Ejercicio 2. Medidas de tendencia central

Media aritmtica ponderada

A diferencia de la media aritmtica esta media adems de incluir nmeros incluye factores de peso, los factores de peso son asignados dependiendo de la relevancia de cada nmero.

Nmero: kX

Factor de peso: kw

Ejemplo: 1 1 2 21 2

......

k k

k

wXw X w X w XXw w w w+ +

= =+ +

Ejemplo: En laboratorio, teora y problemas de Fsica un estudiante ha sacado 71, 78 y 89 puntos respectivamente. Los pesos asignados a las pruebas fueron 2, 4 y 5 respectivamente Cul es su puntuacin media? 81.73

( ) ( ) ( )2 71 4 78 5 89 8992 4 5 11

81.73X+ +

= = =+ +

Se emplea cuando cada dato de un conjunto tiene una importancia relativa respecto de los dems datos.

La mediana

La mediana de un conjunto de nmeros acomodados en orden de magnitud es el valor central o la media de los dos valores centrales.

Ejemplo 8. La mediana del conjunto de nmeros 3, 4, 5, 6, 8, 8, 8 y 10 es 6.

Ejemplo 9. La mediana del conjunto de nmeros 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15 y 18 es (9+11)= 10

Mediana para muchos datos

-para cantidad de datos impar

Frmula para determinar la posicin central de la mediana 1

2N +

donde N es igual al total de

datos

Ejemplo: 3, 5, 6, 7 y 7

N= 5

5 1 6 32 2+

= = Posicin de la mediana est en el tercer lugar 6X =

-para cantidad de datos pares

Frmulas para determinar la posicin central de la mediana 2N

, 12N+ donde N es la cantidad de

datos

Ejemplo: 7, 9, 10, 11, 12 y 14

N= 6

Primera posicin 6 32= , segunda posicin

3 1 42+ = ; los valores de la posiciones son 10 y 11

respectivamente. La mediana se obtiene con la siguiente frmula 10 11 10.5

2X += =

En datos agrupados, la mediana se obtiene por interpolacin, como se expresa por la frmula

( )11

2mediana

N fMediana L c

f

= +

Donde

L1= frontera inferior de la clase mediana (de la clase que contiene la mediana)

N= nmero de datos (frecuencia total)

( )1f = suma de las frecuencias de todas las clases anteriores a la clase de mediana

medianaf = frecuencia de la clase mediana

C= amplitud del intervalo de la clase

Geomtricamente, la mediana es el valor de X (abscisa) que corresponde a una recta vertical que divide al histograma en dos partes que tienen la misma rea. A este valor de X se le suele denotar X .

Media geomtrica G

La media geomtrica G de un conjunto de N nmeros positivos X1, X2, X3,XN es la raz N-sima del producto de esos nmeros.

1 2 3...N NG X X X X=

Ejemplo: la media geomtrica de 2, 4 y 8 es ( )( )( ) 33 2 4 8 64 4G = = =

Esta media se utiliza tpicamente para calcular promedios de tasas de crecimiento, solo se define para nmeros positivos, nunca es mayor que la media aritmtica

La media armnica H

La media armnica H de un conjunto de nmeros X1, X2, X3, XN es el recproco de la media aritmtica de los recprocos de esos nmeros:

1

111 1N

j j

NH

XN X=

= =

11 1 1xH N N X

= =

Ejemplo: la media armnica de los nmeros 2, 4 8 es

3 3 3.431 1 1 72 4 8 8

H = = =+ +

La media armnica considera todos los valores de la distribucin en algunas ocasiones es ms representativa que la media aritmtica.

La influencia de los valores pequeos y la razn de que se puede determinar en las distribuciones con algunos valores iguales a cero; no es aconsejable su empleo en distribuciones donde existan valores muy pequeos. Se suele utilizar para promediar velocidades, tiempos, rendimientos, etc.

La media Cuadrtica (MQ) o Raz Cuadrada media

La media cuadrtica (MQ) de un conjunto de nmeros X1, X2, , XN se suele denotar por 2X y se define como

22

12

N

jj

XX

MQ XN N

== = =

Este tipo de promedio se utiliza con frecuencia en las aplicaciones fsicas.

Ejemplo: la media cuadrtica del conjunto 1, 3, 4, 5 y 7 es

2 2 2 2 21 3 4 5 7 20 4.475

+ + + += =

Algunos ejemplos donde se emplea esta media es en el clculo de la corriente y el voltaje en circuitos elctricos.

Deciles y percentiles

Los deciles son los valores que dividen a un conjunto de datos en diez partes iguales y se denotan D1, D2, , D9.

Los percentiles son los valores que dividen a un conjunto en 100 partes iguales y se les denota P1, P2, , P99.

El 5to decil y el 50 percentil coinciden con la mediana. Colectivamente, cuartiles, deciles y percentiles se les denominan cuantiles.

