mestodo simplex para una mina subterranea

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APLICACIÓN DEL ALGORITMO SIMPLEX A MINERÍA SUBTERRÁNEA GRUPO: G3 – A1 DOCENTE: Carlos Agreda Turriarte, Ph. D. INTEGRANTES: BONILLA CHAVEZ, Erick LANDEO HUAMAN, Jorge LAZARO SUAREZ, Jorge PALMA RAMIREZ, William VELÁSQUEZ JARA, Jorge 16 DE ABRIL DEL 2014

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Mestodo Simplex Para Una Mina Subterranea

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Page 1: Mestodo Simplex Para Una Mina Subterranea

APLICACIÓN DEL ALGORITMO SIMPLEX A MINERÍA SUBTERRÁNEA

GRUPO: G3 – A1

DOCENTE: Carlos Agreda Turriarte, Ph. D.

INTEGRANTES:

BONILLA CHAVEZ, Erick

LANDEO HUAMAN, Jorge

LAZARO SUAREZ, Jorge

PALMA RAMIREZ, William

VELÁSQUEZ JARA, Jorge

16 DE ABRIL DEL 2014

Page 2: Mestodo Simplex Para Una Mina Subterranea

Introducción a la Investigación de Operaciones G3-A1------------------------------------------------------------------------------------------------------

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I. INTRODUCCIÓN

El método simplex es un método muy práctico, ya que solo trabaja con los coeficientes de la función objetivo y de las restricciones.

El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite mejorar la solución de la función objetivo en cada paso. El proceso concluye cuando no es posible continuar mejorando dicho valor, es decir, se ha alcanzado la solución óptima (el mayor o menor valor posible, según el caso, para el que se satisfacen todas las restricciones).

Partiendo del valor de la función objetivo en un punto cualquiera, el procedimiento consiste en buscar otro punto que mejore el valor anterior. Como en el método Gráfico, dichos puntos son los vértices del polígono o (poliedro, si el número de variables es mayor de 2) que constituye la región determinada por las restricciones a las que se encuentra sujeto el problema (llamada región factible). La búsqueda se realiza mediante desplazamientos por las aristas del polígono, desde el vértice actual hasta uno adyacente que mejore el valor de la función objetivo. Siempre que exista región factible, como su número de vértices y de aristas es finito, será posible encontrar la solución.

El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo Z no toma su valor máximo en el vértice A, entonces existe una arista que parte de A y a lo largo de la cual el valor de Z aumenta.

Será necesario tener en cuenta que el método Simplex únicamente trabaja con restricciones del problema cuyas inecuaciones sean del tipo "≤" (menor o igual) y sus coeficientes independientes sean mayores o iguales a 0. Por tanto habrá que estandarizar las restricciones para que cumplan estos requisitos antes de iniciar el algoritmo del Simplex. En caso de que después de éste proceso aparezcan restricciones del tipo "≥" (mayor o igual) o "=" (igualdad), o no se puedan cambiar, será necesario emplear otros métodos de resolución, siendo el más común el método de las Dos Fases.

El objetivo consistirá en maximizar o minimizar el valor de la función objetivo que genere, incrementar ganancias o reducir pérdidas.

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Facultad de Ingeniería Geológica, Minera y Metalúrgica

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Introducción a la Investigación de Operaciones G3-A1------------------------------------------------------------------------------------------------------

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II. MARCO TEÓRICO

MÉTODO SIMPLEXEl método simplex es un procedimiento iterativo que permite tender progresivamente hacia la solución óptima. Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los vértices de optimalidad.

El método requiere que las restricciones sean ecuaciones en lugar de inecuaciones, lo cual se añade variables de holgura a cada inecuación del modelo, variables que nunca pueden ser negativas y tienen coeficiente “0” en la función objetiva

Conceptos importantes:

Solución básica: Valores de las variables que satisfacen las restricciones de igualdad de un programa lineal en forma estándar, después de que las variables no básicas se toman como cero.

Solución básica factible inicial: Valores de las variables que satisfacen las restricciones de igualdad y de no negatividad de un programa lineal en forma estándar, después de que las variables no básicas se toman como cero.

Variable de holgura: variable no negativa que se añade al lado izquierdo de una restricción menor o igual que, para obtener una restricción de igualdad equivalente.

Variable artificial: variable no negativa que se añade al lado izquierdo de una restricción mayor o igual que, para obtener una restricción de igualdad equivalente.

Iteración: una serie de pasos de un algoritmo que se repiten.

Prueba de optimidad: Método para determinar si la solución obtenida es la óptima.

Mejora: proceso de encontrar soluciones factibles con valores de la función objetivo cada vez mejores.

