memoria

Adrián Fernández Salas- MEMORIA

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INDICE GENERAL

RESUMEN ........................................................................................................... 2 RESUM ............................................................................................................... 2 ABSTRACT .......................................................................................................... 2 AGRADECIMIENTOS .......................................................................................... 3 MEMORIA ........................................................................................................... 4 CAPITULO 1: OBJETIVOS Y ALCANCE ......................................................... 5

1.01. Objetivos globales .............................................................................. 5 1.02. Objetivos específicos .......................................................................... 5 1.03. Limitaciones ....................................................................................... 5

CAPITULO 2: PAUTA DE CÁLCULO DE LA MÁQUINA ASÍNCRONA .............. 7 2.01. Introducción ...................................................................................... 7 2.02. Datos iniciales ................................................................................... 10 2.03. Esfuerzo tangencial ........................................................................... 13 2.04. Dimensiones del rotor ........................................................................ 14 2.05. Entrehierro y longitud total ................................................................ 15 2.06. Bobinados del estator y del rotor ........................................................ 18 2.07. Inducción en el entrehierro y capa de corriente ................................... 20 2.08. Número de espiras en los devanados de una fase del estator ................ 21 2.09. Número de conductores por ranura..................................................... 23 2.10. Nueva inducción ................................................................................ 23 2.11. Dimensiones de la ranura estatórica y rotórica ..................................... 24 2.12. Tensión magnética sobre los dientes del rotor y el estator .................... 30 2.13. Tensión magnética en el entrehierro y factor de saturación ................... 34 2.14. Coronas estatóricas y rotóricas ........................................................... 36 2.15. Tensión magnética total y corriente magnetizante ................................ 39 2.16. Resistencia del estator ....................................................................... 39 2.17. Resistencia del rotor reducida en el estator ......................................... 40 2.18. Inductancia y reactancia de magnetización .......................................... 42 2.19. Inductancia y reactancia de dispersión en el entrehierro ....................... 42 2.20. Inductancia y reactancia de dispersión en las ranuras .......................... 45 2.21. Inductancia de cabeza de dientes (zigzag) .......................................... 47 2.22. Inductancia y reactancia de cabeza de bobina ..................................... 48 2.23. Inductancia debido a la inclinación de la ranura ................................... 51 2.24. Inductancias y reactancias reducidas al estator .................................... 51 2.25. Perdidas en el hierro y mecánicas ....................................................... 52 2.26. Circuito equivalente ........................................................................... 56 2.27. Condiciones nominales....................................................................... 58 2.28. Perdidas, rendimiento, factor de potencia ............................................ 59

CAPITULO 3: MODELO TÉRMICO ................................................................ 61 3.01 Esquema térmico equivalente .............................................................. 61 3.02. Principios de transferencia de calor ..................................................... 62 3.03 Resolución del esquema térmico equivalente ........................................ 72 3.04. Esquema térmico equivalente para el motor de inducción ..................... 73

CAPITULO 4: NORMATIVA APLICADA EN EL DISEÑO DE MÁQUINAS ....... 84 4.1. Introducción a la IEC ........................................................................... 84 4.2. Normativa aplicabe ............................................................................. 84

CAPITULO 5: BIBLIOGRAFIA ...................................................................... 86


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RESUMEN

En el Actual proyecto se presenta una serie de cálculos de diferentes motores

asíncronos y sus posteriores simulaciones con el programa femm42 basado en el

método de los elementos finitos pre programado anteriormente con Matlab. El objetivo

de este proyecto es comprobar la posibilidad de estas máquinas para funcionar

correctamente a partir de unos datos proporcionados por el fabricante desde el punto

de vista electromagnético y térmico.

Como resultados se mostrarán las pautas de cálculo y las diferentes graficas de

características del motor obtenidas con el programa de elementos finitos.

RESUM

En el present projecte es presenta una sèrie de càlculs de diferents motors asíncrons i

les seves posteriors simulacions amb el programa femm42 basat en el mètode dels

elements finits preprogramat anteriorment amb Matlab. L’objectiu d’aquest projecte es

comprovar la possibilitat de aquestes màquines per funcionar correctament a partir

d’unes dades proporcionades per el fabricant des de el punt de vista electromagnètic i

tèrmic.

Com resultats es mostraran les pautes de càlcul i les diferents gràfiques de

característiques del motor obtingudes amb el programa d’elements finits.

ABSTRACT

In the Current project presents a number of calculations from different asynchronous

motors and its simulations done with the finits elements program femm42 pre-

programmed with Matlab. The objective of this project is to test the ability of these

machines to work correctly from data provided by the fabricant from the viewpoint of

electromagnetic and thermal.

As results show patterns of computation and the different graphics of the engine

features obtained with the finite element program.


-3-

AGRADECIMIENTOS

Me gustaría agradecer el siguiente proyecto en primero lugar a mi tutor el señor Don

Ramón Bargalló Perpiñà por su atención ante este proyecto y sus constantes consejos.

En segundo lugar a mi familia que siempre dieron su apoyo.


-4-

MEMORIA


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CAPITULO 1: OBJETIVOS Y ALCANCE

1.1. Objetivos globales

Realización de los pertinentes cálculos mediante una pauta de cálculo diseñada

con Mathcad del análisis en condiciones nominales de la máquina y de sus

temperaturas.

Obtener las gráficas de las simulaciones guardando los datos de las diferentes

iteraciones y que muestre las gráficas.

Obtener los esquemas en régimen permanente de los motores con el programa

Motor-Cad.

1.2. Objetivos específicos

Descripción del procedimiento de cálculo de la máquina asíncrona.

Elaborar un pequeño programa con Matlab para que poder obtener las gráficas

de las simulaciones guardando los datos de las diferentes iteraciones y que

muestre las gráficas.

Preparación de las simulaciones con el programa de elementos finitos femm42

dibujando las chapas de los motores y colocando sus elementos.

Comprobar la viabilidad térmica de los motores.

1.3. Limitaciones

Pese a que los programas de elementos finitos han mejorado mucho en poco tiempo y

que cada vez son más precisos. Las simulaciones no dejan de ser simulaciones y los

valores pueden diferir un poco en relación con la realidad. Así como con las pautas de


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cálculo, hay algunos cálculos que son aproximaciones precisas, pero aproximaciones al

fin al cabo.


-7-

CAPITULO 2:

PAUTA DE CÁLCULO DE LA

MÁQUINA ASÍNCRONA

2.1. Introducción

El Proceso de diseño de una máquina, en general, es un Proceso de iteraciones. Los

primeros pasos en el diseño tienen la finalidad de definir la geometría del motor, es

decir, las dimensiones de la máquina. Después se realiza el diseño eléctrico y

finalmente el sistema de refrigeración. Si el diseño no cumple con el rendimiento

definido inicialmente debido al calentamiento de la máquina provocada por las

pérdidas habrá que pensar en seleccionar otro sistema de refrigeración más eficiente,

volver a la fase inicial del diseño para aumentar las dimensiones de la máquina o a la

fase de la elección de materiales para elegir otros con mejores cualidades para tener

menos pérdidas y evitar sobredimensionar la máquina.


-8-

Ilustración 1: principales dimensiones de la máquina asíncrona

- : diámetro exterior del rotor [m]

- : diámetro interior del rotor [m]

- : diámetro interior del estator [m]

- : diámetro exterior del estator [m] - : anchura de la corona rotórica [m]

- : anchura de la corona estatórica [m]

- : altura ranura del rotor [m]

- : altura ranura del estator [m]

- : anchura del entrehierro [m]


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Principales puntos de diseño de la máquina asíncrona:

2.-Determinación del esfuerzo tangencial, σtan

1.-Datos iniciales

3.-Dimensionamiento del rotor χ, Dr i l'

4.- Ancho del entrehierro, δ, i longitud total, l

5.- Selección de los devanados, definición del número de ranuras, Qs, Qr

6.- Definición de la inducción en el entrehierro, Bmax,δ

7.-Calculo del número de espiras Ns, del factor de bobinado, kw, selección de αi1 y cálculo aproximado

de la fem inducida Em

8.-Número de conductores por ranura y nueva

9.-Defiinición de la nueva inducción

10.-Dimensionamiento de las ranuras del rotor y del estator y elección de una plancha adecuada

11.-Tensiones magnéticas sobre los dientes del rotor y estator

12.-Tensión magnética en el entrehierro, factor de saturación y definición del nuevo valor

13.-Comprovación de la inducción máxima en las coronas estatóricas y rotóricas y tensión magnética

entre ellas

14.-Tensión magnética total y corriente magnetizante

15.-Resistencia del estator y del rotor reducida al estator

16.-Inductancia y reactancia de magnetización

17.-Cálculo de las inductancias y reactancias de dispersión

18.-Cálculo de las pérdidas en el hierro y de las pérdidas mecánicas

19.-Determinación del circuito equivalente, el balance de potencias, las características nominales y

otros datos de interés (FP, rendimiento,…)


-10-

2.2. Datos iniciales

Comenzaremos por determinar los datos iniciales.

