Mtodos de Identificacin dinmica

Autores:Dr. Pedro Arafet Padilla Dr. Francisco Chang Muma MSc. Miguel Torres Alberto MSc. Hugo Dominguez Abreu Facultad de Ingeniera Elctrica Universidad de Oriente Junio 20082 Tabla de contenidos Nota de los autores ................................................................................................................ 4 1. El problema de la identificacin ....................................................................................... 5 2. Mtodos grficos.............................................................................................................. 10 2.1 Mtodos basados en la respuesta a escaln. ................................................................. 10 2.1.1 Modelo de primer orden. ..................................................................................... 10 2.1.2 Mtodo de Oldenbourg Sartorius ..................................................................... 12 2.1.3 Mtodo de Anderson. Segundo orden ................................................................. 15 2.1.4 Respuesta a escaln para sistemas oscilatorios. .................................................. 18 2.1.5 Mtodo de Strejc. Modelo de orden n. ................................................................ 22 2.1.6 Modelos con retraso de transporte....................................................................... 23 2.2 Mtodos basados en la respuesta a un pulso.......................................................... 26 2.2.1 Mtodo de pulso para obtener la respuesta a escaln.......................................... 26 3. Mtodos analticos ........................................................................................................... 29 3.1 Mtodo de pulso para obtener la respuesta frecuencial........................................ 29 3.2 Mtodo de correlacin. Forma continua ................................................................ 32 3.3 Mtodo de correlacin cruzada. Forma discreta................................................... 34 3.4 Mtodo de deconvolucin......................................................................................... 38 3.5 Mtodo de integracin gradual. .............................................................................. 44 3.5.1 Integracin gradual para un conjunto de datos de entrada-salida........................ 46 3.5.2 Matriz de Simpson............................................................................................... 48 3.6 Mtodo de integracin mltiple............................................................................... 55 4. Algunos elementos sobre el toolbox de Matlab .............................................................. 60 4.1 Modelo lineal general ............................................................................................... 60 4.1.1 Representacin polinomial de la funcin de transferencia.................................. 60 4.1.2 Modelo ARX....................................................................................................... 61 4.1.3 Modelo ARMAX................................................................................................. 61 4.1.4 Modelo OE .......................................................................................................... 62 4.1.5 Modelo BJ ........................................................................................................... 62 4.1.6 Ejemplo de sistema con una entrada una salida (SISO) ...................................... 64 4.2 Identificacin de sistemas multivariables (MIMO)............................................... 69 5. Identificacin de Sistemas mediante Redes Neuronales Artificiales............................. 80 5. Identificacin de Sistemas mediante Redes Neuronales Artificiales............................. 80 5.1 Introduccin a las Redes Neuronales...................................................................... 82 5.2 Algoritmo de aprendizaje ........................................................................................ 86 3 5.3 Identificacin con Redes Neuronales en el ambiente de Matlab. ......................... 88 6. Algunas recomendaciones para la identificacin .......................................................... 92 Anexo # 1 ............................................................................................................................. 96 Anexo # 2 ............................................................................................................................. 99 Anexo # 3 ........................................................................................................................... 101 Anexo # 3 ........................................................................................................................... 101 Anexo # 4 ........................................................................................................................... 102 Anexo # 5 ........................................................................................................................... 104 Anexo # 6 ........................................................................................................................... 105 Anexo # 7 ........................................................................................................................... 108 Anexo # 8 ........................................................................................................................... 110 Anexo # 9 ........................................................................................................................... 111 Bibliografa........................................................................................................................ 112 4 Nota de los autores Losmtodosdeidentificacinestnmuydispersosenlaliteraturaysehacemuydifcil para los profesionales la seleccin y posterior utilizacin de algunos de ellos. Por otro lado, enladocenciadepregradonosiempresecuentaconprogramasadecuadospararealizar alguna identificacin prctica usando mtodos sencillos. Eslaintencindelosautores,conestaMonografa,ofrecerlealosprofesionales,que laborantantoenlaindustriacomoenlainvestigacinyladocencia,unaherramientade trabajoquelespermitateneraccesoalosmtodosdeidentificacinexperimentalms comnmente utilizados, brindando el fundamento terico mnimo necesario, el algoritmo de clculoparalacomprensindelosmismos,ascomo,enalgunoscasos,elprograma Matlab y ejemplos resueltos. Se mencionan algunos de los mtodos contenidos en el toolbox de identificacin de Matlab, brindando sencillos programas para ello. Seincluyenademslascaractersticasespecficasdecadamtodo,loqueayudaengran medidaalaseleccinmsadecuadadelmismo,dadaslascondicionesparticularesdel procesoquesequiereidentificar.Constituyenunaimportanteayudalasrecomendaciones dadas para implementar en la prctica la identificacin del sistema. Se muestran, fundamentalmente, mtodos de identificacin de sistemas SISO (Single Input Single Output) y la identificacin de un sistema MIMO (Multiple Input Multiple Output) de dosentradasydossalidasconelToolboxdeMatlab.Asmismosepresentala identificacin de un sistema sencillo usando las Redes Neuronales 5 1. El problema de la identificacin Comosesabe,enmuchasocasiones,esmuytilposeerelmodelodeunsistemaparasu anlisis,yenparticular,paraelcontrol,porquelainmensamayoradelosmtodosde diseo se basan en su conocimiento. A la determinacin de dicho modelo, a partir de tener algn conocimiento previo sobre el proceso y de experiencias prcticas, se le conoce como identificacin. Tericamente, para llegar a obtener un modelo podran adoptarse dos enfoques diferentes: Porlavaanaltica:determinarlasecuacionesyparmetrosqueintervienensiguiendo exclusivamente las leyes generales de la Fsica. Por la va experimental: en la cual se considera el sistema como una caja negra, con determinadasentradasysalidas,comoseilustraenlaFigura1.1.Enestasituacinse realizaraunconjuntodeexperimentosqueproporcionaranparesdemedidasdelas entradas y salidas durante la evolucin del sistema hacia el estado estacionario, a partir de los cuales se tratara de determinar el modelo del sistema. xy Fig. 1.1 Sistema como caja negra. Conrespectoalprimerenfoquehayquetenerencuentaquenormalmentees extremadamentedifcilconsiderartodaslasleyesfsicasqueintervienenyque,an suponiendoqueestofueraposible,elmodeloresultantepudierasermuycomplejo,ypor consiguiente, difcilmente manejable por las tcnicas de diseo de sistemas de control. Por otraparte,enlaprctica,lastoleranciasdeloselementos,desgastes,fuentesderuidono consideradas, etc., hacen que el comportamiento real nunca sea el comportamiento previsto. Porloquerespectaalsegundoenfoque,esevidentequelaresolucindelproblemade identificacinsinadoptarhiptesissobrelascaractersticasdelsistemapuedesermuy 6 difcil. En la prctica se combinan ambos enfoques, actuando en dos etapas: Etapadeanlisis,enlacualsetienenencuentalasleyesfsicasylascondiciones particularesdetrabajoparaestablecerhiptesissobrelaestructuraypropiedadesdel modelo que se pretende identificar. Etapa experimental,en lacual se adoptan las hiptesis establecidasanteriormentey se tienen en cuenta las mediciones para determinar el modelo. Enelanlisishayquetenerencuentaqueaunqueelsistemaseanolineal,puedeser convenienteadoptarunmodelolinealconobjetodeestudiarsucomportamientoante variacionesrelativamentepequeassobreunpuntodetrabajo.Asmismo,puedenusarse hiptesis simplificadoras para describir el comportamiento del sistema mediante un modelo de orden reducido, ms fcil de identificar y, posteriormente, de utilizar. Por otra parte, en sistemaslinealesconmltiplesentradas,esposibleaplicarelprincipiodesuperposicin, considerandocadasalidacomosumadesalidaselementalescorrespondientesaunasola entrada. La situacin se ilustra en la figura 1.2. y++upu11 p: :: Fig. 1.2. Aplicacin del principio de superposicin Un factor a tener en cuenta en el anlisis es la determinacin del tiempo de las experiencias, yaquepuedenexistirparmetrosquevarenenfuncindeperturbacioneslentasno medibles,obienpuedenaparecernolinealidadesquenoestnpresentesenuntransitorio 7 alrededor de un punto de trabajo. Otroaspectoimportante,dentrodelmarcodelcontroldelosprocesosindustriales,esque noeslomismoidentificarunmodelodeunsistemaquetrabajaralazoabiertooalazo cerrado. Est claro que en el primero se requiere mayor precisin. El modelo de un sistema,como representacin de sus aspectos fundamentales en la forma msconvenienteparalafinalidadaqueestdestinado,puedequedarexpresadoenforma deunconjuntodeecuaciones,tablas,grficosoinclusodereglasquedescribensu operacin. Respectoalordendelmodeloexistendosalternativas:imponerelordenodejarlolibrea determinar. Identificacin experimental segn las mediciones a procesar: 1.- Utilizando la respuesta ante seales de ensayo sobre el sistema. 2.- Procesando mediciones histricas de funcionamiento de la planta. 3.-Identificacinenlnea.Suaplicacinesposiblesinperturbarsignificativamentelas condiciones de trabajo del sistema. 4.- Identificacin en tiempo real. Sepuede establecer unaclasificacin segn lascaractersticas delmodelo que se pretende obtener: 1.-Demodeloparamtrico.Sepretendenobtenerlosvaloresdeloscoeficientesdelas funciones o matrices de transferencia, o los elementos de las matrices de representacin en el espacio de estado. 2.-Demodelonoparamtrico.Seraelcasodelasgrficasdemduloyfaseenlas respuestas frecuenciales, en los cuales se usaran los diagramas de Bode, Nyquist, Nichols y las respuestas a impulso o escaln. 8 En todo caso ntese que, a partir de unmodeloparamtrico esmuy fcilyrpido obtener respuestas en frecuencia y que un modelo no paramtrico puede parametrizarse empleando coeficientes tales como mrgenes de fase y de ganancia, ancho de banda, etc. Otra clasificacin muy conocida es la de mtodos frecuenciales y temporales, dependiendo del dominio (frecuencial o temporal) que se utilice. Mtodos frecuenciales Sesabeque,sielsistemaeslineal,larespuestaaunasinusoideesunasinusoidedela misma frecuencia y, en general, de diferente amplitud y fase a estado estacionario. Excitando el sistema con sinusoides de diferentes frecuencias, especialmente en el rango de trabajo del sistema, podemos obtener las caractersticas de amplitud y fase y conocemos las contribucionesdelostrminoss,(1+s),(s2 +as+b),enquepuedendescomponerseel numerador y el denominador. Otraclasificacinposible,segnelprocesamientodelasmediciones,eslademtodos grficos y analticos. En los mtodos grficos se obtienen los parmetros del sistema de manera grfica, mientras que en los analticos se obtienen producto de clculos numricos. Esbuenodestacarqueconeldesarrollodelacomputacin,muchosdeestosmtodos grficos han pasado a ser analticos, pero grficos en su esencia. Precisemos algunos conceptos: Qu es la identificacin experimental de sistemas? La identificacin de sistemas consiste en la determinacin de un modelo que represente lo 9 ms fielmente posible alsistema dinmico, a partir del conocimiento previo sobre ste y de los datos medidos. Cmo se hace esto? Esencialmente ajustando los parmetros obtenidos hasta que la salida del modelo coincida, lo mejor posible, con la salida medida. Cmo saber si un modelo es bueno? Una buena prueba es comparar la salida del modelo con datos medidos que no se usaron en la estimacin de los parmetros.

