metodos numericos
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método de cuerdasTRANSCRIPT
Método de Graficación El proceso es de simple tabulación y, donde se halle un cambio de signo en los valores de f (x), ahí se puede ir encajonando la raíz, pero sólo de forma de ubicación, con mucha imprecisión por su puesto.
Tabulación:
x y = f(x)-3.5 -3.445705-3.0 3.289042-2.5 -4.023083-2.0 -6.68136-1.5 4.436366-1.0 11.919940-0.5 4.184102 0.0 -3.000000 0.5 4.184102 1.0 11.919940 1.5 4.436366 2.0 -6.68136 2.5 -4.023083 3.0 3.289042 3.5 -3.445705
2)3cos(85)( xxxf
???]0.3;5.3[ RAÍZ???]5.2;0.3[ RAÍZ???]5.1;0.2[ RAÍZ
???]0.0;5.0[ RAÍZ???]5.0;0.0[ RAÍZ
???]0.2;5.1[ RAÍZ???]0.3;5.2[ RAÍZ???]5.3;0.3[ RAÍZ
Tabulación: x y = f(x)
-3.5 -3.445705-3.0 3.289042-2.5 -4.023083-2.0 -6.68136-1.5 4.436366-1.0 11.919940-0.5 4.184102 0.0 -3.000000 0.5 4.184102 1.0 11.919940 1.5 4.436366 2.0 -6.68136 2.5 -4.023083 3.0 3.289042 3.5 -3.445705
2)3cos(85)( xxxf
Las raíces se indican en la figura
En la figura anterior y esta se han indicado los cambios de signo en la figura con un círculo y además con una flecha
Método de bisección El proceso es de encajonamiento:
1ero. 2do.
El proceso es de encajonamiento:
3ero. 4to. . . .
El proceso es de encajonamiento
continuará hasta cumplir la
tolerancia:
o sea,
cuando
rEba
Si se tiene que , o sea la función f es continua en el intervalo [a, b], y si entonces se tiene un punto t ] a, b [ tal que f (t) = 0, este t se consigue usando un algoritmo que efectúe lo visto en las figuras anteriores:
],[ baCf
0)()( bfaf
Paso1: Definir f (x), // función continua en [a,b]
Paso2: Entrar a, b, error; // tolerancia
Paso3:
Paso4: if (f (t)*f (a)<0) { b=t ; }
Paso5: en otro caso { a=t ; }
Paso6: if (abs(a - b )>error) ir a (3)Paso7: Publicar [a, b]; // Intervalo final
Paso8: Parar.
2
abt
Ejemplo de Bisección
Si fuera el caso de la función
y la estudiamos en el intervalo
[a, b] = [4, 5],
donde claramente se tiene que
f(a)*f(b)<0 pues
( f(4) = - 2)*( f(5) = 1) = - 2<0
3)3()( 2 xxf
Tabla de Resultados de Bisección
n a t b f(a) f(t) f(b) error1 4.00 4.50 5.00 -2.000 -0.750 1.000 0.52 4.50 4.75 5.00 -0.750 0.063 1.000 0.253 4.50 4.63 4.75 -0.750 -0.359 0.063 0.1254 4.63 4.69 4.75 -0.359 -0.152 0.063 0.06255 4.69 4.72 4.75 -0.152 -0.046 0.063 0.031256 4.72 4.73 4.75 -0.046 0.008 0.063 0.015637 4.72 4.73 4.73 -0.046 -0.019 0.008 0.00782
Se usó 2 decimales sólo para muestra; deben usarse 6 por lo menos.
Es la figura vista paso a paso.1
Método de las Cuerdas
o
Falsa Posición
oDe las Proporciones
Método de las cuerdas El proceso es muy parecido al anterior. La diferencia está en que este por construcción camina proporcionalmente hacia la raíz a la vez que va encajonandola:
Método de las cuerdas El proceso acercamiento a la Raíz:
1ero. 2do.
El proceso acercamiento a la Raíz
continuará hasta cumplir la
tolerancia:
o sea,
cuando
rEtt nn 1
Si se tiene que , o sea la función f es continua en el intervalo [a, b], y si entonces se tiene un punto t ] a, b [ tal que f (t) = 0, este t se consigue usando un algoritmo que efectúe lo visto en las figuras anteriores:
],[ baCf
0)()( bfaf
Paso1: Definir f (x), // función continua en [a,b]
Paso2: Entrar a, b, error; r=a;//
tolerancia
Paso3:
Paso4: if (f (t)*f (a)<0) { b=t ; }
Paso5: en otro caso { a=t ; }
Paso6: if abs(r - t )>error r=t; ir a 3Paso7: Publicar t ; // como raíz
Paso8: Parar.
