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complementario por parte del usuario de MINITAB

Mejoramiento de Procesospor medio de toma de decisiones

basada en datoscon MINITAB

(Complemento)




Simbología en este documento

En este documento se hará uso de diferente nomenclatura.

Por ejemplo:

FILE ►Print Setup en donde el símbolo “►” significa, que el usuario debe acceder a un submenú del menú FILE, según el ejemplo

MTB> en donde el símbolo “>” es parte de la nomenclatura de comandos de MINITAB

Ctrl + S, que implica que el símbolo “+” muestra la unión de secuencia de teclas, en este caso la tecla “Ctrl” seguida de la tecla “S”




Regresión Estadística: Introducción

En 1855, un hombre inglés de 33 años de edad, decide establecerse en Londres, después de varios años de viaje por Europa y África. Se siente inducido a escribir y su primer libro, naturalmente, fue “El Arte de Viajar”. Conforme su curiosidad intelectual crecía, mudó sus intereses hacia la ciencia y muchos años después publica un artículo sobre la herencia natural (1889).

• Él reporto sus descubrimientos, acerca del tamaño de las semillas de guisantes y como parecía que habíauna “reversión” o “regresión” al tamñopromedio, en sucesivas generacionesde semillas. También reportó unarelación entre la estatura de lospadres y los hijos, en donde encontrólo que él llamó “la regresión a la mediocridad”. Este hombre fue Sir Francis Galton, un primo de Charles Darwin. Se le acredita a él, la idea del concepto de regresión estadística. (1)




Concepto Básico> Regresión Estadística

Una regresión estadística :

Es la técnica estadística para modelarla relación entre variables

Nótese como se anota “entre variables”, sin especificar la cantidad




Concepto Básico> Regresión Lineal Simple

• Regresión Lineal Simple:

Se emplea para modelar la relación entredos (2) variables: la variable independiente (X) y la dependiente(Y).

El modelo asume un relación lineal entreX y Y

IMPORTANTE• El análisis de regresión, y la regresión

lineal, son comunmente utilizadas en múltiples aplicaciones estadísticas.




Concepto Básico>Modelo Estadístico

Un modelo estadístico es un conjunto de fórmulas y supuestos que pretendenexplicar el comportamiento de un fenómeno real.

En la medida en que el modelo explica el comportamiento del fenómeno, mejorel “ajuste” del modelo.

La meta de todo modelo es la parsimoniosidad (entre más simple, mejor).

Modelo Estadístico

ComponenteSistemático

ErrorAleatorio

Datos del fenómenoreal

Figura 1Fuente: Blackberry&CrossAdaptación de figura en obra (1)




Verificación del modelo

La figura 2, muestra un diagrama de flujo de decisión para escoger o validar el uso de un modelo.

Especificar modelo

Estimar Parámetros

¿Analisis de residuos esApropiado?

Utilizar Modelo

NO

SI

NO

Abandone el análisis y conformése con la mejorexplicación sedativa quepueda argumentar.NO se recomienda tomareste camino

Solución alterna

Figura 2Fuente: Blackberry&Cross




Modelo de Regresión Lineal Simple

εββ ++= Xy 1 0




Parámetros del Modelo de Regresión Lineal Simple

β 0

β1

Es la intercepción con el eje “Y”

Es la pendiente de la recta




Componentes del Modelo de Regresión Lineal Simple

εββ ++= Xy 1 0

Componenteno-aleatorio

Error aleatorio




Supuestos de Modelo de Regresión Lineal

1. La relación entre “X” y “Y” es unarelación lineal (positiva o negativa)

2. Los valores de “X” se asumen fijos(es decir, no están aleatoriamentedistribuidos). La aleatoriedad estádada por los valores de “Y”, comovariable de pronóstico, reflejadaen “ε”

3. Los errores están normalmentedistribuidos, con media cero (0) y varianza constante σ².

4. Los errores no están correlacionadosentre sí, en observacionessucesivas

Adicionalmente, muchos analistas asumen que el comportamiento, tanto de “X”como de “Y” se puede explicar con la curva normal estándar.

Estos supuestos son de suma importancia, pues permitirán al analista determinar de manera técnica, si la relación entre las variables puede ser explicada de manera consistencia, o si existen aspectos que podrían indicar que el modelo no es una buena herramienta de predicción, o ajuste.