Tenemos que asumir un modelo particular? Para modelos paramtricos tenemos que asumir una estructura. Si asumimos que el sistema es lineal, podemos estimar directamente la respuesta a impulso o a escaln usando anlisis decorrelacinosurespuestafrecuencialusandoanlisisespectral.Seusanmuchopara comparar con otros modelos. Es una gran limitacin trabajar slo con modelos lineales? No,actualmenteno.Generalmenteseestimanlosparmetrosdelasparteslinealesy haciendo uso de la pericia fsica se le aaden al modelo las no linealidades. Finalmente debemos entender que el modeloobtenido es unreflejo alejado de larealidad, pero que, sorprendentemente, es suficiente para tomar las decisiones necesarias. 10 2. Mtodos grficos Estosmtodossecaracterizanpordeterminarlosparmetrosdelmodelodeunaforma grfica, y por mucho tiempo se utilizaron de esta forma a pesar de las imprecisiones a que conllevan. No obstante, con la ayuda de la computadora, muchos mtodos grficos se han programado mediante algoritmos analticos. 2.1 Mtodos basados en la respuesta a escaln. El escaln es la seal de prueba ms utilizada, en la prctica slo puede lograrse de forma aproximadayaqueesimposiblelograruncambiobruscodeunavariableenuntiempo infinitesimal,noobstanteseconsideravlidosilaconstantedetiempodelasealreales menor que la dcima parte de la menor constante de tiempo que se quiere determinar en la identificacin. Elusodeestasealtienelaventajadelasencillezensugeneracinyqueeltiempode experimentacinescorto.Comodesventajasepuedemencionarlaintroduccindeuna alteracinrelativamentegrandeenelcomportamientodelsistema,locualnosiemprees permisible. El procedimiento para obtener los parmetros del modelo estar en dependencia del modelo propuesto para la identificacin, a partir de la respuesta del sistema a esta seal de estmulo. 2.1.1 Modelo de primer orden. Para un sistema del tipo 1 sK) s ( G+ = 11se necesitan estimar la ganancia (K) y la constante de tiempo(). Para mayor generalidad, se excita al sistema con un escaln a la entrada de amplitud r1-r, a partirdecualquierestadoestacionariodelsistema,obtenindoseunarespuestacomose muestra en la figura 2.1. La ganancia (K) se calcula como rcr rc c11= y la constante de tiempo se calcula grficamente como se muestra o tomando el valor de t para el cualc 63 . 0 c k + = , o sea, que la respuesta c(t) ha alcanzado el 63.2% de su variacin total. kc1cr1rtt Fig. 2.1 Escaln de entrada y respuesta del sistema de primer orden. 122.1.2 Mtodo de Oldenbourg Sartorius Se usa para sistemas desegundo orden no oscilatorio. La ganancia se calcula igual al caso de primer orden:K = c / r(2.1) Suponemos: ) 1 s T )( 1 s T (K) s ( F2 1+ += (2.2) Para calcular las constantes de tiempo T1 y T2 se usan las relaciones entre los tiempos TA y TC,definidoscuandosetrazaunatangenteporelpuntodeinflexindelacurvaque representa la respuesta de un sistema de segundo orden a un escaln, segn muestra la Fig. 2.2 n121 A)TT( T T =donde 2 12T TTn= (2.3) 2 1 CT T T + =(2.4) los valores de TAy TC se determinan grficamente de la representacin de la respuesta del sistema a un escaln. LasolucinanalticadelasecuacionesresultantesalsustituirTAyTC enlasexpresiones (2.3) y (2.4) es muy compleja, por lo que resulta ms conveniente aplicar un procedimiento grfico. Estas expresiones pueden escribirse como:

