metalurgia extractiva - unv. aconcagua

UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA

METALURGIA EXTRACTIVA

Programa de mineralogía y metalurgia

Jorge Cáceres N

Mineralogía y Metalurgia Extractiva Apuntes de clases Página 2 de 107

UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA TÉCNICO NIVEL SUPERIOR EN MINAS

INDICE

METALURGIA EXTRACTIVA ............................................................................................... 4

INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 4

CAPÍTULO I EL ENTORNO ..................................................................................................... 6

1.1 MINERALES, MENAS Y YACIMIENTOS: ELEMENTOS BÁSICOS ...................................6

CAPÍTULO II RELACIONES GENERALES TAMAÑO-ENERGÍA ......................................... 21

2.1 RELACIONES ENTRE LA TAREA DE REDUCCIÓN Y EL CONSUMO DE ENERGÍA ASOCIADO ............................................................................................................. 22

CAPÍTULO III CONCEPTOS GENERALES DE MOLIENDA ................................................. 26

3.1 ANTECEDENTES GENERALES ....................................................................................... 26

3.2 CONCEPTOS TEÓRICOS DE MOLIENDA ....................................................................... 30

3.2.1 MECANISMOS DE MOLIENDA ...................................................................................... 30

3.3 EQUIPOS: CLASIFICACIÓN DE LOS MOLINOS ............................................................ 33

3.4.- REVESTIMIENTOS .......................................................................................................... 37

TIPOS DE REVESTIMIENTOS DE GOMA Y ACERO ............................................................ 37

MATERIALES DE REVESTIMIENTO ...................................................................................... 38

TIPOS DE CAUCHO ................................................................................................................ 38

TIPOS DE ACERO EN REVESTIMIENTOS DE MOLINOS .................................................... 38

3.5.- FACTORES QUE INFLUYEN EN LA CAPACIDAD DE MOLIENDA ............................. 40

GRADO DE LLENADO ............................................................................................................ 40

VELOCIDAD DE ROTACION .................................................................................................. 41

CAPÍTULO IV. VALORACIÓN DE LA ENERGÍA ................................................................... 42

4.1.- INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 42

4.2.- MODELO PARA VALORAR LA ENERGÍA EN LA MOLIENDA DE MINERALES MULTICOMPONENTES .................................................................................... 43

CAPÍTULO V. CLASIFICACIÓN ............................................................................................ 49

5.1.- TIPOS DE HARNEROS ................................................................................................... 50

5.2.- FACTORES QUE AFECTAN LA EFICIENCIA DE UN HARNERO ................................ 54

5.3.- CLASIFICADORES.......................................................................................................... 55

CLASIFICADORES DE ESPIRAL (DE RASTRILLO O DE ARRASTRE): ............................. 55

CLASIFICADORES DE ESPIRAL ........................................................................................... 56

CLASIFICADORES MECÁNICOS ........................................................................................... 56

CLASIFICADORES DE PALETAS .......................................................................................... 57


CLASIFICADORES DE TANQUE CILÍNDRICO ..................................................................... 57


CLASIFICADORES HIDRÁULICOS ........................................................................................ 58

5.4.- FACTORES QUE ALTERAN LA CURVA DE EFICIENCIA ........................................... 61

CLASIFICADORES NEUMÁTICOS ........................................................................................ 64

CLASIFICACIÓN A TRAVÉS DE FLUIDOS ........................................................................... 64

EVALUACIÓN DE LOS CLASIFICADORES .......................................................................... 67



RENDIMIENTO DE LOS CLASIFICADORES ......................................................................... 67

CAPÍTULO VI.- BALANCE DE MATERIALES ....................................................................... 69

BALANCES DE MATERIALES ............................................................................................... 72

EQUIPOS DE MOLIENDA ....................................................................................................... 72

RECIRCULACIONES ............................................................................................................... 73

CAPÍTULO VII. MODELAMIENTO MATEMÁTICO ................................................................ 81

CHANCADO Y HARNEO ......................................................................................................... 81

MODELO DE CLASIFICACIÓN CON HARNEROS ................................................................ 82

MOLIENDA Y CLASIFICACIÓN .............................................................................................. 83

MOLIENDA CONVENCIONAL ................................................................................................ 83

MOLIENDA SEMIAUTÓGENA ................................................................................................ 86

CLASIFICACIÓN CON HIDROCICLONES ............................................................................. 90

CAPÍTULO VIII SEDIMENTACIÓN Y ESPESAMIENTO ........................................................ 94

INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 94

TEORÍA BÁSICA DE SEDIMENTACIÓN ................................................................................ 94

SEDIMENTADOR CONTINUO ................................................................................................ 96

DETERMINACIÓN DEL ÁREA MÍNIMA REQUERIDA PARA CONSEGUIR LA CLARIFICACIÓN. .................................................................................................................... 97

INSTALACION EXPERIMENTAL .......................................................................................... 102

PROCEDIMIENTO OPERATIVO ........................................................................................... 102

BIBLIOGRAFÍAS Y REFERENCIAS .................................................................................... 106



Metalurgia Extractiva

INTRODUCCIÓN

La Metalurgia es la ciencia, el área de ingeniería y el arte de extraer metales a partir

de sus minerales, refinándolos y preparándolos para sus usos en todo el ámbito del

trabajo y quehacer humano desde hace siglos.

En metalurgia extractiva, los procesos mineralógicos corresponden a todas las

operaciones unitarias que involucran la preparación mecánica de los minerales antes

de someterse a cambios químicos que derivan finalmente en la obtención del metal

puro, como por ejemplo la fundición de concentrados.

La preparación mecánica contempla la conminución en sus etapas de chancado

primario, chancado secundario y molienda o chancado primario, molienda

semiautógena y molienda.

Por otra parte, los metales, entre otros nuestro cobre, se encuentran en la naturaleza,

en los minerales, los cuales están formados por las especies mineralógicas valiosas,

mezcladas con grandes cantidades de materiales de desecho o ganga.

Una vez extraído el mineral de la mina, el primer paso consiste, en separar físicamente

las especies mineralógicas que contienen el o los metales que nosotros deseamos

separar de la ganga, triturando y moliendo los minerales; el segundo paso consiste en

concentrar las especies valiosas por flotación por espuma (en el caso de minerales

sulfurados). Estas operaciones no modifican las características químicas de las especies

que han sido separadas y concentradas.

Las etapas siguientes de obtención del cobre a partir de sus concentrados y su

posterior refinación son de naturaleza química, ya que debe ser recuperado de la

especie mineralógica que lo contiene, donde el metal está unido químicamente a otros

elementos, en el caso del cobre, principalmente azufre y fierro; por lo tanto, su

separación sólo es posible a través de un proceso químico. La mayoría de ellos se

realiza en hornos a altas temperaturas, aunque algunos se efectúan en soluciones

acuosas a temperaturas ambientes; en ciertos casos, también se utiliza la electricidad

para producir dichos cambios químicos. En general la obtención de cobre, dependiendo

de la naturaleza de la especie mineralógica, involucra una combinación particular de

estas etapas.

Una vez que el metal ha sido extraído y refinado debe ser sometido a un tratamiento

posterior para ser adaptado al uso que se le ha asignado.

La primera parte de esta descripción comienza con la recepción, desde la mina, del

mineral (MENA) y su reducción hasta tamaños aptos de concentración por medio de

etapas de chancado y en especial de molienda.

Esta visión general del proceso de molienda de minerales asociado a una de sus

operaciones más importantes como la reducción de tamaño (y a la vez la MAS

costosa…) hará referencia a sus objetivos, sus variables y a su siempre presente



compañero: La Clasificación de Tamaños, tarea que hoy realiza el clasificador

hidrociclón en el conjunto de equipos que conforman el “Sistema de Molienda

Clasificación”. Previo a ello hay un par de temas considerados de interés en la

introducción, que son los minerales y su entorno, de ellos, de su diseminación y ley

están referidas sus habilidades de ser explotados y del costo que va asociado a su

reducción previa.



CAPÍTULO I El Entorno

1.1 Minerales, Menas y Yacimientos: Elementos básicos

Los metales se encuentran en la naturaleza asociados a otros elementos químicos,

formando sales y compuestos insolubles. El cobre puede estar presente al estado de

sulfuro o de óxido y sólo ocasionalmente al estado de cobre nativo. Cada una de estas

formas químicas recibe el nombre de ESPECIE MINERALOGICA.

Un mineral, también llamado especie mineralógica, tiene una definición que dice ser

“Un compuesto sólido, de ocurrencia natural de origen inorgánico, de composición

química definida y con estructura cristalina”, en la naturaleza se han definido cerca de

3500 sustancias con tal característica pero no mas de 200 son los mas comunes y solo

cerca de 50 a 70 se usan para fines de obtención de metal o con fines de uso

industrial. Tan solo 300 son consideradas especies de interés económico. Por razones

geológicas estas especies se han concentrado en ciertas zonas del planeta

constituyendo los YACIMIENTOS MINERALES. Estos yacimientos pueden contener uno

o más metales al estado de diferentes especies mineralógicas, las que a su vez, se

encuentran físicamente asociadas a especies sin valor denominadas GANGA.(Depósito

($) << Yacimiento ($))

Dentro del área cobre, las especies mas comunes y de interés económico del área

sulfuros son:

1. El sulfuro, Cu2S corresponde mineralógicamente a la CALCOCINA.

2. El sulfuro, CuS corresponde mineralógicamente a la COVELINA.

3. El sulfuro de cobre y fierro, Cu5FeS4 corresponde a la especie Bornita.

4. El sulfuro de cobre y hierro, CuFeS2., es la CALCOPIRITA.

Una de las subdivisiones mas comunes de minerales es el de separar si son origen de

metales o si se usarán como tales, es decir como minerales dado que su propiedad

interesante la tiene como tal, en ese caso se llamarán Minerales Industriales.

Los minerales metálicos o no-metálicos tienen, generalmente, leyes muy bajas que no

permiten utilizar directamente las tecnologías establecidas para la obtención de los

metales. Es entonces, necesario recurrir a métodos que permitan aumentar el

contenido de material útil de las menas. Los métodos de concentración de minerales

están constituidos por un conjunto de etapas con objetivos determinados que

permitan, en primer lugar, desintegrar la mena, liberar los distintos componentes

mineralógicos y luego separarlos obteniendo a lo menos dos productos, uno de alta ley



del metal útil denominado CONCENTRADO y otro de muy baja ley denominado RELAVE

o COLAS.

Se denomina ROCA al material duro que forma la corteza terrestre y que está

compuesta de uno o más minerales. El 99,5 % de las rocas están constituidas por sólo

12 elementos: oxígeno, silicio, aluminio, hierro, calcio, potasio, magnesio, titanio,

fósforo, hidrógeno, carbono y manganeso. Los elementos restantes comprenden todas

las substancias útiles y algunas preciosas, tales como, cobre, plomo, zinc, estaño,

níquel, plata, oro y platino, que constituyen sólo el 0,5 % del total.

Las especies mineralógicas y la ganga constituyen la materia prima para la extracción

del metal. Este material recibe el nombre de MENA y en ocasiones también se lo

designa por MINERAL.

El contenido metálico de la mena se denomina LEY y se lo expresa en porcentaje. Así,

por ejemplo, una mena de cobre con ley de 1,2 % significa que 100 gramos de mineral

contienen 1,2 gramos de cobre, sin importar la o las especies químicas que lo

contienen.

La ley de una mena se determina mediante un ANÁLISIS QUÍMICO CUANTITATIVO. La

caracterización completa de una mena comprende un ANALISIS MINERALOGICO, que

identifica las especies mineralógicas presentes, y un ANALISIS QUIMICO que cuantifica

el contenido metálico. LIBERACION

Las especies mineralógicas se encuentran siempre asociados a la ganga formando

mezclas que reciben el nombre de diseminaciones. Se dice que una diseminación es

fina cuando los componentes de la mezcla son muy finos. En las figuras se muestran

diversas diseminaciones de una especie en su ganga.

Se ilustran distribuciones llamadas Vetiformes (vetas o vetillas), de Diseminación

Media o Gruesa y de Diseminación Fina ( menores o en rango a 200 mallas). Ambas

últimas son parte de la distribución llamada “Porfidos” o distribución porfídica o

porfirica, que caracteriza que la especie de valor está finamente distribuida en una

matriz que la contiene. Esto solo fue enfrentado con un criterio económico por un

ingeniero de la Kenecott Copper Co llamado Daniel K Jacking en 1918.

El conocimiento de la forma y grado de diseminación es de importancia primordial en

el procedimiento de concentración. Este dato indicará el tamaño a que deberá ser

molido el mineral para que las especies mineralógicas sean LIBERADAS, esto es, para

que cada partícula contenga solamente especie mineralógica o ganga. La liberación es

el requisito fundamental para aplicar un método físico de concentración.

La liberación de las especies mineralógicas se efectúa mediante una operación

denominada REDUCCION DE TAMAÑO. La reducción de tamaño se aplica a materiales

de distintos tamaños, de acuerdo a como llegue de la mina, el que puede tener

tamaños de hasta un metro.



Como los problemas que se encuentran al reducir el tamaño de partículas grandes o

pequeñas son diferentes, y los equipos utilizados son también distintos, la operación se

divide en dos grandes etapas.

La reducción de tamaño de partículas muy grandes, desde 1 metro a 1 centímetro, se

denomina TRITURACION 0 CHANCADO, y aquella en rangos menores MOLIENDA. Cada

etapa se subdivide, a su vez, en dos o tres sub-etapas.

La Tabla siguiente da una idea de los rangos de tamaño, consumo de energía y

equipos utilizados en cada una de ellas.

En las plantas de concentración, las etapas de trituración y molienda se establecen en

forma de CIRCUITOS de reducción de tamaño. La trituración se efectúa principalmente

por la compresión de las partículas de roca entre dos superficies metálicas que se

acercan y alejan en forma de una oscilación.



Ya en el campo general de la trituración, las posibilidades son múltiples y variadas,

todas ellas y sus variaciones son producto de la adecuación energética del proceso de

reducción, como se apreció en la tabla anterior, el consumo de energía para hacer la

reducción de los diversos equipos es muy diferente entre ellos.

Las nuevas plantas han considerado esa indicación para seleccionar el equipo que

mejor lo hace en un determinado rango de reducción La molienda se lleva a cabo por

el impacto sufrido por las partículas de mineral con bolas de acero que llenan el molino

en un rango entre 38 a 45 % (Dependiendo del diámetro del trunion…). El mineral

mezclado con agua llena los intersticios entre las bolas y reciben los impactos que

producen las bolas al rotar el molino.

Para lograr estos rangos, es necesario “moler” la roca mineralizada (Mena), lo que se

logrará en la etapa de molienda, esta puede ser realizada con molinos de diferentes

características, tamaños y formas que generan procesos con diversas eficiencias

energéticas expresadas por consumos específicos de energía CEE (Kwhr/ton)

Posibles Estrategias de Plantas de Reducción de Tamaño hasta Molienda

Considerando el alto costo de la operación de reducción de tamaño, debido

principalmente al gran consumo de energía, una operación eficiente requiere evitar que

las partículas de mineral sean reducidas en tamaño más allá de lo necesario. Esto se

consigue retirándolas oportunamente del circuito mediante un CLASIFICADOR.



Este equipo separa las partículas según su tamaño, entregando un material grueso

denominado DESCARGA y un material fino llamado REBALSE. Los clasificadores se

colocan inmediatamente después de las trituradoras o de los molinos; reciben el

material triturado o molido, lo clasifican retornando al molino la descarga y enviando el

rebalse al próximo proceso.

Existen varios tipos de clasificadores, pero los más usados en la industria minera son

los HARNEROS para los circuitos de trituración y los HIDROCICLONES para los circuitos

de molienda El clasificador ciclón y su entrada y salidas de pulpa caracterizadas con

granulometrías de finos y gruesos.

El movimiento turbulento del torbellino del ciclón ha realizado la separación de

materiales en su interior de modo tal que los gruesos se mueven en las cercanías de la

pared interna del ciclón en un espiral descendente y los

finos han sido entrampados por un espiral que sube o

asciende cercano al eje de simetría del ciclón, rico en

agua, El espiral descendente, con sólidos altos, aun

conlleva algo de agua al flujo de descarga, esa agua que

sale por el lado de los gruesos, es la principal culpable

que finos, que se detectan mas cercanos a fuerzas de

arrastre que a fuerzas del tipo centrifuga-centrípeta,

salgan hacia la descarga del equipo re-direccionándose a

los gruesos que reingresan al Molino ocasionando

problemas de sobre molienda de finos llamadas lamas y

así un consumo de energía excesivo.

Los finos que salen, por el arrastre del agua, hacia los

gruesos, reciben el nombre de By Pass o cortocircuitados

y esta des-Clasificación puede llegar a ser tan grande

como un 35 – 45% lo que causa fuerte daño operacional

por un exceso de finos y fuerte daño energético por lo

costoso de la sobre molienda de finos a lamas

innecesarias. Estos conceptos serán revisados mas

adelante en el capítulo de clasificación.



1.2 Conceptos de Evaluación del Proceso de Molienda – Clasificación

La forma como un proceso de molienda clasificación se evalúa para saber de sus

resultados es por dos caminos: uno de ellos es la energía consumida por el tonelaje

tratado cuando el molino opera en su estado estacionario (no en partidas ni en

detenciones), el valor es el conocido WIo (que se lee como Work Index operacional), y

se expresa en kwhr/ton en el sistema de molienda- clasificación cuando el molino está

produciendo granulometrías de producto similares.

Una operación con similar tratamiento y similar producto con menor WIo significará

que:

a.- El mineral es mas blando o mejor tronado o

b.- El sistema de molienda-clasificación es más eficiente que el de WI o mas alto.

La forma más moderna y eficaz de evaluar la eficiencia de molienda del sistema es

conocer su “función selección específica”, SiE, expresada en las ton/kwhr. Que indica la

energía gastada en cada malla (i), para la reducción de tamaño, es un análisis

poblacional de cada participante del molino y no un análisis macro de la energía como

un todo al molino, incluyendo bolas y todos los participantes del molino. Este concepto

se analizará para estos molinos en un segundo nivel de curso.

El segundo es conocer la eficiencia de clasificación, que representa la manera como el

clasificador hidrociclón clasifica la pulpa desde el molino y cuanta le retorna al molino

innecesariamente dado que es fino en la forma de un By Pass (Corto circuito de finos).

Cuanto mayor es la fracción By Pass, más ineficiente es la clasificación y en

consecuencia más ineficiente es el molino y más ineficiente es el sistema molienda

clasificación.

Para todos estos cálculos es necesario que el molino y el sistema completo sea

adecuadamente muestreado a modo de construir un balance de masas que sea

coherente, que cuadre, asociado a las granulometrías.

Para ello debe ser tomado muestras de cada flujo del sistema Molienda-Clasificación

las que con un adecuado software serán balanceadas hasta la condición de minimizar

la diferencia al cuadrado de errores entre los nuevos valores propuestos por el ajuste y

los valores medidos en la toma de muestras.