Potencia nominal:

o Motores asíncronos: potencia nominal en el eje, PN [W]

o Generadores asíncronos: potencia eléctrica de salida o potencia nominal

PN [W]. Los generadores de inducción toman la energía reactiva de la

red de acuerdo con el factor de potencia. En caso que trabajen como

generadores aislados será necesario una batería de condensadores para

suministrar la potencia reactiva que se necesite (o lo que es lo mismo,

que los condensadores consuman la energía reactiva que produce el

generador). Físicamente esta potencia reactiva sirve para mantener el

campo magnético del estator, ya que la máquina asíncrona no posee un

circuito de excitación independiente (como en el caso de los

generadores asíncronos).

Velocidad nominal en nN [rps] o [rpm] o ΩN [rad/s]

Numero de pares de polos p

Frecuencia nominal fN [Hz]

Tensión nominal VN, tensión de fase Vsph=VN/√3

Numero de fases m

Factor de potencia estimado, cosΦ

Rendimiento η

Permeabilidad en el vacío

Elevación de la temperatura del bobinado, θ

Datos relacionados con el cobre:

o Conductividad del cobre a 20ºC: σCu20ºC=57·106 S/m

o Densidad del cobre: ρCu=8960 kg/m3

o Coeficiente de temperatura del cobre: Cu: 3.81·10-3

Datos relacionados con el aluminio:

o Conductividad del cobre a 20ºC: σAl20ºC=37·106 S/m

o Densidad del cobre: ρAl=2700 kg/m3


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o Coeficiente de temperatura del cobre: Al: 3.7·10-3

Factor de apilamiento, kfe=0.97

Densidad del hierro: ρfe=7600 kg/m3

Tipo de servicio o ciclo de trabajo (S1-S9)

Tipo de carcasa y estructura de la máquina

Clase térmica

Tipo de refrigeración

Propiedades del material magnético.

o Característica B=f(H)

o Característica Pmag=f(B)

Normas aplicadas en el diseño de la máquina

En la siguiente tabla se muestran los rangos definidos empíricamente de la

intensidad y la densidad de flujo magnético, los cuales se pueden utilizar como

base para seleccionar los parámetros de la máquina.


-12-

Tabla 1 : densidad de flujo permitido al circuito magnético según las normas

de máquinas eléctricas

Tabla 2: Valores eficaces permitidos de densidad de corriente J i densidad lineal de corriente A

para diferentes tipos de máquinas.


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Tabla 3: esfuerzo tangencial σtan calculado a partir de los valores de las tablas 1 i 2. Los tres

valores de esfuerzo han sido calculados con la mínima densidad lineal de corriente i densidad de flujo, con sus valores medios y con los valores máximos. Se consideran distribuciones sinusoidales

per la densidad de flujo y densidad lineal de corriente.

2.3. Esfuerzo tangencial

Para comenzar el procedimiento de cálculo que determinara las dimensiones

apropiadas de la máquina, calcularemos el esfuerzo tangencial adecuado para nuestro

tipo de máquina:

(1)

El esfuerzo tangencial tabulado lo obtendremos de la tabla 3. Estos valores dependen

de la densidad de corriente, la capa de corriente y la inducción en el circuito magnético

y el entrehierro. Este punto de partida nos permite comenzar a trabajar con valores

que aproximadamente deseamos, dependiendo de las características que querremos

que tenga la máquina.

Este esfuerzo tangencial produce el par de la máquina cuando se actúa sobre la

superficie del motor.


-14-

2.4. Dimensiones del rotor

El esfuerzo tangencial nos sirve como punto de partida para el diseño de la máquina,

ya que con él se puede comenzar a definir las dimensiones del rotor. Además, será

necesario estimar el par nominal a partir de la velocidad nominal estimada, nN. Habrá

que tener en cuenta también la relación entre la longitud equivalente del rotor y el

diámetro, se tendrá que atender de forma estricta.

A partir del siguiente procedimiento de cálculo obtendremos las principales

dimensiones del rotor.

Comenzaremos calculando el volumen del rotor a partir de la siguiente formula:

(2)

Donde:

- : diámetro exterior del rotor

- : longitud equivalente del rotor

Si el par nominal estimado a partir de nN es:

(3)

Por tanto, el volumen del rotor es:

(4)

La relación entre el diámetro exterior del rotor y la longitud equivalente, X, en las

máquinas asíncronas esta relación viene dada por:

√

(5)


-15-

Por tanto, teniendo en cuenta el volumen del cilindro:

(6)

Y la relación encontramos las ecuaciones que nos definen el diámetro del

rotor y su longitud:

√

(7)

(8)

A partir de los resultados obtenidos y antes de continuar el procedimiento de cálculo,

se deben seleccionar unas medidas de diámetro comerciales, proporcionadas por

cualquier suministrador de planchas.

2.5. Entrehierro y longitud total

La anchura del entrehierro esta en función de la potencia de la máquina y depende del

número de pares de polos, se calcula a partir de las siguientes ecuaciones empíricas:

(9)

(10)

Hay que tener presentes las siguientes consideraciones que pueden hacer variar el

valor obtenido anteriormente:

El entrehierro más pequeño que permite la tecnología actual es de 0.2mm.

Hay que tener en cuenta que el ancho del entrehierro influye en la

ventilación

En máquinas con un servicio duro y las que están alimentadas con un

convertidor de frecuencia el entrehierro se incrementa un 60%.

El valor obtenido se acostumbra a redondear, según su orden de magnitud, de manera

que conseguimos una mejor ventilación tendiendo en cuenta que la anchura sea

coherente con las planchas que se escogen.


-16-

Una vez conocido el valor de la longitud del entrehierro podemos calcular el diámetro

interior del estator:

(11)

Si hay dos canales de ventilación se tendrán que tener en cuenta las oberturas de

estas en la longitud total de la máquina.

Para tener en cuenta los canales de ventilación se utilizará el factor de reducción de la

obertura de la ranura de ventilación, que según las siguientes configuraciones:

Ilustración 2: (a) los conductos de ventilación en el estator i en el rotor se

encuentran opuestos en la misma posición, (b) los conductos de ventilación del rotor i el estator están en diferentes posiciones.

Conductos de ventilación solamente en rotor o estator:

[ (

√ (

)

)]

(12)

Ancho del diente equivalente a los conductos de ventilación:

(13)


-17-

La longitud de la máquina:

(14)

Mismo numero de conductos de ventilación en el rotor y en el estator en posición

opuesta:

[ (

√ (

)

)]

(15)


(16)


(17)

Diferente número de conductos de ventilación en el rotor y en el estator:

[ (

√ (

)

)]

(18)

[ (

√ (

)

)]

(19)


; (20)


(21)


-18-

2.6. Bobinados del estator y del rotor

Comenzamos eligiendo el numero de ranuras por polo y fase, q.

Calculamos el paso de bobinado:

(22)

El número de ranuras del estator será:

(23)

El paso de ranura del estator será:

(24)

El paso polar será del estator:

(25)

Selección de las ranuras del rotor. Se hará de acuerdo con las siguientes tablas, a

partir de las cuales seleccionaremos el número de ranuras del rotor, Qr:


-19-

Tabla 4: Selección del número de ranuras. Solo las combinaciones sin marca son

opciones seguras. Existen inconvenientes para las otras combinaciones. Pares perjudiciales en frenada con corriente de sentido contrario. +, Pares perjudiciales a velocidades positivas. x, vibraciones mecánicas perjudiciales. O, pares síncronos

perjudiciales en la parada.

Tabla 5: Selección del número de ranuras. Solo las combinaciones sin marca son

opciones seguras. Existen inconvenientes para las otras combinaciones (las mismas que en la tabla anterior).


-20-

Tabla 6: Número de ranuras recomendado por rotor con

ranuras inclinadas.

El paso de ranura del rotor será:

(26)

Se recomienda que el paso de ranura este entre unos valores situados entre 7 y 45

mm.

A partir de los resultados obtenidos y antes de continuar con el procedimiento de

cálculo, se ha de comprobar que las características calculadas son proporcionadas por

cualquier suministrador de planchas.

2.7. Inducción en el entrehierro y capa de corriente

La inducción en el entrehierro esta relacionada con el esfuerzo tangencial seleccionado

al principio del procedimiento de cálculo. A partir de las tablas 1 y 3 podemos

seleccionar el valor de la amplitud del primer harmónico de la inducción en el

entrehierro , que tomará un valor que puede variar según la tabla 2 entre 0.7 y 0.9

T. Se considera el primer harmónico ya que se supone que los otros son insignificantes

respecto al primero, de forma que se podría considerar que la inducción en el

entrehierro es sinusoidal. A partir de esta suposición podemos calcular la capa de

corriente en valor eficaz:


-21-

√

(27)

√

(28)

Hay que comprobar que los valores obtenidos están conformes con los que se

muestran en la tabla 2, que para una máquina asíncrona el valor de la capa de

corriente varia entre 30 y 65kA/m.

