1

SEMINARIOS DEMODELACIÓN

COMPUTACIONAL

MÉTODOS NUMÉRICOS MÉTODOS NUMÉRICOS

DE LA DE LA

MODELACIÓN COMPUTACIONALMODELACIÓN COMPUTACIONAL

MARTMARTÍÍN DN DÍÍAZAZ ,,

IGEOFIGEOF--UNAM, MEXICOUNAM, MEXICO

2

Contenido

Etapas de la Modelación Computacional

Métodos Numéricos

Método de Trefftz-Herrera

3

Etapas de la ModelaciónMatemática y Computacional

Modelación MatemáticaModelación NuméricaModelación Computacional

4

Modelación Matemática

Problema (Ciencia o Ingeniería)Ejemplos: Acuífero, Yacimiento Petrolero,

Atmósfera

Mecánica los Sistemas Continuos(Ecuaciones de Balance + Leyes Constitutivas)

Modelo Matemático(Sistema de Ecuaciones Diferenciales)

5

Modelación Numérica

Modelo Matemático(Sistema de Ecuaciones Diferenciales)

Modelo Numérico(Sistema de Ecuaciones Algebricas)

Métodos Numéricos(Discretización de las Ecuaciones Diferenciales)

6

Modelación Computacional

Implementación Computacional(Programación en un Lenguaje de Cómputo)

Modelo Numérico(Sistema de Ecuaciones Algebraicas)

Modelo Computacional(Paquete de Programas)

7

ProblemaCiencia,Ingeniería

EcuacionesDiferenciales (ED’s),

Solución Numérica

Enfoque macroscópico determinista

Discretización de las ED’s

MétodoNumérico

Implementación del Modelo Numérico

Modelación Matemática

Modelación Computacional SW disponible

Modelación Matemática y Computacional

Modelación Matemática

8

Métodos Numéricos

Interpolación y AproximaciónIntegración y diferenciación numéricaÁlgebra NuméricaMétodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales

9

Métodos Numéricos de Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (ODE)• Euler, Runge-Kutta• Milne (Predictor-Corrector)

Ecuaciones Diferenciales Parciales (PDE)• Métodos de Diferencias Finitas• Métodos de Elementos Finitos• Métodos de Colocación• Métodos de Descomposición de Dominio

10

Métodos de Diferencias Finitas

Dada una malla, las derivadas parciales de una PDE son aproximadas localmente en puntos discretos (nodos de la malla) a partir de la interpolación polinomial de los valores de la solución en los nodos vecinos.

Simple y fácil de implementarMatrices ralas y bien estructuradas

Solución sólo en los nodosDominios y Mallas regulares

11

Métodos de Elementos Finitos

La solución aproximada se obtiene como una proyección en cierto espacio de funciones (bases) cuyo error se hace mínimo en el sentido de los residuos pesados.

Solución en todo el dominio Se adapta a Dominios y Mallas irregulares

Mas sofisticado: integración numéricaMatrices ralas pero no necesariamente bien

estructuradas

12

Métodos de Colocación

Consiste en buscar una solución aproximada que satisfaga a la ecuación diferencial en ciertos puntos, los cuales se eligen de manera que hagan mínimo el error de la aproximación.

Mas simple que el Método de Elementos Finitos Solución en todo el dominio

Matrices ralas pero no bien estructuradasNo se adapta a Dominios y Mallas irregulares

13

Métodos de Descomposición de Dominio

Métodos FETIMétodos MortarMétodos de SchwarzMétodo de SubstructuringMétodo de Trefftz-Herrera

Métodos de Descomposición de Dominio

Estrategia: Divide y vencerás

Problema Problema

Global

ProblemasProblemas

LocalesGlobal Locales

15

MÉTODO DE TREFFTZ-HERRERA

16

ANTECEDENTES MÉTODO DE TREFFTZ-HERRERA

Introducido por Herrera en 1985 como LAM(Localized Adjoint Methods)Teoría Algebraica para Problemas de Valoresde Frontera del mismo autor.

