metodo algebraico y simplex maximizacion - … · aspecto se creó el método simplex cuya gran...

Jaime Campo Rodríguez,PhD 1

MÉTODO ALGEBRAICO:

El método algebraico es una alternativa de solución a problemas de

programación lineal. Sin embargo es muy dispendioso, en razón a

que trabaja con todos los datos de las ecuaciones, para mejorar éste

aspecto se creó el método simplex cuya gran virtud es su sencillez,

método muy práctico, ya que sólo trabaja con los coeficientes de la

función objetivo y de las restricciones.

1. Plantear el problema en términos matemáticos (Función

Objetivo y conjunto de restricciones)

2. Convertir en igualdades todas las restricciones lineales

expresadas en forma de desigualdades, adicionando variables

de holgura a las desigualdades de menor o igual que y restar

variables de excedente (superfluas)a las desigualdades de

mayor o igual que.

Obtención de las soluciones básicas:


3. Identificación de soluciones:

a. Determinar # de soluciones básicas posibles: Para m

ecuaciones y n incógnitas el # de soluciones básicas

posibles se obtiene a partir de:

!

!( )!

n

m n m−


b. Se aplica el teorema básico de álgebra lineal, que

especifica que para un sistema de m(ecuaciones) x

n(incógnitas) en el que n>m , si existe una solución,

puede encontrarse igualando n-m de las variables a

cero y resolviendo el conjunto de m(ecuaciones) con m

(variables)



i. Elección de variables básicas y no básicas:

Variables no básicas: Variables que se igualan a cero.

Variables básicas: Variables que se usan para resolver las

ecuaciones.

Igualar variables básicas a cero (n-m ⇒ es posible iniciar con

las variables de decisión) para convertirlas en no básicas y

resolver el sistema de ecuaciones. Este proceso será

repetitivo hasta hallar todas las soluciones básicas posibles.


c. De las soluciones básicas es posibles identificar:

i. Soluciones Básicas Factibles: que corresponden a las

esquinas o vértices de la región factible y sus variables son

no negativas.

ii.Solución Básica No Factible: están por fuera de la

región factible.

iii. Solución óptima: Aquella que tiene todas sus variables

no negativas y es el mayor valor, para el caso de

maximización. Para el caso de minimización será la que

presente el menor valor.



EJEMPLO: Caso de Agro-Tech

Paso No. 1 : Maximizar: Z = 18.5X1 + 20X2

s.a. 0.05X1 + 0.05X2 <= 11000.05X1 + 0.10X2 <= 18000.10X1 + 0.05X2 <= 2000

X1 , X2 >= 0



Paso No. 2 : Maximizar: Z = 18.5X1 + 20X2 + 0S1+ 0S2+ 0S3

s.a. 0.05X1 + 0.05X2 + S1 = 1100

0.05X1 + 0.10X2 + S2 = 1800

0.10X1 + 0.05X2 + S3 = 2000

X1 , X2 , S3 , S2 , S3 >= 0El modelo modificado usa ponderaciones de cero para cada variable de holgura en la función objetivo; se emplean estos pesos porque los recursos de holgura no contribuyen con nada a las utilidades.




Paso No. 3 : a. # soluciones básicas posibles =

=

b. # de variables a igualar a cero = n – m

= 5 – 3

= 2

!

!( )!

n

m n m−5!

103!(5 3)!

=−



Paso No. 3 : i. Para nuestro problema modificado se resuelve fácil el

conjunto de ecuaciones cuando X1 y X2 son iguales a cero. Reemplazando:

0.05(0) + 0.05(0) + S1 = 1100

0.05(0) + 0.10(0) + S2 = 1800

0.10(0) + 0.05(0) + S3 = 2000




Paso No. 3 : i. Se observa que:

S1 = 1100S2 = 1800

S3 = 2000

Al sustituir en la función objetivo arroja una utilidad igual a cero. Esta

corresponde a la primera solución básica.



