memorias de ecuaciones diferenciales

Memorias del Seminario deEcuaciones Diferenciales ySistemas Dinamicos, 2008

Coordinadores:

Luis Loeza Chin Elifalet Lopez Gonzalez

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE CIUDAD JUAREZ

Jorge M. Quintana SilveyraRector

David Ramrez PereaSecretario General

Antonio Guerra JaimeDirector del Instituto de Ingeniera y Tecnologa

Servando Pineda JaimesDirector General de Difusion Cultural

y Divulgacion Cientfica

INSTITUTO DE INGENIERIA YTECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE FISICA Y

MATEMATICA

CUERPO ACADEMICO DE MATEMATICASPURAS Y APLICADAS

Con aportaciones de:

Elifalet Lopez Gonzalez, UACJAntonio Antoln Fonseca, UACJGustavo Tapia Sanchez, UACJ

Alvaro Alvarez Parrilla, UABCCarlos Yee Romero, UABC

Selene Solorza Calderon, UABC

Luis Loeza Chin, UACJ

Gustavo Tapia Sanchez, UACJ

Boris Mederos, UACJ

Memorias del seminario de ecuaciones diferenciales y sistemas dinamicos2008 / coord. Luis Loeza Chin, Elifalet Lopez Gonzalez Ciudad Juarez,Chih.: Universidad Autonoma de Ciudad Juarez, Instituto de Ingeniera yTecnologa, 2009.

88 p.; 22 cm. (Divulgare)Bibliografa.ISBN: 978-607-7623-50-2

1. Ecuaciones diferenciales 2. Algebra diferencial 3. Campos vectoriales.I. Loeza Chin, Luis, coord. II. Lopez Gonzalez, Elifalet, coord.

LC QA371 M45 2009

Cuidado de la edicion: Luis Loeza Chin, Elifalet Lopez Gonzalez.Correccion: Jorge Hernandez Martnez.Diagramacion: Luis Loeza Chin.Cubierta: Karla Mara Rascon Gonzalez.

D.R. Universidad Autonomade Ciudad JuarezCalle Henri Dunant num. 4016,zona Pronaf 32310Ciudad Juarez, Chihuahua

Impreso en Mexico / Printed in Mexico

Este documento fue creado en LATEX,ultima compilacion: 3 de diciembre de 2009.

Agradecemos a:

Departamento de Ciencias Basicas Exactas

Instituto de Ingeniera y Tecnologa

Direccion General de Difusion Cultural y Divulgacion Cientfica

Coordinacion General de Investigacion y Posgrado(Proyecto Interno 339)

Universidad Autonoma de Ciudad Juarez

Indice general

Indice general 7

Presentacion. 9

Ejemplos de algebras de matrices. (E. Lopez, A. Antoln, G. Ta-pia) 11

1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Ejemplos de algebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Visualizacion de campos vectoriales analticos sin integracion numeri-ca. (A. Alvarez, C. Yee, S. Solorza.) 21

1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Antecedentes de geometra diferencialy variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1. Vectores tangentes y espacio tangente . . . . . . . . . . 24

2.2. Campo vectorial real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3. Funciones analticas y algunas de sus propiedades basicas 28

3. Campos vectoriales analticos complejos y sus flujos reales aso-ciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1. Campos vectoriales analticos complejos . . . . . . . . 32

3.2. El flujo real asociado a un campo vectorial analticocomplejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3. Valores regulares y crticos del flujo real . . . . . . . . 34

3.4. Pullbacks de campos vectoriales analticoscomplejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4. Campos newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1. Caso meromorfo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2. Caso general: pullback de t t

va cubrientesramificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5. Visualizacion de campos newtonianos . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1. La observacion fundamental . . . . . . . . . . . . . . . 43

7

5.2. Implementacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6. Generalizaciones y problemas abiertos . . . . . . . . . . . . . . 49

6.1. Campos analticos en variedades complejas . . . . . . . 49

6.2. Campos diferenciales en Rn . . . . . . . . . . . . . . . 506.3. Campos diferenciales en variedades diferenciales . . . . 51

6.4. Avances y problemas abiertos . . . . . . . . . . . . . . 51

El -grupo fundamental de un G-espacio. (L. Loeza) 55

1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2. Dependencia del punto base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3. Tipo de homotopa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4. H-Grupo de Transformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5. Relacion con pi1(X/G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Un vistazo a las teoras de torsion. (G. Tapia) 63

1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2. Diversos conceptos de teoras de torsion . . . . . . . . . . . . . 64

3. La retcula R tors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684. Algunas teoras de torsion importantes . . . . . . . . . . . . . 69

El funcional de Mumford-Shah en el procesamiento de imagenes:aspectos teoricos y sus aplicaciones. (B. Mederos) 73

1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2. Aspectos teoricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3. Existencia de mnimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Presentacion

Las ecuaciones diferenciales tienen la propiedad de transversalidad en lasmatematicas pues en su desarrollo teorico aparecen practicamente todas lasareas de las matematicas. Por ejemplo: Analisis Matematico, Algebra, Geo-metra Diferencial, Variable Compleja, Geometra Algebraica, Topologa Dife-rencial, Topologa Algebraica, Sistemas Dinamicos, entre otras.

La Licenciatura en Matematicas del Instituto de Ingeniera y Tecnologa dela UACJ tiene actualmente como eje principal de formacion academica a lasecuaciones diferenciales. Esto es pertinente, pues el estudio de las ecuacionesdiferenciales es una excelente perspectiva para el estudio de las matematicas yestas tienen una gran cantidad de aplicaciones en ingeniera y en las cienciasen general. Se busca que los estudiantes egresados de esta licenciatura cuentencon una formacion solida en esta area de las matematicas. Con el propositode contribuir en esta direccion el Cuerpo Academico de Matematicas del Ins-tituto de Ingeniera y Tecnologa de la UACJ creo el seminario de EcuacionesDiferenciales y Sistemas Dinamicos (EDySD). Dicho seminario, ademas, apoyadirectamente al desarrollo de las Lneas de Generacion y Aplicacion del Cono-cimiento: Algebras, Ecuaciones Diferenciales y Sistemas Dinamicos.

El presente material es un registro de algunas de las actividades realizadasen el seminario de EDySD. Todos los trabajos incluidos se han presentadoen las actividades regulares del seminario o en sesiones especiales de este.Los objetivos principales de estas memorias son: 1. Que se cuente con unmaterial de consulta para los asistentes al seminario de EDySD.2. Dar a conocer y dejar evidencia de algunas de las actividadesdesarrolladas por el Cuerpo Academico de Matematicas.

9

En virtud de la propiedad de transversalidad de las ecuaciones diferencialesen las matematicas, se consideraran para posteriores publicaciones en estasmemorias, trabajos matematicos y de sus aplicaciones que sean previamentepresentadas en el seminario EDySD. Todos los artculos seran sometidos aarbitraje y deberan apegarse a las recomendaciones hechas por los revisorestanto en contenido como en forma.

Elifalet Lopez Gonzalez,Ciudad Juarez, Chihuahua, marzo de 2009.

10

Memorias del Seminario de Ecuaciones Diferenciales y Sistemas DinamicosFM-IIT, UACJ (2008) 1119

Ejemplos de algebras de matrices*

Elifalet Lopez Gonzalez, Gustavo Tapia Sanchez,

Antonio Antoln Fonseca **

Resumen

El proposito de este trabajo es dar algunos ejemplos de Algebras conmuta-tivas con unidad, que se obtienen principalmente de algebras de matrices. Setienen los numeros complejos, los bicomplejos, los tricomplejos y otros multi-complejos. En este tipo de algebras se pueden definir los siguientes tipos defunciones: polinomios, racionales, exponencial, trigonometricas y las que se ob-tengan de estas usando las operaciones de algebras de Banach y la composicionde funciones. Por lo tanto, se cuenta con una familia importante de funciones.

1. Introduccion

Los campos real y complejo R (ver [5]) y C (ver [1]) son importantes porsu multitud de usos. El campo C emerge de la necesidad de tener un campoalgebraicamente cerrado (i.e., esto significa que cualquier polinomio con coefi-cientes en C, tiene races dentro de C); actualmente la utilidad de este campoes de importancia central en matematicas. La mayor parte del analisis ma-tematico se desarrolla en los espacios de Banach (espacios vectoriales dotadosde una norma y completos con respecto a la convergencia en la norma) sobreR o sobre C; en dimension finita tenemos los espacios Rn y Cn y en dimensioninfinita se tienen, por ejemplo, espacios de funciones.

Diferentes tipos de analisis se desarrollan utilizando otros campos de nume-ros como el analisis p-adico basado en el campo de los numeros p-adicos.

Las algebras conmutativas con unidad de matrices con entradas reales pue-den ser vistas como sistemas de numeros, los cuales son extensiones del sistemade los numeros reales, en el sentido de que los multiplos reales de la unidad delalgebra corresponden a una copia de R en el algebra. Como es el caso de losbicomplejos (el ejemplo 5 que se presenta en este trabajo). Lo mismo sucedepara algebras conmutativas con unidad de matrices con entradas complejas.Los bicomplejos tambien se pueden ver como una extension del sistema denumeros complejos.

*Este trabajo estuvo parcialmente apoyado por el proyecto UACJ 339.**Departamento de Fisca y Matmatica IIT-UACJ, [email protected], [email protected],

[email protected],

12 E. Lopez, A. Antoln, G. Tapia

En los espacios de Banach se define la derivada de Frechet (ver [4]), quees una generalizacion no tan directa, de las derivadas usuales (real y comple-ja). Uno de los temas propuestos a desarrollar en el proyecto de investigacionN-derivada en algebras de Banach y dinamica de mapeos racionales holomor-fos del Cuerpo Academico de Matematicas del IIT-UACJ, es una definicionde diferencial, analoga a la diferencial de Frechet, para modulos sobre alge-bras normadas; se define la diferencial como homomorfismo de modulos. Estose hace en el proyecto de titulacion [2]. El proposito de este trabajo es darunos ejemplos de algebras normadas, las cuales provienen principalmente dealgebras de matrices.

2. Algebras

Un algebra asociativa A sobre un campo F (para este caso F es R o C) esun espacio lineal A con una operacion F-bilineal () : A A A (donde laimagen de (x, y) se escribe como xy) y es asociativa:

(xy)z = x(yz) para x, y y z en A.

Si A contiene un elemento identidad, esto es, un elemento e tal que ex =xe = x para todo x A, entonces A se llama algebra asociativa unital o conunidad. Tal algebra es un anillo, y contiene todos los elementos del campo Fal identificar F con e A (ver [3]). Un algebra se llama conmutativa siel producto () : AA A es conmutativo, i.e., xy = yx para toda x, y A.La dimension del algebra asociativa A sobre el campo F es su dimension comoF-espacio lineal.

Una norma en un espacio lineal V sobre un campo F (F es tpicamenteR o C) es una funcion : V V R, que cumple lo siguiente:

1.- x 0 para toda x V y x = 0 si y solo si x = 0 .2.- x = ||x para cada x V y cada F.3.- x+ y x+ y siempre que x, y V.

Un espacio lineal junto con una norma se llama espacio normado y un espaciode Banach B sobre un campo F es un espacio lineal V junto con una norma : V V R, el cual es completo con respecto a la convergencia en lanorma (estos conceptos se pueden consultar en [3]).

