METODOS NUMERICOS EN I.Q.

1. Metodo de Newton

El metodo de Newton sirve para aproximar ceros de funciones f(x) = 0. Las funciones fpueden ser de varias variables f : IRk → IRk. Teniendo en cuenta el desarrolloe en serie deTaylor de orden 1 podemos escribir

f(xn+1) = f(xn) + Df(xn)(xn+1 − xn) + t.o.s.

donde t.o.s. representa a los terminos de orden superior, y suponiendo que f(xn+1) ≈ 0tendrıamos Df(xn)(xn−xn+1) ≈ f(xn). El metodo de Newton-Raphson es un metodo iterativoque se puede describir como:

Dado un valor inicial x = x0

{resolver Df(xn)w = f(xn), n ≥ 0calcular xn+1 = xn − w, n ≥ 0.

(1.1)

De esta forma si xn converge cuando n → ∞ a x, el lımite es una solucion del sistema no

lineal f(x) = 0. Observese que la matriz Df(xn) viene dada por Df(x) =

(∂fi(x)

∂xj

)

i,j

2. Metodo de Gauss para matrices tridiagonales

El metodo de Gauss, para un sistema tridiagonal Mx = R hace ceros por debajo de ladiagonal principal de la matriz ampliada

(M |R

)=

A1 C1

B1 A2 C2. . . . . . . . .

BN−2 AN−1 CN−1

BN−1 AN

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

R1

R2...

RN−1

RN

El primer paso del metodo de Gauss, sustituye la segunda fila E2 = (B1, A2, C2, 0, · · · , 0) porE2 = E2 + m2E1 eligiendo el multiplicador m2 de forma que B1 = 0, i.e. m2 = −B1/A1. De

1

este modo la matriz ampliada se transforma en la siguiente matriz

(M |R

)=

A1 C1

0 A2 C2. . . . . . . . .

BN−2 AN−1 CN−1

BN−1 AN

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

R1

R2...

RN−1

RN

Siguiendo con este proceso de sustitucion de la fila Ei+1 por Ei+1 = Ei+1 + mi+1Ei, el multi-plicador en la fila i + 1 es mi+1 = −Bi/Ai.

Para este tipo de matrices el metodo de Gauss es muy eficiente y rapido puesto que Ci = Ci

para todo i = 2, . . . , N − 1, Bi = 0 para todo i = 2, . . . , N ,, de forma que solo se requieren encada fila dos multiplicaciones y dos sumas.

Finalmente llegamos a un sistema triangular superior

(M |R

)=

A1 C1

A2 C2. . . . . .

AN−1 CN−1

AN

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

R1

R2...

RN−1

RN

.

Y resolvemos el sistema triangular resultante por sustitucion retrograda, es decir,comenzando por la ultima ecuacion

xN =RN

AN

y sustituyendo en las anteriores para obtener

xi =Ri − Cixi+1

Ai

, i = N − 1, . . . , 1.

2

3. Diferencias finitas para problemas estacionarios

Analizamos en esta seccion el metodo de diferencias finitas aplicado a problemas esta-cionarios del tipo:

−uxx + p(x)ux + q(x)u = f(x, u), x ∈ [0, L]u′(0) = 0,u′(L) + βu(L) = g(u(L))

(3.1)

Posteriormente analizaremos tambien otro tipo de condiciones de contorno.Supondremos que las funciones

q : [0, L] → IR, f : [0, L]× IR → IR,

son funciones continuas y suficientemente derivables. Con respecto a p asumiremos que p :(0, L] → IR es continua y suficientemente derivable, pero admitiremos que p se comportede forma singular en x = 0, es decir admitiremos que p(x) → ∞ cuando x → 0. De hechoexigiremos que la funcion xp(x) tenga lımite cuando x → 0. Definiremos

α = lımx→0

xp(x)

Particularmente esto nos permitira tratar problemas con p(x) = −a/x, con a ∈ IR. (Observeque el operador diferencial −∆ en dimension N , en coordenadas polares para funciones queson solo dependientes del radio se escribe como −urr − N−1

rur. Por lo tanto este problema se

podra tratar en nuestro marco concreto).Es interesante interpretar la parte izquierda de la primera ecuacion de (3.1) como un

operador L que transforma una funcion u en la funcion Lu = −uxx + pux + qu. Este operadores lineal, L(u + v) = L(u) + L(v) y L(αu) = αu. De esta forma la ecuacion (3.1) se puedeescribir como

Lu(x) = f(x, u(x))

Fijamos ahora un numero entero N , que en general sera suficientemente grande y deno-tamos por h = L/(N + 1). Este valor h representa el paso de la discretizacion que vamos ahacer en el intervalo [0, L]. De esta forma obtenemos el mallado:

xi = ih, i = 0, 1, · · · , N, N + 1

Obviamente x0 = 0 y xN+1 = L. Tenemos en total N + 2 puntos x0, x1, · · · , xN+1 equiespaci-ados.

Utilizamos las formulas de aproximacion de la primera y la segunda derivada siguientes:

uxx(z) =u(z − h)− 2u(z) + u(z + h)

h2+ O(h2)

ux(z) =u(z + h)− u(z − h)

2h+ O(h2)

En particular si z = xi para i = 1 · · · , N tenemos

3

uxx(xi) =u(xi−1)− 2u(xi) + u(xi+1)

h2+ O(h2)

ux(xi) =u(xi+1)− u(xi−1)

2h+ O(h2)

Lo que implica que, evaluando Lu en los puntos xi para i = 1, 2, · · · , N , obtenemos:

(Lu)(xi) =1

h2

[(−1− hp(xi)

2

)u(xi−1) +

[2 + h2q(xi)

]u(xi) +

(−1 +

hp(xi)

2

)u(xi+1)

]+O(h2)

Para analizar la funcion en los dos puntos de la frontera x = 0 y x = L procedemos de laforma siguiente.