El objetivo del muestreo es tener una cantidad de muestra representativa que pueda

ser llevada a análisis granulométrico. Elementos a considerar en la toma de

muestra:

Muestreo de Correa

Lo usual en correa es medir la velocidad de la correa, en mts/segundo, y definir un

lugar seguro donde tomar y vaciar un metro lineal de correa. Una vez que se tiene el

material desde un tambor o similar deberá ser homogenizado por homogenizadores

mecánicos o por traspaleo a formar un cono, las técnicas de ello, dependiendo de la

fineza de la alimentación pueden ser cono y cuarteo, muestreo incremental,

separadores de rifles, separadores cuadráticos, etc.

La mayoría de estos equipos de muestreo se encuentran en los laboratorios

metalúrgicos de planta y metalurgia.



a.- Cono y cuarteo:

Consiste en traspalear para la formación de un cono homogéneo, aplastar su cúspide y

separar en cuatro, tomar cuartos separados y rechazar los cuartos encontrados, repetir

hasta obtener un par de cuartos que representen la masa de muestra adecuada para el

análisis granulométrico esperado:

Tras etapas sucesivas:

b.- Cortador de Rifles:

Consiste en un recipiente en forma de V que tiene en sus costados una serie de

canales o chutes que descargan alternativamente en 2 bandejas ubicadas en ambos

lados del cortador. El material es vaciado en la parte superior y al pasar por el equipo

se divide en 2 fracciones de aproximadamente igual tamaño.

Cortes sucesivos van alternando el balde a obtener y/a Rechazar hasta quedarse con la

cantidad de muestra necesaria.

c.- Reductor Binomial: Similar al cuarteador de Rifles, las primeras 4 separaciones se transforman en un 16

avo del total, el corte se repita tantas veces como sea necesario para el peso muestra

requerido.



Cualquiera sea el tipo de muestreador en general debe cumplir las siguientes

condiciones:

Debe tomar la corriente completa de material en cada punto de la trayectoria y

debe pasar a través de toda la corriente.

Debe tener lados paralelos y moverse en ángulo recto a la corriente de

material.

La abertura debe tener un ancho por lo menos de 4 veces mayor que la

partícula más grande del material a muestrear.

La velocidad a través de la corriente debe ser constante y de una magnitud tal

que altere lo menos posible el flujo de material.

Cortadores de Pulpa:

Una de las condiciones de tomar muestras en corrientes de pulpa es la calidad de la

muestra, en general se choca con más de algún detalle que atenta contra la calidad,

estos pueden ser:

1.- El punto de obtención de la muestra nunca fue diseñado para ello y solo opera ahí

por necesidad.

2.- Por la razón anterior, el punto de toma de muestra podría ser riesgoso para la

seguridad del operador que la toma y por su seguridad, la calidad de muestra se

desmejora.

3.- Los cortadores de muestra no están diseñados para el flujo que muestrean,

generalmente excesivo, y la calidad de muestra se desmejora.

No se ha incentivado la colocación de muestreadores automáticos en las plantas

modernas.

El cortador Manual mas usado en el muestreo de pulpas es el llamado tipo “Pico de

Loro” que consiste en un contenedor de diversa capacidad con una hoja muestreadora



(pico) que la recorre desde el inicio hasta el fondo y que es quien debe “cortar” el flujo

de pulpa desde su inicio hasta su final, comenzando vacío y terminando lleno, evitando

rebalses. Tendrá una varilla de acero (Tubo) que permita a su operador realizar el

corte desde un lugar seguro y tener la operatividad de hacerlo bien.

El paso a continuación del cortador de pulpa es la

medición de la densidad de pulpa por medio de su

lectura en el dial adecuado de la Balanza Marcy

La balanza Marcy es una balanza de resorte con un dial

que muestra el peso de un recipiente con una capacidad

de 1000 cm3 de una pulpa, de modo que el dial entrega

directamente la densidad de la pulpa (g/cm3). El dial

tiene varias escalas para entregar el % de sólidos en

peso para sólidos con diferentes densidades. Para

abarcar mediciones de % de sólido en pulpas con sólidos

de densidades muy diferentes, la balanza cuenta con

varios diales intercambiables.

La importancia y la flexibilidad de la Marcy es desde la

lectura de densidad de pulpa, el % de sólidos (en peso)

hasta el uso de ella para la medición de un % bajo malla

de control, procedimiento llamado “Sizeing Rápido” y

también evaluar el sistema Molienda Clasificación con la estimación de carga circulante

del sistema al tener los %sólidos de cada flujo del clasificador o al tener las mallas

acumuladas de cada flujo.

a.- Medición de Sizing Rápido en la Malla de Control:

La estimación del % bajo la malla de control en un flujo del sistema de Molienda-

Clasificación puede realizarse por los siguientes pasos:

1. Tome una muestra de pulpa de calidad adecuada al flujo en análisis.

2. Vacíe el contenido del contenedor a una cubeta de Marcy, evite que parte de la

muestra se segregue en el contenedor de muestreo, evite que la cubeta Marcy

rebalse finos al rellenar conchos de pulpa sobre ella.



3. Pese el contenido en la Marcy en la escala mas alejada, en esta escala solo lee

peso del litro de pulpa bien muestreada. Anote su medición como M1.

4. Vacíe lentamente la pulpa sobre la Malla de control que emplea la

concentradora, por ejemplo la malla 100 o la malla 65 o la malla 200 según el

proceso que evalúa, agregue agua hasta pasar todos los finos sobre la malla y

que permanezca sobre ella solo el material sobre malla.

5. Con el contenedor de Marcy limpio, vacíe cuidadosamente el material sobre

malla y enrase el contenedor con agua limpia hasta el llenado total de el, que

corresponde a un litro.

6. Pese, nuevamente en la escala externa de la marcy, el contenedor con la nueva

condición de tener ahora solo “los gruesos”, anote esta nueva medición como

M2.

7. Calcule el % bajo Malla de control haciendo la diferencia porcentual de la

pérdida de peso que significó eliminar los finos de la muestra:

% Bajo Malla de Control = 100* ( M1 - M2)/ M1

Ejemplo: Peso inicial 1260 grs (M1)

Peso tras lavado sobre malla 65 : 1105 grs (M2)

% Bajo Malla 65 = 100*( 1260 – 1105) / 1260 = 12.30% Bajo 65#

En muchas concentradoras este cálculo se encuentra tabulado para diversos % de

sólidos y solo hay que leerlo en tablas de doble entrada en que uno de los ejes es el %

sólidos de inicio y el otro eje es el % de sólidos después de lavado, la intersección

entre ellos indicará el valor de bajo malla de control o su complemento, 100-% bajo,

para indicar el % sobre malla.

b.1.- Cálculo de la fracción de sólidos en base a las densidades:

Si aceptamos que el peso de la pulpa (Pp) es igual al peso del agua (Pa) mas el peso

del mineral (Pm) tenemos:

b.2.- Cálculo de la densidad de pulpa en función de la fracción de sólidos:



b.3.- Cálculo de la Carga Circulante por Granulometrias Acumuladas

Hay otro método más exacto para calcular la carga circulante en un circuito de

molienda, que utiliza el análisis granulométrico. Para aplicarlo se hacen análisis de

mallas de control o otras significativas de los tres flujos del ciclón: Alimentación,

Rebalse y Descarga y se calculan luego los porcentajes acumulativos en varias mallas.

Ejemplo. Los análisis de mallas de las tres muestras son los siguientes:

Alimentación Ciclón Rebase Ciclón Descarga Ciclón

Malla % Parcial % Acum. % Parcial % Acum. % Parcial % Acum.

48 42,3 1,2 55,7

65 15,3 57,6 6,6 7,8 18,2 73,9

100 9,5 67,1 9,4 17,2 9,6 83,5

150 5,7 72,8 10,2 27,4 4,2 87,7

200 6,1 78,9 12,4 39,8 4,1 91,8

-200 21,1 100,0 60,2 100,0 8,2 100,0

da

ar

dr

daA

dr

daAdrA

dr

daA

dr

daAA

R

DCC

dr

daAR

drRdaA

DdRrAa

DRA

*

**

_*

*

*

**



El promedio de la relación de carga circulante es 3,04

Si el tonelaje diario de alimentación al molino es de 200 toneladas, el tonelaje de

arenas es de 608 toneladas

1.3 Configuración de Plantas de Molienda Convencional

En el transcurso del tiempo se ha configurado diversos tipos de elementos que

participan de la Planta de Molienda Convencional, todas ellas aguas debajo de etapas

de chancado que ojala siempre puedan ser el su etapa final operando en circuito

cerrado con harneros que tengan abertura similar al setting que se desea para el

chancador terciario, esto garantizará que la fracción gruesa asociada al setting no

participe en molienda con un mejor comportamiento de la carga de bolas que se ha

especificado. Si la abertura del harnero es similar o igual a la abertura del setting esta

condición garantiza que la carga recirculada de gruesos al chancador SH está en el

rango de 12% a 15% de la alimentación, lo que no es ninguna recarga al sistema de

chancado.

El concepto de diseño está basado en la repartición de consumos específicos de

energía y la cierta especialización que ciertos equipos tienen en rangos indicados. Por

ejemplo un molino de barras tiene un bajo consumo por la baja razón de reducción que

se le “asignan y porque su tarea es solo eliminar gruesos y preparar la mejor

alimentación al molino de bolas” que lo sigue.

Las configuraciones se dividen en:

1.- Molinos Unitarios

1.1.- Circuito Cerrado Directo (Colón, Unitario Colón)

1.2.- Circuito Cerrado Inverso (M.U.And)

2.- Conf. Barras – Bolas

2.1.- Circuitos Barras – 1 Bolas (Chuqui A-1, Salvador M50,El Soldado)

2.2.- Circuitos Barras – 2 Bolas (Chuqui A-0, Salvador, El Soldado)

2.3.- Circuitos Barras – 3 Bolas (Andina)

06,39,736,57

6,578,7

da

arCC



Configuración de Circuito de Molienda Cerrado Inverso, proponer si la fracción producto

en la alimentación es sobre un 20% por provenir de etapas de molienda

homogenizadoras o de chancado tipo rodillos con alto % de finos.

Etapa de Molienda completa de 1 M.Barras y 1 Molino de bolas, solo el segundo

produce finos y tiene el mayor consumo de energía.



Etapa de Molienda completa de 1 M.Barras y 2 Molinos de bolas, solo la segunda etapa

producirá finos y tiene el mayor consumo de energía.



Todas estas configuraciones pueden ser simuladas, previo ser sintonizadas o ajustadas

en sus parámetros de diseño, de operación y estimaciones de ruptura y función

selección por herramientas comprendidas por el software “Moly Cop Tools” en planillas

Excel.

En las configuraciones donde 1 molino alimenta a 2 o mas molinos de bolas se

presenta el problema de distribución y en el M. Barras se presenta el problema de

transporte de pulpa en el molino, hecho que está condicionado por el “N° de Flujo”

asociado al diámetro del molino, entre otras cosas.-



CAPÍTULO II Relaciones Generales Tamaño-Energía

Los consumos de energía, expresados en la forma de KwHr/Ton, cuando la etapa ya

está en el área de molienda, fácilmente duplican – triplican el consumo en trituración y

la eficiencia de energía realmente dedicada a reducción es bajísima, (10% como

Máximo). Esta condición hace que sea indispensable el conocer algunas formas y/o

modelos que representen la energía gastada y el rango de reducción que ello involucró.



2.1 Relaciones entre la Tarea de Reducción y el Consumo de Energía Asociado

Estas relaciones se conocen hace años con el nombre de las “Leyes de la Conminución”

y corresponden a los trabajos de Alexander Von Rittinger, Kick y Fred Bond en sus

respectivas contribuciones.-

Primera Ley o Ley de Alexander Von Rittinger (1867):

El primer modelo que explica la reducción como un efecto de los kw gastados se

conoce como la Primera Ley de la Conminución o ley de Rittinger y postula que el

consumo de kw por tonelada es una función de la nueva superficie generada al moler,

es decir: E = K ( Sup. Final – Sup. Inicial) con algunas transformaciones esto lleva a la

formula:

Segunda Ley o Ley de Kick (1885):

Algunos años después, un nuevo modelo que explica la reducción como un efecto de

los kw gastados se conocerá como la Segunda Ley de la Conminución o ley de Kick

y postula que el consumo de kw por tonelada es una función de cambios análogos de

volumen y energía, es decir: “La energía requerida para producir cambios

análogos en el tamaño de cuerpos geométricamente similares, es

proporcional al volumen de estos cuerpos.”

Observaciones

• Este postulado considera solamente la energía necesaria para producir la ruptura de cuerpos sólidos ideales (homogéneos, isotrópicos y sin fallas), una vez que el material ha alcanzado su deformación crítica o límite de ruptura.

• Tiene el inconveniente de no incluir la estimación de la constante Kr y deberá ser calculada desde una experiencia piloto con materiales similares en que la variable energía pueda ser medida con detalle.

• Aún cuando el postulado de Rittinger carece de suficiente respaldo experimental, se ha demostrado en la práctica que dicha teoría funciona mejor para la fracturación de partículas gruesas, es decir, en la etapa de chancado del material.

Donde:

ER = Consumo específico de energía

P80

1= Recíproco del tamaño característico del producto o tamaño final

F 80

1= Recíproco del tamaño característico de la alimentación o tamaño inicial

Kr = Constante de Rittinger

FP

E KrR

8080

11*



Con algunas transformaciones esto lleva a la formula:

Observaciones:

1. Esto significa que iguales cantidades de energía producirán iguales cambios

geométricos en el tamaño de un sólido. Kick consideró que la energía utilizada

en la fractura de un cuerpo sólido ideal (homogéneo, isotrópico y sin fallas), era

sólo aquella necesaria para deformar el sólido hasta su límite de ruptura;

despreciando la energía adicional para producir la ruptura del mismo.

2. También tiene el inconveniente de no incluir la estimación de la constante Kk y

deberá ser calculada desde una experiencia piloto con materiales similares en

que la variable energía pueda ser medida con detalle.

3. Aún cuando el postulado de Kick carece de suficiente respaldo experimental; se

ha demostrado en la práctica, que su aplicación funciona mejor para el caso de

la molienda de partículas finas.

Tercera Ley o Ley de Bond (1952):

Muchos años después, Fred Bond, tras analizar muchos circuitos de molienda con

molinos de 8’ de diámetro obtiene un amplio detalle de relaciones que no solo

envuelven el consumo sino que detallan la forma de obtener un parámetro

característico del mineral, de usar los conceptos de Bond con fines de selección y

diseño de los recursos necesarios.

Con algunas transformaciones esto lleva a la formula:

Donde:

EK = Consumo específico de energía

P80 = Tamaño característico del producto o tamaño final

F 80 = Tamaño característico de la alimentación o tamaño inicial

Kk = Constante de Kick

PF

E KkK

80

80log*

FPE Kb

B

8080

11*



Observaciones

Bond define la condición para valorar Kb a través del parámetro característico del

mineral, o de su dureza, llamado Work Index o Wi:

“Work Index o Índice de Trabajo: Es la cantidad de Energía usada por un mineral,

mezcla o roca para reducir una tonelada del mismo desde un tamaño inicial técnica y

teóricamente infinito hasta llevarlo a un tamaño de producto en que un 80% de el está

bajo 100 micrones”.

Cuando se aplica la anterior definición a la expresión de Bond se desprende que Kb es

la expresión Kb=10WI, después de ello Bond da un recetario de laboratorio para

calcular este índice WI adecuado a la reducción y al equipo que se usará para ello, es

decir Chancador, Molino de Barras y Molino de Bolas.

Aplicando la definición de Wi a la expresión de BOND;

10 0

Finalmente Bond es la expresión que da solución a todo el espectro de aplicaciones, da

procedimientos para el calcular la Barra y/o Bola máxima o de recarga, metodología de

selección del molino adecuado a la capacidad deseada y la reducción pedida, etc.- hoy

la metodología de Bond aun se sigue usando para la selección de equipos.

Donde:

EB = Consumo específico de energía

P80 = Tamaño característico del producto o tamaño final (80% pasante del producto)

F 80 = Tamaño característico de la alimentación o tamaño inicial (80% pasante de la alimentación)

Kb = Constante de Bond

11*

100KbW i

FPE Kb

B

8080

11*

KbW i*10

FPE Wi

8080

11**10



El parámetro Wi depende tanto del material (resistencia a la conminución) como del

equipo de conminución utilizado, debiendo ser determinado experimentalmente para

cada aplicación requerida. También representa la dureza del material y la eficiencia

mecánica del equipo.

Durante el desarrollo de su tercera teoría de la conminución, Fred Bond consideró que

no existían rocas ideales ni iguales en forma y que la energía consumida era

proporcional a la longitud de las nuevas grietas creadas.

DETERMINACION DEL Wi

El Wi se determina a través de ensayos de laboratorio, que son específicos para cada

etapa (chancado, molienda de barras, molienda de bolas). Estos ensayos entregan los

parámetros experimentales, respectivos de cada material, los que se utilizan en las

ecuaciones respectivas, que se indican a continuación.

Chancado:

Donde:

Wi = Índice de trabajo

Kc = Esfuerzo de impacto aplicado, necesario para fracturar el material [lb-

pie/ pulg espesor roca]

ρs = Gravedad específica del sólido.

Molienda de barras:

Donde:

P100 = Abertura en micrones de malla que tiene un 100% pasante del producto.

GRP = Índice de moliendabilidad del material en molino de barras [grs/rev]. Se define

como la cantidad de material que es menor que un cierto tamaño de corte producido

por revolución del molino.

Molienda de bolas:

Donde:

P100 = Abertura en micrones de malla que tiene un 100% pasante del producto.

GRP = Índice de moliendabilidad del material en molino de bolas [grs/rev]. Se define

como la cantidad de material que es menor que un cierto tamaño de corte producido

por revolución del molino.

s

ckWi *59,2

FPGP RP

Wi

8080

625,023,0

100

11**

2,6

FPGP RP

Wi

8080

82,023,0

100

11**

45,4



CAPÍTULO III Conceptos Generales de Molienda

3.1 Antecedentes Generales

La Molienda es una de las operaciones de Conminución o reducción de tamaños, a la

cual son sometidos los minerales para su beneficio posterior. La Conminución se

realiza mediante la aplicación de fuerzas mecánicas externas, producidas por medios

manuales o mediante maquinarias, sin considerar el grado de reducción a que es

sometida una mena, es decir, no hace distinción entre chancado, trituración o

molienda.

La operación de desintegración de las distintas rocas y menas puede realizarse de 8 o

9 maneras diferentes, pero comúnmente sólo se emplean 5 en las máquinas de

reducción de tamaños.

