METODO DE JACOBI

En análisis numérico el método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo Ax = b . El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar fórmulas como iteración de punto fijo.

Carl Gustav Jacob Jacobi (Nació 10 de diciembre de 1804 en Potsdam, Prusia, actual Alemania, murió 18 de febrero de 1851en Berlín) fue un matemático alemán. Autor muy prolífico, contribuyó en varios campos de la matemática, principalmente en el área de las funciones elípticas, el álgebra, la teoría de números y las ecuaciones diferenciales. También destacó en su labor pedagógica, por la que se le ha considerado el profesor más estimulante de su tiempo.

La sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema  en la forma siguiente:

A = D + L + U donde D= es una matriz diagonal. L= es una matriz triangular inferior., U =es una matriz triangular superior.

Partiendo de Ax=b , podemos reescribir dicha ecuación como:

Dx + (L+U)x = b

LuegoX = D^-1 [b- (L+U)x]

Si aii ≠ 0 para cada i. Por la regla iterativa, la definición del Método de Jacobi puede ser expresado de la forma:

donde  es el contador de iteración, Finalmente tenemos:

Cabe destacar que al calcular xi(k+1) se

necesitan todos los elementos en x(k), excepto el que tenga el mismo i. Por eso, al contrario que en el método Gauss-Seidel, no se puede sobreescribir xi

(k) con xi(k+1), ya que su valor será

necesario para el resto de los cálculos. Esta es la diferencia más significativa entre los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. La cantidad mínima de almacenamiento es de dos vectores de dimensión n, y será necesario realizar un copiado explícito.