IndiceIndice

Aplicaciones de los Sistemas Lineales

Método de eliminación de Gauss

Limitaciones de los Métodos Directos

AplicacionesAplicaciones

Una red eléctrica Leyes de Kirchhoff y Ohm Formulación algebraica

Una red de calles Grafo dirigido Matriz de incidencia Formulación algebraica Expresión matricial

La ecuación del calor

Una red eléctrica Una red eléctrica

R1

R3

R4

R1

R2

R4

R1

R2

R4

R1

R2

R4

V I4I3I2I1

a b

cd

Leyes de Kirchhoff y Ohm

Ley de los nudos Ibc = I1 I2

Ley de las mallas Vab + Vbc + Vcd = V

Ley de Ohm Vbc = R2 ( I1 I2 )

Formulación algebraicaMalla 1R1 I1 + R2 ( I1 I2 ) + R4 I1 = V

Sistema de ecuaciones

( R1 + R2 + R4 ) I1 R2 I2 = V

R2 I1 + ( R1 + 2R2 + R4 ) I2 R2 I3 = 0

R2 I2 + ( R1 + 2R2 + R4 ) I3 R2 I4 = 0

R2 I3 + ( R1 + R2 + R3 + R4 ) I4 = 0

Una red de callesUna red de calles

Grafo dirigidoGrafo dirigido

300 200 100

350 600 400

400

450

600

500x1 x2

x3 x4

x6 x7

x5

A

D

B

E

C

F

Formulación algebraicaFormulación algebraica

x x

x x x

x x

x x

x x x

x x

1 3

1 2 4

2 5

3 6

4 6 7

5 7

800

200

500

750

600

50

Sistema de ecuaciones lineales Forma matricial

1 0 1 0 0 0 0

1 1 0 1 0 0 0

0 1 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1 0

0 0 0 1 0 1 1

0 0 0 0 1 0 1

800

200

500

750

600

50

1

2

3

4

5

6

7

x

x

x

x

x

x

x

Matriz de incidenciaMatriz de incidencia

C a l l e

1 2 3 4 5 6 7

C A 1 0 1 0 0 0 0

r B -1 1 0 -1 0 0 0

u C 0 -1 0 0 1 0 0

c D 0 0 -1 0 0 -1 0

e E 0 0 0 1 0 1 -1

F 0 0 0 0 -1 0 1

Ecuación del CalorEcuación del Calor

Modelo matemático

Matriz asociada

)/2T(TT

)/2T(TT

)/2T(TT

)/2T(TT

1+n1-nn

423

312

201

21-

1-

21-

1-21-

1-2

T0 T1 T2 . . . Tn Tn+1

Resolución de Sistemas Lineales por Métodos

directos

Resolución de Sistemas Lineales por Métodos

directos

Teorema de Rouché-Frobenius Operaciones elementales Triangularización Sustitución regresiva Factorización LU

Resolución de múltiples sistemas con la misma matriz

Inversa por el método de Jordan-Gauss

Teorema de Rouché-Frobenius

Teorema de Rouché-Frobenius

El sistema Amnx = b es compatible si y sólo si

rank(A) = rank(A|b)

Un sistema compatible es determinado siirank(A) = n

Un sistema compatible indeterminado tiene

n - rank(A) variables libres

Solución xc = xp + null(A)

Operaciones elementalesOperaciones elementales

Eliminar fila i tomando la fila k como pivote lik = aik / akk , aij = aij lik * akj

A(i,:) = A(i,:) - L(i,k)*A(k,:);

Escalar fila i dividiéndola por el pivote aii

aij = aij / aii

A(i,:) = A(i,:)/A(i,i);

Permutar las filas i y j aij aji A([i,j],:) = A([j,i],:);

Fases de la eliminaciónFases de la eliminaciónEliminación gaussiana

Ax=b

TriangularizaciónArchivo triangul.m

Ux=c

Sustitución regresivaArchivo regresiv.m

x=A-1b

Factorización LUFactorización LU

Sistema original

Ax = b LUx = b

Sistemas triangulares

Ly = bUx = y

>> [L,U] = lu(a) >> [L,U,P] = lu(a) Resolución de múltiples sistemas con la misma matriz. Inversa por el método de Jordan-Gauss

Limitaciones de los Métodos Directos

Acumulación del error de redondeoCoste de la eliminación: O(n3)

Sensibilidad al error de redondeoSistemas mal o bien condicionadosNúmero de condición

Estrategia de Pivotación Parcial Llenado de la matriz.

Matrices dispersas

Sensibilidad al error de redondeo

Sensibilidad al error de redondeo

Sistema mal condicionado : un pequeño cambio la matriz causa un gran

cambio en la solución.

Sistema bien condicionado : pequeños cambios en la matriz causan

pequeños cambios en la solución.

Condicionamiento de una matriz

Número de condición de una matriz

Número de condición de una matriz

cond mide el mal condicionamiento cond(eye(n))=1 cond(matsingular) = inf

rcond mide el buen condicionamiento rcond(eye(n))=1rcond(matsingular) = 0

malcon1\ti1, malcon2\ti1

rcond y det

Pivotación parcialPivotación parcial

Un algoritmo deficiente puede arruinar un sistema bien condicionadoMatriz dosb

Estrategia: Elegir como pivote el elemento de mayor valor absoluto del resto de la columnaArchivo pivparc.mArchivo resolver.m

El operador \ para resolver Ax = b

ConclusiónConclusión

Los métodos directos son apropiados para matrices generales de tamaño moderado

Es preciso aplicar una estrategia de pivotación para evitar que el error de redondeo crezca.

Algunos sistemas son muy sensibles a estos errores: mal condicionados.

Los sistemas dispersos o estructurados merecen un tratamiento especial.