Mtodo de los elementos nitos

Visualizacin de una simulacin FEM de la deformacin de uncoche tras un choque frontal asimtrico.

Solucin de MEF en 2D para una conguracin de un magne-tostato, (las lneas muestran la direccin de la densidad de ujocalculada, y el color, su magnitud).

El mtodo de los elementos nitos (MEF en castellanoo FEM en ingls) es un mtodo numrico general pa-ra la aproximacin de soluciones de ecuaciones diferen-ciales parciales muy utilizado en diversos problemas deingeniera y fsica.El MEF est pensado para ser usado en computadoras ypermite resolver ecuaciones diferenciales asociadas a unproblema fsico sobre geometras complicadas. El MEFse usa en el diseo y mejora de productos y aplicacionesindustriales, as como en la simulacin de sistemas fsi-cos y biolgicos complejos. La variedad de problemas alos que puede aplicarse ha crecido enormemente, sien-

La malla 2D para la imagen superior (la malla es ms densaalrededor de nuestro objetivo, aquellas zonas de mayor inters, ode mayor complejidad en el clculo).

Una funcin en H10, con valor cero en los puntos nales (azul),y una aproximacin lineal (rojo).

do el requisito bsico que las ecuaciones constitutivas yecuaciones de evolucin temporal del problema a consi-derar sean conocidas de antemano.

1 IntroduccinEl MEF permite obtener una solucin numrica aproxi-mada sobre un cuerpo, estructura o dominio (medio con-tinuo) sobre el que estn denidas ciertas ecuacionesdiferenciales en forma dbil o integral que caracterizanel comportamiento fsico del problema dividindolo enun nmero elevado de subdominios no-intersectantes en-

1

2 2 BREVE RESEA HISTRICA

Triangulacin.

tre s denominados elementos nitos. El conjunto deelementos nitos forma una particin del dominio tam-bin denominada discretizacin. Dentro de cada elemen-to se distinguen una serie de puntos representativos lla-mados nodos. Dos nodos son adyacentes si pertenecenal mismo elemento nito; adems, un nodo sobre la fron-tera de un elemento nito puede pertenecer a varios ele-mentos. El conjunto de nodos considerando sus relacio-nes de adyacencia se llama malla.Los clculos se realizan sobre una malla de puntos (lla-mados nodos), que sirven a su vez de base para discre-tizacin del dominio en elementos nitos. La generacinde la malla se realiza usualmente con programas especia-les llamados generadores de mallas, en una etapa previaa los clculos que se denomina pre-proceso. De acuer-do con estas relaciones de adyacencia o conectividad serelaciona el valor de un conjunto de variables incgnitasdenidas en cada nodo y denominadas grados de libertad.El conjunto de relaciones entre el valor de una determina-da variable entre los nodos se puede escribir en forma desistema de ecuaciones lineales (o linealizadas). La matrizde dicho sistema de ecuaciones se llama matriz de rigidezdel sistema. El nmero de ecuaciones de dicho sistema esproporcional al nmero de nodos.Tpicamente el anlisis de los elementos nitos se pro-grama computacionalmente para calcular el campo dedesplazamientos y, posteriormente, a travs de relacionescinemticas y constitutivas las deformaciones y tensio-nes respectivamente, cuando se trata de un problema demecnica de slidos deformables o ms generalmente unproblema de mecnica de medios continuos. El mtodode los elementos nitos es muy usado debido a su gene-ralidad y a la facilidad de introducir dominios de clculocomplejos (en dos o tres dimensiones). Adems el mto-do es fcilmente adaptable a problemas de transmisin decalor, de mecnica de uidos para calcular campos de ve-

locidades y presiones (mecnica de uidos computacio-nal, CFD) o de campo electromagntico. Dada la impo-sibilidad prctica de encontrar la solucin analtica de es-tos problemas, con frecuencia en la prctica ingenieril losmtodos numricos y, en particular, los elementos nitos,se convierten en la nica alternativa prctica de clculo.Una importante propiedad del mtodo es la convergencia;si se consideran particiones de elementos nitos sucesi-vamente ms nas, la solucin numrica calculada con-verge rpidamente hacia la solucin exacta del sistema deecuaciones.

2 Breve resea histricaEl Mtodo de Elementos Finitos (MEF) fue al principiodesarrollado en 1943 por Richard Courant, quien utilizel mtodo de Ritz de anlisis numrico y minimizacinde las variables de clculo para obtener soluciones aproxi-madas a un sistema de vibracin. Poco despus, un docu-mento publicado en 1956 porM. J. Turner, R.W. Clough,H. C. Martin, y L. J. Topp estableci una denicin msamplia del anlisis numrico.[1] El documento se centren la rigidez y deformacin de estructuras complejas.Con la llegada de los primeros ordenadores instaura elclculo matricial de estructuras. ste parte de la discreti-zacin de la estructura en elementos lineales tipo barra delos que se conoce su rigidez frente a los desplazamientosde sus nodos. Se plantea entonces un sistema de ecua-ciones resultado de aplicar las ecuaciones de equilibrio alos nodos de la estructura. Este sistema de ecuaciones seesquematiza de la siguiente manera:

(*) f = K u

Donde las incgnitas son los desplazamientos en los no-dos (vector u) que se hallan a partir de las fuerzas osolicitaciones en los nodos (vector f ) y de la rigidez delas barras (matriz de rigidez K ). Conocidos dichos des-plazamientos es posible determinar los esfuerzos en lasbarras. La solucin obtenida es exacta.

