metodos numericos computacionales - informe

MÉTODOS NUMÉRICOS COMPUTACIONALES

[Subtítulo del documento]

Alumnos:

Collao Díaz Cristian Ipanaque Llorca Wendy Sánchez Rodríguez Jeffry

Docente:

Gloria Poémape

GUADALUPE - 2013

UNT - VJ Métodos Numéricos Computacionales

1. Aplique el método de bisección para encontrar la raíz de x−2−x=0 en el intervalo (0 ,1) trabaje tres iteraciones.

a) ¿Cuál es la solución luego de las tres iteraciones?

f ( x )=x−2− x=0

i. Primera iteración:

(a ,b )=(0,1 )

c=a+b2

=0+12

=0.5MEP=b−a2

=0.5f ( c )=−0.2071

ii. Segunda iteración:

(a ,b )=(0.5 ,1 )

c=a+b2

=0.5+12

=0.75MEP=b−a2

=0.25f ( c )=0.155396442

iii. Tercera iteración:

(a ,b )=(0.5 ,0.75 )

c=a+b2

=0.625MEP=b−a2

=0.125f (c )=−0.2341977

Solución:

c=0.625MEP=0.125f ( c )=−0.2341977b) ¿Cuántas iteraciones más se deben realizar si la tolerancia

es 0.001?

MEPn=b−a2nMEPn≤ tol

b−a2n

=tol 1−02n

=0.0011000=2nlog (1000 )=n log (2 )n= 3log2

n=9.965

n=10 iteraciones

INGENIERÍA INDUSTRIAL - VI CICLO 1

MÉTODO DE LA BISECCIÓN

X f(x)

0 -11 0.

5


2. Elabore un programa del método de bisección



1. El polinomio de cuarto grado:

f ( x )=230x4+180x3+9 x2−221 x−9

Tiene dos ceros reales y uno en (-0.08, 0) y otro en (0.8, 1). Trabaje dos iteraciones del método de falsa posición en el intervalo positivo e indique el número de cifras significativas de dicho resultado, luego de las dos iteraciones.

SOLUCION

i. Primera iteración:

(a ,b )=(0.8,1 )

X f(x)0.8

-76.61

61 27

c=a f (b)−b f (a)f (b)−f (a)

=0.80 (27)−1(−76.616)

27−−76.616=0.947884496

Error=¿ f (c )∨¿∨f (0.947884)∨¿∨−9.3929∨¿9.3929

MEP=b−a=1−0.8=0.2

ii. segunda iteración

(a ,b )=(0.947884 ,1 )

c=¿0.947884 (27 )−1 (9.3929 )

27−9.3929=0.96134

Error=|F (c )|=|F (0.96134 )|=|−0.7069|=0.7069


MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN

X f(x)

0.947884 9.39291 27


MEP=b−a=1−0.947884=0.052116Como podemos observar la cifra significativa luego de estos do primeras

iteraciones es una, el número 9:

c=0.9479

c=0.9200



2.Elabore un programa del método de falsa posición



1. Determinar el g(x ) y el intervalo de convergencia (a ,b)

a) 3 x2−e−x=0

Solución:

f ( x )=3 x2−e−x=¿; f ( x )=0

3 x2−e−x=0

Tabulamos:

x f(x)-1 0.28-0.9 -0.029-0.8 -1.064-0.6 -0.742-0.5 -0.89870 -10.1 -0.870.2 -0.6980.3 -0.4700.4 -0.1900.5 0.1434

x0=( a+b2 )=(−1−0.92 )=0.95x0=( a+b2 )=( 0.4+0.52 )=0.45

Hallamos x=G(x0)

o G1 (x )=√ e− x3G1' (x )=−( e

− x

2 )(√ 3e− x )


MÉTODO DEL PUNTO FIJO


G1 (x )=√ e− x3 X0=0.95

|G1' (0.95 )|=|−0.261|=0.525

G1' (0.95 )<1

0.525<1

Converge

n xn EA0 0.95 -1 0.3590 0.59102 0.4825 0.12343 0.4536 0.02894 0.4602 0.00665 0.4587 0.00156 0.4590 0.00037 0.4589 0.0001