Repaso: Elementos de un buen indicador

Todo modelo funciona mejor en la medidaen que las fórmulas contenganestimadores de calidad. En estostérminos es necesario recordar queun buen indicador estadístico esaquel que cumple con lossiguientes puntos:

1. Insesgado2. Eficiencia3. Consistencia (también llamada

convergencia)4. Suficiencia (o conocida como

robustez)

“All models are wrong, butsome models are useful”

Box




Repaso: Elementos de un buen estimador

Insesgado: El estimador del valor se esperaque sea igual al valor del parámetropoblacional que estima. Es decir se esperaque su sesgo sea nulo (dado que suesperanza matemática es igual al valor del parámetro)

Eficiencia: Se refiere a la varianza relativa de un estimador. Es relativa dado que se prefiere aquel estimador, que comparadocon otro, tenga menor varianza. La eficiencia de un estimada está asociada, y limitada, a la distribución de probabilidad de los datos muestrales.

Consistencia: la probabidad de estar cerca del valor del parámetro poblacional, conformese aumenta el tamaño de la muestra.

Suficiencia: el resultado del estimador mantienebuenas propiedades, a pesar de variacionesen el modelo.

• Estimador: de manera sencilla, un estimador es aquel estadístico que calculado a partir de una muestra, facilita conocer el valor de un parámetro poblacional.




Estimadores en el Modelo de RegresiónLineal

• Existen diferentes maneras de calcularun modelo de regresión lineal, siendoel método de mínimos cuadrados, el más popular, aunque no el único.

• Para un mejor entendimiento de estetema se recomienda consultar el teorema de Gauss-Markov, queestablece los supuestos de un modelolineal general (MLG).

• Es común en esta jerga referirseentonces al estimador mínimocuadrático ordinario, como el estimador lineal insesgado óptimo (en inglés conocido por el acrónimo BLUE, de Best Linear Unbiased Estimator)




Estimadores-Parámetros

00 β⎯⎯ →⎯estimab

11 β⎯⎯ →⎯estimab




Modelo Regresión Lineal: ecuación

iii

exbby ++= 10

^

XbbY 10

^+=




Regresión Lineal Simple (Pearson r).

• El coeficiente de correlación de Pearson, conocido como “r”, asumeque las dos variables están medidasen al menos intervalos a escala, y estodetermina el nivel en el que las dos variables resultan proporcionles la unaa la otra.

• En otras palabras, el coeficiente “r”mide la relación lineal entre dos variables cuantitativas.

• Un aspecto muy favorable del coeficiente “r” es que no depende de la unidad de medida con la que se trabaje.

El coeficiente de correlación de Pearson, es una prueba paramétrica.

Adicionalmente a este coeficiente se desarrollan ejercicios del coeficientede correlación de Spearman, unaprueba no-paramétrica.

MINITAB 15 ayuda a calcular ambos coeficientes, de forma ágil y consistente.




Regresión Lineal Simple (Pearson r).

• Para una mejor interpretación del coeficiente de correlación, por favor utilice MINITAB 15.

Ejecute MINITAB 15 y acceda a:

Help ►Help

Una vez en el menú de Ayuda (Help), haga clic en la viñeta Búsqueda(Search), y en el espacio en blancopara digitación anote:

Pearson's correlation coefficient (r)

(el facilitador dará una explicación)

Luego, en la misma ventana de ayuda, ingrese el texto:

Regression analysis

(nuevamente el facilitador dará una explicación)




Coefieciente de Determnación

• Cuando se hace una análisis de Regresión-Correlación, siempre se recomienda estudiar el coeficiente de determinación

• El símbolo del coeficiente de determinación es R².

• En términos generales el Coeficientede Determinación es la proporción de variabilidad en un conjunto de datosque es explicada por el modelo,

Para un mejor entendimiento de esteconcepto, por favor acceda en MINITAB 15 a:

Help ►Help

Luego haga una busqueda de lossiguientes conceptos:

• R-squared predicted• R-squared Adjusted• PRESS




Correlación y RegresiónLos términos Correlación y Regresión son

ampliamente utilizados, y confundidos. Si bien ambos conceptos están íntimamente ligados, es necesario entender en qué se diferencian.

Una manera sencilla, sin necesidad de ingresar en aspecto matemático-estadísticos complejos, es explicar que:

La correlación cuantifica el grado y dirección de la relación entre las variables. La correlación no estima una curva de mejor de ajuste, lo que hace, es calcular un coeficiente que indica la fuerza y orientación de la relación entre las variables.

La regresión, por su lado, ayuda al analista a encontrar la curva de mejor ajuste que explique, matemáticamente, la relación entre las variables. La regresión arroja un modelo matemático.