Procedimientos numéricos comoELLAM (Eulerian-Lagrangian LAM),

17

NOTACION

Σ

iΩ

∂Ω

Ω

18

Espacios de Funciones

( ) ( ) ( )1ˆ ... ED D DΩ ≡ Ω ⊕ ⊕ Ω

Ejemplo:( ) ( )1 ... EH HΩ ⊕ ⊕ Ωs s

( ) ( ) ( )1 1 1 1ˆ ... ED D DΩ ≡ Ω ⊕ ⊕ Ω

Funciones Bases

Funciones de Peso

( ) ( ) ( )2 2 1 2ˆ ... ED D DΩ ≡ Ω ⊕ ⊕ Ω

19

Problema de Frontera con Saltos Prescritos (BVPJ)

Consiste en buscar una función , tal que satisfaga:

son funciones dadas de , que definen los datos del problema.

( ); 1,...,

;

;

iu u f i E

u u g

u u j

Ω Ω

∂∂

Σ Σ

• •

• •

= ≡ =

= ≡ ∂Ω

= ≡ ∑

ΩL LB BJ J

en

( , ) ( , ) en

( , ) ( , ) en

1ˆ ( )u D∈ Ω

, y u u uΩ ∂ Σ 1ˆ ( )D Ω

20

ESTRATEGIA GENERAL MÉTODO TREFFTZ-HERRERA

Obtener suficiente informaciObtener suficiente informacióón en n en Σque defina Problemas Locales bien planteados en iΩ

21

OBSERVACIÓN

Cuando el Método de los Residuos Pesados es aplicado, la información contenida en la solución aproximada está determinada por las funciones de peso

22

Desarrollar funciones de peso Desarrollar funciones de peso especiales que produzcan la especiales que produzcan la informaciinformacióón buscada en n buscada en Σ, exclusivamente.exclusivamente.

IDEA BASICA DEL MÉTODO TREFFTZ-HERRERA

23

SE REQUIERENLAS FORMULAS

DE GREEN-HERRERA (1985)

Son fórmulas de Green paraoperadores en campos discontinuos.

24

Fórmulas de Green-HerreraPor definición un operador diferencial y su adjunto formal deben satisfacer la siguiente condición:

es una función bilineal vectorial apropiada,

espacio de las funciones bases,

espacio de las funciones de peso.

( ) * ,w u u w u w− = ∇⋅L DL( ),u wD

1ˆ ( )u D∈ Ω

2ˆ ( )w D∈ Ω

25

Fórmulas de Green-HerreraSi integramos la ecuación anterior y aplicamos el teorema generalizado de la divergencia se obtiene que:

es el salto una función

es el promedio de

( ) ( )1

* , ,i

E

iw u u w dx u w ndx u w ndx

Ω ∂Ω Σ=

− = ⋅ − ⋅ ∑∫ ∫ ∫L L D D

[ ] ;v v v+ −≡ − v( ) 2;v v v+ −≡ + v

26

Fórmulas de Green-HerreraUn procedimiento estándar para construir las fórmulas de Green es descomponiendo la función bilineal Esta descomposición tiene la forma general siguiente:

Donde y son dos funciones bilineales definidas en .

incluye los valores prescritos de fronteradepende de los valores complementarios (no

prescritos) de frontera

( ),u w niD

( ) ( ) ( ), , ,u w n u w u w⋅ = −D B C *( ),u wB ( ),u wC *

∂Ω( ),u wB( ),u wC *

27

Fórmulas de Green-HerreraDe manera análoga se procede para la descomposición de la función bilineal , resultando:

Donde y son dos funciones bilineales definidas en .

incluye los saltos de u y de sus derivadas,los promedios de u y de sus derivadas.

( ),u w n− ⋅ D

( ) ( ) ( ), , ,u w n u w u w− ⋅ = − D J K *

( ),u wJ ( ),u wK *Σ

( ),u wJ( ),u wK *

28

Fórmulas de Green-HerreraAl introducir en la ecuación inicial las descomposiciones anteriores, resulta entonces la siguiente fórmula de Green-Herrera :

1

1

( , ) ( , )

* *( , ) *( , )

i

i

E

iE

i

w udx u w dx u w dx

u wdx u w dx u w dx

Ω ∂Ω Σ=

Ω ∂Ω Σ=

− − =

= − −

∑∫ ∫ ∫

∑∫ ∫ ∫

B J

C K

L

L

29

Fórmulas de Green-HerreraSi introducimos la siguiente notación:

entonces se puede escribir la ecuación anterior como:

Fórmula de Green-Herrera para operadores en campos discontinuos.

