I. MODELACION NUMERICA

El modelado numérico (a veces  llamado modelación numérica) es una técnica basada en 

el cálculo numérico, utilizada en muchos campos de estudio (ingeniería, ciencia, etc) desde 

los   años   60   para   validar   o   refutar modelos conceptuales propuestos   a   partir   de 

observaciones   o   derivados   de   teorías   anteriores.   Si   el   cálculo   de   las   ecuaciones   que 

representan el modelo propuesto es capaz de ajustar las observaciones, entonces se habla 

de un modelo consistente con las mismas, y se dice también que el modelo numérico que 

confirma las hipótesis (el modelo); si el cálculo no permite en ningún caso reproducir las 

observaciones, se habla de un modelo inconsistente con los datos y que refuta el modelo 

conceptual. A menudo, este término se utiliza como sinónimo de simulación numérica.

ORIGEN

Los modelos científicos de la realidad se crean mediante modelado matemático. Un modelo 

matemático determina el conjunto de ecuaciones que gobiernan el sistema que se estudia y 

del   cual   se   tienen   observaciones   metódicas.   Tradicionalmente   se   intentaban   encontrar 

soluciones analíticas a esas ecuaciones para validarlas  (reproducir   las observaciones)  y 

para posibilitar  su uso (p.e.,  predicción del  comportamiento del  sistema partiendo de un 

conjunto   de   parámetros   y   condiciones   iniciales).   Los   modelos   numéricos resultaron   de 

utilizar   los  ordenadores  con el  mismo propósito:   resolver   las  ecuaciones  de  un  modelo 

matemático no de forma analítica sino numérica

OBJETIVO DE LA MODELACION NUMERICA

La   modelación   numérica   de   los   procesos   geo-ingenieriles   envuelve   consideraciones 

diferentes de aquellas observadas en la modelación de materiales estructurales típicamente 

usados en la ingeniería civil.

Cuando se analiza el  comportamiento geo mecánico de estructuras construidas sobre o 

dentro   de   materiales   geológicos   (macizos   rocosos)   se   debe   tener   en   cuenta   que   los 

resultados van a depender de la exactitud de los datos de entrada, provenientes de campo y 

laboratorio.

En ciertas circunstancias es imposible acceder a todos los datos de campo en el sitio de las 

investigaciones, por lo que estos solamente podrán ser inferidos en forma indirecta 

El  uso  de   la  modelación  numérica  puede  proporcionar  una  primera  aproximación  de   la 

influencia de esa variabilidad  de datos ingresados, y también predicen de forma aproximada 

el comportamiento geo mecánico. 

Como   ya   se   mencionó,   diferentes  programas   emplean   diferentes   formas  de   realizar   el 

cálculo de soluciones para los mismos sistemas de ecuaciones. Programas como el Phase, 

FLAC, Abacus emplean el modelamiento con elementos finitos. Programas como el MAP 

3D, Ex3D, Besol, emplean el modelamiento de elementos de borde.

Los modelos numéricos no predicen  la  estabilidad,  el   tiempo de auto soporte,   factor  de 

seguridad

Es el análisis de los resultados del modelamiento numérico, lo que nos ayuda a INFERIR 

valores como factores de seguridad, probabilidad de falla, etc.

Siempre existen errores en el cálculo de los resultados, debido a valores inexactos de los 

parámetros   de   entrada;   por   tanto,   para   reducir   los   errores   en   los   resultados   debemos 

controlar los errores en los parámetros de entrada.

1. Geometría: 

Una estructura en la realidad es siempre 3D, por tanto, para reducir el error por geometría, 

se debe de aproximar en el modelo también en 3D. Una aproximación en 2D es aceptable 

siempre y cuando una de las dimensiones es muy superior a las otras 2, en este caso la 

sección es tomada de manera transversal a ésta (ejemplo: Un túnel de sección 4m x4m con 

más de 1km de largo)

2. Geología: 

Se debe de localizar los contactos litológicos con tanta precisión como sea posible, se tienen 

que tener en cuenta las estructuras geológicas principales (como fallas regionales). 

