medidas de tendencia central

• Jocelyn Peralta• Víctor Manuel Pichardo• Carolina Marte• Yermy Capellán• Mario Alberto Durán• Anny Lorena

Presentado por:

JUAN CARLOS ZAPATA(2013-0195)

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Media Aritmética, Mediana y Moda

IMPORTANCIA DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de Tendencia Central son empleadas para resumir a los conjuntos de datos que serán sometidos a un estudio estadístico, se les llama medidas de tendencia central porque general mente la acumulación más alta de datos se encuentra en los valores intermedios.

OBJETIVO DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central tienen como objetivo el sintetizar los datos en un valor representativo.

1. Moda - Es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de datos.

2. Mediana – Representa el valor de la variable que deja por debajo de sí a la mitad de los datos en un conjunto ordenados de menor a mayor.

3. Media – Promedio o valor obtenido por la suma de todos los datos (valores) dividida entre el número de sumandos.

Medidas de tendencia central mas empleadas

• Sirven para mostrar en qué lugar se ubica la persona promedio o típica del grupo.

• Permiten para comparar o interpretar cualquier puntaje en relación con el puntaje central o típico.

• Ayudan comparar el puntaje obtenido por una misma persona en dos diferentes ocasiones.

• Facilitan la comparación de los resultados medios obtenidos por dos o más grupos.

Funciones de la medidas de tendencia

central

Procedimientos para obtener medidas estadisticas

Si los datos se encuentran ordenados en una tabla estadística diremos que se encuentran “agrupados” y si los datos no están en una tabla hablaremos de datos “no agrupados”..

NOTACIÓN SUMATORIA

NOTACION SUMATORIA

La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma) es una operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos.

1

n

ii

XX(i) representa el operador de la suma.

i es el subíndice de la suma.i1 es el límite inferior de la suma.n es el límite superior de la suma.

EJEMPLO 1

5

1i

i

PROPIEDADES NOTACION SUMATORIA

La sumatoria de una constante es igual al producto de la constante por el número de veces que se presenta.

NKkn

i

1

EJEMPLO 2

Sean n=4 y k=8

4

1

8i

10

1

13k


La sumatoria del producto de una constante es igual al valor de la constante por la sumatoria de la variable.

n

i

n

i

xKxK1

11

1

EJEMPLO 3

5 52 2

1 1

3( 1) 3 ( 1) 3(2 5 10 17 26) 3·60 180k k

k k

5

1

2 )1(3i

k


La sumatoria de la suma (o diferencia) de dos variable es igual a la suma (o diferencia) de las sumatorias individuales de las dos variables

n

i

n

i

n

i

yxyx1

11

11

11 )(

EJEMPLO 4

3

1

2 )(k

kk

Moda y mediana NM4 Educación Matemática

MEDIA ARITMÉTICA

El Problema

• El profesor de Estadística llevó a clase un bote de cristal lleno de canicas, dijo que había entre 20 y 30, y preguntó cómo podíamos averiguar cuántas canicas había sin sacarlos del bote.A los alumnos se nos ocurrió que entre todos averiguásemos cuántas canicas podía haber. Así que preguntamos uno por uno a todos los compañeros para que dijesen cuántos boliches estimaban que había en el bote.

LA MUESTRA

• Todas las respuestas las recogimos en una lista numérica, obteniendo con ello una muestra estadística:21,25,24,29,26,24,23,25,28,29,26,22,25,21,22,24,24,26,23,21Esta lista corresponde a las 20 respuestas obtenidas de todos los compañeros de clase

Una medida de centralización

• Razonamos que el número exacto de canicas debería de ser un valor central en la muestra, algunos tendrían que haberse pasado y otros deberían de haberse quedado cortos.

Una medida de centralización

El alumno X propuso que ese “valor central” se podía obtener sumando todas las respuestas y dividiendo por el número de respuestas. A esta medida obtenida de esa forma se le llama MEDIA.Media=Media=24.4

nxxxx xx n2 ...431

Media Aritmética para DATOS NO AGRUPADOS

Ejemplo: Los pesos (en libras) de cinco niños recien nacidos en un centro de maternidad fueron los siguientes:

x1= 6,8,7,10,14

nx

x 1

Media Aritmética para DATOS AGRUPADOS

nfx

x 11

Ejemplo Práctico para DATOS NO AGRUPADOS

Calcule la media aritmética de la estatura (pulgada) de los sesenta estudiantes universitarios:

CARACTERISTICAS de la MEDIA ARITMETICA

• Solo puede ser calculada por valores cuantitativo.