La funcion u(x) es suficientemente regular, en particular tenemos un desarrollo de Tayloren x0 = 0 :

u(x) = u(0) + xu′(0) +x2

2u′′(0) + O(x3)

Por la condicion de contorno tenemos que u′(0) = 0. Por otra parte del desarrollo de Taylorobtenemos que

p(x)u′(x) = xp(x)u′′(0) + p(x)O(x2) (3.2)

lo que implica que lımx→0 p(x)u′(x) = αu′′(0) y por tanto, pasando al limite x → 0 en laecuacion diferencial llegamos a que

(−1 + α)u′′(0) + q(0)u(0) = f(0, u(0))

En particular, tomando x = h

(−1 + α)u(h) = (−1 + α)u(0) +h2

2[−q(0)u(0) + f(0, u(0))] + O(h3)

Simplificando:[2− 2α + h2q(0)

]u(0) + (−2 + 2α)u(h) = h2f(0, u(0)) + O(h3)

que se puede reescribir como[2− 2α + h2q(x0)

]u(x0) + (−2 + 2α)u(x1) = h2f(0, u(x0)) + O(h3)

Podemos hacer un analisis similar para el punto x = L. La funcion admite un desarrollode Taylor

u(L− x) = u(L)− xu′(L) +x2

2u′′(L) + O(x3) (3.3)

= (1 + βx)u(L)− xg(u(L)) +x2

2[p(L)[g(u(L)− βu(L)] + q(L)u(L)− f(L, u(L))] + O(x3)

4

Lo que implica con x = h que

u(xN) = (1 + βh)u(xN+1)− hg(u(xN+1))

+h2

2[pN+1g(u(xN+1)) + (−βpN+1 + qN+1)u(xN+1)− f(xN+1, u(xN+1))] + O(h3)

que equivale a

−2u(xN) + (2 + 2βh(1− hβpN+1/2) + h2qN+1)u(xN+1) = h2f(xN+1, u(xN+1))

+2hg(u(xN+1))

(1− hpN+1

2

)+ O(h3)

Por tanto si u(x) es una solucion de la ecuacion (3.1) tendremos que el vector Uex =(u(x0), u(x1), · · · , u(xN+1)) verifica la ecuacion

LhUex = h2 Fh(Uex) + h2 ε(h)

donde:La matriz Lh es tridiagonal y viene dada por:

2− 2α + h2q0 −2 + 2α 0 · · · 0 0 0 0

−1− hp12 2 + h2q1 −1 + hp1

2 · · · 0 0 0 0

......

......

......

...

0 0 0 · · · −1− hpN−12 2 + h2qN−1 −1 + hpN−1

2 0

0 0 0 · · · 0 −1− hpN2 2 + h2qN −1 + hpN

2

0 0 0 · · · 0 0 −2 2 + 2βh + h2(qN+1 − βpN+1)

Los vectores Fh(Uex) y ε(h) vienen dados por:

Fh(Uex) =

f(x0, u(x0))

f(x1, u(x1))

f(x2, u(x2))

...

f(xN−1, u(xN−1))

f(xN , u(xN))

f(xN+1, u(xN+1)) + 2g(u(xN+1))h

(1− hpN+12

)

, ε(h) =

O(h)

O(h2)

O(h2)

...

O(h2)

O(h)

5

El metodo de diferencias finitas consiste en despreciar el resto ε(h) y resolver el sistemade ecuaciones no lineales

LhU = h2Fh(U)

Observacion 3.1 La solucion obtenida U = (u0, u1, · · · , uN+1 sera una solucion aproximadaU = Uap

3.1. Ecuacion Lineal.

En el caso en que f(x, u) = f(x) es decir, no depende de u, el sistema de ecuaciones delmetodo de diferencias finitas es el sistema lineal: LhU = h2Fh. Por tanto, si la matriz Lh tieneinversa, su solucion viene dada por U = h2L−1

h Fh.

3.2. Ecuacion No Lineal.

En el caso general en que la funcion f depende de u el sistema de ecuaciones del metodo dediferencias finitas es un sistema no lineal. Para resolver este sistema emplearemos el metodode Newton-Raphson.

Si definimos G(U) = LhU − h2Fh(U) entonces el metodo iterativo de Newton-Raphson sepuede escribir como:

Dado un valor inicial de U = U0, calculamos para cada n ≥ 0 la solucion del sistema deecuaciones lineales

DG(Un)W = G(Un)

y denotamos por Un+1 = Un − W . De esta forma Un converge cuando n → ∞ a U , unasolucion del sistema no lineal G(U) = 0.

Observese que la matriz DG(Un) viene dada por DG(Un) = Lh − h2DFh(Un) que es una

matriz tridiagonal y

DFh(U) =

df(x0, u0)df(x1, u1)

df(x2, u2). . .

df(xN , uN )

df(xN+1, uN+1) +2g′(uN+1

h

(1− hpN+1

2

)

donde

df(x, u) :=∂f

∂u(x, u).

6

3.3. Otras condiciones de contorno:

3.3.1. Condiciones tipo Neumann-Dirichlet

Para el caso de condiciones tipo Dirichlet en el extremo de la derecha x = L, es decir:

−uxx + p(x)ux + q(x)u = f(x, u), x ∈ (0, L)u′(0) = 0,u(L) = b

(3.4)

la matriz Lh es la siguiente

2− 2α + h2q0 −2 + 2α 0 0 · · · 0 0 0 0

−1− hp12 2 + h2q1 −1 + hp1

2 0 · · · 0 0 0 0

0 −1− hp22 2 + h2q2 −1 + hp2

2 · · · 0 0 0 0

......

......

......

......

0 0 0 0 · · · −1− hpN−12 2 + h2qN−1 −1 + hpN−1

2 0

0 0 0 0 · · · 0 −1− hpN2 2 + h2qN −1 + hpN

2

0 0 0 0 · · · 0 0 0 1

Los vectores Fh(Uex) y ε(h) vienen dados por:

Fh(U) =

f(x0, u(x0))

f(x1, u(x1))

f(x2, u(x2))

...

f(xN−1, u(xN−1))

f(xN , u(xN))

bh2

, ε(h) =

O(h)

O(h2)

O(h2)

...

O(h2)

0

El metodo de diferencias finitas consiste en despreciar el resto ε(h) y resolver el sistemade ecuaciones no lineales

LhU = h2Fh(U)

7

Observacion 3.2 Se puede elegir calcular U = (u0, u1, · · · , uN) como solucion aproximadaU = Uap

3.3.2. Condiciones tipo Dirichlet

Para el caso de condiciones tipo Dirichlet en ambos extremos, es decir:

−uxx + p(x)ux + q(x)u = f(x, u), x ∈ (0, L)u(0) = a,u(L) = b

(3.5)

Observacion. Para este caso no consideramos que p sea singular en x = 0, es decir noconsideramos p = α/x.

