método simplex

UNEFM – EDUCACIÓNUNEFM – EDUCACIÓNInvestigación de Operaciones Investigación de Operaciones

Por: Profs. Katiusca Peña y Willians Díaz Por: Profs. Katiusca Peña y Willians Díaz © 2003© [email protected]@yahoo.com y y [email protected]@yahoo.com

CONTENIDO:

•El Método Simplex•Forma Estándar del Modelo PL•Variantes del Método Simplex•Método Simplex Primal

OBJETIVO TERMINAL:OBJETIVO TERMINAL:

Resolver, a través del Método Simplex, problemas de Resolver, a través del Método Simplex, problemas de

optimización restringida considerando la importancia optimización restringida considerando la importancia

de éste para la toma de decisiones y el manejo de de éste para la toma de decisiones y el manejo de

recursos en el ámbito educativo.recursos en el ámbito educativo.

mailto:[email protected]





MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEX

que permite ir mejorando la solución a cada paso del

procedimiento comenzando con una solución básica

(punto extremo) y modificando ésta a lo largo del proceso,

a través de la inclusión y exclusión de una variable;

siempre aumentando la utilidad (o reduciendo el costo)

hasta encontrar una solución óptima.

Definición

Fue desarrollado por George Dantzing en

1947

Es un método algebraico iterativométodo algebraico iterativo






Características

Es aplicable a problemas de PL multidimensionales.

Tiene como base el álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss – Jordan.

Es un proceso de búsqueda que se vuelve sorprendentemente eficiente para solucionar problemas muy grandes.

CARACTERÍSTICAS


Hoy en día puede aplicarse con eficiencia dad la diversidad de paquetes de software

que facilitan el proceso de cálculo.






Variantes

A.MÉTODO SIMPLEX PRIMAL:

VARIANTES:


Parte de una Solución Básica FACTIBLE (Punto extremo del polígono de soluciones) y se continúa iterando a través de soluciones básicas factibles sucesivas hasta alcanzar el óptimo valor.

A.MÉTODO SIMPLEX DUAL:

Trata con soluciones básicas INFACTIBLES hasta la última iteración, donde la solución básica asociada debe ser factible.

Una solución es FACTIBLE si todos

los valores de su solución son NO

NEGATIVOS

Cualquiera sea el Método Simplex utilizado, finalmente se obtendrán soluciones básicas factibles como lo estipula la

condición de No Negatividad






Forma Estándar

• Todas las restricciones son ecuaciones (Con los segundos miembros o vector bi no negativos para el Método Primal).


FORMA ESTÁNDAR DEL MODELO PL

CARACTERÍSTICAS

0≥ Xj

bi=aijXj+ … +ai2X2+ai1X1+:::::

=

=

+ … +

+ … +

+ … +

b2a2jXja22X2+a21X1+

b1a1jXja12X2+a11X1+Sujeto a las sig. restricciones:

DisponibilidadCjXj C2X2 C1X1+Optimizar F.O X0 =

Todas las variables son positivas (Xj ≥ 0)

• La función objetivo puede ser Minimizar o Maximizar.






Fases


FASES FASES

Para explicar el procedimiento del Método Simplex Primal se utilizará el siguiente ejemplo como referencia

F.O Max X0 = 3X1 + 5X2 + 4X3

X1 + + 10X3 ≤ 4

3X1 + 2X2 + 4X3 ≤ 18

(X1, X2 , X3) ≥ 0

S. A:






Fases

MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEXFASES FASES

1) ESTANDARIZAR EL MODELO

A) Conversión de las Desigualdades en Igualdades:A) Conversión de las Desigualdades en Igualdades: Esto se hace agregando al modelo Variables Ficticias, que representan la capacidad no utilizada de algún recurso.

a ≤ b

a ≥ b

HOLGURA: a + H = b

EXCESO: a - E = b

Tipo de Restricción:Tipo de Restricción: Tipo de Variable agregada:Tipo de Variable agregada:






Fases

MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEXFASES FASES (cont.)(cont.)

1) ESTANDARIZAR EL MODELO

A) Conversión de las Desigualdades en Igualdades:A) Conversión de las Desigualdades en Igualdades: En el ejemplo dado el modelo quedaría así:

F.O: Max X0 = 3X1 + 5X2 + 4X3 + 0H1 + 0H2

X1 + 0X2 + 10X3 + H1 + 0H2 = 4

3X1 + 2X2 + 4X3 + 0H1 + H2 = 18

(X1, X2 , X3) ≥ 0

S. A:

Observe que en la función objetivo los coeficientes de estas variables son iguales a cero, puesto que no generan aporte al modelo






Fases


1) IGUALAR LA FUNCIÓN OBJETIVO A CERO

Al hacer esto se estarían “pasando” las variables al lado izquierdo de la igualdad, o sea:

Además de igualar la F.O X0 = 0, es recomendable transformar dicha función en el modelo estandarizado, cuando es MIN. a MAX, o sea

Z= MIN (X0) Ξ MAX (- X0 )

F.O: Max X0 - 3X1 - 5X2 - 4X3 + 0H1 + 0H2 = 0

F.O: Max X0 = 3X1 + 5X2 + 4X3 + 0H1 + 0H2

FASES FASES (cont.)(cont.)






Fases


1) DETERMINAR LA SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL

Al agregar las variables ficticias se observa que el número de Variables (m) es mayor que el número de Restricciones (n). Y esto hace que el sistema de ecuaciones sea indefinido (no tiene solución única) por lo que se debe conocer:

¿Cuántas variables sobran en el modelo ¿Cuántas variables sobran en el modelo para hacerlas Cero?para hacerlas Cero?