1. Aplastamiento o Compresión

2. Percusión o Impacto

3. Cizalle

4. Flexión

5. Abrasión - Fricción



En la mayoría de las maquinas actuales, estas fuerzas entran en distintas

combinaciones, así por ejemplo: La compresión con la flexión o la compresión con la

fricción, o la percusión con la fricción, u otras combinaciones La aplicación racional de

uno u otro método de funcionamiento queda determinada en función de las

propiedades físicas del material y las características del proceso a que se someterán

las menas posteriormente. Por ejemplo: en el quebrantamiento de rocas duras y

resistentes para obtener un material menudo, conviene la compresión; para obtener

un material granulado de menos 5 mm, conviene que se combinen los esfuerzos de

compresión con el desgaste por fricción. En la desintegración de las rocas frágiles, se

recomienda la aplicación del cizallamiento en lugar de la compresión, con lo cual se

reduce la formación de polvos.

El objetivo de la Conminución es la reducción de tamaños; esto se consigue mediante

máquinas llamadas chancadoras, trituradores y molinos. Los primeros reducen los

tamaños mayores o medianos, los segundos se emplean para obtener tamaños

intermedios y los terceros para la pulverización fina de los tamaños medios.

MECANISMOS DE FRACTURA

Para intentar entender los mecanismos fundamentales por lo que se fracturan las

partículas de mineral, en el transcurso de muchos años diversos investigadores han

intentado aplicar los conceptos de la "física y mecánica de la fractura" como se

emplean en la ciencia de los materiales y en la mecánica de las rocas. Las partículas de

mineral son heterogéneas, tienen normalmente fallas tanto a macro como a micro

escala, y no siempre se comportan como materiales frágiles.

Excepto en tamaños muy pequeños, una partícula de mineral puede considerarse como

un material frágil; es decir, la tensión es proporcional a la fuerza aplicada en aquel

punto donde ocurre la fractura. Griffith observó que bajo tensión, la presencia de fallas

o grietas en un material conduciría a una concentración de fuerzas en un sólido. El

trabajo de Griffith ha formado la base para la mayoría de los trabajos subsecuentes.

Todo material cuenta con un esfuerzo máximo de tensión que puede soportar sin

romperse y está dado por la siguiente ecuación:

Donde:

Pm : Esfuerzo de tensión máxima.

Y : Módulo de Young. .Energía superficial sobre el área : ال

a : Distancia interatómica.

El mecanismo de la fractura es el siguiente:

Cuando la energía de deformación en la punta de la grieta es lo suficientemente alta,

implica que los enlaces químicos en la punta se rompan y la grieta se propaga

produciendo la fractura del material.

a

YPM



La grieta no necesita de una fuerza sino de

producir una tensión en ella de tal forma que

produzca la suficiente energía para propagar la

grieta. El esfuerzo al que se inicia la fractura es el

equivalente para igualar la energía superficial de

las dos nuevas superficies generadas por la

fractura.

Esta fuerza de tensión crítica, aplicada normal a la

grieta, se conoce como fuerza de Griffith σG. El

valor de este esfuerzo se calcula desde la

siguiente ecuación:

Donde:

γ = Módulo de Young.

J = Energía libre superficial por unidad de área de la grieta.

Lcr = Longitud de la grieta.

EN CONMINUCION LAS PARTICULAS NORMALMENTE SE QUIEBRAN BAJO

TENSION, Y NO BAJO COMPRESION

Si analizamos la fractura de partículas a tamaños muy pequeños, veremos que la

deformación plástica de la partícula llega a ser un factor, y cuando esta significativa

deformación ocurre junto con la fractura, se alcanza lo que se denomina Límite de

Moliendabilidad. Este límite significa el tamaño de partícula más pequeño que puede

quebrarse y normalmente se confunde con el tamaño de partícula del producto más

pequeño.

Las formas en la cual una partícula se fractura depende de la naturaleza de ésta y de

la forma de aplicar la fuerza. La fuerza en la partícula puede ser una de compresión,

causando la fractura de la partícula en tensión. Esta fuerza podría aplicarse ya sea a

velocidades rápidas o lentas y la velocidad afecta la naturaleza de la fractura. También

puede ser una fuerza de corte, tal como la ejercida por dos partículas frotándose unas

a otras. Como puede apreciarse muchos términos se utilizan para describir los

mecanismos de fractura. Se distinguen tres tipos de mecanismos de fractura.

Abrasión: Ocurre cuando la energía aplicada es insuficiente para causar fractura

significativa en la partícula. En este caso, ocurren tensiones localizadas resultando

fracturas en áreas superficiales pequeñas, dando como resultado una distribución de

partículas de tamaño casi igual al original y partículas muy finas.

LCR

G

J*2



Compresión: Ocurre cuando la energía aplicada es suficiente de forma que pocas

regiones se fracturan, produciéndose pocas partículas cuyos tamaños son

relativamente iguales al original.

Impacto: Ocurre cuando la energía aplicada está sobre-excedida de aquella necesaria

para fracturar la partícula. El resultado es un gran número de partículas con un amplio

rango de tamaños.

La fractura por abrasión se produce normalmente por roce de las partículas entre si, o

contra el medio de molienda, o contra el revestimiento generando 2 fracciones de

tamaño. Una gruesa de tamaño similar al original y otra de tamaño muy fino con

respecto al original. Este mecanismo se realiza a una velocidad más o menos constante

dependiendo de la dureza de la mena y de las condiciones de la molienda,

caracterizándose los minerales más blandos de ser más susceptibles a este

mecanismo.

Un resultado análogo al anterior es el decantillado, el que consiste en el

desprendimiento de todas las esquinas y cantos de las partículas. Esto se debe a la

aplicación de esfuerzos tangenciales, que no son suficientes para fracturar la partícula

completa. Abrasión y decantillado suelen agruparse como un solo mecanismo llamado

atricción. En el chancador ocurre una combinación de compresión y atricción

generándose por lo tanto mucho material fino.

Esfuerzo combinado de atricción y compresión en un chancador



3.2 Conceptos Teóricos de Molienda

La MOLIENDA tiene por objeto reducir los materiales a tamaños comprendidos entre

algunos milímetros y algunas decenas de micrones.

Según el tamaño del producto tenemos:

-Molienda Gruesa, primaria o barras 2-3 mm --- 0,80 mm

-Molienda media, secundaria o convencional 0,5 mm --- 0,12 mm

-Molienda fina o Remolienda 0,1 mm --- 0.02 mm

Existen numerosos tipos de molinos, de los cuales los de bolas y barras son casi los

únicos utilizados en las plantas de procesamiento de minerales.

Dentro de ellos hay nuevas clasificaciones en la manera como está la pulpa en su

interior y en la forma como evacua la pulpa producto existiendo la clasificación general

de molinos del tipo Overflow o Rebalse y del Tipo Parrilla o Diafragma y entre ellos los

de Evacuación por trunion (eje central) o por alguna parte del cilindro o manto.

El molino de bolas mas grande se encuentra en Australia con un diámetro de 5.34 mts

por 8.84 mts de largo (Recordar que los molinos SAG son del rango sobre 12 mts de

diámetro).

3.2.1 Mecanismos de Molienda

TIPOS DE REGIMENES DE FUNCIONAMIENTO DE UN MOLINO TRAYECTORIA DE

PARTICULAS DENTRO DE UN MOLINO DE BOLAS

La rotación del molino alrededor de su eje horizontal es lo que permite a éste,

transmitir la energía necesaria para poner en movimiento las partículas. La transmisión

que se lleva a cabo mediante la Interacción entre la estabilidad interna de la carga y

de la fricción carga-cilindro.

La fricción determina la cantidad de energía que puede ser transmitida a la carga. Se

definen los siguientes tipos de movimientos de la carga cuando la velocidad aumenta,

suponiendo que no hay deslizamiento cilindro - carga.

CASCADA

Las partículas situadas bajo una cierta curva están

en contacto con el cilindro y rotan con este a la

misma velocidad. Las partículas ubicadas sobre una

curva ruedan unas con otras, en cascada, en

dirección opuesta a las otras.



Este evento de Cascada es símbolo de abrasión entre medios y mineral y tiene acción

reductora, sobre todo de finos. El comportamiento principal muestra acción de:

ABRASION

Si la misma roca del modelo anterior se le comprime en forma tangencial, ésta

disminuye de tamaño por medio de la abrasión o cizalla. Entonces, la diferencia de

distribución de tamaños del producto se hace consecuentemente más pronunciada y

presenta por este motivo partículas muy finas y gruesas dependiendo de la

alimentación que se tenga. Esto se consigue haciendo trabajar el molino en régimen de

cascada.

CATARATA

Las partículas de la parte superior quedan

libres y siguen trayectorias parabólicas.

Estas caen libremente sobre las partículas que

rotan, en un punto ideal denominado "pie de la

carga".

Este evento de Catarata es símbolo de impacto entre medios y mineral y tiene fuerte

acción reductora, sobre todo de gruesos con formación de finos.

El comportamiento del mineral puede presentar las siguientes acciones:

IMPACTO

Si tomamos una esfera (Roca) sólida y la comprimimos axialmente, la esfera se

rompe por impacto y la distribución de tamaños de los fragmentos resultantes

tienen un módulo de distribución 1. Se recomienda este tipo de eventos para

moliendas gruesas. Esto se consigue haciendo trabajar en régimen de cataratas

al molino.

CHIPPING

Si a la Roca se le comprime en forma excéntrica, se romperá por un proceso

llamado chipping, dando una distribución de tamaños característico, la cual

posee dos cumbres o acumulaciones de diferentes tamaños.

Los procesos comerciales de molienda combinan estos tres eventos durante su

operación.

EQUILIBRIO

Las condiciones de caída parabólica se extienden a todas las partículas en

contacto con el equilibrio. La trayectoria de estas partículas es un arco de

cilindro seguido por una curva parabólica.



SATURACION

Las partículas caen en las paredes descubiertas del manto del cilindro. Este es

un estado que debe evitarse en los molinos de bolas, ya que provocan un

desgaste excesivo y aumentan las vibraciones por el impacto del medio de

molienda sobre el revestimiento.

PRECENTRIFUGADO

Después de alcanzar la velocidad crítica, una capa de partículas se mantiene

contra la pared por la acción de la fuerza centrífuga. El espesor de esta capa

aumenta con la velocidad hasta que se tiene un estado centrífugo puro.

En general en un molino de bolas se dan variadas formas de reducción de la roca,

existe la presión de la carga en el manto, la abrasión entre las superficies y en especial

la superficie de bolas que pueden ser muchos metros cuadrados, el impacto de bolas

contra todos los participes, la atrición y relaciones sumadas entre ellas.

Caso de Movimiento de la Carga en SAG

Movimiento de la Carga (Bolas, Rocas y Pulpa) en el interior de un molino SAG, se

aprecia el “Riñón” de carga y la abrasión entre los participantes en el riñón, la cascada

de bolas y mineral en la superficie y por último la “Catarata” de bolas y rocas

impactando en el “pie” de riñón.-En cada sector se genera preferente un tipo de

molienda mas que la otra, sea a la forma de impacto, de abrasión y/o de leve impacto

en cascada.-



MOLINO CENTRÍFUGO O EN CENTRIFUGACIÓN

Todo el material se adhiere al cilindro. Esta condición se produce a una velocidad de

rotación apreciablemente mayor que la velocidad crítica, alrededor de 18 a 20 %

mayor que esta última.

El concepto de centrifugación es el comportamiento de la carga cuando en el interior

del molino se igualan el peso con la fuerza centrifuga, cuando mg = m(wr), como tal

condición no considera el peso, a tal velocidad todas las partículas están tomadas a la

superficie interna del molino y la molienda cesa.

Como no se desea llegar a esta condición, se impone como condición operativa que el

molino opere a un 80% de esta velocidad (Caso de los molinos de bolas). Los molinos

más rápidos de Chile son los de División Andina.

3.3 Equipos: Clasificación de los Molinos

La clasificación de los molinos se hace en base a los siguientes factores: la clase de

movimiento, el modo de funcionamiento, la forma del tambor, el sistema de molienda

(seco, húmedo), el modo de descarga, la clase de los cuerpos trituradores, el ciclo de

trabajo y el modo de accionamiento.

Por la "clase de movimiento", los molinos se agrupan en giratorios o Molinos

rotatorios y en giratorios oscilantes (vibratorios).

Por el "modo de funcionamiento” en periódicos (Equipos Batch (Laboratorios

ppalmente) y continuos.

Por la "forma exterior" pueden dividirse en cilíndricos, cilíndrico-cónicos y cónicos.

El molino cilíndrico, como lo dice el mismo nombre, consta de un tambor cilíndrico. Por

su estructura y su longitud, el molino puede ser de una, dos o muchas cámaras.

DV

i

CRÍTICA

6,76



El molino cilindro-cónico, a diferencia del cilíndrico, tiene un diámetro variable en todo

su largo. Por el lado de la entrada del material este molino tiene un cono corto, con un

ángulo en el vértice; la parte media del molino sigue siendo cilíndrica.

Los molinos en forma de cono truncado, o sea cónicos, tienen todas las cualidades de

los cilindro cónicos y se distinguen por la sencillez de su construcción en comparación

con estos últimos.

Por el "modo de descargar el material", el factor fundamental que determina la

estructura del molino, es el modo de descarga del material. Todos los sistemas

existentes pueden reducirse a cinco categorías:

a) Molino con descarga por parrillas. La idea de instalar la parrilla es para contener

la carga de bolas dentro del molino y promover un nivel de descarga bastante bajo.

Normalmente estos molinos trabajan con una carga circulante elevada.

Estos molinos se acercan al 35 a 45 % del volumen de carga de bolas y son

aproximadamente el 30 % de los molinos de bolas que se instalan.

b) Molino con descarga por rebalse. Descarga por un extremo por rebalse central.

El rebalse es generalmente 5 - 10 cms más bajo que el nivel de la abertura de

alimentación para proporcionar un gradiente de flujo. Este método es usado

principalmente en molienda húmeda.



c) Molino con descarga periférico. Descarga por el costado de un extremo del

cilindro por medio de varios hoyos periféricos. Este

método es usado principalmente para molienda

seca.

d) Molino con descarga periférico central.

Descarga en el centro del cilindro, es decir, se

alimenta desde ambos extremos del cilindro,

obteniendo un menor tamaño de reducción y es

usado para ambas moliendas (seca y húmeda).

e) Molino con barrido por aire. Se usa en molinos

Aerofall. El método de descarga tiene efectos en los

costos de molienda. Apropiados para molienda seca

cuando esta es una condición obligada el sistema de

arrastre de carga para transporte y posterior

clasificación esa través de un sistema cerrado de

presión negativa (positiva) hacia filtros o ciclones

neumáticos.

Tipos de descarga de molinos de barras

Por la "clase de cuerpos trituradores", en molinos de bolas, de barras, autógenos

y semi-autógenos.



CARACTERISTICAS DE LOS MOLINOS EN CIRCUITO ABIERTO Y CERRADO DE

MOLIENDA

La molienda en circuito abierto puede llamarse también molienda con pasada simple

del material, es decir, cuando todo el material es molido hasta la fineza deseada en un

solo recorrido por el molino. Al molino se le exige entonces que no solamente muela el

material sino que lo reduzca a un tamaño determinado, descargándolo sólo cuando

satisface los requisitos de producto terminado.

En estas condiciones, debe molerse hasta el final todo el material servido y por lo tanto

la cantidad de material entrante debe corresponder exactamente a la cantidad del

material saliente del molino. Con un exceso de carga, la molienda será demasiado

grosera y la máquina podrá obstruirse; con defecto del carga, el material resultará más

fino de lo necesario.

La molienda en circuito cerrado puede definirse como un sistema de desintegración en

el cual el equipo reductor trabaje conjuntamente con un clasificador. En este caso no

se exige que el molino muela todo el material que se le suministra, en un solo

recorrido. La selección de las partículas de finura exigida se realiza por el clasificador.

Todo el material que sale del molino, el grueso y el fino, pasa por el clasificador que

separa el material de suficiente finura y devuelve al molino aquel que no ha sido

bastante reducido. El material devuelto por el clasificador para una segunda molienda,

se denomina carga circulante.

En la molienda en circuito abierto, la velocidad de entrega o aprovisionamiento está

limitada por la capacidad del molino para moler las partículas más grandes, duras,

tenaces o húmedas.

Con el sistema actual de circuito cerrado, la capacidad de molienda de la máquina es

aprovechada íntegramente, y además el molino no debe terminar al 100 % la molienda

del material en un solo recorrido.

La carga circulante puede ser varias veces mayor y se carga hasta el momento de

obtener en el análisis de tamiz del material de salida, un 80 - 60 % o aún 50 % de la

finura necesaria.

3.4.- REVESTIMIENTOS

TIPOS DE REVESTIMIENTOS DE GOMA Y ACERO

A fin de proteger un molino en todas sus superficies, que están en contacto con la

pulpa, debe proveerse el mismo, con un revestimiento que absorba el desgaste,

conserve la resistencia y se ajuste en su estructura.

Debe ser principalmente un eficiente eslabón final en la transmisión de energía a la

carga molturadora.

Las distintas patentes existentes en el mercado internacional, difieren en la

interpretación del diseño, calidad de goma o acero y sistema de sujeción, factores que

tienen gran incidencia en la eficiencia de molienda, al ser consideradas con las

variables en juego.

gabriel

Resaltado

gabriel

Resaltado

gabriel

Resaltado

gabriel

Resaltado

gabriel

Resaltado



MATERIALES DE REVESTIMIENTO

Los materiales de revestimiento más empleados son:

Refiriéndose en términos generales, los materiales dominantes son el acero y el caucho

sintético que en algunos casos se complementan entre sí, (molinos de barras con

cilindros revestidos en goma y tapas de acero) - Ninguno de estos dos materiales

puede considerarse como el más adecuado para todas las aplicaciones. Para la elección

del material de revestimiento es necesario considerar factores de todo orden, que a

medida que se solicitan condiciones especiales de molienda o el mismo material a

moler las requiera, se ajustan a cada caso en particular.

Los revestimientos de goma tienen un campo de aplicación muy amplio y se adaptan a

cualquier tipo o marca de molino existente en el mundo. Cabe hacer notar sus

inmejorables resultados en la molienda de materiales cerámicas que no aceptan

ninguna partícula de hierro, debido a que una de éstas puede producir decoloración en

la cocción.

TIPOS DE CAUCHO

Se clasifican en dos grupos: a) Cauchos naturales (crudo o bruto) b) Cauchos sintéticos

TIPOS DE ACERO EN REVESTIMIENTOS DE MOLINOS

La aleación de acero usada para un tipo de molienda determinada no siempre cumple

con los requisitos en forma rigurosa, debido a que su elección se debe a factores de

tipo económico y condiciones especiales de desgaste (corrosión electroquímica).

Las aleaciones usadas son:

1. Aleaciones resistentes al impacto y a la abrasión

a) Aceros al manganeso

b) Aleaciones cromo - molibdeno bajo carbono

c) Aleaciones cromo - níquel alto carbono.



Los aceros del:

Grupo a) se emplean para piezas que están sometidas a una intensa acción de

impacto y abrasión teniendo una alta capacidad de auto-endurecimiento. Son

adecuados para el uso en moliendas secundaria.

Grupo b) son esencialmente resistentes a la abrasión. Para condiciones donde se

requiere un acero tenaz con determinadas cualidades de elasticidad.