1 0 0 0 · · · 0 0 0 0

−1− hp12 2 + h2q1 −1 + hp1

2 0 · · · 0 0 0 0

0 −1− hp22 2 + h2q2 −1 + hp2

2 · · · 0 0 0 0

......

......

......

......

0 0 0 0 · · · −1− hpN−12 2 + h2qN−1 −1 + hpN−1

2 0

0 0 0 0 · · · 0 −1− hpN2 2 + h2qN −1 + hpN

2

0 0 0 0 · · · 0 0 0 1

Los vectores Fh(Uex) y ε(h) vienen dados por:

Fh(U) =

ah2

f(x1, u(x1))

f(x2, u(x2))

...

f(xN−1, u(xN−1))

f(xN , u(xN))

bh2

, ε(h) =

0

O(h2)

O(h2)

...

O(h2)

0

El metodo de diferencias finitas consiste en despreciar el resto ε(h) y resolver el sistemade ecuaciones no lineales

8

LhU = h2Fh(U)

Observacion 3.3 Se puede elegir U = (u1, · · · , uN) como solucion aproximada U = Uap

9

4. Metodos de Colocacion Ortogonal

Los metodos de colocacion tienen una perspectiva distinta de los metodos de diferenciasfinitas, pertenecen al grupo de los llamados metodos espectrales y son ampliamente usados enIngenierıa Quımica.

Estos metodos se aplican a ecuaciones tanto de evolucion como estacionarias cuyas solu-ciones son bastante regulares y no presentan “saltos bruscos”. Si sospechamos que la solucionva a tener fenomenos de transiciones de fase o similares es mas conveniente aplicar los metodosde diferencias finitas o elementos finitos.

4.1. Colocacion para problemas estacionarios

Consideremos que queremos resolver la ecuacion{− 1

rd (rd ur)r = f(u), r ∈ (0, 1)ur(0) = 0, ur(1) + βu(1) = g(u(1))

(4.1)

Vamos a buscar soluciones aproximadas de este problema que sean polinomios de ciertogrado, es decir

uap(r) =N∑

i=0

airi

En muchos casos la ecuacion en cuestion tiene unas ciertas propiedades de simetrıa queson heredadas por las soluciones de forma natural. En este caso es natural buscar solucionesaproximadas que respete esa estructura simetrica de las soluciones exactas. Por ejemplo parala ecuacion de arriba se puede probar que las soluciones van a ser funciones pares, es decir,verificaran que u(r) = u(−r) y por tanto resulta mas apropiado buscar soluciones aproximadasque preserven esa propiedad. Buscaremos por tanto soluciones aproximadas expresadas enpotencias pares de r, es decir, de la forma

uap(r) =N∑

i=0

cir2i = c0 + c1r

2 + c2r4 + · · ·+ cNr2N .

Necesitamos pues determinar los N +1 coeficientes c0, c1, · · · , cN de forma que el polinomiouap aproxime a la solucion exacta u. Para determinar estos coeficientes exigiremos que uap

satisfaga la ecuacion (4.1) en N + 1 puntos elegidos adecuadamente, r1, r2, · · · , rN+1, que sedenominaran puntos de colocacion. En cierto sentido colocamos la ecuacion en los N+1 puntosde colocacion. La eleccion de estos puntos se estudiara mas adelante. Obviamente, como (4.1)tiene unas condiciones de contorno, pediremos que la funcion uap satisfaga esas condiciones decontorno. La condicion en r = 0 se satisface por la misma estructura de la funcion uap: puestoque uap es un polinomio con potencias pares se tendra inmediatamente que uap

r (0) = 0. Paraque se cumpla tambien la condicion de contorno en r = 1 impondremos que rN+1 = 1. Portanto exigiremos que para j = 1, 2, · · · , N la funcion uap satisfaga

−uaprr (rj)− d

rj

uapr (rj) = f(uap(rj)), j = 1, 2, · · · , N

10

y en rN+1 = 1uap

r (rN+1) + βuap(rN+1) = g(uap(rN+1))

En total tenemos N + 1 ecuaciones y N + 1 incognitas c0, c1, · · · , cN .Claramente cuanto mayor sea N mas precision se obtendra, aunque a diferencia del metodo

de diferencias finitas, el numero N no tiene por que ser muy alto. Rangos naturales de N sonN = 4, 5, 6. Observese que si la solucion exacta u no tiene saltos bruscos, entonces un polinomiode grado 2N con N = 4, 5, 6 puede aproximar con bastante exactitud a la solucion.

Consideremos por tanto que tenemos los N + 1 puntos de colocacion r1, r2, · · · , rN+1 Em-pezamos considerando la funcion uap y sus derivadas primeras y segundas

uap(r) =N∑

i=0

cir2i, uap

r (r) =N∑

i=1

ci2ir2i−1, uap

rr (r) =N∑

i=1

ci2i(2i− 1)r2i−2 (4.2)

Evaluamos las funciones uap, uapr y uap

rr en los N+1 puntos de colocacion rj, j = 1, · · · , N+1,sean uj = uap(rj), u′j = uap

r (rj), u′′j = uaprr (rj), entonces

uj =N∑

i=0

cir2ij , u′j =

N∑

i=0

ci2ir2i−1j , u′′j =

N∑

i=0

ci2i(2i− 1)r2i−2j , j = 1, 2, · · · , N + 1

lo que nos proporciona 3 sistemas de N+1 ecuaciones que se pueden escribir en forma matricialcomo

u1

u2...

uN+1

=

r01 r2

1 r41 · · · r2N

1

r02 r2

2 r42 · · · r2N

2...

......

...r0N+1 r2

N+1 rN+1 · · · r2NN+1

c0

c1...

cN

analogamente

u′1u′2...

u′N+1

=

0 2r1 4r31 · · · 2Nr2N−1

1

0 2r2 4r32 · · · 2Nr2N−1

2...

......

...0 2rN+1 4r3

N+1 · · · 2Nr2N−1N+1

c0

c1...

cN

u′′1u′′2...

u′′N+1

=

0 2 4 · 3r21 · · · (2N)(2N − 1)r2N−2

1

0 2 4 · 3r22 · · · (2N)(2N − 1)r2N−2

2...