2.8. Número de espiras en los devanados de una

fase del estator

El número de espiras en el estator se calculará a partir de la siguiente expresión:

√

(29)

Donde la , tensión inducida en el entrehierro, la obtendremos a partir de la tensión

U de alimentación, multiplicándola por una constante de valor:

Si es un motor:

√

(30)

Si es un generador:

√

(31)

El factor de bobinado representa el conjunto de características del bobinado que

hace disminuir la fem inducida, donde v nos indica el harmónico por el cual calculamos

este factor. Para determinarlo tendremos que tener en cuenta los siguientes factores:

Factor de distribución: Representa la diferencia de fase entre las fems

parciales de cada bobina. Las bobinas se distribuyen en ranuras a lo largo de la


-22-

periferia por la cual cosa las fems de cada bobinado están desfasadas y su

suma no es aritmética, sino vertical. Este factor se define como:

[

]

[ ]

[

]

[ ]

(32)

Factor de paso o de recorte: Para eliminar harmónicos, en las máquinas

eléctricas, los devanados no acostumbran a ser diametrales, de manera que se

les recorta el paso un ángulo eléctrico determinado, calculado como:

[

] [

]

(33)

Factor de inclinación: En las máquinas asíncronas, con la finalidad de reducir

los harmónicos, las barras del rotor están inclinadas un ángulo concreto

respecto las del estator. Lo calcularemos con la siguiente expresión:

[

]

[

]

(34)

Siendo s la inclinación medida como la longitud del arco dado por .

Una vez definido cada uno de los factores estamos en condición de calcular el factor

de bobinado:

[

]

[ ]

[

]

[

]

(35)

Finalmente nos queda definir el valor del coeficiente con el cual calcularemos el valor

medio de la inducción, , que inicialmente, considerando una inducción inicial en el

entrehierro será de:

(36)


-23-

2.9. Número de conductores por ranura

Primeramente escogeremos el número de ramas en paralelo, a. Seguidamente

calcularemos el número de conductores totales en el estator:

(37)

Habrá que tener en cuenta las siguientes condiciones:

Para bobinados de simple capa: el número de conductores puede ser par o

impar, es decir, un número entero.

Para bobinados de doble capa: el número de conductores ha de ser par.

De manera que es muy posible que el número de conductores calculados se haya de

redondear hacia el número deseado más cercano.

A continuación se ha de calcular nuevamente el número de espiras en el devanado de

una fase del estator, ya que este cambia por la elección del número de conductores

adecuado. Por tanto:

(38)

2.10. Nueva inducción

El redondeo del numero de conductores, , influye en la inducción. El factor de

saturación, , ha de ser comparado con el obtenido en el punto 2.13 que se verá más

adelante, y si son diferentes dentro de un intervalo concreto se iterará hasta el valor

deseado. El valor inicial es 2/π. En este punto tendremos que considerar el valor

hallado en el punto 13: .

La nueva inducción será:

√

(39)


-24-

2.11. Dimensiones de la ranura estatórica y

rotórica

Para dimensionar las ranuras estatóricas y rotóricas podemos hacerlo de dos maneras:

Dimensionar las ranuras estatóricas y rotóricas teniendo en cuenta la sección

de los conductores por ranura y la sección de la barra que calculamos.

Eligiendo las planchas con unas secciones adecuadas proporcionadas por un

fabricante y comprobar a partir de los factores de ocupación si las planchas

seleccionadas tienen la sección suficiente para poder contener los conductores

que hemos calculado y la sección de la barra que se calculará en este apartado.

En estas notas seguiremos este procedimiento para trabajar con las planchas

suministradas por la empresa.

El primer paso es elegir la inducción límite en los dientes del estator y del rotor. La

tabla 1 nos indica el valor máximo.

Inducción en los dientes del estator:

Inducción en los dientes del rotor:

a. Dimensiones de la ranura del estator

Para dimensionar la ranura del estator seguiremos el siguiente procedimiento de

cálculo con tal de elegir una plancha comercial con ranuras adecuadas en cada caso.

Para determinar la ranura adecuada en cada caso hemos de comenzar calculando la

corriente del estator. Para esto hemos de tener en cuenta los datos iniciales siguientes:

la potencia nominal, la tensión de fase, el factor de potencia, el número de fases y el

rendimiento. Según se trate de un generador o de un motor hemos de:

Para el cálculo de la intensidad del estator de un motor hemos de tener en

cuenta la potencia eléctrica en los bornes de la máquina a partir de los datos

iniciales de la potencia nominal en el eje y el rendimiento:

(40)


-25-

Si se trata de un generador, el dato inicial de la potencia nominal será la

potencia eléctrica en los bornes de la máquina, por tanto, no faltara tener en

cuenta el rendimiento en el cálculo de la corriente del estator:

(41)

Seguidamente tendremos que elegir el valor de la densidad de corriente del estator

con la finalidad de calcular la sección de los conductores. La densidad de corriente

según la tabla 1 para las máquinas asíncronas se encuentra entre los siguientes

valores:

(42)

Por tanto la sección calculada del conductor será:

(43)

A continuación calculamos el diámetro del conductor:

√

(44)

A partir del diámetro calculado hemos de elegir un conductor aislado específicamente

para bobinar con un diámetro normalizado d (que será inmediatamente superior al

calculado), el cual nos puede proporcionar cualquier fabricante.

Una vez sabemos el diámetro normalizado d, hemos de volver a calcular la sección del

conductor , la densidad de corriente J, ya que este variará con el diámetro

normalizado elegido:

(45)

(46)

A continuación calcularemos el área ocupada por los conductores de una ranura:

(47)


-26-

Un factor importante a tener en cuenta es el factor de ocupación que depende

principalmente el material del devanado, la tensión y el tipo de devanado:

Bobinas de las pequeñas máquinas eléctricas generalmente con conductores

asilados en una ranura no aislada (con zona reservada para el aislante de la

ranura), varia, dependen de la calidad del montaje entre:

Factor de ocupación para máquinas de baja tensión definido por las ranuras no

asiladas: , el límite inferior es para conductores circulares

esmaltados y el superior para bobinas prefabricadas de sección rectangular.

El factor de ocupación en máquinas de alta tensión, el aislante ocupa más

espacio y el factor de ocupación varía entre: , siendo el valor

mínimo para conductores circulares y el superior para conductores

rectangulares.

El factor de ocupación en el rotor será:

De todas maneras, el factor de ocupación más habitual en las máquinas eléctricas de

baja tensión es de 0.4 con secciones circulares.

Una vez elegido el factor de ocupación máximo el siguiente paso es

comprobar que la sección de las ranuras del estator de la plancha elegida cumple la

siguiente condición:

(48)

Si no se cumple esta condición habrá que elegir una plancha con una sección de la

ranura del estator más grande.

Finalmente queda definir las dimensiones de la ranura elegida para cálculos

posteriores:


-27-

Ilustración 3: dimensiones de los diferentes tipos de ranuras

Dimensiones para los cálculos:

Estas dimensiones no tienen porque ser las que nos da el fabricante, pero deberán

tener una forma similar a las de la figura 2 de manera que las podremos obtener de

forma aproximada.

Ancho del diente estatórico:


-28-

Ilustración 4: Un diente del estator i dos ranuras estatóricas con

sus dimensiones principales donde hys es la altura de la corona estatórica i la altura de la ranura es igual que la del diente, hs=hd

b. Dimensiones de la ranura del rotor y del anillo

En los motores asíncronos, la corriente del rotor reflejada en el estator es

aproximadamente de la misma magnitud que la componente real de la corriente del

estator, ya que las corrientes magnetizantes solo está en el estator:

(49)

A continuación calcularemos la relación de transformación para el harmónico

fundamental entre el rotor y el estator:

(50)

Sabiendo la relación de transformación y la corriente del rotor reflejada en el estator

podemos calcular la corriente de las barras:

(51)


-29-

A partir de la sección de las ranuras de la barra dadas por el fabricante, , y

considerando un factor de ocupación de las barras del rotor de , calcularemos

la densidad de corriente de las barras con la finalidad de comprobar si el resultado

calculado es coherente con las magnitudes de densidad de corriente dadas en la tabla

2:

(52)

Que según la tabla 2 y dependiendo del material de las barras del rotor:

Seguidamente calcularemos la intensidad del anillo a partir de la siguiente expresión:

(53)

En estos momentos estamos en condiciones de obtener la sección del anillo definida a

partir del corriente del anillo y la densidad de corriente:

(54)

Finalmente definiremos las dimensiones de la ranura del rotor:

Estas dimensiones no tienen porque ser las que nos da el fabricante, pero las

podremos obtener de forma aproximada.

Ancho del diente rotórico:


-30-

Ilustración 5: dimensiones de la ranura

rotórica

A partir de las dimensiones que definen la ranura podemos calcular la sección de la

ranura:

(

)

(

)

(55)

2.12. Tensión magnética sobre los dientes del

rotor y el estator

En este apartado se explicaran dos procedimientos para obtener la tensión magnética

sobre los dientes del rotor y del estator.

a. Procedimiento 1 para obtener la intensidad de campo en los dientes

Este procedimiento consiste en calcular el flujo total a partir de la tensión inducida, y a

partir de este calcular la inducción por ranura, tanto del rotor como del estator, para

después, a partir de la curva BH (la cual es la característica del material) obtener la

intensidad de campo magnético y comprobar que estos valores son coherentes con los

valores límites ( ) definidos en el apartado 2.11.


-31-

Empecemos por calcular el flujo por polo a partir de la tensión .