Grupo c) aleaciones cromo níquel de alto carbono. Se caracterizan por su

sobresaliente resistencia a la abrasión bajo condiciones secas o húmedas. Debido a

que particularmente no tienen alargamiento ni reducción de área, sólo pueden

emplearse a moderadas condiciones de impacto. Al hacer uso de este tipo de

aleaciones en revestimientos de molinos es fundamental un correcto y exacto montaje

de corazas.

Información Clave en Operaciones de Molienda: • Tipo de molino – Proveedor • Numero de molinos en Planta • Diámetro de Molinos (Inter-Externo) • Largo del Cilindro (Inter-Externo) • Largo del Cono (Si lo hay) • Velocidad (Rpm o %Velocidad critica) • Mecanismo de Descarga (Over/Diafr) • Abertura de Parrillas • Dimensiones de Trommel / Harnero • Altura del Lifter/Configuración/Tipo • Diámetro del Trunnion • Llenado de Bolas (%Vol) • Llenado de Carga (Total) (%) • Densidad de la Mena • Dureza de la Mena (WI) • Potencia en Vacío/Con Carga/Sobre • Lectura (Rango) de Tonelaje Fresco • Presión de Descansos/Lubricación



3.5.- Factores que Influyen en la Capacidad de Molienda

GRADO DE LLENADO

Existen estudios sistemáticos de la influencia del volumen de la carga dentro del

molino. Según dichos estudios se concluye que para cada velocidad crítica existe un

grado de llenado que proporciona la máxima transmisión de energía al molino.

Para el siguiente rango de velocidad, utilizado en los molinos industriales:

Molino de bolas: 65 - 85 % (mediana 75 %)

Molino de barras: 60 - 80 % (mediana 70 %)

Se tiene entonces, según Hukki, que el grado de llenado que proporciona la máxima

potencia transmitida, varía de 45 a 55 %.(Tema de Revestimientos, Tipo, Gastado,

Altura, Sólidos, etc…)

El máximo teórico de energía empleada en un molino cilíndrico (rotatorio), a una

velocidad constante, se obtiene cuando el volumen de carga de molienda (grado de

llenado) es el 50 % del volumen del molino, lo que es inalcanzable por el diámetro del

trunion donde entra/sale la pulpa de alimentación en un molino tipo overflow o

diafragma. El volumen preferido es generalmente inferior al 45%, por condiciones de

diseño, usándose para molinos de barras cifras entre 30 a 38% y para molinos de

bolas cifras entre 38 a 43% del volumen interno lleno con bolas y carga mineral a la

forma de pulpas tanto para evitar la descarga del medio de molienda por el trunion de

descarga, como para compensar el esponjamiento de la carga causado por la presencia

de material que se está moliendo. Cuando se requiere un molino de reducida

capacidad, el volumen es aún más reducido.

La carga de molienda puede ser evaluada más convenientemente emparejando el tope

de la carga y midiendo verticalmente hacia abajo desde el cielo interior del molino a la

superficie (tope) de la carga. Cuando esta distancia Q y el diámetro interior D del

molino son conocidos, el cálculo del volumen relativo a la carga, mediante método

geométricos es bastante complicado. Sin embargo, donde Q es menor que 3/4 D y Vp

es mayor que 20, el volumen porcentual Vp o el porcentaje total del volumen del

molino ocupado por la carga, puede encontrarse por medio de la siguiente ecuación:

El peso de la carga de molienda puede ser calculado del valor Vp y del diámetro

interior D del molino y la longitud L, asumiendo que una carga de bolas pesa 290

Lbs, por pie cúbico. o bien aproximados 4,65 ton cada metro cúbico. En las siguientes

ecuaciones, las dimensiones del molino deberán ser indicadas en pies y Vp en fracción

y no en porcentaje

Tonelaje Barras = Vp*(L/D)(D3) / 6.8 , para el caso de barras

Tonelaje Bolas = Vp*(L/D)(D3) / 8.4 , para el caso de bolas



Una carga de bolas de molienda contiene aproximadamente un 40 % de espacio vacío.

El volumen de una carga de bolas, no es mayormente incrementada por las partículas

de la mena, suponiendo que la mena contiene un suplemento normal de finos, y el

tamaño de alimentación fresca F(80) por el que pasa el 80% en peso de la muestra, es

menor que 1/5 del diámetro de las bolas más grandes. (Esto se dice que la pulpa

mineral entra intersticial en la carga de bolas o que el nivel de pulpa es un 100% de la

fracción de huecos de la carga de bolas).

VELOCIDAD DE ROTACION

Si se considera una carga dada, la potencia consumida, aumenta casi linealmente con

la velocidad y luego decrece a medida que se produce la centrifugación de la carga.

La velocidad del molino debe ser menor que aquella en que toda la carga se pega a las

paredes, es decir, la velocidad crítica, la cual viene dada por la expresión siguiente:

Donde Di = diámetro interior del molino, en pies Vcrítica = número de revoluciones por minuto, a velocidad crítica.(Limite máximo de velocidad, no deseable) Los molinos trabajan normalmente entre 50 y 90 % de la velocidad crítica.

DV

i

CRÍTICA

6,76



CAPÍTULO IV. VALORACIÓN DE LA ENERGÍA

4.1.- INTRODUCCIÓN

Por más de un siglo los fenómenos de reducción de tamaño se han abordado a través

de la energía consumida por los equipos de trituración y molienda. Este punto de vista,

en nuestra opinión, bastante correcto, esta relacionado con el gran consumo

energético que demanda la trituración/molienda. La práctica mundial ha demostrado

que en las plantas de beneficio más de 50-70 % del consumo de energía corresponde

a los procesos de preparación mecánica de minerales (Andreev, 1980).

E

l talón de Aquiles de las máquinas de trituración y molienda es su alto consumo de

energía. El equipamiento disponible para la trituración y molienda de minerales, carece

de un principio organizador que le permita aprovechar al máximo la energía

suministrada para el rompimiento de las partículas minerales. En la molienda, por

ejemplo, la energía de rompimiento se imprime al material en forma desmedida, el

grado de liberación necesario se alcanza a costa de una alta remolienda de uno o

varios de los minerales participantes, de ahí su baja eficiencia.

Austin (1964) establece que la energía útil en el rompimiento del mineral no supera 3

% de toda la energía consumida por el molino; por su parte, Beke (1964) determina

que el consumo de energía en el rompimiento del mineral no sobrepasa 0,6 %. Con

independencia de la diferencia en los resultados de ambos, debemos estar de acuerdo

con que la energía que se consume en el rompimiento la partícula mineral es

sumamente pequeña.

Las principales pérdidas de energía están dadas, en forma de calor y ruido, en las

transmisiones del accionamiento del molino. Las restantes tienen lugar durante la

fricción entre partículas sin su consecuente rompimiento, en el choque metal-metal en

el interior del molino y en la evaporación de la humedad contenida en la mena.

Además, ocurren pérdidas de energía cinética y potencial en las deformaciones

plásticas y elásticas durante la molienda y en la propia emisión de ruido del molino. No

obstante, estas transformaciones de la energía en calor, ruido u otro tipo, son

inherentes a los procesos de preparación de mineral, incluso a veces necesarias,

aunque en la mayoría de los casos no representan papel alguno en la reducción del

tamaño de las partículas minerales.

En los últimos 50 años muchas han sido las publicaciones referidas al tema de la

relación energía–reducción de tamaño: Charles (1957), Schuhman (1960), Austin y

Klimpel (1964), Harris (1966), Kapur y Fuesternau (1988), Tijonov (1984) y Coello

(1993), entre otros. La mayoría de ellas se apoya en las denominadas leyes de

trituración y molienda. Esto denota que la descripción matemática de la dependencia

entre energía consumida en la molienda y reducción de tamaño de los trozos

minerales, está en la preferencia de los científicos e investigadores del tema.

Las primeras investigaciones referidas a esta temática (Rittinger, 1867; Kick, 1883),

estuvieron dirigidas a una mejor comprensión de los fenómenos que tienen lugar en la

molienda; estos investigadores defendieron la posición de explicar la molienda de

minerales desde la relación energía-reducción de tamaño. En este sentido, la reducción



del tamaño se estudió como función del área de la superficie de la partícula

nuevamente formada, el volumen del material molido y el diámetro.

Los experimentos han demostrado que en el proceso de reducción de tamaño, la

energía consumida por unidad de masa es proporcional a las pequeñas variaciones del

tamaño de las partículas, y que la energía requerida para lograr dichas variaciones es

inversamente proporcional a una función dada del tamaño inicial del mineral (Lynch,

1977).

El profesor Hukki (1975) sugiere que la relación energía consumida/tamaño de la

partícula es una combinación de las tres leyes:

donde:

l : tamaño de la partícula.

E : energía consumida en la molienda.

Precisamente, las diferentes interpretaciones de Rittinger, Kick y Bond a esta

correlación, dieron lugar a la propuesta de las leyes de trituración.

Este artículo entrega un análisis valorativo de los modelos matemáticos más

convencionales que describen los fenómenos de trituración y molienda (leyes de

trituración) y expone un modelo íntegro-diferencial para la determinación de la energía

consumida en la molienda de minerales multicomponentes.

4.2.- MODELO PARA VALORAR LA ENERGÍA EN LA MOLIENDA DE MINERALES MULTICOMPONENTES

Rittinger (1867) en su modelo propone que el área de la superficie nuevamente

formada es proporcional a la energía consumida en la molienda.

P80 y F80 : tamaño de las partículas minerales después y antes de la molienda

respectivamente.

Más tarde, Kick (1883) expone su teoría a través del siguiente modelo:

FP

FPE Kr

R

8080

8080

11*

PF

E KkK

80

80log*



La diferencia en los resultados estimados por estos modelos, provocó una larga

discusión, que se agudizó a inicios de la década del 50, cuando Fred Bond publicó las

conclusiones de sus investigaciones. Bond (1950), juzgando la teoría de Rittenger,

plantea la incorrecta comprensión del término de energía útil expuesta por los

investigadores que le precedieron. Rittinger considera que toda la energía consumida

en la molienda se aprovecha en la formación de las nuevas superficies; hoy se conoce

que sólo una pequeña parte de esta energía es disipada en el rompimiento de los

trozos minerales.

Bond (1960) expone los tres principios básicos de su teoría. El modelo de Bond es el

siguiente:

donde: Kb : 10Wi. Wi : Índice de trabajo (Work Index).

Estos modelos son las expresiones matemáticas consideradas como las leyes de

trituración. De todas ellas, la de mayor aplicación es la denominada 3ª. ley de Bond.

En las leyes de trituración, tanto el tamaño inicial (F80) como el tamaño del producto

final (P80), se definen como un diámetro de la clase de tamaño donde se retiene 20 %

del mineral, o sea, un valor constante; en las condiciones reales, los materiales

sometidos a la molienda/trituración y sus productos, contienen un amplio espectro de

partículas de diferentes tamaño y forma, que caracteriza la composición

granulométrica g(f) y g(p) para cada caso.

Tijonov (1984) propone el siguiente modelo:

Por otra parte, tanto los modelos clásicos como el modelo propuesto por el profesor

Tijonov, consideran el material sometido a la molienda como un mineral

monocomponente. En realidad, la materia prima mineral tratada en las plantas de

beneficio no es otra cosa que una mezcla de minerales útiles y estériles, o sea, como

regla en el tratamiento participan al menos dos componentes, los cuales se diferencian

entre sí en cuanto a las propiedades físicas y físico-mecánicas. Es archiconocido que

incluso las propiedades físicas y físico-mecánicas pueden variar de manera sensible en

menas de un mismo yacimiento. Por su esencia, las menas tanto metálicas como no

metálicas, son heterogéneas en cuanto a su composición sustancial y, en

consecuencia, en sus propiedades físicas y físico-mecánicas.

La teoría de la molienda de los minerales multicomponentes, aparece dispersa en los

trabajos de Holmes y Paching (1957), Fuesternau (1962), Tanaka (1966), Remenii

(1974), Tovorov et al. (1981), Bilenko (1984, 2000), Kapur y Fuesternau (1988),

FPE Kb

B

8080

11*



Coello (1993), Coello y Tijonov (1996) y otros. El análisis crítico-valorativo de estos

trabajos expuestos por Bilenko (1984) y Coello (1993), arrojan como conclusión que

en la molienda de minerales multicomponentes, los minerales participantes en las

mezclas minerales se muelen de acuerdo con sus propias regularidades individuales de

forma independiente unos de otros, de manera tal, que cada componente sigue la

misma regularidad sin importar el modo de molienda.

Las investigaciones realizadas por el científico indio Kapur, le llevaron a dos

importantes conclusiones:

1) el módulo de distribución se mantiene constante con independencia del modo de

molienda;

2) la energía consumida en la molienda en bolas de mezclas minerales es proporcional

a su proporción másica en las mezclas.

Tales afirmaciones han sido corroboradas de una manera u otra por Fuesternau y

Sullivan (1962), Bilenko (1984), Kapur y Fuesternau (1988), Coello (1993), Coello y

Tijonov (1996) y Fuesternau y Venkatakamen (1998).

Bilenko (1984) y más tarde Coello y Tijonov (1996), generalizando los trabajos

anteriormente citados, enuncian el principio sobre la individualidad en la molienda de

minerales multicomponentes con independencia del modo de molienda, excluyendo

cualquier interacción entre ellos.

Considerando los elementos expuestos más arriba, se puede suponer que la energía

consumida por unidad de masa en un material hasta un módulo de tamaño, se

mantiene constante con independencia del modo de molienda.

Entonces, para una mena de dos componentes:

donde: Emezcla; E1 y E2 : energía consumida en la molienda de la mezcla y por cada

componente, kWh/t. m1 m2 : proporción másica en la mezcla de los componentes 1 y

2, unidades.

Sin embargo, como se ha señalado, es necesario reconsiderar que en las relaciones de

tamaño energía/tamaño de molienda P80 y F80 son consideradas constante.

Por ello, P80 y F80 pueden ser sustituidas por sus correspondientes funciones de

distribución de tamaño.

En la ecuación, E1 y E2 pueden ser sustituidas por cualquiera de las tres leyes de

trituración. Para el caso de la ley de Bond, la ecuación toma la siguiente forma:



Como en condiciones reales de molienda, F1 y P1 varían en un amplio espectro de

tamaño, que puede ser caracterizado por sus respectivas funciones de distribución de

tamaño γ(f) y γ(p), el consumo de energía en la molienda de un grano mineral desde

un tamaño F1 hasta el P1, implica valorarlo por una función E con argumentos P1 y F1

para una u otra ley de trituración, elemento anteriormente propuesto por Tijonov

(1984).

Coello (1993) propone sustituir la ecuación por:

En esta última ecuación, f y p cambian un tanto su contenido; aquí f y p son

magnitudes variables del tamaño del mineral inicial y el molido respectivamente; g(f) y

g(p), distribución diferencial parcial másica de las partículas de los productos inicial y

final de la molienda; E (f,p), la energía consumida en la transformación de una unidad

de masa desde una clase estrecha de tamaño de mineral inicial (f, f + df) hasta una

clase estrecha de tamaño de mineral molido (p, p + dp).

Según Jueto y Tijonov (1988), Jueto (1988) y Coello (1993), la función E (f, p) en las

expresiones y aplicadas a las leyes de molienda enunciadas en párrafos precedentes

quedaría, para la ley de Rittinger:

para la ley de Bond:

K1=10W1 ; K2=10W2.

De acuerdo con el principio sobre la individualidad en la molienda de minerales

multicomponentes, independientemente del modo de molienda, expuesto en los



trabajos de Bilenko (1984), Bilenko (2000), Coello y Tijonov (1996), y corroborados en

los informes de Fuesternau y Sullivan (1962), Holmes y Paching (1957), Tanaka

(1966), Kapur y Fuesternau (1988), Fuesternau y Venkatakamen (1998) y Coello

(1993, 1998), entre otros, las expresiones se pueden generalizar en el modelo

propuesto por Coello (1993):

donde: i=1,2,3,...,n : cantidad de componentes en la mezcla.

Este modelo no sólo permite determinar la energía consumida por cada componente de

la mezcla mineral y la energía total consumida en su molienda, sino también la

consumida en la transformación de cualquier clase con tamaño inicial f en una clase

estrecha de tamaño p para cada uno de los minerales participantes en la mezcla.

Para mayor facilidad en los cálculos, es preferible sustituir las integrales por las

correspondientes sumatorias.

La siguiente expresión responde a una mena de dos componentes:

donde:

salida de la clase de tamaño i de los componentes 1 y 2 en la

mezcla inicial.

salida de la clase de tamaño i de los componentes 1 y 2 en el

producto molido.

valor de la función E(l,p)1 y E(l,p)2 en la mitad de la clase

finita i para los componentes 1 y 2 de la mezcla, kWh/t.

La expresión permite calcular y analizar los flujos diferenciales de la energía consumida

durante la transformación dimensional de las diferentes clases de tamaño de la mezcla

inicial en las clases de tamaño del mineral molido de ambos componentes. Mediante el

análisis de los cálculos por el modelo, se puede precisar la distribución de la energía

consumida por cada componente.

Los modelos clásicos para la descripción matemática de la relación energía consumida-

reducción dimensional, poseen limitaciones importantes para profundizar en el estudio

de los minerales multicomponentes. Las adecuaciones realizadas al modelo propuesto



por Tijonov y la ulterior sistematización y estructuración permitieron, apoyados en un

laborioso aparato experimental, proponer un modelo mediante el cual se pueden

evaluar los consumos energéticos en la molienda de minerales multicomponentes.

Este modelo sienta las bases para futuras investigaciones sobre el tema, en aras de

lograr una teoría que pueda explicar y predecir los complejos fenómenos que tienen

lugar en la molienda de minerales multicomponentes.



CAPÍTULO V. CLASIFICACIÓN Clasificación es la separación de partículas según su rapidez de asentamiento en un

fluido (generalmente agua o aire).

Los clasificadores normalmente generan 2 productos:

Corriente de respuesta positiva: Contiene las partículas de asentamiento más

rápido, también es conocida como arenas, producto de descarga inferior o

sobre-tamaño.

Corriente de respuesta negativa: contiene las partículas de asentamiento lento,

también es conocida como derrame, lamas o sub-tamaño.

A pesar de que la clasificación es una operación desarrollada para la separación de

partículas de acuerdo con su tamaño, el efecto que tiene la diferencia de densidad

entre las diferentes especies involucradas y otros factores que influyen en el proceso,

hacen que en algunos casos esta sea una operación más de selección que de

clasificación, por lo tanto esta operación es aplicada en las siguientes situaciones:

Separación de tamaños finos y gruesos, que no puede ser realizada por cribado

por que son demasiado finos.

Efectuar una concentración de las partículas más pesadas y pequeñas de las

más grandes y ligeras.

Dividir una distribución de tamaños de intervalo grande en varias fracciones.

Restringir la distribución de propiedades de las partículas que van a entrar a un

proceso de concentración.

Controlar la molienda en un circuito cerrado.