Un algebra normada es un algebra asociativa y tambien es un espacio nor-mado; ademas, se requiere que la multiplicacion del algebra y la norma delespacio de normado se relacionen por la siguiente desigualdad:

xy xy

Ejemplos de algebras de matrices 13

para x, y A. Esto asegura que la multiplicacion es una funcion continua() : A A A. Un algebra de Banach es un algebra normada, la cual es unespacio de Banach con la norma del algebra.

En cada algebra de Banach asociativa conmutativa con unidad B, las fun-ciones polinomiales con coeficientes en B se pueden definir, as como las fun-ciones racionales, ya que cuando estemos trabajando en algebras de Banachconmutativas, si y es invertible (tiene inverso multiplicativo con respecto alproducto del algebra), el cociente x/y significara xy1. Mas aun, muchas fun-ciones elementales las cuales se definen usando series de potencias se puedendefinir en B; como ejemplos tenemos a la funcion exponencial y a las funcio-nes trigonometricas: las formulas para las series geometricas y la formula delbinomio siguen siendo validas y en el caso de dimension finita, si el algebratiene una estructura compleja (por ejemplo, las algebras de matrices de loscomplejos y los bicomplejos, ver ejemplos 4 y 5), es decir, existe J B tal queJ2 = e, tambien se tienen algunas versiones de las identidades trigonometri-cas complejas (se reemplaza J por i).

El conjunto de elementos invertibles A en un algebra de Banach unital A esun conjunto abierto que tiene estructura de grupo con respecto al producto delalgebra, y la funcion que a un elemento de A le asigna su inverso multiplicativoes continua, as que A es un grupo topologico bajo la multiplicacion.

3. Ejemplos de algebras de Banach

Presentamos ejemplos de algebras de Banach B, tanto de dimension finitacomo infinita.

1. (R y C). Uno de los ejemplos mas importantes de algebras de Banach es elconjunto de los numeros reales con las operaciones de suma y productousuales, y la norma dada por el valor absoluto. Otro ejemplo, el cualtambien es fundamental, es el conjunto de los numeros complejos con lasoperaciones de suma y producto usuales, y norma dada por el modulo.

2. (Los operadores lineales acotados). El conjunto de los operadores linea-les acotados de un espacio de Banach en s mismo forman un algebrade Banach con elemento unidad (pero no conmutativa con respecto a lamultiplicacion) con respecto a las operaciones de adicion y multiplica-cion (composicion) de operadores lineales y con la norma de operadores(definicion dada en [3]).


3. (Espacios de matrices sobre R). El conjunto de las matrices n n

a1,1 a1,2 a1,na2,1 a2,2 a2,n

......

. . ....

an,1 an,2 an,n

: ai,j R, 1 i, j n

es un algebra (sobre R) asociativa unital con respecto al producto dematrices, pero no conmutativa. Mas aun, el algebra de matrices, vistacomo el conjunto de los operadores lineales de Rn a Rn, es un algebra deBanach con respecto a la norma de operadores. Esta no es conmutativa,pero tiene subalgebras conmutativas interesantes, como lo veremos en lossiguientes ejemplos. Note que este tipo de algebras ya esta consideradoen el caso 2.

4. Consideremos al conjunto

B =

{(x yy x

): x, y R

}en el algebra de matrices de 2 2 sobre R. El conjunto B es un algebrade Banach B con respecto al producto de matrices. Sea : C B lafuncion

x+ iy 7(

x yy x

),

entonces es un isomorfismo de algebras de Banach, es decir, es unisomorfismo de espacios vectoriales y es una isometra (esto es, |z| =(z) para todo z C) con (z1z2) = (z1)(z2) para todo z1, z2 C(estamos suponiendo que C tiene la metrica asociada al modulo de loscomplejos y B tiene la metrica asociada a norma de operadores, ver [3]).Entonces, C y B son esencialmente la misma Algebra de Banach.

5. (Los numeros bicomplejos). El espacio lineal B sobre R, generado por lasmatrices

x y u vy x v uu v x yv u y x

: x, y, u, v R

es un algebra de Banach conmutativa unital de dimension real 4. Sea ela matriz obtenida al tomar x = 1 y y, u, v iguales a cero, de manerasimilar se definen i1, i2 y j tomando y = 1 y las demas entradas cero,v = 1 y las demas entradas cero, y u = 1 y las demas entradas cero,respectivamente. Entonces {e, i1, i2, j} es una base para el algebra B.


Identificando a los elementos a R con ae B, los elementos de B sepueden expresar en la forma a + bi1 + ci1 + dj, donde a, b, c y d sonnumeros reales. Al conjunto de estas expresiones con las operaciones desuma y producto del algebra B, se le conoce como numeros bicomplejos.A i1, i2 y j se les llama unidades imaginarias y cumplen las reglas demultiplicacion

i1 i1 = 1, i2 i2 = 1, j j = 1, i1 i2 = j, i1 j = i2 y i2 j = i1.

El termino bicomplejo se usa porque estos se pueden expresar comoA + Bi2, donde A,B son numeros complejos, es decir, si tomamos elnumero bicomplejo = a + bi1 + ci2 + dj, entonces = A + Bi2 paraA = a+ bi1 y B = c+ di1. Esto es, los numeros bicomplejos se obtienende los complejos de manera similar a como se obtienen los complejos delos reales, agregando una unidad imaginaria y definiendo una regla demultiplicacion entre unidades imaginarias. Los numeros bicomplejos sereducen a complejos cuando A y B son numeros reales.

Los numeros bicomplejos se pueden ver como un algebra sobre el campocomplejo C de dimension 2.

6. (Los numeros tricomplejos). El espacio B generado por las matrices

x y u v r sy x v u s rr s x y u vs r y x v uu v r s x yv u s r y x

: x, y, u, v, r, s R

(1)

es un algebra de Banach conmutativa unital de dimension real 6. Seae la matriz obtenida al tomar x = 1 y y, u, v, r, s iguales a cero, demanera similar se definen i1, i2, j, i3 y k tomando y = 1 y las demasentradas cero, v = 1 y las demas entradas cero, u = 1 y las demasentradas cero, s = 1 y las demas entradas cero, y r = 1 y las demasentradas cero, respectivamente. Entonces {e, i1, i2, j, i3, k} es una basepara B. Identificando a los elementos a R con ae B, los elementosde B se pueden expresar en la forma a+ bi1 + ci2 + dj + ei3 + fk dondea, b, c, d, e, f R; al conjunto de estas expresiones con las operaciones desuma y producto del algebra B, se le conoce como numeros bicomplejos.A i1, i2, j, i3 y k se les llama unidades imaginarias y cumplen las reglasde multiplicacion

i1 i1 = 1, i1 i2 = j, i1 i3 = k, i1 j = i2, i1 k = i3,


i2 i2 = k, i2 i3 = 1, i2 j = i3, i2 k = i1,i3 i3 = j, i3 j = i1, i3 k = i2,j j = k, j k = 1,k k = j.

El termino tricomplejo se usa porque estos se pueden expresar comoA+Bi2+Ci3, donde A,B,C son numeros complejos, es decir, si tomamosel numero bicomplejo = a+ bi1 + ci2 + dj + ei3 + fk, entonces = A+Bi2+Ci3 para A = a+bi1, B = c+di1 y C = e+fi1. Esto es, los numerostricomplejos se obtienen de los complejos de manera similar a como seobtienen los complejos de los reales, agregando dos unidades imaginariasy definiendo una regla de multiplicacion entre unidades imaginarias.

Los numeros tricomplejos se pueden ver como un algebra sobre el campocomplejo C de dimension 3. Se pueden definir los numeros k-complejos(multi-complejos) para k > 3 de manera parecida.

7. (Algebras cclicas). En M(n,R) o en M(n,C) uno puede encontrar alge-bras de Banach cclicas (por lo tanto, conmutativas) considerando unelemento M y el espacio lineal generado por el conjunto

{M,M2,M3, },

y si M es invertible, entonces el algebra obtenida es unital.

8. (Algebras de funciones continuas). SeaX un espacio topologico compactoy sea C(X) el conjunto de todas las funciones definidas sobre X y convalores en los complejos. Entonces C(X) es un algebra de Banach conrespecto a las operaciones usuales y con norma

f = maxX|f |.

9. (Espacios de matrices sobre C). El conjunto M de las matrices n ncuyas entradas son numeros complejos, es un algebra asociativa (sobreC) unital con respecto a la operacion producto de matrices. El conjuntoM se puede ver como un algebra sobre R de dimension 2n2 y tieneimportantes subalgebras, como veremos en el siguiente ejemplo. Mas aun,el algebra de matrices (sobre C) vista como el conjunto de operadoreslineales de Cn a Cn es un algebra de Banach con respecto a la normade operadores. Note que este tipo de algebras ya esta considerado en elcaso 2.


10. (Cuaterniones). Los cuaterniones es el conjunto

H = {a+ bi+ cj + dk : a, b, c, d R},

con la siguiente tabla de multiplicacion

i2 = 1, ij = k, ik = j,ji = k, j2 = 1, jk = i,ki = j, kj = i, k2 = 1.

Por lo tanto, H es un algebra no conmutativa de dimension real 4.Los cuaterniones se pueden ver como un algebra de Banach (sobre losreales) de matrices de 2 por 2 con entradas complejas, a saber, la gene-rada por {(

1 00 1

),

(i 00 i

),

(0 11 0

),

(0 ii 0

)}que es de dimension real 4. Claramente las matrices de B no conmutancon respecto al producto. Los cuaterniones tambien se pueden ver comoun algebra de Banach (sobre los reales) de matrices con entradas reales,generada por

x y u vy x v uu v x yv u y x

: x, y, u, v R .

11. (Algebras de funciones holomorfas). Sea V un dominio acotado en elespacio complejo n-dimensional Cn. El conjunto de funciones holomorfasacotadas sobre V es un algebra de Banach con respecto a las operacionesusuales y con la norma del supremo:

f = supX|f |.


Esta algebra de Banach contiene la subalgebra cerrada de funciones holo-morfas acotadas sobre V que tienen una extension continua a la clausurade V . El ejemplo mas simple es el algebra de funciones que son continuasen el disco |z| 1 y analticas en el disco |z| < 1.

12. Tomamos el espacio de Banach Rn (Cn) con norma

x = max{|xi| : i = 1, 2, . . . , n}

y definimos la multiplicacion como sigue:

(x1, . . . , xn)(y1, . . . , yn) = (x1y1, ..., xnyn).

Entonces Rn (Cn) es un algebra de Banach con respecto a la multiplica-cion y norma dadas.

13. (Ejemplo de dimension infinita). Sea X el conjunto de todas las sucesionesde numeros reales {xn}nZ con

nZ a

2n convergente. Entonces X es un

espacio de Banach (Hilbert) de dimension infinita, con producto interiorx, y = nZ xnyn, donde x = {xn}nZ y y = {yn}nZ, y con la normax = x, x1/2. Sea : X X el desplazamiento hacia la derecha(a) = b, donde a = {an}nZ, b = {bn}nZ y bn = an1, entonces kes un operador lineal acotado para cada k Z. El espacio lineal Bsobre R generado por {k : k Z} es un subalgebra conmutativa (conrespecto a la composicion de operadores) de dimension del algebra delos operadores lineales acotados. El operador k es invertible y su inversaes el operador lineal k, para cada k Z.