2.1 Uso prctico del mtodo hacia 1950Cuando se produce la llegada de los primeros equipos decmputo en la dcada de 1950, el clculo de estructuras seencontraba en un punto en el que los mtodos de clculopredominantes consistan en mtodo iterativos (mtodosde Cross y Kani) que se realizaban de manera manualy, por tanto, resultaban bastante tediosos. El clculo deuna estructura de edicacin de varios pisos, por ejem-plo, poda llevar varias semanas, lo cual supona un costesustancial de tiempo en detrimento de la posibilidad deinvertir este en la optimizacin de la estructura.La llegada de la computadora permiti el resurgimientodel mtodo de los desplazamientos ya conocidos en siglos

3anteriores (Navier, Lagrange, Cauchy), pero que eran di-fciles de aplicar dado que al nal conducan a la reso-lucin de enormes sistemas de ecuaciones inabordablesdesde el punto de vista manual.

2.2 De 1960 a 1970

Cuando las aplicaciones prcticas de elementos nitoscrecieron en tamao, los requerimientos de tiempo declculo y memoria de los ordenadores creci. En ese pun-to el desarrollo de algoritmos ms ecientes se volvi im-portante. Para la resolucin de los sistemas de ecuacio-nes se potencia el estudio de la adaptabilidad de los algo-ritmos ya conocidos (Gauss, Cholesky, Crout, Gradien-te conjugado, etc). El ahorro de tiempo es impensabley con ello el uso del mtodo matricial se extiende. Estedesarrollo se hace especialmente notable en estructurasde edicacin donde la discretizacin de los prticos enbarras, es prcticamente inmediata a partir de las vigas ylos pilares.Sin embargo, y a pesar de desarrollarse modelizacionesde elementos superciales mediante barras (losas con em-parrillados, elementos curvos mediante aproximacionesde elementos rectos, etc.), se plantean grandes diculta-des ante estructuras continuas (supercies y volmenes)y con geometras complejas. De ah que sea precisamentedentro del campo aeroespacial donde comiencen a desa-rrollarse las nuevas tcnicas del MEF. Dada su generali-dad el mtodo se ampli a otros campos no estructuralescomo la conduccin de calor, la mecnica de uidos, etc.donde compiti con otros mtodos numricos como elde mtodo de las diferencias nitas que an siendo msintuitivos, tenan de nuevo dicultades de planteamientopara geometras complejas.Con la llegada de los centros de clculo y los primerosprogramas comerciales en los aos 60, el MEF a la vezque se populariza en la industria refuerza sus bases teri-cas en los centros universitarios.En los aos 70 se produce un gran crecimiento de la bi-bliografa as como la extensin del mtodo a otros pro-blemas como los no lineales. En esta dcada, el MEF es-taba limitado a caros ordenadores centrales generalmenteposedo por las industrias aeronuticas, de automocin,de defensa y nucleares. Se estudian nuevos tipos de ele-mentos y se sientan las bases matemticas rigurosas delmtodo, que haba aparecido antes ms como tcnica dela ingeniera que como mtodo numrico de la matem-tica.

2.3 A partir de 1980

Por ltimo, a partir de la dcada de los 80, con la genera-lizacin de los ordenadores personales, se extiende el usode los programas comerciales que se especializan en losdiversos campos, instaurndose el uso de pre y postpro-

Estructura generada por FEM para el anlisis de tensiones de lacabeza de un pistn de un motor de combustin interna alterna-tivo.

cesadores grcos que realizan el mallado y la represen-tacin grca de los resultados. Se contina en el estudiode la aplicacin del mtodo a nuevos modelos de com-portamiento (plasticidad, fractura, dao continuo, etc.) yen el anlisis de los errores.En la actualidad, dentro del campo estructural, el MEFcomparte protagonismo con el mtodo matricial, siendomuchos los programas que mezclan el anlisis por am-bos mtodos, debido sobre todo a la mayor necesidad dememoria que requiere el anlisis por elementos nitos.As se ha dejado la aplicacin del MEF para el anlisisde elementos continuos tipo losa o pantalla, mientras quelos prticos siguen todava discretizndose en barras yutilizando el mtodo matricial. Y desde el rpido decliveen el coste de los ordenadores y el fenomenal incremen-to en la potencia de clculo, el MEF ha desarrollado unaincreble precisin. A da de hoy, los superordenadoresson capaces de dar resultados exactos para todo tipo deparmetros.

3 Descripcin matemtica del m-todo

El desarrollo de un algoritmo de elementos nitos pararesolver un problema denido mediante ecuaciones dife-renciales y condiciones de contorno requiere en generalcuatro etapas:

1. El problema debe reformularse en forma variacio-nal.

2. El dominio de variables independientes (usualmen-te un dominio espacial) debe dividirse mediante unaparticin en subdominios, llamados elementos ni-tos. Asociada a la particin anterior se construye unespacio vectorial de dimensin nita, llamado espa-cio de elementos nitos. Siendo la solucin num-rica aproximada obtenida por elementos nitos una

4 3 DESCRIPCIN MATEMTICA DEL MTODO

combinacin lineal en dicho espacio vectorial.

3. Se obtiene la proyeccin del problema variacionaloriginal sobre el espacio de elementos nitos obte-nido de la particin. Esto da lugar a un sistema conun nmero de ecuaciones nito, aunque en generalcon un nmero elevado de ecuaciones incgnitas. Elnmero de incgnitas ser igual a la dimensin delespacio vectorial de elementos nitos obtenido y,en general, cuanto mayor sea dicha dimensin tantomejor ser la aproximacin numrica obtenida.