......

...0 2 4 · 3r2

N+1 · · · (2N)(2N − 1)r2N−2N+1

c0

c1...

cN

Denotemos respectivamente las matrices de estos tres sistemas por Q, C y D, es decir

(uj) = Q(cj), (u′j) = C(cj), (u′′j ) = D(cj).

La matrix Q es una matriz de Vandermonde, que tiene inversa, lo que implica que podemosexpresar (cj) = Q−1(uj) y por tanto tenemos que

(u′j) = CQ−1(uj), (u′′j ) = DQ−1(uj)

11

Denotando por A = CQ−1 y B = DQ−1 tenemos que

(u′j) = A(uj), (u′′j ) = B(uj)

De esta forma hemos conseguido expresar los vectores (u′j) y (u′′j ) en terminos de (uj). Enparticular obtenemos que

u′i =N+1∑

j=1

Aijuj, i = 1, 2, · · · , N + 1

u′′i =N+1∑

j=1

Bijuj, i = 1, 2, · · · , N + 1

Introduciendo estas expresiones en la ecuacion diferencial de (4.1) para los puntos r1, r2, · · · , rN ,(sin considerar el ultimo) obtenemos las N ecuaciones:

N+1∑

j=1

Bijuj +d

ri

N+1∑

j=1

Aijuj + f(ui) = 0, i = 1, 2, · · · , (4.3)

Exigiendo ahora que se cumpla la condicion de contorno en r = 1 = rN+1 obtenemos que

N+1∑

j=1

AN+1,juj + βuN+1 − g(uN+1) = 0

Este sistema no lineal de N + 1 ecuaciones y N + 1 incongnitas (u1, · · · , uN+1) se puedeescribir:

B11 + dr1

A11 B12 + dr1

A12 · · · B1,N+1 + dr1

A1,N+1

B21 + dr2

A21 B22 + dr2

A22 · · · B2,N+1 + dr2

A2,N+1

......

...BN1 + d

rNAN1 BN2 + d

rNAN2 · · · BN,N+1 + d

rNAN,N+1

AN+1,1 AN+1,2 · · · AN+1,N+1 + β

u1

u2...

uN

uN+1

+

f(u1)f(u2)

...f(uN)

−g(uN+1)

=

00...00

en notacion matricial se puede expresar como

MU + F (U) = 0 (4.4)

donde M es una matriz y F una funcion no lineal.Este es el sistema de ecuaciones del metodo de colocacion. Resolviendo este sistema por el

etodo de Newton obtendremos los valores (u1, u2, · · · uN+1). Una vez obtenidos estos valores seaplica la matriz Q−1 a ellos y se recuperan los coeficientes (c0, c1, · · · , cN). Con estos coeficientes

se recupera la expresion de la solucion aproximada uap(r) =N∑

i=0

cir2i.

12

Condiciones de Dirichlet en r = 1. Tambien podemos considerar condiciones de Dirichlet,u(1) = b, en r = 1. En este caso la ultima ecuacion que es la que viene de la condicion decontorno en r = 1 se simplifica a uN+1 = b.

Por ejemplo para el problema (4.1) con condicion de Dirichlet, es decir,

{− 1

rd (rd ur)r = f(u), r ∈ (0, 1)ur(0) = 0, u(1) = b

(4.5)

tendremos

B11 + dr1

A11 B12 + dr1

A12 · · · B1,N+1 + dr1

A1,N+1

B21 + dr2

A21 B22 + dr2

A22 · · · B2,N+1 + dr2

A2,N+1

......

...BN1 + d

rNAN1 BN2 + d

rNAN2 · · · BN,N+1 + d

rNAN,N+1

0 0 · · · 1

u1

u2...

uN

uN+1

+

f(u1)f(u2)

...f(uN)−b

=

00...00

Observese que esto sistema se puede simplificar facilmente a un sistema N×N eliminandola ultima variable con la ultima ecuacion

B11 + dr1

A11 B12 + dr1

A12 · · · B1,N + dr1

A1,N

B21 + dr2

A21 B22 + dr2

A22 · · · B2,N + dr2

A2,N

......

...BN1 + d

rNAN1 BN2 + d

rNAN2 · · · BN,N + d

rNAN,N

u1

u2...

uN

+

f(u1) + b(B1,N+1 + dr1

A1,N+1)f(u2) + b(B2,N+1 + d

r2A2,N+1)

...f(uN ) + b(BN,N+1 + d

rNAN,N+1)

=

00...0

Los metodos de colocacion se pueden aplicar a otros problemas en donde no se observa (nise espera) ninguna simetrıa particular en la solucion. Por ejemplo, si consideramos la ecuacion

{−uxx + p(x)ux + q(x)u = f(x, u), x ∈ (−1, 1)u(−1) = a, u(1) = b

(4.6)

buscaremos soluciones aproximadas de la forma

uap(x) =N+1∑

i=0

cixi = c0 + c1x + · · ·+ cN+1x

N+1

y elegiremos N + 2 puntos de colocacion

−1 = x0 < x1 < · · · < xN < xN+1 = 1

Se eligen los puntos x0 = −1 y xN+1 = 1 para imponer en ellos las condiciones de contorno.Las matrices Q, C y D quedan ahora

Q =

1 x0 x20 · · · xN+1

0

1 x1 x21 · · · xN+1

1...

......

...1 xN+1 x2

N+1 · · · xN+1N+1

13

C =

0 1 2x0 · · · (N + 1)xN0

0 1 2x1 · · · (N + 1)xN1

......

......

0 1 2xN+1 · · · (N + 1)xNN+1

, D =

0 0 2 · · · (N + 1)NxN−10

0 0 2 · · · (N + 1)NxN−11

......

......

0 0 2 · · · (N + 1)NxN−1N+1

Se obtienen las matrices A = CQ−1 y B = DQ−1 que son matrices (N + 2)× (N + 2).Los puntos x1 < · · · < xN son puntos interiores al intervalo (−1, 1), en los que impondremos

que se verifique las ecuacion diferencial

−N+1∑

j=0

Bijuap(xj) + p(xi)

N+1∑

j=0

Aijuap(xj) + q(xi)u(xi) = f(xi, u(xi)), i = 1, 2, · · · , N

Ası, el sistema obtenido por el metodo de colocacion para este problema viene dado por:

1 0 · · · 0−B10 + p(x1)A10 −B11 + p(x1)A11 · · · −B1,N+1 + p(x1)A1,N+1

−B20 + p(x2)A20 −B21 + p(x2)A21 · · · −B2,N+1 + p(x2)A2,N+1

......