Preparando el modelo para adaptarlo al método Simplex

La forma estándar del modelo de problema consta de una función objetivo sujeta a determinadas restricciones:------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------Facultad de Ingeniería Geológica, Minera y Metalúrgica

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-------------------Función objetivo: c1·x1 + c2·x2 +... + cn·xn

Sujeto a:

a11·x1 + a12·x2 + ... + a1n·xn = b1a21·x1 + a22·x2 + ... + a2n·xn = b2...am1·x1 + am2·x2 + ... + amn·xn = bmx1,..., xn ≥ 0

El modelo debe cumplir las siguientes condiciones:

1. El objetivo consistirá en maximizar o minimizar el valor de la función objetivo (por ejemplo, incrementar ganancias o reducir pérdidas, respectivamente).

2. Todas las restricciones deben ser ecuaciones de igualdad (identidades matemáticas).

3. Todas las variables (xi) deben tener valor positivo o nulo (condición de no negatividad).

4. Los términos independientes (bi) de cada ecuación deben ser no negativos.

5. Hay que adaptar el problema modelado a la forma estándar para poder aplicar el algoritmo del Simplex.

Tipo de optimización.

Como se ha comentado, el objetivo del método consistirá en optimizar el valor de la función objetivo. Sin embargo se presentan dos opciones: obtener el valor óptimo mayor (maximizar) u obtener el valor óptimo menor (minimizar).

Además existen diferencias en el algoritmo entre el objetivo de maximización y el de minimización en cuanto al criterio de condición de parada para finalizar las iteraciones y a las condiciones de entrada y salida de la base. Así:

• Objetivo de maximización

Condición de parada: cuando en la fila Z no aparece ningún valor negativo.

Condición de entrada a la base: el menor valor negativo en la fila Z (o el de mayor valor absoluto entre los negativos) indica la variable Pj que entra a la base.

Condición de salida de la base: una vez obtenida la variable entrante, la variable que sale se determina mediante el menor cociente P0/Pj de los estrictamente positivos.

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-------------------• Objetivo de minimización

Condición de parada: cuando en la fila Z no aparece ningún valor positivo.

Condición de entrada a la base: el mayor valor positivo en la fila Z indica la variable Pj que entra a la base.

Condición de salida de la base: una vez obtenida la variable entrante, la variable que sale se determina mediante el menor cociente P0/Pj de los estrictamente negativos.

No obstante, es posible normalizar el objetivo del problema con el fin de aplicar siempre los mismos criterios en lo referente a la condición de parada del algoritmo y a las condiciones de entrada y salida de las variables de la base. De esta forma, si el objetivo es minimizar la solución, se puede cambiar el problema a otro equivalente de maximización simplemente multiplicando la función objetivo por "1". Es decir, el problema de minimizar Z es equivalente al problema de maximizar (-1) •Z. Una vez obtenida la solución será necesario multiplicarla también por (-1).

Ventajas: No hay que preocuparse por nuevos criterios de parada, condición de entrada y salida de la base ya que se mantienen.

Inconvenientes: En el caso de que la función tenga todos los coeficientes de sus variables básicas positivos, y además las restricciones sean del tipo de desigualdad "≤", al hacer el cambio dichos coeficientes quedan negativos cumpliéndose la condición de parada en la primera iteración (en la fila del valor de la función objetivo todos los valores son positivos o cero). Obteniéndose en este caso por defecto un valor óptimo para la función igual a 0.

Solución: Realmente no existe este problema dado que para que la solución sea superior a 0 es necesario que alguna restricción tenga impuesta la condición "≥" (y se trataría de un modelo para el método de las Dos Fases). En el caso planteado, la solución real debe ser cero.

Cambio de signo de los términos independientes.

También se ha dicho que los términos independientes (bi) de cada ecuación deben ser no negativos para poder emplear el método Simplex. A tal fin, si alguna de las restricciones presenta un término independiente menor que 0 habrá que multiplicar por "-1" ambos lados de la inecuación (teniendo en cuenta que esta operación también afecta al tipo de restricción).

Ventajas: Con ésta simple modificación de signos en las restricciones correspondientes se posibilita la aplicación del método Simplex al problema modelado.

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-------------------Inconvenientes: Puede resultar que en las restricciones donde tengamos que modificar los signos de las constantes, los tipos de desigualdad fueran "≤" (quedando tras la operación del tipo "≥") siendo necesario desarrollar el método de las Dos Fases. Este inconveniente no es controlable, aunque podría ocurrir el caso contrario y resultar beneficioso si los términos independientes negativos se presentan en todas aquellas restricciones con desigualdad de tipo "≥". Si existe alguna restricción del tipo "=" no supondría ninguna ventaja ni desventaja puesto que siempre sería de necesaria aplicación el método de las Dos Fases.

Normalización de las restricciones

Otra de las condiciones del modelo estándar del problema es que todas las restricciones sean ecuaciones de igualdad (también llamadas restricciones de igualdad), por lo que hay que convertir las restricciones de desigualdad o inecuaciones en dichas identidades matemáticas.

La condición de no negatividad de las variables (x1,..., xn ≥ 0) es la única excepción y se mantiene tal cual.