Paso No. 3 : i. Se continua el proceso de igualar dos variables a cero

y resolver el conjunto resultante de ecuaciones, identificando las nueve

(9) soluciones básicas restantes, que se presentan en la siguiente tabla:

Cálculo para la segunda solución básica:

Igualando X1 y S1 a cero:

0.05(0) + 0.05X2 + 0 = 11002

110022000

0.05X = =




Paso No. 3 : i. 0.05(0) + 0.10(22000) + S2 = 1800

0.10(0) + 0.05(22000) + S3 = 2000

2 1800 2200 400S = − = −

3 2000 1100 900S = − =


Soluciones Básicas EJEMPLO: Caso de Agro-Tech

SoluciónVariables Función

objetivo ZX1 X2 S1 S2 S3

1 0 0 1100 1800 2000 0

2 0 22000 0 -400 900 No Factible

3 0 18000 200 0 1100 $360.000

4 0 40000 -900 -2200 0 No Factible

5 36000 0 -700 0 -1600 No Factible

6 20000 0 100 800 0 $370.000

7 22000 0 0 700 -200 No Factible

8 8000 14000 0 0 500 $428.000

9 18000 4000 0 500 0 $413.000

10 14666.6 10666.6 -166.6 0 0 No Factible


Soluciones Básicas EJEMPLO: Caso de Agro-Tech

0 10 20 30 40

0

10

20

30

40

2

1

3

4

56 7

8

9

10

X1

X2


Soluciones básicas factibles: Soluciones en las que todas sus

variables son positivas (1, 3, 6, 8 y 9).

Soluciones básicas No factibles: Soluciones en las que al menos

una de las variables tiene valor negativo (2, 4, 5, 7 y 10).

Soluciones Óptima: Solución con el mayor valor en la función

objetivo (Maximización) y todas sus variables no negativas (8).



1. Identificar la solución básica inicial.

2. Determinar si existe una solución factible mejor, si la hay, llevar

a cabo el paso No.3; si no es así, la solución que se tiene es la

óptima.

3. Encontrar la mejor solución cambiando una variable no básica

por una básica, haciendo que todas las variables sean no

negativas, y repetir el paso No.2

Método Algebraico :

1. Identificar la solución básica inicial:

0.05X1 + 0.05X2 + S1 = 11000.05X1 + 0.10X2 + S2 = 18000.10X1 + 0.05X2 + S3 = 2000

Variables no básicas: X1 y X2 = 0

Solución básica inicial:S1 = 1100 S2 = 1800 S3 = 2000X1 = 0 X2 = 0

F. O. Z = 0



2. Determinar si existe una solución factible mejor.

Planteamos las ecuaciones de la siguiente forma:

1) S1 = 1100 – 0.05X1 – 0.05X2

2) S2 = 1800 – 0.05X1 – 0.10X2

3) S3 = 2000 – 0.10X1 – 0.05X2

Reemplazamos en la F.O.

Max Z = 18.5X1 + 20X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3



Reemplazamos en la F.O.

Max. Z = 18.5X1 + 20X2 + 0 (1100 – 0.05X1 – 0.05X2) +

0(1800 – 0.05X1 – 0.10X2 ) + 0(2000 – 0.10X1 –

0.05X2 )

Z = 18.5X1 + 20X2




¿Qué variable no básica debe elegirse para convertirla en básica?

En la F.O. la variable X2 tiene el mayor coeficiente esto significa

que representará un mayor aumento en caso de convertir en básica.


3. Encontrar la mejor solución.

¿Qué valor debe tomar X2 para evitar que las otras variables tomen

valores negativos, considerando a X1 como no básica?

