metodo rigidez.pdf

Universidad de los AndesFacultad de Ingeniera y Ciencias AplicadasIOC 4310: Analisis EstructuralPrimer Semestre 2011 Prof: Jose Antonio Abell

Metodo de Rigidez Directa

1. Idealizacion Estructural

Para analizar una estructura cualquiera haremos las siguientes convencion:

X

Y

Sistema Global

Elem

ento

1Eleme

nto 2

Elemento 3

Eleme

nto 4

Elemento 5

Elem

ento

6

1

2

3

4

Nodos

P

La estructura puede ser subdividida en elementos y nodos.

Los nodos corresponden a el punto de conexion entre dos o mas elementos y tienentamano nulo.

Los elementos se consideraran esbeltos, es decir, una dimension predomina por sobrelas demas y se puede representar usando una lnea.

Un elemento tipo barra (axial o flexural) conecta dos y solo dos nodos que se denomi-naran i y j, inicial y final.

Las cargas puntuales solo ocurren en nodos.

Las cargas distribudas ocurren solo dentro de los elementos.

Solo los nodos pueden presentar restricciones cinematicas (apoyos).

Rotulas y otras condiciones similares pertenecen a los elementos y no a los nodos.

Hacia el final del captulo estudiaremos tecnicas de sub-estructuracion que permiten elanalisis simplificado de estructuras con patrones repetitivos de elementos y lleva a generarelementos de mas nodos compuestos por otros elementos barras. Queda para cursos masavanzados (por ejemplo Elementos Finitos) el estudio de elementos no-esbeltos como placas,muros, membranas, ladrillos. Estos elementos presentan siempre mas de dos nodos. La basepara el estudio de este tipo de elementos en el contexto del metodo de rigidez es, comoveremos, la misma.

4Atencion! Cantidades absurdas de operaciones matriciales mas adelante. Proceder concuidado!

1

2. Sistemas de Coordenadas

X

Y

Sistema Global

x 1

y 1x2

y2

x 6

y 6

SistemaLocal dela Barra 1



P

Distinguiremos dos sistemas de coordenadas, un sistema global de coordenadas y un sistemalocal de coordenadas. El sistema Global sera aquel donde se define la estructura en si, ademasde sus nodos y elementos. El sistema local es un sistema que es particular cada elemento quecompone la estructura y su orientacion es tal que es sencillo determinar las propiedadesmecanicas del elemento (caso de barras inclinadas).

ux

uy

v xv y

uv

ux

uy

v xv y

uv

Transformacin 2d

ux

uzu

v

ux

uy

vx

vz uv

v y

1

2

3

Transformacin 3D

Vectores (tales como fuerzas o desplazamientos) en el sistema local se pueden expresaren un sistema global si se usa un cambio de coordenadas. Por ejemplo, si se tiene un vector

de desplazamiento v =[vx vy

]Ten coordenadas locales (puede corresponder a los des-

plazamientos de un nodo de la estructura u otra cantidad fsica que sea representable por

un vector) y se quiere conocer en coordenadas locales u =[ux uy

]T, se debe aplicar el

cambio de coordenadas:u = Lv

Donde la matriz L se conoce como matriz de transformacion de coordenadas o matriz detransformacion cinematica que en el caso 2D corresponde a:

L =

[cos sin sin cos

]Si ahora queremos transformar vectores en 3D, tenemos que el vector de desplazamiento

v =[vx vy vz

]Ten coordenadas locales se quiere conocer en coordenadas locales u =

2

[ux uy uz

]T, se debe aplicar el mismo tipo de cambio de coordenadas ahora con la

matriz L definida por:L =

[e1 e2 e3

]Donde los vectores ei corresponden a los vectores unitarios del sistema local escritos encoordenadas globales.

2.1. Definicion de sistemas locales de coordenadas

Para definir de forma unica los ejes locales de elementos esbeltos en general usaremos lasiguiente convencion:

2.1.1. Caso 2D

El vector e1 apunta desde el nodo i al j.

El vector e2 es ortogonal a este.