3. Esfuerzos In-situ: 

Es preferible efectuar Ensayos In-situ para determinar la magnitud y la orientación de los 

esfuerzos.

4. Tipo de Modelo: 

Se debe de elegir entre modelos elásticos (mucho más simples y veloces) o modelos elasto-

plasticos (más complejos y de mayor manejo de variables) 

5. Propiedades de los materiales: 

Cada   litología  debe  contar   con  ensayos  para   la  determinación  de  sus  propiedades,  de 

preferencia  se debe de contar  con varios ensayos  tomados en diferentes ubicaciones y 

tiempos   para   un   mismo   tipo   de   roca   de   manera   que   se   pueda   realizar   promedios 

ponderados y definir a anisotropía del material. Se debe evitar en lo posible la aproximación 

de valores en base a tablas o referencias. 

6. Aproximación Numérica: Se debe de definir el grado de refinamiento con que se va a 

trabajar  el  modelo  y  de  esa  manera  definir  el   tamaño  promedio  de   los  elementos  que 

intervienen en el cálculo. Elementos muy grandes generalizan valores en una gran área del 

macizo haciéndolo impreciso.

Limitaciones de la modelación numérica

Un modelamiento numérico es solo una simulación, por tanto, nunca se tiene una certeza 

del   100%   de   los   resultados.   Para   mejorar,   el   modelo   debe   ser   refinado   de   manera 

constante. 

Se debe contrastar los resultados del modelo con los obtenidos en la realidad a lo largo del 

tiempo.

II. METODOS NUMERICOS EMPLEADOS EN GEOMECANICA

Los métodos numéricos empleados en geo mecánica se dividen en dos categorías que son:

Métodos de contorno:  Únicamente el contorno del objeto de estudio en elementos y el 

interior del macizo rocoso es representado matemáticamente como un continuo infinito.

Métodos de dominio: se   discretiza   el   interior   del   macizo   rocoso   en   elementos 

geométricamente simples a los que se le asigna las propiedades de macizo rocoso. Dentro 

de estos métodos están: métodos de elementos finitos (MEF), métodos de las diferencias 

finitas (MDF), ambos se consideran el macizo rocoso como un continuo, también pertenece 

el método de elementos distintos (MED).

METODOS DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO

A pesar de su complejidad el MEC esta llegando a ser cada vez mas popular porque es un 

método  cuyo    modelo  matemático   le   hace  de  difícil   comprensión   ,   como se  menciono 

anteriormente en este método se discretiza (dividir en pequeños elementos) la superficie del 

macizo rocoso por ser analizada.

El MEC ha demostrado ser eficiente para modelar problemas homogéneos y linealmente 

elásticos, particularmente en tres dimensiones.

METODOS DE LOS ELEMENTOS DE DOMINIO

Tenemos entre ellos:

METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

El MEF es el más usado y popular método numérico en las ciencias de la ingeniería. Su 

capacidad  para   resolver  complejos  problemas   tenso-deformacionales  ha  hecho que sea 

atractivo en la comunidad de ingenieros  de diversas ramas de la ingeniería. La aplicación 

del MEF en el diseño de proyectos de ingeniería civil  y minería es principalmente un análisis 

de tensiones que conduce a la estimación de tensiones, deformaciones y desplazamientos 

inducidos por  los procesos de excavación. Esta  información proporciona  importante guía 

hacia la evaluación ingenieril de la estabilidad, seguridad y economía del proyecto.

Cuando aplicado en la ingeniería de rocas, el MEF consiste en discretizar el macizo rocoso 

que rodea una excavación en pequeños elementos   conectados a través de nodos . En el 

proceso se calculan los desplazamientos de los nodos y luego las tensiones en el interior de 

los elementos. 

METODOS DE LOS ELEMENTOS DISTINTOS

Este método se caracteriza porque considera el macizo rocoso como un medio discontinuo 

en contraposición con el MEF, que considera el macizo rocoso como un medio continuo.

El modelo matemático empleado por el MED requiere la repetida solución de ecuaciones de 

equilibrio dinámico para cada elemento, hasta que las leyes de contacto y condiciones de 

contorno sean satisfechas.