Restricción de tipo "≤"

Para normalizar una restricción con una desigualdad del tipo "≤", hay que añadir una nueva variable, llamada variable de holgura xs (con la condición de no negatividad: xs ≥ 0). Esta nueva variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y sumando en la ecuación correspondiente (que ahora sí será una identidad matemática o ecuación de igualdad).

a11·x1 + a12·x2 ≤ b1   a11·x1 + a12·x2 + 1·xs = b1

Restricción de tipo "≥"

En caso de una desigualdad del tipo "≥", también hay que añadir una nueva variable llamada variable de exceso xs (con la condición de no negatividad: xs ≥ Esta nueva variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y restando en la ecuación correspondiente.). 0

Surge ahora un problema con la condición de no negatividad con esta nueva variable del problema. Las inecuaciones que contengan una desigualdad de tipo "≥" quedarían:

a11·x1 + a12·x2 ≥ b1   a11·x1 + a12·x2 - 1·xs = b1Al realizar la primera iteración con el método Simplex, las variables básicas no estarán en la base y tomarán valor cero. En este caso la nueva variable xs, tras hacer cero a x1 y x2, tomará el valor -b1 y no cumpliría la condición de no

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-------------------negatividad. Es necesario añadir otra nueva variable xr, llamada variable artificial, que también aparecerá con coeficiente cero en la función objetivo y sumando en la restricción correspondiente. Quedando entonces de la siguiente manera:

a11·x1 + a12·x2 ≥ b1   a11·x1 + a12·x2 - 1·xs + 1·xr = b1

Restricción de tipo "="

Al contrario de lo que cabría pensar, para las restricciones de tipo "=" (aunque ya son identidades) también es necesario agregar variables artificiales xr. Como en el caso anterior, su coeficiente será cero en la función objetivo y aparecerá sumando en la restricción correspondiente.

a11·x1 + a12·x2 = b1   a11·x1 + a12·x2 + 1·xr = b1

En el último caso se hace patente que las variables artificiales suponen una violación de las leyes del álgebra, por lo que será necesario asegurar que dichas variables artificiales tengan un valor 0 en la solución final. De esto se encarga el método de las Dos Fases y por ello siempre que aparezcan este tipo de variables habrá que realizarlo.

En la siguiente tabla se resume según la desigualdad el tipo de variable que aparece en la ecuación normalizada, así como su signo

Desarrollando el método SimplexUna vez estandarizado el modelo y se determina que hay que utilizar el

método simplex

A continuación se explican paso a paso los puntos de cada método, concretando los aspectos a tener en cuenta.

Construcción de la primera tabla:

Las columnas de la tabla están dispuestas de la siguiente forma: la primera columna de la tabla contiene las variables que se encuentran en la base (o variables básicas), esto es, aquellas que toman valor para proporcionar una solución; la segunda columna recoge los coeficientes que dichas variables básicas tienen en la función objetivo (esta columna es llamada Cb); la tercera muestra el término independiente de cada restricción (P0); a partir de ésta aparece una columna por cada una de las variables de decisión y holgura presentes en la función objetivo (Pj). Para tener una visión más clara de la tabla, se incluye una fila que contiene los títulos de cada una de las columnas.

Sobre esta tabla se agregan dos nuevas filas: una de ellas, que lidera la tabla, donde aparecen los coeficientes de las variables de la función

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-------------------objetivo, y una última fila que recoge el valor la función objetivo y los costes reducidos Zj - Cj.

Los costes reducidos muestran la posibilidad de mejora en la solución Z0. Por este motivo también son llamados valores indicadores.

Se muestra a continuación el aspecto general de la tabla del método Simplex:

Tabla

      C1 C2 ... Cn

Base Cb P0 P1 P2 ... Pn

P1 Cb1 b1 a11 a12 ... a1n

P2 Cb2 b2 a21 a22 ... a2n

... ... ... ... ... ... ...

Pm Cbm bm am1 am2 ... amn

Z   Z0 Z1-C1 Z2-C2 ... Zn-Cn

Todos los valores incluidos en la tabla vendrán dados por el modelo del problema salvo los valores de la fila Z (o fila indicadora). Estos se obtienen de la siguiente forma: Zj = Σ(Cbi·Pj) para i = 1..m, donde si j = 0, P0 = bi y C0 = 0, y en caso contrario Pj = aij.

Se observa, al realizar el método Simplex, que en esta primera tabla ocupan la base todas las variables de holgura y por ello (todos los coeficientes de las variables de holgura son 0 en la función objetivo) el valor inicial de Z es cero.

Por este mismo motivo tampoco es necesario realizar los cálculos de los costes reducidos en la primera tabla, pudiéndose determinar directamente como el cambio de signo de los coeficientes de cada variable en la función objetivo, esto es, -Cj.

Condición de parada:

Se cumple la condición de parada cuando la fila indicadora no contiene ningún valor negativo entre los costes reducidos (cuando el objetivo es la maximización), esto es, no existe posibilidad de mejora.

Si no se cumple la condición de parada es necesario realizar una iteración más del algoritmo, esto es, determinar la variable que se vuelve básica y la que deja de serlo, encontrar el elemento pivote, actualizar los valores de la tabla y comprobar si se cumple nuevamente la condición de parada.