...−BN0 + p(xN )AN0 −BN1 + p(xN )AN1 · · · −BN,N+1 + p(xN )AN,N+1

0 0 · · · 1

+ diag

0q(x1)q(x2)

...q(xN )

0

uap(x0)uap(x1)u1(x2)

...uap(xN )

uap(xN+1)

=

af(x1, u

ap(x1))f(x2, u

ap(x2))...

f(xN , uap(xN ))b

De nuevo en este sistema se pueden eliminar dos ecuaciones y dos incognitas uap(x0) = ay uap(xN+1) = b y se obtiene el sistema N ×N :

−B11 + p(x1)A11 −B12 + p(x1)A12 · · · −B1,N + p(x1)A1,N

−B21 + p(x2)A21 −B22 + p(x2)A22 · · · −B2,N + p(x2)A2,N...

......

−BN1 + p(xN)AN1 −BN2 + p(xN)AN2 · · · −BN,N + p(xN)AN,N

+ diag

q(x1)q(x2)

...q(xN)

uap(x1)u1(x2)

...uap(xN)

=

f(x1, uap(x1))− a(−B10 + p(x1)A10)− b(−B1,N+1 + p(x1)A1,N+1)

f(x2, uap(x2))− a(−B20 + p(x2)A20)− b(−B2,N+1 + p(x2)A2,N+1)

...f(xN , uap(xN))− a(−BN0 + p(xN)AN0)− b(−BN,N+1 + p(xN)AN,N+1)

14

4.2. Eleccion de los Puntos de Colocacion.

Lo que realmente da potencia a los metodos de colocacion es la forma en que se eligen lospuntos. Esta eleccion tiene que ver con la propia estructura de la ecuacion y por tanto deltipo de solucion aproximada que se esta buscando (con simetrıas, sin simetrıas, etc.).

Para entender el proceso de seleccion de estos puntos necesitamos saber algo sobre poli-nomios ortogonales.

4.2.1. Polinomios ortogonales.

Dado el intervalo [−1, 1] y dada una funcion w(r) > 0 en (−1, 1), consideramos una familiade polinomios {P0, P1, . . . , PN , · · ·} de forma que P0 = 1, el grado de PN es exactamente N ytal que PN verifique

∫ 1

−1w(r)PN(r)Pi(r) dr = 0, i = 0, 1, . . . , N − 1

∫ 1

−1w(r)P 2

N(r) dr 6= 0(4.7)

Estos polinomios estan definidos de forma unica excepto por una constante multiplicativa yesta familia la llamaremos Polinomios Ortogonales con peso w.

Fijada una familia de polinomios ortogonales, podemos expresar todo polinomio p(r) degrado menor o igual que N de forma unica como una combinacion lineal de los polinomios

{P0, P1, · · · , PN , · · ·}, es decir, p(r) =N∑

i=0

αiPi(r) y los αi son unicos.

4.2.2. Polinomios de Legendre

Si w(r) ≡ 1, los polinomios ortogonales obtenidos son los llamados Polinomios de LegendreLN .

Dados L0(x) = 1, L1(x) = x, los polinomios de Legendre son las autofunciones del prob-lema de autovalores (problema de Sturm-Liouville singular)

−[(1− x2)L′N(x)]′ = N(N + 1)LN(x), x ∈ (−1, 1) (4.8)

junto con sus correspondientes condiciones de contorno.

Observacion 4.1 Sean

βj =1

2√

1− 1(2j)2

, j = 1, · · ·N, β = (β1, · · · , βN)

y

TN+1 = diag(β, 1) + diag(β,−1) =

0 β1

β1 0 β2. . . . . . . . .

βN−1 0 βN

βN 0

(4.9)

15

entonces se puede demostrar que

LN+1(x) = det(xI − TN+1) (4.10)

Observacion 4.2 Los polinomios {L′0, L′1, · · · , L′N , · · ·} constituyen una familia de polinomiosortogonales en (−1, 1) con peso w(x) = 1− x2

∫ 1

−1(1− r2)L′N(r)L′k(r) dr = N(N + 1)

∫ 1

−1LN(r)Lk(r) dr

{= 0, N 6= k6= 0, N = k

(4.11)

4.2.3. Polinomios ortogonales pares.

Como hemos visto anteriormente, muchas de las ecuaciones de la Ingenierıa Quımica pre-sentan una estructura simetrica que hace que de forma natural busquemos soluciones con estasimetrıa. En particular en muchas ecuaciones se buscan soluciones pares, lo que motiva laintroduccion de una familia ortogonal de polinomios pares en [0, 1]. De esta forma dada unafuncion w(r) > 0 en (0, 1), consideramos una familia de polinomios {Q0, Q1, . . . , QN , · · ·} deforma que Q0 = 1, el grado de QN es exactamente 2N , QN es un polinomio que solo contienepotencias pares de x, es decir QN(r) = α0 + α1r

2 + · · ·+ αNr2N y tal que QN verifique∫ 1

0w(r)QN(r)Qi(r) dr = 0, i = 0, 1, . . . , N − 1

∫ 1

0w(r)Q2

N(r) dr 6= 0(4.12)

Estos polinomios estan definidos de forma unica excepto por una constante multiplicativa yesta familia la llamaremos Polinomios Ortogonales Pares con peso w. Estaremos interesadosen pesos de la forma w(r) = 1, r, r2.

