11.- Derivación e Integración.- 11.0 DERIVADAS

Dentro del módulo (toolbox) de matemática simbólica, se utiliza el programa de cálculo simbólico MAPLE. Con estas herramientas, se puede trabajar con funciones, 

>>f='sin(x)'   % Función sin(x) definida mediante una cadena de caracteres

f = sin(x)

calcular derivadas, 

>>diff(sym(f))

ans = cos(x)

>>diff(sym(f),2)    % Derivada segunda de f

ans = -sin(x)

Derivadas Parciales

diff(f) Calcula la derivada de la función f respecto a x diff(f. n) Calcula la n-ésima derivada de la fun f resp a x >>syms x y >>f=’sin(x*y)+y^3-x^2’ >>diff(f,x) Nos da Cos(x*y)*y-2*x >>diff(f,y) Nos da cos(x*y)*x+3*y^2 >>diff(diff(f,x),y) Nos da -sin(x*y)*x*y+cos(x*y)

11.1 Primitivas o Integrales.>>int(sym('log(x)')) % Primitiva de la función logaritmo

ans = x*log(x)-x

>>diff(sym('x*log(x)-x')) % Comprobación

ans = log(x)

>>int(f,x) >>int(int(f,y),x) >>int(int(f,x),y) >>int(int(f,x),y),…,z) >>int(f,x,a,b) >>int(int(f,x,a,b),y,c,d)

>> f='(sec(x))^5'

>> int(f)

ans =

1/4/cos(x)^4*sin(x)+3/8/cos(x)^2*sin(x)+3/8*log(sec(x)+tan(x))

>> int(f,x,0,1)

ans =

1/8*(2*sin(1)+3*sin(1)*cos(1)^2+3*cos(1)^4*log(1+sin(1))-3*cos(1)^4*log(cos(1)))/cos(1)^411.3 MÉTODOS DE INTEGRACIÓNIntegral Rectangular.

Ej. Encontrar la integral de sen(x)/x en [1;2]clc;clear;a=2;b=3;n=200;h=(b-a)/n;x=a;IR=0;for j=1:n y=sin(x)/x;A=h*y;disp([x,y,A]);x=x+h;IR=IR+A;endfprintf('Integral Rectangular = %6.3f',IR);disp(' ');

Ejecutando para n=10, 20, 50, 100, 200, los resultados son:0.264, 0.253, 0.247, 0.245, 0.244Siendo la solución convergente IR=0.244

Regla del trapecio

La función f(x) (en azul) es aproximada por la función lineal (en rojo).

En matemática la regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida

La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal. Se sigue que

y donde el término error corresponde a:

Siendo   un número perteneciente al intervalo [a,b].

Regla del trapecio compuesta

Ilustración de la regla del trapecio compuesta

La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral

definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva

en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida   representa el área de la región

delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b]

en n subintervalos, cada uno de ancho  .

Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:

Donde   y n es el número de divisiones.

La expresión anterior también se puede escribir como:

El error en esta aproximación se corresponde con :

Siendo n el número de subintervalos

Ejemplo

Primero se obtiene h, de los límites de la integral que representan a y b y para n=6

queda:    .

Y ahora se sustituye en la fórmula

 = 

y queda:

 = 

En este caso no se comete ningún error en el cálculo (el resultado es exacto)

porque la función sujeta a integración es lineal.

Ej. Encontrar la integral de sen(x)/x en [1;2]clc;clear;a=2;b=3;n=200;h=(b-a)/n;x=a;IR=0;

for j=1:nx=x+h; y=sin(x)/x;A=2*y;disp([x,y,A]); IR=IR+A;endIT=(sin(a)/a+IR+sin(b)/b)*h/2;fprintf('Integral Trapecio = %6.3f',IT);disp(' ');

Ejecutando para n=10, 20, 50, 100, 200, los resultados son:0.248, 0.246, 0.244, 0.244, 0.243Siendo la solución convergente IR=0.244

Regla de Simpson

La función f (x) (azul) es aproximada por una función cuadrática P (x) (rojo).

En análisis numérico, la regla o método de Simpson, nombrada así en honor a Thomas Simpson (y a veces llamada regla de Kepler), es un método de integración numérica para obtener el valor aproximado de integrales definidas; específicamente es la aproximación:

En integración numérica, una forma de aproximar una integral definida en un intervalo [a,b] es mediante

la regla del trapecio, es decir, que sobre cada subintervalo en el que se divide [a,b] se aproxima una

función   por un polinomio de primer grado, para luego calcular la integral como suma de las áreas de

los trapecios formados en esos subintervalos . El método utilizado para la regla de Simpson sigue la

misma idea, pero aproximando los subintervalos de   mediante polinomios de segundo grado.

MÉTODO DE SIMPSON.Cálculo de áreas:

Uno de los problemas matemáticos más frecuentes es el cálculo del área que se forma al graficar una función. Por ejemplo, se necesita calcular el área A que aparece en la siguiente figura:

en donde la función f(x) y los valores a y b son conocidos.

En este tipo de problemas se pueden obtener dos tipos de soluciones:

Soluciones algebraicas: se obtiene una fórmula precisa y exacta para el área solicitada.

