Maestría en Educación

MEDIDAS DESCRIPTIVAS

Presenta:MTI Omar Baltiérrez Méndez

Medidas Descriptivas

Importancia de la medidas descriptivas

• no basta con organizar los datos a través de arreglos de distribuciones de frecuencias, ni tampoco el presentarlos a través de gráficas que permiten ver su comportamiento.

Cuando se requiere proceder al análisis

de los datos

previamente

recolectados,

…Importancia de la medidas descriptivas

• que ayuden a resumir el comportamiento de los datos bajo estudio.

Es necesario, además de lo

anterior el utilizar una

serie de medidas

descriptivas

• que el que se obtiene a partir de las tablas y gráficas.

Así, se puede obtener un

conocimiento más preciso de los datos

Medidas descriptivas

Las medidas descriptivas son valores numéricos

calculados a partir de la

muestra y que nos resumen la

información contenida en

ella.

Medidas descriptivas

Medidas de Centralización o de Tendencia Central

Medidas de Centralización

• es un valor que se puede tomar como representativo de todos los datos.

Nos dan un centro

de la distribuci

ón de frecuenci

as,

Medidas de Centralización Hay diferentes modos para definir el "centro" de las observaciones en un

conjunto de datos. Por orden de importancia, son:

Media

Mediana

Moda

La media aritméticaLa media aritmética es lo que

comúnmente llamamos promedio, siendo

precisamente esta medida la más importante (de las medidas de tendencia

central), pues es fundamental en el análisis estadístico.

Esta medida se calcula al sumar los valores de un conjunto de datos y

dividir dicha suma entre el número total

de ellos.

La formula para el calculo de la misma se

presenta a continuación:

Calculo de la media para datos no agrupados: _

X = X i Ec. 2.1 n

= X i Ec. 2.2 N Donde: _ X = Media o promedio muestral. = Media o promedio poblacional.

X i = i-ésimo dato. n = Número total de datos. N = Número total de la población.

Ejemplo de la media aritméticaLa Compañía Café del Noreste, embolsa sobres

de café de 100 gramos cada uno, la directiva preocupada por la calidad, le ha pedido al gerente de producción que verifique el llenado de los mismos con la cantidad especificada anteriormente, motivo por el cual obtuvo una muestra de 10 sobres y observo la siguiente distribución:

95, 97, 93.2, 94, 96, 98.4, 95, 96.1, 95, 96.4 Se pide calcule la media para este grupo de

datos.

SoluciónSi aplicamos la ecuación ec. 2.1 

_ X = ∑ Xi = (95 + 97 + 93.2 + 94 + 96 + 98.4 + 95 + 96.1 + 95 +

96.4) n 10 _ X = 956.1 = 95.61 gramos por sobres. 10 

Cuando el número de los datos es muy grande, el ejemplo de la ec. 2.1 resultaría inadecuada pues el calculo sería muy tedioso, por lo que resulta más práctico estimar dicha medida a partir de datos agrupados.

Sin embargo, es importante aclarar que los métodos utilizados para tal fin solo representan una aproximación (bastante buena) del verdadero valor de las medidas calculadas (el cual se calcularía a partir de los datos no agrupados).

Calculo de la media para datos agrupados: _

X = S f i Xi Ec. 2.3 nm = S f i Xi Ec. 2.4 N Donde: _ X = Media o promedio muestral. m = Media o promedio poblacional.

Xi = Punto medio de dicha clase o marca de clase.

f i = Frecuencia de la clase i-ésima n = Número total de datos. N = Número total de la población.

Ejemplo con datos agrupadosSupóngase que se desea estimar

la media aritmética de los datos de la tabla que muestra las calificaciones obtenidas en un examen parcial de cierta materia por un grupo de 28 estudiantes.8.0

4.18.57.26.34.47.5

6.05.78.67.85.84.48.6

6.99.78.97.07.07.06.0

5.86.45.14.02.62.31.1

Partiendo de dicha tabla se puede obtener un estimado de la media de dichos datos usando la ec. 2.3 como se muestra en la tabla

Clase Frecuencia

(fi)

Punto medio

(Xi)fi Xi

1.10 - 2.822.82 - 4.54 2.54 - 6.266.26 - 7.987.98 - 9.70

34696

1.963.685.407.128.84

5.88 14.72 32.40 64.08 53.04

28 170.12

Obtención de la media aritmética para las calificaciones parciales a partir de datos

agrupados

Por lo tanto, la media será:_

X = ∑ f i Xi = 170.12 = 6.075 n 28

Si se compara este valor con la media obtenida a partir de los datos no agrupados que se muestran en el ejemplo de las calificaciones, el cual es de 6.167, se observa que la variación es de 1.5 % por lo que la aproximación es bastante buena, como generalmente sucede.

 Es importante aclarar que si la distribución de frecuencias se hubiese hecho sin perdida de información la media obtenida a partir de datos agrupados sería exacta

Por último, resulta interesante comentar que William J. Stevenson señala que la media presenta ciertas propiedades útiles e interesantes, que explican porque es la medida central que se utiliza más ampliamente:

1.  La media siempre se puede calcular para un conjunto de números.

2. Existe una media única para un conjunto dado de números.

3. La media es sensible (o afectada) a cada valor del conjunto. De este modo, si cambia algún valor, la media también cambiará.