14. (Bloques de Jordan real y complejos). En el espacio de matrices M(n,R)consideramos la subalgebra generada por la matriz identidad I y laspotencias de la matriz nilpotente

N =

0 1 0 00 0 1

. . . 0...

......

. . ....

0 0 0 10 0 0 0

.

De esta manera obtenemos un algebra sobre R de dimension real n.Estas algebras son importantes porque todas las algebras de matricesconmutativas con unidad reales son isomorfas a una suma directa dealgebras, las cuales son de tipo bloque de Jordan real. Se puede hacer lomismo y considerar algebras sobre los complejos.


Bibliografa

[1] Ahlfors, L Complex Analysis. McGraw-Hill International Book Company,(1979).

[2] Gomez, A. Diferencial en modulos. Proyecto de titulacion de la Licencia-tura en Matematicas, IIT-UACJ, noviembre de (2008).

[3] Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis with Applications. John Wi-ley and Sons, (1978).

[4] Marsden, J.; Hoffman, M. Analisis clasico elemental. Addison-Wesley, 2a.ed., (1998).

[5] Rudin, W. Principios de analisis matematico. McGraw-Hill, 3a. ed.,(1980).

Elifalet Lopez Gonzalez ([email protected])Antonio Antoln Fonseca ([email protected])Gustavo Tapia Sanchez ([email protected])Instituto de Ingeniera y Tecnologa, UACJAv. Del Charro num. 450 norte, Ciudad Juarez, Chih., Mexico.C.P. 32310, A.P. 1594-D.


Visualizacion de campos vectoriales

analticos sin integracion numerica*

Alvaro Alvarez Parrilla, Carlos Yee Romero, Selene Solorza

Calderon **

Resumen

Usualmente la visualizacion de los flujos asociados a campos vectoriales serealiza mediante metodos de integracion numerica. Estos metodos tienen seriosinconvenientes como:

se requiere especificar varias condiciones iniciales para tener una ideageneral del campo vectorial,el error se propaga como funcion de la variable de integracion,las trayectorias no permiten obtener informacion acerca de la parame-trizacion de las soluciones ytienen una alta demanda de recursos de computo.

En estas notas presentamos un metodo que permite visualizar campos vec-toriales analticos, provenientes de funciones racionales sobre el plano complejo,sin necesidad de utilizar metodos de integracion numerica. Se discute la teoradetras del metodo, su implementacion, sus ventajas, se presentan generaliza-ciones a campos en Rn y se plantean algunos problemas abiertos.

1. Introduccion

Los campos vectoriales son objetos matematicos de mucha utilidad, tantodesde el punto de vista de las matematicas (vease [1, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13])como desde el punto de vista de las aplicaciones. Surgen en multiples contextos,en particular en la fsica, puesto que una gran cantidad de fenomenos fsicos sepueden modelar mediante campos (campo electrico, campo magnetico, campode velocidades de un fluido, etc...).

Un campo vectorial real es una funcion F : Rn Rn de clase C1 o por lomenos Lipschitz. Usualmente para visualizarlo se tienen dos alternativas (verfiguras 1 y 2):

1. Se construye una malla en Rn y se coloca el vector correspondiente alcampo en cada vertice de la malla,

*Este trabajo estuvo parcialmente apoyado por el proyecto UABC 0196.**Facultad de Ciencias, Campus Ensenada, UABC, [email protected],

[email protected], [email protected]

22 A. Alvarez, C. Yee, S. Solorza

2. O se encuentra su flujo asociado, que es una trayectoria

x0 : (, ) Rn

de clase C1 que satisface{x0(t) = F (x0(t)), con la condicion inicial

x0(0) = x0.(1)

Figura 1: Ejemplo de las representaciones usuales de un campo en R2: mediantevectores en una malla (donde a cada vector se le ha asignado un color distintodependiendo de la magnitud del vector) y mediante el flujo asociado a diversascondiciones iniciales (puntos rojos).

Figura 2: Ejemplo de un campo en R3, donde se representa al campo mediantevectores en una malla. Se muestra tambien el flujo asociado a una condicioninicial.

Ya en estos ejemplos se pueden apreciar algunos inconvenientes relativos alos metodos usuales de visualizacion. En el caso de vectores colocados en los

Visualizacion de campos vectoriales sin integracion 23

vertices de la malla:

si la malla que se utiliza es muy fina, los vectores se enciman unos enotros, por lo que no se aprecia el comportamiento del campo vectorial,

si la malla que se utiliza es muy gruesa, la resolucion puede ser insufi-ciente para poder obtener informacion relevante del campo.

En el caso de la representacion por medio de flujos:

es necesario elegir distintas condiciones iniciales para poder observar elcomportamiento global del campo,

elegir a-priori estas condiciones iniciales no es sencillo,

la informacion relativa a la parametrizacion (tiempo) de las solucionesno es facilmente accesible a partir de estas representaciones.

Ademas de estos inconvenientes, es preciso agregar los siguientes: paraencontrar el flujo, es necesario resolver un sistema de ecuaciones, a saber (1),lo cual en la gran mayora de los casos se tiene que hacer numericamente. Elresolver numericamente el sistema de ecuaciones a su vez acarrea problemasde caracter numerico como:

eleccion adecuada de algun(os) algoritmo(s) de integracion numerica(Euler, Newton-Raphson, Runge-Kutta, otros),

la propagacion de errores como funcion de la variable de integracion(tiempo),

alta demanda de recursos de computo, especialmente cerca de los valorescrticos del flujo (los ceros y las singularidades del campo).

De aqu que sera muy conveniente tener un metodo de visualizacion que notuviera estos problemas asociados.

En este minicurso se presenta un metodo cuyos orgenes pueden ser atri-buidos a Benzinger, Burns y Palmore [5, 7, 15], que lo aplicaron a camposvectoriales racionales en el plano, y que nosotros hemos extendido a todo cam-po vectorial analtico complejo. Las ventajas de este metodo sobre los usualesson:

permite visualizar de forma global el campo vectorial,

no tiene propagacion de error,

provee informacion relativa a la parametrizacion de las soluciones (tiem-pos),


permite visualizar de forma eficiente los flujos, aun para condicionesiniciales especficas,

los recursos de computo requeridos son mucho menores que los que senecesitan para los otros metodos,

es facilmente paralelizable, esto es, se puede implementar de maneramuy sencilla para que una computadora con varios procesadores puedacalcular la visualizacion,

es adaptable para otro tipo de campos, incluyendo campos en superficies.

Para presentar este metodo comenzaremos, en la seccion 2, haciendo un repasode conceptos basicos de geometra diferencial y de variable compleja; despuesen la seccion 3 hablaremos de campos vectoriales complejos y sus caractersti-cas principales; en la seccion 4 introduciremos los campos newtonianos, estoes, aquellos que pueden ser representados por (z)

(z)z

, para en la seccion 5presentar propiamente el metodo aplicado a campos newtonianos, particular-mente para funciones racionales; finalmente en la seccion 6 se hablara acercade como se puede generalizar este metodo a superficies complejas, a camposen Rn y a campos sobre variedades diferenciales, para terminar con algunosotros problemas abiertos.

2. Antecedentes de geometra diferencial

y variable compleja

En esta seccion definimos los objetos de estudio basicos para nosotros,a saber: los campos vectoriales reales. El punto de vista que tomamos es elde la geometra diferencial, y para ello comenzamos definiendo los conceptosen Rn, para posteriormente poder extenderlo de manera natural a variedadesdiferenciales.

2.1. Vectores tangentes y espacio tangente

El concepto de vector tangente es conocido desde nuestros cursos de calculovectorial como la derivada de una trayectoria, o visto desde un punto de vistafsico, como la velocidad infinitesimal.

Definicion 2.1. Sea : (, ) Rn una trayectoria en Rn de clase C1,tal que (0) = x0 Rn. Definimos un vector tangente en x0 como el vector(basado en el origen) dado por (0) Rn. Al conjunto de vectores tangentesen x0 lo denotaremos por Tx0Rn y lo llamaremos el espacio tangente a x0 Rn.


Es claro que Tx0Rn = Rn: por definicion Tx0Rn Rn. Para la otra conten-cion, sea v Rn, y consideremos la trayectoria (diferenciable) (t) = x0 + tv,entonces claramente (0) = v, por lo que v Tx0Rn.

Ejemplo 2.2. La trayectoria (t) = x0+tv con x0 = (1, 1, 1) y con v = (0, 1, 2)da lugar al vector tangente v = (0, 1, 2) en T(1,1,1)R3.

Recordemos de nuestros cursos de calculo vectorial que dada una funciondiferenciable

F : Rn Rmx 7 F (x), (2)

se tiene, por la regla de la cadena, que si v es un vector tangente en x0 Rn,entonces w = (F )(0) = DFx0(0) = DFx0v es el correspondiente vectortangente en F (x0). Esto es, la aplicacion lineal DFx0 lleva vectores tangentesen x0 a vectores tangentes en F (x0):

DFx0 : Tx0Rn TF (x0)Rm(0) 7 (0), (3)

donde = F .

Definicion 2.3. Definimos el haz tangente de Rn, denotado por TRn, comoel conjunto de todas las parejas (x0, v) con x0 Rn y v Tx0Rn.

As, dada una funcion diferenciable F : Rn Rm se tiene una aplicacionnatural del haz tangente de Rn al haz tangente de Rm, dada por:

DF : TRn TRm(x0,

(0)) 7 (F (x0), DFx0(0)) .(4)

Otro punto de vista

Para generalizar el concepto de vector tangente, a variedades diferenciables,sera conveniente utilizar una definicion distinta. Esto se logra mediante elconcepto de la derivada direccional: sea f : Rn R una funcion diferenciablecon valores reales y v Tx0Rn. De nuestro curso de calculo vectorial sabemosque la derivada direccional de f en x0 en direccion de v se puede calcularmediante la formula:

df

dt(x0 + tv)

t=0= Dfx0v.

De manera que considerando en detalle la expresion

Dfx0v,


se tiene que si v = (0) = (1(0), 2(0), , n(0)), entonces

Dfx0v =nj=1

f

xj(x0)

j(0) =

nj=1

vjf

xj(x0), (5)

donde vj = j(0), de manera que v = (v1, v2, , vn) son las componentes de

v Tx0Rn.Esto nos provee de una identificacion clara entre Tx0Rn, el espacio tangente

a x0 en Rn, y el cotangente T x0Rn. Explcitamente tenemos:

Tx0Rn = T x0Rn

(v1, v2, , vn) 7nj=1

vj

xj x0,

(6)

de manera que podemos definir un vector tangente en x0 como en (6).

En particular utilizando esta definicion, las ecuaciones (4) quedan como

DF : TRn TRm(x0,

nj=1

vj

xj x0

)7(y0,

mi=1

(Fi(x0) v) yj y0

),

(7)

dondey0 = F (x0) = (F1(x0), F2(x0), , Fm(x0)) Rm

y

Fi(x0) v =nj=1

vjFixj x0

, (8)

para i = 1, 2, ,m con v = (v1, v2, , vn).Como se vera mas adelante, cuando se generalicen estos conceptos a varie-

dades diferenciales, sera mas conveniente utilizar esta ultima notacion.

Ejemplo 2.4. El ejemplo 2.2 en esta notacion se expresa como

v =

y (1,1,1)+ 2

z (1,1,1) T(1,1,1)R3,

y cuando el punto base se pueda deducir claramente, o quede claro dentro delcontexto se obviara de manera que la expresion anterior quedara como:

v =

y+ 2

z T(1,1,1)R3.


