Pgina 111

En todos los modelos para las distintas longitudes de fisura se solicitaron 30

integrales de contorno para evaluar el KI. En la figura 6.3-11 se muestran los

resultados correspondientes a los primeros 10 contornos para la longitud de fisura

a=11.5 mm, se observa que a partir del contorno N 7 se alcanza la convergencia,

es por esta razn que para todos los modelos realizados se utilizaron los valores de

KI a partir del sptimo contorno.

Finalmente se obtuvieron los valores de KI para las distintas las longitudes de fisura

y se compararon con los resultados entregados por el mtodo de la funcin de peso

y los entregados por el mtodo CCM, por medio de la funcin de influencia. El

resultado final del KI es mostrado en la figura 6.3-12.

FIGURA 6.3-10: CAMPO DE TENSIONES EN DIRECCIN X PARA UNA FISURA DE 2MM

Pgina 112

FIGURA 6.3-11: CONVERGENCIA DE LA INTEGRAL DE CONTORNO

FIGURA 6.3-12: KI OBTENIDO SEGN DISTINTOS MTODOS

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6.3.4.2 Evaluacin de Tensiones Residuales

De acuerdo al captulo 3, una vez obtenido el vector K, que en este caso se obtuvo

mediante las deformaciones que arroj el modelo, se resuelve el sistema lineal de la

ecuacin 3.4-13 para obtener el vector de tensiones residuales. Cabe destacar

que la matriz M es exactamente la misma que se utiliz en el captulo 5 ya que la

geometra del modelo es la misma que se utiliz en la fase experimental.

En la figura 6.3-13 se muestra el perfil de tensiones recuperado por la aplicacin

del CCM y se lo compara con el perfil de tensiones que exista en el modelo antes de

empezar a simular la propagacin del corte. Se puede observar que la recuperacin

es muy buena, un anlisis profundo se realizar en la siguiente seccin.

FIGURA 6.3-13: TENSIONES RECUPERADAS POR EL CCM EN COMPARACIN CON LAS EXISTENTES EN EL MODELO

Pgina 114

6.3.4.3 Verificacin de la tensin superficial: Medicin del Front-Gauge

Se verific la tensin del elemento en el extremo superior izquierdo del modelo, es

decir el elemento que corresponde a la ubicacin del front-gauge, siguiendo el

mismo procedimiento que se realiz en el captulo 5 seccin 5.5.

Los resultados son expuestos en el cuadro 6.3-3, tambin se muestra como varia la

deformacin del elemento que corresponde a la ubicacin del front-gauge a lo largo

de la simulacin, figura 6.3-14.

[] 475.757

Tensin recuperada (E *) [Pa] 99908970

Tensin Residual del Modelo [Pa] 99989300

CUADRO 6.3-3: MEDICIN DEL FRONT-GAUGE Y TENSIN SUPERFICIAL RECUPERADA

FIGURA 6.3-14: DEFORMACIN EN EL FRONT-GAUGE EN ABAQUS

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6.3.4.4 Redistribucin de Tensiones Residuales

Al igual que se realiz en el captulo 5, seccin 5.6.1, se hizo el clculo de

redistribucin de tensiones mediante CCM para una longitud de muesca en

particular, a fin de poder comparar el perfil de tensiones recuperado con el del

modelo, tambin se extrajo el perfil de tensiones en ABAQUS correspondiente al

STEP donde la muesca se extendi la longitud correspondiente.

Este anlisis se hizo para tres longitudes de muesca distintas, a=1,2,3 mm , y se

muestran en las figuras 6.3-15, 6.3-16, 6.3-17.