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-------------------Es también posible determinar que el problema no se encuentra acotado y su solución siempre resultará mejorable. En tal caso no es necesario continuar iterando indefinidamente y se puede finalizar el algoritmo. Esta situación ocurre cuando en la columna de la variable entrante a la base todos los valores son negativos o nulos.

Elección de la variable que entra a la base:

Cuando una variable se vuelve básica, es decir, entra en la base, comienza a formar parte de la solución. Observando los costes reducidos en la fila Z, se decide que entra a la base la variable de la columna en la que éste sea el de menor valor (o de mayor valor absoluto) entre los negativos.

Elección de la variable que sale de la base:

Una vez obtenida la variable entrante, se determina que sale de la base la variable que se encuentre en aquella fila cuyo cociente P0/Pj sea el menor de los estrictamente positivos (teniendo en cuenta que esta operación se hará únicamente cuando Pj sea superior a 0).

Elemento pivote:

El elemento pivote de la tabla queda marcado por la intersección entre la columna de la variable entrante y la fila de la variable saliente.

Actualización de la tabla:

Las filas correspondientes a la función objetivo y a los títulos permanecerán inalteradas en la nueva tabla. El resto de valores deberán calcularse como se explica a continuación:

En la fila del elemento pivote cada nuevo elemento se calcula como:

Nuevo Elemento Fila Pivote = Anterior Elemento Fila Pivote / Pivote.

En el resto de las filas cada elemento se calcula:

Nuevo Elemento Fila = Anterior Elemento Fila - (Anterior Elemento Fila en Columna Pivote * Nuevo Elemento Fila Pivote).

De esta forma se consigue que todos los elementos de la columna de la variable entrante sean nulos salvo el de la fila de la variable saliente cuyo valor será 1. (Es análogo a utilizar el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales).

Aplicaciones del algoritmo simplex

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-------------------Para poder solucionar un problema mediante un algoritmo primero se debe extraer toda la información que aporta el enunciado y preparar el problema de acuerdo a las necesidades del método resolutivo.

Los pasos para modelar un problema son los siguientes:

• Paso 1: Determinar las variables de decisión y expresarlas algebraicamente.

o X1,..., Xn

• Paso 2: Determinar las restricciones y se expresarlas como ecuaciones o inecuaciones dependientes de las variables de decisión:

O A11•X1 + A12•X2 +... + A1n•Xn ≥, ≤, ó = b1

O A21•X1 + A22•X2 +... + A 2n•Xn ≥, ≤, ó = b2

o Am1•X1 + Am2•X2 + ... + Amn•Xn ≥, ≤, ó = bm

• Paso 3: Expresar todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ...

o X1,..., Xn ≥ 0

o X1,..., Xn son números enteros, o son booleanos,...

• Paso 4: Determinar la función objetivo.

O Maximizar o minimizar Z = C1•X1 + C2•X2 +... + Cn•Xn

A modo de ejemplo se explica cómo se modelan algunos problemas típicos:

• Problema de la dieta

• Problema de transporte de mineral

• Problema de transporte de mercancías

• Problema de los árboles frutales

• Problema de asignación de personal

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-------------------• Problema del camino mínimo

• Problema de localización

• Problema de inversión en bolsa, etc.

DESCRIPCIÓN de los PROGRAMAS EMPLEADOS

SOFTWARE TORA:TORA es un software basado en windows, creado esencialmente para darle

solución a problemas de programación lineal de forma sencilla y muy rápida.

Entre los problemas que se pueden procesar con TORA están soluciones de sistemas de ecuaciones, problemas de programación lineal (incluyendo método simplex, dos fases, dual), modelo de transporte, programación entera, modelo de redes (incluyendo ruta más corta, flujo máximo), planeamiento de proyectos (CPM, PERT), análisis de teoría de cola y juegos de suma de ceros.

VENTAJAS

1. Se visualiza bien, como es el funcionamiento de los algoritmos.

2. Es una herramienta muy útil que le permite al estudiante comprobar los resultados obtenidos en un problema de P.L. y corregir errores que se puedan cometer.

3. Es de fácil accesibilidad ya que se encuentra de manera gratuita en la web.

III. ENUNCIADO del PROBLEMA N°1

En una empresa minera del sur del país que opera por el método de

explotación subterránea, actualmente desea implementar su extracción y se ha

propuesto iniciar con la explotación de dos unidades mineras, con las cuales se

han propuesto extraer dos tipos de minerales, se sabe también que la

capacidad de la chancadora en la unidad A es de 45 tm/hr y en la unidad B de

80 tm/dia, y la capacidad del molino para la unidad A es de 70tm/hr y en la

unidad B de 50 tm/hr. En la unidad B la máxima producción de dicho mineral es

de 800 tm/dia. El gerente de operaciones pide maximizar la venta.