Regresión Lineal Simple: Ejemplos y Ejercicios

En las siguientes páginas ustedencontrará ejemplos y ejerciciosacerca de regresión y correlación.

Se muestra, además, un ejemplo en donde se puede entender el poder de MINITAB 15 sobre Excel™, cuando de un estudio más depurado se refiere.

Es importante que se ejecuten losejercicios y ejemplos de manera que el participante, realmente apliqueconocimientos, y pueda formularpreguntas producto de la práctica

Es altamente recomendable que el participantes busque datos propios que pueda utilizar.




Ejercicio 1: Millas y DólaresUn Banco local opera una marca de tarjetas de crédito. Durante una sesión de

mercadeo y ventas, los mercadólogos han afirmado que es “más quelógico” entender que cuando un tarjeta-habiente viaja fuera del país, entremás largo el viaje, más dólares consumirá.

El equipo de análisis de proceso no está totalmente convencido de dichaafirmación.

Resulta necesario entender el fenómeno, dado que la gerencia debe decidir siinvertir o no en una campaña para viajeos frecuentes, pero se necesitasaber si es posible entender si la cantidad de millas recorridas, determina el consumo.

Se toman los datos de 25 tarjeta-habientes (lo único que pudo aportar el departamento de mercadeo), y se procede al análisis.




Ejercicio1>Datos

No Miles US Dollars1 1211 18022 1345 24053 1482 20054 1687 25115 1849 23326 2026 23057 2133 30168 2253 33859 2400 3090

10 2468 369411 2699 337112 2806 399813 3082 3555

No Miles US Dollars14 3209 469215 3466 424416 3643 529817 3852 480118 4033 514719 4267 573820 4498 642021 4533 605922 4804 642623 5090 632124 5233 702625 5439 6964

Fuente:Modificación y traducción de ejercicio original de Aczel (1)




Ejercicio 1> Resolución en Excel y MIINITAB 15

Este ejercicio se resolverá con la ayuda de dos importantes herramientas de software:

1. MSExcel2. MINITAB




Exercicio 1>Usando ExcelUse el menú Excel>Tools>Data Analysis>Regression

SUMMARY OUTPUT

Regression StatisticsMultiple R 0.982332372R Square 0.96497689Adjusted R Square 0.963454146Standard Error 319.0680372Observations 25

Summary table

Como el lector puede apreciar Excel arroja una tabla sumaria en donde se tiene




Ejercicio 1>Usando Excel

Excel / ANOVA

ANOVAdf SS MS F

Regression 1 64514396.52 64514396.52 633.7092Residual 23 2341501.484 101804.4124Total 24 66855898

Variables - 1n-2




Ejercicio 1>ExcelExcel> Estimadores de ParámetrosParameters Estimators

β 1

Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Lower 95.0% Upper 95.0%Intercept 262.10853 171.3089564 1.53 0.139647 -92.27104258 616.4881062 -92.27104258 616.4881062X Variable 1 1.2583927 0.049988623 25.17 3.04E-18 1.154983355 1.361802043 1.154983355 1.361802043

estimadorβ 0estimador

Intervalo de Confianza parael estimador




Ejercicio 1>RegresiónDe acuerdo con los datos provistos por

Excel, es posible argumentar que la ecuación de regresión está dada por:

Y = 262.1 + 1.25 (Miles)

Sin embargo, un mayor análisis esrecomendado




Ejercicio 1>Excel: ResiduosRESIDUAL OUTPUT

Observation Predicted Y Residuals Standard Residuals1 1786.0221 15.9779098 0.0511538552 1954.6467 450.3532882 1.4418223063 2127.0465 -122.046512 -0.3907363124 2385.017 125.9829851 0.4033390745 2588.8766 -256.876632 -0.8223998096 2811.6121 -506.61214 -1.621937057 2946.2602 69.73984142 0.2232746198 3097.2673 287.7327175 0.921186689 3282.251 -192.251009 -0.615498545

10 3367.8217 326.1782873 1.04427155911 3658.5104 -287.510426 -0.92047500612 3793.1584 204.8415551 0.65580763213 4140.4748 -585.47483 -1.87441879914 4300.2907 391.7092974 1.25407145315 4623.6976 -379.697626 -1.21561565416 4846.4331 451.5668661 1.4457076217 5109.4372 -308.437208 -0.98747285418 5337.2063 -190.206287 -0.60895229119 5631.6702 106.329822 0.34041876320 5922.3589 497.6411085 1.5932159721 5966.4026 92.59736405 0.29645380322 6307.4271 118.5729426 0.37961555523 6667.3274 -346.327369 -1.10877957224 6847.2775 178.7224748 0.57218645425 7106.5064 -142.506421 -0.456239451