FIGURA 6.3-15: REDISTRIBUCIN DE TENSIONES RECUPERADAS POR EL CCM EN COMPARACIN CON LAS EXISTENTES EN EL MODELO. a=1mm

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FIGURA 6.3-16: REDISTRIBUCIN DE TENSIONES RECUPERADAS POR EL CCM EN COMPARACIN CON LAS EXISTENTES EN EL MODELO. a=2mm

FIGURA 6.3-17: REDISTRIBUCIN DE TENSIONES RECUPERADAS POR EL CCM EN COMPARACIN CON LAS EXISTENTES EN EL MODELO. a=3mm

Pgina 117

6.3.5 Conclusiones

El perfil de tensiones, figura 6.3-12, fue muy bien recuperado hasta muy avanzada

la propagacin del corte, aun as es muy importante tener en cuenta la comparacin

del factor intensidad de tensiones KI obtenido por el CCM con el KI obtenido por

medio del mtodo de la funcin de peso, que son diferentes. Esta fue la razn por la

que se obtuvo un tercer factor intensidad de tensiones KI por mtodos energticos,

que puso en evidencia que el mtodo de la funcin de peso es confiable hasta la

mitad de la geometra.

En este caso se observ que el mtodo CCM, por medio de la funcin de influencia

recupera muy bien el KI, esta es la razn por la cual las tensiones son

excelentemente recuperadas, inclusive sobre el final del perfil que muestra la leve

traccin que proviene del perfil original.

Por otro lado la tensin superficial se recuper excelentemente con los datos

arrojados por el front-gauge, y las redistribuciones tambin fueron correctas.

Dado estos resultados se puede concluir que el mtodo CCM es una herramienta

muy poderosa a la hora de calcular tensiones residuales, y tiene excelentes

resultados hasta el orden del 55% de la longitud del material a medir para el caso de

probetas rectangulares, luego la solucin se deteriora pero no deja de ser una

buena aproximacin.

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6.4 Generalizacin del CCM para diferentes geometras

6.4.1 Introduccin

Para poder aplicar el CCM a diferentes geometras siguiendo el procedimiento

aplicado en el captulo 4 y 5, slo es necesario obtener las funciones de peso e

influencia de la geometra que se quiere ensayar.

Para poder obtener las funciones de peso e influencia es necesario conocer de

antemano el factor intensidad de tensiones y el campo de desplazamientos para la

geometra en cuestin. Como se mostr en la seccin anterior, es posible calcular el

KI por medio del mtodo de los elementos finitos, esta ser la principal herramienta

a utilizar para la determinacin de estas funciones.

El objetivo de esta seccin es asentar las bases para el clculo de las mencionadas

funciones en geometras arbitrarias mediante la creacin de modelos de elementos

finitos, para luego poder aplicar el CCM.

6.4.2 Determinacin de la funcin de peso

La relacin de Rice [6], ecuacin 6.4-1, permite determinar la funcin de peso a

partir del COD, por las siglas en ingls de Crack Opening Displacement, bajo

cualquier tipo de carga arbitraria y su correspondiente factor intensidad de

tensiones de acuerdo con:

De acuerdo con la notacin adoptada por Theo Fett [7]

, es el COD.

, es el factor intensidad de tensiones para una fisura de tamao .

, mdulo de Young generalizado.

Donde se entiende por el subndice r, al estado de referencia.

Una posibilidad para obtener la funcin de peso a partir de la ecuacin (6.4-1), es

la determinacin de numrica por el Mtodo de Elementos Finitos de los perfiles de

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COD para distintos tamaos de fisura , es decir el campo de desplazamientos

sobre la lnea de fisura. De este modo es posible recuperar una superficie

derivable con respecto al tamao de fisura . Tambin como se mencion, por el

Mtodo de Elementos Finitos es posible recuperar el .

De este modo una vez determinado el tipo de estado tensional, si se lo considera

plano en tensin o plano en deformacin, ya se cuenta con todos los elementos

necesarios para obtener la funcin de peso.

6.4.3 Determinacin de la funcin de influencia

Es posible el clculo de la funcin de influencia a partir de la formulacin del CCM.

De acuerdo a la ecuacin 3.4-9 de la seccin 3.4.1 sobre el factor intensidad de

tensiones:

|

Se puede encontrar una expresin de la funcin de influencia como funcin del

factor intensidad de tensiones, el mdulo de Young generalizado y la deformacin

en el back-gauge:

|

Como ya se ha visto a lo largo de este captulo, es posible obtener el factor

intensidad de tensiones para distintas longitudes de fisura as como la deformacin

en el back-gauge como funcin de la longitud de la fisura por el Mtodo de

Elementos Finitos.

