metodos numericos trabajo colaborativo 2

8/18/2019 Metodos Numericos Trabajo colaborativo 2

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Método Descripción

Eliminación Gaussiana

Es el más práctico para encontrar

soluciones exactas a un sistema

lineal. Requiere pocas operaciones en

comparación con el método de Gauss-

Jordan. Se producen errores almanejar fraccionarios con cierto

nmero de cifras decimales.

Eliminación de Gauss-Jordan

Requiere muc!as más operaciones

que en la Eliminación Gaussiana.

"ermite resol#er !asta $%-&'

ecuaciones simultáneas con (-$'

d)*itos si*ni+cati#os.

Metodo de Gauss-Seidel

Es mu, práctico para la ma,or)a de

prolemas relacionados con la

in*enier)a ,a que en estos existe una

#ariale dominante en las ecuaciones.o siempre con#er*e a una solución o

en su defecto lo !ace mu, lentamente

2¿

0.1 x1 +7.0 x2 −0.3 x33.0 x

1 −0.1 x

2 −0.2 x

3

0.3 x1 −0.2 x2 −10.0 x3

¿−19.30 (1)¿7.85

¿71.40

Eliminación Gaussiana

/tili0ando la ecuación 1$2 como pi#ote otenemos3

x1+70 x

2−3 x

3=−193.0

210.1 x2−8.98 x3=−586.85( 4)

21.2 x2+9.1 x

3=−129.3

/tili0ando la ecuación 142 como pi#ote se otiene

− x1+0.008091 x

3=−2.4069


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x2+ 0.42925 x

3=−6.09905

0+98.985425 x3=−694.910405

donde podemos despejar facilmente a x3 , y asi hallar los otrosvalores delas incognitas

x3=

−694.91040598.985425

=−7.020330≅−7.0

luego x2=−3.0854≅−3.0

x1=−4.0

Eliminacion de Gauss−Jordan

Simplificando las ecuaciones para un mejor manejo , nosquedan de lasiguiente manera :

[1 70 −3.03 −0.1 −0.23 −2.0 −100.0]

−193.07.85

714.0

Hallaremosla matriz identica, y asila soluciondel sistemade ecuaciones .

f 2 :3 f 1− f 2

f 3=3 f 1−f 3

[1 70 −3.00 210.1 −8.80 212 91

] −193.0−586.85−1293

f 2 : 3 f 1−f 2

[1 70 −3.00 1 −0.00418850 212 91

] −193.0−2.79319

−1293


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f 2= f 3

212−f 2

[1 70 −3.00 0 0.47113

0 212 91

] −193.0−3.305866−1293

Vemos queaqui podemos determinar facilmente el valor de x3

x3=

−3.3058660.47113

=−7.016888 −7.0

!oneste valor , hallamoslas otras dos incognitas

x2=−3.094 −3.0

x1=−4.0

"etodo de Gauss−Seidel

3.0 x1 −0.1 x2 −0.2 x30.1 x

1 +7.0 x

2 −0.3 x

3

0.3 x1 −0.2 x2 −10.0 x3

¿7.85(1)¿−19.3

¿71.40

#signemos valores razona$les para x2=−2.7 % x

3=−7.1

despejando las vari$alesdominantes de cada ecuacion, nos queda:

x1=

7.85+0.1 x2+0.2 x

3

3

x2=

0.3 x3−0.1 x

1−19.3

7

x3=

0.3 x1−0.2 x

2−71.4

10


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Hallemos el valor de x1

, conlos valores asignados de x2

, x3

x10=2.05 3́

con los valores de x1 , x3hallamos el valor de x2

x20=−3.0907619

x30=−7.00024763

x11=2.046958093

x21=−3.086395728 −3.0

3=−¿1 7.02259 −7.0 x¿

luego, utilizando los valores de x1

, x3

aproximados , determinamos el valor de x2

x2=−4.0

Conclusión:

El método de eliminación *ausssiana requiere menos operaciones que en el

método de *auss jordan5 amos métodos presentan prolemas si se eli*e

cierto nmero de cifras decimales5 , en el método de *auss-Seidel #emos que

unas de las incó*nitas no parec)a con#er*er a la solución dada5 aunque s)

deer)a !acerlo ,a que cada una de las ecuaciones presentaa una #ariale

dominante respecto a las otras

4 ¿

El polinomio de interpolacion de &agrange de grado3 , esta dado por :


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6/11

8emos que el polinomio5 no da una uena aproximación a los puntos dados.

