metodos numericos equipo 3
TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD NORORIENTAL PRIVADA
GRAN MARISCAL DE AYACUCHO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA DE MANTENIMIENTO
NUCLEO: EL TIGRE
El Tigre, Junio de 2016
Autores:
Alondra Palencia
Kairelys Cones
Jeydrimar Velasquez
Edward Valera
Antonio Gonzales
Equipo #3
Profesora:
Carlena Astudillo
Se llama genéricamente Integración Numérica al conjunto de
técnicas y métodos que se han desarrollado para el calculo
aproximado de integrales definidas.
En aquellos casos en los que simplemente se conoce la función
f(x) por medio de una tabla de datos, estas técnicas son
absolutamente necesarias si se quiere evaluar la integral de alguna
manera. Además, aun conociéndose la función en forma analítica, con
frecuencia es difícil (o incluso imposible) calcular una primitiva de
dicha función de cara a aplicar la Regla de Barrow.
Integración Numérica
En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales.
El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.
Es sustituir la función a
integrar por alguno de sus polinomios de interpolación.
Se trata por tanto de toda una familia general de
métodos, según el polinomio de interpolación
que se considere.
Aunque en principio en un método general
de Newton-Cotes podría ser valida cualquier
elección de puntos para realizar la
interpolación, es habitual
restringirse al caso en el que
los puntos están equiespaciados.
En particular, se denominan Formulas de Newton-Cotes a las expresiones que se obtienen en tal situación.
Además, si los limites de integración, a y b, son los puntos primero y ultimo de los considerados para calcular los polinomios de interpolación, se dice que tenemos Formulas de Newton-Cotes cerradas
se llaman Formulas abiertas a aquellas para las cuales no se conocen los valores del integrando en los extremos.
Método de Newton-Cotes
Método de los
Trapecios
Método de los
Trapecios compuesto
Método de
Simpson
Método de Simpson
Compuesto
Método de
Simpson 3/8
Formulas de
Newton-Cotes
cerradas y abiertas
Es un Método de Newton-Cotes basado en la interpolación lineal. Se trata por
tanto, de cara a integrar f(x) desde el punto (a; f(a)) hasta (b; f(b)), de aproximar
f(x) por su polinomio de interpolación lineal en [a; b]
En definitiva se trata de aproximar el valor de la integral I por el
área del trapecio (suponiendo que la función es positiva para todo x 2
[a; b]) que determinan las rectas x = a, x = b, el eje de abscisas y la
recta que une los puntos: (a; f(a)) y (b; f(b)), y de ahí el nombre del
método.
Si el intervalo en el que se realiza la integral es grande, el Método de los Trapecios Simple suele ser muy impreciso. Para mejorar la exactitud, es posible subdividir el intervalo en otros más pequeños y aplicar en cada uno de ellos el Método simple.
De esta manera, el Método de los Trapecios compuesto o generalizado consiste en tomar una partición P = fx0; x1; : : : ; xng de [a; b], (x0 = a, xn = b), equiespaciada, es decir: xi+1 ¡ xi = h, 8i = 1; : : : ; n.
Tendremos así que:
y aplicando a cada integral el Método simple:
Teniendo en cuenta las propiedades básicas de la integral definida:
Tenemos por tanto la siguiente expresión para el Método de los Trapecios
Generalizado:
En lo que respecta al error de integración, sería
evidentemente igual a la suma de los errores de cada una de
las aplicaciones del método simple:
Dada la función f(x) en [a; b], necesitaremos un tercer punto para poder calcular
un polinomio de interpolación de grado dos, tomamos para ello el punto medio de
dicho intervalo, es decir: xm = a+b/2 , y denominaremos h = b-a/2 a la
semianchura del intervalo. De esta forma el polinomio de interpolación de grado 2
que pasa por (a; f(a)), (xm; f(xm)) y (b; f(b)), calculado por el Método de Newton,
Es un método de Newton-Cotes de segundo orden, es decir basado en
integrar un polinomio de interpolación de segundo grado, de la forma
siguiente
No es difícil calcular la integral de P2(x) entre a y b, de manera que se obtiene:
Que es la fórmula del Método de Simpson (o Método de Simpson simple).
De manera análoga a lo expuesto para el Método de los Trapecios, es
posible generalizar (mejorando la precisión) el Método de Simpson por
medio de la subdivisión del intervalo dado en otros más reducidos.