4. El ltimo paso es el clculo numrico de la solucindel sistema de ecuaciones.

Los pasos anteriores permiten construir un problema declculo diferencial en un problema de lgebra lineal. Di-cho problema en general se plantea sobre un espacio vec-torial de dimensin no-nita, pero que puede resolverseaproximadamente encontrando una proyeccin sobre unsubespacio de dimensin nita, y por tanto con un n-mero nito de ecuaciones (aunque en general el nmerode ecuaciones ser elevado tpicamente de miles o inclu-so centenares de miles). La discretizacin en elementosnitos ayuda a construir un algoritmo de proyeccin sen-cillo, logrando adems que la solucin por el mtodo deelementos nitos sea generalmente exacta en un conjuntonito de puntos. Estos puntos coinciden usualmente conlos vrtices de los elementos nitos o puntos destacadosde los mismos. Para la resolucin concreta del enorme sis-tema de ecuaciones algebraicas en general pueden usarselos mtodos convencionales del lgebra lineal en espaciosde dimensin nita.En lo que sigue d es la dimensin del dominio, n el n-mero de elementos nitos y N el nmero de nodos total.

3.1 Formulacin dbil

La formulacin dbil de una ecuacin diferencial permiteconvertir un problema de clculo diferencial formuladoen trmino de ecuaciones diferenciales en trminos de unproblema de lgebra lineal planteado sobre un espacio deBanach, generalmente de dimensin no nita, pero quepuede ser aproximado por un sistema nito de ecuacionesalgebraicas.Dada una ecuacin diferencial lineal de la forma:

(1) L(u) = f

Donde la solucin es una cierta funcin denida sobre undominio d-dimensional Rd , y se han especicadoun conjunto de condiciones de contorno adecuadas, pue-de suponerse que la funcin buscada es un elemento deun espacio de funciones o espacio de Banach V y que laecuacin (2) es equivalente a:

(2a) A(u) =

f;

(u 2 V f 2 V 0A : V ! V 0 A 2 L(V; V 0)

Donde V' es el espacio dual de V, la forma variacionaldbil se obtiene buscando la nica solucin u 2 V talque:

(2b) a(u; v) = hf; vi; 8v 2V donde

(a(u; v) = hAu; vihf; vi = R

fv d

Cuando el operador lineal es un operador elptico, el pro-blema se puede plantear como un problema de minimi-zacin sobre el espacio de Banach.

3.2 Discretizacin del dominioDado un dominio Rd con una frontera continua enel sentido de Lipschitz una particin en n elementos -nitos, es una coleccin de n subdominios f(e)gne=1 quesatisfece:

1. = [ne=1(e)

2. Cada(e) es un conjunto compacto con una fronteraLipschitz-continua.

3. int((i)) \ int((j)) = ;; i 6= j

Usualmente por conveniencia prctica y sencillez de an-lisis, todos los elementos nitos tienen la misma for-ma, es decir, existe un dominio de referencia ^Rd yuna coleccin de funciones biyectivas:

fF (e)jF (e) : ^! (e)g

Este dominio de referencia se suele llamar frecuentemen-te tambin dominio isoparamtrico. En los anlisis 2D(d = 2) el dominio de referencia ^ se suele tomar comoun tringulo equiltero o un cuadrado, mientras que enlos anlisis 3D (d = 3), el dominio de referencia tpica-mente es un tetraedro o un hexaedro. Adems sobre cadaelemento se considerarn algunos puntos especiales, lla-mados nodos y que generalmente incluirn los vrticesdel elemento nito y se requerir la condicin adicionalde que dos elementos adyacentes compartan los nodos so-bre el subconjunto (i)\(j) , es decir:

x 2 (i)\(j)^(x 2 nod((i)))) (x 2nod((j)))

Una vez denida la particin en elementos nitos, se de-ne sobre cada elemento un espacio funcional de dimen-sin nita, usualmente formado por polinomios. Este es-pacio funcional servir para aproximar localmente la so-lucin del problema variacional. El problema variacional

3.4 Resolucin de las ecuaciones 5

en su forma dbil se plantea sobre un espacio de dimen-sin no-nita, y por tanto la funcin buscada ser una fun-cin de dicho espacio. El problema en esa forma exactaes computacionalmente inabordable, as que en la prc-tica se considerar un subespacio de dimensin nita V hdel espacio vectorial original V . Y en lugar de la solu-cin exacta de (2b) se calcula la proyeccin de la solucinoriginal sobre dicho subespacio vectorial de dimensinnita, es decir, se resolver numricamente el siguienteproblema:

(2c) a(uh; vh) = hf; vhi; 8vh 2 V h

Donde:

uh = e(u) 2 V h , es la solucin aproxima-da.e : V ! V h V h V es el proyector or-togonal del espacio original sobre el subespaciovectorial asociado a la discretiacin.

Si la discretizacin es sucientemente na y el espaciofuncional nito sobre cada elemento est bien escogi-do, la solucin numrica obtenida aproximar razonable-mente bien la solucin original. Eso implicar en generalconsiderar un nmero muy elevado de elementos nitos ypor tanto un subespacio de proyeccin de dimensin ele-vada. El error entre la solucin exacta y la solucin apro-ximada puede acotarse gracias al lema de Ce, que enesencia arma que la solucin exacta y la solucin apro-ximada satisfacen:

(LC) kuuhkV c infvh2V h kuvhkV

Es decir, el error depender ante todo de lo bien que elsubespacio vectorial asociado a la discretizacin en ele-mentos ntios V h aproxime el espacio vectorial originalV .