La clasificación se define como “una técnica para evaluar el rendimiento

(eficiencia) de un proceso”. Para realizar la clasificación se debe recurrir a

separadores, los que se denominan:



En general los procesos de clasificación son procesos probabilísticos, es decir,

dependen de una conjugación de efectos de “n” variables para poder realizarse. En el

caso del harneado, este se puede relacionar en términos de j variables, entre las que

se pueden mencionar:

x1 = Tamaño de la partícula.

x2 = Forma de la partícula.

x3 = Abertura disponible.

x4 = Enfrentar la superficie.

El efecto de la forma de la partícula es muy importante en el "tamaño crítico" ya que

este corresponde a un tamaño muy cercano al tamaño de las aberturas. La

probabilidad de que estás partículas sean clasificadas como sobretamaño o bajo

tamaño dependerá principalmente de que la partícula se presenta a la abertura en la

orientación adecuada.

Atrapamiento de partículas de tamaño crítico en las aberturas de un harnero.

5.1.- TIPOS DE HARNEROS

Los harneros pueden ser de distintos tipos, formas y rangos de tamaño de operación y algunos de ellos son los siguientes: a).- Parrilla Estacionaria: Antes del chancador primario.

Convencional.



Probabilístico. b).- Parrilla de Rodillos: Antes del chancador primario. c).- Superficie Curvada: Rango: 2000[µm] - 45[µm] d).- Giratorios:

Tambor (Trommel): 15[rpm]-20[rpm], húmedo o seco (seco: 6[cm]-1[cm]) Centrífugos: Vertical 60[rpm]-80[rpm], húmedo o seco. De 1.2[cm]-0.04[cm]

e).- Vibratorios: Inclinado: 600[rpm]-7000[rpm] bajo 25[mm], muy utilizados hasta 200[µm] Horizontal: Superficie rectangular, 600[rpm]-3000[rpm], movimiento con componente vertical y horizontal. De Probabilidad: Serie planos inclinados de alto rendimiento, convencional. Mayor capacidad y eficiencia.

Los harneros vibratorios funcionan a mayor velocidad y tienen como objetivo levantar las partículas de la superficie del harnero. En si, el proceso de harneado está en función de parámetros del mineral, harnero y estratificación. a).- Mineral = En cada caso, los parámetros más importantes son los siguientes: Densidad aparente, distribución de tamaños, diámetro, humedad. b).- Harnero = Superficie (porcentaje del área abierta, tamaño de la abertura, forma de la abertura, espesor). Vibración (amplitud, frecuencia, dirección). Angulo de inclinación y tipo de alimentación. Estratificación = Consiste en la separación del material según tamaño. Sin la estratificación los gruesos tapan la superficie del harnero impidiendo que se clasifiquen los finos. La estratificación está en función del espesor del lecho debido a que a nivel indutrial se pueden presentar lechos demasiados delgados (que tapan las aberturas, impidiendo el paso de las partículas finas) y lechos demasiados gruesos, que obstruyen la percolación de las partículas finas hacia las aberturas. Además de afectar la eficiencia de separación, los espesores de lechos definen la capacidad de producción del harnero, de modo que lechos demasiados delgados significan una baja capacidad de producción del harnero, mientras que lechos muy gruesos se traducen en una alta capacidad de tratamiento másico, pero una muy baja capacidad de separación efectiva.

De este modo se tiene que a nivel industrial se debe operar a un determinado espesor

de lecho que maximice los conceptos de capacidad de producción y eficiencia de

separación. Este espesor se llama “Espesor de lecho óptimo” y está dado por una

profundidad del lecho que puede ser hasta cuatro veces el tamaño de la abertura en el



extremo de la descarga para materiales de 100[lb/pie3] de densidad o hasta tres

veces para materiales de 50[lb/pie3] de densidad. La figura muestra los diferentes

tipos de lechos analizados.

La eficiencia de separación de un harnero puede calcularse a partir de un balance de

masa de los flujos que muestra la figura siguiente. En este caso, se alimentan Ah

[ton/hr] de material, que se divide en Sh [ton/hr] de sobretamaño y Bh [ton/hr] de

bajo tamaño.

Además, sea ah la fracción de material mayor que las aberturas en la alimentación, sh la fracción de material mayor que las aberturas en el sobre tamaño y bh la fracción del mismo material en el bajo tamaño. Con estas definiciones se cumple que el balance de masa global es:

SBA hhh

por otro lado, el balance de masa para el material mayor que las aberturas (o gruesos)

se puede escribir como:

sSbBaA hhhhhh

Análogamente, el balance de masa para el material menor que las aberturas (o finos)

se puede escribir como:

)1()1()1( sSbBaA hhhhhh

Cuando el producto deseado del harnero es el bajo tamaño, el objetivo es recuperar en

esta corriente la mayor cantidad posible de material fino que originalmente está



presente en la alimentación. En este caso, es común usar la "eficiencia de

recuperación del bajo tamaño" ηu/s definida como:

entaciónalaenfinosdeTPH

tamañobajocorrientelaenfinosdeTPH

AB lim_____

_______100

Matemáticamente esto se escribe como:

)1(

)1(100

aAbB

hh

hh

AB

Ahora, combinando las ecuaciones se puede obtener que:

bsas

AB

hh

hh

h

h

100

Reemplazando tenemos:

)(

)(

)1(

)1(

bsas

ab

hh

hh

h

h

AB

Generalmente podemos considerar bh=0 entonces:

)1(

)(

asas

hh

hh

AB

Esta fórmula es muy usada e implica que la recuperación de gruesos en el

sobretamaño es del 100%.

Si el que interesa es el sobre tamaño, el objetivo entonces es que tenga la menor

cantidad posible de finos. En este caso se usa la "eficiencia de eliminación del bajo

tamaño", ηA/S

osobretamañcomoandescqueTPH

entaciónalaengruesosdeTPH

SA __arg__

lim_____100

Matemáticamente esto se escribe como:

SaAh

hh

sA



5.2.- FACTORES QUE AFECTAN LA EFICIENCIA DE UN HARNERO

La capacidad de un harnero y una alta eficiencia de separación son requisitos

generalmente opuestos y se debe llegar a algún punto de operación que maximice

ambos aspectos.

Para una capacidad determinada hay "n" factores que afectan la eficiencia de un

harnero. Algunos de ellos son los siguientes:

Velocidad de alimentación y profundidad del lecho.

Tipo de movimiento del harnero y pendiente del harnero.

Humedad del material que impide la estratificación del material y tiende a cegar

las aberturas del harnero.

Tipo de superficie de harneado, área y forma de las aberturas.

Porcentaje de área abierta que corresponde al área neta de las aberturas

dividida por el área total del harneado.

Tipo de material a tratar que corresponde a la dureza, forma de las partículas,

peso específico, etc.

Porcentaje de material fino y de tamaño crítico (3/4 a 1.5 veces la abertura) en

la alimentación al harnero.

La eficiencia del harnero es fuertemente afectada por la presencia de partículas

de tamaño aproximado al de la abertura (éstas tienden a obstruir o cegar la

abertura).

Este problema lo refleja la tabla siguiente, en la que se muestra que ha medida que las

partícula tiene un tamaño más aproximado a la abertura, tiene una significativa menor

probabilidad de ser clasificada.

Otra representación de este problema lo muestra la tabla que se muestra a

continuación:



5.3.- CLASIFICADORES

Los equipos de clasificación generalmente se clasifican de acuerdo con la forma de

descarga de los sobre-tamaños en:

Clasificadores de descarga mecánica

Hidrociclones.

Ciclones neumáticos

Los clasificadores se pueden clasificar como:

Los clasificadores mecánicos se caracterizan por ser adecuados para separar partículas

de tamaño superior a los 150[µm] y por tener bajos consumos específicos de energía.

Clasificadores de espiral (de rastrillo o de arrastre):

Este clasificador realiza la descarga de sobre-tamaños por medios mecánicos y de

acuerdo con movimiento relativo entre las partículas y el fluido por sedimentación.



CLASIFICADORES DE ESPIRAL

A mayor Tp, mayor será la Fe

Este tipo de espirales es útil en circuitos de

molienda, lavado y eliminación de agua.

CLASIFICADORES MECÁNICOS

Clasificadores de Paletas:

La clasificación se hace por medios mecánicos y por sedimentación de las partículas en

el fluido.



CLASIFICADORES DE PALETAS

A mayor Tp, mayor será la Fe

Este tipo de clasificadores se utiliza para separaciones

gruesas y para remover aglomerados.

No existen restricciones de %Vol sólidos en las corrientes.


Clasificadores de Tanque Cilíndrico

Este clasificador posee rastrillos giratorios en el fondo del tanque, con el fin de facilitar

la descarga de las arenas por medio mecánico. La interacción entre el fluido y las

partículas se hace por sedimentación.

CLASIFICADORES DE TANQUE CILÍNDRICO

La baja eficiencia de este clasificador hace que su uso sea práctico sólo cuando se

requiere separar grandes volúmenes de material.




Clasificadores de cono:

En este tipo de clasificadores la descarga de los sobretamaños se hace por gravedad y

la interacción entre las partículas y el fluido se da por sedimentación.

CLASIFICADORES HIDRÁULICOS

Hidrociclones:

En este clasificador la interacción entre las partículas y el fluido se da por

sedimentación, la descarga de los sobre-tamaños se da por medios no mecánicos.

Por su parte los clasificadores hidráulicos resultan ser más adecuados para separar

partículas pequeñas (dp<300[µm]) y se caracterizan por tener un bajo costo de capital

y de instalación.

Los hidrociclones por su alta eficiencia de clasificación son utilizados en molienda de

circuito cerrado.

Entre los clasificadores hidráulicos destaca el hidrociclón, el cual separa las partículas

usando el principio de centrifugación de la pulpa. La figura siguiente muestra la forma

típica de un hidrociclón de fondo cónico.



Forma y partes de un hidrociclón cónico.

Vórtice Primario = Desciende por las paredes.

Núcleo de Aire = Conectado a la atmósfera.

Vórtice Secundario = Asciende alrededor del núcleo de aire.

Separación de las partículas: La separación es producida por la Rotación del

Fluido, el cual desarrolla grandes fuerzas centrífugas. La aceleración de gravedad g es

reemplazada por w2R de modo que las velocidades terminales de todas las partículas

aumentan pero permanecen en la misma proporción relativa, por lo que se alcanza una

mayor capacidad de tratamiento.

Las partículas más grandes y pesadas que tienen mayor velocidad de sedimentación se

mueven hacia la pared del hidrociclón y son arrastradas por el vórtice primario hacia la

Descarga. Las partículas más pequeñas debido al mayor efecto de arrastre relativo a

las fuerzas inerciales, que produce un menor movimiento relativo al fluido, se mueven

hacia la zona de baja presión en el centro del hidrociclón y son arrastradas hacia arriba

a través de buscador de vórtice y salen por el Rebalse.



La calidad de la separación en un hidrociclón se representa a través de la curva de

eficiencia de clasificación. Esta curva muestra la fracción (o porcentaje) de material de

tamaño i que viene en la alimentación que se va a la descarga.

Cabe destacar que este concepto puede aplicarse a un harnero, tamiz, espiral o

cualquier otro tipo de clasificación. La forma típica de la curva de eficiencia para un

hidrociclón se muestra a continuación:

En este caso, el tamaño de corte es el d50, que corresponde a las partículas de este

tamaño que tienen igual probabilidad de ir al rebalse o a la descarga. Haciendo una

analogía con un harnero se tiene que el d50 de un hidrociclón corresponde al largo de la

abertura en el harnero.

A nivel industrial, los hidrociclones tienen un comportamiento alejado de la idealidad,

es decir, no separan en forma perfecta lo que se traduce que el flujo de gruesos de la

descarga va contaminado con finos y que el flujo de finos del rebalse va contaminado

con gruesos. Una curva de eficiencia real se muestra en la figura siguiente:

Para calcular el tamaño d50 y d50c simplemente se hace a partir de una interpolación

entre el valor de eficiencia global o corregida, según se a el caso inmediatamente

superior e inferior a 50% de eficiencia. La salvedad radica en el hecho que se trata de



una curva logarítmica por lo que el cálculo debe contemplar dicha condición de la

siguiente manera:

EEaa

Ead

1

0

1

0

1

150

ln

ln50

lnexp

Donde

a0 Abertura inmediatamente inferior a la eficiencia de 50%

a1 Abertura inmediatamente superior a la eficiencia de 50%

E0 Eficiencia inmediatamente inferior a 50%

E1 Eficiencia inmediatamente superior a 50%

5.4.- FACTORES QUE ALTERAN LA CURVA DE EFICIENCIA

Dispersión inicial de partículas a través de la abertura de alimentación al

equipo.

Perturbaciones durante la pasada por el interior del equipo.

Arrastre de finos en la descarga.

Z corresponde a la fracción de material de alimentación que pasa por

cortocircuito al rebalse (es generalmente despreciable).

Y corresponde a la fracción de finos que son arrastrados a la descarga. Se

puede estimar suponiendo que las partículas más finas se comportan como el

agua y por lo tanto la fracción de estas partículas Y en el rebalse será igual a la

fracción del agua de alimentación que deja el equipo por la descarga.

Suponiendo:

1. El arrastre por el

agua de una fracción

constante Y de

todos los tamaños

de partículas en la

descarga.

2. Que la fracción

restante (diferencia)

de partículas (1-Y)

es sometida a una

clasificación por

tamaños, se puede

obtener la siguiente

curva de eficiencia

corregida.



El tamaño de separación del hidrociclón frecuentemente se define como aquel punto

sobre la curva para el cual el 50% de las partículas de ese tamaño en la alimentación

tienen igual probabilidad de ir al rebalse a la descarga. Normalmente se hace

referencia a ese punto como tamaño d50 para la curva real y d50,C para la curva

corregida.

Para caracterizar la calidad de la separación se utiliza el Indice de Separación

(IS), que se define como:

dd

IS

75

25

Donde los tamaños d25 y d75 corresponden al 25% y 75% de las partículas de

alimentación que van a la descarga.

Otro parámetro que también se acostumbra a usar el llamado Coeficiente de

Imperfección (I), que se define como:

d

ddI

2

(

50

25)

75

Los valores de la eficiencia corregida de un hidrociclón (EC), son importantes por que

se ha encontrado que el mismo Hidrociclón operando en diferentes condiciones entrega

frecuentemente la misma forma de EC versus un tamaño adimensional definido por

di/d50,c.

Esta curva de EC versus di/d50,c se denomina Curva de Eficiencia Reducida y es

característica del tipo de clasificador en un rango razonable de diseño.



La ventaja de conocer la función de clasificación reducida de un hidrociclón es que

permite conocer la función de clasificación de un hidrociclón que es puesto a trabajar

en diferentes condiciones operacionales. Esto se traduce en que se podrá predecir las

características de los flujos másicos de rebalse y descarga de un hidrociclón, además

de obtener una familia de valores EC(i) [o C(i)] que se utilizan en la simulación y

optimización de procesos de molienda – clasificación.

Varias ecuaciones matemáticas han sido propuestas para representar la curva de

eficiencia corregida EC(d) de un hidrociclón. Dos de las ecuaciones más utilizadas son

las siguientes:

a) Modelo de Rao y Lynch

2expexp

1exp

50

50

aa

a

Ec

dd

dd

c

i

c

i

b) Modelo de Plitt

d

d

c

iEc

m

50

693,0exp1

En estas ecuaciones a y m son parámetros empíricos dependientes de las

características de clasificación del material. Normalmente los valores de m están en el

rango de 1 a 3.8. Valores típicos se indican en la siguiente tabla:

Mena m

Sílice 3,23

Cobre 1,93

Taconita 1,28

El valor de a varía aproximadamente entre 1.54 m - 0.47 m

El caso de un hidrociclón que entrega un comportamiento de clasificación similar para

un material dado en diferentes condiciones de operación se muestra en la figura.



Función de clasificación para un material dado

en un hidrociclón operando en distintas condiciones.

CLASIFICADORES NEUMÁTICOS

Ciclones Neumáticos:

Este tipo de clasificadores realiza la descarga de los sobre-tamaños por medios no

mecánicos y la interacción entre las partículas y el fluido se da por sedimentación. Su

principal uso se da en la clasificación en seco y no posee restricciones de tamaño.

CLASIFICACIÓN A TRAVÉS DE FLUIDOS

Es la separación de partículas de acuerdo con la diferencia entre su velocidad de

asentamiento y la velocidad de un fluido que puede ser líquido o gas.

Una partícula que desciende en el vacío posee una velocidad creciente e independiente

de su densidad y de su área superficial, no obstante cuando la partícula desciende en

contracorriente con un medio como el aire o el agua, este le proporciona una

resistencia, que reduce su velocidad hasta el punto en el que la resistencia es igual a la

fuerza de gravedad, a partir del cual la partícula adquiere su velocidad terminal.

Una vez que la partícula alcanza su velocidad terminal, desciende con una velocidad

constante.

En el proceso de clasificación a través de fluidos, cada partícula experimenta tres

fuerzas:



• La fuerza de gravedad

• La fuerza de empuje

• La fuerza de arrastre (fuerza producida por el movimiento relativo entre la partícula y

el fluido).

La fuerza de arrastre depende de la velocidad de caída de la partícula en el fluido así:

Si la velocidad de descenso de la partícula es lenta, obedecerá a la ley de Stokes y la

partícula estará cubierta de una fina capa de fluido, que se mueve a la misma

velocidad de la partícula.

Entre la capa de fluido que envuelve la partícula y el fluido adyacente habrá una

diferencia de velocidad, que genera un movimiento relativo entre las capas de fluido y

por lo tanto existirá un esfuerzo cortante entre ellas, que es proporcional a la

viscosidad. A este mecanismo se le conoce como resistencia viscosa.

Cuando la partícula desciende a alta velocidad, el fluido adyacente experimenta un

movimiento turbulento que le imprime una resistencia al movimiento de la partícula,

esta se conoce como resistencia turbulenta y obedece a la ley de Newton.

La magnitud de la velocidad terminal de cada partícula depende del tipo de resistencia

ejercida por el fluido y la clasificación se hace de acuerdo con la diferencia entre la

velocidad terminal de cada partícula, respecto a la velocidad del fluido.

Las partículas cuya velocidad terminal sea menor que la velocidad del fluido que se

encuentra en contracorriente, experimentan unas fuerzas de oposición mayores a la

fuerza de gravedad y por lo tanto, serán arrastradas por el fluido hasta salir del

clasificador, por una zona conocida como descarga de lamas, corriente negativa o

subtamaños.

Las partículas cuya velocidad terminal es mayor que la velocidad del fluido en

contracorriente experimentan unas fuerzas de oposición menores a la fuerza de

gravedad y por lo tanto vencen la resistencia del fluido hasta salir del clasificador por

la descarga de arenas, positiva o de sobretamaños.

La velocidad terminal de cada partícula puede ser calculada a partir del equilibrio de

las fuerzas que interactúan en ellas:

Cuando se alcanza la velocidad terminal la velocidad de la partícula se hace constante

y por lo tanto ∂x/∂t = 0, es por esto que:

g*(m - m’) = Fa

Entonces:



Si la velocidad de descenso de la partícula es lenta, cumplirá con la ley de Stokes y por

lo tanto:

Para d0 menores a 50 µm

η= viscosidad del fluido

De acuerdo con lo anterior, se puede establecer que la velocidad terminal de cada

partícula depende de:

La diferencia de densidad entre cada partícula y el fluido.

