Método de Runge-Kutta

En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos

genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones

diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del

año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

Descripción

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son unos conjuntos de métodos iterativos

(Implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales

ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial Sea

Una ecuación diferencial ordinaria, con   donde   es un

conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:

,

Donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento   entre los

sucesivos puntos   y . Los coeficientes  son términos de aproximación intermedios,

evaluados en ƒ de manera local

Con   coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla

de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos

dependiendo de las constantes   del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con

todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir,   

para  , los esquemas son explícitos.

Ejemplo

Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en   y otra en  . ƒ(t,y(t)) en

la primera etapa es:

Para estimar ƒ(t,y) en   se usa un esquema Euler

Con estos valores de ƒ, se sustituyen en la ecuación

de manera que se obtiene la expresión:

Los coeficientes propios de este esquema son: 

Variantes

Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-Kutta

explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos

Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg).Este último consiste en ir aproximando la

solución de la ecuación mediante dos algoritmos Runge-Kutta de órdenes diferentes, para

así mantener el error acotado y hacer una buena elección de paso.

Métodos de Runge-Kutta de cuarto orden

Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a

menudo es referenciado como «RK4» o como «el método Runge-Kutta».

Definiendo un problema de valor inicial como:

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

Donde

Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) más el

producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un

promedio ponderado de pendientes, donde   es la pendiente al principio del intervalo,   

es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando   para determinar el valor de y en

el punto   usando el método de Euler.   es otra vez la pendiente del punto medio,

pero ahora usando   para determinar el valor de y;   es la pendiente al final del intervalo,

con el valor de y determinado por . Promediando las cuatro pendientes, se le asigna

mayor peso a las pendientes en el punto medio:

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual

significa que el error por paso es del orden de , mientras que el error total acumulado

tiene el orden . Por lo tanto, la convergencia del método es del orden de ,

razón por la cual es usado en los métodos computaciones.

Métodos Runge-Kutta de dos Evaluaciones:

Aqui buscamos métodos o fórmulas numéricas de la forma:

Note que a pesar de que en la fórmula se perciben tres f's, el método envuelve solo dos evaluaciones ya que dos de estas f's tienen los mismos argumentos. La idea ahora es

determinar los parámetros   de modo que el método tenga orden de convergencia lo más alto posible. Un análisis del error local de esta fórmula basado en el Teorema de Taylor muestra que el orden más alto que puede tener esta fórmula es dos y que esto puede ocurrir si y solo si:

Es decir si   cumplen con estas condiciones, entonces ej=y(tj)-yj=O(h2) para toda

j. Algunos casos especiales de estas fórmulas son:

Método de Heun: Aqui se toma   de modo que el método reduce a:

Para propositos de hacer cálculos es mejor escribir esta fórmula como:

Método del Punto Medio: Aqui se toma   de modo que el método reduce a:

METODOS MULTIPASOS:

Los métodos de euler, Heun, Taylor y Runge-Kutta se llaman método de un paso porque en el cálculo de cada punto sólo se usa la información del último punto. Los métodos multipaso utiliza la información de los puntos previos, a saber, y i, y i-1,..., y i-m+1 para calcular y i+1 . Por ejemplo, en un método de tres pasos para calcular y i+1 , se necesita conocer y i , y i-1 , y i-2

El principio que subyace en un método multipaso es utilizar los valores previos para construir un polinomio interpolante que aproxime a la función f(t,y(t)).

El número de valores previos considerados para determinar el polinomio interpolante nos determina el grado del polinomio. Por ejemplo, si se consideran tres puntos previos, el polinomio de aproximación es cuadrático; si se usan cuatro puntos previos, el polinomio es cúbico

METODOS DE ADAMS

Los métodos de Adams son métodos multipasos. Los métodos de Adams se pueden clasificar en dos grandes clases: los métodos de Adams-Bashforth y los métodos de Adams-Moulton. Estos se pueden combinar para formar los métodos predictor-corrector de Adams-Bashforth-Moulton.