2.2. Campo vectorial real

Finalmente podemos definir un campo vectorial como una seccion del haztangente, esto es, como una funcion

X : Rn TRnx 7 (x,X(x)), (9)

de modo que, abusando de la notacion, diremos que

X : Rn TxRn = Rnx 7 X(x) (10)

es un campo vectorial. En particular, debido a (6) tenemos:

Definicion 2.5. Un campo vectorial real es una expresion de la forma

X(x1, x2, , xn) =nj=1

vj(x1, x2, , xn) xj

,

donde las vj son funciones diferenciables con valores reales.

Para entender que son los campos vectoriales, consideremoslo desde otraperspectiva: recordemos que un vector tangente es un funcional real, de mane-ra que un campo vectorial se puede pensar como un funcional real que actuasobre funciones diferenciables de la siguiente manera:

Sean f, g : Rn R funciones diferenciables, entonces el campo vectorialreal X = X(x) es un funcional real que cumple con:

a) X(fg) = f(x)X(g) + g(x)X(f), y

b) si f y g son iguales en una vecindad de x, entonces X(f) = X(g).

Ejemplo 2.6. A manera de ejemplo consideremos el campo vectorial real dadopor

X(x0, y0) = y0 x (x0,y0)

+ x0

y (x0,y0),

que usualmente se expresa de manera mas sucinta como

X(x, y) = y x

+ x

y.

Este campo vectorial actua sobre funciones diferenciables f de manera que laderivada direccional df

dt

((x0, y0) + t(y0, x0)

)t=0 es el valor de X(x0,y0)(f).


2.3. Funciones analticas y algunas de sus propiedadesbasicas

Recordemos que los numeros complejos C se definen como los puntos (x, y)en el plano R2 dotados con una estructura de campo proporcionada por lasoperaciones

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),

(x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 y1y2, x1y2 + x2y1).

Es util y comun denotar por i al vector (0, 1) C, de modo que

z = (x, y) = x+ iy C

y entonces las operaciones de suma y producto se siguen de la suma y productode binomios con la salvedad de que i2 = 1.

Interpretacion geometrica

Un numero complejo z = x+ iy representa un punto en el plano, de modoque z = r con r = |z| y = arg(z).

La suma corresponde a la suma de vectores en el plano (usualmente conoci-da como la ley del paralelogramo), mientras que la multiplicacion correspondea multiplicar los modulos y sumar los angulos. En particular, multiplicar pori corresponde a una rotacion por pi/2.

Funciones analticas

Existen muchas maneras equivalentes de definir a una funcion analtica, enparticular si C es un conjunto abierto, podemos decir que f : C Ces analtica en si

lmzz0

f(z) f(z0)z z0

existe para todo z0 , en cuyo caso denotaremos al lmite por f (z0).Algunas consecuencias de esto es que f(z) = u(z) + iv(z), donde u, v son

funciones con valores reales, es analtica en z0 C, si y solo si

u y v son de clase C1 y cumplen con las ecuaciones de Cauchy-Riemann,a saber:

u

x(z0) =

v

y(z0)

v

x(z0) = u

y(z0).


f es de clase C1 y

f

z(z0) = 0,

f

x(z0) =

f

z(z0) = f

(z0),

donde

z=

1

2

{

x+

1

i

y

}y

z=

1

2

{

x 1i

y

}.

f(z) =n0

an(z z0)n, para todo z B(z0, r) con algun r > 0.

f(z) es una funcion conforme, esto es, que si es vista desde la perspectiva

de una funcion de R2 a R2, entonces Dfz0 es de la forma(a bb a

).

Algunos ejemplos de funciones analticas son:

Ejemplo 2.7. La funcion

ez = ex (cos(y) + i sin(y))

es analtica en C. Esta funcion permite reescribir, y manipular algebraicamen-te, la representacion polar: z = r = |z|ei arg(z).As mismo, las funciones

sin(z) =eiz eiz

2i

y

cos(z) =eiz + eiz

2,

son analticas en C


log(z) = log|z|+ i arg(z)

es analtica en C\{rei : r 0}, donde arg(z) [, + 2pi). Recordemos queez y log(z) son inversas una de otra.


Un resultado importante acerca de funciones analticas es el siguiente

Teorema. (Continuacion analtica) Sea f una funcion analtica en un con-junto A C abierto y conexo. Sea Zf = {z A : f(z) = 0}, el conjunto de lasraces de f en A. Si Zf tiene puntos de acumulacion en A, entonces f 0.

Recordemos tambien el concepto de singularidad aislada y su clasificacion:un punto a C se dice que es una singularidad aislada de f si a es analticaen una vecindad de a, mas no necesariamente en a.

Las singularidades aisladas se clasifican en singularidades removibles, polosde orden k > 0 o singularidades esenciales, como se muestra en la siguien-te tabla: Resulta que es muy util pensar en que las funciones meromorfas

Cuadro 1: Tabla que muestra los tipos de singularidades aisladas a de f quepuede haber.

Tipo lmza|f(z)| Serie Comportamiento geometrico

removible Rn=0

an(z a)n existe una extension analticade f a este punto

polo de

n=kan(z a)n existe un menor entero positivo

orden k > 0 k, tal que lmza

(z a)kf(z) Cesencial no existe

n=

an(z a)n f (B(a, r)\{a}) evita a lo mas2 puntos en C, para todo r > 0

(aquellas que tienen solamente polos o singularidades removibles) son funcio-nes analticas que pueden tomar el valor . Tambien resultara convenientepoder evaluar a una funcion en . Para lograr ambas cosas, introducimos laproyeccion estereografica

: C S2\(0, 0, 1)z 7

(2Re(z)

|z|2 + 1 ,2Im(z)

|z|2 + 1 ,|z|2 1|z|2 + 1

)(11)

que permite identificar a la compactificacion de C con S2, esto es, S2 = C {} = C, de manera que ahora se podra hablar de que una funcion tomael valor , y el comportamiento de f en C estara determinado por elcomportamiento de f(1/z) cuando z 0. As, una funcion es analtica en si f(1/z) es analtica en 0, y tiene un polo en a C si f(a) =.


Figura 3: Proyeccion estereografica del plano C a la esfera de Riemann, dondese esta utilizando un mapa de colores para identificar los puntos correspon-dientes en el plano y en la esfera. La lnea que parte del polo norte ( C) alplano tiene una parte negra para indicar que esta parte de la lnea se encuentrapor dentro de la esfera.


f(z) =z2(z 1)z2 z + 1

es analtica en C\{z3 1}. Los ceros se encuentran exactamente en {0, 1,}y son de multiplicidad 2, 1 y 1 respectivamente, y tiene polos de orden 1 en{eipi/3}.


tan(z) =sin(z)

cos(z)

es analtica en C\{pi2

+ npi : n Z}. Los ceros se encuentran exactamenteen z = npi, n Z y son de multiplicidad 1, y tiene polos de orden 1 enz = pi

2+ npi : n Z; ademas, no es una singularidad aislada.


3. Campos vectoriales analticos complejos y

sus flujos reales asociados

En esta seccion definiremos el concepto de campo vectorial analtico comple-jo y mostraremos algunas de sus propiedades, particularmente que cada campovectorial complejo define dos flujos reales perpendiculares entre s. Para moti-var la definicion de los campos vectoriales analticos complejos, consideremosel campo real

F (x, y) = u(x, y)

x+ v(x, y)

y,

donde u(x, y) y v(x, y) son funciones reales que satisfacen las ecuaciones deCauchy-Riemann:

u

x(x, y) =

v

y(x, y)

uy

(x, y) =v

x(x, y)

(Cauchy-Riemann).

Entonces, f(z) = u(z) + iv(z) es una funcion analtica compleja y podemosdefinir un campo vectorial analtico complejo (CVAC) como

X(z) = f(z)

z=(u(x, y) + iv(x, y)

) z,

donde z

= 12

{x

+ 1iy

}, con la caracterstica de que 2Re(X) = F .

3.1. Campos vectoriales analticos complejos

Sea U C un conjunto abierto y sea f una funcion analtica en U , aexcepcion de posibles singularidades aisladas.

Por el Teorema de continuacion analtica, se sigue que tanto los ceros comolas singularidades aisladas forman un subconjunto discreto de U . Denotemospor K,S,E U , a los subconjuntos de polos, ceros y singularidades esencialesde f , respectivamente. Es claro que estos conjuntos son mutuamente disjuntosy discretos.

Definicion 3.1. Un campo vectorial analtico complejo X(z) es un campovectorial analtico en U\ (K E), esto es:

X(z) = f(z)

z=(u(z) + iv(z)

) z,

donde f(z) = u(z) + iv(z) es analtica en U\ (K E) con ceros en S.


Como consecuencia del Teorema de continuacion analtica, usualmente noharemos distincion entre U y U = U\ (K E), y diremos que X(z) es uncampo analtico en U .

3.2. El flujo real asociado a un campo vectorial analticocomplejo

En U , mas precisamente en U, existe una correspondencia uno a uno entrecampos vectoriales analticos complejos X y un par de campos reales, F y JFdada por:

F X = 12

(F iJF )F = X +X X.

En coordenadas explcitas esto es:

X = f(z)

z=(u(x, y) + iv(x, y)

) z

2Re(X)(x, y) = F (x, y) = u(x, y)

x+ v(x, y)

y.

2Im(X)(x, y) = JF (x, y) = v(x, y) x

+ u(x, y)

y.

Es de notarse que estos campos vectoriales reales tienen la caractersticade ser perpendiculares entre s, por lo que para precisar al campo vectorialanaltico complejo es suficiente precisar solamente uno de la pareja de camposvectoriales reales.

Por demas cada uno de los campos vectoriales reales tienen un flujo real asociado, que en el caso del campo F se define por:{

z0(x, y) = F (z0(x, y))

z0(0) = z0.(12)

Por convencion cuando hablemos de las trayectorias de un campo vectorialcomplejo, nos referiremos a las trayectorias de sus correspondientes camposvectoriales reales, esto es, a los flujos que estos determinan.

Comentario 3.2. Es conveniente notar que las soluciones de (12) son las mismassoluciones que las del siguiente sistema complejo:{

z0(x, y) = f(z0(x, y))

z0(0) = z0.(13)


Ejemplo 3.3. Sea f(z) = z = x+ iy, de modo que:

2Re(X(z)) = x

x+ y

y

y

2Im(X(z)) = y

x x

y.

Ver figura 4.

Figura 4: Flujos reales e imaginarios de un cero simple, esto es, del campo z z

.

Ejemplo 3.4. Sea f(z) = z2 = (x2 y2) + i2xy, de modo que:

2Re(X(z)) = (x2 y2) x

+ 2xy

y.

Ver figura 5.

Ejemplo 3.5. Sea f(z) = 1z

= xiyx2+y2

, de modo que:

2Re(X(z)) =x

x2 + y2

x yx2 + y2

y.

Ver figura 6.

3.3. Valores regulares y crticos del flujo real

Para comprender lo que esta sucediendo recordemos que cuando se en-cuentra el flujo asociado al campo vectorial, se esta resolviendo la ecuaciondiferencial que define al flujo

(t) = f((t)),


Figura 5: Flujo real de un cero doble, esto es, del campo z2 z

.