nA 1A 2A1)T / TT / T(TT1=(2.5)

A2A1ACTTTTTT+ = (2.6) 13cc1TATCt Fig. 2.2 Respuesta de un sistema de segundo orden a un escaln De la primera ecuacin se puede obtener la siguiente tabla: T1/TA00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 T2/TA10.730.570.440.340.250.180.120.070.030 Fig. 2.3 Curvas para la aplicacin del Mtodo de Oldenbourg- Sartorius Representamos ambas en una grfica como se muestra en la fig. 2.3 . T1/TA T2/TA 14 Obtenindose las constantes de tiempo en las intersecciones de ambas curvas. Es importante sealar que si TC/TA = 0.736, la recta que representa la expresin es tangente alacurva,loquesignificaqueT1yT2soniguales.SilarelacinTC/TA T1.Ladiferenciaentrelasrespuestasaestado estacionario y transitoria sera: 2 1Tt2Tt1 Le K e K ) t ( C AK ) t ( C + = = (2.9) tLog CL(t)K1K20.37K10.37K2T1 T21Tt1e K2Tt2e K 16Fig. 2.5 Representacin grfica del Mtodo de Anderson y como T1 y T2 son reales, C(t) es no oscilatoria y CL(t) es positiva. ComoT2>T1,elprimertrminodeCL(t)disminuyemsrpidamentequeelsegundo, luego, para valores altos de t, se puede decir que: 2Tte2K ) t (LC y tomando logaritmo se tiene que: t ) e logT1( K log ) t ( C log22 L (2.10) esdecir,siseconstruyeunagrficadeCL(t),usandopapelsemilogartmicoconeleje logartmicoparaCL(t)yelejelinealparat,seobtiene,paravaloresaltosdet,unalnea recta que interseca al eje logartmico (t = 0) en K2. Tambin se sabe que un trmino exponencial de la forma 2Tt2e K alcanza un 36.8% de su valorinicialcuandot=T2.Deacuerdoconestosepuedeestablecerlagrficaanteriory determinar la constante de tiempo mayor. Para la determinacin de la otra constante de tiempo, obsrvese que: 1 2Tt1 LTt2e K ) t ( C e K = (2.11)Estosignifica,porunrazonamientosimilar,quesisetrazalarepresentacindela diferenciamencionadaenungrficosemilogartmico,seobtieneunalnearectaque correspondealarepresentacinde 1Tt1e K,dichalnearecta,parat=0tienepor ordenada k1 y para t = T1 tiene por ordenada 0,368 k1 . En resumen, se deben de seguir los siguientes pasos: 17Setrazalacurvacorrespondientealadiferenciadelvaloraestadoestacionarioyel transitorio de la respuesta del sistema a unescaln enfuncin deltiempo,en un papel semilogartmico, situando en el eje lineal los valores del tiempo. Se prolonga la parte recta de la curvaanterior, correspondiente a los valores altos de t, hasta intersecar el eje vertical (K2). Sedeterminalamayorconstantedetiempocomoelvalordeltiempodondelarecta anterior alcanza el 0.368 de su valor inicial. Se repite el procedimiento anterior para los valores resultantes de la diferencia entre la curvaoriginalCL(t)ylarectaquecorrespondeavaloresaltosdet,conloquese determina la menor constante de tiempo. Aunquetericamenteestemtodosepuedeutilizarparasistemasdeordensuperior,dado sucarctergrfico,enlaprcticanosepuedendeterminarmsdedosconstantesde tiempo. 182.1.4 Respuesta a escaln para sistemas oscilatorios. Esconocidoquelafuncindetransferenciadeunsistemaoscilatoriodesegundoorden tiene la forma: 2n n22ns 2 sK) s ( G + += (2.12) estossistemassepuedenidentificardeterminandogrficamentelosvaloresdelpicode sobrepasoMpydelperododelasoscilacionesamortiguadasd,desurespuestaanteuna seal escaln en su entrada, Fig. 2.6. Fig. 2.6 Respuesta a un escaln de un sistema oscilatorio de segundo orden ElproblemaconsisteenestimarK,y.ElvalordelagananciaKsedeterminasegn (2.1),apartirdeMppuedecalcularseelcoeficientedeamortiguamientomediantela expresin:

21pe M =(2.13) Para obtener la frecuencia natural no amortiguada n se emplean las expresiones: 19 2n1 = d2= (2.14) siendo Mp el pico de sobrepaso y d el perodo de oscilacin amortiguada. InicioLectura de los valores de la salida (ys) y delpeso del escaln (r)Determinacin de rCK=) ys ( valorfinal) ys ( valorfinal ) ys ( maxMp=) M ( log) M ( logp2 2p2+ = d = tsegundo mximo - tprimer mximoClculo de y nFin Fig. 2.7 Algoritmo de solucin para este mtodo 20ParaestemtodoseconfeccionunprogramaMatlabyseprobconunejemploen Simulink. Los parmetros de la simulacin fueron los siguientes: Un escaln unitario a la entradaUn paso fijo de 0.15 unidades de tiempo Tiempo de simulacin 25 unidades de tiempo Mtodo de solucin: ode5 (Dormand-Prince) Fig. 2.8 Esquema de simulacin 21 Fig. 2.9 Resultado de la identificacin La precisin pudo haber sido mejor si se hubiera disminuido el tiempo de muestreo, que en nuestro caso fue de 0.15 unidades de tiempo.El listado del programa se encuentra en el anexo # 2 222.1.5 Mtodo de Strejc. Modelo de orden n. Se usa para modelos del tipo: n) 1 Ts (K) s ( G+= ,esdecir,sedebenestimarK,Tynapartirdelarespuestaaun escaln.LagananciaKsedeterminacomohastaahora,enbasea rc.Setrazalacurvaque representalarespuestadelsistemaysetrazalatangenteporelpuntodeinflexin, determinando los tiempos TL y TA, Fig. 2.10. TATL Fig.2.10 Determinacin de TA y TLpara la aplicacin del Mtodo de Strejc La relacin entre TL y TA es una funcin creciente de n, y TA y TL son proporcionales a T, los factores de proporcionalidad dependen de n, como se observa en la Tabla 2.1. t c(t) 23nTL/TATA/TTL/T 20.1042.7180.282 30.2183.6950.805 40.3194.4631.425 50.4105.1192.106 60.4935.72.811 Tabla 2.1 Relaciones entre TA, TL y T en funcin de n. El procedimiento sera: Determinar TL y TA a partir del grfico de la respuesta del sistema al escaln. Con la relacin TL /TAse determina el valor de n por medio de la Tabla 2.1. ConelvalorTA/TdelaTabla2.1,correspondientealvalordendeterminado anteriormente y el de TA, se calcula T. De forma similar se puede usar la relacin TL/T y el tiempo TL. Se debe tener en cuenta que cuando TL/TA est entre dos valores de n,se toma el menor. 2.1.6 Modelos con retraso de transporte Escaractersticoencontroldeprocesoslapresenciaderetrasospurosoretrasosde transporte(L),porloqueesimportantelaconsideracindestosenlosmodelos propuestos: 1 TsKesL+