Por ejemplo, si el nodo i tiene coordenadas (xi, yi) = (1, 2) y el nodo j (xj , yj) = (4, 7),el vector e1 se encuentra de:

e1 =1

(xj xi)2 + (yj yi)2

[xj xiyj yi

]=

1

(4 1)2 + (7 2)2

[4 17 2

][

0,51450,8575

]

Por lo que el vector e2 debe ser ortogonal1este:

e2 [0,85750,5145

]Notar que de acuerdo con esta definicion si es el angulo que el elemento forma con el eje xglobal, los vectores los podemos escribir:

e1 =

[cos sin

]e2 =

[ sin cos

]2.1.2. Caso 3D

Este caso tiene el inconveniente de que no existe una unica forma de definir un sistemade coordenadas locales. Adoptaremos la siguiente convencion2

El vector e1 apunta desde el nodo i al j. Se calcula igual al caso 2D.

El vector e2 depende de e1,

Si el vector e1 6= k,

e2 =e1 ke1 k

Si el vector e1 = k (elemento vertical como columnas)

e2 =e1 ie1 i

El vector e3 se define siempre ortogonal a e1 y e2,

e3 = e1 e21Recordar que en 2D si un vector tiene coordenadas

[x y

]Tsu ortogonal es simplemente

[y x

]T2Esta convecion es la adoptada por programas comerciales populares como SAP2000, ETABS, GTS-

TRUDL, etc. y programas abiertos como OpenSEES. Es la mas universalmente aceptada.

3

3. Vision General del Metodo de Rigidez Directa (MRD)

El concepto del metodo de rigidez directa3 es analogo al de ensamblar una figura de Lego.En principio las piezas que componen el juguete tienen formas sencillas, como un ladrillo.La composicion de varias de estas piezas dan forma a un objeto de complejidad mayor: unacasa, avion, etc. El paralelo es el mismo: usamos elementos mas sencillos cuya respuesta esconocida (por ejemplo un resorte) para ensamblar un objeto de mayor complejidad que, enprincipio, no posee una teora que lo describa de forma sencilla.

En este proceso recorremos los 3 pasos clasicos de la mecanica estructural: (i) Cinematicao compatibilidad geometrica, (ii) Accion-Deformacion o ley constitutiva y (iii) Equilibrio.En la metodologa que seguiremos aqu, este ultimo paso tomara la forma del Principio deTrabajos virtuales ya que este metodo nos dara la mayor libertad para expresar las relacionesque necesitamos.

Recorreremos el concepto utilizando un ejemplo para ilustrar, considere el siguiente mo-delo estructural de un reticulado:

X

Y Sistema Global

Elem

ento

1

Elemento 2

Elemento 3

Eleme

nto 4

Elemento 5El

emen

to 6

1

2 3

4

P 15

4L

3L

3.1. Accion-Deformacion

Este paso consiste en desarrollar ecuaciones de fuerza deformacion para cada elementodel tipo:

si = keivi

donde si son las fuerzas a las que esta sometido el elemento-i (fuerzas de extremo), vi

son las deformaciones de los extremos del elemento-i, y kei es una matriz que relacio-

na linealmente estos dos terminos llamada matriz de rigidez elemental. En caso de que elelemento exhibiera un comportamiento no-lineal nos conformaramos con una ley del tiposi = f(vi, otros parametros).

Es importante notar que si y vi pueden escribirse indiferentemente en coodenadas globaleso locales. Para efectos de programar el metodo es mejor suponer que estas estan escritas encoordenadas globales.

Para comenzar el analisis debemos separar la estructura en sus elementos y nodos:

3Para todo efecto practico este concepto es identico al de elementos finitos.

4

1

2

4

3P

15

Elem

ento

1

Elemento 2

Elemento 3

Eleme

nto 4

Elemento 5

Elem

ento

6

En la figura de arriba los nodos estan representados por los cuadrados grises ( ). Notarque existen nodos sueltos y nodos que son parte de elementos. Aquellos que estan sueltos

son puntos donde se definen grados de libertad globales (u =[u1 . . . u8

]T) y donde

ocurren conexiones entre dos o mas elementos. Las barras presentan dos nodos donde sonconectadas con el resto de la estructura. Cada barra posee sus propios grados de libertadlocales vi que, en este caso, estan orientados segun el sistema de coordenadas global.