El diámetro de cada partícula

Por lo tanto:

Si se tienen partículas con igual densidad, las de mayor diámetro tendrán una

mayor velocidad terminal.

Si se tienen partículas de igual o similar tamaño, las de mayor densidad,

tendrán mayor velocidad terminal.

Si se tienen partículas de diferente tamaño y densidad, la relación de tamaño a

la cual se obtienen igual velocidad terminal puede ser determinada mediante la

relación de asentamiento.

Si la relación sólido – fluido es menor al 15% y además:

• El tamaño de las partículas es menor a 50 µm

Sí Va = Vb, entonces:

Si la relación sólido – fluido es menor al 15% y además:

• El tamaño de las partículas es mayor a 5000 µm

Sí Va = Vb, entonces:



Si la relación sólido – fluido es al 15%, el fluido se comportará como una pulpa viscosa

que obedece a la ley de Newton, por lo tanto:

EVALUACIÓN DE LOS CLASIFICADORES

Un clasificador es evaluado de acuerdo con:

Capacidad de clasificación

Tamaño de separación

Rendimiento o eficiencia

La capacidad del clasificador se mide de acuerdo con la cantidad de material separado

por unidad de tiempo.

El tamaño que es capaz de separar un clasificador, se determina de acuerdo con la

abertura de la malla que retiene una cantidad de sólidos (entre 1 – 3%) en la corriente

de finos.

TAMAÑO DE SEPARACIÓN

800 µm 3 %

500 µm 15 %

375 µm 22 %

250 µm 27 %

125 µm 33 %

En términos reales, no siempre las partículas que quedan retenidas en el tamiz

superior de los finos tienen la misma probabilidad de ir a la descarga de gruesos como

de finos, por lo tanto, este criterio se usa para determinar el tamaño límite que se

puede clasificar.

RENDIMIENTO DE LOS CLASIFICADORES

Se determina cualitativamente de acuerdo con la pendiente de la curva fracción

retenida en los gruesos respecto al alimento versus el tamaño de partícula.



Comportamiento ideal



CAPÍTULO VI.- BALANCE DE MATERIALES

¿Por qué es importante caracterizar los flujos en el procesamiento de minerales?

1. Permite dimensionar equipos y realizar el diseño del proceso

2. Permite evaluar la eficiencia de la operación

3. Permite realizar la contabilidad metalúrgica o conciliación de tonelajes y ley

para el cierre de mes

Introducción

En todo balance, se involucran una variedad de conceptos, definiciones y fenómenos

que se deben contemplar antes de iniciar un balance de materiales y estos son por

ejemplo:

Principios Físicos

1. Transferencia de Cantidad de Movimiento

Leyes de Galileo y !ewton

2. Transferencia de Energía

Primera y segunda ley de la termodinámica (Carnot y Clausius)

3. Transferencia de Masa

Ley de conservación de la materia (Lavoisier)

Ecuaciones de Balance

1. Steady State (Estado estacionario o régimen permanente)

2. Régimen Transiente

3. Batch

Ejemplo: llenado de un estanque en régimen

transiente

Ecuaciones de Balance

Condiciones Particulares

min = 2 tph = 1



El Régimen Permanente corresponde a un caso particular del Régimen Transiente,

cuando la solución se evalúa en t = ∞.

Para realizar balances, es importante caracterizar los flujos de mineral en cada punto

de la planta. Un buen muestreo otorga mayor fidelidad a los datos obtenidos,

puesto que dicha información será utilizada para tomar decisiones importantes en el

diseño y la producción.

Puesto que las operaciones de muestreo y los equipos que realizan tal trabajo

requieren de un capital elevado (tanto económico como humano), en las plantas se

caracterizan sólo algunos flujos.

Para la estimación de las propiedades del resto de los flujos existen relaciones

matemáticas basadas en la física y química.

Pulpas y flujos de Mineral

Estática

Masa (t, kg) y volumen (l,m3)

En Movimiento (flujo)

Masa (tph, kg/h) y volumen (l/s,m3/h)

Densidad de sólido, líquido y pulpa

Estática (t/m3)

En Movimiento (flujo)

Densidad específica

Gravedad específica



Se hunde si > 1, flota si < 1

Concentración de sólidos

En volumen

En Peso

Dilución o humedad en base seca

Humedad en base húmeda (%)

Concentración de sólidos en función de las densidades

Densidad conjunta

Densidad de la pulpa



Balances de Materiales

Aparte de caracterizar la magnitud de los flujos de agua y mineral, es importante

observar los cambios en las propiedades asociadas a la ley, granulometría y densidad

del mineral.

Cada equipo en el flowsheet realiza cambios particulares en las propiedades del flujo.

Equipos de Molienda

En los equipos de molienda, tales como chancadores (en seco) y molinos (en húmedo),

sólo se realizan cambios en la granulometría del mineral. En un balance es importante

estudiar el grado de reducción de tamaño que realiza el proceso de conminución.

Se define la Razón de Reducción como:

Donde i define un tamaño característico de la distribución (por lo general se utiliza el

80% pasante y se calcula el R80)



Equipos de Clasificación

Los equipos de clasificación, tales como harneros e hidrociclones, actúan sobre un

tamaño en particular. Por lo mismo, el cambio se realiza sobre la granulometría. El

reparto de flujos de un cierto tamaño se rige bajo una cierta eficiencia de clasificación

inherente al equipo.

Si bien este concepto se ha desarrollado bastamente en capítulos precedentes,

conviene recordar que para un balance, la eficiencia de clasificación permite definir las

cargas de recirculación en función del corte de los clasificadores.

Donde d* corresponde al tamaño de corte bajo el cual se repartirán los flujos.

Recirculaciones

En la mayoría de las plantas, se requiere una etapa de repaso de una operación en

particular con el fin de llegar a la calidad de producto requerida. En plantas de

chancado y molienda, se requieren de recirculaciones para obtener un tamaño en

particular. Mientras que en plantas de flotación se requiere repasar un cierto

concentrado para aumentar la ley del mismo.

Se define la Carga Circulante (%) como:



Valores típicos de CC en chancado varían desde 50 a 150%, en molienda varía de

hasta 400%.

Ejemplo 1: Balance de un sistema cerrado directo de molienda unitaria

Un sistema de molienda

clasificación como el de la

figura adjunta es posible

caracterizarlo en función de

sus flujos definiendo los

nodos característicos.

El nodo Nº1 está definido

por el flujo de alimentación

fresca (Af), el flujo de

descarga de ciclones, el flujo

de agua alimentado al

molino y el flujo de

alimentación al molino de la

siguiente manera:

AAgDA mmcf

En función de sus granulometrías, la expresión queda como sigue:

aAAgdDaA mmmccff

El nodo Nº2 está definido por el flujo de alimentación a ciclones, el flujo de rebase de

ciclones y el flujo de descarga de ciclones de la siguiente manera:

DRA ccC

Que similarmente a lo hecho con el nodo Nº1, en función de sus granulometrías queda

así:

dDrRaA cccccC



En este caso, la carga circulante queda definido por el retorno representado por el flujo

de descarga de ciclones y la alimentación fresca que en estado estacionario debiera

igualarse al flujo de rebase de ciclones, por lo tanto:

RD

AD

c

c

f

cCC

Haciendo algunas combinaciones podemos establecer un modo de obtener la carga

circulante en función de las granulometrías permitiendo de ese modo hacer un balance

ajustado a la carga de recirculación promedio de siguiente modo:

Reemplazando tenemos

Llevado a una expresión genérica podemos establecer que:

Donde CCi representa la carga circulante de la malla i y N el número de mallas

analizadas.

dRD

raRD

aaRD

adRD

a

dRD

rRR

aR

DRa

RDR

dRD

aRR

dRD

rRR

aRA

aRA

dRD

aRR

RdDrRaAaAdDaR

dDrRDRaAAaAAdDaADA

dDrRaA

DRA

aAdDaA

ADA

c

c

c

cm

c

c

mc

c

c

cc

c

c

f

c

c

c

c

c

c

m

c

cc

c

c

cc

c

c

c

f

r

r

c

c

c

c

c

c

m

c

c

c

c

c

c

c

c

f

r

r

cccccmcccccfr

ccccccmmmcccccffcf

cccccc

ccc

mmccff

mcf

1

aaar

aaaaar

aaaara

aaaara

aaraaa

mc

fc

mc

mcfc

mc

cfcm

mc

cfcm

cfcmmc

CC

CC

CC

CC

CC

N

N

ii

media

CCCC

1



Ejemplo 2: Balance de un sistema cerrado indirecto de molienda unitaria

Sistema cerrado indirecto de molienda clasificación

El nodo Nº1 está constituido por el flujo de alimentación fresca, el flujo de descarga

del molino, el agua de alimentación al pozo de la bomba y el flujo de alimentación a

ciclones y se puede representar del modo siguiente:

AAgDA cpmf

Similarmente al desarrollo del ejemplo anterior, podemos expresar esta ecuación en

función de las granulometrías involucradas así:

aAAgdDaA ccpmmff

El nodo Nº2, esta formado por los flujos de alimentación a ciclones, rebase de ciclones

y descarga de ciclones que incluida la ecuación correspondiente a las granulometrías

tendríamos el siguiente sistema de ecuaciones:

dDrRaA

DRA

cccccc

cc c

Tal cual se hizo en el ejemplo Nº1, sumaremos las ecuaciones y luego sustituiremos

por CC la razón entre la descarga y el rebase de ciclones.

Agm

Agp

Ac

Dc AmC. cir

c.

Rc

Af

Dm

Agm

Agp

Ac

Dc AmC. cir

c.

Rc

Af

Dm



Balance granulométrico de un sistema cerrado directo de molienda

clasificación

Normalmente en un sistema, existen algunos datos que se registran a tiempo real en

función de datos proporcionados por instrumentos como los siguientes:

1. Densímetro de alimentación a ciclones

2. Flujo volumétrico de alimentación a ciclones

3. Flujómetro para el agua de alimentación al molino

4. Flujómetro para el agua de alimentación al pozo de la bomba de ciclones

5. Pesómetro para el tonelaje de alimentación al sistema molienda clasificación.

6. Potenciómetro del motor del molino

7. Sensor de nivel del pozo de la bomba

8. Variador de frecuencia del motor de la bomba de ciclones

9. Analizador del tamaño de partículas del rebase de ciclones (%+100 Mallas)

Con esa instrumentación, normalmente basta para llevar a efecto un balance en línea y

a tiempo real, vale decir, mediante algunos algoritmos se podría desarrollar un sistema

para construir un balance dinámico del sistema molienda clasificación, situación que

podría entregar la variable granulometría de manera dinámica. Estos sistema se

mostrarán en el capítulo siguiente pero, dejamos como muestra un balance en estado

estacionario del sistema molienda clasificación el que utiliza la información de los

sensores para establecer las particiones de los flujos en los diferentes nodos según sea

el caso.

Rebase de ciclones

En estado estacionario corresponde al tonelaje de alimentación fresca restando la humedad

que normalmente es del orden del 3%.

hAR fc 1

N

CC

CCCC

N

ii

media

cm

fc

ccmf

c

c

c

c

c

c

m

c

c

f

c

c

cccccmcfc

cccccc

ccc

ccmmff

cmf

ccCC

ddar

drda

dRD

rRR

dRD

aRR

RdDrRdDaR

dDrRaA

DRA

aAdDaA

ADA

1



Agua en el rebase de ciclones

En estado estacionario, corresponde a la sumatoria del agua de alimentación al molino y el

agua de alimentación al pozo de la bomba de ciclones.

AgAgAgpmRc

Sólido de rebase de ciclones

Corresponde a la razón entre el tonelaje de rebase de ciclones y la sumatoria entre el rebase

de ciclones y el agua del rebase de ciclones. Todo esto, multiplicado por 100 para

expresarlo como porcentaje.

AgRR

SRcc

c

Rc

100

Flujo másico de alimentación a ciclones

El flujo volumétrico de alimentación a ciclones, multiplicado por su densidad, corresponde

al flujo másico, sin embargo, normalmente, el densímetro, entrega el porcentaje de sólido

de alimentación (SAc) a ciclones por lo que se requiere calcular la densidad que corresponde

a la gravedad específica de este sólido, que en este caso consideramos como dm =2,8 gr/cc.

dS

d

dFVFM

m

Ac

m

m

AcAc

1001

Agua de alimentación a ciclones

Esta puede ser calculada a partir del flujo másico y el sólido de este de la siguiente manera:

1

100

1

SFMAg

Ac

AcAc

Flujo másico de descarga de ciclones

Este corresponde a la diferencia entre el flujo másico de alimentación a ciclones y el de

rebase de este.

FMFMFM RcAcDc



Flujo de agua de descarga de ciclones

Se calcula en base a la diferencia entre el flujo de agua de alimentación a ciclones y el de

rebase de este.

AgAgAgRcAcDc

Sólido de descarga de ciclones

Este sólido se calcula como la razón entre el flujo másico de descarga de ciclones y la

sumatoria del flujo másico y flujo de agua en la descarga de ciclones multiplicado por 100.

AgFMFM

SAcDc

Dc

Dc

100

Sólido de molienda (Sólido al interior del molino)

Este es calculado en función del flujo másico de alimentación a ciclones que corresponde

en magnitud al flujo de alimentación al molino. Por lo tanto este sólido es la razón entre el

flujo másico de alimentación al molino y la sumatoria de este flujo y el agua alimentada al

molino y la contenida en la descarga de ciclones, multiplicado por 100.

AgAgFMFM

SDcmAc

Ac

m

100

Consumo específico de molienda

Este corresponde a la razón entre el tonelaje seco tratado por hora y la potencia consumida.

FM

PE

Rc

Carga circulante

Tal como se ha dicho en artículos y párrafos precedentes, este se calcula como la razón

entre el flujo másico recirculado y el de alimentación fresca, vale decir, la razón entre la

descarga de ciclones y el rebase de este multiplicado por 100.

FMFM

Rc

DcCC 100

gabriel

Nota adhesiva

aqui quedé



Unidad Valor 800,06 T/hr 5111,3 T/hr

T/hr 5.111,3 Malla Abertura Parcial Acum. Pasado Malla Abertura Parcial Acum. Pasado

m3/hr 3.017,4 1,05 26670 0,00 0,00 100,00 1,05 26670 0,00 0,00 100,00

% 62,88 0,742 18850 0,03 0,03 99,97 0,742 18850 0,04 0,04 99,96

0,525 13330 2,87 2,90 97,10 0,525 13330 2,00 2,04 97,96

Unidad Valor 0,371 9423 14,73 17,63 82,37 0,371 9423 5,38 7,43 92,57

T/hr 800,1 3 6680 12,41 30,04 69,96 3 6680 5,26 12,69 87,31

m3/hr 1.130,2 4 4699 10,15 40,18 59,82 4 4699 4,62 17,31 82,69

% 41,45 6 3327 10,16 50,34 49,66 6 3327 4,73 22,04 77,96

%+100M 27,33 8 2352 6,90 57,24 42,76 8 2352 4,68 26,72 73,28

pulgs 10,00 10 1651 5,57 62,81 37,19 10 1651 5,21 31,93 68,07

14 1168 5,14 67,94 32,06 14 1168 6,09 38,02 61,98

Unidad Valor 20 833 3,75 71,69 28,31 20 833 6,96 44,97 55,03

T/hr 4.311,2 28 589 3,09 74,79 25,21 28 589 8,36 53,34 46,66

m3/hr 1.887,3 35 417 2,57 77,35 22,65 35 417 9,77 63,10 36,90

% 69,55 48 295 2,47 79,82 20,18 48 295 10,02 73,12 26,88

pulgs 5,75 65 208 1,94 81,76 18,24 65 208 7,73 80,85 19,15

100 147 1,99 83,75 16,25 100 147 4,83 85,68 14,32

Unidad Valor 150 104 1,67 85,43 14,57 150 104 2,76 88,44 11,56

Kw/T 13,6 200 74 1,52 86,95 13,05 200 74 1,68 90,12 9,88

% 538,86 270 53 1,46 88,40 11,60 270 53 1,17 91,29 8,71

% 70,11 -270 44 11,60 100,00 0,00 -270 44 8,71 100,00 0,00

F80= 8.860 D80= 3871,34

Carga circulante

Dilución

Dilución

Apex

Molino

Consumo específico

Vortex

Descarga ciclones

Flujo másico

Flujo de agua

Flujo másico

Flujo de agua

Dilución

Granulometría

Flujo másico

Flujo de agua

Dilución

Rebase ciclones

Alimentación ciclones Alimentación fresca Alimentación molino

5.111,3 T/hr 800,06 T/hr 4311,24 T/hr

Malla Abertura Parcial Acum. Pasado Malla Abertura Parcial Acum. Pasado Malla Abertura Parcial Acum. Pasado

1,05 26670 0,00 0,00 100,00 1,05 26670 0,00 0,00 100,00 1,05 26670 0,00 0,00 100,00

0,742 18850 0,04 0,04 99,96 0,742 18850 0,00 0,00 100,00 0,742 18850 0,04 0,04 99,96

0,525 13330 1,56 1,59 98,41 0,525 13330 0,00 0,00 100,00 0,525 13330 1,84 1,89 98,11

0,371 9423 3,08 4,67 95,33 0,371 9423 0,00 0,00 100,00 0,371 9423 3,65 5,53 94,47

3 6680 3,32 7,99 92,01 3 6680 0,00 0,01 99,99 3 6680 3,94 9,47 90,53

4 4699 3,04 11,02 88,98 4 4699 0,00 0,01 99,99 4 4699 3,60 13,07 86,93

6 3327 3,14 14,16 85,84 6 3327 0,00 0,01 99,99 6 3327 3,72 16,79 83,21

8 2352 3,60 17,76 82,24 8 2352 0,00 0,01 99,99 8 2352 4,26 21,05 78,95

10 1651 4,34 22,10 77,90 10 1651 0,00 0,01 99,99 10 1651 5,15 26,20 73,80

14 1168 5,28 27,38 72,62 14 1168 0,00 0,02 99,98 14 1168 6,26 32,46 67,54

20 833 6,37 33,76 66,24 20 833 0,00 0,02 99,98 20 833 7,55 40,02 59,98

28 589 7,88 41,64 58,36 28 589 0,03 0,05 99,95 28 589 9,34 49,35 50,65

35 417 9,47 51,11 48,89 35 417 0,69 0,74 99,26 35 417 11,10 60,46 39,54

48 295 10,33 61,44 38,56 48 295 4,44 5,18 94,82 48 295 11,42 71,88 28,12

65 208 9,01 70,45 29,55 65 208 10,13 15,31 84,69 65 208 8,81 80,68 19,32

100 147 6,40 76,85 23,15 100 147 12,02 27,33 72,67 100 147 5,35 86,03 13,97

150 104 4,08 80,92 19,08 150 104 10,07 37,39 62,61 150 104 2,97 89,00 11,00

200 74 2,61 83,53 16,47 200 74 7,44 44,84 55,16 200 74 1,71 90,71 9,29

270 53 1,82 85,35 14,65 270 53 5,63 50,47 49,53 270 53 1,12 91,83 8,17

-270 44 14,65 100,00 0,00 -270 44 49,53 100,00 0,00 -270 44 8,17 100,00 0,00

D80= 1963,72 P80= 182,79 D80= 2566,29

Descarga ciclonesAlimentación ciclones Rebase ciclones



CAPÍTULO VII. MODELAMIENTO MATEMÁTICO

Chancado y harneo

Por el año 1956 Broadbent y Callcott, formularon un conjunto de ecuaciones de

balance en función de la probabilidad de ruptura y la distribución de tamaños de los

fragmentos para cada fracción granulométrica en la alimentación al chancador

Sin embargo, estos modelos esencialmente son los mismos que dieron origen a los

modelos de los molinos de bolas que a la postre han mostrado un grado de desarrollo

bastante mas avanzado.