) 1 s T )( 1 s T (Ke2 1sL+ + nsL) 1 Ts (Ke+(2.15) 240 1 2 3 4 5 6 7-0. 200. 20. 40. 60. 811. 2A B C Dt c(t)r(t) Fig. 2.11 Determinacin del tiempo de retardo L. El proceso de identificacin consta de dos partes: -Determinacin del retraso de transporte L. -Determinacin de los restantes parmetros por los mtodos descritos. Para determinar L es posible: a)Tomar el tiempo para el cual se obtiene 0.05c, es decir, el 5% de c. b)Se traza la tangente en el punto de inflexin y se levanta una perpendicular en A hasta C,demaneraqueAC=2.718AB.PorCsetrazaunaparalelaalatangentehasta encontrar D. Desde 0 hasta D es el retraso de transporte. 2.1.7 Mtodo del retraso puro efectivo o tiempo muerto efectivo 25Esfrecuenteenlaidentificacindeprocesosqumicoslaexistenciadesistemascuya respuesta a un estmulo escaln tiene generalmente la forma de S. En estos casos un mtodo bastante efectivo y simple consiste en descomponer dicharespuesta en un retraso puro y un sistema de primer orden. De manera que se obtiene:1 Tse k) s ( Gsp+ =(2.16) 0 20 40 60 80 100 12000.20.40.60.811.21.4T Fig. 2.12 Obtencin de la constante de tiempo T a partir de la respuesta a escaln. Como se sabe, la ganancia del sistema se obtiene cones spx) 0 ( y ) ( yk = Donde: y s salida del sistema x e amplitud del escaln en la entrada del sistema La constante de tiempo T se obtiene grficamente de la tangente al punto de inflexin como se muestra en la Fig. 2.12. c(t) t 262.2 Mtodos basados en la respuesta a un pulso Lautilizacindeunpulsocomosealdepruebaenlaidentificacindesistemas,permite logrartiemposdeexperimentacincortossinintroducirgrandesperturbacionesenel comportamientodelsistemaobjetodeestudio,aexpensasdemayoresexigenciasenla exactitud de las mediciones a realizar. 2.2.1 Mtodo de pulso para obtener la respuesta a escaln SiseaplicaaunsistemaunpulsorectangulardeduracinTpyseregistralarespuestaa dicho pulso, desplazando ste muchas veces un tiempo igual a Tp y sumando las respuestas resultantes, se obtiene la respuesta del sistema a un escaln; lo cual es posible ya que si se considera el sistema lineal se cumple el principio de superposicin. Obsrvese que se obtiene la respuesta del sistema a un escaln sin necesidad de aplicar esta sealasuentrada,porloqueelsistemaaidentificarslosufrelaperturbacin correspondiente al pulso rectangular. Fig. 2.13 Grfica de la respuesta a un escaln a partir de la respuesta a un pulso. 27 Aunquetericamenteunescalnesigualalasumadeunnmeroinfinitodepulsos rectangulares, en la prctica es suficiente un nmero finito de stos hasta que la suma de las respuestasdesplazadasmuestreunvalorconstante,elcualcorrespondealvaloraestado estacionario producto delescaln equivalente. Si n es el nmero de respuestas que cumple con lo anterior, tiene que ocurrir que n * Tp sea mayor que el tiempo para el cual el sistema alcanzaprcticamenteelestadoestacionario,osea,n*T p>5T;dondeTeslamayor constante de tiempo del sistema analizado. Estemtodoesdelosllamadosnoparamtricos,puesloqueseobtieneeslarespuestaa escalnenlugardelosparmetrosdelmodelo.EnelDepartamentodeInformticadela FacultaddeIng.ElctricadelaUniversidaddeOrienteexisteunprogramaparaeste mtodo. Se confeccion un programa Matlab (anexo # 3) y se prob con un ejemplo en Simulink. Fig. 2.14 Esquema confeccionado en Simulink Los parmetros de simulacin fueron los siguientes: Un pulso unitario de duracin 2 unidades de tiempo. Tiempo de simulacin: 40 unidades de tiempo. Paso fijo de 0.01 unidades de tiempo. Mtodo de solucin ode5 (Dormand-Prince) 28 Fig. 2.15 Resultados de la identificacin 293. Mtodos analticos Los mtodos analticos son los ms comunesy existe unagran variedad en la literatura. A continuacin se presenta una muestra de ellos. 3.1 Mtodo de pulso para obtener la respuesta frecuencial Setratadeunmtodonoparamtricoenelcualsedescomponenlasmedicionesdela entradaylasalidadelsistemaenpulsosrectangularesdeigualanchoy,deesaforma, calcular la funcin transferencial sinusoidal. Como se sabe de sta se pueden determinar las relacionesdeamplitudyfase,osea,cuandosesustituyes=jenlafuncinde transferencia. Sea el siguiente sistema: Sistema(t) f(t) Si f(t) y (t) son transformables por Fourier: Entonces + + = dt e ) t (dt e ) t ( f) j ( Ft jt j (3.1) Dado el hecho de que es muy difcil calcular la integral de la entrada y la salida, usaremos un mtodo grfico para evaluar las mismas, descomponiendo los transcursos de la entrada y lasalidaenpulsosrectangularesdeigualancho.Comosuponemosquet0,sepueden expresar los lmites de las integrales de 0 a. 30 t tk t)2/1k(+ t)2/1k(t f(t) Fig. 3.1. Descomposicin en pulsos ancho t de la respuesta del sistema De manera que: = + =00 kt21kt21kt j t jdt e ) t ( f dt e ) t ( f(3.2) Segn la grfica anterior f(kt) es el valor de la funcin en el k-simo intervalo, por lo que la ecuacin anterior puede escribirse como: = + =00 kt21kt21kt j t jdt e ) t k ( f dt e ) t ( f(3.3) y la integral se puede calcular segn: + + + = =t21kt21kt )21k ( j t )21k ( jt jt21kt21kt jje edt e jj1dt e(3.4) por tanto: 31= + =00 kt )21k ( j t )21k ( jt jje e) t k ( f dt e ) t ( f (3.5) finalmente quedara: = =0 k) t k ( j02tj2tjt je ) t k ( fje edt e ) t ( f(3.6) Procesandolasealestmulo(cualquieraqueseasuforma),siguiendoelprocedimiento anterior para igual valor de t y suponiendo n intervalos, se tiene: = = = n1 k) t k ( jn1 k) t k ( je ) t k (e ) t k ( f) j ( F (3.7) y sabiendo que) sen( j ) cos( ej = (3.8) se puede escribir la ecuacin anterior segn: = == = = n1 kn1 kn1 kn1 k) t k sen( ) t k ( j ) t k cos( ) t k () t k sen( ) t k ( f j ) t k cos( ) t k ( f) j ( F(3.9) simplificando esta ecuacin: ) ( jD ) ( C) ( jB ) ( A) j ( F + + = (3.10)que, para el anlisis frecuencialser:2 22 2D CB ARA++=yCDtanABtan1 1 = (3.11) El trminot no debe exceder de57 . 12 = radianes para una aproximacin satisfactoria de la transformada de Fourier. Si esto sucede debemos disminuir t. 32El algoritmo de solucin es evidente. 3.2 Mtodo de correlacin. Forma continua Estos mtodos, no paramtricos, se basan en la aplicacin de seales aleatorias a la entrada y tienen una gran importancia en la actualidad. Se deben conocer dos conceptos importantes: Lafuncindecorrelacincruzadaentredosvariablesaleatoriasr(t)yc(t)sedesigna por: + =2T2T2T2 rcdt ) t t ( c ) t ( rT1lim ) t ( R(3.12)esta funcin da una medida de la dependencia de la variable c en el instante t+t2 y el valor de la variable r en t. La funcin de autocorrelacin de una variable aleatoria se designa por: + =2T2T2T2 rrdt ) t t ( r ) t ( rT1lim ) t ( R(3.13) esta funcin da una medida de la dependencia del valor de una variable en t+t2 con respecto al valor de la misma variable en t. Se sabe que si r(t) y c(t) son las variables de entrada y salida de un sistema, cuya respuesta a un impulso o funcin pesante es g(t), se puede plantear que: =1 1 1dt ) t ( g ) t t ( r ) t ( c (3.14) de manera que c(t+t2) est dada por: 33 + = +1 1 1 2 2dt ) t ( g ) t t t ( r ) t t ( c (3.15) Sisesustituyec(t+t2)enlacorrespondientealafuncindecorrelacincruzada,setiene que: + =2T2T1 1 1 2T2 rcdt ) t ( g ) t t t ( r dt ) t ( rT1lim ) t ( R(3.16) y al intercambiar el orden de integracin se obtiene: (((((

+ =2T2T1 2T1 1 2 rcdt ) t t t ( r ) t ( rT1lim dt ) t ( g ) t ( R (3.17)Sepuedeobservarquelafuncinentrecorchetescorrespondealafuncinde autocorrelacinder(t)ent=t2t1,osea,quelafuncindecorrelacincruzadapuede escribirse: = =1 1 1 2 rr 2 rcdt ) t ( g ) t t ( R ) t ( R (3.18) Sisetienequelasealdeentradaaplicadaaunsistematienefuncindeautocorrelacin proporcionalaunafuncinimpulso,entonces,) t ( k ) t ( R2 2 rr = ysustituyendoenla expresin anterior, se tiene que: =1 1 1 2 2 rcdt ) t ( g ) t t ( ) t ( kg R (3.19) Enestaexpresinelintegrandoesdiferentedecerosolocuandot2=t1,luegopuede escribirse: =1 1 2 2 2 rcdt ) t t ( ) t ( kg ) t ( R(3.20) 34y finalmente, dado que : 1 dt ) t t (1 1 2= , se llega a: ) t ( kg R2 rc = (3.21) Esto significa que si a un sistema se le aplica como estmulo una seal aleatoria con funcin deautocorrelacindadapor) t ( k ,elresultadodecalcularlafuncindecorrelacin cruzada de la variable de salida y el estmulo correspondiente es proporcional a la respuesta a impulso. Como esta funcin caracteriza al sistema se puede decir que hemos identificado el sistema. Ensistemasindustrialesesposible,aveces,usarlaspropiasperturbacionesaleatoriasque sufren las variables de entrada o generarlas. 3.3 Mtodo de correlacin cruzada. Forma discreta Considreseunsistemaconsecuenciadeponderacing(j)sometidoaruidosaditivosala salida. En este caso puede escribirse: = + =0 j) i ( ) j i ( u ) j ( g ) i ( y(3.22) La correlacin cruzada entre la salida y la entrada se define mediante: =+ = nn iyu) k i ( u ) i ( y1 n 21limn) k ((3.23) Sustituyendo (3.22) en (3.23) se obtiene: 35 ==(((