Las fuerzas internas en los elementos si apuntan en las mismas direcciones que los vi.Por lo tanto, las matrices de rigidez elementales en nuestro ejemplo son:

ke1 = ke

6 =AE

3L

0 0 0 00 1 0 10 0 0 00 1 0 1

ke2 = ke3 = AE4L

1 0 1 00 0 0 01 0 1 00 0 0 0

ke4 = ke

5 =AE

5L

1625

1225

1625

1225

1225

925

1225

925

1625 1225

1625

1225

1225 925

1225

925

3.2. Cinematica

La cinematica consiste en encontrar relaciones entre los grados de libertad globales u ylos locales vi. La ventaja de poseer las relaciones fuerza-deformacion escritas en coordenadasglobales es que esta relacion cinematica es muy sencilla. Buscamos expresiones como:

vi = Liu

Donde Li es una matriz de transformacion que provee esta relacion. Una columna de estamatriz se obtiene haciendo el grado de libertad global correspondiente a esa columna igual

5

a 1 y mirando cual es la influencia sobre las deformaciones del elemento considerado. Ennuestro caso es sencillo demostrar que:

v1 =

v1

1

v21

v31

v41

=

1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0

L1

u1u2...u8

u

Notar que en esta relacion solo las columnas asociadas s los GDL 1 a 4 tienen algun elementodistinto de cero, las demas columnas no debido a que ese elemento no conecta los nodosdonde esos GDL estan definidos. Veamos las demas relaciones:

v2 =

v1

2

v22

v32

v42

=

0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0

L2

u1u2...u8

u

v3 =

v1

3

v23

v33

v43

=

1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1

L3

u1u2...u8

u

v4 =

v1

4

v24

v34

v44

=

1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0

L4

u1u2...u8

u

v5 =

v1

5

v25

v35

v45

=

0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1

L5

u1u2...u8

u

v6 =

v1

6

v26

v36

v46

=

0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1

L6

u1u2...u8

u

3.3. Equilibrio

El equilibrio se plantea usando el principio de trabajos virtuales (PTV) que dice que siel sistema esta en equilibrio entonces el trabajo interno realizado por el sistema al sufrir undesplazamiento virtual debe ser identico al trabajo realizado por las fuerzas externas debidoal mismo desplazamiento virtual. Matematicamente: Wint = Wext.

En nuestro caso el trabajo de las fuerzas externas es muy sencillo:

Wext = uTR

6

Con,

R =

R1xR1y

00

P cos 15

P sin 15R3 cos 45R3 sin 45

El trabajo interno proviene de la deformacion de los elementos es decir para el elemento

i:Wint

i = viTsi

El trabajo total interno sera,

Wint =i

Winti =

i

viTsi

Tenemos que:vi = Liu y que si = ke

ivi

donde la primera expresion implica que una variacion virtual de los grados de libertad de laposicion de equilibrio u a la posicion virtual arbitraria u+u lleva a una deformacion virtualde los elementos dada por v = Liu. Usando todo esto llegamos a que:

Wint =i

(Liu

)Tke

i(Liu

)Simplificando:

Wint = uT

(i

LiTke

iLi

)u

De modo que Wint = Wext implica que:

uT

(i

LiTke

iLi

)u = uTR

Ahora, como la variacion virtual de los GDL u es completamente arbitraria, en particularpodemos elegir un grado de libertad i cualquiera tal que ui 6= 0 y uj = 0 para todo i 6= j.Debido a esto podemos eliminar los u de la ecuacion quedando con:(

i

LiTke

iLi

)

K

u = R

En esta expresion identificamos el termino en la sumatoria como la matriz de rigidez K del

problema. Cada termino LiTke

iLi se identifica como la contribucion del i-esimo elemento aesta matriz. Por ejemplo el termino para el elemento 5:

L5Tke

5L5 = . . .