S1 → Nitrato X2 = 0.05 ⇒ 1100/0.05 = 22000

S2 → Fosfato X2 = 0.10 ⇒ 1800/0.10 = 18000

S3 → Potasio X2 = 0.05 ⇒ 2000/0.05 = 40000

El Fosfato es el componente que más restringe la producción del

fertilizante 5-10-5, por tal razón S2 = 0




Variables No Básicas: S2 = 0 y X1 = 0

Variables Básica: X2 , S1 y S3

De la 2) hallamos X2: 0.10X2 = 1800 – S2 – 0.05X1

X2 = (1800 – S2 – 0.05X1)/0.10

X2 = 18000 – 0.5X1 – 10S2

X2 lo reemplazamos en las ecuaciones 1) y 3) y en la F.O., así:



De la 1) hallamos S1:

S1 = 200 – 0.025X1 + 0.5S2

De la 3) hallamos S3:

S3 = 1100 – 0.075X1 + 0.5S2




Al sustituir X2 en la F.O. tenemos:

Z = 18.5X1 + 20(18000 – 0.5X1 – 10S2)Z = 360.000 + 8.5X1 – 200S2

Nuestras nuevas ecuaciones son:

4) X2 = 18000 – 0.5X1 – 10S2

5) S1 = 200 – 0.025X1 + 0.5S2

6) S3 = 1100 – 0.075X1 + 0.5S2



Igualando X1 y S2 a Cero, la solución básica factible, es:

X2 = 18000 X1 = 0

S1 = 200 S2 = 0

S3 = 1100

Z = 360.000



Repetimos el proceso, observando la F.O.,:

Z = 360.000 + 8.5X1 – 200S2

X1 tiene coeficiente positivo que indica que el valor de Z puede

aumentar si esta variable la convertimos en básica y se determina

que valor puede tomar:

4) 18000/0.5 = 36000

5) 200/0.025 = 8000 ⇒ S1 es el que más restringe

6) 1100/0.075 = 14.666


Variables No Básicas: S2 = 0 y S1 = 0

Variables Básica: X2 , X1 y S3

Despejamos las variables básicas en función X1, así:

De la 5) hallamos X1 = 8000 – 40S1 + 20S2

De la 4) hallamos X2 = 14000 + 20S1 – 20S2

De la 6) hallamos S3 = 500 + 3S1 – 1.0S2

Z = 428000 – 340S1 – 30S2




Igualando S1 y S2 a Cero, la solución óptima es:

X1 = 8000 X2 = 14000

S1 = 0 S2 = 0

S3 = 500

Z = 428.000


Método Simplex:

Utiliza la misma lógica del enfoque algebraico. La única diferencia

es que el problema que se resuelve se maneja en forma tabular, en

vez de hacerlo en forma de ecuaciones. La ventaja del formato

tabular es que resulta más fácil de manejar en términos de cálculos

y evita la tarea de volver a escribir continuamente las variables y

ecuaciones.


Método Simplex: Caso de Maximización

Ejercicio de Agro-Tech

Procedimiento: Pasos a seguir

1. Plantear el problema en términos matemáticos:

Maximizar: Z = 18.5X 1+20X2

s.a. 0.05X1+0.05X2<=1100

0.05X1+0.10X2<=1800

0.10X1+0.05X2<=2000

X1, X2>=0

Método Simplex: Caso de Maximización 2. Convertir en igualdades todas las restricciones lin eales

expresadas en forma de desigualdades (FORMA

ESTÁNDAR), adicionando variables de holgura a las

desigualdades de menor o igual que (<=) y restando

variables de excedente (superfluas) a las de mayor o igual

que (>=)

Maximizar: Z = 18.5X 1+20X2 +0S1+0S2+0S3

s.a. 0.05X1+0.05X2+S1 =1100

0.05X1+0.10X2 +S2 =1800

0.10X1+0.05X2 +S3 =2000

X1, X2 ,S1,S2,S3 >=0

Forma

Estándar



3. ITEM 1: Determinar variables básicas y no básicas,

expresando los coeficientes de las restricciones en forma

tabular:

1000.050.10

0100.100.05

0010.050.05

S3S2S1X2X1

MatrizIdentidad

La matriz identidad permite obtener una solución factible básica inicial

identificando las variables básicas (S1,S2 y S3) y no básicas (X1 y X2)


3. ITEM 2: Identificadas las variables básicas y no básicas se

procede a trasladar la función objetivo y el conjun to de

restricciones a la Tabla Simplex Inicial :

2000

1800

1100

Segundo Término

(Solución)RHS

Contribución por Unidad

00020.018.5CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

Contribución neta por unidad que se fabrica

Cj-Zj

Cálculo del valor ZZj

1000.050.100S3

0100.100.050S2Coeficientes

0010.050.050S1

Encabezados y variablesS3S2S1X2X1



3. ITEM 3: La única parte de la Tabla Simplex Inicial que se

calcula, son las filas Zj , (Cj-Zj) y el valor Z.