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-------------------CAPACIDAD DE

CHANCADORA

(TM/HR)

CAPACIDAD DE

MOLIENDA

(TM/HR)

VALOR DEL

MINERAL

(US$/TM)

GALERIA

A

45 70 25

GALERIA

B

80 50 35

22HR/DIA 22HR/DIA

IV. SOLUCIÓN

Sea X1 el mineral explotado por día en la unidad A

Sea X2 el mineral explotado por día en la unidad B

Max Z = 25X1 + 35X2

St:

5X1+ 7X2<=7700 …………(1)

16X1+ 9X2 <= 15840…….(2)

X2<=800…………………….…(3)

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TABLA INICIAL

BASE Variables de DECISIÓN

VARIABLES DE HOLGURA

SOLUCIÓN OPERACIÓN

X1 X2 S1 S2 S3

S1 5 7 1 0 0 7700 1100

S2 16 9 0 1 0 15840 1760

S3 0 1 0 0 1 800 800

Z -25 -35 0 0 0 0

ITERACIÓN No 1

BASE Variables de DECISIÓN

VARIABLES DE HOLGURA

SOLUCIÓN OPERACIÓN

X1 X2 S1 S2 S3

S1 5 7 1 0 0 7700 1100

S2 16 9 0 1 0 15840 1760

S3 0 1 0 0 1 800 800

Z -25 -35 0 0 0 0

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-------------------RESULTADO DE ITERACIÓN No 1

BASE Variables de DECISIÓN

VARIABLES DE HOLGURA

SOLUCIÓN OPERACIÓN

X1 X2 S1 S2 S3

X1 5 0 1 0 -7 2100 (6)÷ X1

S2 16 0 0 1 -9 8640

S3 0 1 0 0 1 800

Z -25 0 0 0 35 28000

ITERACIÓN No 2

BASE Variables de DECISIÓN

VARIABLES DE HOLGURA

SOLUCIÓN OPERACIÓN

X1 X2 S1 S2 S3

X1 5 0 1 0 -7 2100 420

S2 16 0 0 1 -9 8640 540

S3 0 1 0 0 1 800

Z -25 0 0 0 35 28000

RESULTADO DE ITERACIÓN No 2

BASE Variables de DECISIÓN

VARIABLES DE HOLGURA

SOLUCIÓN OPERACIÓN

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-------------------X1 X2 S1 S2 S3

X1 1 0 1/5 0 -7/5 420

S2 0 0 -16/5 1 67/5 1920

X2 0 1 0 0 1 800

Z 0 0 5 0 0 38500

TABLA FINALBASE Variables de

DECISIÓNVARIABLES DE HOLGURA

SOLUCIÓN OPERACIÓN

X1 X2 S1 S2 S3

X1 1 0 1/5 0 -7/5 420

S2 0 0 -16/5 1 67/5 1920

X2 0 1 0 0 1 800

Z 0 0 5 0 0 38500

Como todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos, hemos llegado a la solución óptima. La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso: 38500.------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------Facultad de Ingeniería Geológica, Minera y Metalúrgica

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-------------------DONDE X1 = 420

DONDE X2 = 800

PROBLEMAS PROPUESTOS

Problema Nº2:Impala Gold Company operaba una mina de oro en el Estado Libre de Orange, Sudáfrica. La operación consistía en minería subterránea, a una profundidad de 1400 metros, para la extracción de mineral de oro. Las rocas se transportaban por los piques de la mina a un molino que trituraba la roca y extraía el oro.

La mina Impala tenía tres piques. La información acerca de estos piques se presenta en la tabla adjunta. Observe que el mineral que se obtiene de cada una de las áreas de los Piques tiene diferente contenido de oro y distinto costo.

Las rocas que extraían de los tres piques subterráneos se enviaban al molino para ser trituradas y refinadas. La capacidad del molino dependía de la finura del molido de las rocas. Si las rocas se molían finamente, la capacidad del molino era de 240000 toneladas mensuales y se recuperaba el 95% del oro en la operación. Las rocas de cada túnel se podían moler por separado. El costo de molido fino de una tonelada de roca era $1.12 por tonelada. Si el molido de las rocas era grueso, la capacidad del molino era de 250000 toneladas, pero la recuperación de oro bajaba al 90%. El costo de molido grueso de una tonelada de roca era de $0.85. La mina podía vender todo el oro que produjera, a $0.80 el gramo.

El gerente de la mina estaba preocupado por la cantidad de mineral que debía extraer de cada una de las áreas de los Piques. Había observado que la capacidad del molino no era suficiente para manejar todos los Piques si éstos operaban a toda su capacidad. El problema se complicaba aún más por el requisito legal de que la mina no podía operar “por encima del grado promedio” de las reservas de mineral. En la mina Impala este grado promedio era de 20 gramos por tonelada. Por lo tanto, existía la restricción legal de que la mezcla de rocas de los tres Piques no podía exceder un promedio de 20 gramos de oro por tonelada de mineral.

Formule un modelo de programación lineal para maximizar los beneficios de la operación de la mina.