PRINCIPALES DIFERENCIAS ENTRE LOS METODOS

METODOS DOMINIO(MEF,MDF,MED) METODOS DE CONTORNO(MEC)

Requieren   un   mayor   esfuerzo 

computacional   para   la   división   del 

macizo rocoso en elementos

Requieren  que el   contorno  del  objeto  de 

estudio sea dividido elementos ,por lo que 

el   esfuerzo   computacional   es 

considerablemente menor

Las   condiciones   de   contorno   deben 

estar   alejadas   de   la   superficie   del 

problema a ser estudiado, a fin de evitar 

errores concernientes con la interacción 

de la malla

Dado   que   los   métodos   de   contorno 

consideran   el   macizo   rocoso   como   un 

continuo   infinito,   las   condiciones   de 

contorno   pueden   ser   únicamente 

especificadas en todo el macizo rocoso

III. GENERALIDADES DEL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

(MEF)

BREVE HISTORIA DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Aunque el  nombre del  MEF se ha establecido  recientemente,  el  concepto se ha usado 

desde hace varios siglos. El empleo de métodos de discretizado espacial y temporal y la 

aproximación  numérica  para  encontrar   soluciones  a  problemas   ingenieriles  o   físicos  es 

conocido desde antes. El concepto de  elementos finitos  parte de esa idea.

Para encontrar vestigios de este tipo de cálculos podríamos remontarnos a la época de la 

construcción las pirámides egipcias. Los egipcios empleaban métodos de discretizado para 

determinar el  volumen de  las pirámides. Arquímedes (287-212 a.C.) empleaba el  mismo 

método para calcular el volumen de todo tipo de sólidos o la superficie de áreas. En oriente 

también aparecen métodos de aproximación para realizar cálculos. 

Así el matemático chino Lui Hui (300 d.C.) empleaba un polígono regular de 3072 lados para 

calcular longitudes de circunferencias con lo que conseguía una aproximación al número Pi 

de 3.1416.

Actualmente  el  método  se  encuentra  en  una   fase  de  gran  expansión:  es  ampliamente 

utilizado en la industria y continúan apareciendo cientos de trabajos de investigación en este 

campo. Los ordenadores han aportado el medio eficaz de resolver la multitud de ecuaciones 

que   se   plantean   en   el  MEF,   cuyo   desarrollo   práctico   ha   ido   caminando   parejo   de   las 

innovaciones obtenidas en el  campo de la arquitectura de  los ordenadores.  Entre éstas, 

además de permitir la descentralización de los programas de EF, ha contribuido a favorecer 

su uso a través de sofisticados paquetes gráficos que facilitan el modelado y la síntesis de 

resultados. Hoy en día ya se concibe la conexión inteligente entre las técnicas de análisis 

estructural, las técnicas de diseño (CAD), y las técnicas de fabricación.

INTRODUCCION AL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

El   método   de   los   elementos   finitos,   es   un   procedimiento   basado   en   técnicas 

computacionales,   que   puede   ser   usado   para   analizar   estructuras   y   diferentes 

sistemas continuos. Es un método numérico versátil, y que es ampliamente aplicado 

para resolver problemas que cubren casi todo el espectro de análisis ingenieriles. 

Sus   aplicaciones   comunes,   incluyen   el   comportamiento   de   sistemas   estáticos, 

dinámicos y térmicos. Los avances en el hardware, han facilitado y aumentado la 

eficiencia del software de elementos finitos, para la solución de sistemas complejos 

de ingeniería sobre computadores personales.

Las   aplicaciones   del   MEF   van   desde   el   análisis   tenso-deformacional     de 

automóviles,   aeronaves,   edificios,   estructuras   de   puente,   hasta   análisis   de   los 

campos de flujo de calor, de fluidos magnéticos y de filtraciones. En la ingeniería 

geotécnica, el MEF ha sido aplicado con gran éxito en problemas de Mecánica de 

Suelos, Mecánica de Rocas e Ingeniería de Rocas.