1 1, , * , * ,

, ( , ) , * , *( , ) ,

, ( , ) , * , *( , )

i i

E E

i iPu w w udx Q u w u wdx

Bu w u w dx C u w u w dx

Ju w u w dx K u w u w dx

Ω Ω= =

∂Ω ∂Ω

Σ Σ

= =

= =

= =

∑ ∑∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

B C

J K

L L

( ) ( )

1 2

, * * * , ;ˆ ˆ ( ) ( )

P B J u w Q C K u w

u D w D

− − = − −

∀ ∈ Ω ∀ ∈ Ω

30

DOS

FORMULACIONES

VARIACIONALES DEL

BVPJ

31

Si definimos los siguientes funcionales como:

Entonces una formulación débil del BVPJ se puede escribir como:

2

2

2

ˆ, , ; ( )ˆ, , ; ( )ˆ, , ; ( )

f w Pu w w D

g w Bu w w D

j w Ju w w D

Ω

∂

Σ

≡ ∀ ∈ Ω

≡ ∀ ∈ Ω

≡ ∀ ∈ Ω

, y f g j

; ; ;Pu f Bu g Ju j= = =

32

Formulaciones Variacionales de BVPJEn términos de los DATOS DEL PROBLEMA

En términos de la INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA

( ) 2ˆ, , ; ( )P B J u w f g j w w D− − = − − ∀ ∈ Ω

( ) 2ˆ* , , ; ( )Q C K u w f g j w w D− − = − − ∀ ∈ Ω

33

Formulación Trefftz-Herrera

Un procedimiento de Trefftz-Herrera para descomposición de dominio se puede derivar a partir de la formulación variacional en términos de la información complementaria tomando funciones de peso especiales, tales que satisfagan que y resultando:

de tal manera que queda concentrada la información buscada en términos de la información en exclusivamente.

0Qw =

2

* , , ; ˆ ( )Q C

K u w f g j w

w N N D

− < >=< − − >

∀ ∈ ∩ ⊂ Ω

Σ

0Cw =

34

Formulación Trefftz-Herrera

Generalmente uno está interesado sólo en parte de la información contenida en , de manera que resulta útil introducir la siguiente descomposición:

donde se toma de manera tal que sea precisamente “la información buscada” y contenga el resto.

Entonces resulta una formulación variacional en términos de la información buscada

* * *;K S R≡ +

*K u

S*R u

*S u

2ˆ* , , ; ( )Q C RS u w f g j w w N N N D− < >=< − − > ∀ ∈ ∩ ∩ ⊂ Ω

35

Sistemas de Funciones TH-CompletosLa aplicación de los métodos de Trefftz requieren disponer de sistemas de funciones los cuales sean completos.

Un criterio de completez el cuál ha permitido la aplicación del enfoque teórico de funciones como un medio efectivo para la solución de problemas de contorno es debido a Herrera (1980).

Aquí nos referiremos a ella como TH (Trefftz-Herrera) completez, la cual también se conoce como C-completez o T-completez.

36

Formulación Trefftz-Herrera de la Descomposición de Dominio

Teorema: Sea un sistema de funciones de peso TH-completo para y supongamos que exista una solución del BVPJ. Entonces, una condición necesaria y suficiente para que contenga la información buscada es que satisfaga

ˆ* , , ; S u w f g j w w− < >=< − − > ∀ ∈E

1ˆˆ ( )u D∈ Ω

*SQ C RN N N⊂ ∩ ∩E

u

37

Construcción de Sistemas TH-Completos

Métodos Analíticos Soluciones fundamentales y métodos espectrales

Métodos NuméricosMás general Ejemplo: Colocación

Como son Sistemas Infinitos se necesita truncarlos

Se procede de manera análoga a los métodos de elementos finitos donde las funciones base y de peso se construyen para polinomios hasta un cierto grado.

38

EJEMPLO DE LA APLICACIÓN DEL MÉTODO DE TREFFTZ-HERRERA

ECUACIÓN ELÍPTICA DE ECUACIÓN ELÍPTICA DE SEGUNDO ORDENSEGUNDO ORDEN

39

Procedimiento Trefftz-HerreraBVPJ Modelo : (Ecuación Elíptica General de Segundo Orden)