3.3 Funciones de forma y espacio de la so-lucin

Existen muchas formas de elegir un conjunto de funcio-nes que formen una base vectorial sobre la que aproximarla solucin exacta del problema. Desde un punto de vistaprctico resulta til denir un espacio vectorial X^ de di-mensin nita denido sobre el dominio de referencia ^formado por todos los polinomios de grado igual o infe-rior a cierto grado:

Pn() X^

Entonces mediante las aplicaciones que aplican el domi-nio de referencia a cada elemento nito se dene el espa-cio vectorial V hV que servir para aproximar la solucincomo:

(3) V h = fvh 2 V j 8e : vh F (e) 2 X^g

Cuando F (e) es una funcin lineal y el espacio X^ est for-mado por polinomios entonces la restriccin de vh2V h estambin un polinomio. El espacio vectorial X^ es un espa-cio polinmico en que la base de dicho espacio est for-mada por funciones de forma N^i , que dado el conjuntode nodos del dominio de referencia se denen como:

N^i(j) =

(1 i = j

0 i 6= j

Esto permite denir de manera unvoca unas funcionesde forma sobre el dominio real sobre el que se dene elproblema:

8 2 ^ : N^i() = (N (e)i F (e))()

Estas funciones se pueden extender a todo el dominio,gracias a que el conjunto de subdominios o elementos -nitos constituye una particin de todo el dominio:

Ni : ! Rd; 8x 2 (e) :Ni(x) = N

ei (x)

Las funciones de forma permiten proyectar sobre el es-pacio de elementos nitos cualquier funcin denida so-bre el dominio original mediante el proyector h :

(4) (hv)() =Pni=1 v(xi)Ni() 2 V h3.4 Resolucin de las ecuaciones

Fijada una base asociada a una determinada discretiza-cin del dominio, como por ejemplo la dada por las fun-ciones Ni(x) la forma dbil del problema (, cuando la fun-cin a(; ) es bilineal) puede escribirse como una ecua-cin matricial simple:

a(uh; vh) = hf; vhi; 8vh 2V h; ) PNi=1PNj=1 aij(uh)i(vh)j =PN

j=1(f)j(vh)j

Donde N es el nmero de nodos. Agrupando los trminosy teniendo en cuenta que v^h es arbitario y que por tantola ecuacin anterior debe cumplirse para cualquier valorde dicho vector arbitrario se tiene que:

(5)PNj=1 PNi=1 aij(uh)i (f)j (vh)j =0 ) PNi=1 aij(uh)i (f)j = 0 )Ku f = 0

6 4 CMO TRABAJA EL MEF EN LA PRCTICA?

Este es la forma comn del sistema de ecuaciones de unproblema de elementos asociado a una ecuacin diferen-cial lineal, no dependiente del tiempo. Esta ltima formaes precisamente la forma (*) de la resea histrica. Pararesolver numricamente el sistema de ecuaciones (*), queusualmente consta de miles o incluso centenares de milesde ecuaciones se requieren algoritmos ecientes que op-timicen el nmero de operaciones que debe realizarse yahorren memoria.En general las complicaciones computacionales que de-ben resolverse en la resolucin numrica son:

1. El clculo de la matriz de coecientesK = aij , estogeneralmente requiere integracin numrica aproxi-mada lo cual es una nueva fuente de errores en elclculo por el MEF.

2. El uso de un mtodo eciente para resolver el siste-ma de ecuaciones obtenido. Por ejemplo el mtodode Cramer es totalmente impracticable para N 27! , un ordenador de unos 10 GFlops tardara msde 2 aos en resolver el sistema por dicho mto-do, mientras que si se usa el mtodo de eliminacingaussiana tardara menos de una diez milsima desegundo.

Para entender la necesidad de la integracin numrica ne-cesitamos ver qu forma tiene tpicamente la forma dbildel problema, expresada en trminos de los subdominioso elementos nitos. Esa forma dbil involucra integralesde la forma:

R

f d =

Pne=1

R

(e)

f d =Pne=1

R

^(f F (e))JF (e) d^ PNPI

m=1 wmf^(m)JF (e)(m)

Donde:

Rd son el domino sobre el que se planteael problema.

(e); ^ , representan a cada uno de los elemen-tos nitos y al dominio isoparamtrico que dala forma de los elementos nitos.f : Rd ! R; f^ := f F (e) , representanla funcin que debe integrarse y su expresinsobre el dominio isoparamtrico.F (e) : ^ ! (e) , la aplicacin que relacionael dominio isoparamtrico con cada elementonito.wm; m , son los pesos y los puntos de integra-cin usados para integracin gaussiana.n; nPI , son el nmero total de elementos y elnmero de puntos de integracin por elemento.

3.5 Aproximacin del errorDe acuerdo con el lema de Ce (LC) el error cometido enla aproximacin de una solucin exacta mediante elemen-tos nitos viene acotada por el error de aproximacin,es decir, la solucin obtenida mediante el MEF es, tan-to ms buena cuanto mejor sea la aproximacin V hV .Dado que el error de aproximacin depende crucialmentedel tamao de los elementos, cuanto mayor sea su nme-ro a igualdad de otros factores tanto menor ser el errorde aproximacin. A continuacin acotamos este error deaproximacin que acotar el error de la solucin de ele-mentos nitos.Para ello necesitamos denir el dimetro de cada subdo-minio o elemento nito:

he = diam((e)) = maxfkxyk : x; y 2

(e)g; h := maxe jhej

h es un medida de la nura de la discretizacin es el m-ximo de los anteriores valores. Puede comprobarse que elerror de aproximacin (y por tanto el error de la solucinmediante elementos nitos) viene acotada por:

(AE) ku uhkV = ku hukV C1h

k+1mjujk+1;; u 2 V Hk+1()

Donde:

u; uh , son respectivamente la solucin exac-ta y la solucin obtenida mediante elementosnitos.C1 , es un nmero real que depende de la formadel dominio, entre otros factores.Hk+1() , es el k+1-simo espacio de Sobolevde funciones sobre el dominio .jujk+1; , es la seminorma dada por:jujk+1; =

Pjj=k+1 kDukL2()

siendo un multindice y Du la derivada parcial de uasociada al mismo. La norma del espacio L2().