√

(56)

Si sabemos que la máquina tiene 2p polos, el flujo total será:

(57)

Si la superficie de un diente es , y la multiplicamos por el número de ranuras (que

es el mismo que el de dientes) y teniendo en cuenta el factor de acopio, tenemos que

la inducción total de los dientes del estator y del rotor es:

(58)

(59)

Para encontrar la intensidad de campo en cada caso habrá que hallar, a partir de los

datos del material, la curva BH, y a partir de esta, encontrar:

(60)


-32-

Ilustración 6: representación de la curva BH

b. Procedimiento 2 para obtener la intensidad de campo en los dientes

A continuación calcularemos la inducción de los dientes solucionando la intersección

entre la curva BH y la siguiente recta definida por:

(61)

Donde:

- : es la superficie de la ranura

- : es la superficie del diente

- : valor máximo de la intensidad de campo magnético en el diente. Es el

componente tangencial de la intensidad de campo en la superficie que

comparten el hierro y el aire. Por tanto, tiene el mismo valor que la intensidad

de campo magnético de la ranura.

- : valor máximo de la inducción total.

Se define

:

(62)


-33-

Ilustración 7: solución gráfica a partir de la curva BH i la inducción en el diente

c. Tensión magnética en el diente

La tensión magnética en el diente se define como:

∫

(63)

Donde es la longitud del diente.

De forma simplificada se puede calcular como:

(64)

(65)


-34-

2.13. Tensión magnética en el entrehierro y factor

de saturación

Primeramente calcularemos el factor de reducción de la obertura de la ranura del

estator:

[

√ (

)

]

(66)

A continuación obtendremos el entrehierro equivalente y el factor de Carter

suponiendo, como primera aproximación, que la superficie del rotor es lisa:

(67)

(68)

Seguidamente calcularemos el factor de reducción de la obertura de la ranura del

estator:

[

√ (

)

]

(69)

A continuación obtendremos el entrehierro equivalente y el factor de Carter

suponiendo que la superficie del estator es lisa:

(70)

Finalmente el entrehierro equivalente lo calculamos como:

(71)


-35-

La tensión magnética en el entrehierro la calcularemos a partir de la siguiente

expresión:

(72)

Una vez calculadas las tensiones magnéticas de los dientes y del entrehierro

calcularemos el factor de saturación:

(73)

Este factor lo utilizaremos para comprobar la desviación del valor medio de la

inducción, es decir, el factor de saturación afecta al factor . Cuantos más dientes

estén saturados, más aumenta el factor .

Ilustración 8: Efecto del factor de saturación sobre

el factor

A partir de esta función y del factor de saturación calculado encontramos el factor ,

y si es diferente al factor supuesto en el apartado 2.8, tendremos que iterar en el

apartado 2.9 y calcular la nueva inducción con el valor hallado en este apartado hasta

obtener unos valores similares.


-36-

2.14. Coronas estatóricas y rotóricas

Para comenzar elegiremos la inducción límite en las coronas del estator y el rotor. La

tabla 1 nos indica:

Para determinar la inducción máxima en las coronas rotóricas utilizaremos las

siguientes expresiones:

(74)

(75)

Donde , son dadas por el fabricante de la plancha elegida y el flujo

calcularemos como:

(76)

Si no se cumple con las condiciones iniciales se ha de cambiar la plancha.

El valor máximo de la inducción de la corona del estator se puede calcular en el eje sin

dificultad, ya que la mitad del flujo pasa por ahí.


-37-

Ilustración 9: Flujo de la corona rotórica

La tensión magnética la calcularemos como:

(77)

(78)

Calcularemos los diámetros del estator y el rotor:

(79)

(80)

Donde:

(81)

[ ] (82)

(83)

En máquinas de poca potencia hay que asumir la anchura de la corona rotórica medio

diámetro del eje, ya que este se ha de tener en cuenta por el hecho que permite el

paso del flujo por el.


-38-

La constante c la obtendremos de la siguiente gráfica:

Ilustración 10: Curva para el cálculo de la inducción en las coronas

Para encontrar la intensidad de campo magnético máximo lo haremos interpolando en

la curva BH:

(84)

(85)

Para encontrar el coeficiente c, hemos de interpolar en la curva :

(86)

(87)

Una vez calculadas todos estos datos estamos en condiciones de calcular la tensión

magnética en las coronas rotóricas y estatóricas.


-39-

2.15. Tensión magnética total y corriente

magnetizante

Para calcular la tensión magnética total, es decir, la FMM, sumaremos las tensiones

magnéticas calculadas en los anteriores apartados:

(88)

Calcularemos el valor eficaz de la corriente magnetizante a partir del valor máximo de

la FMM:

√

(89)

√

(90)

2.16. Resistencia del estator

La resistencia de los devanados del estator esta en función de la longitud del

conductor, el número de ramas en paralelo y la sección.

Primeramente calcularemos de forma aproximada la longitud media de una espira:

(91)

Donde l es la longitud del estator de la máquina y es el paso del bobinado. Para

máquinas eléctricas con bobinados prefabricados, es válida la siguiente aproximación.

(92)


-40-

A continuación calcularemos la conductividad del cobre a la temperatura máxima

permitida en los devanados a partir del aumento máximo permitido, :

(93)

Finalmente calcularemos la resistencia DC del estator:

(94)

2.17. Resistencia del rotor reducida en el estator

La resistencia del rotor esta en función de la longitud y la sección de las barras y del

anillo así como de la conductividad del material a la temperatura máxima permitida de

trabajo, definida a partir del incremento de temperatura:

(95)

La resistencia de las barras se calcula como:

(96)

Suponemos que el anillo final tiene la misma altura que la barra del rotor y

se encuentra a una profundidad de . De tal manera que el diámetro medio es:

(

)

(97)

Y la longitud:

(98)


-41-

La resistencia del anillo la calculamos a partir de la sección calculada en el apartado

2.10, de manera que:

(99)

(

)

(100)

Para calcular la resistencia del rotor referida al estator primero hemos de calcular el

siguiente factor:

(

)

(101)

Que para máquinas con rotor de ardilla se simplifica en la siguiente expresión:

(

)

(102)

El factor de inclinación de la ranura se calcula tal y como se indica en el apartado 2.7,

que recordamos a continuación:

[

]

(103)

Siendo la inclinación de la ranura medida como la longitud del arco , que

se puede expresar como:

(104)

Una vez calculados los parámetros anteriores podremos calcular la resistencia del rotor

referida al estator:

(105)


-42-

2.18. Inductancia y reactancia de magnetización

Para comenzar a calcular la inductancia de magnetización primero definiremos el

entrehierro efectivo como aquel entrehierro que también tiene en cuenta la reactancia

del hierro y se calcula a partir de la siguiente proporción.

(106)

( ( )

)

(107)

Una vez calculado el entrehierro efectivo podemos proceder al cálculo de la inductancia

de magnetización:

(108)

De manera que la reactancia de magnetización es:

(109)

2.19. Inductancia y reactancia de dispersión en el

entrehierro

La fuerza contra electromotriz del entrehierro de la máquina se induce a la inductancia

de magnetización de la máquina como resultado de la componente fundamental de

la inducción del entrehierro. A causa de los espacios de las ranuras, se producen

harmónicos en la inducción, que causa que parte de esta no se utilice para inducir la

fem en la inductancia de magnetización. La inductancia de dispersión del entrehierro

(es decir, la inductancia de dispersión de los componentes harmónicos) tiene en cuenta

este efecto.


-43-

Comenzaremos calculando la inductancia de dispersión del estator. Para hacerlo

primero hemos de calcular el factor de dispersión estatórico, que es la proporción entre

la inductancia de magnetización (producto del harmónico fundamental de la inducción)

y la inductancia de dispersión (provocada por el resto de los harmónicos):

∑ (

)

(110)

Para calcular el factor de dispersión estatórico tendremos que calcular el factor de

bobinado correspondiente:

Factor de acortamiento:

[

]

(111)

Factor de distribución:

[

]

[ ]

(112)

Donde:

(113)

A continuación se calcula el factor de dispersión estatórico en dos partes, una

correspondiente a los valores del sumatorio y la otra a los negativos:

∑

[ [ ]

[ ]

[ ]

]

(114)


-44-

∑

[ [ ]

[ ]

[ ]

]

(115)

(116)

En las máquinas asíncronas de jaula de ardilla, esta amortigua los harmónicos, de

manera que la inductancia del entrehierro es menos importante por la cual cosa

aplicamos un factor de reducción debido a la presencia de las barras rotóricas de

aproximadamente 0.8:

(117)

Y la reactancia de dispersión del estator es:

(118)

Para calcular la inductancia y la reactancia de dispersión rotórica, primero calcularemos

el factor de dispersión rotórica a partir de la siguiente expresión:

∑

∑

(119)

Inductancia referida al estator:

(120)

Reactancia referida al estator:

(121)


-45-

2.20. Inductancia y reactancia de dispersión en

las ranuras

Esta inductancia está en función de diversos factores: el tipo, forma y dimensiones de

la ranura que influyen en la permeabilidad magnética de la ranura, en el tipo de

bobinado (simple capa o doble capa), el paso del bobinado, el número de bobinas…

A continuación se muestra el procedimiento de cálculo para la inductancia y reactancia

de dispersión de las ranuras del rotor y del estator.

a. Inductancia y reactancia de dispersión en las ranuras del estator.