Ecuación diferencial

Condiciones de frontera

Condiciones de salto

• ( • ) • ( ) ; eu a u bu cu f n Ω≡ −∇ ∇ +∇ + = ΩL

; eu u n ∂= ∂Ω

[ ] 0 1; ; e u a u nj j nΣ Σ ∇ = = Σi i

40

Procedimiento Trefftz-HerreraOperador Adjunto

Función bilineal vectorial

Condiciones de frontera

* ( )w a w b w cw≡ −∇ ⋅ ⋅∇ − ⋅∇ +L

( ) ( ), ;u w a u w w u buw= ⋅ ∇ − ∇ +D

( ) ( )( ) ( ), ;

* , ;

nu w n a w b w u

u w w n a u

∂

∂

= ⋅ ⋅∇ +

= ⋅ ⋅∇

B

C

41

Procedimiento Trefftz-HerreraCondiciones de salto

Descomposición

( ) [ ]( )

( ) [ ]( )

.

.

, ;

* , ;

n

n

u w u n a w b w w n a u

u w u n a w b w w n a u

= − ⋅ ⋅∇ + + ⋅ ⋅∇

= ⋅ ⋅∇ + − ⋅ ⋅∇

J

K

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0 1

0 1

, , , ;

* , * , * , ;

u w u w u w

u w u w u w

= +

= +

J J J

K K K

42

Procedimiento Trefftz-HerreraProcedimiento TH: Si

entonces resulta un procedimiento con subdominiosyuxtapuestos:

donde

0 1 y S K R K≡ ≡

0 * , , ; K u w f g j w w− < >=< − − > ∀ ∈E

1Q C KN N N⊂ ∩ ∩E

[ ] 12ˆ ( ) : 0, ;

KN w w en= ∈ Ω = ΣH

2ˆ ( ) : * 0, ;QN w w en= ∈ Ω = ΩH L

2ˆ ( ) : 0, ;CN w w en= ∈ Ω = ∂ΩH

43

Procedimiento Trefftz-HerreraRetomando la ecuación de TH y sustituyendo las expresiones de los funcionales f, g y j que de acuerdo al problema toman la forma siguiente:

Resulta:

( )

( )0 1

, ; , ;

, ;n

f w w f d x g w u a w bw nd x

j w j n a w b w d x j w d x

∂∂

ΩΩΩ

Σ Σ

= = ⋅ ∇ + ⋅

= − ⋅ ⋅ ∇ + +

∫ ∫

∫ ∫i

( )

( )0 1 ;

n

n

u n a w b w d x wf d x u n a w d x

j n a w b w d x j wd x w

Ω ∂Σ Ω ∂Ω

Σ Σ

− ⋅ ⋅∇ + = − ⋅ ⋅∇

+ ⋅ ⋅∇ + − ∀ ∈

∫ ∫ ∫

∫ ∫i

E

44

Construcción de las Funciones de PesoConsideraremos una partición rectangular del dominio ΩΩ y analizaremos el caso con subregiones yuxtapuestas.

yE

.

.

.

y1

y0x0 x1 . . . xE

Σ ∂Ω

ijΩ

45

( ),i jx y

IijΩII

ijΩ

IVijΩIII

ijΩ

ij∂ΩijΣ

12

3

4

SubregiSubregióón n asociada con el nodo .ijΩ ( ),i jx y

Construcción de las Funciones de Pesoasociada con el nodo .

46

Construcción de las Funciones de PesoEntonces, en cada subregión se construye un sistema de funciones que sean continuas, se anulen en la frontera y satisfagan la ecuación adjunta homogénea . Usando la numeración arriba introducida en se pueden construir cinco grupos de funciones de peso asociadas con cada nodo .

Grupo 0.- Este grupo está formado por una sola función la cual es lineal en cada una de las cuatro fronteras interiores y toma el valor uno, en el nodo .

Grupo .- La restricción al intervalo , de es, cuanto más, un polinomio de grado "G", el cual se anula en los extremos del intervalo . Donde

* 0w =LijΣ

( ),i jx y

( ),i jx yijΣ

µ " "µ ijΣ

" "µ 1, ..., 4µ =

47

Construcción de las Funciones de PesoEstas se caracterizan

0w 1w

2w 3w 4w

48

Construcción de las Funciones de PesoFunciones de Peso Lineales

Para el caso de funciones de peso lineales en tenemos una sola función de peso definida en la subregión asociada a cada nodo interior , cuya expresión es:

Donde en

40 0

1

( , ) ( , ) ( , ); ( , ) ; , ..., .ij ij ij ij ijw x y B x y C N x y x y I IVα α λ