Zj: Se calcula sumando los productos de los coeficientes en la

columna CJ por los coeficientes de la columna asociada con la

variable respectiva:

Ejemplo: Para X1⇒Z1=(0)(0.05)+(0)(0.05)+(0)(0.10) = 0

Para X2⇒Z2=(0)(0.05)+(0)(0.10)+(0)(0.05) = 0


3. ITEM 3: Zj

Tabla Simplex Inicial:

2000

1800

0

1100

Segundo Término

(Solución)RHS


00020.018.5CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓


Cj-Zj

Cálculo del valor Z00000Zj

1000.050.100S3


0010.050.050S1




3. ITEM 3:

(Cj-Zj) : Se calcula restando para cada variable el valor de Zj del

valor de Cj, en sus respectivas columnas

Ejemplo: Para X1⇒ 18.5 – 0 = 18.5

Para X2⇒ 20.0 – 0 = 20.0

NOTA: Si un valor de (Cj – Zj) es positivo, indica que la utilidad

puede incrementarse aumentando el valor de la variable

correspondiente. Si todos los valores (Cj – Zj) son no positivos

(ceros y/o negativos), la tabla representa una solución óptima.


3. ITEM 3: Cj - Zj


2000

1800

0

1100

Segundo Término

(Solución)RHS


00020.018.5CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓


0002018.5Cj-Zj


1000.050.100S3


0010.050.050S1




3. ITEM 3:

El valor de Z se calcula sumando los productos de los

coeficientes CB y los valores de solución para las variables

básicas:

Z = (0)(1100) + (0)(1800) + (0)(2000)

Z = 0

Este valor se muestra en la parte inferior de la columna

Segundo Término (Solución)


3. ITEM 3: Z


Esta tabla no representa la solución óptima, porque existen valores positivos en la fila (Cj – Zj)

2000

1800

0

1100

Segundo Término

(Solución)RHS


00020.018.5CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓


0002018.5Cj-Zj


1000.050.100S3


0010.050.050S1




4. Construcción de la Tabla Simplex No. 1 (Buscando la

solución)

ITEM 1: Selección de la variable que entra : Esta selección

parte de los valores de la fila (Cj-Zj) en la Tabla Simplex Inicial,

eligiendo la variable que tenga el mayor valor positivo. La

columna asociada con esta variable se denomina columna de

entrada y la variable que se elige variable que entra (variable

nueva)


4. ITEM 1: Variable que entra


X2 es la variable que entra , puesto que representa el mayor aumento en la F.O. ($20 por cada tonelada

de X2 que se fabrique).

2000

1800

0

1100

Segundo Término

(Solución)RHS


00020.018.5CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓


00020 ↑18.5Cj-Zj


1000.050.100S3


0010.050.050S1




4. Construcción de la Tabla Simplex No. 1 (Buscando la

solución)

ITEM 2: Selección de la variable que sale : Se obtiene

dividiendo las cantidades de la columna Segundo Término

(RHS) entre los coeficientes positivos de la columna

correspondiente a la variable que entra (es decir, los

coeficientes de la variable que ingresa como básica) fila por fila.


4. ITEM 2: Variable que sale

Razones de los ingredientes para el fertilizante 5- 10-5

400000.0520003

180000.1018002

220000.0511001

CocienteCoeficiente X 2Segundo Término (Solución)

Fila

Se elige la fila que tenga el menor cociente no negativo como el que va a

reemplazarse. Esta fila que sale se asocia con la variable que se convertirá en no

básica.