• Se Toman en cuenta todos los valores de la Variable

• Es altamente afectada por valores extremos.

• No puede ser calculada en distribuciones de frecuencia de clases abierta.


MEDIA ARITMÉTICA

PONDERADA

Media ponderada

• La media ponderada es también llamada media pesada.

• Se usa cuando las observaciones no tienen el mismo peso o la misma importancia sobre el total.

i

ii

w

w

xwx

LA MEDIA PONDERADA EJERCICIO DE APLICACIÓN 1

En un instituto superior trabajan 10 docentes nombrados y 40 docentes contratados. El sueldo promedio por hora de los docentes nombrados es de S/.30 y el de los contratados es de S/.25. ¿Cuál es el sueldo promedio por hora de todos los docentes?

EJEMPLO 1

1. Identificando las frecuencias y los pesos (por su importancia)

Docentes Frecuencias Peso

Nombrados 10 30Contratados 40 25


MEDIANA

LA MEDIANAEs el valor que ocupa el lugar central de todos los datos de la muestra cuando éstos están ordenados de menor a mayor. La mediana se representa por Me. La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para datos no agrupadosSe deben ordenar los datos de forma creciente, para muestras con un número impar de observaciones, la mediana es el dato que queda en el centro de dicha ordenación y para muestras con número par de observaciones, la mediana es el promedio de los dos datos centrales de la muestra.a) Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6b) Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.7, 8, 9, 10, 11, 12

Para datos agrupadosPara la ubicación de la clase donde se ubica la mediana, utilizaremos el siguiente criterio.

Este criterio bastará para determinar la mediana para datos puntuales agrupados. Y la siguiente fórmula se utiliza para hallar la mediana para datos agrupados en intervalos.

MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS


MODA para DATOS AGRUPADOS


• Cuando hablamos de moda, por ejemplo en vestuario, se relaciona con aquella prenda que se usa masivamente.

• Entonces, se podría inferir que la moda tiene que ver con la frecuencia con que se usa cierta prenda de vestir.

Moda


• En estadística ocurre algo semejante.• La moda es aquel dato que más se

repite.• Es decir, aquel dato que tiene mayor

frecuencia.

Moda

La Moda


MODA para datosNO AGRUPADOS


• Es el dato que mas veces se repite es decir el que tiene mayor frecuencia.

Moda Para Datos no agrupados

• EJEMPLO:Hallar la Moda de los siguientes valores: 1,3,5,2,5,1,4,51= 2 veces2= 1 vez3= 1 vez4= 1 vez5= 3 veces

Resultado:5 es la moda


Los siguientes datos provienen del resultado de entrevistar a 30 personas sobre la marca de gaseosa que más consume a la semana:

EJEMPLO #2

Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 1 Marca 1 Marca 3Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 1Marca 2 Marca 1 Marca 3 Marca 3 Marca 2 Marca 1Marca 1 Marca 1 Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 2Marca 3 Marca 1 Marca 3 Marca 3 Marca 2 Marca 3

La marca 1 se repite 15 vecesLa marca 2 se repite 6 vecesLa marca 3 se repite 9 veces

Resultado:Marca1 es la moda

MEDIA GEOMÉTRICA

MEDIA GEOMÉTRICA

En matemáticas y estadística, la media geométrica de una cantidad arbitraria de números (por decir n números) es la raíz n-ésima del producto de todos los números, es recomendada para datos de progresión geométrica, para promediar razones, interés compuesto y números índices.

Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es

Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería

Propiedades

• El logaritmo de la media geométrica es igual a la media aritmética de los logaritmos de los valores de la variable.

• La media geométrica de un conjunto de números positivos es siempre menor o igual que la media aritmética:

• La igualdad sólo se alcanza si

MEDIA ARMÓNICA

LA MEDIA ARMÓNICA• La media armónica (designada usualmente mediante H) de

una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades.

• Así, dados n números x1, x2, ... , xn la media armónica será igual a:

• La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.

• La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo.

PROPIEDADES

• La inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos de los valores de la variable.

• Siempre se puede pasar de una media armónica a una media aritmética transformando adecuadamente los datos.

• La media armónica siempre es menor o igual que la media aritmética, ya que para cualquier número real positivo

medidas de tendencia central

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