La ecuación general de conminución podemos escribirla y aplicarla a chancado como

sigue:

ni

gESbgSdE

gdj

i

j

jiji

Ei

i

.....1

1

La función de distribución acumulada de fractura Bij , ha demostrado ser mas dependiente

del tipo de mineral tratado que del equipo mismo, por lo tanto, la relación planteada para

molienda la podemos escribir para chancado de esta forma.

ij

ni

j

i

j

i

d

d

d

dBij

,......,2,1

1

21

00

Con respecto a la función de selección específica SEi , se propone la siguiente expresión.

dd

d

d

dS

effi

iE

i

ni

eff

i

,.......,2,1

1

2

1

0

En aras de lograr la simplicidad del modelo, a continuación se propone una ecuación

para un caso especial.

ESGGE

i

IN

i

OUT

j exp11



Donde GIN

irepresenta la distribución granulométrica (% bajo tamaño di) de la

alimentación al chancador y GOUT

jla de descarga y E la energía neta consumida por

tonelada de mineral alimentado al chancador.

La estimación de SE

ies posible hacerla a partir de los datos operacionales. Conocidas las

granulometrías de alimentación y descarga del chancador, la potencia neta consumida, el

cálculo es relativamente simple con la siguiente expresión:

dGdG

Si

OUT

j

i

IN

iE

i E 1

1ln

1

Los valores de SE

i, así obtenidos, para cada tamaño di pueden ser utilizados para predecir

la respuesta del chancador frente a una alimentación y condiciones de operación

características conocidas.

Modelo de clasificación con harneros

Si bien existe en la literatura técnica gran cantidad de modelos matemáticos para el tema de

la clasificación con harneros, el modelo de Plitt, desarrollado originalmente para la

operación de hidrociclones, es perfectamente factible de utilizar con harneros teniendo en

cuenta algunas consideraciones.

d

dY

eff

i

m

ci693,0exp1

Donde Y ci representa la fracción clasificada del material del tamaño di recuperado en el

sobretamaño. d eff es la abertura efectiva, equivalente al d50 de la malla, menor que la

abertura nominal del harnero por razones obvias. y m es el parámetro ajustable

adimensional característico del sistema en particular.

Similar a lo que ocurre en un hidrociclón, también existe un corto circuito, o de otro modo

dicho, una cantidad de finos que es arrastrado con el material sobretamaño del harnero.

Bajo tales condiciones tenemos:

YY cifinosfinosiBpBp 1



Para la simulación de diferentes configuraciones, es necesario unir los dos modelos

mediante un balance de materiales. Dado que la alimentación a una unidad específica

(Chancador, harnero) depende de la descarga o producto de otra unidad, el balance

definitivo para emular un estado estacionario, se logra mediante sucesivas iteraciones

hasta lograr que lo que entra ala sistema, se iguala con el que sale en cuanto a

magnitud de flujos.

Molienda y clasificación

Molienda convencional

De las operaciones involucradas en los procesos clásicos de concentración de

minerales, la molienda destaca como uno de los que ha logrado mayor avance en la

modelación matemática, superando con creces las limitaciones que se tienen al

considerar solamente las leyes de conminución como la tercera ley de Bond.

El nuevo enfoque si bien es simple dado que considera un balance macroscópico,

contempla dos conceptos muy importantes y no menos complejos. El primero de ellos

es la función de selección S i y el segundo, la función de ruptura Bi

.

El proceso de conminución lo podemos representar de la siguiente manera:

ij

ni

tWtWWdt

d i

jjjijiii

gSbgSg

,......,2,1

)()(1

1

Por una convención, se define d1 como el tamaño mas grueso y dn el mas fino de tal

modo que podemos reescribir la ecuación como sigue:

1

1

)()(i

jjjiji

ttdt

dgSBG

Siendo

n

ijkjij bB , la función de ruptura acumulada.

La experiencia muestra que la producción de finos, para tiempos cortos es

prácticamente constante, por lo tanto:

SSB ijij

La cual lleva a una simple solución para la primera ecuación

tt SRR iIBATCH

i exp)0()(



Siendo )(1)( tt GR ii

Esta simplificación permite derivar muchas de las relaciones empíricas de molienda,

incluida la de Bond.

Por otra parte, ha sido posible obtener correlaciones empíricas que permiten escalar

los parámetros S y b a planta industrial de la siguiente manera:

W

PSS

E

ii

En función de variables de operación y diseño del molino su forma equivalente es:

Solids

loading NcDSS

E

i

i _%

_%505,1461,05,0

Siendo SE

i, la función de selección reducida, constante que resulta ser independiente

de la dimensiones del molino y demás variables dentro de rangos normales de

operación.

La función de ruptura es invariable frente a cambios en las dimensiones y variables de

los molinos.

La incorporación de esta característica a la ecuación preliminar, reconociendo que W

P

representa el consumo específico de energía dejando la expresión de la siguiente

forma:

)()()(1

1

EEEdE

dgSbgSg

jj

i

jiji

E

i

Entonces la ecuación particular queda así:

EE SRRE

iIBATCH

i exp)0()(

Estas dos últimas relaciones confirman que la energía representa el parámetro

controlante de la molienda.

En todo caso, hemos analizado solamente molienda discontinua. Para el caso de la

molienda continua, es posible calcular la granulometría de descarga de un molino

continuo en estado estacionario en base a la siguiente relación:

dttEt BATCHiEi RtR )()()(

0

La integral corresponde a un promedio ponderado de repuestas BATCH con respecto a

la distribución de tiempos de residencia de las partículas, E(t), en el molino. Es posible

determinar E(t) y se acostumbra aproximarla con una función Gamma del tipo:



Nt

NtE

tN

N

N

exp!1

)(

1

Donde N corresponde al número de reactores en serie y es el tiempo promedio de

residencia del material. N normalmente depende de la razón (Largo/diámetro) del

molino. De esta manera la ecuación queda:

SN

ERR

Ei

N

gipi 1

Donde R pirepresenta la distribución granulométrica acumulada de la descarga del

molino y E la energía consumida por tonelada al molino, incluida la carga circulante.

Conociendo las granulometrías de alimentación y descarga, además de la potencia

consumida, es posible calcular la expresión siguiente:

1

1

R

RS

pi

fi

E

NN

E

i

Mientras que el valor de S i, conocidos y N para cada aplicación específica estará

dado por:

1

1

R

RS

pi

fiNN

i

Como se ha dicho SE

i es característico del mineral solamente pudiéndose utilizar para

simular distintas condiciones de operaciones con bastante exactitud. Por otra parte, el

uso de la ecuación Solids

loading NcDSS

E

i

i _%

_%505,1461,05,0

permite escalar los valores de S i

obtenidos en laboratorio hacia una instalación industrial una vez determinados los

valores de SE

i característicos del mineral. De esta forma, la importancia de la

ecuación, radica en el hecho de permitir dimensionar en forma óptima los tamaños y

cantidades de molinos requeridos para cada instalación industrial específica,



simulándose al mismo tiempo, las condiciones óptimas de operación mediante la

ecuación

SN

RR i

N

gipi

1

Molienda semiautógena

La caracterización matemática de los procesos de molienda autógena y semiautógena

ha sido un desafío permanente para los investigadores de esta particular forma de

molienda, quizás debido a la enorme cantidad de proyectos de molienda que incluyen

este tipo de molinos pese a que el aporte real de molienda es bastante discutible. En la

actualidad, existe una tendencia de autores que apuestan a la reconversión de estos

molino en los tradicionales molinos de bolas, logrando al menos en pruebas de

simulación, resultados bastante mas promisorios que los mostrados hasta la fecha por

este tipo de molinos.

La conocida ecuación general de balance en estado estacionario:

0

dt

id

Hi

Mi

MG

GG

c

OutIn

Donde

M Tonelaje de sólidos a través del molino

Gi

In

Granulometría de alimentación al molino (Fracción acumulada

pasante)

Gi

Out

Granulometría de descarga del molino (Fracción acumulada pasante)

Gi

c

Granulometría de la carga contenida en el molino (Fracción

acumulada pasante)

H Cantidad de material retenida en el molino en estado estacionario

Esta ecuación, debe caracterizar los mecanismos básicos involucrados en este tipo de

procesos de conminución, vale decir, fractura y abrasión.

La fractura guarda relación con eventos catastróficos en los cuales partículas frágiles

se parten en múltiples fragmentos de menor tamaño debido a la acción de impacto del

medio de molienda. Por otra parte, la abrasión es un mecanismo de desgaste gradual y

continuo de las partículas caracterizado por el redondeamiento y eliminación de sus

aristas produciendo un gran número de pequeños fragmentos.

En un enfoque mas pragmático, es razonable suponer que la velocidad de producción

de material pasante por una determinada malla o tamaño, es proporcional a la

cantidad de material retenido sobre la misma de tal modo que:

ni

iidt

dGSG

c

i

c

,.....2,1

1



Donde la constante cinética S i se denomina Función Selección aparente y queda

expresada en min-1.

Por lo tanto la ecuación se puede reducir a:

ni

iM

H

ii GS

GGc

iOutIn

,......,2,1

01

Además por analogía a la molienda convencional en molinos de bolas, podemos

suponer que la función de selección aparente es linealmente escalable con la potencia

neta consumida por el molino y la cantidad de material retenido en éste:

ni

H

PiSS

E

i

,.....,2,1

Donde la constante de proporcionalidad S i

E

se denomina función de selección

aparente específica y viene a caracterizar la blandura efectiva del mineral para el

conjunto de condiciones de operación y diseño bajo las cuales se está procesando.

Reagrupando las ecuaciones se obtiene lo siguiente:

ni

iE

iii GSGGcEOutIn

,.....,2,1

01

Donde queda de manifiesto que el consumo específico de energía, es la principal

variable determinante de la respuesta del sistema de molienda. La función selección

aparente específica S i

E

actúa como un multiplicador de eficiencia para convertir

energía en la acción de conminución.

Ahora si suponemos que el molino se comporta como un mezclador perfecto y su

parrilla como un clasificador ideal, podemos plantear:

1Gi

Out

si dd gi

G

GG

g

ii c

c

Out

si dd gi

Donde d g= abertura efectiva de la parrilla.



Es decir, la distribución de tamaños de las partículas descargadas por el molino a

través de la parrilla es igual a la distribución relativa de las partículas con el tamaño

inferior a la abertura de la parrilla, en el interior del molino. Por lo que podemos

plantear lo siguiente:

Ei

Eii

iS

SGG E

EIn

c

1

Si dd gi

Ei

g

Eii

iS

G

SGG E

c

EIn

c

1

Si dd gi

Respecto de la granulometría de descarga es de alguna manera similar al análisis

precedente

1Gi

Out

Si dd gi

Eii

Eii

iSG

SGG Ec

EIn

Out

1

Si dd gi

En las ecuaciones, la fracción de material de tamaño inferior a la abertura de la parrilla

Gg

c

está manejada como un parámetro mas del modelo. En la práctica, este valor

depende de la capacidad de evacuación del material a través de la parrilla y puede ser

estimado por medio de un transporte adecuado.

La función de selección aparente específica S i

E

puede ser fácilmente estimada sobre la

base de la ecuación de balance como sigue:

G

GGS

iE

iii c

InOut

E

1



Un caso interesante de analizar, resulta de observar que el material retenido, vale decir, el

material que no cumple con dd gi constituye en definitiva lo que comúnmente

llamamos inventario del molino.

Las gráficas de la potencia versus inventario del molino como la que se muestra en la

figura a continuación y que comúnmente son utilizadas para visualizar de alguna

manera donde se encuentra la mayor capacidad de tratamiento del molino, o como se

menciona en párrafos anteriores, la capacidad de evacuación de material máxima.

En la gráfica, el peso al interior del molino, indirectamente se mide en base a la

presión en los descansos del molino y frecuentemente, la bibliografía postula que la

mayor capacidad de tratamiento se logra cuando la operación logra llegar

controladamente al punto máximo de la curva potencia inventario.

Si hacemos un balance nuevamente pero, esta vez la haremos de modo de visualizar

el valor del inventario, tenemos:

dt

dMMM

tIn

xt

Out

t

)(

)( )(

Nuestro objetivo, es maximizar el tonelaje tratado, vale decir el tonelaje de salida

M xt

Out

)( por lo que reordenando la ecuación de balance y derivando tenemos:

dt

dM

dt

Md

dt

Md t

In

txt

Out

)()(2

)(

Por otra parte

dt

Mdk

dt

Md tt

In

)()(

Donde k es una constante que depende fundamentalmente del tipo de mineral y en

alguna medida del equipo por lo que podemos reemplazar en la ecuación obtenida al

derivar e igualando a cero se obtiene:



0)()(

2)(

dt

Mdk

dt

Md

dt

Md ttxt

Out

Lo que permite maximizar estableciendo de alguna manera que para cada mineral

existe un inventario óptimo tal como sigue:

M

M

kyy2

1

02

En la gráfica que se muestra a continuación se visualiza esta situación de manera

fehaciente.

En esta figura, contrastando potencia y rendimiento con la presión en los descansos,

es posible ver que el máximo tonelaje tratado se obtiene alrededor de los 720 psi de

presión donde se logran 120 Toneladas por cada kwatt suministrado contra los 80

T/Kwatt que se consiguen en el punto de máximo inventario.

Clasificación con Hidrociclones

En 1976, L.R. Plitt desarrolló un modelo matemático de la operación de los

hidrociclones de estructura similar al modelo hecho por Rao-Lynch pero, con algunas

diferencias importantes. En general los mecanismos de clasificación y de bypass se

igualan a los de Rao-Lynch, Sin embargo, el principio de constancia de la curva de

eficiencia reducida es argumentado, de igual forma que la dependencia de la partición

de aguas en términos exclusivos del diámetro del apex y del flujo másico de agua en la

alimentación. Acorde con Rao-Lynch



Ag

Ag

Ag

AgAg

Ag

Ag

Ac

Rc

Ac

RcAc

Ac

DcBp

1

Acorde con lo dicho:

AgBBAgB

Ag

Ag

AcAcAc

Rc Apex21

0

Donde AgDc

= TPH de agua en la descarga del hidrociclón.

Entonces

AgBAgB

BAcAc

ApexBp

2

0

11

O sea:

BBBAgAc

ApexfBp210

,,,,

Eficiencia corregida

d

d

c

iaYc

m

50

lnexp1

Para representar la curva de eficiencia corregida del hidrociclón, basado en resultados

empíricos y efectuando un detallado análisis estadístico, Plitt concluyó que la ecuación

se ajustaba plenamente a los valores experimentales incluso comparada con los

resultados obtenidos por Rao-Lynch.

Las restricciones mas importantes a ser cumplidas son:

1. Para di=d50c Yc=0,5

2. Para di=0 Yc=0

3. Para di=∞ Yc=1

Entonces

)lnexp(15,0 a

O sea a=2

Por lo que la ecuación queda como sigue:



d

d

c

iYc

m

50

69315,0exp1

La ecuación indica que la curva de eficiencia corregida puede ser representada

apropiadamente por una expresión matemática del tipo Rosin-Rammler. El valor del

parámetro m constituye una medida directa de la eficiencia global de clasificación. De

tal manera que si m>3, tendremos el caso de una clasificación nítida de gruesos y

finas en los flujos de descarga y rebase del hidrociclón, respectivamente. Valores de m

inferiores a 2 indicarán una separación relativamente pobre entre partículas gruesas y

finas y así sucesivamente.

Tamaño de corte del ciclón (d50c)

El tamaño de corte llamado comúnmente d50c es el tamaño definido como de igual

probabilidad de ser evacuado por el rebase como por la descarga del ciclón. La

ecuación utilizada por el modelo de Plitt es la siguiente:

lsU

SvOIC

QhD

DDDAd c

5,045,038,071,0

21,16,046,0

0

50

063,0exp

d c50 Valor de d50 corregido (micrones)

DC Diámetro interno del hidrociclón, medido en la parte inferior del

vortex finder (pulgadas)

D I

Diámetro interno de la abertura de alimentación al hidrociclón, o bien

Ai4

5,0

para entradas no circulares

Ai Área de la sección transversal de entrada al hidrociclón (pulg2)

DO Diámetro interno de la abertura del rebase, o vortex finder del

hidrociclón (pulg)

Sv % Volumétrico de sólidos en la pulpa alimentada al hidrociclón

DU Diámetro interno de la abertura de descarga (apex) del hidrociclón

(pulg)

h “Free vortex height” del hidrociclón, definida como la distancia entre

la parte nferior del vortex finder y la parte superior del apex (pulg)

Flujo volumétrico de pulpa alimentado al hidrociclón (pie3/min)

ls

,... Densidades del sólido y del líquido respectivamente (g/cm3)

A0 Constante del modelo ajustado, debiendo ser determinada

experimentalmente Plitt propone partir con A0 = 35

Para calcular el parámetro m Plitt propone la siguiente ecuación

Q



Q

hCRvm

D2

ln15,0)1(58,11ln

Donde

S

SRv

Q

Q

F

U

1

S Distribución de caudales volumétricos (Flow splits) del rebase y

descarga del hidrociclón

QQQUOF

,, Flujos volumétricos de la alimentación, del rebase y la descarga del

hidrociclón (pie3/min)

Ecuación para la distribución de caudales volumétricos de rebase y descarga (Flow

splits)

DH

DDhD

DB

C

SvOU

O

U

S11,124,0

36,054,0

31,3

0)0054,0exp(22

Además

Q

Q

O

US

Para B0 Plitt sugiere utilizar 2,9

La capacidad volumétrica de los ciclones según Plitt se puede obtener mediante el

siguiente algoritmo empírico:

Plitt sugiere para C0 el valor de 0,000552 el que posteriormente puede ser recalculado

acorde a los datos experimentales.

Sv

PDrDdhDaDcCQ

0031,0exp

22 56,049,0

16,053,021,0

0



CAPÍTULO VIII SEDIMENTACIÓN Y ESPESAMIENTO

Introducción

Uno de los procesos mas antiguos y ampliamente usados en el tratamiento del agua,

es la sedimentación. Se entiende por sedimentación a la remoción, por efecto

gravitacional de las partículas en suspensión en un fluido y que tengan peso específico

mayor que el fluido.