G1 (x )=√ e− x3 X0=0.45

|G1' (0.45 )|=|−0.8|=0.8

G1' (0.45 )<1

0.8<1

Converge



n xn EA0 0.45 -1 0.4465 0.0112 0.4584 0.00263 0.4590 0.00064 0.4589 0.00015 0.4589 06 0.4589 07



o G2 (x )=−ln 3 x2

G2' (x )=−2

x

|G2' (0.95 )|=|−2.105|=2.105

G2' (0.95 )<1

2.105>1

Diverge



|G2' (0.45 )|=|−4.44|=4.44

G2' (0.45 )<1

4.44>1

Diverge

G3 ( x )= e−x

3 x

G1' (x )=3e

− x ( x−1 )9x2

|G1' (0.95 )|=|−0.007|=0.007

G1' (0.95 )<1

0.007<1

Converge

G3 ( x )= e−x

3 x

n xn EA0 0.95 -1 0.1356 0.81442 2.1447 2.00913 0.0181 2.12664 17.984 17.9659



|G1' (0.45 )|=|−0.6915|=0.6915

G1' (0.45 )<1

0.6915<1

Converge

G3 ( x )= e−x

3 x

n xn EA0 0.45 -1 0.4723 0.02232 0.440 0.03233 0.4877 0.04774 1.1129 0.6318



b) x−cos x=0 , ε=0.001

Solución:

f ( x )=x−cos x; f ( x )=0

x−cos x=0

Tabulamos:

x f(x)-0.5 -1.3776

0 -10.5 -0.37760.6 -0.22530.7 -0.06480.8 0.1033

x0=( a+b2 )=( 0.7+0.82 )=0.75

Hallamos x=G(x0)

G1 (x )=cosx

Primera iteración:

G1' (x )=−senx |G1' (0.5 )|=|−8.72 x10−3|=0.00872

G1' (0.5 )<1

0.00872<1

Converge

Segunda iteración

G1' (x )=−senx |G1' (0.00872 )|=|−0.000152|=0.000152

G1' (0.00872 )<1

0.000152<1

Converge



Tercera iteración

G1' (x )=−senx |G1' (0.000152 )|=|−2.65 x10−6|=2.65 x10−6

G1' (0.000152 )<1

2.65 x10−6<1

Converge

N x EA1 0.5 -2 0.9

90.499

93 0.9

90

4 0.99

0

El intervalo es: [0.99 , α ]

2. En cada caso determine el intervalo (a, b) en que convergerá la iteración del punto fijo:

a) x=2−ex+x2

3 con ε=0.001

Solución:

f ( x )=2−ex+ x2

3−x=0

Tabulamos:

x f ( x )0.2 0.0730.3 −0.053

Hallamos x=G(x0)

o x=G1 ( x )=2−ex+x2

3



G1' (x )=−ex+2 x

3

|G1' (0.25 )|=0.261˂1 Converge

n xn EA0 0.25 -1 0.259 0.0092 0.2576 0.00143 0.2574 0.00024 0.2575 0.00015 0.2575 06 0.2575 0

El intervalo es:

[0.2576 ;0.2575 ]



o G2 (x )=√3 x+ex−2

G2' (x )=(3+ex )(3 x+ex)

2

2

|G2' (0.25 )|=|11.61|>1

Diverge.



o G3 ( x )= ex−2x−3

G3' ( x )= e

x( x−4)+x(x−3)2

|G3' (0.25 )|=|−0.372|=0.372<1

Converge.

n xn EA0 0.25 -1 0.2603 0.01032 0.2564 0.00393 0.2579 0.00154 0.2573 0.00065 0.2575 0.00026 0.2575 0

El intervalo es:

