Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real

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Tema 7: EL METODO DE CROSS APLICADO A ESTRUCTURAS

TRANSLACIONALES

− Relaciones entre desplazamiento y pares de empotramiento.

− Relaciones entre fuerzas y pares de empotramiento.

− Relaciones entre fuerzas y desplazamientos.

− Resumen de conclusiones.

− Simplificaciones estructurales en los casos más usuales.

− Desarrollo del método para estructuras con nudos desplazables.

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RELACION entre DESPLAZAMIENTOS y PARES DE EMPOTRAMIENTO

Se suponen rigideces K y K’, y factores de transmisión β y β’, según se considere el extremo origen.

Ltag

δ=θ=θ

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Sustituyendo θ por su tangente Lδ

, los pares de empotramiento valen:

( )K''KL

MA +β⋅⋅δ

=

( )'KKL

MB +β⋅⋅δ

=

Si I y E son constantes, 21

'=β=β ; L

IE4'KK

⋅⋅== . Operando se obtiene:

( )22A LIE6

121

LIE4

LIE4

21

LIE4

LK''K

LM

δ⋅⋅⋅=

+⋅

δ⋅⋅⋅=

⋅⋅

+⋅⋅⋅

⋅δ

=+β⋅⋅δ

=

( )22B LIE6

121

LIE4

LIE4

21

LIE4

L'KK

LM

δ⋅⋅⋅=

+⋅

δ⋅⋅⋅=

⋅⋅

+⋅⋅⋅

⋅δ

=+β⋅⋅δ

=

Por tanto, 2BA LIE6

MMδ⋅⋅⋅

== .

Si la pieza es empotrada-articulada, 2A LIE3

Mδ⋅⋅⋅

= .

Si la situación de partida es la inversa, es decir, si se conocen los pares de

empotramiento MA y MB en una pieza que puede desplazarse de B a B’, se obtiene el desplazamiento δ por cualquiera de las relaciones siguientes:

K''KLMA

+β⋅⋅

=δ

'KKLMB

+β⋅⋅

=δ

Si I y E son constantes:

IE6LM

IE6LM 2

B2

A

⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅=δ

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RELACION entre FUERZAS y PARES DE EMPOTRAMIENTO

Al llegar a una posición de equilibrio, se cumple:

0M =∑ (1)

0MMLF BA =−−⋅

0F =∑ (2)

0FT =−

Para poder calcular estos pares de empotramiento es necesario recurrir a

las expresiones obtenidas al estudiar las relaciones entre desplazamientos y pares de empotramiento y así disponer del siguiente sistema:

0MMLF BA =−−⋅

( )K''KL

MA +β⋅⋅δ

=

( )'KKL

MB +β⋅⋅δ

=

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Haciendo

φ=+β⋅+β⋅

='KK

K''KMM

B

A , φ⋅= BA MM ,

de donde se obtiene:

0MMLF BA =−−⋅

0MMLF BB =−φ⋅−⋅

φ+⋅

=1

LFMB

φ+φ⋅⋅

=1

LFMA

Si sucede que las piezas son de sección constante y del mismo material,

21

=β ; y L

IE4K

⋅⋅= . Operando se tiene:

1

LIE4

21

LIE4

LIE4

21

LIE4

'KKK''K

=⋅⋅

+⋅⋅⋅

⋅⋅+⋅

⋅⋅

=+β⋅+β⋅

=φ

2LF

1LF

MA

⋅=

φ+φ⋅⋅

=

2LF

1LF

MB

⋅=

φ+⋅

=

Por tanto, 2

LFMM BA

⋅== .

Si la situación de partida es la inversa, es decir, si se conocen los pares de

empotramiento MA y MB en una pieza que puede desplazarse de B a B’, se obtiene la fuerza mediante la siguiente ecuación:

LMM

F0MMLF BABA

+=→=−−⋅

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RELACION entre EMPUJES y DESPLAZAMIENTOS

0MMLF BA =−−⋅

( )K''KL

MA +β⋅⋅δ

=

( )'KKL

MB +β⋅⋅δ

=

Eliminamos los pares de las expresiones anteriores, así se obtiene la fuerza

en función del desplazamiento.

( ) ( ) 0'KKL

K''KL

LF =+β⋅⋅δ

−+β⋅⋅δ

−⋅

Despejando F:

( ) ( )[ ]β+⋅+β+⋅⋅δ

= 1K'1'KL

F2

Si se realiza la simplifación de suponer las piezas de sección constante y

del mismo material, se obtiene:

( ) ( )[ ]

+⋅

⋅⋅+

+⋅

⋅⋅⋅

δ=β+⋅+β+⋅⋅

δ=

2

11

L

IE4

2

11

L

IE4

L1K'1'K

LF

22

3L

IE12F

δ⋅⋅⋅=

Al igual que en los casos anteriores, es inmediato obtener la relación

inversa; en este caso la obtención del desplazamiento en función de la fuerza F:

( ) ( )[ ]β+⋅+β+⋅⋅

=δ1K'1'K

LF

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RESUMEN

Conocidos

Desconocidos Desplazamientos Fuerzas Momentos

Desplazamientos 3 1

Fuerzas 3 2

Momentos 1 2

La relación entre todos los factores viene determinada por el sistema:

0MMLF BA =−−⋅

( )K''KL

MA +β⋅⋅δ

=

( )'KKL

MB +β⋅⋅δ

=

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GRADO DE TRANSLACIONALIDAD o GRADO DE DESPLAZABILIDAD

El grado de translacionalidad o grado de desplazabilidad de una estructura es el número desplazamientos posibles en la misma que resultan ser linealmente independientes entre sí.

Es el número de reacciones exteriores que es necesario añadir para que la

estructura sea intranslacional.