Observacion 4.3 Se puede demostrar que LN(−x) = (−1)NLN(x), i.e. L2N es par, por tanto

∫ 1

0L2N(r)L2k(r) dr =

1

2

∫ 1

−1L2N(r)L2k(r) dr

{= 0, N 6= k6= 0, N = k

(4.13)

y L2N+1 es impar, luego1

rL2N+1 es par y

∫ 1

0r2 L2N+1(r)

r

L2k+1(r)

rdr

{= 0, N 6= k6= 0, N = k

(4.14)

Derivando resulta que −L′N(−x) = (−1)NL′N(x), i.e. L′2N+1 es par, por tanto

∫ 1

0(1− r2)L′2N+1(r)L

′2k+1(r) dr =

1

2

∫ 1

−1(1− r2)L′2N+1(r)L

′2k+1(r) dr

{= 0, N 6= k6= 0, N = k

(4.15)

y L′2N es impar, luego1

rL′2N es par y

∫ 1

0r2 (1− r2)

L′2N(r)

r

L′2k(r)

rdr

{= 0, N 6= k6= 0, N = k

(4.16)

16

Observacion 4.4 Efectuando el cambio de variable r = 2s2−1, dr = 4s ds, podemos escribir

∫ 1

−1L2N(r)L2k(r) dr = 4

∫ 1

0s L2N(2s2 − 1)L2k(2s

2 − 1) ds

{= 0, N 6= k6= 0, N = k

(4.17)

y

∫ 1

−1(1−r2)L′N(r)L′k(r) dr = 16

∫ 1

0s3(1−s2) L′N(2s2−1)L′k(2s

2−1) ds

{= 0, N 6= k6= 0, N = k

(4.18)

Teniendo en cuenta las formulas (4.13), (4.17), (4.14), (4.15), (4.18) y (4.16), podemos elaborarla siguiente tabla de polinomios ortogonales pares con sus pesos respectivos.

Algunos Polinomios ortogonales pares en [0, 1]

w(r) 1 r r2 1− r2 r(1− r2) r2(1− r2)

QN(r) L2N(r) LN(2r2 − 1)L2N+1(r)

rL′2N+1(r) rL′N(2r2 − 1)

L′2N(r)

r

De forma similar todo polinomio p(r) de grado menor o igual que 2N y conteniendo solopotencias pares de r, se puede expresar de forma unica como una combinacion lineal de los

polinomios {Q0, Q1, · · · , QN , · · ·}, es decir, p(r) =N∑

i=0

αiQi(r) y los αi son unicos.

4.2.4. Formulas de Cuadratura de Gauss.

La razon ultima de la eleccion de los puntos de colocacion esta en las llamadas formulasde cuadratura de Gauss. Dada una funcion peso w(r) > 0 en (−1, 1), determinar N + 1coeficientes w1, w2 · · ·wN+1 y N + 1 puntos r1, r2 · · · rN+1 tales que se tenga la igualdad

∫ 1

−1w(r)p(r) dr =

N+1∑

i=1

wip(ri) (4.19)

para un conjunto de polinomios del mayor grado posible.Sean {P0, P1, · · · , PN , · · ·} una familia de polinomios ortogonales en [−1, 1] con peso w(r).

Elegiremos r1, r2 · · · rN+1 los ceros del polinomio PN+1 y w1, w2, · · · , wN+1 la unica soluciondel sistema de ecuaciones lineales

N+1∑

i=1

wi rki =

∫ 1

−1w(r)rk dr, k = 0, 1, · · · , N

Notese que en particular se tiene que para todo polinomio p(r), de grado menor o igual queN , se verifica la igualdad (4.19). Resulta que ademas (4.19) es exacta para cualquier polinomiop de grado 2N + 1.

Vamos a incluir la demostracion de esta ultima propiedad. Si p(r) es un polinomio de grado2N + 1 y considerando la definicion de los puntos de colocacion, dividimos el polinomio p(r)

17

por PN+1(r). Como el grado de este ultimo es N + 1, existiran C(r) y R(r) ambos de gradomenor o igual que N tales que

p(r) = PN+1(r)C(r) + R(r)

ObviamenteN+1∑

i=1

wip(ri) =N+1∑

i=1

wiR(ri)

puesto que los ri son las raıces de PN+1(r). Por otra parte la formula de cuadratura (4.19) esvalida para polinomios de grado menor o igual que N , de donde se obtiene que

N+1∑

i=1

wip(ri) =N+1∑

i=1

wiR(ri) =∫ 1

−1w(r)R(r) dr

Por otra parte como C es de grado menor o igual que N , tendremos que C(r) =N∑

i=0

αiPi(r) y

por la ortogonalidad de los polinomios tenemos que

∫ 1

−1w(r)PN+1(r)C(r) dr =

N∑

i=0

αi

∫ 1

−1w(r)PN+1(r)Pi(r) dr = 0

y de aqui obtenemos que

N+1∑

i=1

wip(ri) =∫ 1

−1w(r)R(r) dr =

∫ 1

−1w(r)[PN+1(r)C(r) + R(r)] dr =

∫ 1

−1w(r)p(r) dr

Los ceros que corresponden a los puntos de colocacion estan todos en el interior de (−1, 1).La necesidad de imponer condiciones de contorno en uno o en ambos puntos extremos crea lanecesidad de generalizar las formulas de integracion de Gauss para incluir estos puntos.

4.2.5. Formulas de Cuadratura de Gauss-Radau. Puntos de Colocacion de Gauss-Radau.

Para problemas con simetrıa par los puntos de colocacion que se eligen son los llamadospuntos de Gauss-Radau. Estos puntos dependen del tipo de ecuacion, ya sea de geometrıaplana, cilındrica o esferica.

Con d = 0, geometrıa plana, d = 1, geometrıa cilındrica, d = 2, geometrıa esferica,consideremos w

d)1 , w

d)2 , · · · , wd)

N+1 la unica solucion del sistema de ecuaciones lineales

N+1∑

i=1

wd)i r2k

i =∫ 1

0r2krd dr, k = 0, 1, · · · , N.

Notese que en particular se tiene que para todo polinomio p(r), de grado 2N y conteniendosolo potencias pares de r,

18

∫ 1

0rd p(r) dr =

N+1∑

i=1

wd)i p(ri) (4.20)

Una expresion como la anterior se denomina una formula de cuadratura e independiente-mente de los puntos elegidos r1, · · · , rN+1 es siempre valida para polinomios conteniendo solopotencias pares de r y de grado menor o igual que 2N . Es natural preguntarse como debende elegirse los puntos ri para que la formula anterior valga para polinomios del mayor gradoposible. La respuesta a esta pregunta viene dada por los puntos de Gauss-Radau: cuando lospuntos elegidos son los puntos de Gauss-Radau entonces la formula de cuadratura (4.20) esvalida para polinomios con solo potencias pares de r de grado menor o igual que 4N .