[0.2579 ;0.2575 ]



b) x=6−x con ε=0.0011

Solución:

f ( x )=6− x−x ; f ( x )=0

6−x−x=0

Tabulamos:

x f(x)-1 70 1

0.4 0.0.088(+)

0.5 -0.091(-)1 -0.833



Hallamos x=G(x0)

o G1 (x )=6−x

G1' (x )=−x6−x ln 6

|G1' (0.45 )|=|−0.36|=0.36

|G1' (0.45 )|<1Converge

n xn EA0 0.45 -1 0.4465 0.00352 0.4493 0.00283 0.4470 0.00234 0.4488 0.00185 0.4474 0.00146 0.4485 0.00117 0.4476 0.0009

El intervalo es :

[0.4476 ;0.4480 ]



o G2 (x )=−logxlog 6

G2' (x )= 1

xlog 6

|G2' (0.37 )|=|3.47|

G2' (0.37 )<1

Diverge



3. Por lo general hay muchas maneras de pasar f ( x )=0 a x=g(x ) e incluso se pueden obtener distintas formas de g(x ) al “despejar” x de un mismo término de f ( x ). Por ejemplo la ecuación polinomial:

x3−2 x−2=0

Al “despejar” x del primer término se puede llegar a las g(x) a, b, c.¿Cuál g(x) sería más ventajosa para encontrar la raíz que está en el intervalo (1,2)?

a) G1 (x )=x=3√2x+2

G'1 ( x )= 2

33√(2 x+2)2

|G2' (1.5 )|=0.2279<1 . Converge

b) G2 (x )=x=√2+ 2xG2

' ( x )= −1

x2√2+ 2x|G'2 (1.5 )|=0.2434<1 . Converge



c) G3 ( x )=x=( 2x + 2x2 )G3

' ( x )=−( 2x + 4x3 )|G3' (1.5 )|=2.074>1 . Diverge

Al tener los 3 resultados la función que más nos conviene usar para

hallar la raíz seria : G1 (x )=x=√2+ 2xINGENIERÍA INDUSTRIAL - VI CICLO 28


4. Determine una g(x ) y un valor inicial x0 , tales que |g '( x)|˂1, en las siguientes ecuaciones.

a) x3−10 x−5=0

f ( x )=x3−10x−5

o G1 (x )= x3−510

o G2 (x )= 5

x−102

o G3 ( x )=3√10 x+5

x0=−0.6−0.5

2=−0.55

Para: G1 (x )= x3−510

G'1 ( x )=0.3 x2

|G'1 (0.55 )|=0.09075˂1. Converge


x f(x)

-1 +0 -

1 -

2 -

x f(x)

-0.7 +-0.6 +

-0.5 -

-0.4 -


b) f ( x )=senx+lnx=0

x0=0.9+12

=0.95

G1 (x )=e−senx

G '1 (x )=−cosx . e−senx

|G'1 (0.95 )|=|−0.9834|=0.9834˂1. Converge

1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por medio del método de Newton Raphson.

a) 2 x2− y=0


MÉTODO NEWTON RAPHSON

x f(x)

0.9

-

1 +


x2−2− y3=0

y=f ( x )=8 x9−x3+2=0

x f(x)

-1 -5

0 2

1 9

x0=−0.8


x f(x)

-0.9 -

-0.8 (-)

-0.7 (+)


b) 2 x2− y=0x=2− y2

y=f ( x )=4 x4+x−2

x f(x)

-1 1

0 -2

1 3x0=0



c) ( x−1 )12+ yx−5=0



y−sen x2=0

f ( x )=5−√x−1x

−sin x2



INGENIERÍA INDUSTRIAL - VI CICLO 37MÉTODO DE LA SECANTE


1. Resuelva por el método de la secante la siguiente ecuación.

a) f ( x )=xlogx−10=0 ; Ƹ=0.01

x0=8

x1=9

x2=x1−f (x1)(x1−x0)f (x1 )−f (x0)