ResiduoscalculadosEn Excel

Sresid = 312.350063

Standard Residuals:(Residuals/Sresid)




Ejercicio 1: Gráficos en Excel

X Variable 1 Residual Plot

-800-600

-400-200

0200

400600

0 2000 4000 6000

X Variable 1

Res

idua

ls

X Variable 1 Line Fit Plot

010002000300040005000600070008000

0 2000 4000 6000

X Variable 1

Y

YPredicted Y

Normal Probability Plot

010002000300040005000600070008000

0 50 100 150

Sample Percentile

Y




Ejercicio 1> Usando MINITAB• MINITAB provee aun más poder analítico que Excel.

• Esto significa que un analista sofisticado cuenta con mayores recursos para tomardecisiones.This means you can get better conclusions, but you have to apply deeper analysis




Ejercicio 1> Usando MINITABEn MINITAB 15, acceda a:

Stat ►Regression ► Regression

Nota: se asume que antes se han copiado los datos en la hoja de trabajo de MINITAB 15.

La variable de respuesta es “Dollars”, y la variable independiente es “Miles”




Ejercicio 1> Usando MINITABSeguidamente en la ventana Regression,

haga clic sobre el botón:

Options

Para efectos de este ejercicio, solamente seleccione la opción:

PRESS and Predicted R-Squared

Otras de la opciones como:1. Variance Inflation Factor2. Durbin-Watson statistic3. Lack of Fit Test

Son de gran utilidad y se mencionarán en ejercicios siguientes




Ejercicio 1> Usando MINITABLuego acceda en la ventana de

Regressión al botón:

Graphs

Y selecciones:

En Residuals for Plots: marque Regular

En Residual Plots: marque Four in one

(esta es una diferencia sensible de MINITAB 15 respecto de otros software de análisis, ya que los gráficos de residuos cuatro-en-uno son de inmensa ayuda al analista)




Ejercicio 1> Usando MINITABPosteriormente acceda en la misma

ventana de Regression al botón:

Results

Y seleccione la opción :

In addition, the full table of fits andresiduals

Vuelva a la venta Regression y oprima OK, para ejecutar el análisis




Exercise 1> MINITAB• Welcome to Minitab, press F1 for help.• Retrieving project from file: 'C:\Program Files\Common• Files\System\MSMAPI\1033\MINITAB.test.doe'•• Regression Analysis: Dollars versus Miles

• The regression equation is• Dollars = 262 + 1.26 Miles

• Predictor Coef SE Coef T P• Constant 262.1 171.3 1.53 0.140• Miles 1.25839 0.04999 25.17 0.000

• S = 319.068 R-Sq = 96.5% R-Sq(adj) = 96.3%

• PRESS = 2706970 R-Sq(pred) = 95.95%

Nota:MINITAB 15 calculael PRESS y el R-sd(predicted) y (adjusted)




Ejercicio 1> MINITAB: ANOVA• Analysis of Variance

• Source DF SS MS F P• Regression 1 64514397 64514397 633.71 0.000• Residual Error 23 2341501 101804• Total 24 66855898

MINITAB calcula el estadístico F y un valor de poder de la prueba, p-value




Ejercicio 1> MINITAB>Residuos




Ejercicio 1> MINITAB>Residuos

El instructor ayudará para facilitar la interpretación de esta importante prueba




Tratamiento de los ResiduosTal y como se mencionó anteriormente, unos de

los supuestos de la regresión es que los residuos tienen una media que es cero, y una varianza constante.

Antes de proceder a concluir si el modelo es consistente, es necesario analizar los residuos.

MINITAB 15 facilta esta labor con el gráfico cuatro-en-uno.

Frecuentemente muchos analistas preguntan:

¿Tienen lo residuos algo que ver con datos observados atípicos?

¿Pueden existir otras causas por las cuales los residuos no se comporten como se espera?

Tomemos unos minutos para debatir sobre esto.




Ejercicio 2>MINITABPara este ejercicio se hará uso de la catapulta.