Para comenzar el procedimiento de cálculo hemos de definir el factor de permeabilidad

de la ranura, el cual está en función de las características de la ranura y el tipo de

bobinado.

Si el bobinado es de doble capa definiremos la cantidad de paso acortado, , dado por:

(122)

Con el cual definiremos los factores y :

(123)

(124)

En la siguiente figura se muestran las principales magnitudes para definir una ranura

con un bobinado de doble capa:


-46-

Ilustración 11: Dimensiones de una ranura con un devanado de doble capa. En la figura se define J0 i Ju, que representan las densidades de corriente de las espiras de la capa superior e

inferior, que serán diferentes si representan bobinas de diferente fase

Una vez calculados los factores anteriores procedemos al cálculo del factor de

permeabilidad de la ranura, que depende de la forma de estas definidas en la figura 2,

de manera que:

Por el tipo de ranura a, b, c, d, e, se define:

(

)

(125)

Para el tipo de ranura f, g, h:

(

)

(126)

En caso de que los devanados sean de doble capa, utilizaremos las mismas

expresiones anteriores con y los factores .

Una vez calculado el factor de permeabilidad calcularemos la inductancia de dispersión

de las ranuras del rotor:

(127)


-47-

Y la reactancia correspondiente:

(128)

b. Inductancia y reactancia de dispersión en las ranuras del rotor

Utilizaremos un procedimiento de cálculo similar con las mismas formulas que definen

el factor de permeabilidad con la diferencia del hecho de que tener un rotor con jaula

de ardilla supone unos factores y .

Teniendo en cuenta que una barra del rotor es solamente un conductor, la inductancia

de dispersión de las ranuras rotórica se calcula:

(129)

Y la reactancia correspondiente:

(130)

2.21. Inductancia de cabeza de dientes (zigzag)

La inductancia de la cabeza de los dientes se calcula a partir del flujo de dispersión que

fluye por el entrehierro alrededor de la obertura de la ranura, tal y como se muestra en

la figura 5. La fuerza magnetomotriz en la ranura causa una diferencia de potencial

entre los dientes de lados opuestos de la obertura de la ranura, y en consecuencia,

parte de la FMM se utilizará para producir el flujo de dispersión de la cabeza de los

dientes.

La inductancia de la cabeza se determina a partir del siguiente factor de

permeabilidad:

(

)

(

)

(131)

(

)

(

)

(132)


-48-

Ilustración 12: flujo de dispersión creado por la inductancia de la cabeza de los dientes en

los alrededores de la obertura de la ranura

De manera que la inductancia de toda una fase del devanado se obtendrá a partir de la

siguiente ecuación:

(133)

(134)

Y la reactancia de dispersión de la cabeza de los dientes:

(135)

(136)

2.22. Inductancia y reactancia de cabeza de

bobina

Esta inductancia se produce como resultado de las corrientes que pasan por la cabeza

de la bobina. El hecho de que estas tengan una geometría complicada y del flujo de

dispersión y que influyen todas las fases de la máquina dificulta mucho su análisis. Por


-49-

tanto utilizaremos factores de permeabilidad empíricos, y , ya que no resulta

una inductancia muy elevada y una solución exacta es matemáticamente complicada.

Ilustración 13: dimensiones de la cabeza de bobina i flujo de dispersión

(137)

Calcularemos de forma aproximada la longitud de la cabeza de la bobina, , a partir

de la longitud media de una espira, , y la longitud del estator, .

(138)

(139)

Seguidamente determinaremos el factor de permeabilidad del flujo de dispersión de la

cabeza de la bobina:

(140)

Donde y son las longitudes mostradas en la figura 12 y y son factores

de permeabilidad que dependen de la estructura de los devanados, los valores de los

cuales se encuentran en la tabla 7.


-50-

Tabla 7: Factores de permeabilidad de cabezas de bobina en máquinas asíncronas para

diferentes combinaciones de tipos de estatores i rotores

Una vez definidas las magnitudes anteriores procederemos al cálculo de la inductancia

de dispersión en el estator:

(141)

Y la reactancia de dispersión:

(142)

La inductancia de dispersión del anillo de cortocircuito de la jaula se considera a partir

de la siguiente expresión:

[

]

(143)

Donde el factor depende del número de pares de polos:

;


-51-

2.23. Inductancia debido a la inclinación de la

ranura

La inclinación de las ranuras afecta al circuito magnético de la máquina, ya que

provoca que una parte del flujo creado en los devanados del estator, aunque

atravesando el entrehierro, no penetre en la jaula del rotor. Esta parte del flujo

pertenece al flujo de dispersión y se representa por la inductancia de dispersión, .

Para calcularla lo haremos a partir de la inductancia de magnetización, , calculando

primero el factor de dispersión causado por la inclinación de las ranuras, :

(144)

(145)

2.24. Inductancias y reactancias reducidas al

estator

En este apartado se calcularan las inductancias totales del estator y del rotor deducidas

al estator.

a. Inductancia y reactancia total del estator

(146)

Donde:

- : inductancia de dispersión del entrehierro provocada por el estator

- : inductancia de dispersión de las ranuras del estator

- : inductancia de dispersión de los dientes del estator

- : inductancia de dispersión de la cabeza de bobina del estator

- : inductancia de dispersión debido a la inclinación de las ranuras del rotor

La reactancia del estator:

(147)


-52-

b. Inductancia total del rotor reducido al estator

La inductancia de dispersión total de las barras del rotor es la suma de la inductancia d

los dientes y de las ranuras:

(148)

A partir de la inductancia de las barras y del anillo calculamos la inductancia total del

rotor:

(

)

(149)

A partir del factor y la inductancia del entrehierro reducida al estator, obtenemos la

inductancia total del rotor reducida al estator:

(150)

2.25. Perdidas en el hierro y mecánicas

a. Perdidas en el hierro del estator

Uno de los datos iniciales es la característica de las perdidas en el hierro en función de

la inducción, , que el fabricante del material nos proporciona con potencia

perdida por unidad de masa. Por tanto hemos de calcular la masa de cada uno de los

elementos que consideramos de importancia para calcular las perdidas en él. Para

hacerlo seguiremos el siguiente procedimiento:

Volumen del estator:

(151)

Volumen de la corona estatórica:

[(

)

(

)

] (152)


-53-

Masa de la corona estatórica:

(153)

Volumen de las ranuras del estator:

(154)

Volumen de los dientes:

(155)

Masa total de los dientes:

(156)

Masa de los dientes del estator (solamente con y ):

(157)

A partir de la característica del material dado por unidad de masa [W/kg] a una

frecuencia específica (normalmente 50 Hz) y la inducción existente en el material se

pueden determinar las pérdidas en el hierro.

En la siguiente figura se muestra la característica de un material magnético:


-54-

Ilustración 14: característica PFe(B) de un material magnético a una frecuencia específica

(normalmente 50HZ)

Teniendo en cuenta los coeficientes de corrección de las pérdidas en el hierro:

En los dientes,

En la corona estatórica,

Calcularemos las pérdidas en el hierro:

Perdidas en el hierro de la corona estatórica:

( ) (158)

En caso de tener las pérdidas en una frecuencia diferente o solo tener los datos

de las pérdidas en una inducción y una frecuencia , utilizaremos la

siguiente expresión para calcular las pérdidas en la frecuencia e inducción

específicas:

(

)

(

)

(159)

Perdidas en el hierro de los dientes calculados con la masa :

( ) (160)


-55-

Si se da el caso de no tener la característica utilizaremos la expresión

mostrada anteriormente:

(

)

(

)

(161)

Finalmente sumaremos las pérdidas de la corona estatórica y de los dientes del

estator:

(162)

Ya que la frecuencia del rotor es baja, las pérdidas en el hierro del rotor se tienen en

cuenta en las pérdidas adicionales.

b. Perdidas mecánicas

Las pérdidas mecánicas son provocadas por la fricción de los cojinetes y la resistencia

del aire. Estas pérdidas dependen de la velocidad, el tipo de rodamientos, las

propiedades del lubricante, la carga… Para simplificar el cálculo se hace servir la

ecuación experimental dada por Schuisky (1960) en la que se tiene en cuenta la

fricción del aire y las fricciones mecánicas mediante el factor , dado en la tabla 8.

Antes de calcular las pérdidas mecánicas hemos de calcular la velocidad lineal del

rotor:

(163)

Y las pérdidas:

( ) (164)

La ecuación anterior es válida para máquinas con un rango de velocidad normal.


-56-

Tabla 8: factores experimentales de la fricción del aire i mecánica dependen del

tipo de refrigeración

2.26. Circuito equivalente

A continuación calcularemos los parámetros del circuito equivalente de la máquina

asíncrona.

Velocidad de sincronismo y velocidad del eje:

(165)

(166)

Deslizamiento:

(167)

Frecuencia del rotor:

(168)

Para evaluar el efecto skin del rotor consideramos que las barras del rotor son

rectangulares. Primero calculamos el coeficiente adimensional conductor de altura

reducida:

(169)


-57-

√

√

(170)

Donde:

- : altura real del conductor [m]

- : ancho del conductor

- : ancho de la ranura

A continuación calcularemos el coeficiente de efecto skin para la resistencia y la

inductancia:

(171)

(172)

Seguidamente calcularemos la resistencia y la inductancia del rotor reducida al

estator:

(

(

) )

(173)

(

(

) )

(174)

Y seguidamente la reactancia de dispersión reducida al estator:

(175)

Impedancia rotórica:

(176)


-58-

Resistencia de pérdidas en el hierro:

(177)

Impedancia magnetizante:

(178)

Impedancia estatórica:

(179)

Impedancia total:

(180)

2.27. Condiciones nominales

Corriente estatórico:

(181)

Fem E:

(182)

El valor de obtenido se ha de comparar con el valor supuesto en el apartado 7 y si

difiere mas de un 1% al supuesto se ha de iterar al punto 7 y suponer otro valor de la

tensión inducida.