4. ITEM 2: Para facilitar la identificación de la Variable que sale

se puede incluir el calculo del cociente en la Tabla Simplex:Tabla Simplex Inicial:

0

2000

1800

1100

Segundo Término

(Solución)RHS

40000

18000

22000

Cociente

00020.018.5CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

00020 ↑18.5Cj-Zj

00000Zj

1000.050.100S3

0100.100.050S2

0010.050.050S1

S3S2S1X2X1


4. ITEM 3: Se identifica el elemento pivote , en la Tabla SimplexInicial , que se encuentra en la intersección de la columna que entra y la fila que sale :

0

2000

1800

1100

Segundo Término

(Solución)RHS

40000

18000 →→→→

22000

Cociente

00020.018.5CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

00020 ↑18.5Cj-Zj

00000Zj

1000.050.100S3

0100.100.050S2

0010.050.050S1

S3S2S1X2X1



4. ITEM 4: Determinadas las variables básica (entrante) y no básica (saliente) , se procede a actualizar los coeficientes de la

Tabla Simplex No. 1 para que reflejen el cambio:

Segundo Término

(Solución)RHS

Cociente

00020.018.5CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

Cj-Zj

Zj

0S3

20X2

0S1

S3S2S1X2X1


4. ITEM 4: Se transforma la fila asociada con la variable que sale , dividiendo la fila que sale entre el elemento pivote :

Nueva Fila X 2

Segundo Término ⇒ 1800/0.10 = 18000

X1 ⇒ 0.05/0.10 = 0.5

X2 ⇒ 0.10/0.10 = 1

S1 ⇒ 0/0.10 = 0

S2 ⇒ 1/0.10 = 10S3 ⇒ 0/0.10 = 0


Método Simplex: Caso de Maximización 4. ITEM 4: Nueva Fila X 2

Tabla Simplex No. 1

Esta Fila Reemplazante se utilizará como sustraendo para los cálculos del ITEM 5.

18000

Segundo Término

(Solución)RHS

Cociente

00020.018.5CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

Cj-Zj

Zj

0S3

010010.520X2

0S1

S3S2S1X2X1


4. ITEM 5: Las filas restantes de la Tabla Simplex No.1 , se actualizan utilizando la siguiente fórmula:

NF = FA – CCE(FR)NF = Nueva FilaFA = Fila Anterior en la Tabla Simplex InicialCCE = Coeficiente Columna que Entra para las filas restantes (Tabla Simplex Inicial)FR = Fila Reemplazante



4. ITEM 5: Actualización de las filas restantes

Nueva Fila (S 1)FA [ 1100 0.05 0.05 1 0 0]-CCE(FR1) -(0.05) [18000 0.5 1 0 10 0]NF(S1) 200 0.025 0 1 -0.5 0

Nueva Fila (S 3)FA [ 2000 0.10 0.05 0 0 1]

-CCE(FR3) -(0.05) [18000 0.5 1 0 10 0]

NF(S3) 1100 0.075 0 0 -0.5 1


4. ITEM 5: Las filas restantes:

1100

18000

200

Segundo Término

(Solución)RHS

Cociente

00020.018.5CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

Cj-Zj

Zj

1-0.5000.0750S3

010010.520X2

0-0.5100.0250S1

S3S2S1X2X1



4. ITEM 6: El paso final para la Tabla Simplex No. 1 , consiste

en calcular los nuevos renglones de Zj, (Cj – Zj) y el valor de

Z, como se calcularon para Tabla Simplex Inicial y verificar

si se tiene la solución óptima:

Método Simplex: Caso de Maximización 4. ITEM 6:

Como aun se tienen coeficientes mayores que cero en la Fila (Cj – Zj), no se ha llegado a la solución óptima; se debe realizar nuevamente el ITEM 1 del paso No.4 (Calcular la variable que entra y la variable que sale).