Pique N° 1 Pique N°2 Pique N°3Capacidad de transporte del

85000 90000 95000

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-------------------Pique(tn/mes)Grado del mineral(grAu/tn)

25 20 15

Costo de extracción($/tn)

6 5 4

SoluciónSolución del problema usando el tablero simplex:

Identificación de las variables de decisión:

X1F: toneladas de roca fina en el Pique N°1

X1G: toneladas de roca gruesa en el Pique N°1

X2F: toneladas de roca fina en el Pique N°2

X2G: toneladas de roca gruesa en el Pique N°2

X3F: toneladas de roca fina en el Pique N°3

X3G: toneladas de roca gruesa en el Pique N°3

Capacidad de transporte de los Piques:

Capacidad del pique N°1: X1F +X1G<=85000…..(1)

Capacidad del pique N°2: X2F +X2G<=90000……(2)

Capacidad del pique N°3: X3F +X3G<=95000……(3)

Capacidad del molino cuando la roca es fina: 240000 tn

Capacidad del molino cuando la roca es gruesa: 250000 tn

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Ecuación de la recta:

F24000

+ G25000

=1

Inecuación de la recta:

F24000

+ G25000

≤1

250000240000

F+G≤25000

1.04 F+G≤25000

Donde:

F=X1F +X2F +X3F

G= X1G +X2G +X3G

Reemplazando tenemos la restricción (4):

1.04 (X1F) +1.04 (X2F) +1.04 (X3F) + (X1G) +(X2G) +(X3G) <= 250000 …….. (4)

Restricción del grado del mineral:

25(X1F +X1G) +20(X2F +X2G) +15(X3F +X3G) <=20(X1F +X2F +X3F +X1G +X2G +X3G)

5 (X1F) -5 (X3F) +5 (X1G) -5(X3G) <=0

Función objetivo:

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[(grAu/tn) x (precioAu/grAu) x (rendimiento) - (costo de extraacion/tn) - (costo de molienda/tn)] x [tn extraidas]

gr de Au/tn extraida precio Au/gr Au rendimiento costo de extraccion/tn costo de molienda Utilidad tn extraidas(gr/tn) ($/gr) 100% ($/tn) ($/tn) ($/tn) (tn)

25 0.8 0.95 6 1.12 11.88 X1F20 0.8 0.95 5 1.12 9.08 X2F15 0.8 0.95 4 1.12 6.28 X3F25 0.8 0.9 6 0.85 11.15 X1G20 0.8 0.9 5 0.85 8.55 X2G15 0.8 0.9 4 0.85 5.95 X3G

Maximizar:

Z = 11.88(X1F) + 9.08(X2F) + 6.28(X3F) + 11.15(X1G) + 8.55(X2G) + 5.95(X3G)

Sujeto a:

X1F +X1G<=85000

X2F +X2G<=90000

X3F +X3G<=95000

1.04(X1F) + 1.04(X2F) + 1.04(X3F) + (X1G) + (X2G) + (X3G) <= 250000

5 (X1F) - 5(X3F) + 5(X1G) -5(X3G) <=0

Transformamos todas las inecuaciones a las ecuaciones:

Z - 11.88(X1F) - 9.08(X2F) - 6.28(X3F) - 11.15(X1G) - 8.55(X2G) - 5.95(X3G) = 0

X1F +X1G +S1 = 85000

X2F +X2G +S2 = 90000

X3F +X3G +S3 =95000

1.04(X1F) + 1.04(X2F) + 1.04(X3F) + (X1G) + (X2G) + (X3G) + S4 = 250000

5 (X1F) - 5(X3F) + 5(X1G) -5(X3G) + S5 = 0

Llenamos la tabla:------------------------------------------------------------------------------------------------------

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Primero la columna pivote en la fila objetivo el cual será el elemento mas negativo de dicha fila

X1F X2F X3F X1G X2G X3G S1 S2 S3 S4 S5 VBS1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 85000S2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 90000S3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 95000S4 1.04 1.04 1.04 1 1 1 0 0 0 1 0 250000S5 5 0 -5 5 0 -5 0 0 0 0 1 0Z -11.88 -9.08 -6.28 -11.15 -8.55 -5.95 0 0 0 0 0 0

TABLA INICIAL

Luego dividimos la columna del extremo derecho con la columna pivote para ubicar cual será nuestra fila pivote el cual será escogiendo al menor número positivo de dicha operación:

X1F X2F X3F X1G X2G X3G S1 S2 S3 S4 S5 VB ratioS1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 85000 85000S2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 90000 #¡DIV/0!S3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 95000 #¡DIV/0!S4 1.04 1.04 1.04 1 1 1 0 0 0 1 0 250000 240384.615S5 5 0 -5 5 0 -5 0 0 0 0 1 0 0Z -11.88 -9.08 -6.28 -11.15 -8.55 -5.95 0 0 0 0 0 0

TABLA INICIAL

Una vez ubicados la fila y columna pivote, la intersección será nuestro elemento pivote el cual tendremos que convertirlo en la unidad, para hacer dicha operación debemos dividir el número que convierte a la unidad, a toda la fila.