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 01 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

AE

5L

1625

1225

1625

1225

1225

925

1225

925

1625 1225

1625

1225

1225 925

1225

925

0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1

7

El resultado de esta multiplicacion es:

K5 =AE

5L

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1625

1225

1625

1225

0 0 0 0 1225925

1225

925

0 0 0 0 1625 1225

1625

1225

0 0 0 0 1225 925

1225

925

El resultado de sumar todas estas matrices es:

K =AE

L

0,378 0,096 0 0 0,128 0,096 0,250 00,096 0,405 0 0,333 0,096 0,072 0 0

0 0 0,378 0,096 0,250 0 0,128 0,0960 0,333 0,096 0,405 0 0 0,096 0,072

0,128 0,096 0,250 0 0,378 0,096 0 00,096 0,072 0 0 0,096 0,405 0 0,3330,250 0 0,128 0,096 0 0 0,378 0,096

0 0 0,096 0,072 0 0,333 0,096 0,405

3.4. Solucion Final

Una vez formada la matriz de rigidez se plantea el sistema de ecuaciones de rigidez total:

AE

L

0,378 0,096 0 0 0,128 0,096 0,250 00,096 0,405 0 0,333 0,096 0,072 0 0

0 0 0,378 0,096 0,250 0 0,128 0,0960 0,333 0,096 0,405 0 0 0,096 0,072

0,128 0,096 0,250 0 0,378 0,096 0 00,096 0,072 0 0 0,096 0,405 0 0,3330,250 0 0,128 0,096 0 0 0,378 0,096

0 0 0,096 0,072 0 0,333 0,096 0,405

u1u2u3u4u5u6u7u8

=

R1xR1y00

P cos 15


Que equivale a:

Ku = R

Este sistema aun no es invertible pues no hemos dicho nada de la vinculacion del problema.Notar que la condicion de apoyo fijo impone que u1 = u2 = 0. Reemplazando en el problema:

AE

L

0,378 0,096 0 0 0,128 0,096 0,250 00,096 0,405 0 0,333 0,096 0,072 0 0

0 0 0,378 0,096 0,250 0 0,128 0,0960 0,333 0,096 0,405 0 0 0,096 0,072

0,128 0,096 0,250 0 0,378 0,096 0 00,096 0,072 0 0 0,096 0,405 0 0,3330,250 0 0,128 0,096 0 0 0,378 0,096

0 0 0,096 0,072 0 0,333 0,096 0,405

00u3u4u5u6u7u8

=

R1xR1y00

P cos 15


Hay dos formas de tratar la restriccion deslizante en el nodo 4, la primera es reconocer queu7 = u8 si es que se ha de respetar la restriccion. Esto nos lleva a:

AE

L

0,378 0,096 0 0 0,128 0,096 0,250 00,096 0,405 0 0,333 0,096 0,072 0 0

0 0 0,378 0,096 0,250 0 0,128 0,0960 0,333 0,096 0,405 0 0 0,096 0,072

0,128 0,096 0,250 0 0,378 0,096 0 00,096 0,072 0 0 0,096 0,405 0 0,3330,250 0 0,128 0,096 0 0 0,378 0,096

0 0 0,096 0,072 0 0,333 0,096 0,405

00u3u4u5u6u7u7

=

R1xR1y00

P cos 15


8

Que se puede reescribir mediante:

AE

L

0,378 0,096 0 0 0,128 0,096 0,2500,096 0,405 0 0,333 0,096 0,072 0

0 0 0,378 0,096 0,250 0 0,1280 0,333 0,096 0,405 0 0 0,096

0,128 0,096 0,250 0 0,378 0,096 00,096 0,072 0 0 0,096 0,405 00,250 0 0,128 0,096 0 0 0,378

0 0 0,096 0,072 0 0,333 0,096

00u3u4u5u6u7

+

00

0,0960,072

00,3330,0960,405

u7 . . .