Figura 6: Flujo real de un polo simple, esto es, del campo 1zz

.


por lo que:

los valores regulares del flujo corresponden a puntos en C donde la fun-cion f(z) es analtica y distinta de cero,

mientras que los valores crticos del flujo corresponden a los ceros y lassingularidades de f(z).

Vease la figura 7.

Figura 7: Flujo real donde se muestra el caso de (a) puntos singulares, (b) cerode orden 3, y una singularidad tipo polo de orden 3.

Es por esto que cuando se visualizan campos vectoriales es preciso conside-rar, de manera especial, no solo a las singularidades del campo, sino tambiena sus ceros.

3.4. Pullbacks de campos vectoriales analticoscomplejos

Sea : Cz Cw

una aplicacion analtica, tal que w = (z) y supongamos que (z) 6= 0, en-tonces vectores tangentes en z son llevados a vectores tangentes en w mediantela derivada de . De modo que:

Lema 3.6. Si Y (w) = g(w) w

es un campo vectorial analtico complejo en Cwla aplicacion define un campo vectorial analtico complejo X(z) = f(z)

z,

llamado el pullback de Y denotado por X = (Y ) y la relacion entre X y Yesta dada por

f(z) =g((z))

(z).

Demostracion. La demostracion es consecuencia inmediata de (7).


Como ejemplos de campos vectoriales analticos complejos y pullbacks te-nemos:

Ejemplo 3.7. El campo vectorial constante

Y (w) =

w

no tiene ceros en C; sin embargo, utilizando (z) = 1/z vemos que

X(z) = (Y )(z) = z2 z

tiene un cero de orden 2 en el origen, de donde se sigue que Y (w) tiene uncero doble en .Ejemplo 3.8. Transformaciones fraccionales lineales. Sea Y (t) = g(t)

t

un campo vectorial analtico complejo en Ct y consideremos el pullback va unbiholomorfismo de C:

T (z) =az + b

cz + d: Cz Ct, ad bc 6= 0,

entonces

T (Y (t)

)(z) =

(cz + d)2

(ad bc)g(T (z))

z.

El caso particular visto en el ejemplo previo es T (z) = (1/z), donde

T (Y (t)

)(z) = z2g(1/z)

z.

Ejemplo 3.9. Campo vectorial constante. El campo vectorial

X(z) =

z

se obtiene como pullback va (z) = exp(z) a partir del campo

Y (t) = t

t.

4. Campos newtonianos

En los ochenta Smale [11, 16] introdujo el concepto de campo newtonianoen la definicion de las graficas (o grafos) newtonianas que surgen del estudiodel metodo de Newton para encontrar los ceros de un polinomio.


Tomando su definicion como gua tenemos:

Definicion 4.1. Un campo vectorial complejo X(z) = f(z) z

se dice que esun campo newtoniano si se puede representar como

X(z) = (z)(z)

z,

para alguna funcion analtica .

De aqu se ve inmediatamente que:

Lema 4.2. Un campo es newtoniano si y solo si proviene de t t

va pullbackprecisamente por .

Demostracion. Es inmediato de las definiciones.

Comentario 4.3. Notemos tambien que si un campo X(z) = f(z) z

es new-toniano, la funcion analtica que lo define es el recproco de una derivadalogartmica:

1

f(z)=

z

(log ((z))

)=

(z)(z)

.

4.1. Caso meromorfo

Esta ultima observacion da lugar a que en el caso de que f(z) sea unafuncion meromorfa en el plano, exista una formula explcita para (vease[4]). La idea basica de la prueba es utilizar el Teorema de Mittag-Leer paraexpresar al campo en terminos de una expansion tipo fracciones parciales yluego integrar.

A manera de ejemplo consideremos el caso de los campos racionales (desa-rrollado por Benzinger en [5]), esto es, cuando

f(z) = p(z)q(z)

(14)

con q, p C[z] sin factores comunes, y p monico. En particular tendremos que

p(z) =Jj=1

(z zj)mj

q(z) = bKk=1

(z sk)nk ,(15)

donde mj, nk Z y b C son constantes.Tendremos entonces (vease Teorema 2.3 de [5]):


Teorema. (Benzinger 91) Sea f(z) una funcion racional como en (14). En-tonces f(z) satisface

f(z) = (z)(z)

si y solo si existen polinomios unicos Pj, j = 0, . . . , J con Pj(0) = 0, y cons-tantes unicas Aj C, j = 1, . . . , J , tales que:

(z) = CeP0(z)Jj=1

(z zj)AjePj(1

zzj ), (16)

donde C C es una constante arbitraria.

Demostracion. ():Por el algoritmo de la division tenemos que

q

p= d+

r

p, (17)

con d, r C[z] de grado menor que grado de p. Enseguida consideremos ladescomposicion en fracciones parciales de r

p:

r(z)

p(z)=

Jj=1

(mjk=1

Ajk(z zj)k

)

=Jj=1

(Aj0z zj +

mjk=2

Ajk(z zj)k

).

(18)

Sean Pj C[z], j = 0, . . . , J polinomios, tales que:

a) Pj(0) = 0,

b) P 0(z) = d(z) y

c) P j(z) =mjk=2

Ajkzk, para j = 1, . . . , J .

Entonces por (17) tenemos

(log()

)=

(z)(z)

= P 0(z) +Jj=1

(Aj0z zj + P

j

(1

z zj

)), (19)


de modo que integrando obtenemos

log (z) = P0(z) +Jj=1

(log(z zj)Aj0 + Pj

(1

z zj

))+ C, (20)

y exponenciando y renombrando Aj = Aj0 obtenemos

(z) = CeP0(z)Jj=1

(z zj)AjePj(1

zzj ). (21)

La unicidad de los polinomios Pj, j = 0, . . . , J y de Aj se sigue de la condicion(a) y de la expansion en fracciones parciales.():Es un calculo elemental.

As, tenemos una caracterizacion explcita, y mas importante aun, un meto-do para calcular la (z) en el caso en que tenemos una funcion racional f(z)(en realidad s se tiene una expansion de Mittag-Leer del recproco de lafuncion que define al campo).

Ejemplo 4.4. Sea f(z) = z(z+1)(z3)(z1)(z2) , entonces encontramos que

q(z)

p(z)=

(z 1)(z 2)z(z + 1)(z 3) ,

de modo que d(z) = 0 y descomponiendo en fracciones parciales se ve que

q(z)

p(z)=

1/6

z 3 +2/3z

+3/2

z + 1,

de modo que

(log()) =q(z)

p(z)=

1/6

z 3 +2/3z

+3/2

z + 1,

integrando obtenemos

log((z)) = log z2/3 + log(z + 1)3/2 + log(z 3)1/6 + C,

de modo que(z) = Cz2/3(z + 1)3/2(z 3)1/6.

De modo que el campo X(z) = z(z+1)(z3)(z1)(z2) es pullback de t t va , por lo

que es un campo newtoniano.

Ejemplo 4.5. Ahora consideremos el caso opuesto: supongamos que sabemos


que(z) = e1/z(z 1)

y encontremos la funcion racional asociada al campo newtoniano dado por

X(z) = (z)(z)

z.

En este caso, calculando la derivada logartmica de vemos que

(z)(z)

= (log((z))) =

z

(1

z+ log(z 1)

),

=1z2

+1

z 1 ,

=(z 1) + z2z2(z 1) ,

=z2 z + 1z2(z 1) .

(22)

Por lo tanto,

X(z) = z2(z 1)

z2 z + 1

z.

Ejemplo 4.6. El campo dado por

X(z) = 12 + 1

z(z 1)z

2

2+1

z

es un campo newtoniano que proviene del pullback del campo t t

va

(z) = z

2(z 1).

4.2. Caso general: pullback de t t va cubrientesramificados

Si el campo newtoniano no es un campo meromorfo, de todas manerasproviene del campo t

tva pullback por una funcion : dado un campo

newtoniano X(z) = f(z) z

en principio se tiene que

(z) = exp

[ z 1

f

],

pero en general no se tiene una expresion explcita para (en [4] se exploraen mayor detalle esta pregunta, incluyendo el caso de campos descritos por


funciones elpticas).

Sin embargo, tomando el punto de vista de que la es un cubriente ra-mificado de la esfera de Riemann, C, en s misma, podemos construir camposnewtonianos.

Definicion 4.7. Un cubriente : V W es una aplicacion continua so-brejectiva, tal que w W, un abierto U 3 w en W con la caractersticaque 1(U) es una union disjunta de abiertos O V , cada uno de los cualessatisface que : O U es un homeomorfismo.

Un cubriente ramificado : V W es un cubriente excepto en un numerofinito de puntos de W . A los puntos excepcionales se les conoce como puntosde ramificacion.

Por ejemplo, si V y W son superficies de Riemann y : V W esanaltico no constante, entonces P W finito, tal que : V W es uncubriente, donde W = W\P y V = 1(W ).

Ahora s, consideremos el siguiente esquema:

Sean : Cz Cw, cubrientes analticos ramificados, entonces es posi-ble hacer pullback va los de campos complejos. Notemos ademas que lacomposicion finita de cubrientes ramificados es un cubriente ramificado, porlo tanto:

Teorema 4.8. Sea Y (t) = g(t) t

un campo complejo en Ct, si

1 : Cz Cwy

2 : Cw Ctson cubrientes ramificados, entonces X(z) = f(z)

zes el pullback va =

2 1 de Y (t) si y solo si

f(z) =g((z))

(z)=

g(2(1(z)))

2(1(z)) 1(z)

.

De manera que si tomamos Y (t) = t t

podremos construir campos new-tonianos. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 4.9. El campo complejo X(z) = tan(z) z

es el pullback va (z) =sin(z) del campo complejo Y (t) = t

t, por lo que es un campo newtoniano.

Ejemplo 4.10. El campo X(z) = (cosh(z) + 1) z

se obtiene de t t

vapullback con = 3 2 1, donde 3(s) = exp(s), 2(w) = w1w+1 y1(z) = exp(z). Tiene ceros en zn = i(2n+ 1)pi, n Z.


Ejemplo 4.11. El campo X(z) = exp(z) z

se obtiene de t t

va pullbackcon = 2 1, donde 2(w) = exp(w) y 1(z) = exp(z). Tiene unasingularidad esencial en .

5. Visualizacion de campos newtonianos

Pasemos ahora al metodo que nos permitira visualizar campos newtonianos.La idea detras del metodo consiste en que las trayectorias del campo vectorialse encontraran en las curvas de nivel de una cierta funcion auxiliar, de maneraque para visualizar la trayectoria bastara visualizar las curvas de nivel de dichafuncion auxiliar.

Sea

X(z) = f(z)

z= (z)

(z)

z

un campo newtoniano, recordemos que las trayectorias z(t) son solucion de z(t) =

(z(t)

)(z(t)

) ,z(0) = z0.

(23)

5.1. La observacion fundamental

Una primera observacion esta dada por el siguiente:

Lema 5.1. Una trayectoria z(t) satisface

(z(t)

)= (z0)et, (24)

si y solo si z(t) es una trayectoria del campo newtoniano correspondiente a .

Demostracion. Se sigue de diferenciar implcitamente la ecuacion

(z(t)

)= (z0)et,

esto es:(z(t)

)z(t) = (z0)et

de modo que

z(t) = (z(t)

)(z(t)

) ,por lo que z(t) es solucion a (23).


En otras palabras, si un rayo, en la imagen de , contiene a (z0), en-tonces tambien contiene a

(z(t)

), t R.

