Tema: desbordamiento y prdida de cifras significativas. Estabilidad y condicionamientoCifras significativas. Definicin Las cifras significativas de un nmero son aquellas que tienen un significado real y, por tanto, aportan alguna informacin. Toda medicin experimental es inexacta y se debe expresar con sus cifras significativas. Veamos un ejemplo sencillo: supongamos que medimos la longitud de una mesa con una regla graduada en milmetros. El resultado se puede expresar, por ejemplo como:Longitud (L) = 85,2 cmNo es esta la nica manera de expresar el resultado, pues tambin puede ser:L = 0,852 mL = 8,52 dmL = 852 mmetc

Se exprese como se exprese el resultado tiene tres cifras significativas, que son los dgitos considerados como ciertos en la medida. Cumplen con la definicin pues tienen un significado real y aportan informacin. As, un resultado comoL = 0,8520 mno tiene sentido ya que el instrumento que hemos utilizado para medir no es capaz de resolver las diezmilsimas de metro.Por tanto, y siguiendo con el ejemplo, el nmero que expresa la cantidad en la medida tiene tres cifras significativas. Pero, de esas tres cifras sabemos que dos son verdaderas y una es incierta, la que aparece subrayada a continuacin:L = 0,852mEsto es debido a que el instrumento utilizado para medir no es perfecto y la ltima cifra que puede apreciar es incierta. Cmo es de incierta? Pues en general se suele considerar que la incertidumbre es la cantidad ms pequea que se puede medir con el instrumento, aunque no tiene por qu ser as pues puede ser superior a dicha cantidad. La incertidumbre de la ltima cifra tambin se puede poner de manifiesto si realizamos una misma medida con dos instrumentos diferentes, en nuestro caso dos reglas milimetradas. Por extrao que pueda parecer no hay dos reglas iguales y, por tanto, cada instrumento puede aportar una medida diferente. Quedando claro que la ltima cifra de la medida de nuestro ejemplo es significativa pero incierta, la forma ms correcta de indicarlo (asumiendo por ahora que la incertidumbre es de 1 mm), esL = 0,852 0,001 mNo obstante, lo ms normal es omitir el trmino 0001y asumir que la ltima cifra de un nmero siempre es incierta si ste est expresado con todas sus cifras significativas. Este es el llamadoconvenio de cifras significativasque asume quecuando un nmero se expresa con sus cifras significativas, la ltima cifra es siempre incierta.Asumiendo que cualquier problema de fsica o qumica de un libro de texto nos muestra las cantidades con sus cifras significativas, debemos saber expresar el resultado de las operaciones que hagamos con dichos nmeros con sus cifras significativas correspondientes. Es lo que veremos ms adelante pues antes es necesario ampliar conceptos y establecer procedimientos.Reglas para establecer las cifras significativas de un nmero dado

Regla 1.En nmeros que no contienen ceros, todos los dgitos son significativos.Por ejemplo:3,14159 seis cifras significativas 3,14159

5.694 cuatro cifras significativas 5.694

Regla 2.Todos los ceros entre dgitos significativos son significativos.Por ejemplo:2,054 cuatro cifras significativas 2,054

506 tres cifras significativas 506

Regla 3.Los ceros a la izquierda del primer dgito que no es cero sirven solamente para fijar la posicin del punto decimal y no son significativos.Por ejemplo:0,054 dos cifras significativas 0,054

0,0002604 cuatro cifras significativas 0,0002604

Regla 4.En un nmero con dgitos decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos.Por ejemplo:0,0540 tres cifras significativas 0,0540

30,00 cuatro cifras significativas 30,00

Regla 5.Si un nmero no tiene punto decimal y termina con uno o ms ceros, dichos ceros pueden ser o no significativos. Para poder especificar el nmero de cifras significativas, se requiere informacin adicional. Para evitar confusiones es conveniente expresar el nmero en notacin cientfica, no obstante, tambinse suele indicar que dichos ceros son significativos escribiendo el punto decimal solamente. Si el signo decimal no se escribiera, dichos ceros no son significativos.Por ejemplo:1200 dos cifras significativas 1200

1200, cuatro cifras significativas 1200,

Regla 6.Los nmeros exactos tienen un nmero infinito de cifras significativas. Los nmeros exactos son aquellos que se obtienen por definicin o que resultan de contar un nmero pequeo de elementos. Ejemplos:-Al contar el nmero de tomos en una molcula de agua obtenemos un nmero exacto: 3.-Al contar las caras de un dado obtenemos un nmero exacto: 6.-Por definicin el nmero de metros que hay en un kilmetro es un nmero exacto: 1000.-Por definicin el nmero de grados que hay en una circunferencia es un nmero exacto: 360

Prdida de cifras significativasSe presenta cuando se restan cantidades casi iguales en una mquina, por ejemplo, six= 2.1784301 yz= 2.1765628 se restan en una mquina decimal que maneja 5 dgitos y usa redondeo se tendra que:fl(x)= 0.21784 x 101fl(z)= 0.21766 x 101fl(x)fl(z)= 0.00018 x 101xz=fl (fl(x)fl(z))= 0.18000 x 10-2Observe que para representar axzen su forma de punto flotante se necesit desplazar dgitos en la mantisa aadiendo tres ceros en el lado derecho, estos ceros carecen de sentido y no representan una exactitud adicional ya que slo sirven para denotar el lugar decimal.El valor real dexzes 0.0018673 y el error relativo es de 0.036041.El valor dado por la mquina tiene 2 cifras significativas ya que0.036041 = 3.6041 x 10-2< 5 x 10-2. En este caso, aunque se trabaja con 5 dgitos, el nmero 0.18000 x 10-2slo tiene 2 cifras significativas, ya que las primeras tres cifras dexyzcoinciden, su diferenciaxzslo contiene 2 cifras decimales.Para apreciar la prdida de dgitos significativos cuando se restan nmeros casi iguales suponga quexyzson nmeros reales tales quex>z, y

x= 0d1d2d3. . .dpdp+1dp+2. . .dkdk+1. . . 10nyz= 0d1d2d3. . .dpap+1ap+2. . .akak+1. . . 10n

si se utiliza una mquina decimal que usa una mantisa akdgitos (corte) entonces

fl(x)= 0d1d2d3. . .dpdp+1dp+2. . .dk 10nfl(z)=0d1d2d3. . .dpap+1ap+2. . .ak 10nAhora,

Por lo tanto el nmero que se usa para representar axztendr solamentekp cifras significativas.La prdida de dgitos significativos debido al error de redondeo a veces se puede evitar reformulando el problema o reordenando los clculos o reemplazando enel caso de haber una funcin por un polinomio de Taylor.