Por las razones antes mencionadas, al igual que en el clculo de la funcin de peso

ya analizada, queda slo determinar el tipo de estado tensional con el que se

trabaja, es decir plano en tensin o deformacin, para poseer de todos los

elementos necesarios de acuerdo con la ecuacin 6.4-2 para determinar la funcin

de influencia.

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6.5 Referencias

[1] J.A Goldak, M. Akhlaghi. Computational Welding Mechanics. Springer, New York.

2005.

[2] Douglas Bezerra de Arajo, Paulo Roberto de Freitas Teixera, Luis Antnio

Bragana da Cunda. Applicability of the gaussian distribution heat source model to

the thermal simulation of welding processes. 22nd International Congress of

Mechanical Engineering (COBEM 2013)

[3] Dean Deng, Hidekazu Murakawa. Prediction of welding distorsion and residual

stress in a thin plate butt-welded joint. Computacional Material Science 43 (2008)

353-365.

[4] Ruokolainen, J., Rback, P., Zenker, M.(2002). Model 1: Heat Equation. En

Rback, P., Malinen, M., Ruokolainen, J., Pursula, A., Zwinger, T. Elmer Models

Manual (2014).

[5] Guangming Fu, Marcelo I. Lourenco, Menglan Duan, Segen F. Estefen. Effect of

boundary conditions on residual stress and distortion inT-joint welds. Journal of

Construtional Steel Research. ELSEVIER. July 2014.

[6] Rice, J. R., Some remarks on elastic crack-tip stress fields, Int. J. Solids and

Structures 8 (1972), 751-758.

[7] Fett, T. Stress Intensity Factors - T-Stresses Weight Functions (2008).

Pgina 121

7. Conclusiones

7.1 Conclusiones

Se realiz una extensa revisin bibliogrfica de donde se obtuvieron los conceptos

necesarios para entender a las tensiones residuales. Se acentuaron las bases sobre

la mecnica de la fractura lineal elstica, tambin se explic el proceso de soldadura

y su influencia en la creacin de tensiones residuales. Adems se trataron diferentes

mtodos para la medicin de tensiones residuales y se analizaron sus capacidades.

De los mtodos analizados, se decidi hacer un anlisis profundo sobre el mtodo

de la respuesta de grieta, Crack Compliance Method, realizando su desarrollo

terico y posteriormente su implementacin en el Laboratorio de Mecnica

Experimental (LABMEX) del INTEMA (Instituto de Investigaciones en Ciencia y

Tecnologa de Materiales, UNDMP-CONICET).

Se document el proceso de implementacin del CCM desde su fase experimental

en el taller, hasta la fase de clculo numrico por computadora. El registro de la

recuperacin de tensiones residuales por CCM le fue practicado a probetas del tipo

SEN previamente soldadas.

Se desarrollaron modelos de elementos finitos para poner a prueba la efectividad

del CCM recuperando un perfil de tensiones residuales conocido, obteniendo

resultados altamente satisfactorios para el caso de estudio de esta tesis, figura 6.3-

13.

Se desarrollaron modelos de elementos finitos para obtener el factor intensidad de

tensiones calculado por medio de integrales de contorno, lo que abre la brecha para

calcular funciones de peso y de influencia para diferentes geometras a la utilizada

en esta tesis.

Pgina 122

Sumando toda la informacin recopilada y la experiencia acumulada a lo largo de la

tesis, se puede decir que el CCM es un mtodo de simple implementacin que

permite obtener perfiles de distribucin y redistribucin de tensiones residuales con

buena exactitud y que adems no es costoso en comparacin con otros mtodos.

7.2 Trabajo futuro

A fines de mejorar la implementacin del CCM tanto en efectividad como en

versatilidad ser necesario trabajar sobre los siguientes aspectos:

-Avanzar sobre el desarrollo de funciones de peso y funciones de influencia para

distintas geometras, a partir del clculo de los factores de intensidad de tensiones

por medios energticos mediante software de clculo por elementos finitos.