)()()(
bfaf
babfbt
Ejemplo de Cuerdas
Si fuera el caso de la función
y la estudiamos en el intervalo
[a, b] = [3, 5],
donde claramente se tiene que
f(a)*f(b)<0 pues
( f(4) = - 3)*( f(5) = 1) = - 3<0
3)3()( 2 xxf
Tabla de Resultados de Cuerda
Se usó 2 decimales sólo para muestra; deben usarse 6 por lo menos.
a t b f (a) f (t) f (b)1 nn tt
3.00 4.500 5.00 -3.000 -0.7500 1.00 1.54.50 4.714 5.00 -0.750 -0.0612 1.00 0.214294.71 4.730 5.00 -0.061 -0.0044 1.00 0.016494.73 4.732 5.00 -0.004 -0.0003 1.00 0.00119
Es la figura vista paso a paso.1
Método de las Newton
o
De las Tangentes
Método de Newton El proceso es que toma la dirección de la recta tangente en un punto de la función f hasta la intersección con eje x. Este último punto es muy cercano al de la raíz. Si el método se repite se llega a la raíz:
Método de Newton El proceso acercamiento a la Raíz:
1ero. 2do.
El proceso acercamiento a la Raíz
continuará hasta cumplir la
tolerancia:
o sea,
cuando
rEtt nn 1
Si se tiene que , o sea la función f es continua en el intervalo [a, b], y si entonces se tiene un punto t ] a, b [ tal que f (t) = 0, este t se consigue usando un algoritmo que efectúe lo visto en las figuras anteriores:
0)()( bfaf
],[2 baCf
Paso1: Definir f (x), f ’ (x), // función continua en [a,b]
Paso2: Entrar x0 , error; // tolerancia
Paso3:
Paso4: if abs(x0 - t )>error; x0 = t
ir a Paso3;
Paso5: Publicar t ; // como raíz
Paso6: Parar.
)('
)(
0
00 xf
xfxt
Ejemplo de Newton
Si fuera el caso de la función
y la estudiamos en el intervalo
[a, b] = [4, 5],
donde claramente se tiene que
f(a)*f(b)<0 pues
( f(4) = - 2)*( f(5) = 1) = - 2<0
3)3()( 2 xxf
Tabla de Resultados de Newton
Se usó 4 decimales sólo para muestra; deben usarse 6 por lo menos.
n x0 f (x0) f ’ (x0) t 1 nn tt
1 5.0000 1.0000 4.0000 4.7500 0.25002 4.7500 0.0625 3.5000 4.7321 0.017863 4.7321 0.0003189 3.4643 4.7321 0.000093
Es la figura vista paso a paso.1
Método de la Secante
Método de la SecanteEl proceso es tomar dos puntos muy cercanos para las x y sus correspondientes ordenadas; es de estas, de donde se traza un secante en la f, esta secante es la que se acerca a las raíz en la intersección con eje x.
Método de la secante El proceso acercamiento a la Raíz:
1ero. 2do.
El proceso acercamiento a la Raíz
continuará hasta cumplir la
tolerancia:
o sea,
cuando
rExx nn 1
Si se tiene que , o sea la función f es continua en el intervalo [a, b], y si entonces se tiene un punto t ] a, b [ tal que f (t) = 0, este t se consigue usando un algoritmo que efectúe lo visto en las figuras anteriores:
0)()( bfaf
],[ baCf
Paso1: Definir f (x), // función continua en [a,b]
Paso2: Entrar x0, x1, error; // tolerancia
Paso3:
Paso4: if abs(x1 - t )>error; x0 = x1
x1 = t, ir a Paso3;
Paso5: Publicar t ; // como raíz
Paso6: Parar.
)()(
))((
01
0111 xfxf
xxxfxt
Ejemplo de la Secante
Si fuera el caso de la función
y la estudiamos en el intervalo
[a, b] = [4, 5],
donde claramente se tiene que
f(a)*f(b)<0 pues
( f(4) = - 2)*( f(5) = 1) = - 2<0
3)3()( 2 xxf
Tabla de Resultados de Secante
Se usó 4 decimales sólo para muestra; deben usarse 6 por lo menos.
x0 x1 f(x0) f (x1) t 1xt
5.00004.90001.0000 0.6100 4.7436 0.15654.90004.74360.6100 0.04011 4.7326 0.011014.74364.73260.04011 0.0018434.7321 0.0005302
Es la figura vista paso a paso.1
Se Termino
FIN.
HAGA TODO CON PAZ , AMOR Y
FRATERNALMENTE
El conocimiento es de la Inteligencia Cósmica, o sea, de toda la "Humanidad"
Que el Cósmico te dé 3 veces, lo que me deseas a MíQue el Cósmico te dé 3 veces, lo que me deseas a Mí