Primera Iteración:

x2=9−(−1.412 ) (1 )1.3635

=10.035

error=|f (10.035)|=0.0051

Segunda Iteración:x0=8x1=9

x2=10.035−(0.051 ) (1.035 )

1.462=9.998

error=|f (10.035 )|=0.0051˂0.01


x f(x)

8 -4.08

9 -2.78

10 0

11 1.45


1. La densidad de Carbonato neutro de potasio en solución acuosa varia con la temperatura y la concentración de acuerdo con la tabla siguiente:

C%

T(°C)

0 40 80 100

4 1.0381

1.0276

1.0063

0.9931

12 1.1160

1.1013

1.0786

1.0663

20 1.1977

1.1801

1.1570

1.1451

28 1.2846

1.2652

1.2418

1.2301

a) Calcule la concentración que tiene una solución de densidad 1.129 a una temperatura de 60 °C. (Segundo grado)

C%

T(°C)

0 40 60

80

4 1.0381

1.0276

1.0063

12 1.1160

1.1013

1.0786

20 1.1977

1.1801

1.1570

P2 (x )=L1 y1+L2 y2+L3 y3

1. 4 C%

x y

0 1.0381


MÉTODO POLINOMIOS DE LAGRANGE


40

1.0276

60

¿

80

1.0063

L1=

x−x2x1−x2

∗x−x3

x1−x3=

60−400−40

∗60−80

0−80=−0.125

L2=

x−x1x2−x1

∗x−x3

x2−x3=

60−040−0

∗60−80

40−80=0.75

L3=

x−x1x3−x1

∗x−x2

x3− x2=0.375

P2 (60 )=L1 y1+L2 y2+ L3 y3

¿ (−0.125 ) (1.0381 )+(0.75 ) (1.0276 )+(0.375 ) (1.0063 )=1.0183

2. 12 C%

x y

0 1.1160

40

1.1013

60

¿

80

1.0786

L1=−0.125

L2=0.75

L3=0.375



P2 (60 )=L1 y1+L2 y2+ L3 y3

¿ (−0.125 ) (1.1160 )+ (0.75 ) (1.1013 )+(0.375 ) (1.0786 )=1.09095

3. 20 C%

x y

0 1.1977

40

1.1801

60

¿

80

1.1570

L1=−0.125

L2=0.75

L3=0.375

P2 (60 )=L1 y1+L2 y2+ L3 y3

¿ (−0.125 ) (1.1977 )+ (0.75 ) (1.1801 )+(0.375 ) (1.1570 )=1.169237

C%

T(°C)

0 40 60 80

4 1.0381

1.0276

1.0183 1.0063

12 1.1160

1.1013

1.09095

1.0786

¿ 1.129

20 1.1977

1.1801

1.169237

1.1570

1.129



x y

1.0183 4

1.09095 12

1.129 ¿

1.169237

20

L1=

x−x2x1−x2

∗x−x3

x1−x3=

1.129−1.090951.0183−1.09095

∗1.129−1.169237

1.0183−1.169237=−0.1396

L2=

x−x1x2−x1

∗x−x3

x2−x3=

1.129−1.01831.09095−1.0183

∗1.129−1.169237

1.09095−1.169237=0.7832

L3=

x−x1x3−x1

∗x−x2

x3− x2=0.3565

P2 (0.129 )=L1 y1+L2 y2+ L3 y3

¿ (−0.1396 ) (4 )+(0.7832 ) (1.0276 )+ (0.375 ) (20 )=15.968683



1. En una reacción química, la concentración del producto CB cambia con el tiempo como se indica en la tabla de abajo. Calcule la concentración CB cuando t=0.82

CB

0.00

0.30

0.55

0.80

1.10

1.15

t 0.00

0.10

0.40

0.60

0.80

1.00



2. Obtenga la segunda derivada evaluada en x=3.7 para la función que se da enseguida.

X 1 1.8 3 4.2 5 6.5

f (x)

3 4.34536

6.57735

8.88725

10.44721

13.39223


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