. . . =

R1xR1y00

P cos 15


Que equivale a:

AE

L

0,378 0,096 0 0 0,128 0,096 (0,250 + 0)0,096 0,405 0 0,333 0,096 0,072 (0 + 0)

0 0 0,378 0,096 0,250 0 (0,128 + 0,096)0 0,333 0,096 0,405 0 0 (0,096 0,072)

0,128 0,096 0,250 0 0,378 0,096 (0 + 0)0,096 0,072 0 0 0,096 0,405 (0 0,333)0,250 0 0,128 0,096 0 0 (0,378 0,096)

0 0 0,096 0,072 0 0,333 (0,096 + 0,405)

00u3u4u5u6u7

=

R1xR1y00

P cos 15


La ultima ecuacion dice:

AE

L

[0 0 0,096 0,072 0 0,333 (0,096 + 0,405)

]

00u3u4u5u6u7

= R3 sin 45

Esta es una ecuacion para encontrar la reaccion R3 una vez que u es conocido.

R3 =AE

L sin 45[

0 0 0,096 0,072 0 0,333 (0,096 + 0,405)]

00u3u4u5u6u7

R3 =

AE

L sin 45[0u1 + 0u2 + 0,096u3 0,072u4 + 0u5 0,333u6 + (0,096 + 0,405)u7]

9

Por mientras reemplazamos esto en la ecuacion de arriba

AE

L

0,378 0,096 0 0 0,128 0,096 (0,250 + 0)0,096 0,405 0 0,333 0,096 0,072 (0 + 0)

0 0 0,378 0,096 0,250 0 (0,128 + 0,096)0 0,333 0,096 0,405 0 0 (0,096 0,072)

0,128 0,096 0,250 0 0,378 0,096 (0 + 0)0,096 0,072 0 0 0,096 0,405 (0 0,333)0,250 0 0,128 0,096 0 0 (0,378 0,096)

00u3u4u5u6u7

= . . .

. . . =

R1xR1y00

P cos 15

P sin 15

(

AE

L sin 45[0u1 + 0u2 + 0,096u3 0,072u4 + 0u5 0,333u6 + (0,096 + 0,405)u7]

)cos 45

Notando que cos 45/ sin 45 = 1 y pasando todas las incognitas al lado izquierdo:

0,378 0,096 0 0 0,128 0,096 (0,250 + 0)0,096 0,405 0 0,333 0,096 0,072 (0 + 0)

0 0 0,378 0,096 0,250 0 (0,128 + 0,096)0 0,333 0,096 0,405 0 0 (0,096 0,072)

0,128 0,096 0,250 0 0,378 0,096 (0 + 0)0,096 0,072 0 0 0,096 0,405 (0 0,333)

0,250 0 0,128 + 0,096 0,096 0,072 0 0,333 (0,378 0,096) + . . .+(0,096 + 0,405)

00u3u4u5u6u7

= . . .

. . . =L

AE

R1xR1y00

P cos 15

P sin 150

El sistema queda:

0,378 0,096 0,000 0,000 0,128 0,096 0,2500,096 0,405 0,000 0,333 0,096 0,072 0,000

0,000 0,000 0,378 0,096 0,250 0,000 0,0320,000 0,333 0,096 0,405 0,000 0,000 0,0240,128 0,096 0,250 0,000 0,378 0,096 0,0000,096 0,072 0,000 0,000 0,096 0,405 0,3330,250 0,000 0,032 0,024 0,000 0,333 0,591

00u3u4u5u6u7

=

L

AE

R1xR1y00

P cos 15

P sin 150

Podemos particionar el sistema de la siguiente manera:

0,378 0,096 0,000 0,000 0,128 0,096 0,2500,096 0,405 0,000 0,333 0,096 0,072 0,000

0,000 0,000 0,378 0,096 0,250 0,000 0,0320,000 0,333 0,096 0,405 0,000 0,000 0,0240,128 0,096 0,250 0,000 0,378 0,096 0,0000,096 0,072 0,000 0,000 0,096 0,405 0,3330,250 0,000 0,032 0,024 0,000 0,333 0,591

00

u3u4u5u6u7

=

L

AE

R1xR1y00

P cos 15

P sin 150

Notamos que el sistema inferior queda sencillamente:

0,000 0,0000,000 0,3330,128 0,0960,096 0,0720,250 0,000

[

00

]+

0,378 0,096 0,250 0,000 0,032

0,096 0,405 0,000 0,000 0,0240,250 0,000 0,378 0,096 0,0000,000 0,000 0,096 0,405 0,333