-59-

Corriente rotórica:

(183)

Corriente en vacío:

(184)

Pérdidas mecánicas:

(

)

(185)

Potencia útil a velocidad nominal:

| |

(186)

2.28. Perdidas, rendimiento, factor de potencia

En este apartado se obtiene el balance de potencias, el par y el rendimiento.

Pérdidas en el cobre del estator:

| | (187)

Pérdidas en el cobre del rotor:

| | (188)

Factor de potencia:

| |

(189)


-60-

Pérdidas adicionales:

| | (190)

Pérdidas en el hierro:

| |

(191)

Pérdidas totales:

(192)

Rendimiento:

(193)

Par, relación entre el par máximo y el par nominal y relación entre el par de arranque y

el nominal:

(194)

Par máximo, relación entre el par máximo y el par nominal y relación entre el par de

arranque y el nominal:

(195)

Relación entre la intensidad de arranque y la intensidad nominal:

(196)


-61-

CAPITULO 3:

MODELO TÉRMICO

3.1. Esquema térmico equivalente

El esquema térmico equivalente es un método simple, pero suficiente para identificar la

temperatura en la mayoría de regiones de la máquina. Las pérdidas en forma de calor

se sitúan en los nodos de forma concentrada y los diversos componentes de la

máquina se reducen a componentes simples utilizando las simplificaciones pertinentes.

Este método soluciona las redes térmicas utilizando la analogía con los circuitos

eléctricos. Dado que se cumple la ley de Ohm, se pueden aplicar los métodos

matemáticos destinados a solucionar circuitos eléctricos, que son más sencillos que

solucionar las ecuaciones de Maxwell.

La tabla 9 representa la analogía entre las magnitudes térmicas y eléctricas.

Magnitud térmica Símbolo Unidad Magnitud eléctrica Símbolo Unidad

Cantidad de calor Carga eléctrica

Flujo de calor Corriente eléctrico

Densidad de flujo de

calor

Densidad de corriente

Temperatura Potencial eléctrico

Incremento de

temperatura

Voltaje

Conductividad

térmica

Conductividad eléctrica

Resistividad térmica Resistividad eléctrica

Conductividad térmica

Conductividad eléctrica

Capacidad calorífica Capacidad

Tabla 9: Analogía entre magnitudes térmicas y eléctricas

La máquina eléctrica se divide en diversos componentes térmicos equivalentes. Cada

componente térmico equivalente puede ser representado por una o varias resistencias

térmicas equivalentes y una capacidad, el nodo de las cuales representa la

temperatura media del componente. Las pérdidas producidas por el componente se

concentran en el nodo representativo de la temperatura media del componente,

representadas por fuentes de energía.

Asumiendo simetría en el plano radial a través del centro de la máquina se puede

dividir la máquina en diversos componentes, los cuales se detallan en el apartado 3.4.


-62-

3.2. Principios de transferencia de calor

La transferencia de calor es un proceso de propagación. Para que exista transferencia

de calor ha de existir una diferencia de temperatura entre dos puntos. El calor se

transfiere del punto caliente al frío. Los procesos por los cuales se transfiere calor son:

Conducción, convección, radiación y contacto.

En general el calor se transfiere de un cuerpo a otro mediante una combinación de

conducción, convección, radiación y contacto. Pero en muchos casos uno de estos

procesos es más significativo que los otros y por tanto se pueden descartar los

procesos restantes.

Conducción

Cuando en un cuerpo existe un gradiente de temperatura, la energía se transfiere del

punto más caliente al más frío. Esta transferencia de calor se puede definir mediante la

ley de Fourier de transferencia de calor:

(197)

Donde:

- : Flujo de calor [w]

- : Conductividad térmica del material [W/(m·K)]

- : Sección del material entre el punto caliente y el punto frío [ ]

- : Gradiente de temperatura [K/m]

En el esquema equivalente haremos uso de resistencias térmicas. Estas resistencias

térmicas, en el caso de conducción se definen como:

(198)

Donde:

- : Incremento de temperatura [K]

- : Longitud entre el punto caliente y el frío


-63-

A partir de la ecuación 197 podemos obtener las ecuaciones pertinentes para un

cilindro. Suponiendo las siguientes condiciones:

- El flujo de calor en dirección radia y axial son independientes.

- Solamente se tiene una temperatura media para ambas direcciones.

- No existe flujo de calor en dirección tangencial.

- La generación de calor es uniforme.

El esquema térmico equivalente de un cilindro queda de la siguiente manera:

Ilustración 15: Forma básica cilíndrica

Ilustración 16: Esquema térmico para un cilindro

(199)


-64-

[

( (

))

]

(200)

[

( (

))

]

(201)

[

(

(

))

]

(202)

Donde:

- T radial exterior: Temperatura en la superficie exterior del cilindro [T]

- T radial interior: Temperatura en la superficie interior del cilindro [T]

- T axial: Temperatura en las superficies laterales del cilindro [T]

- T media: Temperatura media del cilindro [T]

- Resistencias térmicas equivalentes de un cilindro [K/W]

- : conductividad térmica del material en dirección axial [W/(m·K)]

- : conductividad térmica del material en dirección radial [W/(m·K)]

- : radio exterior del cilindro [m]

- : radio interior del cilindro [m]

- : superficie a atravesar por el flujo de calor [ ]

A partir de la ecuación 197 podemos obtener las ecuaciones pertinentes para una

forma rectangular. Suponiendo las siguientes condiciones:

- El flujo de calor en dirección radial y axial son independientes.

- Solamente tenemos la temperatura media en ambas direcciones.

- La generación de calor es uniforme.

El esquema térmico de una forma rectangular queda de la siguiente manera:


-65-

Ilustración 17: Esquema térmico para una forma rectangular

Donde:

- T1, T2, T3, T4: Temperatura de las diversas caras del rectángulo [T]

- Tm: Temperatura media del rectángulo [T]

- Rx: Resistencia térmica equivalente en dirección x [K/W]

- Ry: Resistencia térmica equivalente en dirección y [K/W]

Convección

El proceso de convección se define como la transferencia de calor entre una superficie

solida y un fluido en movimiento. El proceso de convección se modela como una

resistencia térmica con la siguiente función:

(203)

Donde:

- : Coeficiente de convección [ ]

El coeficiente toma diferentes valores dependiendo de la geometría de la superficie,

de las características del fluido, velocidad del fluido, temperatura. Por este motivo es

difícil obtener el valor de este coeficiente de forma analítica. El coeficiente vendrá


-66-

dado por funciones semiempíricas en las cuales utilizaremos nombres adimensionales

para describir el comportamiento del fluido.

En una máquina eléctrica podemos definir tres zonas donde se produce el proceso de

convección:

- : coeficiente de convección entre la carcasa y el exterior.

- : coeficiente de convección entre el rotor y el estator a través del entrehierro

- : coeficiente de convección entre el aire de las cabezas de bobina de la

máquina, rotor, estator, cabezas de bobina y eje.

El coeficiente se recomienda que se obtenga a partir de ensayo de la máquina.

Este ensayo consiste en medir la diferencia de temperatura entre la carcasa y el

ambiente, funcionando a carga constante. El calor disipado por la carcasa será igual a

la potencia eléctrica consumida. A partir de la ecuación 197 se puede hallar el valor de

la resistencia térmica equivalente entre la carcasa y el ambiente.

Normalmente no podremos realizar el ensayo de la máquina, por este motivo

utilizaremos ecuaciones empíricas. Se proponen dos ecuaciones para hallar el

coeficiente (Churchill-Chu). Estas ecuaciones son validas para en

cualquier fluido.

[

( (

)

)

]

(204)

[

( (

)

)

]

(205)

Donde:

- : conductividad térmica del fluido [ ]

- : diámetro exterior de la carcasa [ ]

- : Número de Rayleigh

- : Número de Prandtl


-67-

El número de Rayleigh considerando una convección natural es:

(206)

Donde:

- : constante gravitacional

- : coeficiente de expansión termal [ ]

- : diferencia de temperatura entre la superficie y el fluido [ ]

- : viscosidad cinemática del fluido [ ]

El número de Prandtl define la relación entre la difusión térmica y viscosa.

(207)

Donde:

- : calor específico del fluido [ ]

- : viscosidad dinámica del fluido [ ]

- : conductividad térmica del fluido [ ]

El coeficiente se considera el coeficiente de transferencia térmica entre dos

cilindros concéntricos, rotativos entre si. Se asume que todo el calor procedente del

rotor se transmita al estator directamente a través del entrehierro. Se supone que el

aire del entrehierro y de las cabezas de bobina es independiente. Es válido para la

mayoría de fluidos.