α

λ=

= + ∈ Ω =∑

ijΣ

( ),i jx y

( )( ) ( )( )0 ( , ) 1 1 ;ij i x j yB x y x x h y y h= − − − −

ijΩ

1 1 1 2 1 1

1

3 1 1 4 1 1

1 1 1

( , ) ( ) ( ); ( , ) ( ) ( );

( , ) ( ) ( ); ( , ) ( ) ( );

ij i j ij i j

ij i j ij i j

N x y H x H y N x y H x H y

N x y H x H y N x y H x H y

+

+ + +

= =

= =

( ), I

ijx y ∈ Ω

49

Construcción de las Funciones de PesoUna manera eficiente de construir las funciones de peso es usando el método de colocación. Como las funciones de peso deben ser soluciones del operador adjunto homogéneo, aplicando colocación resulta:

Sustituyendo la expresión de las funciones de peso y evaluando en los puntos de colocación se obtiene:

El sistema de ecuaciones es de dimensión 4 x 4 y se resuelve para cada nodo interior y para cada cuadrante

( )0 , 0 ; 1, ..., 4p p

ijw x y p= =L *

40

1

( , ) ( , ); 1, ..., 4 .p p p p

ij ij ijC N x y B x y pα α

α =

= =∑ L * L *

, ...,I IVλ =

50

Construcción de las Funciones de PesoFunciones de Peso Cúbicas

En este caso tenemos tres funciones de peso asociadas con cada nodo interior , cuya expresión es:

Donde

De modo análogo al caso lineal, las funciones de peso cúbicas se construyen aplicando el método de colocación.

4

1

( , ) ( , ) ( , ); ( , ) ;

0 , 1, 2; 1, ..., 4 .

ij ij ij ij ijw x y B x y C N x y x yµ µ α α λ

α

µ λ=

= + ∈ Ω

= =

∑

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0 0 0 1 1 0

2 0 1

( , ) , ( , ) y

( , ) ; 1, ..., 4ij i j ij i j

ij i j

B x y H x H y B x y H x H y

B x y H x H y λ

= =

= =

( ),i jx y

51

COMPARACIÓNCOMPARACIÓN

DE LOS MÉTODOS DE COLOCACIÓNDE LOS MÉTODOS DE COLOCACIÓN

POSITIVA DEFINIDA Y SIMÉTRICA

NO ES POSITIVA DEFINIDA NI SIMÉTRICA

MATRIZ

POSITIVO DEFINIDO Y SIMÉTRICOOPERADORDIFERENCIAL

COLOCATIONCOLOCATIONTREFFTZTREFFTZ--HERRERAHERRERA

COLOCATION COLOCATION CONVENCIONALCONVENCIONAL

CARACTECARACTE--RÍSTICASRÍSTICAS

52

COMPARACIÓNCOMPARACIÓN

DE LOS MÉTODOS DE COLOCACIÓNDE LOS MÉTODOS DE COLOCACIÓN

COLOCATIONCOLOCATIONTREFFTZTREFFTZ--HERRERAHERRERA

COLOCATION COLOCATION CONVENCIONALCONVENCIONAL

CARACTECARACTE--RÍSTICASRÍSTICAS

GRADOS DE LIBERTAD

1-D 22-D 43-D 8

→→→

1-D 12-D 13-D 1

→→→

ES UNA REDUCCIÓN DRÁSTICA !!!

53

RANGO DE APLICACIÓN

Aplicable a cualquier BVPJ con

- Una ecuación diferencial lineal- Sistema de PDEs lineales

54

ConclusionesProblema de Contorno con Saltos PrescritosLa teoría de Trefftz-Herrera nos permite introducir de manera

natural funciones discontinuas en la aproximación de la solución y tratar de manera sistemática los problemas con coeficientes discontinuos.

Colocación Trefftz-HerreraExhibe las siguientes ventajas sobre el método convencional:1. Matrices mejor estructuradas (positiva definida y

simétricas )2. Reduce el número de grados de libertad ( puede se uno para

cualquier dimensión)3. Órdenes experimentales y teóricos del error de la

aproximación similares ( -cúbicas, -lineales)( )4O h ( )2O h

55

EL MÉTODO DE TREFFTZ-HERRERA

Es una teoría elegante, general y sistemática la cual resulta muy efectiva tanto como - Procedimiento de Discretización - Método de Descomposición de Dominio.