Estos puntos se pueden definir de dos formas distintas pero equivalentes:Definicion 1. Consideremos la familia de polinomios ortogonales pares {Q0, Q1, · · ·QN , · · ·}

en [0, 1] con peso w(r) = 1 para la geometrıa plana, w(r) = r para la geometrıa cilındrica yw(r) = r2 para la geometrıa esferica. Consideremos el polinomio

Q(r) = QN+1(r) + aQN(r), donde a t. q. Q(1) = 0,

es decir a = −QN+1(1)/QN(1). Se puede probar que Q(0) 6= 0 y ya que Q(r) sigue siendo unpolinomio par y de grado 2N + 2 este tendra exactamente N + 1 ceros positivos, de los cualesuno de ellos es r = 1. Se puede probar que las N raıces restantes satisfacen 0 < r1 < r2 <· · · < rN < 1 ≡ rN+1. Estos son los puntos de Gauss-Radau.

Definicion 2. Consideremos la familia de polinomios ortogonales pares {Q0, Q1, · · · QN , · · ·}en [0, 1] con peso w(r) = (1− r2) para la geometrıa plana, w(r) = r(1− r2) para la geometrıacilındrica y w(r) = r2(1 − r2) para la geometrıa esferica. Consideremos el polinomio QN(r).Se puede probar que las N raıces positivas de QN(r) satisfacen 0 < r1 < r2 < · · · < rN < 1.Si definimos rN+1 = 1 los puntos de Gauss-Radau son r1, r2, · · · , rN+1.

Se puede probar que Q(r) = c(1 − r2)QN(r), para cierta constante no nula c, donde Qviene dado por la definicion anterior. Por tanto ambas definiciones coinciden.

4.2.6. Formulas de Cuadratura de Gauss-Lobatto. Puntos de Colocacion de Gauss-Lobatto.

Para problemas sin simetrıa alguna los puntos de colocacion que se eligen son los llamadospuntos de Gauss-Lobatto. De forma similar a como se ha hecho para la colocacion de Gauss-Radau, consideramos w0, w1, w2, · · · , wN+1 la unica solucion del sistema de ecuaciones lineales

N+1∑

i=0

wi xki =

∫ 1

−1xk dx, k = 0, 1, · · · , N + 1

Notese que en particular se tiene que para todo polinomio p(x), de grado menor o igual queN + 1,

∫ 1

−1p(x) dx =

N+1∑

i=0

wip(xi) (4.21)

19

De nuevo es natural preguntarse como deben de elegirse los puntos xi para que la formulaanterior valga para polinomios del mayor grado posible. La respuesta a esta pregunta vienedada por los puntos de Gauss-Lobatto: cuando los puntos elegidos son los puntos de Gauss-Lobatto entonces la formula de cuadratura (4.21) es valida para polinomios de grado menoro igual que 2N + 1.

De forma similara a los puntos de Gauss-Radau estos puntos se pueden definir de dosformas distintas pero equivalentes:

Definicion 1. Consideremos la familia de polinomios ortogonales en (−1, 1), {P0, P1, · · ·PN , · · ·}con peso w(x) = 1, es decir los polinomios de Legendre. Consideremos el polinomio

P (x) = (1− x2)P ′N+1(x)

El polinomio P tiene N + 2 raices, de las cuales dos de ellas son x0 = −1 y xN+1 = 1, lospuntos x1 < x2 < · · · < xN son las raices del polinomio P ′

N+1(x) que es de grado exactamenteN . Estos son los puntos de Gauss-Lobatto. Se puede probar que de hecho

P (x) = PN+2(x) + aPN+1(x) + bPN(x), donde a, b t.q. P (−1) = P (1) = 0.

Definicion 2. Consideremos la familia de polinomios ortogonales {P0, P1, · · · , · · ·} conpeso w(x) = (1− x2). Consideremos el polinomio PN(x). Se puede probar que las N raıces dePN(r) satisfacen −1 < x1 < x2 < · · · < xN < 1 = xN+1, que son los puntos de colocacion deGauss-Lobatto.

Se puede probar que P (x) = c(1 − x2)PN(x), para cierta constante no nula c, donde Pviene dado por la definicion anterior. Es mas no es dificil probar que P ′

N+1(x) = cPN(x). Portanto ambas definiciones coinciden.

Vamos a incluir la demostracion de la propiedad de cuadratura. Si p(x) es un polinomiode grado 2N + 1 y considerando la definicion 2 de los puntos de Gauss-Lobatto, dividimos elpolinomio p(x) por (1 − x2)PN(x). Como el grado de este ultimo es N + 2, existiran c(x) degrado menor o igual que N − 1 y r(x) de grado menor o igual que N + 1 tal que

p(x) = (1− x2)PN(x)c(x) + r(x)

ObviamenteN+1∑

i=0

wi p(xi) =N+1∑

i=0

wi r(xi)

puesto que los xi son las raıces de (1 − x2)PN(x). Por otra parte la formula de cuadratura(4.21) es valida para polinomios de grado menor o igual que N + 1, de donde se obtiene que

N+1∑

i=0

wi p(xi) =N+1∑

i=0

wi r(xi) =∫ 1

−1r(x)dx

Por otra parte como c es de grado menor o igual que N−1, tendremos que c(x) =∑N−1

i=0 αiPi(x)y por la ortogonalidad de los polinomios tenemos que

∫ 1

−1(1− x2)PN(x)c(x)dx =

N−1∑

i=0

αi

∫ 1

1

(1− x2)PN(x)Pi(x)dx = 0

20

y de aqui obtenemos que

N+1∑

i=0

wi p(xi) =∫ 1

−1r(x)dx =

∫ 1

−1[(1− x2)PN(x)c(x) + r(x)]dx =

∫ 1

−1p(x)dx

21

4.3. Metodos Colocacion para problemas de evolucion

De forma natural y siguiendo las mismas ideas que se han desarrollado en la seccionanterior, se pueden implementar tambien metodos de colocacion para problemas de evolucion.Por ejemplo, si consideramos el problema de evolucion siguiente

ut − 1rd (rd ur)r = f(u), r ∈ (0, 1)

ur(0, t) = 0, u(1, t) = b(t)u(r, 0) = u0(r)