En un intervalo de tiempo, no todas las partículas en suspensión sedimentan.

Justamente las que sedimentan en un intervalo de tiempo dado, son los llamados

“sólidos sedimentables”.

La sedimentación como tal, es un fenómeno netamente físico. Está relacionado

exclusivamente con las propiedades de caída de las partículas en el agua. Cuando se

produce la sedimentación, el resultado será siempre un fluido clarificado y una

suspensión mas concentrada.

En el tratamiento de aguas, la sedimentación también puede ocurrir después de un

proceso de coagulación y floculación, produciéndose en muchos casos, conjuntamente

o casi al mismo tiempo.

La coagulación se logra por la unión de partículas coloidales y las partículas

suspendidas mediante agentes químicos. Se obtienen así partículas de mayor tamaño

logrando con ello un mayor peso específico derivando en la sedimentación de estos

flóculos o, simplemente la decantación.

La decantación, está normalmente ligada a la floculación pues lógicamente mientras

las partículas se asientan, al ser arrastradas las partículas mas pequeñas por las mas

grandes, se siguen agrandando los flóculos, constituyendo un proceso muy complejo.

Teoría básica de sedimentación

La sedimentación es una operación unitaria consistente en la separación por la acción

de la gravedad de las fases sólida y líquida de una suspensión diluida para obtener una

suspensión concentrada y un líquido claro.

Se pueden distinguir dos tipos de sedimentación, atendiendo al movimiento de las

partículas que sedimentan:

Sedimentación libre: se produce en suspensiones de baja concentración de sólidos.

La interacción entre partículas puede considerarse despreciable, por lo que sedimentan

a su velocidad de caída libre en el fluido.

Sedimentación por zonas: se observa en la sedimentación de suspensiones

concentradas. Las interacciones entre las partículas son importantes, alcanzándose

velocidades de sedimentación menores que en la sedimentación libre. La

sedimentación se encuentra retardada o impedida. Dentro del sedimentador se

desarrollan varias zonas, caracterizadas por diferente concentración de sólidos y, por

lo tanto, diferente velocidad de sedimentación.



Dependiendo de cómo se realice la operación, la sedimentación puede clasificarse en

los siguientes tipos:

Sedimentación intermitente: el flujo volumétrico total de materia fuera del sistema

es nulo, transcurre en régimen no estacionario. Este tipo de sedimentación es la que

tiene lugar en una probeta de laboratorio, donde la suspensión se deja reposar.

Sedimentación continua: la suspensión diluida se alimenta continuamente y se

separa en un líquido claro y una segunda suspensión de mayor concentración.

Transcurre en régimen estacionario.

SEDIMENTACIÓN POR ZONAS En la figura 8.1 se representa el proceso de

sedimentación por zonas en una probeta. Este proceso consta de las siguientes etapas:

en un principio el sólido, que se encuentra con una concentración inicial x0 (figura 1a),

comienza a sedimentar (figura 1b), estableciéndose una interfase 1 entre la superficie

de la capa de sólidos que sedimentan y el líquido clarificado que queda en la parte

superior (zona A). La zona por debajo del líquido clarificado se denomina zona

interfacial (zona B). La concentración de sólidos en esta zona es uniforme,

sedimentando toda ella como una misma capa de materia a velocidad constante Vs.

Esta velocidad de sedimentación puede calcularse a partir de la pendiente de la

representación de la altura de la interfase 1 frente al tiempo, tal y como se muestra en

la figura 8.2.

Simultáneamente a la formación de la interfase 1 y de la zona interfacial, se produce

una acumulación y compactación de los sólidos en suspensión en el fondo de la

probeta, dando lugar a la denominada zona de compactación (zona D). En esta zona

la concentración de sólidos en suspensión es también uniforme y la interfase que

bordea esta zona, interfase 2, avanza en sentido ascendente en el cilindro con una

velocidad constante V.

Figura 8.1. Proceso de sedimentación por zonas.



Entre la zona interfacial y la zona de compactación se encuentra la zona de

transición (zona C). En esta zona la velocidad de sedimentación de los sólidos

disminuye debido al incremento de la viscosidad y de la densidad de la suspensión,

cambiando la concentración de sólido gradualmente entre la correspondiente a la zona

interfacial y la de la zona de compactación.

Las zonas de compactación e interfacial pueden llegar a encontrarse, produciéndose la

coalescencia de las dos interfases anteriormente citadas, en el denominado momento

crítico tc, desapareciendo la zona de transición (figura 8.1c). En este momento el

sólido sedimentado tiene una concentración uniforme Xc o concentración crítica,

comenzando la compactación y alcanzándose, posteriormente, la concentración final

Xu (figura 8.1d).

La velocidad de sedimentación en el momento tc corresponde a un valor Vc dado por la

pendiente de la tangente a la curva de sedimentación en el punto C, tal y como se

indica en la figura 2 donde Vc< Vs.

Figura 8.2. Representación gráfica de la altura frente al tiempo.

SEDIMENTADOR CONTINUO

El diseño de un sedimentador continuo puede realizarse a partir de los datos obtenidos en

experimentos discontinuos.

La sedimentación continua se realiza industrialmente en tanques cilíndricos a los que se

alimenta constantemente la suspensión inicial con un caudal inicial Q0

y una concentración

inicial C0 (figura 8.3). Por la parte inferior se extrae un lodo con un caudal Qu y una

concentración Cu, normalmente con ayuda de rastrillos giratorios, y por la parte superior

del sedimentador continuo se obtiene un líquido claro que sobrenada las zonas de



clarificación (A), sedimentación (B-C) y compresión (D) que pueden distinguirse en la

figura 8.3. En un sedimentador continuo, estas tres zonas permanecen estacionarias.

Figura 3. Sedimentador continuo.

El procedimiento a seguir para diseñar sedimentadores que operen en condiciones

de sedimentación por zonas es el siguiente:

1. Calcular el área de la superficie mínima que se requiere para conseguir la

clarificación del sólido.

2. Calcular el área de la superficie mínima que se requiere para conseguir el

espesamiento del sólido y alcanzar la concentración deseada.

3. Seleccionar la mayor de estas dos áreas como área de diseño para el

sedimentador.

DETERMINACIÓN DEL ÁREA MÍNIMA REQUERIDA PARA CONSEGUIR LA CLARIFICACIÓN.

El área mínima requerida Ac para la clarificación depende de la velocidad Vs para la

que las partículas en suspensión sedimentan antes de alcanzar la concentración crítica

interfacial Xc. En condiciones de caudal constante, la velocidad del clarificado que

rebosa por la parte superior del sedimentador, o vertedero, no debe exceder de Vs si

se desea evitar el arrastre de las partículas y la clarificación.

Por lo tanto, el área mínima requerida para la clarificación Ac puede calcularse a partir

de la expresión:

V

QA

S

E

C Ec:1

en la que QE es el caudal (m3/s), Vs es la velocidad de sedimentación por zonas (m/s)

y Ac el área mínima requerida para la clarificación (m2).



El valor de la velocidad en la zona de sedimentación libre, Vs, puede calcularse a partir

de la pendiente de la tangente de dicha zona de las curvas de sedimentación, tal y

como se muestra en la figura 8.2. El valor de t se puede leer directamente de la abcisa

en el punto B. Vs en la ecuación (1) corresponde a la velocidad a la cual las partículas

en suspensión sedimentan antes de alcanzar la concentración crítica Xc y viene dada

por la pendiente de la tangente AB de la curva correspondiente a la concentración

inicial X0:

tBO

AO HV S

0 Ec:2

DETERMINACIÓN DEL ÁREA MÍNIMA REQUERIDA PARA EL ESPESAMIENTO DEL SÓLIDO.

El hecho de que el área de la sección del sedimentador pueda calcularse para asegurar

la clarificación de la suspensión no significa que se alcance la concentración deseada

de sólido en la disolución de salida, Xu. Generalmente el área de la sección requerida

para el espesamiento suele ser mayor que la requerida para la clarificación.

El procedimiento desarrollado por Yoshioka y Dick para la determinación de la sección

mínima requerida para el espesamiento se basa en las siguientes consideraciones:

En primer lugar ha de considerarse que los ensayos de sedimentación llevados a cabo

en el laboratorio no corresponden a un funcionamiento en continuo (figura 3).

La capacidad del sedimentador discontinuo para arrastrar los sólidos a su parte

inferior, con una concentración Xi, en funcionamiento discontinuo, viene dada por:

VXG iiB Ec:8.3

en la que:

GB = caudal de sólido (kg/m2 s)

Xi = concentración de sólido en disolución (kg/m3 )

Vi = velocidad de sedimentación en la zona para una concentración Xi (m/s).

A partir de la ecuación [3] puede obtenerse la curva de flujo discontinuo: en la figura

8.4 se representa una curva típica G en función de X. Esta curva presenta un punto

máximo debido a que la velocidad de sedimentación disminuye según se incrementa la

concentración de la suspensión.



Figura 8.4. Procedimiento gráfico para determinar G

T.

A concentraciones muy elevadas, cuando la suspensión se aproxima a una posición de equilibrio, Vi → 0 y, por lo tanto, según la ecuación [8.3], GB → 0. Por otro lado, a

concentraciones muy bajas, cuando Xi→ 0, la ecuación [8.3] indica que GB también se

aproxima a 0. Esto sugiere que se debe alcanzar un máximo para GB en alguna

concentración intermedia Xi, lo que explica la forma de la curva de flujo discontinuo.

Consideremos ahora la sedimentación que realmente se produce en un sedimentador

continuo. Los sólidos se transportan hacia la parte inferior tanto por gravedad como

por el movimiento que resulta por la separación del sólido en el fondo del

sedimentador. La ecuación de flujo total será la siguiente:

GGG UBT Ec:8.4

en la que:

GT = flujo total de sólidos (kg sólidos / m

2

s).

GB = flujo de sólidos en funcionamiento discontínuo (kg sólidos / m

2

s).

Gu = flujo de sólidos que sale al exterior (kg sólidos / m

2

s).

El término G

u puede escribirse también:

VXG UiU Ec:8.5

donde V

u es la velocidad del sólido debida a la extracción que se hace por la parte

inferior (m/s). El flujo total GT puede hacerse variar por el diseñador controlando V

u ya

que está determinado por el caudal de bombeo de extracción.

Sustituyendo en la ecuación [8.4] los valores de GB y G

u dados por las ecuaciones [8.3]

y [8.5] se obtiene:

Procesos mineralógicos Página 100 de 107

VXVXG UiiiT Ec:8.6

Si pudiera obtenerse un valor G

T tal que se obtuviese el valor deseado de X

u, es decir,

de la concentración de sólido de la disolución de salida del sedimentador, la mínima

sección At

del sedimentador en continuo requerida para el espesamiento del sólido

podría obtenerse rápidamente a partir de:

msmsólidosKg

ssólidosKgM

GA

T

T

2

2/_

/_ Ec:8.7

en la que M = Q0

X0, siendo Q

0 el caudal del influente y X

0 la concentración de sólidos

en esta corriente.

Para obtener el valor de GT a partir de la curva de flujo discontinuo de la figura 8.4, se

señala en el eje de abcisas el valor Xu o concentración deseada de sólidos en la

disolución a extraer, especificada por el diseñador. Desde Xu se traza una tangente a

la curva de flujo discontinuo tal y como se indica en la figura. P es el punto de

tangencia. La intersección de esta tangente con el eje de ordenadas nos permite

establecer la distancia OB, que corresponde al caudal de sólidos límite (GT) que puede

permitirse para obtener la concentración de la disolución de salida Xu. Esto puede

concluirse considerando los pasos que se indican a continuación:

Paso 1. Considerar el punto de tangencia T, correspondiente a la abcisa Xi. La

ordenada del punto de tangencia (distancia 0A) es igual a GB. Si se traza una línea

recta que una el origen 0 con el punto de tangencia T, la pendiente de esta línea es

igual a Vi puesto que:

tgXOOA i tgXG iB Ec:8.8

Teniendo en cuenta la ecuación [8.3]:

VXG iiB

resulta que Vi = tg α.

Paso 2. De la figura 4 se puede deducir que:

tgB X U Ec:8.9

Considerando ahora la velocidad de salida de sólido Vu:

A

QV

T

U

U Ec:8.10


Multiplicando simultáneamente numerador y denominador de la ecuación anterior por

Xu se transforma en la siguiente:

XAXQ

VUT

UU

U Ec:8.11

Por otra parte, el balance de materia para sólidos en suspensión en el clarificador nos

permite obtener la siguiente expresión:

XQXQXQ EEUUM

00 Ec:8.12

Teniendo en cuenta que para un sedimentador bien diseñado la pérdida de sólidos con

el líquido que rebosa o líquido clarificado (QE XE) debe ser despreciable, una forma

aproximada del balance de materia podría ser:

XQXQ UUM

00 Ec:8.13

Utilizando la ecuación [8.13], la ecuación [8.11] nos permite escribir:

XAXAXQ

VUTUT

U

M

00 Ec:8.14

A partir de la ecuación [7] se puede obtener:

GA TTM Ec:8.15

Sustituyendo este valor en el numerador de la ecuación [8.14] y simplificando:

XG

VU

T

U Ec:8.16

de donde:

VXG UUT Ec:8.17

Comparando las ecuaciones [9] y [17] se puede deducir que la pendiente de la línea

BXU de la figura 8.3 es igual a la velocidad de salida de sólido Vu y que la intersección

en el punto B da un valor igual al flujo total límite GT. Teniendo en cuenta que, a partir

de la ecuación [4] GT = GB + GU, se deduce que la distancia vertical AB en la figura 8.3

debe ser igual al valor Gu del caudal o flujo de los sólidos extraídos.

Por lo tanto, el procedimiento gráfico para determinar la sección mínima At que se

requiere para el espesamiento, debe ser el siguiente:


1. Construir la curva de flujo de circulación de sólidos en discontinuo a partir de la

ecuación [3] utilizando el valor de Vi obtenido a partir de los ensayos de

laboratorio en discontinuo para diferentes concentraciones de sólidos Xi.

2. A partir del valor específico de la concentración del sólido extraído Xu, en la

abcisa, trazar una tangente a la curva de circulación de sólidos. La intersección

de esta tangente con el eje de ordenadas nos dará el flujo total de sólidos GT.

3. Calcular tanto el área mínima requerida para la clarificación Ac así como el área

mínima requerida para el espesamiento At. Se seleccionará la mayor de las dos

como área en la que se basará el diseño del sedimentador.

INSTALACION EXPERIMENTAL

Consta de una serie de probetas de vidrio cilíndricas graduadas que contienen

suspensiones de carbonato cálcico en agua de diferentes concentraciones. A ésta se ha

añadido un colorante soluble con el fin de apreciar mejor la separación entre la zona

de líquido claro y la zona que ocupa la suspensión (figura 8.5).

Figura 5. Instalación experimental.

PROCEDIMIENTO OPERATIVO

Agitar la probeta hasta conseguir homogeneizar toda la suspensión. Se coloca la

probeta en un plano horizontal, sin vibraciones y se comienza a medir la altura de la

interfase 1 a diferentes tiempos de sedimentación.

El proceso es inicialmente rápido, por lo que deberán tomarse medidas a intervalos

pequeños de tiempo. Posteriormente dichos intervalos podrán ser mayores. Las

medidas se tomarán para un tiempo de 60 minutos: los primeros 15 minutos se

anotará la altura de la interfase cada minuto, posteriormente hasta los 25 minutos se

hará cada 2 minutos y el tiempo restante, hasta los 60 minutos, cada 5 minutos. Se

representará gráficamente hL frente a t.


Ley de Stoke

Asumiendo que las partículas en un medio acuoso, decantan tal cual se tratare de una

esfera debemos tomar en consideración que la esfera se mueve bajo la acción de las

siguientes fuerzas: el peso, el empuje (se supone que el cuerpo está completamente

sumergido en el seno de un fluido), y una fuerza de rozamiento que es proporcional a

la velocidad de la esfera (suponemos que el flujo se mantiene en régimen laminar).

El peso es el producto de la masa por la aceleración de la gravedad g. La masa es el

producto de la densidad del material ρe por el volumen de la esfera de radio R.

De acuerdo con el principio de Arquímides, el empuje es igual al producto de la

densidad del fluido ρf, por el volumen del cuerpo sumergido, y por la aceleración de la

gravedad.

La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad, y su

expresión se denomina ley de Stoke

donde es la viscosidad del fluido.

La ecuación del movimiento será, por tanto,

La velocidad límite, se alcanza cuando la aceleración sea cero, es decir, cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre la esfera es cero.

Despejamos la velocidad límite vl

La ecuación del movimiento es


donde F es la diferencia entre el peso y el empuje F=mg-E, y k=6πR

Integramos la ecuación del movimiento para obtener la velocidad de la esfera en función del tiempo.

Obtenemos

Esta ecuación nos dice que se alcanza la velocidad

límite vl después de un tiempo teóricamente infinito. Si

representamos v en función del tiempo t la gráfica tienen una asíntota horizontal en v=vl.

Integramos la expresión de la velocidad en función del tiempo para obtener la posición

x del móvil en función del tiempo t. Suponemos que la esfera parte del origen x=0, en

el instante inicial t=0.

se obtiene

Dado que la exponencial tiende a cero rápidamente a medida que transcurre el tiempo,

vemos que al cabo de un cierto tiempo, el desplazamiento x del móvil será

proporcional al tiempo t. Las diferencias entre el movimiento de un cuerpo en caída

libre y cuando cae en el seno de un fluido viscoso se pueden resumir en el siguiente cuadro.


Caída libre En el seno de un fluido viscoso

La velocidad es proporcional al tiempo La velocidad tiende hacia un valor

constante

El desplazamiento es proporcional al

cuadrado del tiempo.

El desplazamiento es proporcional al

tiempo.

Ejemplo:

En un tubo vertical lleno de aceite de automóvil dejamos caer perdigones

de plomo. El diámetro del tubo es mucho mayor que el diámetro del

perdigón. Los datos son

Densidad del plomo ρe=11.35 g/cm3

Radio de la esfera R=1.96 mm Densidad del aceite ρf=0.88 g/cm3

Viscosidad del aceite η=0.391 kg/(m·s)

Se alcanza el 99.5% de la velocidad límite constante en el instante t tal que

Donde k=6πRη=0.014 kg/s, y la masa de la esfera es m=ρe4/3πR3=3.58·10-4 kg

Despejamos el tiempo t=0.13 s

La esfera se habrá desplazado en este tiempo x=0.023 m

Si dejamos caer la bolita desde la superficie del aceite, podemos comenzar a tomar

medidas con seguridad 3 centímetros por debajo de dicha superficie.

En este ejemplo, se ha supuesto que el fluido se mantiene en régimen laminar cuando se

mueve la esfera en su seno. El rango de validez de la ley de Stoke se expresa en términos

del denominado número de Reynolds.


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metalurgia extractiva - unv. aconcagua

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