(208)

Donde:

- : Grosor del entrehierro entre rotor y estator[ ]

- : Número de Nusselt

Según Becker y Kane el número de Nusselt se puede aproximar como:

(209)


-68-

Los mismos autores proponen una segunda aproximación para hallar el número de

Nusselt.

(210)

Donde:

- : Número de Taylor modificdo

Para conocer el estado del fluido utilizamos el número de Taylor y el número de

Reynolds. Estos nombres describen la relación entre la fuerza centrifuga y la fuerza

deslizante en un fluido.

(211)

Donde:

- : Número de Reynolds

- : Diámetro del rotor [ ]

(212)

Donde:

- : Densidad del fluido [ ]

- : velocidad del fluido [ ]

El número de Taylor se modifica por un factor geométrico .

(213)

[

]

[ (

)

] [ ]

(214)

Donde:

- : Radio del rotor [ ]


-69-

Otra forma de encontrar el número de Taylor según Kylander es:

(215)

Donde:

- : velocidad de rotación del rotor [ ]

- : diámetro del entrehierro entre el rotor y el estator [ ]

- : viscosidad cinemática del fluido [ ]

El coeficiente se puede hallar utilizando una o diversas ecuaciones experimentales.

Luke considera que una sola ecuación es suficiente para todas las regiones en contacto

con el aire de las cabezas de bobina, mientras que Kylander utiliza tres ecuaciones,

una para el aire en contacto con el rotor, una para el aire en contacto con la carcasa y

otra para el aire en contacto con las cabezas de bobina. Ambos autores consideran que

la circulación del aire se fuerza por medio de las aletas del rotor. Las ecuaciones 215,

217, 218, 219 solo son válidas en caso de que el fluido sea aire.

Según Luke el coeficiente queda de la siguiente forma:

( ) (216)

Donde:

- : velocidad del fluido en las cabezas de bobina [ ]

(217)

Donde:

- : radio del rotor [ ]

- : Eficiencia de las aletas del rotor. Es la velocidad del aire en las cabezas de

bobina respecto a la velocidad de las aletas.

Según Kylander el coeficiente para la resistencia térmica entre el aire de las

cabezas y la carcasa:

(218)


-70-


cabezas y el rotor:

(219)


cabezas y las cabezas de bobina:

(220)

Donde:

- : Velocidad del fluido en las cabezas [ ]

Radiación

La transferencia de calor se puede llevar a cabo en el vacío. Esta transferencia de calor

se realiza mediante radiación electromagnética. La radiación electromagnética se

propaga como resultado de la diferencia de temperatura.

En máquinas eléctricas, todo y que existe el efecto de la radiación se puede eliminar si

lo comparamos con la transferencia de calor por conducción y convección.

La resistencia térmica equivalente en caso de radiación queda de la siguiente manera:

(221)

Donde:

- : coeficiente de transferencia de calor por radiación [ ]

- : superficie del cuerpo frío expuesta al cuerpo caliente [ ]

El coeficiente se puede encontrar con la siguiente ecuación:

(222)


-71-

Donde:

- : constante de Stefan-Boltzmann [ ]

- : factor de emisión de la superficie del cuerpo caliente

- : factor de visión entre superficies

- : temperatura de la superficie 1 [ ]

- : temperatura de la superficie 2 [ ]

Contacto

La transferencia por contacto no sigue un proceso propio, sino que es una fusión entre

conducción, convección y radiación. La transferencia de calor por contacto se produce

en aquellos cuerpos que están unidos mediante presión y que a nivel microscópico

quedan bolsas de aire entre ambos cuerpos.

Ilustración 18: Representación de la transferencia de calor entre dos superficies en

contacto a nivel microscópico

La resistencia térmica equivalente en caso de contacto queda de la siguiente manera:

(223)

Donde:

- : coeficiente de contacto [ ]

- : superficie de contacto [ ]

Según Pyrhönen, el coeficiente de contacto es:

Tipo de Unión Coeficiente de contacto [ ]

Carcasa de aluminio y cuerpo del estator 650-870 Carcasa de acero y cuerpo del estator 350-550

Eje y rotor 430-2600

Tabla 10: Coeficiente de contacto


-72-

3.3. Resolución del esquema térmico equivalente

El esquema térmico equivalente se forma por resistencias y fuentes de corriente. La

temperatura se representa por la tensión. Se toma como tensión de referencia la

temperatura ambiente.

En régimen permanente el incremento de temperatura para cada nodo se calcula de

forma matricial.

(224)

Donde:

- : Matriz de conductividades [ ]

- : matriz de pérdidas [ ]

La matriz de conductividades se compone de la siguiente forma:

[ ∑

∑

∑

]

(225)

Donde:

- : cantidad de nodos

- : resistencia térmica [ ]

La diagonal de la matriz se forma por la suma de las conductividades que van hacia el

nodo x,y donde x=y. Las conductividades R x,y se sitúan en signo negativo. Donde x,y

son la fila y columna respectivamente y el número de la columna y fila representa el

número de nodos entre los que está la resistencia.

Dado que tenemos solo fuentes de corriente independientes y resistencias, la matriz

será simétrica. Algunas conductividades son dependientes de la temperatura y se

solucionará de forma iterativa.


-73-

3.4. Esquema térmico equivalente para el motor

de inducción

El motor de inducción estudiado tendrá la siguiente representación constructiva.

Ilustración 19: Representación de la sección radial del motor de inducción

Ilustración 20: Representación de la sección axial del motor de inducción

El motor de inducción se divide en diez componentes:


-74-

Ilustración 21: Representación de los componentes del motor de inducción

1: carcasa 5: entrehierro 9: hierro en el rotor 2: hierro del estator 6: cabezas de bobina 10: eje 3: dientes del estator 7: aire en las cabezas 4: bobinas del estator 8: bobinas del rotor

Dado la simetría de la máquina en el eje axial, se puede dividir la máquina en dos. Esto

será tenido en cuenta tanto en el momento de halar las resistencias térmicas como en

el momento de aplicar las pérdidas como fuentes de corriente.

El esquema térmico equivalente resultante para el motor de inducción queda de la

siguiente manera:


-75-

Ilustración 22: Esquema térmico equivalente para el motor de inducción

Donde la numeración de los nodos se corresponde con la numeración de los

componentes que componen el motor e inducción. Los nodos numerados representan

los puntos medios de temperatura de cada componente.

Carcasa

Se considera como carcasa el cilindro cerrado que recubre el rotor con sus aletas

pertinentes. Para tener en cuenta el efecto de las aletas se considera que la superficie

del cilindro es la mitad más amplia.

A partir de la ecuación 202 obtenemos , que representa la oposición a la disipación

de calor de la máquina hacia el ambiente.


-76-

(226)

Donde:

- : superficie de la carcasa, considerada un cilincro tapado [ ]

- : coeficiente de convección a partir de la ecuación 203 [ ]

A partir de la ecuación 222 obtenemos , que es la resistencia térmica entre la

carcasa y el estator.

(227)

Donde:

- : coeficiente de contacto [ ]

- : longitud del estator [ ]

- : radio del estator [ ]

Hierro del estator

Se considera como hierro del estator, el laminado entre la carcasa y los dientes del

estator. El cilindro tendrá una conductividad diferente en dirección axial o radial. A

partir de las ecuaciones 198-201, obtendremos las ecuaciones para el hierro del

estator.

(228)

[

(

)

]

(229)

[

(

)

]

(230)

[

(

)

]

(231)


-77-

Donde:

- : conductividad térmica del laminado en dirección radial [ ]

- : conductividad térmica del laminado en dirección axial [ ]


- : factor de apilamiento

- : radio exterior del estator [ ]

- : radio exterior de los dientes del estator [ ]

Dientes del estator

El laminado que forma los dientes del estator se puede modelar como segmentos de

cilindro, conectados en paralelo. En este caso, si que tendremos conducción circular

hacia las bobinas del estator. Por este motivo añadiremos una resistencia entre las

caras de los dientes y el punto de temperatura media.

(232)

(233)

[

( )

] (234)

[

(

)

] (235)

[

(

)

] (236)

Donde:

- : Número de ranuras en el estator

- : grosor de los dientes en el estator [ ]

- : distancia entre dientes [ ]


-78-

Bobinas del estator

Las bobinas del estator se modelan como barras solidas que consisten en un conjunto

de hilos y aislamientos. Se considera que axialmente el cobre es el conductor de calor,

pero radialmente la conductividad es 2.5 veces la conductividad del aislante solo.

(237)

(238)

(239)

(240)

Donde:

- : espesor del aislante de la ranura del estator [ ]

- : conductividad térmica del aislante de la ranura del estator [ ]

- :conductividad térmica del barniz que recubre los hilos de cobre [ ]

- : conductividad térmica del cobre [ ]

- : radio equivalente del bobinado del estator [ ]

- : factor de conductividad radial (2.5)

- : sección del cobre para cada ranura del estator [ ]

Entrehierro

El entrehierro es ese espacio de aire que queda entre los dientes del rotor y del

estator. También nos queda entrehierro entre las bobinas del estator y el rotor. A partir

de la ecuación 202 obtenemos las tres ecuaciones necesarias para describir el

entrehierro y, a partir de las ecuaciones 207 y 208 los coeficientes de conductividad.

