errores

Inherentes

Truncamiento

Redondeo

Sistemticos

Accidentales

Algoritmo

inicio

leer(n.x)

0 ( suma;

para 0 ( i hasta n hacer

suma + xi / fact(i) ( suma;

fin de para

mostrar(suma)

fin de programa

funcin factorial(n)

1( factorial;

para 1 ( i, hasta n hacer

factorial*i ( factorial

fin de para

fin de funcin

Mtodos numricosunidad I pag. 6M. en C. Jos Luis Hernndez Gonzlez

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