(4.22)

y tenemos en cuenta la simetrıa de la ecuacion, podemos buscar soluciones aproximadas quese expresen de la forma

uap(r, t) =∑

i=0

ci(t)r2i

Sean uj(t) = uap(rj, t), u′j(t) = uapr (rj, t), y u′′j (t) = uap

rr (rj, t). Considerando las matricesQ, C, D, A y B definidas en la Seccion 4.1, tendremos que

(u′i(t)) = A(ui(t))

(u′′i (t)) = B(ui(t))

y por tanto podemos colocar la ecuacion en los puntos de colocacion interiores r1 < r2 < · · · <rN , obteniendo el sistema de N ecuaciones diferenciales ordinarias y N + 1 incognitas

.u1 (t).u2 (t)

....uN (t)

=

B11 + dr1

A11 B12 + dr1

A12 · · · B1,N+1 + dr1

A1,N+1

B21 + dr2

A21 B22 + dr2

A22 · · · B2,N+1 + dr2

A2,N+1

......

...BN1 + d

rNAN1 BN2 + d

rNAN2 · · · BN,N+1 + d

rNAN,N+1

u1(t)u2(t)

...uN (t)

uN+1(t)

+

f(u1(t))f(u2(t))

...f(uN (t))

donde.u1=

du1

dt, · · · La condicion de contorno en r = 1, u(1, t) = b(t), se traduce en uN+1(t) =

b(t). Esta ecuacion permite reducir el numero de incognitas a N , de forma que el sistemaqueda ahora,

.u1 (t).u2 (t)

....uN (t)

=

B11 + dr1

A11 B12 + dr1

A12 · · · B1,N + dr1

A1,N

B21 + dr2

A21 B22 + dr2

A22 · · · B2,N + dr2

A2,N

......

...BN1 + d

rNAN1 BN2 + d

rNAN2 · · · BN,N + d

rNAN,N

u1(t)u2(t)

...uN(t)

+

f(u1(t)) + b(t)(B1,N+1 + dr1

A1,N+1)

f(u2(t)) + b(t)(B2,N+1 + dr2

A2,N+1)...

f(uN , t)) + b(t)(BN,N+1 + drN

AN,N+1)

con la condicion inicial

22

u1(0)u2(0)

...uN(0)

=

u0(r1)u0(r2)

...u0(rN)

en notacion matricial se puede expresar como

Ut = MU + F (U) (4.23)

donde M es una matriz y F una funcion no lineal.Este problema de valor inicial se resuelve numericamente con algunos de los metodos

ya obtenidos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, como pueden ser el metodo deEuler mejorado, modificado o Runge-Kutta de orden 4. De esta forma y dada una discretizaciontemporal de [0, T ], con un cierto paso h = T/Nt donde Nt es el numero de pasos temporaleselegidos para ir desde 0 hasta T , se obtienen los vectores

u1(t0)u2(t0)

...uN(t0)

uN+1(t0)

,

u1(t1)u2(t1)

...uN(t1)

uN+1(t1)

, · · · ,

u1(tNt)u2(tNt)

...uN(tNt)

uN+1(tNt)

Utilizando ahora la matriz Q−1 podemos recuperar los coeficientes (ci(t0)), (ci(t1)), · · · , (ci(tNt))y con ellos la expresion de los polinomios que aproximan a la solucion en los instantes de tiempotk, k = 0, 1, · · · , Nt. Estos polinomios vienen dados por

uap(r, tk) =N∑

i=0

ci(tk)r2k

En caso de que la condicion de contorno en r = 1 sea de otro tipo, por ejemplo ur(1, t) +αu(1, t) = b(t), obtendriamos la ecuacion discretizada

AN+1,1u1(t) + · · ·+ AN+1,NuN(t) + (AN+1,N+1 + α)uN+1(t) = b(t)

Despejando uN+1(t) de esta ultima ecuacion y sustituyendo en el sistema original de N ecua-ciones y N + 1 incognitas, seremos capaces de eliminar la ultima variable y reducir el sistemaa N ecuaciones y N incognitas.

23

4.4. Metodos de Colocacion para sistemas de ecuaciones en derivadasparciales

Analizamos en esta seccion el metodo de colocacion aplicado a sistemas estacionarios deltipo:

−uxx + p1(x)ux + q1(x)u = f1(x, u, v), x ∈ [0, L]−vxx + p2(x)vx + q2(x)v = f2(x, u, v), x ∈ [0, L]

u′(0) = 0, v′(0) = 0u′(L) + βu(L) = g1(u(L), v(L)), v′(L) + βv(L) = g2(u(L), v(L))

(4.24)

Supondremos las hipotesis habituales sobre las funciones pi, qi, fi. Interpretamos la parteizquierda de la primera ecuacion de (4.24) como un operador lineal L. De esta forma la ecuacion(4.24) se puede escribir como

{L1u(x) = f1(x, u(x), v(x))L2v(x) = f2(x, u(x), v(x))

(4.25)

y el metodo de colocacion aplicado a este sistema en notacion matricial vendra dado por

{M1U1 + F1(U1, U2) = 0M2U2 + F2(U1, U2) = 0

(4.26)

donde M1, M2 son las matrices de colocacion asociadas a los operadores L1,L2 respectiva-mente, F1, F2 son funciones no lineales y U1, U2 representan las incognitas del metodo de colo-cacion (u1, u2, · · · uN+1) y (v1, v2, · · · vN+1) respectivamente. Escribiendolo como un sistematendremos

(M1 00 M2

) (U1

U2

)+

(F1(U1, U2)F2(U1, U2)

)=

(00

)(4.27)

donde 0 representan matrices cuadradas de ceros. Este es el sistema de ecuaciones del metodode colocacion para sistemas. Resolviendo este sistema por el metodo de Newton obtendremoslos valores (u1, u2, · · · uN+1, v1, v2, · · · vN+1).

Ejercicio: Comprobar que

(A B

C D

) (E F

G H

)=

(AE + BG AF + BH

CE + DG CF + DH

).

donde A,B,C,D y E, F,G, H son matrices cuadradas de tamano N + 1. Por tanto

(M−1

1 00 M−1

2

) (M1 00 M2

)=

(I 00 I

)= I

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