4. Si se suma una constante a cada valor del conjunto, la media aumentará por la misma cantidad. De manera que si se suma una constante de 4.5 a cada valor, la media aumentará en 4.5. En forma similar, el restar de cada valor una constante, o bien, multiplicarlo o dividirlo por la misma, hará que la media disminuya por la misma cantidad, o resulte multiplicada o dividida por dicha constante.5. La suma de desviaciones de los números de un conjunto a partir de la media, es cero: S(Xi - m) = 0.

Media ponderada.

La fórmula (ec. 2.1) para calcular la media aritmética supone que cada observación es de igual peso como generalmente sucede.

Sin embargo hay ocasiones en que cada observación puede tener distinto peso por lo que el calculo de esta nueva media ponderada deberá considerar los diferentes pesos que tengan cada una de las observaciones contempladas para lo cual debe emplearse la siguiente fórmula:

Media ponderada = Wi X i Ec. 2.4

W i Donde: Wi = es el peso de la observación i-ésima. Xi = i-ésimo dato observado.

Para ilustrar el empleo de esta fórmula considere el siguiente ejemplo:

 Ejemplo: Un profesor ha establecido que en su asignatura habrá tres exámenes parciales con un valor de 25% cada uno, que las tareas y los trabajos tendrán un peso de 15% y que las exposiciones de clase valdrán el restante 10 %.

 Si al finalizar el curso un alumno obtuvo los siguientes resultados:

Concepto Calificación Ponderación

Examen No. 1Examen No. 2Examen No. 3Tareas y trabajosExposiciones

7285918892

0.250.250.250.150.10

Total 1.00

¿Cuál es la calificación final del alumno?Solución:

Calif. = Media Ponderada = 72(0.25) + 85(0.25) + 91(0.25) + 88(0.15) + 92(0.10) 0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.15 + 0.10Calificación final = 84.4

La mediana

• la mitad de los números tendrá valores que son menores a la mediana y la otra mitad alcanzará valores mayores que está.

La mediana

es la medida

que divide un conjunto ordenado en dos grupos

iguales;

Calculo de la mediana para datos no agrupadosEl procedimiento para obtener la mediana es:

1. Ordenar los datos.2. Contar para saber si existe un número de

datos par o impar.3. En caso de que se tenga un número impar

de datos, la mediana vendrá a ser el valor intermedio. Si por el contrario, el número de datos es par la mediana será el promedio de los valores intermedios.

 Por lo anterior se concluye que la mediana es

el elemento (n + 1/2) en un arreglo de datos.

EjemploSupóngase que tres alumnos

obtuvieron las siguientes calificaciones en determinado semestre, como se muestre en la tabla Alumno Calificaciones Calificaciones

ArregladasMediana

No. 1No. 2No. 3

6 9 8 7 910 8 6 7 8 8 9 9 10 10

6 7 8 9 96 7 8 8 108 9 9 10 10

889

Calificaciones obtenidas por tres diferentes alumnos en un semestre.

¿Cuál sería la mediana para los datos dados en la tabla? Solución:Obsérvese que son 10 datos

(par), por lo que los elementos 5 y 6 son los valores intermedios, por lo tanto la mediana será:Mediana = 10.3 + 10.3 = 10.3

2

Calculo de la mediana para datos agrupadosPara estimar la mediana a partir de una distribución de frecuencias se empleará el ejemplo de las calificaciones parciales cuya distribución de frecuencias se presenta en la tabla que a continuación se reproduce:

Clase Frecuencia1.10 - 2.822.82 - 4.544.54 - 6.266.26 - 7.987.98 - 9.70

34696

Para simplificar todo este procedimiento Richard I. Levin recomienda utilizar la siguiente

fórmula para determinar la mediana a partir de datos

agrupados:

~ m = (n + 1)/2 - (Fa + 1) w + Lm Ec. 2.5 fm Donde: ~ m = Mediana muestral. n = Número total de elementos en la distribución. Fa = Suma de todas las frecuencias de clase hasta pero sin incluir a la clase mediana. fm = Frecuencia de la clase mediana. w = Ancho del intervalo de clase. Lm = Limite inferior del intervalo de clase mediana.

Así, para el ejemplo anterior se tiene: ~ n = 28 m = (28 + 1)/2 - (13 + 1) 1.72 + 6.26 Fa = 13 9 fm = 9 ~ w = 1.72 m = 14.5 - 14 1.72 + 6.26 Lm = 6.26 9 ~ m = 6.355

La modaLa moda es una medida de tendencia central similar a la mediana ya que no se calcula por métodos ordinarios de aritmética (como en el caso de la media aritmética).

La moda se puede definir como el valor que más se repite dentro de un conjunto de datos.

En realidad la moda es una de las medidas menos utilizadas ya que no se inclina por un análisis matemático.

Para ilustrar la obtención de la moda, se hará el siguiente ejemplo:

En una estación de aforo vehicular en la zona centro de Cd. Valles, se observaron la siguientes velocidades a las que circula un vehículo, como se muestra en la tabla

22242525262627272727

28282828292929292929

30303030303030303131

Donde se puede observar que el valor que más veces se repite es el de 30 Km/hr, el cual constituye la moda.

AHORA SÍ, EJERCICIOS!