METODO DUAL SIMPLEX

Al hablar del método dual simplex se nos viene a la mente la palabra dual, este

método se basa en que todo problema de programación lineal tiene un problema

espejo, el cual se le llama DUAL. Este segundo problema genera un segundo algoritmo

de resolución llamado METODO DUAL SIMPLEX. Este método se aplica para resolver

problemas que empiezan con factibilidad dual (óptimos pero no son factibles).

La CONDICION DE FACTIBILIDAD consiste en que la variable que sale es la variable

básica que tiene el valor más negativo, si todas las variables básicas son no negativas

el proceso termina y se alcanza la solución factible - optima.

La CONDICION DE OPTIMIDAD se basa en que la variable que entra se escoge

calculando la razón entre los coeficientes del reglón “cero” y los coeficientes de la fila

asociada a la variable que sale (se ignoran los coeficientes positivos o ceros). La

variable que entra es aquella que posee la razón más pequeña si el problema es de

minimización. Si llegara a ser el caso en que si todos los denominadores son

cero o positivos el problema no tendría solución factible.

Si se tiene un problema principal de programación lineal, existe otro problema, el Dual,

expresado como:

EL METODO DUAL SIMPLEX en el método dual simplex se usa cuando se empieza

con una solución infactible y además optima, lo que se busca en este método es la

factibilidad llevándonos a una solución óptima y factible.

LA APLICACIÓN del método dual-simplex es especialmente útil para el tema de

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD, otra aplicación del método simplex dual es la

resolución de problemas con una FUNCIÓN OBJETIVO DE MINIMIZACIÓN, con

restricciones del tipo mayor o igual y donde las variables de decisión son mayores o

iguales a cero.

EJEMPLO #1

F.O.

Min. Z = 4X1 + 12X2 + 18X3

S.A.

X1 + 3X3 ≥ 3

2X2 + 2X3 ≥ 5

X1, X2, X3 ≥ 0

SOLUCIÓN

PASO 1: Convertir el problema de minimización en uno de maximización. La

función objetivo se multiplica por -1

F.O. Max. Z = - 4X1 - 12X2 - 18X3

Las restricciones se multiplican por -1

S.A. - X1 - 3X3 ≤ -3

- 2X2 - 2X3 ≤ -5

X1, X2, X3 ≥ 0

PASO 2: Se convierten las inecuaciones en ecuaciones.

F.O.

Z + 4X1 + 12X2 + 18X3 = 0

S.A.

- X1 - 3X3 + S1 = -3

– 2X2 - 2X3 + S2 = -5

PASO 3: Se determinan las variables básicas y no básicas.

·Básicas: S1 y S2 ·

No Básicas: X1, X2 y X3

PASO 4: Elaborar la tabla inicial del simplex

Variable

básica

Variables

x1 x2 x3 s1 s2SOLUCIÓ

N

s1 -1 0 -3 1 0 -3

s2 0 -2 -2 0 1 -5

Z 4 12 18 0 0 0

PASO 5: Determinar la variable que sale (fila pivote)

Es el número más negativo de la solución de las restricciones = fila de S2

PASO 6: Determinar la variable que entra (columna pivote)

Razón = Coeficiente de Z / coeficiente fila pivote.

Razón Mayor = Columna X2 (-12 / 2)

Variable

básica

Variables

x1 x2 x3 s1 s2SOLUCIÓ

N

s1 -1 0 -3 1 0 -3

s2 0 -2 -2 0 1 -5

Z 4 12 18 0 0 0

PASO 7: Elaborar la nueva tabla del simplex

a) Nueva fila pivote = Fila pivote / elemento pivote

b) Nuevas filas = fila anterior - coeficiente de la columna pivote x nueva fila pivote.

Nueva Tabla del Simplex:

Variable

básica

Variables

x1 x2 x3 s1 s2 SOLUCIÓN

s1 -1 0 -3 1 0 -3

s2 0 1 1 0 -1 2,5

Z 4 0 6 0 6 -30

razón -4 - -2 0 -

Se realizan nuevamente los pasos del 5 al 7 obteniendo como solución final:

VB

Variables

x1 x2 x3 s1 s2SOLUCIÓ

N

s1 0,33 0 1 -0,33 0 1

s2 -0,33 1 0 0,33 -0,5 1,5

Z 2 0 0 2 6 -36

NOTA: No hay más iteraciones cuando no existan soluciones con coeficientes

negativos.

R\ El valor mínimo se alcanza para un X2 = 3/2 y X3 = 1, para un Z = 36

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EJEMPLO #2

F.O.

Min. Z = 315X1 + 110X2 + 50X3

S.A.

15X1 + 2X2 + X3≥ 200

7,5X1 + 3X2 + 1X3≥ 150

5X1 + 2X2 + X3≥ 120

X1, X2, X3 ≥ 0

SOLUCIÓN

PASO 1

Se lleva el modelo a forma estándar. Se agregan variables de exceso en cada una de

las restricciones (3 primeras: S1, S2, S3, respectivamente). Luego, se multiplica cada

fila de las restricciones por -1 y así tener una solución inicial en las variables de exceso

S1, S2 y S3.esta solución inicial es INFACTIBLE.

X1 X2 X3 S1 S2 S3

-15 -2 -1 1 0 0 -200

-7,5 -3 -1 0 1 0 -150

-5 -2 -1 0 0 1 -120

315 110 50 0 0 0 0

PASO 2

Se selecciona el lado derecho "más negativo" lo cual indicará cuál de las actuales

variables básicas deberá abandonar la base. En el ejemplo el lado derecho más

negativo se encuentra en la primera fila, por tanto S1 deja la base. Para determinar

cuál de las actuales variables no básicas (A, B, C) entrará a la base se busca el mínimo

de {-Yj/aij}.

De esta forma se obtiene: Min {-315/-15, -110/-2, -50/-1} = 21, donde el pivote

(marcado en rojo) se encuentra al hacer el primer cociente, por tanto A entra a la base.

PASO 3

Se actualiza la tabla anterior se deja a la variable A como básica y S1 como no básica.

X1 X2 X3 S1 S2 S3

1 15-Feb 15-Jan

-

0.0666666

7

0 0 40/3

0 -2 -0.5 -0.5 1 0 -50

0

-

1.3333333

3

-

0.66666667

-

0.3333333

3

0 1 -53.33333

0 68 29 21 0 0 -4.2

PASO 4

Continuar las realizando el mismo proceso hasta lograr una solución básica factible,

nos adelantamos y la solución fue factible fue de acuerdo a la tabla a continuación.

X1 X2 X3 S1 S2 S3

1 0 0 -0.1 0 10-Jan 8

0 1 0 4-Jan -1 4-Mar 10

0 0 1 0 2 -3 60

0 0 0 4 10 36 -6.62

LA SOLUCION QUE NOS RESULTO OPTIMA ES X1=8, X2=10, X3=60