La idea fundamental del método de Adams-Bashforth de n pasos es usar un polinomio de interpolación de f(t,y(t)) que pasa por los n puntos:

( t i ,f i )

La idea fundamental del método de Adams-Moulton de n pasos es usar un polinomio de interpolación de f(t,y(t)) que pasa por los n+1 puntos:

(t i+1, f i+1), (ti-1,f i-1),..., (t i-n+1,f i-n+1)., (ti,fi),..., (ti-n +1,fi-n+1).

Ejemplo1 Deducir el método de Adams-Bashforth de dos pasos para resolver la

E.D.O. y' = f(t,y)

METODOS PREDICTOR-CORRECTOR

En la práctica los métodos multipaso implícitos (por ejemplo:el método de A-M) , no se puede usar directamente. Estos métodos sirven para mejorar las aproximaciones obtenidas con los métodos explícitos. La combinación de un método explícito con un método implícito del mismo orden se denomina un método predictor-corrector.

Método Predictor Corrector de cuarto orden de Adams- Bashforth- Moulton

i1 La fórmula predictora es la de Adams-Bashforth:

y = y i+ h(55 f i – 59 f i-1 +37 f i-2-9 f i-3)/24,

La fórmula correctora es la de Adams-Moulton:

y i+1= y i + h (9 f +19 fi- 5 f i-1 + fi-2)/24;

Corrector de Adams-Moulton:

y i+1 = y i + (9 f +19 f i - 5 f i-1 + f i-2 )/24;

donde: f i= f (t i ,y i ); f i-1 = f (t i-1 ,y i-1 ); f i-2 = f (t i-2 ,y i-2 ); f i-3 = f (t i-3 ,y i-3 );

f = f (ti+1 , y );

DIFERENCIAS FINITA:

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si

una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar

al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar

de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un

papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución

de ecuaciones diferenciales.

Diferencias anterior, posterior y central

Diferencias finitas.

Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central.

Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma

Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma el

limite  h → 0.

Una diferencia regresiva, atrasada o anterior es de la forma

Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores.

Viene dada por

Relación con las derivadas

La derivación de la función f en un punto x está definida por el límite

Si h tiene un valor fijado no nulo, en lugar de aproximarse a cero, el término de la derecha

se convierte en

Por lo tanto, la diferencia anterior dividida por h aproxima a la derivada cuando h es

pequeño. El error de esta aproximación puede derivarse del teorema de Taylor. Asumiendo

que f es continuamente diferenciable, el error es

La misma fórmula es válida en la diferencia posterior:

Sin embargo, la diferencia central lleva a una aproximación más ajustada. Su error

es proporcional al cuadrado del espaciado (si f es dos veces continuamente diferenciable).

Cálculo de diferencias finitas

La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace

corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula

Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder   con su derivada , es

decir, 

Formalmente, invirtiendo la exponencial,

Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el

mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las

series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una serie

asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la

derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de la serie llevan a:

El error de la aproximación es del orden de h2.

Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son

Derivadas de órdenes mayores

De forma análoga se pueden obtener aproximaciones en diferencias finitas para

derivadas de orden mayor y operadores diferenciales. Por ejemplo usando la fórmula de la

diferencia central mostrada anteriormente con un espaciado de   para   

y   y aplicando la fórmula de diferencia central a la derivada de   en x,

obtenemos la aproximación de la diferencia central de la segunda derivada de f:

Métodos de diferencias finitas

Otro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientes

diferenciales a medida que h se acerca a cero. Así que se pueden usar diferencias finitas

para aproximar derivadas. Esta técnica se emplea a menudo en análisis numérico,

especialmente inecuaciones, ecuaciones en diferencias y ecuación en derivadas parciales.

Los métodos resultantes reciben el nombre de métodos de diferencias finitas.

Las aplicaciones habituales de los métodos de diferencias finitas son en los campos

de la computación y áreas de la ingeniería como ingeniería térmica o mecánica de fluidos.