Estimacin de parmetros poblacionales mediante un intervalo de confianza

Si la distribucin de S es aproximadamente normal (N>30), se puede esperar que exista un estadstico muestral S que se encuentre en los intervalos

a , 2 a 2 o 3 , a 3 ,s s s s s s s s s s s s + + + a 68.27%, 95.45% y 99.73% de las veces, respectivamente.

De la misma forma, se puede hallar s en los intervalos

a , 2 a 2 o 3 , a 3s s s s s sS S S S S S + + + a 68.27, 95.45 y 99.73% de las veces, respectivamente. Debido a esta caracterstica a estos intervalos se les llama intervalos de confianza de 68.27, 95.45 y 99.73% para estimar s . A los nmeros de los extremos de estos

intervalos ( , 2 y 3s s sS S S ) se les llama lmites de confianza o lmites fiduciables.

De igual manera, 1.96 y 2.58s sS S son los lmites de confianza de 95% y de 99% (o de 0.95 y 0.99) para S . Al porcentaje de confianza se le suele llamar nivel de confianza. A los nmeros 1.96, 2.58, etc., que aparecen en los lmites de confianza, se les llama coeficientes de confianza o valores crticos y se denotan cz . A partir de los niveles de confianza se pueden encontrar los coeficientes de confianza y viceversa.

Los lmites de confianza para la desviacin estndar de una poblacin distribuida normalmente, estimada a partir de una muestra con desviacin estndar s, estn dados por

2c s cs z s z

N =

Intervalo de confianza para 2 de una poblacin normal

Ejemplo: Obtencin de los lmites superior e inferior:

Ejemplo: 6.0, 6.4, 7.0, 5.8, 5.9, 6.7, 6.1, 6.5, 6.3 y 5.8

n= 12

S= 0.391868098

NC= 95% = = 5%

2 20.025,11

2

, 1 21.92X n X = =

2 20.975,111

2

, 1 3.816X n X

= =

( ) ( )2 22 2

12 2

1 * 1 *, 1 , 1

n S n SX n X n

( ) ( )2 2212 1 *0.391868 12 1 *0.39186821.92 3.816

Lmite superior =0.0770

Lmite inferior = 0.4426

Medidas de dispersin

Las medidas de dispersin ms empleadas son el rango, la desviacin media, el rango semiintercuartil, el rango percentil 10-90 y la desviacin estndar.

Rango

El rango de un conjunto de nmeros es la diferencia entre el nmero mayor y el nmero menor del conjunto.

Ejemplo: El rango del conjunto 2, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 10, 12 es 12 2 = 10. Algunas veces el rango se da mediante el nmero menor y el nmero mayor.

Desviacin media

La desviacin media, o desviacin promedio, de un conjunto de N nmeros X1, X2, . . . , XN se abrevia DM y est definida as:

1

N

jj

X X X XDM

N N X X=

= = =

X es la media aritmtica de los nmeros

jX X es el valor absoluto de la desviacin de jX respecto de X .

El valor absoluto de un nmero se indica por medio de dos barras verticales colocadas a los lados del nmero, as 4 4, 3 3, 6 6 y 0.84 0.84 = + = = =

Esta frmula es til para datos agrupados, donde las jX representan las marcas de clase y las jf las correspondientes frecuencias de clase. En ocasiones, la desviacin media se define en trminos

de las desviaciones absolutas respecto de la mediana o de otro promedio, y no respecto de la

media. Una propiedad interesante de la suma 1

N

jj

X a=

es que es mnima cuando a es la mediana.

Rango semiintercuartil

El rango semiintercuartil, o desviacin cuartil, de un conjunto de datos se denota Q y est definido por

3 1

2Q QQ =

1Q y 3Q son el primero y tercer cuartiles en los datos. Algunas veces se usa el rango intercuartil

3 1Q Q ; sin embargo, el rango semiintercuartil es ms usado como medida de dispersin

Se usa para construir los diagramas de caja y bigote (box plots) que sirven para visualizar la variabilidad de una variable y comparar distribuciones de la misma variable; adems de ubicar valores extremos.

Rango percentil 10-90

El rango percentil 10-90 o recorrido estadstico es el intervalo de la diferencia entre el valor mximo y el valor mnimo de un conjunto; comparte unidades con los datos. Permite obtener una idea de la dispersin de los datos, cuanto mayor es el rango, ms dispersos estn los datos de un conjunto.

El percentil es una medida estadstica muy utilizada. Es una medida de posicin no central que nos dice cmo est posicionado un valor respecto al total de una muestra.

Se define:

Rango percentil 10-90 = P90 P10

donde P10 y P90 son los percentiles 10o. y 90o. en los datos. El rango semipercentil 10-90, 1 2 (P90 P10), tambin puede usarse, pero no es muy comn.