+ + = nn i 0 jyu) i ( ) j i ( u ) j ( g ) k i ( u1 n 21limn) k ( (3.24) El trmino delante del corchete se puede pasar para adentro de la sumatoria en j: ) i ( ) k i ( u1 n 21lim) j i ( u ) k i ( u1 n 21lim) j ( g ) k (nn in0 jnn inyu ++ += = = = (3.25) Haciendo el cambio de variables t = i k, se obtiene: ) i ( ) k i ( u1 n 21lim) k j t ( u ) t ( u1 n 21lim) j ( g ) k (nn in0 jnn inyu ++ + += = = = (3.26) Y como la autocorrelacin de la entrada se define como: =+ = nn iuu) k i ( u ) i ( u1 n 21limn) k ((3.27) sustituyendo sta en la anterior se obtiene: ) k ( ) k j ( ) j ( g ) k (u uu0 jyu = + = (3.28) Si la entrada y el ruido no estn correlacionados, entonces ) k j ( ) j ( g ) k (uu0 jyu = = (3.29) Si la entrada es un ruido blanco, entonces para toda k j se obtiene: 36 d ) 0 ( y 0 ) k (uu uu= = (3.30) de manera que : ) k ( g d ) k (yu= (3.31)Siendodunaconstante,concretamenteelpesodelimpulsodelaautocorrelacindela entrada. Por lo que se demuestra que se puede encontrar la respuesta a impulso sin ms que determinar la correlacin cruzada entre la entrada y la salida. Este mtodo se puede aplicar en lnea. En efecto, considrese un sistema con entrada r(k) a la cual se le aade un ruido blanco u(k). En este caso la entrada real que se aplica al sistema es: ) k ( u ) k ( r ) k ( u~ + = demaneraque) k ( y ) k ( y ) k ( yu r+ = ,sustituyendoestoen(3.23)se obtiene: = =+ + + = nn iunn ir yu) k i ( u ) i ( y1 n 21limn) k i ( u ) i ( y1 n 21limn) k ( (3.32) Dado el hecho que r(k) y u(k) no estn correlacionadas, tampoco lo estarn yr(k) y u(k), por lo que se puede despreciar el primer trmino. Si se consideran los valores a partir de i = 0, se obtiene: =+= n0 iyu) k i ( u ) i ( y1 n1) k ((3.32) Se confeccion un programa Matlab (anexo # 4), que contiene la funcin CRA que resuelve el problema, y se prob con un ejemplo en Simulink. Los parmetros de simulacin fueron los siguientes: Muestreo de 0.1 unidades de tiempo 37Mtodo de solucin ode5 Tiempo final 100 unidades de tiempo Un escaln a la entrada de peso 1 5 s+4s+1 2 Si stema Esc Ent Sal Fig. 3.2 Sistema simulado Los resultados obtenidos se muestran en la grfica siguiente: 05101520 0 0.05 0.1 Respuesta a impulso obtenida 05101520253035404550 0 2 4 Respuestas a escaln del sistema y el modelo Respuesta del sistema Respuesta del modelo Fig. 3.3 Resultados de la identificacin 383.4 Mtodo de deconvolucin Consideremos un sistema lineal, estacionarioy estable, con una entrada y una salida, como se muestra en la Fig. 3.4. Sistema x(t)z(t)) t ( Fig. 3.4 Sistema considerado Tomando como modelo del sistema la respuesta a impulso se puede escribir: ) t ( d ) t ( x ) ( h ) t ( zsT0 + = (3.33) donde Ts es el tiempo de establecimiento del sistema, h() la respuesta a impulso y) t ( el ruidoaditivo.Elproblemasetrataahoradeestimarlarespuestaaimpulsoapartirdelas mediciones de entrada y salida. Comopasoprevioalasolucindelproblemadeestimacindeh(t)realicemosla discretizacin de la ecuacin (3.33). == + = N1 kM .... , 2 , 1 j para ) j ( ) k ( h ] ) k j [( x ) j ( z (3.34) donde: M Nmero de puntos de las mediciones de la salida TM = M - tiempo de observacin de la salida N Nmero de puntos de la respuesta a impulso Ts = N - Tiempo de establecimiento Ilustremoscmosetomanlosvaloresdezyx,alrededordeunpuntodeoperacin,que aparecen en Fig. 3.5. 39xztt 2 3- -2(1-N) (M-N) 2M Fig. 3.5 Mediciones de la entrada x(t)y la salida z(t) Teniendoencuentaqueesconstante,laecuacin(3.34)sepuedeescribirenunaforma ms sencilla: ==N1 kk k j jh x zpara j = 1, 2, ....., Mdonde consideramos que = * x x(3.35) Es importante aclarar que, en general, las mediciones son en desviaciones. En forma desarrollada tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: N N 1 3 2 1 1 0 1h x h x 2 h x h x z + + + + = LN N 2 3 1 2 0 1 1 2h x h x h x h x z + + + + = L (3.36) N N 3 3 0 2 1 1 2 3h x h x h x h x z+ + + + = L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N N M 3 3 M 2 2 M 1 1 M Mh x h x h x h x z + + + + = L y en forma matricial se obtiene: z = Ah(3.37) donde : 40(((((((

= N M 3 M 2 M 1 MN 3 0 1 2N 2 1 0 1N 1 2 1 0N * Mx x x xx x x xx x x xx x x xALM M M M MLLL(3.38) con | |TM 3 2 1z z z z z L =| |TN 3 2 1h h h h h L = Este sistema de ecuaciones se puede resolver de varias formas, por supuesto se recomienda usarmtodosdemnimoscuadrados(Matlabresuelveporestavausandoh=A\z).Sin embargo, si suponemos que tomamos las mediciones desde t = 0, que es el caso en el cual se excita al sistema en el instante en que se toma como referencia el tiempo y i el estimado de hi, el sistema deecuaciones toma la forma sencilla: 1 0 1x z =2 0 1 1 2x x z + =3 0 2 1 1 2 3x x x z + + = (3.39) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n 0 2 2 n 1 1 n nx x x z + + + = L Sibienesciertoqueserecomiendaelusodemnimoscuadradosparalasolucindeeste problema por la presencia de ruido en el sistema as como por el error de discretizacin, se puede intentar (si el ruido es pequeo) la solucin de una forma muy sencilla: 011xz= 01 1 22xx z = (3.40) 02 1 1 2 33xx x z = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4101 i1 jj j i iixx z|||

\| = = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01 n1 jj j n nnxx z|||

\| = =(3.41) PorelmtododelosmnimoscuadradossenecesitaraprimerocrearlamatrizAyluego resolverelsistemaz=Ah.ElinconvenientequetieneesquelamatrizAtieneelorden igual a la cantidad de valores de la entrada, es decir, puede ser grande. Los algoritmos de solucin en ambos casos son sencillos y evidentes. La experiencia es que se obtienen buenos resultados con ambos procedimientos. Se confeccion un programa Matlab (anexo # 5) y se prob con un ejemplo en Simulink. Los parmetros de simulacin fueron los siguientes: Muestreo de 0.5 unidades de tiempo Mtodo de solucin ode5 Tiempo final 20 unidades de tiempo Unasealenlaentradacompuestaporunasinusoidedeamplitud0.2yfrecuencia0.1 sumada a un escaln unitario. 5 s+2s+1 2 Transfer Fcn SinusoideSal Esc Ent Fig. 3.6 Esquema de simulacin 42 Fig. 3.7 Entrada y Salida del sistema Los resultados del programa fueron los siguientes: Transfer function:Transfer function: 0.2343 z + 0.2188 Sampling time: 0.10.000263 s + 5.003 --------------------- ---------------------- z^2 - 1.81 z + 0.8188s^2 + 1.999 s + 0.9999 Est claro que se pudo aumentar la precisin disminuyendo el tiempo de muestreo. 430 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2000.20.40.60.811.21.41.61.82 Fig. 3.8 Respuesta a impulso del sistema 443.5 Mtodo de integracin gradual. Para la obtencin del modelo matemtico que describe el comportamiento de un sistema, es necesarioexcitaralmismoensuentradaconsealesdenaturalezaconocida.Algunas sealesmuytilesparaestefinsonaqullasqueseoriginanyterminanenestado estacionario, como las que se muestran en la figura 3.9. Figura 3.9. Seales con origen y terminacin en estado estacionario. Suponiendo estado estacionario antes y despus de las mediciones, entonces se cumplen las siguientes condiciones iniciales para la entrada u(t) y la salida y(t). 0 ) 0 ( u ) 0 ( u ) 0 ( u ); ( u ) 0 ( u0 ) 0 ( y ) 0 ( y ) 0 ( y ); ( y ) 0 ( y) m () n (= = = = == = = = =L & & &L & & & (3.42) Supongamos el siguiente modelo: ) t ( u ) t ( y a ) t ( y a ) t ( y a ) t ( y a0 1) 1 n (1 n) n (n= + + + +& L(3.43) El problema principal consistira en determinar los parmetros a0, a1, a2,,an. El mtodo de integracingradual lo resuelve mediante la integracin. As, integrando la ecuacin (3.43) de 0 a , suponiendo que vale (3.42), se obtiene: = =000000ydtudta udt ydt a(3.44) Integrandola ecuacin (3.42) primero de t a y luego de 0 ase obtiene a1: 45 = +0 t20 t200 t21udt ydt a dt y a & (((

= 0 t 0 t2 2001udt ydt aydt1a(3.45) El clculo del resto de los coeficientes es similar. Por ejemplo, a2 se puede calcular como

(((

+ = 0 t t 0 t t 0 t2130302ydt a ydt a udtydt1a(3.46) En la Figura 3.10 se presenta la interpretacin grfica de la seal de salida. Figura 3.10 Interpretacin grfica de la seal de salida En el caso en que la seal de entrada comiencey termine en estado estacionario, pero que nosecumplaquey(0)=y( ),u(0)=u( ),comosonloscasosquesemuestranenla Figura 3.11, se procede de la siguiente forma: Figura 3.11. Seales de entradas para las cualesu(0) u( ). 46De la ecuacin (3.43) se resta la ecuacin para estado estacionario y se obtiene| | | | ) t ( u ) ( u ) t ( y ) ( y a ) t ( y a ) t ( y a ) t ( y a0 1 2) n (n = + + + + & & & L (3.47) Luego de integrar de 0 ase puede obtener:

| | | |) ( ydt ) t ( u ) ( u dt ) t ( y ) ( y aa0 001 = (3.48) y, luego de una integracin doble se obtiene la ecuacin (3.49):| | | | | ||||

\| = 0 t 0 0 t2120 2dt ) t ( u ) ( u dt ) t ( y ) ( y a dt ) t ( y ) ( y a) ( y1a (3.49) Enelcasodequelasealdeentradafueraunescaln,elclculodeestosparmetrosse simplificara, pues | |= 00 dt ) t ( u ) ( u(3.50) y | | = 0 t20 dt ) t ( u ) ( u(3.51) debido a que u( ) = u(t) para t>0. a0 se determina directamente de la relacin: ) ( y) ( ua0=(3.52) 3.5.1 Integracin gradual para un conjunto de datos de entrada-salida. Se supone el modelo: '1 0 0'1' 'u b u b y a y a y + = + + (3.53) Siseposeenkdatosparaeltiempo,ascomolosrespectivosvaloresdeentradaysalida, despus de integrar de 0 a ti, i=1,,k, se obtiene: 47

) t ( y udt b udtd b ydtd a ydt a) t ( y udt b udtd b ydtd a ydt akt0kkt0 0kt0 01 0kt00 11t011t0 01t0 01 01t00 1 = + = + M(3.54) es decir,

(((((

=(((((

((((((((

) t ( y::) t ( ybbaaudt udtd ydtd ydtudt udtd ydtd ydtk11001t0t0 0t0 0t0t0t0 0t0 0t0k k k k1 1 1 1M M M M(3.55) Con estructuramatricial-vectorial: A p = y (3.56) donde A[k,m]; p[m,l]; y[k,l]. Las columnas de la matriz A se pueden calcular con la ayuda de la matriz de integracin J segn: (((((

=(((((((((

) t ( y::) t ( yydt::ydtk1kt01t0J (3.57) Para simplificar la notacin supondremos ahora: y(i) = y(ti). Para la integral doble vale: 48 (((((