360000

1100

18000

200

Segundo Término

(Solución)RHS

Cociente

00020.018.5CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

0-200008.5Cj-Zj

020002010Zj

1-0.5000.0750S3

010010.520X2

0-0.5100.0250S1

S3S2S1X2X1


Método Simplex: Caso de Maximización 4. ITEM 6: Variable que entra y Variable que sale

Tabla Simplex No. 1

360000

1100

18000

200

Segundo Término

(Solución)RHS

14666.66

36000

8000 →→→→

Cociente

00020.018.5CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

0-200008.5↑Cj-Zj

020002010Zj

1-0.5000.0750S3

010010.520X2

0-0.5100.0250S1

S3S2S1X2X1


5. Construcción de la Tabla Simplex No.2: Nuevamente se divide la fila que sale (Tabla Simplex No.1 ) entre el elemento pivote (0.025) y se calculan las filas restantes:

Nueva Fila (X 2)FA [18000 0.5 2 0 10 0]

-CCE(FR) -(0. 5) [ 8000 1 0 40 -20 0]

NF(S1) 14000 0 1 -20 20 0

Nueva Fila (S 3)FA [ 1100 0.075 0 0 -0.5 1]

-CCE(FR) -(0.075) [ 8000 1 0 40 -20 0]

NF(S3) 500 0 0 -3 1 1


Método Simplex: Caso de Maximización 5. Tabla Simplex No. 2

500

14000

8000

Segundo Término

(Solución)RHS

Cociente

00020.018.5CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

Cj-Zj

Zj

11-3000S3

020-201020X2

0-2040010X1

S3S2S1X2X1

Método Simplex: Caso de Maximización 5. Tabla Simplex No. 2: Nuevamente se calculan los renglones

de Zj, (Cj – Zj) y el valor de Z, como se calcularon anteriormente y se verificar si se tiene la solución óptima:

428000

500

14000

8000

Segundo Término

(Solución)RHS

Cociente

00020.018.5CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

0-30-34000Cj-Zj

0303402018.5Zj

11-3000S3

020-201020X2

0-2040010X1

S3S2S1X2X1


Método Simplex: Caso de Maximización 5. Tabla Simplex No. 2:

Al verificar los valores de (Cj – Zj), todos son cero y/o negativos; por tanto, esta tabla presenta la solución óptima.

428000

500

14000

8000

Segundo Término

(Solución)RHS

Cociente

00020.018.5CJ →→→→V.B. ↓↓↓↓

0-30-34000Cj-Zj

0303402018.5Zj

11-3000S3

020-201020X2

0-2040010X1

S3S2S1X2X1

Método Simplex: Caso de Maximización Resumen del Procedimiento:1. Plantear el problema en términos matemáticos.2. Convertir en igualdades todas las restricciones

(adicionando o restando variables de holgura o exce dente según el caso)

3. Construcción Tabla Simplex Inicial:• ITEM 1: Determinar Variables Básicas y No Básicas

(Matriz Identidad)• ITEM 2: Trasladar la F.O. y el conjunto de restricc iones

a la Tabla Simplex Inicial• ITEM 3: Calcular Z j, (Cj – Zj) y el valor de Z. Verificar si

se ha llegado a la solución óptima, sino continuar.


Método Simplex: Caso de Maximización Resumen del Procedimiento:4. Construcción de la Tabla Simplex No.1

• ITEM 1: Selección de la variable que entra (Mayor v alor positivo en la fila (C j – Zj) en la Tabla Simplex Inicial)

• ITEM 2: Selección de la variable que sale (menor cociente no negativo)

• ITEM 3: Identificación del elemento pivote (Interse cción de la columna que entra y la fila que sale)

• ITEM 4: Transformar la fila asociada con la variabl e que sale, dividiendo la fila que sale entre el elemento pivote.

Método Simplex: Caso de Maximización Resumen del Procedimiento:4. Construcción de la Tabla Simplex No.1

• ITEM 5: Calcular filas restantes utilizando la fórm ula NF=FA-CCE(FR)

• ITEM 6: Calcular los nuevos renglones Z j, (Cj – Zj) y el valor de Z. Verificar si se ha llegado a la solució n óptima, sino realizar nuevamente el ITEM 1 del paso No. 4

metodo algebraico y simplex maximizacion - … · aspecto se creó el método simplex cuya gran...

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