(241)

(242)

(243)


-79-

Donde:

- : Grosor de los dientes del estator [ ]

- : Distancia entre dientes [ ]


- : radio interior de los dientes del estator [ ]

- : radio exterior de los dientes del rotor [ ]

Cabezas de bobina

Las cabezas de bobina se consideran como estructura homogénea. Se considera un

toroide sostenido por la prolongación de los bobinados.

La temperatura pico es más importante que la temperatura media, por este motivo

aplicaremos un factor para simular los picos de temperatura. Se considera que

axialmente el cobre es el conductor de calor, pero radialmente la conductividad es 2.5

veces la conductividad del aislante solo.

(244)

(245)

(246)

Donde:

- : longitud del bobinado que sobresale de la ranura del estator [ ]

- : factor corrector para simular los picos de temperatura

- : sección de cobre por cada ranura del estator [ ]

- : conductividad térmcia del cobre [ ]

- : radio del toroide [ ]

- : radio equivalente del bobinado del estator [ ]

- : radio de sección del cobre [ ]

- : factor de conductividad raidal

- : conductividad térmica del barniz que recubre los filamentos de cobre

[ ]


-80-

Aire en las cabezas

El aire en las cabezas es aire que queda alrededor de las cabezas de bobina. Este aire

se impulsa por las aletas del rotor.

El área de contacto con el toroide considerado para las cabezas de bobina, se

incrementa en un 50% para tener en cuenta las irregularidades de la superficie. A

partir de la ecuación 202 y del coeficiente hallado en la ecuación 215 encontramos las

siguientes ecuaciones:

(247)

(248)

(249)

(250)

(251)

(252)

Donde:

- : área de la carcasa en contacto con el aire de las cabezas [ ]

- : área del estator en contacto con el aire de las cabezas [ ]

- : área de los dientes del estator en contacto con el aire de las cabezas [ ]

- : área del toroide en contacto con el aire de las cabezas [ ]

- : área del bobinado rotórico en contacto con el aire de las cabezas [ ]

- : áre del hierro del rotor en contacto con el aire de las cabezas [ ]


Bobinas del rotor

El bobinado del rotor es del tipo de jaula de ardilla, construido a partir de las barras de

aluminio inyectadas en las ranuras del rotor. Dado que el contacto entre las barras del

rotor y el rotor es bueno, podemos suponer que tenemos una capa de aluminio

uniforme. Se modela entonces, como un cilindro de aluminio.


-81-

(253)

[

( )

]

(254)

[

(

)

]

(255)

[

(

)

]

(256)

Donde:

- : conductividad térmica del aluminio [ ]]

- : radio exterior de los dientes del rotor [ ]

- : radio interior de los dientes del rotor [ ]

Hierro del rotor

Se considera como hierro del rotor el laminado entre el eje y el bobinado del rotor. El

cilindro tendrá una conductividad diferente en dirección axial o radial. A partir de las

ecuaciones 198-201, obtendremos las ecuaciones para el hierro del rotor.

(257)

[

( )

]

(258)

[

(

)

]

(259)

[

(

)

]

(260)


-82-

Donde:

- : conductividad térmica del laminado en dirección radial [ ]]

- : conductividad térmica del laminado en dirección axial [ ]]

- : factor de apilamiento

- : radio interior de los dientes del rotor [ ]

- : radio del eje [ ]

Eje

El eje se considera un cilindro macizo, con buen contacto con los cojinetes y con el

rotor. Se considera que no tenemos pérdidas en los cojinetes, a bajas velocidades. Los

cojinetes y la parte del eje que sobresale se consideran parte de la carcasa en el

modelo térmico. El punto de temperatura media se sitúa a 1/6 parte de la longitud del

eje entre ambos cojinetes.

(261)

(262)

Donde:


- : longitud entre el punto de temperatura media del rotor y el punto de

temperatura media del cojinete. Se mide desde el centro del cojinete a 1/6

parte del rotor [ ]

- : conductividad térmica del acero del eje [ ]]

Pérdidas

Las pérdidas en una máquina eléctrica se producen a lo largo de todo el material, pero

en el esquema térmico equivalente están situadas en puntos, como fuentes de

corriente. Estos puntos se corresponden a los nodos del esquema térmico equivalente.

Se considera que la carcasa, el eje y el aire que contiene la máquina, no tenemos

pérdidas.

El esquema térmico equivalente de la máquina de inducción se ha obtenido a partir de

media máquina, por tanto, las pérdidas se dividen entre dos.

Empíricamente se demuestra la siguiente distribución de pérdidas:


-83-

(263)

(264)

(265)

(266)

(267)

(268)

Donde:

- : pérdidas producidas en el hierro del estator [ ]

- : pérdidas producidas en los dientes del estator [ ]

- : pérdidas producidas en el bobinado del estator [ ]

- : pérdidas producidas en el bobinado del rotor [ ]

- : pérdidas adicionales [ ]


-84-

CAPITULO 4: NORMATIVA APLICADA EN

EL DISEÑO DE MÁQUINAS

4.1. Introducción a la IEC

La IEC (International Electrotechnical Commission) es una comisión a nivel mundial no

gubernamental y sin ánimo de lucro formada en 1906, para la normalización que

comprende todos los comités electrotécnicos nacionales. El objeto de la IEC es

promover la cooperación internacional en todas las cuestiones relativas a la

normalización en los campos eléctricos y electrónicos. Con este fin y, además de otras

actividades, IEC publica Normas Internacionales, Especificaciones Técnicas, informes

técnicos, especificaciones de acceso público y guías (en lo sucesivo, llamadas normas

IEC "). Su preparación está a cargo de comités técnicos, cualquier comité nacional IEC

interesado en el tema tratado puede participar en este trabajo preparatorio.

Internacionales, gubernamentales y no gubernamentales

las organizaciones de enlace con la IEC también participan en esta preparación. IEC

colabora estrechamente con la Organización Internacional de Normalización (ISO), de

conformidad con las condiciones fijadas por acuerdo entre las dos organizaciones.

Las decisiones o acuerdos oficiales de la IEC sobre asuntos técnicos expresan, tanto

como sea posible, un consenso internacional de opinión sobre los temas relevantes, ya

que cada comité técnico tiene representación de todos los comités nacionales de la IEC

interesados.

4.2. Normativa aplicable

IEC 60034-1 Valores nominales y rendimiento

IEC 60034-2 Cálculo de pérdidas y eficiencia

IEC 60034-3 Requisitos específicos para máquinas sincrónicas de

rotor cilíndrico

IEC 60034-4 Métodos para determinar la máquina síncrona a partir de

las pruebas

IEC 60034-5 Grados de protección proporcionados para el diseño de

máquinas eléctricas rotativas

IEC 60034-6 Métodos de enfriamiento


-85-

IEC 60034-7 Clasificación de los tipos de construcción, los dispositivos

de montaje y la posición de la caja de bornes

IEC 60034-8 Marcado de los bornes y sentido de giro

IEC 60034-9 Límites de ruido

IEC 60034-11 Protección térmica

IEC 60034-12 Características de arranque de motores trifásicos de

inducción de jaula de velocidad única

IEC 60034-14 Vibraciones mecánicas de ciertas máquinas con altura

de eje de 56 mm y superiores - Medición, evaluación y límites de la

intensidad de vibración

IEC 60034-15 Niveles de tensión soportados por las maquinas

rotativas de corriente alterna de jaula con bobinas en el estator

IEC 60034-16 Sistemas de excitación para máquinas sincrónicas

IEC 60034-17 Motores de inducción de jaula cuando se alimentan de

convertidores - Guía de Aplicación

IEC 60034-18 Evaluación funcional de los sistemas de aislamiento -

Sección 1: Directrices generales

IEC 60034-18:21 Evaluación funcional de los sistemas de aislamiento

- Sección 21: Procedimientos de ensayo para devanados de fuego -

Evaluación térmica y clasificación

IEC 60034-18:31 Evaluación funcional de los sistemas de aislamiento

- Sección 31: Procedimientos de ensayo para devanados preformados

- Evaluación térmica y clasificación de los sistemas de aislamiento

utilizados en máquinas hasta e incluyendo 50 MVA y 15 kV

IEC 60034-25 Guía para el diseño y el rendimiento de motores de

corriente alterna diseñados específicamente para el suministro de

convertidor

IEC 60034-28 Métodos de ensayo para determinar las magnitudes de

los esquemas del circuito equivalente para motores de inducción de

jaula trifásicos de baja tensión.

IEC 60034-30 Parte 30: clases de eficiencia de motores de una sola

velocidad, trifásicos, de inducción de jaula


-86-

CAPITULO 5: BIBLIOGRAFÍA

- [1] Desing of Rotating Electrical Machines; Juha Pyrhönen; 2008 Jhon

Wiley & Sons, Ltd

- [2] Diseño de máquinas eléctricas; Ramón Bargallo; 2004 UPC

- [3] Conception de moteurs asynchrones triphasés; Réal-Paul Boychard y

Guy Olivier; 1997; Editions de l’école polytechnique de Montréal

- [4] Design of small electrical machines; Essam S. Hamdi; 1994; Wiley

- [5] R. Bargallò “Pautas de cálculo de máquinas asíncronas”

memoria

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