4 Cmo trabaja el MEF en laprctica?

El MEF es un mtodo numrico de resolucin de ecua-ciones diferenciales. La solucin obtenida por MEF esslo aproximada, coincidiendo con la solucin exacta s-lo en un nmero nito de puntos llamados nodos. En elresto de puntos que no son nodos, la solucin aproximadase obtiene interpolando a partir de los resultados obteni-dos para los nodos, lo cual hace que la solucin sea sloaproximada debido a ese ltimo paso.

4.2 Clculo y resolucin de sistemas de ecuaciones 7

El MEF convierte un problema denido en trminos deecuaciones diferenciales en un problema en forma matri-cial que proporciona el resultado correcto para un nme-ro nito de puntos e interpola posteriormente la solucinal resto del dominio, resultando nalmente slo una solu-cin aproximada. El conjunto de puntos donde la solucines exacta se denomina conjunto nodos. Dicho conjuntode nodos forma una red, denominada malla formada porretculos. Cada uno de los retculos contenidos en dichamalla es un elemento nito. El conjunto de nodos se ob-tiene dividiendo o discretizando la estructura en elemen-tos de forma variada (pueden ser supercies, volmenesy barras).Desde el punto de vista de la programacin algortmicamodular las tareas necesarias para llevar a cabo un clculomediante un programa MEF se dividen en:

Preproceso, que consiste en la denicin de geome-tra, generacin de la malla, las condiciones de con-torno y asignacin de propiedades a los materiales yotras propiedades. En ocasiones existen operacionescosmticas de regularizacin de la malla y precon-dicionamiento para garantizar una mejor aproxima-cin o una mejor convergencia del clculo.

Clculo, el resultado del preproceso, en un proble-ma simple no-dependiente del tiempo, permite ge-nerar un conjunto de N ecuaciones y N incgnitas,que puede ser resuelto con cualquier algoritmo pa-ra la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales.Cuando el problema a tratar es un problema no li-neal o un problema dependiente del tiempo a vecesel clculo consiste en una sucesin nita de sistemasde N ecuaciones y N incgnitas que deben resolver-se uno a continuacin de otro, y cuya entrada depen-de del resultado del paso anterior.

Postproceso, el clculo proporciona valores de cier-to conjunto de funciones en los nodos de la mallaque dene la discretizacin, en el postproceso se cal-culan magnitudes derivadas de los valores obtenidospara los nodos, y en ocasiones se aplican operacionesde suavizado, interpolacin e incluso determinacinde errores de aproximacin.

4.1 Preproceso y generacin de la mallaLa malla se genera y sta en general consta de miles (eincluso centenares de miles) de puntos. La informacinsobre las propiedades del material y otras caractersticasdel problema se almacena junto con la informacin quedescribe la malla. Por otro lado las fuerzas, los ujos tr-micos o las temperaturas se reasignan a los puntos de lamalla. A los nodos de la malla se les asigna una densidadpor todo el material dependiendo del nivel de la tensinmecnica u otra propiedad. Las regiones que recibirngran cantidad de tensin tienen normalmente una mayordensidad de nodos (densidad de malla) que aquellos que

experimentan poco o ninguno. Puntos de inters consis-ten en: puntos de fractura previamente probados del ma-terial, entrantes, esquinas, detalles complejos, y reas deelevada tensin. La malla acta como la red de una araaen la que desde cada nodo se extiende un elemento dema-lla a cada nodo adyacente. Este tipo de red vectorial es laque lleva las propiedades del material al objeto, creandovarios elementos.Las tareas asignadas al preproceso son:

1. El continuo se divide, mediante lneas o superciesimaginarias en un nmero de elementos nitos. Estaparte del proceso se desarrolla habitualmente me-diante algoritmos incorporados a programas infor-mticos de mallado durante la etapa de preproceso.

2. Se supone que los elementos estn conectados entres mediante un nmero discreto de puntos o nodos,situados en sus contornos. Los desplazamientos deestos nodos sern las incgnitas fundamentales delproblema, tal y como ocurre en el anlisis simple deestructuras por el mtodo matricial.

3. Se toma un conjunto de funciones que denan demanera nica el campo de desplazamientos dentrode cada elemento nito en funcin de los despla-zamientos nodales de dicho elemento. Por ejemploel campo de desplazamientos dentro de un elemen-to lineal de dos nodos podra venir denido por: u =N1u1 + N2u2, siendo N1 y N2 las funciones comen-tadas (funciones de forma) y u1 y u2 los desplaza-mientos en el nodo 1 y en el nodo 2.

4. Estas funciones de desplazamientos denirn enton-ces de manera nica el estado de deformacin delelemento en funcin de los desplazamientos noda-les. Estas deformaciones, junto con las propiedadesconstitutivas del material, denirn a su vez el estadode tensiones en todo el elemento, y por consiguienteen sus contornos.