=(((((((((

=(((((((((

) k ( y::) 1 ( yydt::ydtdt yd::dt yd2kt01t0kt0 01t0 0J J (3.58) 3.5.2 Matriz de Simpson. Laestructuradelamatrizdeintegracinseobtienedelasiguienteforma.Sedivideel transcursodelassealesdeentradaysalidaensegmentosigualesdetiempot=ti+1-ti (i=0,1,2,........k).AlaplicarlallamadaRegladeSimpsonseobtiene,porejemplo,parala seal de salida y: ( )( )( ) ) k ( y 4 .... ) 4 ( y 8 ) 3 ( y 16 ) 2 ( y 8 ) 1 ( y 16 ) 0 ( y 412tydt) 2 ( y 4 ) 1 ( y 16 ) 0 ( y 412tydt) 2 ( y ) 1 ( y 8 ) 0 ( y 512tydtt k0t 20t0+ + + + + ++ + (3.59) Sobre la base de estas relaciones y sabiendo que y(0) = 0, es posible establecer la matriz de integracin J segn:

(((((((

= 1 8 9 16 8 164 16 8 161 8 9 164 161 812ty y y y yk 4 3 2 1J(3.60) LaelaboracindelasfilasdelamatrizdeSimpsondemandauntratamientodiferenciado paraelcasodelasfilaspareseimpares.DadoqueelmtododeSimpsonasumequeel intervalo de integracin sea subdivido en un nmero par k de sub-intervalos de integracin, en el caso de que se disponga de un nmero impar k-1 de sub-intervalos, se necesita hacer 49uso de una frmula de integracin auxiliar que, combinada con la de Simpson, proporcione un resultado cuya precisin est en correspondencia con la precisin dada por las frmulas estndar de integracin de Simpson. De acuerdo con lo expresado, para la obtencin de las filas pares de la matriz de Simpson se emplea la siguiente frmula: ( ) ( ) | | ) ( y h180t ty 4 y y y 8 y y y 16 y 412hdt ) t ( yiv4 0 kk 2 k 4 2 1 k 3 1 0kt0t + + + + + + + = L L | |k 0t , t (3.61) donde y(t):expresingenrica,queadmitehastacuartaderivada,paralas ordenadas de entrada y salida del proceso que se identifica t0 y tk: instantesdetiempoinicialyfinaldelregistrodelasordenadasdelas entrada y salida del proceso que se identifica. h =t= ti+1 ti:magnitud del paso de integracin.yi: ordenadasdelasealdeentradaysalidadelprocesoen experimentacin. ) ( yiv :cuarta derivada de la expresin genrica y(t) evaluada en algn punto del intervalo de integracin [t0, tk]. : ) ( y h180t tiv4 0 k:trmino de error de la frmula de Simpson. ParaloselementosdelasfilasimparesdelamatrizdeSimpsonseutilizalafrmula auxiliar: | | ) ( y24hy y 8 y 512hdt ) t ( y' ' '42 k 1 k kkthkt + = (3.62) donde: ) ( y24h' ' '4 : trmino de error de la frmula auxiliar. Esta frmula resulta de integrar al polinomio de interpolacin inverso de Newton de tercer 50orden en correspondencia con lo estipulado para obtener la frmula de integracin cannica de Simpson que es bsica para obtener la ecuacin (3.42). El clculo de la integral para el caso de las filas impares se efecta segn la expresin: = =kthktkt0thkt0tdt ) t ( y dt ) t ( y dt ) t ( y (3.63) Sustituyendo (3.61) y (3.62) en (3.63), se obtiene: ( ) ( ) | |k 2 k 4 k 4 2 1 k 3 k 3 1 0hkt0ty y 9 y .. y y 8 y 8 y .. y y 16 y 412hdt ) t ( y + + + + + + + + + + = (3.64) Para obtener la primera fila de la matriz de Simpson se parte de las siguientes expresiones: | |2 1 02t0ty 4 y 16 y 412hdt ) t ( y + + = (Frmula cannica de Simpson) (3.65) | |2 1 02th2ty 5 y 8 y12hdt ) t ( y + + = (Frmula auxiliar)(3.66) de cuya resta se obtiene: | |2 1 0h2t0ty y 8 y 512hdt ) t ( y + = (3.67) Las ecuaciones (3.61), (3.64)y (3.67) permiten formar los elementos para las filas pares e impares de la matriz de Simpson requerida por el mtodo de integracin gradual. 51 Figura 3.12. Algoritmo de clculo. En el caso de trabajar con un modelo de la forma: u b y a y0 0'= + (3.68) el sistema de ecuaciones quedara de la forma siguiente: (((((

=((

((((((((

) t ( y::) t ( ybaudt ydtudt ydtk100t0t0t0t0k k1 1M M (3.69) Para el caso en que se desee trabajar con un modelo de 2do. orden de la forma: 52'1 0 0'1' 'u b u b y a y a y + = + +(3.70) El sistema sera:

(((((

=(((((

((((((((

) t ( y::) t ( ybbaaudt udtd ydtd ydtudt udtd ydtd ydtk11001t0t0 0t0 0t0t0t0 0t0 0t0k k k k1 1 1 1M M M M(3.71) El programa desarrollado (Anexo # 6), una vez resuelto el sistema de ecuaciones, segn sea elcaso,yteniendocomoresultadolosvaloresdeloscoeficientes,visualizaenlapantalla losgrficos correspondientes a la salidamediday a la salida calculadaa partirde la seal de excitacin aplicada en la entrada al modelo obtenido. Se visualiza la desviacin estndar delerrorentrelosvaloresdelasealdesalidamedidaylaobtenidaatravsdela identificacin.Elusuariotienelaposibilidaddeajustarelmodelocambiandolos coeficientescalculadosconelobjetivodequelarespuestadelmodelosealomscercana posible a la salida medida. Conjuntamente con el programa al que se hizo referencia, se cre la funcin INTGR con el objetivodeaadirlaalToolboxdeIdentificacindesistemasdinmicosqueofreceel MATLAB.Estafuncinescompatibleconelpaquetedefuncionesyaexistentes, entregandolosresultadosenlaestructuraestndarconocidacomomatrizTHETA.Esta matrizcontieneinformacinacercadelaestructuradelmodelo,parmetrosestimados, precisindelaestimacin,ascomolamatrizdelacovarianzadelosparmetros calculados. Ejemplos de uso del programa. A continuacin se tratan algunos ejemplos con el objetivo de comprobar la eficacia de este mtodo.53 Figura 3.13. Seal de excitacin. La seal de excitacin en todos los casos analizados fue la siguiente: >