6) 'arala siguiente ta$la o$tengael 'olinomio de (nterpolaci)n

de diferenciasfinitas de *e+ton e (nterpole enel punto x=−14/15

x 0 1 −1 / −2 /3

y −2 − −8/ −32 /9

El polinomio de tercer grado es :

f ( x )=$0+$

1 ( x− x0 )+$2 ( x− x0 ) ( x− x1)+$3( x− x0 )( x− x1)( x− x2)

donde$ 0= f ( x0)

$1=f [ x1 , x0 ]

f [ x1, x0 ]=−4+ 2

1−0=−2

f [ x2 , x1 ]=

−8

3

+4

−13

−1=−1

f [ x3 , x2 ]=

−329

+8

3

−23+

1

3

=8

3

$2= f [ x2, x1, x0 ]=f [ x2, x1 ]−f [ x1, x0 ]

x2− x

0

=−1+2

−1

3−0

=−3


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f [ x3 , x2 , x1 ]=f [ x3 , x2 ]−f [ x2 , x1 ]

x3− x

1

=

8

3+1

−23

−1=

−115

$3=f [ x3, x 2, x1, x 0 ]=

f [ x3 , x2 , x1 ]−f [ x2 , x1 , x0 ] x

3− x

0

=

−115

+3

−23−0

=−2

luego, f ( x )=−2−2( x−0 )−3 ( x−0 ) ( x−1)−2 ( x−0 ) ( x−1)( x+ 13 )

f ( x )=−2

−2

x−3

x ( x−1

)−2

x ( x−1

)( x +

1

3

)f ( x )=−2+

5

3 x−

5

3 x

2−2 x3

luego f (−1415 )=−3.38137 ¿


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Dados los puntos: (-4.5, 0.7), (-3.2, 2.3), (-1.4, 3.8), (0.8, 5.0), (2.5, 5.5), (4.1, 5.6) determine los

polinomios de grado 4 5. !ra"i#ar para determinar la #ur$a m%s apro&imada.

" =6

∑i=1

6

x i=−1.7

∑i=1

6

x i2=56.15

∑i=1

6

x i3=−41.579

∑i=1

6

x i4=840.8099

∑i=1

6

x i5=−929.65787

∑i=1

6

x i6=14379.544

∑i=16

x i7

=−20727.47183

∑i=1

6

x i8=260536.6689

∑i=1

6

y i=22.9

∑i=1

6

xi

yi

=24.88

∑i=1

6

x i2 yi=176.886


9/11

∑i=1

6

x i3 yi =324.874

∑i=1

6

x i4

y i=2342.13222

'uego, deemos el resol$er el siguiente sistema de e#ua#iones:

6−1.7 56.15−41.579 840.8099a 1 22.

−1.7 56.15 -41.57 840.80 -2.6578 a2 24.88

56.15 -41.57 840.80 -2.6578 1437.544 a3 176.886

-41.57 840.80 -2.6578 1437.544 -20727.47183 a4 324.874

840.80 -2.6578 1437.544 -20727.47183 260536.668 a5 2342.13222

onde a1=4.6333 . a 2=0.48387, a 3=−0.060175 , a 4=0.0028095, a 5=−0.00069187

porlo tantola ecuacion$uscada es :

f ( x )=0.4633 x4+0.48387 x3−0.060175 x2+0.0028095 x−0.00069187

x 7 9 4 & -4


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y $46

'

:'

(

&7

(

4' -&4&

f ( x )=$0+$

1 ( x− x0 )+$2 ( x− x0 ) ( x− x1)+$3 ( x− x0 )( x− x1 ) ( x− x2 )+$4 ( x− x0 )( x− x1) ( x− x2 )( x− x3)

El polinomio de tercer grado es :

f ( x )=$0+$

1 ( x− x0 )+$2 ( x− x0 ) ( x− x1)+$3( x− x0 )( x− x1)( x− x2)

donde$0=f ( x0 )=1430

$1=f [ x1 , x0 ]=

908−14306−7

=522

$2=f [ x2, x 1, x0 ]=

f [ x2, x1 ]−f [ x1, x0 ] x

2− x

0

=315−522

4−7=69

$3=f [ x3, x2, x1, x0 ]=

f [ x3 , x2 , x1 ]−f [ x2 , x1 , x0 ] x

3− x

0

=49−69

2−7=4

$4=f [ x4 , x3, x2 , x1 , x0 ]=

f [ x4 , x3 , x2, x1 ]−f [ x3 , x2 , x1 , x0 ] x4− x0 =

4−4

−4−7=0

sustituyendo los valores enel polinomio , tenemos :

f ( x )=1430+522 ( x−7 )+69 ( x−7 ) ( x−6 )+4 ( x−7)( x−6)( x−4)

luego parael punto x=3 % f ( 3 )=122

(2


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