Luego procedemos a iterar con nuestra fila pivote las demás filas convirtiendo a cero a todos los elementos que estén arriba o abajo del elemento pivote, obteniéndose la siguiente tabla:

X1F X2F X3F X1G X2G X3G S1 S2 S3 S4 S5 VBS1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 -0.2 85000S2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 90000S3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 95000S4 0 1.04 2.08 -0.04 1 2.04 0 0 0 1 -0.208 250000

X1F 1 0 -1 1 0 -1 0 0 0 0 0.2 0Z 0 -9.08 -18.16 0.73 -8.55 -17.83 0 0 0 0 2.376 0

PRIMERA ITERACION

Ubicamos nuestra fila y columna pivote y asi obtener nuestro elemento pivote

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-------------------X1F X2F X3F X1G X2G X3G S1 S2 S3 S4 S5 VB ratio

S1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 -0.2 85000 85000S2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 90000 #¡DIV/0!S3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 95000 95000S4 0 1.04 2.08 -0.04 1 2.04 0 0 0 1 -0.208 250000 120192.308

X1F 1 0 -1 1 0 -1 0 0 0 0 0.2 0 0Z 0 -9.08 -18.16 0.73 -8.55 -17.83 0 0 0 0 2.376 0

PRIMERA ITERACION

Iteramos la tabla obteniendo la siguiente tabla:

Ubicamos nuestra fila y columna pivote y asi obtener nuestro elemento pivote

Iteramos la tabla obteniendo la siguiente tabla:

Ubicamos nuestra fila y columna pivote y asi obtener nuestro elemento pivote

Iteramos la tabla hasta logra obtener que todos los coeficientes de la función objetivo sea positivo, obteniendo la siguiente tabla:------------------------------------------------------------------------------------------------------

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Por lo tanto la solución óptima del problema será:

X1F = 85000 tn

X2F = 73653.8 tn

X3G = 85000 tn

Con lo que se maximiza la utilidad

Z = $ 2184327

Problema Nº3:La empresa Minas Poracota S.A.Ubicado en la región Arequipa, provincia de Condesuyo distrito de Cayarani tiene asentada su unidad minera Poracota la cual se dedica a la explotación y transporte de mineral.Sierto día se le asigna al ingeniero de turno que se encargue de transportar los materiales extraídos de dos labores mineras una de chimenea y la otra de cruzero hacia tres plantas concentradoras, sabiendo que la primera labor minera tiene una producción de 10Tn y la segunda de 15Tn de material por turno ,además las dos primeras plantas concentradoras pueden procesar 8Tn de material ,mientras que la tercera necesita 9 toneladas por turno. El costo de transporte desde cada labor minera a la planta concentradora viene dado por el siguiente cuadro:

Labor minera Planta concentradora (1)

Planta concentradora (2)

Planta concentradora (3)

Labor minera(1)CH

10 15 20

Labor minera(2)CZ

15 10 10

Los datos de la tabla hacen referencia a miles de dólares.

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-------------------En base a las condiciones del problema se pide planificar el trasporte de tal forma que el costo de este sea mínimo.

Solucion:

El problema que se muestra a continuación involucra un total de 6 variables de decisión y cinco restricciones por lo cual ya no es posible utilizar el método grafico en su solución por tanto es conveniente pensar en métodos matemáticos de solución de problemas de programación lineal más generales como el método algebraico, algoritmo simplex, algoritmo del tablero simplex o agenciarnos de la ayuda de software de optimización tales como el Lindo, Winqsb, Tora, Solver, entre otros.

Enunciando las variables:

X1= Cantidad de toneladas de material de la labor 1 a la planta concentradora 1.

X2= Cantidad de toneladas de material de la labor 2 a la planta concentradora 1.

X3= Cantidad de toneladas de material de la labor 1 a la planta concentradora 2.

X4= Cantidad de toneladas de material de la labor 2 a la planta concentradora 2.

X5= Cantidad de toneladas de material de la labor 1 a la planta concentradora 3.

X6= Cantidad de toneladas de material de la labor 2 a la planta concentradora 3.

Función objetivo: Z (min)=10x1+15x2+15x3+10x4+20x5+10x6

Restricciones:

X1+x2+x3<=10……………………… (1)

X2+x4+x6<=15…………………….. (2)

X1+x2>=8………………………. (3)

X3+x4>=8………………………. (4)

X5+x6>=9………………………. (5)

Condición de no negatividad: x1; x2; x3; x4; x5; x6>=0

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-------------------Esquema grafico de solución. Planta concentradora

(Labor minera de Chimenea)

(Labor minera de Cruzero)

Utilizando el programa de investigación de operaciones “TORA” para la solución del problema.

1° Ingresar al programa.

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1

2

3

10000$

15000$

20000$

15000$

10000$

10000$

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2° Presionar el botón “click Here”, ingresar a la opción Linear Programming .

3° Presionar el botón “Go to input screen”.

4° Se abrira la siguiente ventana en donde se debe poner titulo al problema ,luego se ingresara el numero de variables y resticiones a continuacion se aciona “Enter”.