5. Se determina un sistema de fuerzas concentradas enlos nodos, tal que equilibre las tensiones en el con-torno y cualesquiera cargas repartidas, resultandoas una relacin entre fuerzas y desplazamientos dela forma F = Ku, que como vemos es similar a ladel clculo matricial.

4.2 Clculo y resolucin de sistemas deecuaciones

En un problema mecnico lineal no-dependientes deltiempo, como un problema de anlisis estructural est-tico o un problema elstico, el clculo generalmente sereduce a obtener los desplazamientos en los nodos y conellos denir de manera aproximada el campo de despla-zamientos en el elemento nito.

8 5 TIPOS DE ANLISIS INGENIERILES

Cuando el problema es no lineal en general la aplicacinde las fuerzas requiere la aplicacin incremental de lasfuerzas y considerar incrementos numricos, y calcularen cada incremento algunas magnitudes referidas a losnodos. Algo similar sucede con los problemas dependien-tes del tiempo, para los que se considera una sucesin deinstantes, en general bastante cercanos en el tiempo, y seconsidera el equilibrio instantneo en cada instante. Engeneral estos dos ltimos tipos de problemas requierenun tiempo de clculo sustancialmente ms elevado queen un problema estacionario y lineal.

4.3 PostprocesoActualmente, el MEF es usado para calcular problemastan complejos, que los cheros que se generan como re-sultado del MEF tienen tal cantidad de datos que resultaconveniente procesarlos de alguna manera adicional parahacerlos ms comprensible e ilustrar diferentes aspectosdel problema. En la etapa de post-proceso los resultadosobtenidos del la resolucin del sistema son tratados, paraobtener representaciones grcas y obtener magnitudesderivadas que permitan extraer conclusiones del proble-ma.El post-proceso del MEF generalmente requiere softwareadicional para organizar los datos de salida, de tal maneraque sea ms fcilmente comprensible el resultado y per-mita decidir si ciertas consecuencias del problema son ono aceptables. En el clculo de estructuras por ejemplo, elpost-proceso puede incluir comprobaciones adicionalesde si una estructura cumple los requisitos de las normaspertinentes, calculando si se sobrepasan tensiones admi-sibles, o existe la posibilidad de pandeo en la estructura.

4.4 Problemas termomecnicosUn amplio rango de funciones objetivo (variables con elsistema) estn disponibles para la minimizacin la ma-ximizacin:

Masa, volumen, temperatura Energa tensional, esfuerzo tensional Fuerza, desplazamiento, velocidad, aceleracin Sinttica (denidas por el usuario)

Hay mltiples condiciones de carga que se pueden aplicaral sistema. Algunos ejemplos son:

Puntuales, presin, trmicas, gravedad, y cargascentrfugas estticas

Cargas trmicas de soluciones del anlisis de trans-misin de calor

Desplazamientos forzados

Flujo de calor y convencin Puntuales, de presin, y cargas de gravedad dinmi-cas

Cada programa MEF puede venir con una biblioteca deelementos, o una que es construida con el tiempo. Algu-nos ejemplos de elementos son:

Elementos tipo barra Elementos tipo viga Placa/Cscara/Elementos compuestos Panel de sndwich Elementos slidos Elementos tipo muelle Elementos de masa Elementos rgidos Elementos amortiguadores viscosos

Muchos programas MEF tambin estn equipados con lacapacidad de usar mltiples materiales en la estructura,como:

Modelos elsticos isotrpicos / ortotrpicos / anis-tropicos generales

Materiales homogneos / heterogneos Modelos de plasticidad Modelos viscosos

5 Tipos de anlisis ingenierilesEl programador puede insertar numerosos algoritmos ofunciones que pueden hacer al sistema comportarse demanera lineal o no lineal. Los sistemas lineales son menoscomplejos y normalmente no tienen en cuenta deforma-ciones plsticas. Los sistemas no lineales toman en cuentalas deformaciones plsticas, y algunos incluso son capa-ces de vericar si se presentara fractura en el material.Algunos tipos de anlisis ingenieriles comunes que usanel mtodo de los elementos nitos son:

Anlisis esttico se emplea cuando la estructura es-t sometida a acciones estticas, es decir, no depen-dientes del tiempo.

Anlisis vibracional es usado para analizar la es-tructura sometido a vibraciones aleatorias, choquese impactos. Cada uno de estas acciones puede actuaren la frecuencia natural de la estructura y causar re-sonancia y el consecuente fallo.

5.3 Limitaciones 9

Anlisis de fatiga ayuda a los diseadores a prede-cir la vida del material o de la estructura, predicien-do el efecto de los ciclos de carga sobre el especi-men. Este anlisis puede mostrar las reas donde esms probable que se presente una grieta. El anli-sis por fatiga puede tambin predecir la toleranciaal fallo del material.

Los modelos de anlisis de transferencia de calor porconductividad o por dinmicas trmicas de ujo del ma-terial o la estructura. El estado continuo de transferenciase reere a las propiedades trmicas en el material quetiene una difusin lineal de calor.

5.1 Resultados del MEFElMEF se ha vuelto una solucin para la tarea de predecirlos fallos debidos a tensiones desconocidas enseando losproblemas de la distribucin de tensiones en el material ypermitiendo a los diseadores ver todas las tensiones in-volucradas. Este mtodo de diseo y prueba del productoes mejor al ensayo y error en donde hay que mantenercostos de manufactura asociados a la construccin de ca-da ejemplar para las pruebas.Las grandes ventajas del clculo por ordenador se puedenresumir en:

Hace posible el clculo de estructuras que, bien porel gran nmero de operaciones que su resolucinpresenta (entramados de muchos pisos, por ejem-plo) o por lo tedioso de las mismas (entramados es-paciales, por ejemplo) las cuales eran, en la prctica,inabordables mediante el clculo manual.