Forme su equipo, y proceda a:

1. Determine una variable independiente, un factor, que explique cómo lanzar la pelota lo más lejos posible.

2. Proceda a efectuar un total de 12 ensayos, manteniendo todas los demás factores constantes.

3. Documente los resultados4. Introduzca los resultados en MINITAB 155. Efectúe un análisis de regresión, con

gráficos, PRESS, y demás indicadores6. Concluya y exponga sus resultados

Este ejercicio también ayuda a verificar buenas prácticas de experimentación.

Tome atención de los detalles y el método como ejecuta el experimento.




Ejercicio 3>CorrelaciónPor medio de MINITAB 15, se explorará

un ejercicio de Correlación.

Para esto, ejecute MINITAB 15.

Abra el ejercicio de muestra llamado:

GRADES.MTW

Una vez abierto, acceda a:

Stat ►Basic Statistiscs ► Correlation

Nota: este ejercicio es el ejemplo contenido en el menú de ayuda de MINITAB 15.

En la ventana de Correlation, introduzca las variables:

• Verbal• Math• GPA

Y oprima OK




Ejercicio 3>CorrelaciónLos resultados son: Por favor, acceda a

Stat ►Basic Statistiscs ► Correlation

Y oprima el botón HELP, para ingresar a este ejemplo ya resuelto, y junto al facilitador leer la interpretación de resultados.




Ejercicio 3>Matrix PlotUna herramienta muy útill, de formato

gráfico, que provee MINITAB 15, es el Matrix Plot.

Acceda a:

Graph ►Matriz Plots

En la ventana Matrix Plots, escoja:

Simple




Ejercicio 3>Matrix PlotLuego ingrese, en Graph Variable, en la

ventana Matrix of Plots, Simple, las variables:

• Verbal• Math• GPA

Y oprima OK




Ejercicio 4>MINITABPara este ejercicio se hará uso de la catapulta,

nuevamente.

Forme su equipo, y proceda a:

1. Determine una variable independiente, un factor, que explique cómo lanzar la pelota lo más lejos posible.

2. Proceda a determinar tres niveles para esa variable independiente (por ejemplo: posición A, B,C de la liga)

3. Efectúe para cada nivel, al menos 8 lanzamientos.

4. Documente los resultados5. Introduzca los resultados en MINITAB 156. Efectúe un análisis de regresión, con

gráficos, PRESS, y demás indicadores7. Concluya y exponga sus resultados

NOTA:En este caso, en la ventana de

Regression, en el botón Options, escoja:

Lack of fit Tests►Pure error

Junto con el facilitador, darán explicacióna esta importante función de MINITAB 15.




Ejercicio 4>Lack of FitDe acuerdo con MINITAB Help:

Lack-of-fit tests

• Es utilizado en regresión y en diseño de experimentos, para comprobar el ajuste de su modelo. Si el valor p-value es menor al valor alfa seleccionado, hay evidenciade que su modelo no se ajusta exactamente a los datos. Usted podría necesitar una adición de términos, o transformar los datos para modelar más exactamente los datos. MINITAB calcula dos tipo de “pruebas-de-falta-de-ajuste”

• Pure error lack of fit test: Úselo si los datos contienen replicas (multiplesobservacione para valores idénticos de la variable x) y si usted estásimplificando el modelo. Las replicas representan el error puro porque solamente la variabilidad aleatoria puede causar diferencias entre los valores de la respuesta observada. Si usted está reduciendo su modelo y el p-value resultante es menos que el valor de alfa seleccionado, entonces usted debe retener el término que removió del modelo.




Ejercicio 4>Lack of Fit• Data subsetting lack of fit test:

Úselo si sus datos no contienen réplicas y usted quiere determinar si usted está modelando correctamente la curvatura. Este método identifcacurvatura en los datos e interacciones entre predictores que podrían afectar el ajuste del modelo. Cuando el Data Subsetting p-value es menos que el valor de alfa, MINITAB despliega el mensaje “Possible curvature in variable X (P-Value = 0.006 )." Existe evidencia que esta curvatura no estáadecuadamente modelada. Después de examinar los datos originales en un diagrama de dispersión, usted podría incluir un término de mayor orden para modelar la curvatura




Regresión>Fitted Line PlotEn algunas situciaciones el análisis

lineal es insuficiente, y entonces se puede acudir a un análisis polinomial, de segundo o tercer orden).

La regresión polinomial permitir modelar curvaturas en los datos, entre la variable independiente y la dependiente.

MINITAB 15 facilita estos cálculos, por medio de la opción Fitted LinePlot.