Comentario 5.2. (Interpretacion geometrica del lema)La interpretacion geometrica de esta observacion se puede entender en termi-nos del pullback como sigue: Las trayectorias de z(t) provienen del campo quees pullback (va ) del campo t

tcuyas trayectorias son lneas rectas (para-

metrizadas por et) que unen 0 con . Vease la figura 8.

Figura 8: Las trayectorias z(t) pasan a trayectorias de t t

bajo el cubriente.

Consideremos ahora el campo vectorial newtoniano perpendicular al origi-nal, esto es:

X() = if(z)

z= ()

()

,


con su correspondiente funcion. Se sigue entonces que

i (log ) = i

=

= (log ) ,

de donde se sigue que = i.

Lema 5.3. Sea el cubriente correspondiente a un campo newtoniano X, ysea el correspondiente cubriente asociado a X, entonces

log|(z)| = arg {(z)}y

log|(z)| = arg {(z)}.Demostracion. Consideremos log , puesto que = i, se sigue que

log|(z)|+ i arg {(z)} = log (z)= log i(z)

= i log (z)= i log|(z)|+ arg {(z)} .

(25)

Llegamos ahora al resultado principal.

Teorema A. Sea z(t) una trayectoria de un campo newtoniano

X(z) = (z)(z)

z,

entonces

a) log|(z(t))| = arg {(z0)} es constante a lo largo de las trayectorias, yb) log|(z(t))| = t+ log|(z0)| es lineal a lo largo de las trayectorias,

donde z0 = z(0).

Demostracion. Para (a) tenemos que por el lema anterior

log|(z(t))| = arg {(z(t))}y como

(z(t)

)= (z0)et, entonces

arg{

(z(t)

)}= arg {(z0)}

es constante.


Para (b) de nuevo, puesto que (z(t)

)= (z0)et, vemos que

log|(z(t))| = t+ log|(z0)|.

Corolario 5.4. (Visualizacion de campos newtonianos)

1. Las trayectorias de un campo vectorial newtoniano

X(z) = (z)(z)

z

corresponden a las curvas de nivel de la funcion real

h(z) = log|(z)| = arg {(z)}.

En particular, para visualizar la trayectoria que pasa por el punto z0 Ces necesario graficar la curva de nivel h(z) = h(z0).

2. Ademas, las curvas de nivel de

g(z) = log|(z)| = arg {(z)}

definen bandas de igual tiempo (en el sentido de que las trayectorias z(t)que intersectan a dicha banda, tardan el mismo tiempo en atravesarla).

3. Por demas no existe propagacion de error al encontrar las trayectorias.

5.2. Implementacion

Dado un campo newtoniano

X(z) = f(z)

z= (z)

(z)

z

se requiere, de acuerdo al Corolario 5.4, graficar las curvas de nivel de la funcionreal h(z) = log|(z)| = arg {(z)}.

Esto se puede hacer tanto en el plano como en la esfera de Riemann,o en ambas partes. Por demas es conveniente, computacionalmente, graficarbandas de nivel, donde definimos una banda de nivel asociada al intervalo [a, b)como aquella region en el plano (o la esfera) donde el valor de la funcion h(z)pertenezca a dicho intervalo.

Se opto por la visualizacion tanto en la esfera de Riemann como en el planoutilizando bandas de nivel fijas (todos los intervalos son de la misma longitud)y se siguio el siguiente algoritmo:


1. Se define el tamano del intervalo, y el numero de colores a utilizar,

2. Se crea una triangulacion de la esfera utilizando un algoritmo recursivoque asegura una triangulacion casi uniforme,

3. Para cada triangulo de la triangulacion de la esfera se encuentra el ba-ricentro z y mediante proyeccion estereografica, se encuentra el corres-pondiente punto z C,

4. Se calcula el valor h(z),

5. Se asigna un color de entre los elegidos, de manera que cada color tieneasignado un intervalo de la longitud elegida; al acabarse los colores estosse repiten,

6. Se colorea el triangulo correspondiente con el color asignado (tanto enla esfera como el correspondiente triangulo en el plano).

De esta manera se asegura que la resolucion sea uniforme en la esfera, no as enel plano; sin embargo, debido a la proyeccion estereografica, los triangulosgrandes en el plano quedan muy lejos del origen.

En las siguientes figuras presentamos, a manera de ejemplo, la visualiza-

cion, tanto en el plano como en la esfera, de los campos X(z) = z2(z1)z2z+1

z

(figura 9) y de X(z) = tan(z) z

(figura 10).

Figura 9: Visualizacion del campo X(z) = z2(z1)z2z+1

z

, tanto en el plano com-plejo como en la esfera de Riemann. Las fronteras de las bandas de nivelrepresentan lneas de flujo del campo.

Se puede observar que en estas figuras es muy sencillo identificar los ceros,pero es difcil observar donde se encuentran los polos; para solucionar estosera conveniente poder trazar curvas de nivel especficas, esto es, trayectoriasdel campo que pasen por un punto z0 determinado.


Figura 10: Campo X(z) = tan(z) z

visualizado en el plano complejo comoen la esfera de Riemann, utilizando las tecnicas descritas en el texto. Lasfronteras de las bandas de nivel representan lneas de flujo del campo.

Curvas de nivel especficas

A veces es conveniente graficar curvas de nivel especficas: supongamos quese selecciona un punto especfico z0 en el plano y se quiere graficar la curva denivel con valor h0 = h(z0) (esto es, la trayectoria del campo newtoniano quepasa por z0). Como la unidad fundamental utilizada para la visualizacion esla triangulacion de la esfera, se requieren pintar los triangulos que intersectena la curva de nivel y se ve que:

la funcion H(z, z0) = h(z) h(z0) puede ser cero en el interior de alguntriangulo, a pesar de que en el baricentro del mismo no lo sea,

no se quieren pintar triangulos que no intersecten a la curva de nivelH(z, z0) = 0.

Para lograr esto se considero el siguiente algoritmo:

1. Para cada triangulo de la triangulacion se encuentra su baricentro z,as como la distancia maxima del baricentro a cada vertice,

2. Utilizando el hecho de que el gradiente de una funcion con valores realesapunta en la direccion de maximo crecimiento, sea e = H(z

,z0)|H(z,z0)| el vector

unitario que apunta en la direccion de maximo crecimiento (notese queH(z, z0) es de clase C

, puesto que es la parte real de una funcionanaltica),

3. Recordando que el signo de H cambia si y solo si H pasa por 0, seconsidera el producto

H(z + e, z0) H(z e, z0)


y entonces la curva de nivel H = 0 intersecta al triangulo si el productoes menor que cero, por lo que si esto ocurre se pinta el triangulo asociadoa z.

As, se pintaran triangulos que intersecten o esten contiguos a uno que s in-tersecte a la curva H = 0 (ver figura 11).

Figura 11: Visualizacion del campo X(z) = z2(z1)z2z+1

z

, tanto en el planocomplejo como en la esfera de Riemann. Se han trazado las curvas de nivelcorrespondientes a las lneas de flujo que pasan por los polos del campo.

6. Generalizaciones y problemas abiertos

A continuacion presentamos diversas direcciones por donde se puede gene-ralizar lo que se ha presentado en este minicurso. Comenzamos con generalizara superficies complejas, esto es, a variedades analticas; enseguida presentamosideas de como se puede llevar a cabo el presente trabajo a campos vectorialessobre Rn, generalizando despues a variedades diferenciables de dimension n, yfinalmente presentamos una pregunta abierta relacionada con el caso generalde campos newtonianos.

6.1. Campos analticos en variedades complejas

Una generalizacion inmediata de lo que se ha presentado en este minicursoes llevar a cabo la visualizacion de campos analticos complejos sobre varie-dades complejas. En el caso de dimension (compleja) 1, la generalizacion esinmediata, pues utilizando las cartas, que una variedad compleja tiene pordefinicion, se puede llevar a cabo la visualizacion en C y despues mediante lascoordenadas de la carta llevarla a la variedad compleja.


Para poner esto en un contexto mas formal, recordemos:

Definicion 6.1. Un espacio topologico V es una superficie compleja si existeuna coleccion A de conjuntos abiertos U V junto con unos homeomorfismosf : U C asociados a cada U, que llamaremos coordenadas de la carta,tales que:

los abiertos cubren a la superficie: U = V,

las coordenadas f satisfacen que dados U, U A con U U 6= , setiene que las funciones de transicion

f = f1 f : f(U U) f(U U)

son biholomorfismos (f es analtica, uno a uno, sobre y con inversaanaltica).

A la pareja (U, f) se le llamara una carta y a la coleccion de todas ellas sele llamara un atlas de la variedad.

As pues, para generalizar el metodo anteriormente descrito a variedadescomplejas, bastara con tomar el campo complejo X definido localmente en Vy mediante pushforward con la coordenada de la carta f encontrar el campoX = fX correspondiente en C. Si este campo es newtoniano en C, entoncesse procede a calcular sus trayectorias en C para posteriormente llevarlas a Vmediante f1 , quedando as resuelto el caso de variedades complejas.

6.2. Campos diferenciales en Rn

En esta direccion s hay avances sustanciales (vease [15] para mayores de-talles). Aqu solo mencionamos lo mas sobresaliente, dando un esquema de lospasos a seguir, pero sin entrar en los detalles.

Dada una funcion F : Rn Rn diferenciable, localmente 1-1, y con inversadiferenciable, entonces F define un campo vectorial

H(x) = [DF (x)]1 F (x),

donde DF (x) es la matriz jacobiana de derivadas parciales. A este campo H sele conoce como el campo newtoniano asociado a F , pues satisface la ecuaciondiferencial

dx

dt= H(x).

Por otra parte, dado un campo vectorial H(x), se puede mostrar que, enun punto regular x0 de H con H(x0) 6= 0, existe F : Rn Rn, tal que H es el


campo newtoniano asociado a F . As mismo, H y F satisfacen

DF (x)H(x) = F (x). (26)

Esta ultima ecuacion, al igual que en el caso complejo, esta ntimamenteligada a las soluciones de

dx

dt= H(x), (27)

pues si x(t) satisface que

F (x(t)) = e(tt0)F (x(t0)),

entonces es una trayectoria solucion de (27). De modo que considerando F =(F1, F2, , Fn) y H = (H1, H2, , Hn), la relacion (26) se reescribe como

H(x) Fi(x) = Fi(x), i = 1, 2, , n.

De modo que proponiendo que Fi = exp [Gi], se tiene que

H(x) Gi(x) = 1

y cada diferencia Gij = Gi Gj satisface

H(x) Gij(x) = 0,

de modo que las Gij son constantes en las trayectorias dedxdt

= H(x).

En este caso, de todas maneras hay que resolver unas ecuaciones diferen-ciales para poder encontrar las Gij, pero dichas ecuaciones son mas sencillasque las originales que definen a las soluciones de (27).

6.3. Campos diferenciales en variedades diferenciales

Ya teniendo resuelto el caso en Rn, una opcion inmediata es generalizarloa variedades diferenciales de nueva cuenta utilizando cartas. La descripcion escompletamente analoga a la que se da en la seccion 6.1, por lo que se omite.

6.4. Avances y problemas abiertos

Entre los problemas abiertos que se observan, destacamos solamente elinteresante problema de describir con mayor detalle los campos newtonianos;en relacion a esto ya se tienen algunos avances en esta direccion:


En el caso complejo: se sabe ya que todo campo vectorial analtico com-plejo puede ser obtenido va pullback a partir del campo t

t(vease

[4]).