0,032 0,024 0,000 0,333 0,591

u3u4u5u6u7

= PLAE

00

cos 15

sin 150

10

Resolviendo para los valores de u3, u4, u5, u6 y u7,u3u4u5u6u7

= PLAE

0,0000,0000,9660,259

0,000

La primera ecuacion nos da el valor de las reacciones:

[0,378 0,0960,096 0,405

] [00

]+

[0,000 0,000 0,128 0,096 0,2500,000 0,333 0,096 0,072 0,000

]u3u4u5u6u7

=[R1xR1y

]

Reemplazando la solucion:

[R1xR1y

]=

[0,000 0,000 0,128 0,096 0,2500,000 0,333 0,096 0,072 0,000

]PL

AE

0,0000,0000,9660,259

0,000

= PLAE[

0,0170,724

]

Y la utlima reaccion la obtenemos de la ecuacion que eliminamos en las etapas anteriores:

R3 =AE

L sin 45[

0 0 0,096 0,072 0 0,333 0,309]

00u3u4u5u6u7

=AE

L sin 45[

0 0 0,096 0,072 0 0,333 0,309]

00

0,0000,0000,9660,259

0,000

= 1,390

PL

AE

Con esto concluye el analisis ya que hemos podido recuperar todas las variables de interes.Sabemos los desplazamientos nodales, las fuerzas de reaccion, y podemos conocer la fuerzaque ejerce cada barra. Es necesario ahora ver la formulacion completa del MRD, metodospara desarrollar las matrices de rigidez de los elementos en coordenadas globales.

4. Formulacion general del MRD

Ahora formalizaremos la deduccion de las ecuaciones del Metodo de Rigidez Directa.En esta demostracion incorporaremos todas las posibles situaciones (o una gran parte) quepermite el analisis lineal de estructuras. Esta vez seguiremos el orden correcto de la deduccion:(i) Cinematica, (ii) Accion-Deformacion, y (iii) Equilibrio.

11

4.1. Cinematica

El problema comienza una vez que se ha establecido la discretizacion del problema ensus elementos. Consideraremos que el problema tiene N nodos y B elementos. Definiremos3 grados de libertad por nodo en el caso 2D (dos desplazamientos y un giro en el caso debarras flexurales) y 6 en el 3D. Se ordenan los grados de libertad del problema en un vectorrepresentado por la variable u llamado el vector de grados de libertad. La estructura de estevector es como sigue (caso 2D):

u =

u1u2u3u4u5u6...

u2N2u2N1u2N

=

Desplazamiento en x del nodo 1Desplazamiento en y del nodo 1Giro en torno a z del nodo 1Desplazamiento en x del nodo 2Desplazamiento en y del nodo 2Giro en torno a z del nodo 2...Desplazamiento en x del nodo NDesplazamiento en y del nodo NGiro en torno a z del nodo N

El caso 3D es identico salvo que cada nodo presenta 6 grados de libertad, primero los 3desplazamiento seguido de los 3 giros posibles. Asociado a cada uno de estos grados delibertad existe una fuerza nodal y un vector R que las reune. Estas son fuerzas aplicadasdirectamente en cada nodo. El vector R tiene una estructura similar al vector u que vimosanteriormente.

R =

R1R2R3R4R5R6...

R2N2R2N1R2N

=

Componente x de una fuerza externa aplicada en el nodo 1Componente y de una fuerza externa aplicada en el nodo 1Momento o torque en torno a z aplicado en el nodo 1Componente x de una fuerza externa aplicada en el nodo 2Componente y de una fuerza externa aplicada en el nodo 2Momento o torque en torno a z aplicado en el nodo 2...Componente x de una fuerza externa aplicada en el nodo NComponente y de una fuerza externa aplicada en el nodo NMomento o torque en torno a z aplicado en el nodo N