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5°Al abrirse la siguiente ventana se elegirá la acción que se desee realizar sea esta maximizar o minimizar, luego se llenara la tabla con las restricciones del problema.

6°Luego de haber llenado la tabla por completo se hace click en el botón “SOLVE Menu”.

7°Dar click en “SI“, luego seguir el siguiente orden: Solve Problem, Algebraic, Iterations, Bounded Simplex.

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8° Al abrirse la siquente tabla se hara click en “All Iterations”, mostrandose inmediatamente el numero de iteraciones con la cual se llega al optimo en el caso de nuestro problema se llega al optimo luego de 11 iteraciones.

9°Luego de haber seguido ordenadamente los pasos anteriores se encontrara la solución en la última iteración.

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De la tabla siquiente se llega a la conclusion que si se quiere aminorar los costos de traslado del material desde la laborminera a la planta consentradora se deberian repartir desde la labor de cruzero 8Tn a la concentradora (1) ,2Tn a la concentradora (2) y 0 Tn a la concentradora (3);De igual forma para la labor minera de chimenea se deberian repartir 0Tn a la concentradora (1),6Tn ala concentradora(2)y9Tn a la concentradora (3).

PROGRAMA LINDO

LINDO es una aplicación para computadoras que se utiliza para resolver problemas de programación lineal, cuadrática y entera.

Desde 1979 el programa LINDO ha sido una de las herramientas de optimización favoritas de las comunidades Educativas y Empresariales. LINDO Systems se ha dedicado a proveer poderosas e innovativas herramientas de optimización que también son flexibles y muy fáciles de usar. LINDO tiene una larga historia y es uno de los pioneros en crear poderosos programas de optimización.

En 1979 se vendió en México la primer copia comercial de LINDO, la ayuda que este proporcionó en aquel momento, le hizo ganar popularidad muy rápidamente para luego ser utilizado en aplicaciones industriales. En 1983 la versión LINDO/PC fue el primer paquete para programación lineal, este manejaba 60 restricciones y 120 variables. En 1996 apareció la versión 6.0 para WINDOWS.

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-------------------Antes que aparecieran Lotus 1-2-3 o Excel, LINDO había sido incorporado a la planilla de cálculo VisiCalc, el paquete se llamó VINO y es el equivalente del SOLVER que viene con Excel. En estos momentos existe una hoja de cálculo llamada WHAT´S Best! la cual se integra a EXCEL o LOTUS 1-2-3; ésta resuelve problemas de optimización con algoritmos de LINDO Systems.

Esta imagen es una pantalla obtenida del programa LINDO:

La

siguiente pantalla muestra una versión de la Hoja de Cálculo EXCEL a la que se le ha integrado el paquete de optimización de LINDO "WHAT´S Best!":

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VII. RECOMENDACIONES

Para una mejor compresión del método del algoritmo del tablero simplex se recomienda tener conocimientos previos de algebra vectorial o algebra lineal para poder comprender de mejor manera algunas definiciones que están involucradas en el algoritmo como definición de rango de una matriz, operaciones elementales fila columna, sistema de ecuaciones lineales entre otros.

En lo posible se debería utilizar más de un software en la solución delos problemas de programación lineal porque de esa forma se puede comparar resultados y darse cuenta que programa es más idóneo para cada tipo particular de problema.

VIII. CONCLUSIONES

El método simplex, emplea básicamente, la estrategia de resolver los problemas de programación lineal por medio de sistemas de ecuaciones lineales simultáneas siempre que se tenga una solución factible.

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------------------- El óptimo, si es que existe, se determina avanzando un punto esquina

adyacente a la vez y comprobando si aún existe un punto esquina que pueda mejorar el valor de la función objetivo.

Es vital el uso de este algoritmo simplex en la minería y en cualquier industria porque optimiza las operaciones y genera las mayores ganancias con los menores costos.

Su importancia está en que es un método que se puede encontrar el óptimo sin importar el número de variables con las que se trabaje a comparación de otros métodos como la programación Lineal que sus variables queda restringido a un número finito muy pequeño

Se comprueba que el método del algoritmo del tablero simplex es idóneo para la solución de problemas de programación lineal de más de 2 o 3 variables si es que se realiza el cálculo en forma manual; por encima de otros métodos como el método algebraico que generalmente se torna tedioso con el ingreso de mayor cantidad de variables de decisión.

Se comprendió que para problemas con múltiples variables como es el caso de problemas relacionados con la industria minero metalurgia se hace indispensable el uso de software que nos permitan calcular de manera eficiente los resultados esperados tales como Lindo,winqsb,Tora,Solver.

IX.BIBLIOGRAFÍA

Investigación de Operaciones Handy A. Taha

1. Introducción a La Investigación De Operaciones, Sexta Edición, Hamdy a. Taha, 1997

2. Investigación de operaciones, Wayne L. Winston

Apuntes de clase curso introducción a la investigación de operaciones Mineras – universidad Nacional de Ingeniería

Investigación operativa: Modelo, técnica y software; Concepción Maroto Alvares. Programación lineal .Primera edición 1997.

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