¿Cuántas soluciones básicas se pueden ¿Cuántas soluciones básicas se pueden obtener?obtener?

m – nm – n

m! m!

n! (m-n)!n! (m-n)!







Fases


1) DETERMINAR LA SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL

Posteriormente se identifican aquellas variables con coeficiente unitarioque aparecen una y solo una vez (Variables Básicas VB) en el conjunto de restricciones; éstas formarán parte de la Solución Básica Inicial (S.B.I); el resto de las variables son las que le sobran al modelo y que deben hacerse Cero para sustituirlas en el sistema de ecuaciones (restricciones) y encontrar así los valores de VB1 , VB2 , …,VBj. En el ejemplo se tiene que:

S.B.I:S.B.I: X0 = H1 = H2 =

X1 = X2 = X3 0

Estos valores se agregarán en la tabla para iniciar el Método Simplex.


Variables que sobran

Variables Básicas0 4 18






Fases


1) CONSTRUIR LA TABLA INICIAL SIMPLEX


X1 X2 X3 H1 H2Solución

L.DX0

BASE0

4

18

H1

H2

1

Variables Básicas

Coeficientes de la F.O.

Coeficientes en cada una de las

restricciones

Valores de la Solución

Básica

-3 -5 -4 0 0

1 0 10 1 00

0 3 2 4 0 1






Fases


1) ENCONTRAR LA VARIABLE QUE ENTRA EN LA BASE



L.DX0

BASE0

4

18

H1

H2

1 -3 -5 -4 0 0

1 0 10 1 00

0 3 2 4 0 1

Para escoger la variable que entra (Columna Pivote) se selecciona aquella que tenga el coeficiente negativo mayor (con el valor absoluto) en la FO.

Columna Pivote La Variable que entra es: X2






Fases


1) ENCONTRAR LA VARIABLE QUE SALE DE LA BASE



L.DX0

BASE0

4

18

H1

H2

1 -3 -5 -4 0 0

1 0 10 1 00

0 3 2 4 0 1

Para escoger la variable que sale (Fila Pivote) se divide cada término de la columna de la tabla (L.D) entre cada término positivo correspondiente de la Columna Pivote. El menor cociente indicará la fila donde se encuentra la variable que sale.

Fila PivoteFila Pivote La Variable que Sale es: H2

18 18 ..

22= 9

No

No






Fases


1) ENCONTRAR EL ELEMENTO PIVOTE



L.DX0

BASE0

4

18

H1

H2

1 -3 -5 -4 0 0

1 0 10 1 00

0 3 2 4 0 1

El pivote es aquel elemento de la tabla que se encuentra en la intersección de la Columna Pivote y Fila Pivote.

Elemento PivoteElemento Pivote






Fases


1) ENCONTRAR LOS COEFICIENTES DE LA NUEVA ECUACIÓN PIVOTE


La ECUACIÓN PIVOTE está formada por todos los coeficientes de la fila pivote. Al encontrar una nueva ecuación pivote realmente lo que se busca es convertir al elemento pivote en un valor unitario. Para esto es necesario aplicar la siguiente fórmula:

Cada Elemento de Fila Pivote ActualCada Elemento de Fila Pivote Actual

Elemento PivoteElemento PivoteNueva Ecuación Nueva Ecuación

PivotePivote==

Ec. Pivote Actual:2

3 2 4 0 1 182 2 2 2 2 2

3/2 1 2 0 1/2Nueva Ec. Pivote 9






Fases


1) ENCONTRAR LOS COEFICIENTES DE LAS DEMÁS ECUACIONES


Para obtener los coeficientes las nuevas ecuaciones se debe utilizar, para cada una la siguiente fórmula:

Cada Cada Elemento Elemento

de Fila de Fila ActualActual

Cada Cada coeficiente de coeficiente de

la Nva. Ec. la Nva. Ec. PivotePivote

Nueva Nueva EcuaciónEcuación ==

coeficiente coeficiente de la de la

columna columna pivotepivote

-- ** ++

5 * Nva. Ec. Pivote 15/2 5 10 0 5/2 45

Fila Actual (X0) -3 -5 -4 0 0 0

Nueva Fila (X0) 9/2 0 6 0 5/2 45

++






Fases


1) CONSTRUIR LA NUEVA TABLA


Determine el resto de las ecuaciones y luego complete una nueva tabla. Verifique posteriormente si los resultados son los siguientes:


L.DX0

BASE45

4

9

H1

X2

1 9/2 0 6 0 5/2

1 0 10 1 00

0 3/2 1 2 0 1/2

Nueva Nueva Variable en Variable en

la Basela Base

S.B:S.B: X0 = H1 = X2 =

X1 = H2 = X3 0

45 4 9






Fases


EJERCICIO PROPUESTOEJERCICIO PROPUESTO

F.O Max X0 = 2X1 - 5X2 + X3

3X1 + X2 + X3 ≤ 6

X1 -2X2 + 2X3 ≤ 1

X1 +2X2 - X3 ≤ 2

(X1, X2 , X3) ≥ 0

S. A:

Notas Importantes aquí






Fases


1) VERIFICAR SI LA TABLA OBTENIDA ES LA TABLA FINAL (ÓPTIMA)


Cuando los coeficientes de la F.O en la tabla nueva son todos positivos entonces, el Método Simple concluye, y los valores solución obtenidos son los que corresponden a la Solución Óptima

Sol. Óptima:Sol. Óptima: X0 = H1 = X2 =

X1 = H2 = X3 0

45 4 9* * *

* * *

Notas importantes aquí




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