Para mostrar como trabaja este análisis, por favor acceda al archivo de ejemplo:

EXH_REGR.MTW

Una vez que haya cargado los datos del ejemplo en MINITAB 15, seleccione:

Stat ► Regression ► Fitted Line Plot




Regresión>Fitted Line PlotEn este ejemplo, usted está

estudiando la relación que existe entre los parámetros operacionales de una máquina, y el consumo energético.

Se sabe que la relación no es lineal, y se supone que hay una curvatura.

Para efectos del análisis usted selecciona efectuar un análisis cuadrático de las variables.

Variables bajo estudio:

• EnergyConsumption• Machinesetting

Como experto conocedor del proceso,usted cree que para obtener una distribución más simétrica del error, es mejor aplicar una transformación a la variable de respuesta.

Nota: este ejercicio es parte de los ejemplos de MINITAB 15, al cual se le han agredado algunos análisis, para un mejor entendimiento




Regresión>Fitted Line PlotSe recomienda siga estos pasos:

Graph ► Probability Plot(haga un probability plot de la variable de

respuesta, ¿qué observa?

Stat ► Regression ► Fitted Line Plot

En la ventana Fitted Line Plot, seleccione las variables bajo estudio.

Además, en Type of Regression Model, escoja: Quadratic.

Posteriormente presione el botón Options




Regresión>Fitted Line Plot




Coeficiente de SpearmanEl coeficiente de escalafón de Spearman, o

simplemente, coeficiente de Spearman, es una prueba de estadística no-paramétrica.

Recuérdese que la estadística no-paramétricaes ampliamente utilizada en casos en los que los datos:

- Requieren un método que trabaje con datos enumerativos (conteos)

- El método de análisis no trabaja con parámetros poblaciones específicos

- El método de análisis no requiere supuestos acerca del comportamiento de la distribución de probabilidad (muy particularmente, los supuestos de normalidad)

Hay casos en donde los datos vienen dados en un formato de escalafón, o bien “X” o “Y” no se comportan normalmente, por ejemplo. En estos casos es común utilizar el estadístico de Spearman, para determinar el grado de correlación entre las variables.




Coeficiente de SpearmanEl coeficiente de Spearman, satisface los

mismos criterios que el coeficiente de Pearson, en términos de que va desde -1 hasta 1.

No se ahondará en los aspectos estadístico-matemáticos que explican el coeficiente de Spearman.

Pero, si se explicará, gracias a MINITAB 15, un ejemplo.

Nota: MINITAB 15 no provee un ejemplo directo para el coeficiente de Spearman; así que, se utilizarán varios sub-menús de ejemplo, para poder construir la aplicación de Spearman.




Ejemplo>Coeficiente de Spearman

Acceda al Menú de HELP en MINITAB 15.

Una vez en el menú HELP, haga una búsqueda para:

Example of Measures ofAssociation for Ordinal Data

Busque el archivo EXH_TABL.MTW

Siga los pasos del ejemplo, para ordenar los datos de acuerdo con la variable Sales.

Se notará que este ejercicio provee tanto el coeficiente de Spearman con el de Pearson.




Ejercicio>Coeficiente de Spearman

Junto con su equipo de trabajo, tome 20 minutos para:

• Definir• Diseñar• Calcular • Interpretar

Un ejemplo con de correlación donde aplique el coeficiente de Spearman.

En la práctica, pocos analistas usan el coeficiente de Spearman, dado que típicamente se emplea más el de Pearson.

Pero, hay situaciones en donde el coeficiente de Spearman es el más adecuado, y aun así no se emplea, por desconocimiento o falta de experiencia.




Bibliografía

(1) Amir Aczel, Complete business statistics. Richard D. Irwin Inc., 1989.(2) www.est.uc3m.es (3) www.wikipedia.com(4) MINITAB 15 Stat Guide y HELP Menu




Aclaraciones

Este documento utiliza material contenido en MINITAB 15. Todos esos ejemplos son propiedad de MINITAB Inc.

Esta obra pretende funcionar como un complemento didáctico para todos aquellos usuarios de MINITAB 15, que son hispano-parlantes, y como una guía para los representantes de MINITAB en América Latina.

Puede entonces catalogarse este documento como una guía ampliada a la ayuda (HELP) de MINITAB 15, para usuarios que recientemente se introducen al uso del software.

No es el propósito de este documento ser un libro en estadística, mejoramiento continuo o similar, ni tampoco pretende este material reemplazar el entrenamiento certificado de MINITAB Inc., el cual se recomienda grandemente.

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