El término “Elemento Finito” fue usado por primera vez en 1956 por Turner et

al .Desde esta fecha hasta la presente se han escrito numerosos libros enfocando el 

problema el desde diferentes puntos de vista y aplicaciones.

IMPLEMENTACION DEL MEF

La puesta en marcha de un programa de elementos finitos debe comenzar con un análisis 

de los objetivos.

Primero:  es   importante   saber   lo   que   se   espera   obtener   como   resultado   de 

modelación numérica y cuáles son sus limitaciones.

Segundo: se requiere definir y juntar los datos de ingreso necesarios para el uso de 

un   programa   computacional   .En   la   actualidad   ,se   encuentran   disponibles   una 

variedad de programas de elementos finitos ,cuyo grado de sofisticación ,facilidad 

de uso y costo varían considerablemente .El avance tecnológico ha permitido que 

computadoras  personales  puedan  fácilmente procesar  análisis  bidimensionales y 

tridimensionales 

Tercero:  la información obtenida debe ser analizada con propósitos ingenieriles 

VISION GENERAL DEL MEF

En el análisis bidimensional, la estructura bajo consideración es divida en elementos que 

pueden ser   triangulares,   rectangulares  o   regiones  de  cuatro   lados,   los  que  pueden ser 

rectos o curvos .Se asume que los elementos están conectados en ciertos puntos llamados 

nodos.

Los nodos pueden estar localizados en los lados o en el interior de los elementos .A los 

elementos   que   tienen   nodos   en   los   lados   así   como   en   sus   vértices   se   les   denomina 

elementos parabólicos. Los elementos parabólicos se presentan como los mas populares 

y probablemente son los que menor tiempo computacional ocupan a la hora del proceso 

computacional   .Las ecuaciones que describen  la  forma de  los elementos son conocidas 

como funciones de forma

La unión de varios elementos constituye la malla de elementos finitos .La configuración de la 

malla se realiza de forma arbitraria en dependencia de las necesidades del usuario, aunque 

en la práctica, se observa que mientras mayor es el número de elementos, mayor podrán 

ser el nivel de exactitud

PASOS PARA EL ANALISIS DEL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

1. Discretización o modelado de la estructura:  La estructura  es dividida en una 

cantidad finita de elementos, con ayuda de un preprocesador. Este paso es uno de 

los más cruciales para obtener una solución exacta del problema, de esta forma, 

determinar  el   tamaño o  la  cantidad de elementos  en cierta  área o volumen del 

elemento a analizar representa una ventaja del método, pero a la vez implica que el 

usuario debe estar muy conciente de esto para no generar cálculos innecesarios o 

soluciones erróneas.

2. Definir las propiedades del elemento: En este paso el usuario debe definir  las 

propiedades del elemento.

3. Ensamblar las matrices de rigidez de los elementos: La matriz de rigidez de un 

elemento, consiste de coeficientes los cuales pueden ser derivados del equilibrio, 

residuos ponderados o métodos de energía. La matriz de rigidez del elemento se 

refiere a  los desplazamientos nodales al ser aplicadas fuerzas en  los nodos . El 

ensamble de las matrices de rigidez, implica la aplicación de equilibrio para toda la 

estructura.

4. Aplicación de las cargas: Fuerzas externas concentradas o fuerzas uniformes y 

momentos son especificados en este paso.

5. Definir las condiciones de frontera: Las condiciones de apoyo deben ser dadas, 

por   ejemplo,   si   el   desplazamiento   de   ciertos   nodos   es   conocido.   Usando   los 

elementos de la frontera se pueden determinar las reacciones en los mismos.

 

6. Solucionar el sistema de ecuaciones algebraicas lineales:  La   secuencial 

aplicación de los pasos descritos, conduce a un sistema de ecuaciones algebraicas 

simultáneas, donde los desplazamientos nodales son desconocidos.

 

7. Calcular los esfuerzos:   El   usuario   puede   entonces   calcular   los   esfuerzos, 

reacciones, deformaciones u otra información relevante. El post-procesador ayuda a 

visualizar la salida en forma gráfica.