Partiremos el intervalo [a; b] en n subintervalos equiespaciados de
anchura h = b-a/n , tenemos así la partición: f x0; x1; : : : ; xng, en la que
tomaremos necesariamente que n sea un número par. De esta forma
podremos aplicar el Método de Simpson simple a las sucesivas n/2
parejas de subintervalos determinadas por la partición. Para ello
separamos la integral:
Que como vemos es un valor más cercano al obtenido de manera
exacta que el calculado por Método de los Trapecios, 0:117166.
Repetiremos el ejemplo anterior utilizando ahora el Método de
Simpson compuesto, con n = 8.
Para otros valores de n:
Aunque lo habitual el denominar Método de Simpson al que ha sido
expuesto en los apartados anteriores, es también frecuente llamar
Método de Simpson al caso en el que se integra un polinomio de
interpolación de grado tres. En tal situación se llama Método de
Simpson 1/3 al anteriormente expuesto y Método de Simpson 3/8 al de
tipo cubico que presentaremos ahora.
Repitiendo los razonamiento desarrollados para el caso anterior, pero
ahora tomando tres subintervalos de igual anchura para partir [a; b], es
decir los puntos:
Donde h = b-a/3 , tendremos que la integral de f(x) puede ser
aproximada por la expresión:
Tal y como hemos visto, el Método de los Trapecios, el
Método de Simpson y el Método de Simpson 3/8 son
casos particulares de los Métodos de Newton-Cotes, para
puntos equiespaciados, de orden uno, dos y tres
respectivamente. De manera general se llaman Formulas
de Newton-Cotes cerradas a las que se obtienen
integrando polinomios de interpolación para puntos
equiespaciados desde x0 = a hasta xn = b. Su expresión
general es:
Consiste en evaluar derivadas de una función usando únicamente los valores
que toma la función en una serie de puntos.
La técnica de aproximar las derivadas por diferencias tiene muchas aplicaciones, en
particular a la resolución numérica de ecuaciones diferenciales y ecuaciones en
derivadas parciales.
Si recordamos la definición de derivada de una función f(x) en un punto
x:
Tendremos que una primera aproximación al valor de f0(x) lo tendremos
con la expresión:
De cara a analizar el error de la aproximación, supongamos que f(x) es
derivable dos veces en un entorno del punto x y apliquemos la Formula
de Taylor a f(x + h) en x:
para algún E 2 (x; x + h). Despejando tendremos:
• La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica.
• Existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integración numérica de vital importancia.
• La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras que la solución numérica nos daría una solución aproximada.
• El error de la aproximación, que depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar a ser tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a la solución analítica en las primeras cifras decimales.
Los métodos de integración numérica pueden ser descritos generalmente como combinación de evaluaciones del integrando para obtener una aproximación a la integral.
Una parte importante del análisis de cualquier método de integración numérica es estudiar el comportamiento del error de aproximación como una función del número de evaluaciones del integrando.
De todos modos, un modo de integración por «fuerza bruta» puede hacerse siempre, de un modo muy simplista, evaluando el integrando con incrementos muy pequeños
También, cada evaluación cuesta tiempo, y el integrando puede ser arbitrariamente complicado.
Reduciendo el número de evaluaciones del integrando se reduce el número de operaciones aritméticas involucradas, y por tanto se reduce el error de
redondeo total.
Un método que produce un pequeño error para un pequeño número de evaluaciones es normalmente
considerado superior.
Los métodos de integración
que se han comentado
hasta aquí se han diseñado
todos para calcular
integrales de una
dimensión.
Para calcular integrales de
diversas dimensiones, un enfoque es
expresar la integral
múltiple como repetición de integrales de
una dimensión haciendo uso
del teorema de Fubini.
Este enfoque lleva a una cantidad de
evaluaciones de la función
que crece exponencialmente a medida que crece el número de
dimensiones.
Se conocen dos
métodos para superar
esta llamada maldición de la dimensión.
Se nos plantea ahora el problema de calcular la derivada de una
función de la que solo conocemos un numero Finito de datos. Dos
métodos son los más usuales a la hora de resolver tal problema:
Derivar un polinomio de interpolación, lo que permite el calculo de las sucesivas derivadas en un punto dado del polinomio interpolante asociado a nuestros datos.
Calcular directamente la derivada utilizando para ello aproximaciones de la función mediante los polinomios de Taylor. Las formulas obtenidas de esta manera reciben el nombre de formulas de diferencias Finitas.
Gracias por su atención
“La perfección no existe, La excelencia si ”.
FIDIAS G. ARIAS.