En la mayora de los casos reduce a lmites despre-ciables el riesgo de errores operativos.

5.2 MEF de Orden SuperiorLos ltimos avances en este campo indican que su futu-ro est en mtodos de adaptacin de orden superior, queresponde satisfactoriamente a la creciente complejidadde las simulaciones de ingeniera y satisface la tenden-cia general la resolucin simultnea de los fenmenos conmltiples escalas. Entre las diversas estrategias de adap-tacin para los elementos nitos, los mejores resultadosse pueden lograr con la hp-adaptabilidad. La adaptativi-dad orientada a un objetivo esta basada en la adaptacinde la malla de elementos nitos, con el objetivo de me-jorar la resolucin en una cantidad especca de inters(en lugar de reducir al mnimo el error de la aproxima-cin en alguna norma global), y la hp-adaptabilidad sebasa en la combinacin de renamientos espaciales (h-adaptabilidad), con una variacin simultnea del ordendel polinomio de aproximacin (p-adaptabilidad). Exis-ten ejemplos donde la 'hp-adaptabilidad' result ser la

nica manera de resolver el problema en un nivel reque-rido de exactitud

5.3 Limitaciones

En general el MEF tal como se usa actualmente tiene al-gunas limitaciones:

El MEF calcula soluciones numricas concretas yadaptadas a unos datos particulares de entrada, nopuede hacerse un anlisis de sensibilidad sencilloque permita conocer como variar la solucin si al-guno de los parmetros se altera ligeramente. Es de-cir, proporciona slo respuestas numricas cuantita-tivas concretas no relaciones cualitativas generales.

El MEF proporciona una solucin aproximada cu-yo margen de error en general es desconocido. Sibien algunos tipos de problemas permiten acotar elerror de la solucin, debido a los diversos tipos deaproximaciones que usa el mtodo, los problemasno lineales o dependientes del tiempo en general nopermiten conocer el error.

En el MEF la mayora de aplicaciones prcticasrequiere mucho tiempo para ajustar detalles de lageometra, existiendo frecuentemente problemas demal condicionamiento de las mallas, desigual gradode convergencia de la solucin aproximada hacia lasolucin exacta en diferentes puntos, etc. En generaluna simulacin requiere el uso de numerosas prue-bas y ensayos con geometras simplicadas o casosmenos generales que el que nalmente pretende si-mularse, antes de empezar a lograr resultados satis-factorios.

6 Mtodo implcito y mtodo expl-cito

En problemas dinmicos, donde las magnitudes cambiana lo largo del tiempo, existen diversos mtodos para in-tegrar en el tiempo. En ambos mtodos se discretiza eltiempo, por lo que se considera la solucin slo para uncierto nmero de instantes (para el resto de valores deltiempo se puede interpolar la solucin por intervalos). Ladiferencia entre un instante en el que se busca la solu-cin y el siguiente se denomina, paso de tiempo. Las dosprincipales variantes del clculo por FEM son:

Mtodo implcito, que requieren resolver a cada pa-so de tiempo un sistema de ecuaciones, aunque pue-den usarse pasos de tiempo ms largos.

Mtodo explctio, que no requieren resolver un sis-tema de ecuaciones a cada paso de tiempo, aunque

10 7 REFERENCIA

debido a que la convergencia no siempre est asegu-rada el paso de tiempo debe escogerse conveniente-mente pequeo.

6.1 El mtodo implcito

Estos clculos suelen usarse para el cclulo de rigidez(aunque a veces tambin se pueden calcular en dinmico).Entre los mtodos implcitos algunos son incondicional-mente convergentes (no divergen exponencialmente de lasolucin exacta) slo para cierta eleccin ja de los par-metros del mtodo.Los clculos por el mtodo implcito (o semi-implcitoa la parte ms rgida del sistema) requieren mucho mstiempo de computacin para dar un paso en el tiempo, yaque deben invertir una matriz de tamao muy grande, poresto, se suelen emplear mtodos de intereacin, en vezde mtodos directos. En compensacin, se pueden usarpasos de tiempo mucho ms grandes ya que son estables.

6.2 El mtodo explcito

Unmtodo explcito es el que no requiere la resolucin deun sistema de ecuaciones no trivial a cada paso de tiem-po. En estos clculos se realiza una simulacin con modi-cacin de la malla a lo largo del tiempo. En general losmtodos explcitos requieren menor tiempo de compu-tacin que los mtodos implcitos aunque frecuentementepresentan el problema de no ser incondicionalmente con-vergentes, y requieren evaluar primero el paso de tiempomximo para que la computacin sea numricamente es-table. Los mtodos explcitos suelen ser condicionalmen-te convergentes pero no incondicionalmente convergen-tes, por lo que el paso de tiempo usado en el esquema dediferencias nitas debe ser menor que cierto valor:

t mink 2!k

Siendo !k las frecuencias propias del sistema.Se est realizando un clculo explcito, se estrealizando un anlisis dinmico del mecanis-mo u estructura, en el que suele haber pasos detiempomuy cortos para que sea estable, aunquese puede lograr una alta precisin para sistemasdinmicos.

En los elementos nitos explcitos es preferible el uso deelementos sencillos, como cuadrilteros con un punto deintegracin y estabilizacin frente a modos de energa nu-la, frente a elementos de orden superior.Los mtodos explcitos encuentran su campo de aplica-cin ptimo en problemas de dinmica rpida, en los quese producen fuertes no linealidades y el empleo de inter-valos de tiempo pequeos pasa a ser una necesidad.

