MTODO DE NEWTON-RAPHSON

Este mtodo, el cual es un mtodo iterativo, es uno de los ms usados y efectivos. A diferencia de los mtodos anteriores, el mtodo de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su frmula en un proceso iterativo.Supongamos que tenemos la aproximacin a la raz de ,

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto ; sta cruza al eje en un punto que ser nuestra siguiente aproximacin a la raz .Para calcular el punto , calculamos primero la ecuacin de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente

Y por lo tanto la ecuacin de la recta tangente es:

Hacemos :

Y despejamos :

Que es la fmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximacin:, si

Note que el mtodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raz, y de hecho no tenemos ninguna garanta de que nos aproximaremos a dicha raz. Desde luego, existen ejemplos donde este mtodo no converge a la raz, en cuyo caso se dice que el mtodo diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los mtodos preferidos por excelencia.Tambin observe que en el caso de que , el mtodo no se puede aplicar. De hecho, vemos geomtricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ningn punto, a menos que coincida con ste, en cuyo caso mismo es una raz de !Ejemplo 1Usar el mtodo de Newton-Raphson, para aproximar la raz de , comenzando con y hasta que .SolucinEn este caso, tenemos que

De aqu tenemos que:

Comenzamos con y obtenemos:

En este caso, el error aproximado es,

Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidi.Resumimos los resultados en la siguiente tabla:Aprox. a la razError aprox.

1

1.26894142121.19%

1.3091084033.06%

1.3097993890.052%

De lo cual conclumos que , la cual es correcta en todos sus dgitos!La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen races -simas de nmeros reales positivos.Observe que cuando el mtodo de Newton-Raphson converge a la raz, lo hace de una forma muy rpida y de hecho, observamos que el error aproximado disminuye a pasos agigantados en cada paso del proceso. Aunque no es nuestro objetivo establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los mtodos que hemos estudiado, cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor precisin la rapidez lentitud del mtodo en estudio.Veremos a continuacin un ejemplo del metdo de Newton Raphson, con la siguiente ecuacin:

#FxnDfxnNuevo Xm

1184-3.5

2-30.37537.75-2.6953642384106

3-6.277154104139222.794965133108-2.419989651633

4-0.5922958398811518.569049742033-2.3880927130115

5-0.007353946674481218.108960417816-2.3876866186524

6-1.1814129692311E-618.103142166676-2.3876865533923

Hemos terminado de analizar el mtodo de la Newton Rapshon, en este ejemplo con un error de 0.0001; se encuentra la ltima raiz(Xm): -2.3876865533923 con 6 iteracciones.http://noosfera.indivia.net/metodos/Metodos.php?accion=newton