En el caso de variedades complejas: recientemente se ha concluido quetodo campo vectorial analtico complejo en una superficie compleja esun campo newtoniano (vease [2]).

Sin embargo, en el caso real, aun quedan muchas preguntas por responder.Si bien todo campo vectorial real de dimension 2, cuyas componentes satisfacenlas ecuaciones de Cauchy-Riemann, se puede describir como un campo vectorialanaltico complejo, y por ende es un campo newtoniano, aun quedan abiertaslas siguientes preguntas:

En el caso real: cuales campos H permiten una descripcion de las Gijque no necesiten integracion numerica para obtenerse?, se le puede darotra descripcion mas clara a las Gij?

En el caso de variedades reales: se puede dar una descripcion mas cla-ra de cuales campos en las variedades diferenciales reales admiten unasolucion por estos metodos?

Bibliografa

[1] Alvarez Parrilla, A. Complex Analytic Vector Field Visualization withoutNumerical Integration, preprint, 2008.

[2] Alvarez Parrila, A.; Fras Armenta, E.; Yee Romero, C. Complex AnalyticVector Fields on Riemann Surfaces as Newton Vector Fields. En prepa-racion.

[3] Alvarez Parrilla, A.; Mucino Raymundo, J. Dynamics of Complex AnalyticVector Fields with Essential Singularities, preprint, 2008.

[4] Alvarez Parrilla, A.; Gomez Arciga, A.; Riesgo Tirado, A. Newton VectorFields on the Plane and on the Torus. Aceptado en Complex Variable andElliptic Equations. Diciembre de 2008.

[5] Benzinger, Harold E. Plane Autonomous Systems with Rational VectorFields. Trans. Amer. Math. Soc. 326 (1991), no. 2, pp. 465483.

[6] Benzinger, Harold E.: Julia Sets and Differential Equations. Proc. Amer.Math. Soc. 117 (1993), no. 4, pp. 939946.


[7] Burns, Scott A.; Palmore, Julian I. The Newton Transform an OperationalMethod for Constructing Integrals of Dynamical Systems. Advances inFluid Turbulence (Los Alamos, NM, 1988). Phys. D 37 (1989), no. 1-3,pp. 8390.

[8] Jongen, H.Th.; Jonker P. and Twilt, F. The Continuous, Desingulari-zed Newton Method for Meromorphic Functions. Acta Appl. Math., 13,(1988), pp. 81121.

[9] Jongen, H.Th.; Jonker P. and Twilt, F. On the Classification of PlaneGraphs Representing Structurally Stable Rational Newton Flows. J. Comb.Th. Series B. 15(2), (1991), pp. 256270.

[10] Helminck, G. F.; Kamphof, F. H.; Streng, M. and Twilt, F. The Quali-tative Behaviour of Newton Flows for Weirstrass-Functions. ComplexVariables and Elliptic Equations, 4710, (2002), pp. 867880.

[11] Hirsch, M. W.; Smale, S. On Algorithms for Solving f(x) = 0. Comm.Pure Appl. Math., 32, (1979), pp. 281312.

[12] Mucino-Raymundo, J. Complex Structures Adapted to Smooth VectorFields. Math. Ann. 322, (2002), pp. 229265.

[13] Mucino-Raymundo, J.; Valero-Valdez, C. Bifurcations of MeromorphicVector Fields on the Riemann Sphere. Ergod. Th. & Dynam. Sys. 15,(1995), pp. 12111222.

[14] Newton, T.; Lofaro T. On Using Flows to Visualize Functions of a Com-plex Variable. Mathematics Magazine, Vol. 69, No. 1 (Feb., 1996), pp.2834.

[15] Palmore, Julian I.; Burns, Scott A.; Benzinger, Harold E. Ecology Modelsand Newton Vector Fields. Nonlinearity in Biology and Medicine (LosAlamos, NM, 1987). Math. Biosci. 90, (1988), no. 1-2, pp. 219232.

[16] Smale, S. A Convergent Process of Price Adjustment and Global NewtonMethods. J. Math. Econom. 3, (1976), pp. 107120.

Alvaro Alvarez Parrilla ([email protected])Carlos Yee Romero ([email protected])Selene Solorza Calderon ([email protected])Facultad de Ciencias, Universidad Autonoma de Baja California km 103 ca-rretera Tijuana-Ensenada, Ensenada, Baja California, Mexico.


El -grupo fundamental de un G-espacio*

Luis Loeza Chin **

Resumen

En este artculo el concepto clasico de grupo fundamental se generalizaal -grupo fundamental (X,G) de un G-espacio X. Veremos que el -grupofundamental es invariante bajo tipos de homotopa, introduciremos el conceptode H-grupo de transformacion y finalmente relacionaremos a (X,G) con elgrupo fundamental del espacio de orbitas X/G.

1. Preliminares

Un arco f en (X,G) de orden g (g G) con punto base x0 es un mapeof : I X, tal que f(0) = x0 y f(1) = gx0. A lo largo de esta seccion haremosreferencia unicamente a arcos basados en x0. Sea f1 de orden g1 y f2 de ordeng2, definimos el arco f1 + g1f2 de orden g1g2 como sigue:

(f1 + g1f2)(s) =

{f1(2s), s [0, 1/2];g1f2(2s 1), s [1/2, 1].

Sean f1 y f2 arcos del mismo orden g, se dice que son homotopicos y lodenotamos por f1 f2, si existe una homotopa F entre f1 y f2 relativa a{x0, gx0}, es decir, un mapeo F : I I X, tal que:

F (s, 0) = f1(s) F (0, t) = x0

F (s, 1) = f2(s) F (1, t) = gx0.

decimos que dos arcos del mismo orden estan relacionados si y solo si son ho-motopicos; esta relacion es una relacion de equivalencia. La clase de homotopadel arco f de orden g se denota por [f ; g]; dos clases de homotopa [f ; g1] y[f ; g2] de ordenes diferentes son diferentes aun cuando g1x0 = g2x0.

Es facil de verificar que si f1 f 1 de orden g1 y f2 f 2 de orden g2,entonces f1 + g1f2 f 1 + g1f 2 de orden g1g2, as la ecuacion

[f1; g1] [f2; g2] = [f1 + g1f2; g1g2]*Este artculo corresponde a una conferencia impartida en el Seminario de Ecuaciones

Diferenciales y Sistemas Dinamicos febrero-noviembre de 2008.**Departamento de Fisca y Matmatica IIT-UACJ, [email protected]

56 L. Loeza

define una regla de composicion entre las clases de homotopa; esta operaciones asociativa. Si e denota el elemento neutro de G y ex0 es el camino constanteen x0, entonces [ex0 ; e] es el neutro de esta operacion; mas aun, si denotamospor f al camino f recorrido en sentido inverso, entonces

[f ; g] [g1f ; g1] = [ex0 ; e]

con lo cual el conjunto de clases de homotopa de arcos de orden algun elementode G y con base en x0 es un grupo al que denotamos por (X, x0, G) y lollamamos grupo fundamental en x0 del grupo de transformacion (X,G).

Existe una manera canonica de relacionar a los grupos G, pi1(X) y (X,G)de la siguiente forma: sea i : pi1(X) (X,G) el monomorfismo dado por[f ] 7 [f ; e] y j : (X,G) G el epimorfismo dado por [f ; g] 7 g. Entoncesla siguiente sucesion es exacta:

0 // pi1(X) // (X,G) // G // 0 , (1)

por lo tanto, podemos decir que (X,G) = [pi1(X), G], es decir, es una exten-sion de pi1(X) por G; esto es, (X,G) es un grupo tal que contiene un subgruponormal N = pi1(X) y su correspondiente grupo factor (X,G)/N = G. Si laextension de grupos fuera unica salvo isomorfismos, dados pi1(X) y G estaracompletamente determinado el grupo (X,G), pero no lo es; por ejemplo,tanto Z6 como S3 son extensiones de Z3 por Z2.

Ejemplo 1.1. Es facil ver que si G es el grupo trivial, entonces

(X, x0, G) = pi1(X, x0).

Ahora si X es simplemente conexo, entonces (X, x0, G) = G.Ejemplo 1.2. Consideremos el grupo de transformacion (S1,Z2), donde Z2actua sobre el crculo por antpodas, sea f el arco basado en x0 = (1, 0) de orden1, afirmamos que [f ;1] genera a (S1, x0,Z2). Por lo tanto, (S1, x0,Z2) =Z.

2. Dependencia del punto base

Es ampliamente conocido que pi1(X, x0) = pi1(X, x1) si x1 esta en la mismaarco-componente de x0. Esto puede extenderse al grupo fundamental de ungrupo de transformacion de la siguiente manera:

Sea un arco en X de x0 a x1 y sea f un arco de orden g con base en x0,entonces + f + g es un arco de orden g con base en x1; si f f podemosverificar que +f +g +f +g. As, induce un mapeo entre los grupos

Grupo fundamental equivariante 57

fundamentales (X, x0, G) y (X, x1, G), dado por

: (X, x0, G) (X, x1, G)[f ; g] 7 [+ f + g; g], (2)

el cual resulta ser un isomorfismo. Esto lo podemos resumir en la siguienteproposicion:

Proposicion 2.1. Sea un arco en X de x0 a x1, entonces induce unisomorfismo

: (X, x0, G) (X, x1, G)dado por (2).

Una de las cosas que nos gustara que pasara es que

(X, x0, G) = (X, x1, G)

cuando x1 G(x0). As, supongamos que x1 = gx0 y sea f un arco de orden g1con base en x0, entonces gf es un arco con base en x1 = gx0 y de orden g1 si Gfuera abeliano. Por lo tanto, induce un mapeo entre (X, x0, G) y (X, x1, G)(cuando G es abeliano), dado por

g : (X, x0, G) (X, x1, G)[f ; g1] 7 [gf ; g1], (3)

este mapeo resulta ser un isomorfismo, por lo cual tenemos el siguiente resul-tado:

Proposicion 2.2. Sea (X,G) un grupo de transformacion tal que G es abe-liano, si x1 GX0 = {gx0 | g G, x0 X0}, donde X0 denota la arcocompo-nente de x0. Entonces (X, x0, G) = (X, x1, G).

3. Tipo de homotopa

En la seccion anterior mostramos que siX es arco-conexo la importancia delpunto base es irrelevante; por tanto, a partir de ahora los espacios a considerarseran arcoconexos. Sea (, ) : (X,G) (Y,H) un mapeo categorico, es decir,

(gx) = (g)(x)

para toda pareja (x, g), si f es un arco en X de orden g con base en x0,entonces (f) es un arco en Y con base en y0 = (x0) de orden (g); mas aun,

58 L. Loeza

si f f , entonces (f) (f ). Por lo tanto, (, ) induce un mapeo entreclases de homotopa definido por

(, ) : (X, x0, G) (Y, y0, H)[f ; g] 7 [(f);(g)]

que resulta ser un homomorfismo.

Decimos que dos grupos de transformacion (X,G) y (Y,H) son del mismotipo de homotopa si existen mapeos categoricos

(, ) : (X,G) (Y,H) (, ) : (Y,H) (X,G),

tales que y son isomorfos y y son homotopicos a los mapeosidentidad en X y Y , respectivamente. Ahora ya estamos en condiciones deenunciar nuestro siguiente resultado:

Proposicion 3.1. El grupo fundamental de un grupo de transformacion es uninvariante bajo tipos de homotopa.

