medidas de tendencia central media, moda y mediana

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Media, moda y mediana.

Medidas de tendencia central

Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número que represente lo “promedio” de ese conjunto de valores. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central .

Notación sumatorial

La letra griega sigma mayúscula se utiliza mucho en estadística para simbolizar la sumatoria de un conjunto de elementos de una sucesión. Por ejemplo:

1. significa: La sumatoria de la variable x.

2. significa. La sumatoria de los cuadrados de la variable y.


Ejemplo.


Ejemplos:

A. Escribir en la forma desarrollada.


Ejemplos:

Si

.


Ejemplos:

Si


Evaluar una sumatoria:

Si

.


Determinar la forma compacta de las siguientes sumatorias:

Media, mediana y moda de datos no agrupados.

Media.

Es una medida que da al centro de un conjunto de datos organizados preferentemente en orden ascendente.


Media.

Su cálculo: , donde:


Media.

Ejemplo 1: Hallar la media aritmética de los pesos de cinco estudiantes, si sus pesos son: 56, 47, 61, 44, 78 libras.


Media.

Ejemplo 2: Una compañía tiene 8 empleados, los cuales ganan al mes L. 876.50; L. 786.87, L. 567.00, L. 800.00, L. 669.80, L. 700.00, L. 550.60, L. 567.13 respectivamente. ¿Cuál es la media mensual que se paga?


Mediana.

Es el valor de la variable que ocupa la posición central de una distribución. Generalmente se usa el símbolo


Mediana.

Ejemplo 1. Hallar la mediana de una muestra, cuyas observaciones son: 5, 8, 3, 6, 9, 4, 10.


Mediana.

Ejemplo 2. Hallar la mediana de una muestra, cuyas observaciones son: 3, 6, 4, 7, 9, 8.


Moda.

De un conjunto de observaciones es aquel valor que ocurre mayor número veces en una distribución.

Generalmente se usa el símbolo para representarla.


Moda.

Ejemplo 1: Hallar la moda de las observaciones: 7, 8, 4, 6, 5, 6, 6.


Moda.

Ejemplo 2: Hallar la moda de las observaciones: 2, 7, 5, 3, 4, 6, 5, 7.

Media, mediana y moda de datos agrupados en frecuencia simple.

Una distribución de frecuencia simple, es aquella en donde figuran los valores de la variable realmente observados, con sus respectivas frecuencias o número de veces que aparece repetida en la distribución.


Ejemplo: Los siguientes datos corresponden al aumento de peso en gramos, de pollos alimentados con una dieta rica en proteínas.

Aumento Peso Número de pollos

X f

12.512.713.013.113.213.8

262229124


Bajo las condiciones anteriores (frecuencia simple) la media, mediana y moda se obtiene de la siguiente forma:

Media.

Donde:


Mediana. Es el valor de la variable que ocupa la posición central de la distribución. La posición de ese valor, se calcula con la fórmula:

Donde:

Para calcular su valor, se necesitan las frecuencias acumuladas de la distribución.


Moda. Es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia en la distribución. Para su cálculo no se necesita efectuar ninguna operación.


Regresemos al ejemplo anterior.

Vamos a Excel.

Media ponderada

Media ponderada. La variable en estudio es asociado a ciertos pesos o factores.

Se definirá así:

Media ponderada

Ejemplo 1: En una compañía constructora, 10 asesores principiantes reciben L. 60.00 cada uno; 4 asesores antiguos reciben L. 85.00 cada uno y un asesor especialista L. 125.00 como complemento de sus sueldos.

¿Por qué este ejemplo es de media aritmética ponderada?

Media ponderada

Ejemplo 2: Un profesor de matemática decide medir la importancia relativa de las 5 calificaciones bimestrales de un alumno que obtuvo 50%, 80%, 70%, 70% y 65% de acuerdo a la duración; esto es, 1, 2, 3, 2, 3.

a. ¿Cuál es la media aritmética simple?

b. ¿Cuál la ponderada?

Media, mediana y moda de datos agrupados – tabla de distribución de frecuencias.

Algunas veces las variables toma muchos valores distintos y se organizan en tablas de distribución de frecuencias, donde no figuran los valores de la variable realmente observados (X). En esa tabal de distribución de frecuencias, los intervalos de la clase (X), se sustituyen por puntos medios o marcas de clase (Xm), que son valores singulares.


Media.

Donde:


Media.

Veamos en Excel un ejemplo de cálculo de la media.


Mediana.

Es un valor central de una distribución. El 50% de las observaciones está por arriba de este valor y el otro 50% está por debajo de él.

Veamos en Excel un ejemplo de cálculo de la media.


Mediana.

Para obtener el valor de la Me, se necesitan límites reales y la frecuencia acumulada.

La fórmula es la siguiente:


Donde:

: Mediana

: Límite real inferior de la clase mediana.

: Posición de la mediana.

: Total de frecuencias.

: Frecuencia acumulada hasta antes del intervalo que contiene la clase mediana.

: Frecuencia de la clase mediana.

: Anchura del intervalo que contiene la clase mediana.


Mediana.

Veamos un ejemplo en Excel.


Moda.

Es el valor que más se repite en una distribución de frecuencias.

Se usa la siguiente fórmula:


Moda.

Donde:

: Moda

: Límite real inferior que contiene la clase modal.

: Frecuencia de la clase modal menos la frecuencia anterior (inmediata anterior).

: Frecuencia de la clase modal menos la frecuencia posterior (inmediata posterior).

: Anchura del intervalo que contiene la clase modal.


Moda.

Veamos un ejemplo en Excel.

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