Consideraremos que tenemos B elementos y que cada elemento tiene un numero de GDLinternos o propios. En el caso de las barras del problema de la seccion anterior, estas tenan4 GDL cada una. Existen elementos sencillos de 1-GDL hasta cubos o ladrillos de 20 nodos con6 GDLs por nodo, es decir: 120s GDL en un solo elemento! En cualquier caso, denominamosvi4 al vector que colecciona los GDL o desplazamientos del elemento i, el cual puede ser unnumero arbitrario que denotaremos qi, qi: el numero de GDLs del elemento i

5.El paso de cinematica consiste en relacionar los grados de libertad globales u con los GDL

locales vi de cada elemento mediante una relacion lineal:

vi = Liu

Aqu se establece el primer supuesto: cinematica lineal o de deformaciones pequenas. De noser as, las deformaciones del elemento seran una funcion no-lineal de los GDL globales delproblema y esto hara nuestro problema uno no-lineal. La solucion de este tipo de problemasescapa el alcance de este curso (aunque los fundamentos de la solucion de tal problema seanlos mismos: el PTV).

4El i es un supra -ndice, no una operacion de potenciacion.5Un mismo modelo estructural puede estar compuesto de distintos elementos que, a su vez, tienen distinto

numero de GDLs

12

La formaicon de la matriz de transformacion cinematica Li del elemento i se hace porinspeccion, mirando que GDL locales del elemento se mueve cuando uno mueve en unaunidad el GDL j de la estrucura. Cada columna corresponde a un GDL global y cada fila auno local.

Si los GDL locales del elemento estan orientados segun los ejes globales, entonces lamatriz Li consiste de unos y ceros. En caso contrario esta matriz se encarga de realizar latransformacion cinematica de un sistema a otro.

Notar que si hay 3N o 6N GDLs globales y el i-esimo elemento tiene qi GDLs locales,entonces u es un vector de 3N 1 o 6N 1, vi es un vector de qi 1 y, por lo tanto, Li esuna matriz de qi 3N o qi 6N segun sea el caso.

4.2. Accion-Deformacion

Este paso es independiente del paso anterior y consiste en establecer una relacion entre losgrados de libertad locales vi y las fuerzas internas locales si de cada elemento. Esta relacionse supone lineal para este curso:

si = keivi

Donde si es el vector de esfuerzos internos del i-esimo elemento y kei es la matriz de rigidez

elemental del mismo elemento. Los si se miden en la misma direccion que los vi, debido aque esto facilita enormemente el calculo del trabajo de las fuerzas internar (trabajo interno)que usaremos muy pronto.

Si el i-esimo elemento tiene qi GDLs, entonces si es un vector de qi 1, vi tambien es un

vector de qi 1 y la matriz kei es de qi qi.Si el elemento trae esfuerzos iniciales, por ejemplo, de pretension o de cargas distribudas

dentro del elemento, estos se incluyen en esta etapa mediante un vector de fuerzas inicialess0

i. De este modo:si = ke

ivi + s0i

Adicionalmente, si el elemento posee deformaciones (no asociadas a fuerzas) iniciales debidopor ejemplo a mala fabricacion del elemento o cambios por temperatura, estas se incluyencomo una deformacion inicial v0

i en el elemento. Incluyendo ambas cosas:

si = kei(vi + v0

i)

+ s0i

4.3. Equilibrio

Finalmente el equilibrio se asegura usando el PTV que dice Wint = Wext si el sistemaesta en equilibrio. El operador se conoce como variacion y corresponde a medir el cambioen una variable (el trabajo) al realizar un cambio de configuracion del sistema u. u es uncambio virtual y arbitrario en los GDLs del sistema que respeta las condiciones de borde delproblema.

Ya vimos anteriormente que la expresion del trabajo externo es directamente el productointerno entre el desplazamiento virtual u y las fuerzas nodales R: Wext = u

TR.Necesitamos calcular el trabajo interno Wint. Para esto podemos dividir el problema en

el trabajo de cada elemento Winti y considerar el total como la suma de las partes.