Soluciones numéricas: se calcula numéricamente una estimación del área.

Desde luego, la soluciones algebraicas son mejores que las numéricas, porque son exactas. Pero a veces, la complejidad de las funciones hace imposible (o difícil) obtener la solución algebraica, por lo que una solución numérica permite ahorrar tiempo.

El método de Simpson.

En este procedimiento, se toma el intervalo de anchura 2h, comprendido entre xi y xi+2, y se sustituye la función f(x) por la parábola que pasa por tres puntos (xi, yi), (xi+1, yi+1), y (xi+2, yi+2). El valor del área aproximada, sombreada en la figura, se calcula con un poco más de trabajo y el resultado es

La simple inspección visual de esta figura y la que describe el procedimiento de los trapecios nos confirma que el método de Simpson deberá ser mucho más exacto que el procedimiento del trapecio. El área aproximada en el intervalo [a, b] es

bien, agrupando términos

El primer paréntesis, contiene la suma de los extremos, el segundo, la suma de los términos de índice impar, y el tercero la suma de los términos de índice par. En el método de Simpson, el número de divisiones n debe de ser par. En el caso de que el usuario introduzca un número impar el programa lo convierte en el número par siguiente.

Ejemplo: Usando la regla de Simpson con n=2 y n=4 aproximamos:

cuyo valor exacto es correcto al número de cifras mostradas. Para n=2 tenemos que h=(2-1)/2=0.5, x0=1, x1=1.5, x2=2. Ahora

Con n=4 tenemos h=(2-1)/4=0.25, x0=1, x1=1.25, x2=1.5, x3=1.75, x2=2, de modo que

Obtuvimos los siguientes resultados:

n Sn(f) en=I(f)- Sn(f) en/ e2n

2 0.694444 -0.00129726 -----

4 0.693254 -0.000106788 12.1481

8 0.693155 -7.35009e-006 14.5288

16 0.693148 -7.35009e-006 14.5288

32 0.693147 -2.97299e-008 15.885

64 0.693147 -1.86151e-009 15.9708

128 0.693147 -1.16398e-010 15.9927

256 0.693147 -7.27562e-012 15.9983

512 0.693147 -4.54747e-013 15.9993

1024 0.693147 -2.84217e-014 16.0000

Estos resultados confirman claramente la convergencia de la regla de Simpson en este ejemplo particular. Podemos ver que cada ves que se duplica la n, lo cual equivale a dividir la h entre dos, el error disminuye por un factor de 16 aproximadamente (última columna de la tabla) esto es característico de convergencia O(h4) lo cual confirmaremos teóricamente más adelante.

Derivación de la regla de Simpson

Consideramos el polinomio interpolante de segundo orden  , que aproxima a la función

integrando   entre los nodos x0 = a, x1 = b y m = (a+b)/2. La expresión de ese polinomio interpolante,

expresado a través de la interpolación polinómica de Lagrange es:

Así, la integral buscada1

es equivalente a:

donde E(f) es el término de error; por lo tanto, se puede aproximar como:

Error

El término error E(f), llamado error global, corresponde a1

donde   y   pertenece al intervalo [a,b].

Se puede calcular una estimación del error cometido al aproximar la integral mediante este método.

Si las cuatro primeras derivadas de f(x) son continuas en el intervalo, entonces el error (en términos

absolutos) está acotado como2

donde, de nuevo   y  .

Regla de Simpson compuesta

En el caso de que el intervalo [a,b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al calcular la integral

puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la fórmula compuesta de Simpson. Se divide el

intervalo [a,b] en n subintervalos iguales (con n par), de manera que  ,

donde   para  .

Aplicando la regla de Simpson a cada subintervalo   se tiene:

Sumando las integrales de todos los subintervalos, se llega a:

El máximo error viene dado por la expresión

clc;clear;a=3;b=4;n=4;h=(b-a)/n;x=a;S1=0;S2=0;for i=1:n-1 x=x+h;f=sin(x)/x; if rem(i,2)==1 S1=S1+f;disp([i,x,S1]); else S2=S2+f;disp([i,x,S2]); end;end;IS13=(sin(a)/a+4*S1+2*S2+sin(b)/b)*h/3

Regla de Simpson 3/8 compuesta o Multiple

En la regla de simpson de 3/8 se utiliza un polinomio de grado 3, tomando:  donde n

es el numero de subintervalos con la condición de que sean múltiplos de 3 y que en cada sumatoria

se tomen los valores de i+3.

donde   es la cota del error.

O de manera mas simple:

donde   es la cota del error.

clc;clear;a=2;b=3;n=6;h=(b-a)/n;x=a;S3=0;S4=0;for i=1:n-1 x=x+h; if rem(i,3)==0 y=sin(x)/x;disp([i,x,y]);S3=S3+y; %y=2/(1+log(x));disp([i,x,y]);S3=S3+y; else y=sin(x)/x;disp([i,x,y]);S4=S4+y; %y=2/(1+log(x));disp([i,x,y]);S3=S3+y; end;end; S=sin(a)/a+3*S4+2*S3+sin(b)/b; IS38=S*h*3/8

INTEGRAL DE GAUSS