Prueba: Sean (X,G) y (Y,H) dos grupos de transformacion del mismotipo de homotopa. Sean (, ) y (, ) mapeos categoricos como arriba,consideremos la siguiente sucesion:

(X, x0, G)(,) // (Y, y0, H)

(,)// (X, x1, G)(,) // (Y, y0, H),

donde y0 = (x0), (y0) = x1 y (x1) = y1. Dado que existe una homotopa F

entre y IdX , podemos unir x1 con x0 por medio del arco he(t) = F (x0, t);como (11gx0) = g(x0) = gx1, podemos unir gx1 con 11gx0por medio de hg(t) = F (

11gx0, t). Sea f un arco en X de x1 a gx1,entonces he + f + hg es un arco en X de x0 a

11gx0; dada la homotopaentre (he + f + hg) y he + f + hg, la podemos modificar a una homotopacon extremos fijos (he + f + hg) he + he + f + hg + hg f . Por lo tanto,(, )(, ) es un homomorfismo suprayectivo de (X, x0, G) en (X, x1, G)que mapea clases de arcos de orden g con base en x0 en clases de arcos de ordeng con base en x1; puesto que y son isomorfismos solo las clases dearcos de orden e con base en x0, se mapean en clases de arcos de orden e conbase en x1. Ahora bien, el conjunto de clases de arcos de orden e con baseen x0 es isomorfo a pi1(X, x0) y (

, )(, ); restringido a este subgrupoes el isomorfismo : pi1(X, x0) pi1(X, x1), entonces (, )(, ) esuno a uno y por tanto es un isomorfismo; analogamente (, )(, ) es unisomorfismo. Por lo tanto, (, ) es un isomorfismo.


4. H-Grupo de Transformacion

En [2] se define lo que es un H-espacio y no es difcil de probar que si Xes un H-espacio, entonces pi1(X, x0) es abeliano. Generalizando este conceptoa un G-espacio proponemos la siguiente definicion:

Definicion 4.1. Decimos que un G-espacio es un H-grupo de transformacionsi existe un mapeo continuo : X X X equivariante por coordenadas yun punto x0 X, tales que i ' IdXrel(G(x0)) y j ' IdXrel(G(x0)), dondei, j : X X X son los encajes, tales que i(x) = (x, x0) y j(x) = (x0, x).

Teorema 4.2. Si (X,G) es un H-grupo de transformacion y G, un grupoabeliano, entonces (X, x0, G) es abeliano.

Prueba: Sean f, h dos arcos en X basados en x0 de orden g, k respecti-vamente. Es suficiente probar que f + gh h+ kf , dado que G es abeliano.

Notemos que (XX,GG) es un grupo de transformacion donde la acciones coordenada a coordenada. Sean i, j : X X X como en la definicion 1,consideremos los arcos (if + (g, e)jh) y (jh + (e, k)if) en X X basados en(x0, x0), ambos de orden (g, k) definidos por

(if + (g, e)jh)(s) =

{(f(2s), x0) si s [0, 12 ];(gx0, h(2s 1)) si s [12 , 1].

(jh+ (e, k)if)(s) =

{(x0, h(2s)) si s [0, 12 ];(f(2s 1), kx0) si s [12 , 1].

Como f + gex0 ex0 + f y ex0 + h h + kex0 , entonces (if + (g, e)jh) (jh + (e, k)if); mas aun, dado que (X,G) es un H-grupo de transformacionexiste un mapeo : X X X, tal que i ' IdX y j ' IdX , ambasrelativas a G(x0), es decir, existen homotopas F,G : X I X, tales que:

F (x, 0) = i(x) F (x, 1) = x F (gx0, t) = gx0

G(x, 0) = j(x) G(x, 1) = x G(gx0, t) = gx0

para toda g G. Ahora bien,

[(if + (g, e)jh)(s)] =

{i(f(2s)) s [0, 1

2];

gj(h(2s 1)) s [12, 1].

definamos H : I I X como

H(s, t) =

{F (f(2s), t) s [0, 1

2];

gG(h(2s 1), t) s [12, 1].

60 L. Loeza

Puede verificarse que H es una homotopa entre (if + (g, e)jh) y f + ghrelativa a {x0, gkx0}. Analogamente (jh + (e, k)if) h + kf , como escontinua, entonces (if + (g, e)jh) (jh+ (e, k)if) y por lo tanto, f + gh h+ kf .

5. Relacion con pi1(X/G)

Recordemos que si : X X/G es un mapeo cubriente, por ejemplo,cuando la accion es propiamente discontinua, entonces la siguiente sucesion esexacta:

0 // pi1(X) // pi(X/G) // G // 0 (4)

Por lo tanto, dado (1) y el lema de la serpiente, si es un mapeo cubriente,entonces (X,G) = pi1(X/G).

En particular el ejemplo 2 sera una consecuencia inmediata de lo anterior,pues la accion libre de un grupo finito en un espacio hausdorff es propiamentediscontinua. Este resultado se puede generalizar de la siguiente manera:

Teorema 5.1. Sea X un espacio arco conexo y G un grupo que actua libre-mente en X, supongamos que : X X/G es una fibracion con la propiedadde levantamiento unico de caminos. Entonces

(X,G) = pi1(X/G).

Prueba: Sea f un camino en X con base en x0 de orden g y x0 = (x0).Consideremos el mapeo

# : (X,G) pi1(X/G)[f ; g] 7 [(f)]

que claramente es un homomorfismo. Veamos que # es biyectivo: supongamosque [(f)] = [ex0 ] = [(ex0)], entonces (f) ' (ex0), lo que implica quef ' ex0 , as f(1) = gx0 = x0; por tanto, g = e; mas aun [f, g] = [ex0 , e]. Ahorabien, sea [h] pi1(X/G), es decir, h es un lazo en x0; por hipotesis existe ununico levantamiento h de h, tal que h(0) = x0 y h = (h), entonces

#([h; gh]) = [(h)] = [h],

donde gh es el unico elemento en G, tal que h(1) = ghx0, con lo cual se com-pleta la prueba.


Bibliografa

[1] M. Armstrong. The Fundamental Group of the Orbit Space of a Disconti-nuous Group. Proc. Cambridge Philos Soc. 64, (1968), pp. 299-301.

[2] C. Kosniowski. Topologa algebraica. Reverte, 1992.

[3] F. Rhodes. On the Fundamental Group of a Transformation Group. Proc.London Math Soc. 16, (1966), pp. 635-650.

Luis Loeza Chin ([email protected])Instituto de Ingeniera y Tecnologa, UACJAv. Del Charro num. 450 norte, Ciudad Juarez, Chih., Mexico.C.P. 32310, A.P. 1594-D.


Un vistazo a las teoras de torsion*

Gustavo Tapia Sanchez **

Resumen

Existen varias formas de definir el concepto de teora de torsion (heredita-ria): mediante un funtor de la categora de R-modulos sobre s misma, a travesde una axiomatizacion de ciertas clases de R-modulos, o bien por medio de losllamados filtros de Gabriel, o finalmente como ciertas clases de equivalenciade R-modulos inyectivos. Ademas, el conjunto de teoras de torsion sobre unanillo R forma un marco, es decir, es una retcula completa donde el nfimodistribuye a los supremos arbitrarios. Finalmente mencionaremos algunas delas teoras de torsion mas estudiadas hasta la fecha.

1. Introduccion

En grupos abelianos el concepto de torsion surgio a traves de los elementosde orden finito. Si G es un grupo abeliano, entonces:

t(G) = {g G| n Z {0}, tal que ng = 0}es un subgrupo de G, llamado el subgrupo de torsion; se dice entonces que Ges un grupo de torsion si t(G) = G y es libre de torsion si t(G) = {0}.

Las principales propiedades que se tienen son las siguientes (ver [2]):

1. Si f : G G es un homomorfismo, entonces f(t(G)) t(G), lo quepermite definir la restriccion f |t(G) : t(G) t(G). Por lo tanto, t( )es un subfuntor del funtor identidad sobre la categora de los gruposabelianos.

2. Todos los elementos de t(G) son, por definicion, de orden finito, es decir,t2(G) = t(t(g)) = t(G). Se dice entonces que el funtor t( ) es idempo-tente.

3. Si G se divide entre t(G), el grupo cociente G/t(G) es libre de torsion, esdecir, t(G/t(G)) = {0}. Se dice entonces que el funtor t( ) es un radical.

4. Si G es un grupo de torsion y G es un grupo libre de torsion, entoncesHom(G,G) = {0}.

*Este artculo corresponde a una conferencia impartida en el Seminario de EcuacionesDiferenciales y Sistemas Dinamicos febrero-noviembre de 2008.**Departamento de Fisca y Matmatica IIT-UACJ, [email protected]

64 G. Tapia

5. La clase de todos los grupos de torsion es cerrada bajo subgrupos, co-cientes, sumas directas y extensiones.

6. La clase de todos los grupos libres de torsion es cerrada bajo subgrupos,productos directos, capsulas divisibles y extensiones.

2. Diversos conceptos de teoras de torsion

En la decada de los sesenta del siglo XX, con los trabajos de Dickson([1]), Gabriel ([3]) y Maranda([6]), aparece un concepto general de teoras detorsion para R-modulos en diversas formas equivalentes. Hoy en da, existeuna literatura extensa sobre esta area de investigacion (ver [4], [5] y [9]).

Una forma de introducir el concepto de teora de torsion es (guiados porlas propiedades enunciadas anteriormente en el caso de grupos abelianos) me-diante un funtor t : Mod R Mod R, el cual asocia a cada modulo MRun submodulo de torsion t(M).

Definicion 2.1. Un prerradical r de Mod-R es un subfuntor del funtor iden-tidad sobre Mod-R, es decir, para cada modulo MR se tiene que r(M) M ysi f : M N , entonces f induce por restriccion r(f) : r(M) r(N).

Definicion 2.2. Un prerradical r se llama idempotente si r = r2, es decir, sir(r(M)) = r(M) para todo M ModR, y se llama radical si r(M/r(M)) =0 para todo M ModR.

Dado un prerradical r, podemos asociarle dos clases de R-modulos derechos,como sigue:

Tr = {M ModR| r(M) = M},Fr = {M ModR| r(M) = 0}.

Se tiene entonces el siguiente resultado:

Proposicion 2.3. Tr es cerrada bajo cocientes y sumas directas y Fr es cerradabajo submodulos y productos directos. Como consecuencia, si M Tr y N Fr, entonces HomR(M,N) = 0.

Esto da lugar al siguiente concepto:

Definicion 2.4. Una clase C de R-modulos derechos que es cerrada bajo co-cientes y sumas directas, se llama clase de pretorsion y en caso de quesea cerrada bajo submodulos y productos directos, se llama clase libre depretorsion.

Teoras de torsion 65

Dada C una clase de pretorsion, a cada M Mod R podemos asociarleun submodulo t(M) como sigue:

t(M) ={N M | N C}.

Claramente t(M) C y es el mayor submodulo de M perteneciente a C. De estaforma, C define un prerradical t de ModR, y es obvio que t es idempotente.Tenemos entonces que:

Proposicion 2.5. Hay una correspondencia biyectiva entre los prerradicalesidempotentes de ModR y las clases de pretorsion sobre ModR.

Obviamente cuando el funtor r satisface mas con

memorias de ecuaciones diferenciales

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