-Mejorar el mtodo de obtencin de la derivada de la deformacin a partir de los

datos experimentales, para evitar propagacin de errores numricos no deseados en

los resultados del factor de intensidad de tensiones.

-Avanzar sobre la automatizacin completa del mtodo creando un software de

FIGURA 6.3-13: TENSIONES RECUPERADAS POR EL CCM EN COMPARACIN CON LAS EXISTENTES EN EL MODELO

Pgina 123

clculo y postprocesamiento de datos, que tenga como entrada el tipo de probeta,

el material y los datos de deformacin experimentales, realice la implementacin del

CCM, y entregue los resultados de tensiones residuales y factor intensidad de

tensiones.

-Realizar el anlisis de la influencia de la propagacin de la fisura por fatiga y no

por medio del mecanizado, eliminando este ltimo habra una fuente menos de

error y mejorara la calidad de la solucin.

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8. Bibliografa

ABAQUS/CAE Users Manual V6.12

Chapetti, M. D. (2005). Mecnica de materiales: Teoras e elasticidad, plasticidad y

mecnica de fractura

Elmer Models Manual. Peter Rback, Mika Malinen, Juha Ruokolainen, Antti Pursula,

Thomas Zwinger, Eds. CSC IT Center for Science.

ElmerGrid Manual. Peter Rback. CSC IT Center for Science.

ElmerSolver Manual. Juha Ruokolainen, Mika Malinen, Peter Rback, Thomas

Zwinger, Antti Pursula and Mikko Byckling. CSC IT Center for Science.

Hiroshi Tada - Paul C. Paris - George R. Irwin. The Stress Analysis of Cracks

Handbook, Third Edition.

Incropera, F. P., & De Witt, D. P. (1999). Fundamentos de transferencia de calor.

Ion Vasilief, Roger Gadiou, and Knut Franke. The SciDAVis Handbook.

John W. Eaton, David Bateman and Sren Hauberg. GNU Octave - Free Yours

Numbers.

Mase, G. E. (1977). Mecnica del medio continuo

MATC Manual. Juha Ruokolainen. CSC IT Center for Science.

Paraview User's Guide (V.3.10)

Theo Fett. Stress Intensity Factor T-Stresses Weitght Functios. Institute of Ceramics

in Mechanical Engineering (IKM), University of Karlsruhe (TH).

Weile Cheng - Iain Finnie. Residual Stress Measurement and the Slitting Method.

Pgina 125

Anexo

Anexo 5-1

Rutina en OCTAVE para clculo de la matriz M, necesita para su funcionamiento

las funciones h.m y lgwt.m, que se detallan a continuacin.

% Esta rutina realiza el calculo de la matriz M % % Inputs: a, h.m, lgwt.m % % Output: M %

a = [0:0.0001:0.02];

M = zeros(length(a)-1);

for i=1:(length(a)-1) for j=2:(i+1) if (i==j) [x,weight]=lgwt(40,a(j-1),a(j)); for z=1:40 yy(z,1)=h(x(z),a(i+1)); end M(i,j-1) = sum(yy.*weight); else [x,weight] = lgwt(4,a(j-1),a(j)); for z=1:4 y(z,1) = h(x(z),a(i+1)); end M(i,j-1)=sum(y.*weight); end end end

save M M

% h.m Weight function Miyaura (2011)

%

function h=h(x,a)

w=0.02; % width

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d0=[8.7822 0 0 0 17.1844 0 0.6147]; d1=[70.044 0 0 0 3.2889 0 0.2502];

h = sqrt(2/(pi*a))*(1/sqrt(1-x/a) + polyval(d0,a/w)*sqrt(1-x/a) +

polyval(d1,a/w)*(1-x/a)^1.5);

% lgwt.m

function [x,w]=lgwt(N,a,b)

% % This script is for computing definite integrals using Legendre-Gauss % Quadrature. Computes the Legendre-Gauss nodes and weights on an interval % [a,b] with truncation order N % % Suppose you have a continuous function f(x) which is defined on [a,b] % which you can evaluate at any x in [a,b]. Simply evaluate it at all of % the values contained in the x vector to obtain a vector f. Then compute % the definite integral using sum(f.*w); % % Written by Greg von Winckel - 02/25/2004 N=N-1; N1=N+1; N2=N+2;

xu=linspace(-1,1,N1)';