Wint =i

Winti

El trabajo interno de un elemento es el trabajo que hacen sus esfuerzos si al sufrir un cambiovirtual en sus grados de libertad vi. Dado que estos dos estan alineados o tienen la mismadireccion esto corresponde a

Winti = vi

Tsi

Notar que el desplazamiento virtual de los GDLs globales del sistema u produce necesaria-mente un cambio en los GDL locales vi de cada elemento ya que estos estan cinematicamente

13

vinculados. El cambio esta dado por:

vi = Liu

Esto es as debido a que la relacion encontrada en el primer paso es lineal y el operador eslineal, muy similar a la derivada. Reemplazando esto:

Winti =

(Liu

)Tsi = uTLi

Tsi

Ahora incorporamos la relacion de accion-deformacion para el elemento i dada por si =ke

i(vi + v0

i)

+ s0i.

Winti = uT si = uT

(ke

i(vi + v0

i)

+ s0i)

Volviendo a ocupar la relacion cinematica vi = Liu tenemos que

Winti = uT si = uTLi

T (ke

i(Liu + v0

i)

+ s0i)

Expandiendo:

Winti = uT

[(Li

Tke

iLi)u + Li

Tke

iv0i + Li

Ts0

i]

Sumamos para todos los elementos y para encontrar el trabajo total e igualamos esto a laexpresion del trabajo externo

i

uT[(

LiTke

iLi)u + Li

Tke

iv0i + Li

Ts0

i]

= uTR

Los uT a cada de la ecuacion los podemos eliminar debido a que este vector es totalmentearbitrario. Hacemos esto y reordenamos la ecuacion para quedar con:(

i

LiTke

iLi

)

K

u =i

[LiTkeiv0i Li

Ts0

i]

+ R

Reconocemos, nuevamente, a K como la matriz de rigidez del problema, R es el vector de

cargas nodales, LiTkeiv0i es el efecto de las deformaciones iniciales (que se transforman acargas equivalentes) y Li

Ts0

i es el efecto sobre la estructura de las cargas o tensiones inicialesdel i-esimo elemento.

4.4. Incorporacion de condiciones de borde y solucion del sistema

Resumimos la ecuacion de rigidez en la ecuacion,

Ku = R

Donde R ahora contiene tanto las cargas nodales como los otros efectos posibles,

R =i

[LiTkeiv0i Li

Ts0

i]

+ R

Al imponer las condiciones de apoyo veremos que hay ciertos grados de libertad que sabemos,a-priori, que su valor sera nulo o tendra un cierto valor fijo en el caso de desplazamientos deapoyo. Es decir, podemos reordenar el vector u en

u =

[uluf

]

14

Donde ul son los GDLs libres y uf son los GDL fijos en algun valor (normalmente cero).El sistema queda particionado de la siguiente manera:[

Kll KlfKfl Kff

] [uluf

]=

[RlRf

]En esta ecuacion Rl es el vector de fuerzas externas que esta asociado a los GDL libres ul ycuyo valor es conocido de antemano (no asi los GDLs libres). Rs es el vector de fuerzas dereaccion de apoyo asociadas a los GDLs fijos, estas fuerzas son incognitas mientras que losGDLs son conocidos.

La solucion del problema procede de descomponer estas dos ecuaciones y solucionar paralas incognitas: grados de libertad libres y reacciones.

Kllul + Klfuf = Rl

Kflul + Kffuf = Rf

De estas ecuaciones se resuelve el sistema,

Kllul = Klfuf + Rl

Aqu los desplazamientos de apoyo uf se transforman en fuerzas equivalentes. De esta ecua-cion se encuentran los GDLs libres ul y los reemplazamos en la segunda ecuacion para obtenerlas fuerzas de reaccion:

Rf = Kflul + Kffuf

Finalmente, una vez terminado este analisis, recuperamos las fuerzas en los elementos (quesirven posteriormente para disenar) mediante las relaciones de accion deformacion. Las fuer-zas internas del elemento i seran:

si = kei(vi + v0

i)

+ s0i

Reemplazando los GDL,

si = kei

(Li[

uluf

]+ v0

i

)+ s0

i

Lo que concluye el analisis. Esta metodologa es completamente general dentro del analisislineal de estructuras. Lo que nos queda es ver algunos elementos tpicos usados en el analisis,para enconetrar sus matrices ke

i y algunos topicos adicionales de analisis.

15

metodo rigidez.pdf

Documents