Una ventaja importante del mtodo explcito es la reso-lucin de las ecuaciones a nivel exclusivamente local, sinplantear en ningn momento sistemas de ecuaciones glo-bales acopladas. Esto permite el uso de algoritmos ele-mento por elemento, que facilitan el clculo en paralelo.Planteados como mtodos de relajacin dinmica o rela-jacin viscosa, se enmarcan junto con mtodos iterativosde resolucin de ecuaciones no lineales, como los mto-dos de relajacin de Gauss-Seidel, o gradiente conjugadoprecondicionado con tcnicas de elemento por elemento.Siendo muy interesante para el clculo en paralelo.

7 Referencia[1] Turner, M., R. W. Clough, H. C. Martin y L. J. Topp,

Stiness and Deection Analysis of Complex Structuu-res, J. Aeronautical Science 23 (9), pp. 805-823, Sep-tiembre de 1956

7.1 Bibliografa K. J. Bathe (1995): Finite Element Procedures,Prentice Hall, 2nd edition.

P. G. Ciarlet (1978): The Finite Element Methodfor Elliptic Problems, North-Holland, msterdam,1978.

P. G. Ciarlet (1991): Basic error estimates for ellip-tic problems en Handbook of Numerical Analy-sis (Vol II) J.L. Lions y P. G. Ciarlet (ed.), North-Holland, msterdam, 1991, p. 17-351.

7.2 Programas para elementos nitos Abaqus Ansys Inventor Flux code_bright Cosmos Staad.pro Catia v5 Cype Dlubal RFEM Sap2000 Algor HKS/Abaqus/Simulia

11

ANSYS CAELinux Elmer FEAP Phase2 Nastran Stampack Kratos Multi-Physics I-deas Femap Pro/ENGINEER Mechanica Elas2D Comsol Castem SolidWorks SOFiSTiK FreeFem OpenFEM OpenFlower OpenFOAM Calculix Tochnog Gmsh-GetDP Z88 CYMECAP Architrave FEMFRAC

8 Vase tambin Anlisis de Elementos Finitos Mtodo de los elementos nitos en la mecnica es-tructural

9 Enlaces externos Anlisis de un desvo de Ferrocarril por el Mtodode los Elementos Finitos (Proyecto n de carrera deIngeniera Mecnica de la Universidad de Oviedo),Portada, Anexo.

12 10 TEXTO E IMGENES DE ORIGEN, COLABORADORES Y LICENCIAS

10 Texto e imgenes de origen, colaboradores y licencias10.1 Texto

Mtodo de los elementos nitos Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_los_elementos_finitos?oldid=78923108 Co-laboradores: Cucharro, Ascnder, SimnK, Tano4595, GermanX, Tabeissan, Paintman, Cuat, CEM-bot, Davius, Ingenioso Hidalgo, Da-nit, Tortillovsky, Botones, Egaida, JAnDbot, Integral triple, TXiKiBoT, Humberto, Felipebm, Plux, Aibot, Technopat, Nicoguaro, Ra-fael.heras, Muro Bot, PaintBot, Bigsus-bot, Mel 23, SPQRes, DragonBot, DoN vErDuGo, Alecs.bot, SchmidtCristian, AVBOT, Juan-jo.it.ab, MastiBot, MelancholieBot, Nallimbot, ArthurBot, Xqbot, Jkbw, A martindiaz, AstaBOTh15, Oxilium, Boatbadly, Isnardo.arenas,Ricar256, Felipe Raimann, EmausBot, ZroBot, Tehelado, Il foco, MerlIwBot, Invadibot, Legobot, SantoBOT, JacobRodrigues y Anni-mos: 82

10.2 Imgenes Archivo:Example_of_2D_mesh.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/80/Example_of_2D_mesh.png Licen-

cia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Self-made using Infolytica Corporations MagNet Software. Artista original: Zureks Archivo:FAE_visualization.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/FAE_visualization.jpg Licencia: Public

domain Colaboradores: ? Artista original: ? Archivo:FEM_example_of_2D_solution.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7b/FEM_example_of_2D_

solution.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Self-made using Infolytica Corporations MagNet software Artista original: Zureks Archivo:Finite_element_method_1D_illustration1.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Finite_

element_method_1D_illustration1.png Licencia: Public domain Colaboradores: ? Artista original: ? Archivo:Piecewise_linear_function2D.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6d/Piecewise_linear_

function2D.svg Licencia: Public domain Colaboradores: self-made, with en:MATLAB. Artista original: Oleg Alexandrov Archivo:Z88v13_1.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/93/Z88v13_1.jpg Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colabo-

radores: Trabajo propio Artista original: Bal 79

10.3 Licencia de contenido Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0

Introduccin Breve resea histrica Uso prctico del mtodo hacia 1950 De 1960 a 1970 A partir de 1980

Descripcin matemtica del mtodo Formulacin dbil Discretizacin del dominio Funciones de forma y espacio de la solucin Resolucin de las ecuaciones Aproximacin del error

Cmo trabaja el MEF en la prctica? Preproceso y generacin de la malla Clculo y resolucin de sistemas de ecuaciones Postproceso Problemas termomecnicos

Tipos de anlisis ingenieriles Resultados del MEF MEF de Orden Superior Limitaciones

Mtodo implcito y mtodo explcitoEl mtodo implcitoEl mtodo explcito

Referencia Bibliografa Programas para elementos finitos

Vase tambin Enlaces externosTexto e imgenes de origen, colaboradores y licenciasTextoImgenesLicencia de contenido