% Initial guess y=cos((2*(0:N)'+1)*pi/(2*N+2))+(0.27/N1)*sin(pi*xu*N/N2);

% Legendre-Gauss Vandermonde Matrix L=zeros(N1,N2);

% Derivative of LGVM Lp=zeros(N1,N2);

% Compute the zeros of the N+1 Legendre Polynomial % using the recursion relation and the Newton-Raphson method

y0=2;

% Iterate until new points are uniformly within epsilon of old points while max(abs(y-y0))>eps

L(:,1)=1; Lp(:,1)=0;

L(:,2)=y; Lp(:,2)=1;

for k=2:N1 L(:,k+1)=( (2*k-1)*y.*L(:,k)-(k-1)*L(:,k-1) )/k;

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end

Lp=(N2)*( L(:,N1)-y.*L(:,N2) )./(1-y.^2);

y0=y; y=y0-L(:,N2)./Lp;

end

% Linear map from[-1,1] to [a,b] x=(a*(1-y)+b*(1+y))/2;

% Compute the weights w=(b-a)./((1-y.^2).*Lp.^2)*(N2/N1)^2;

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Anexo 6-1

Subrutina SIGINI.for

SUBROUTINE SIGINI(SIGMA,COORDS,NTENS,NCRDS,NOEL,NPT, + LAYER,KSPT,LREBAR,REBARN) C************************************************************ C C TENER EN CUENTA QUE LA SUBRUTINA SE HACE UNA VEZ POR CADA ELEMENTO C INPUT--------------------------------------------------------- C COORDS - VECTOR DE COORDENADAS DE LOS PUNTOS DE GAUSS C NOEL - NUMERO DE ELEMENTO C NCRDS CANTIDAD DE COORDENADAS para 2D es NCRDS=2 C NTENS numero de tensiones definidas, para 2D es 3 (S11,S22,S12) C NPT - nmero de punto de integracin C OUTPUT ------------------------------------------------------- C SIGMA - VECTOR QUE REPRESENTA AL TENSOR DE TENSIONES C************************************************************ INCLUDE 'ABA_PARAM.INC' C DIMENSION SIGMA(NTENS),COORDS(NCRDS) C Sigma(1) es S11, Sigma(2) es S22, y Sigma(3) es S12 CHARACTER*8 REBARN C A= ANCHO, P= coordenada Y del pico C la siguiente distribucion arranca en Y= P - 2*ancho de la campana A=0.02/8. P=0. x=-coords(2) SIGMA(1)=100.*10.**6.*exp(-0.5*(((x-P)/A)**2.))*(1.-((x-P)/A)**2.) SIGMA(2)=0. SIGMA(3)=0. RETURN END

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Anexo 6-2

Instructivo de implementacin de subrutina SIGINI.for en ABAQUS (entorno grfico).

Para poder realizar la implementacin de subrutinas definidas por el usuario en

ABAQUS es necesario tener instalado un compilador de fortran que funcione bajo el

entorno Microsoft Visual Studio que debe estar linkeado con ABAQUS.

En este caso se utiliz:

-Microsoft Visual Studio 2010 x64

-Intel Fortran compiler (incluido Intel Parallel Studio XE 2015)

-ABAQUS 6.13-4

Una vez finalizado el modelo, para indicar la existencia de tensiones residuales, es

necesario agregar la lnea resaltada mostrada en la ilustracin A62-1 en el keyword

file (model -> edit keywords) antes del primer step del modelo.

De esta manera el modelo utiliza el perfil de tensiones definido por el usuario.

Solo resta indicar la ubicacin de la subrutina SIGINI.for que se va a utilizar, para

ello se debe editar el Job del modelo, ir a la pesta General, y rellenar el campo

User subroutine file con la ruta donde tenemos nuestro archivo sigini.for.

FIGURA A62-1: MODIFICACION DE KEYWORD FILE