medidas de tendencia central

Medidas de

Tendencia Central

Nunca se alcanza la verdad total,

ni nunca se está totalmente alejado de ella. Aristóteles 384 AC-322 AC.

Aunque se organicen los datos en una forma útil y significativa es preciso

disponer de los datos de forma tal que puedan presentarse proposiciones cuantitativas

(Haber y Runyon, 1992). Una forma útil de describir a un grupo en su totalidad es

encontrar un número que lo represente (Levin, 1979). Se ha observado que una de

las características que se presenta en múltiples distribuciones de frecuencias es que

los datos se acumulan alrededor de un valor central situado entre los dos extremos de

la variable que se estudia (Haber y Runyon, 1992). En la investigación social, ese

valor se conoce como una medida de tendencia central, ya que está generalmente

localizada hacia el medio o centro de una distribución en la que la mayoría de los

puntajes tienden a concentrarse (Levin, 1979). La tendencia central es un índice de

localización central empleado en la descripción de las distribuciones de frecuencias.

La capacidad de localizar un punto de tendencia central puede ser muy útil para el

investigador. Por ejemplo, podrá reducir una masa de datos a un simple valor

cuantitativo que llegará a ser comprendido y comunicado a otros especialistas.

5

Arnaldo Torres Degró y Evelyn Afanador Mejías

114

[5.1] Tipos de Medidas de Tendencia Central

Puesto que el centro de una distribución puede ser definido de diferentes

maneras, habrá también diferentes medidas de tendencia central. Usualmente se

conocen tres (3) técnicas: la moda, la mediana y la media aritmética.

Moda

La medida de tendencia central mas fácil de obtener es la moda. Esto es cierto

debido a que la moda (Mo) puede encontrarse simplemente por inspección más que

por cálculos (Levin, 1979). Se usa propiamente con datos nominales, pero puede

emplearse con datos ordinales, de intérvalo y de razón (Downie y Heath, 1986). La

moda (Mo) es el valor que se repite con mayor frecuencia en una distribución

específica. Si todos los valores son diferentes, no existe la moda; por otra parte, un

conjunto de valores puede tener más de una moda (Daniel, 1985). Sintetizando,

podemos indicar que en una distribución específica podemos encontrar más de una

moda, una sola moda o ninguna moda.

Mediana

Es el valor que se encuentra en el centro de un conjunto. Por consiguiente, es

el valor que divide la población o la muestra en dos parte iguales; de tal forma que la

mitad de los valores son mayores que la mediana y la otra mitad es menor que la

mediana. Una de las cualidades de esta medida es que los valores extremos no

afectan el resultado.

Media Aritmética

Es la medida de tendencia central comúnmente utilizada. Es el centro de

gravedad, el punto alrededor del cual los valores se aglutinan. Usted probablemente

estará íntimamente familiarizado con la media, porque siempre que obtiene un

"promedio" de calificaciones (notas) donde suman los valores de las notas y se divide

por el número total de notas se calcula la media aritmética. La media aritmética es la

sumatoria (Σ) de todos los valores (ƒ) de una población (N) o una muestra (n), dividida

entre el número de valores que se sumaron. La media aritmética obtenida de la

Medidas de Tendencia Central

115

población se representa con la letra griega µ (Miu) y la media aritmética obtenida de la

muestra se representa con la letra latina χ (χ barra). La fórmula para expresar la

media aritmética en la población o universo es:

Mientras que la fórmula para expresar la media aritmética en una muestra es: El resultado de la media aritmética es afectado por cada valor. Los valores extremos

influyen en la media aritmética y en algunos casos pueden distorsionarla tanto que

resulte inconveniente como una medida de tendencia central.

µ = Σƒ N

χ = Σƒ n

µ = Σƒx N

χ = Σƒx n


116

[5.2] Análisis de Tendencia Central a partir de un

Arreglo de Datos

Cuando un investigador conduce un estudio, de ordinario reúne gran cantidad

de información numérica o datos acerca de un problema, confrontado frecuentemente

con masas de datos que necesitan ser descritas (Otto, 1987). En su forma original, tal

cual son recopilados, estos datos están usualmente desorganizados. El ser humano o

la mente humana no pueden extraer el significado de un gran conglomerado de datos

si el mismo no está organizado.

Si analizamos la data arriba expuesta, podemos constatar que la edad inicial del uso

de Internet entre los estudiantes de ciencias políticas de la Universidad Pitirre de

Puerto Rico en el año académico 2003-2004 están desorganizadas. Por consiguiente,

la desorganización de dichos datos nos dificulta por ejemplo establecer cuál fue la

edad inicial del uso de Internet que más se repitió entre los estudiantes de ciencias

políticas de la Universidad Pitirre de Puerto Rico o cuál es la edad inicial del uso de

Internet más alta o la más baja entre los estudiantes de ciencias políticas de la

Universidad Pitirre de Puerto Rico. Hay que estar clara que a mayor cantidad de datos

desorganizados (cien, quinientos, o cientos de miles) aumenta el grado de dificultad

para contestar estas preguntas.

Edad inicial del uso de Internet entre los estudiantes

de ciencias políticas de la Universidad Pitirre de

Puerto Rico entre el año académico 2003-2004

21 10 18 18 21 15 16 15 16 22

12 23 23 23 10 18 13 23 12 15

22 10 16 16 12 23 16 13 13 21

13 15 15 12 13 16 13 15 21 15

datos hipotéticos


117

Para poder contestar estas interrogantes debemos de acomodar los datos de

una forma útil utilizando el arreglo de datos. El mismo consiste en organizar los

datos obtenidos en una forma ordenada, de menor a mayor o viceversa. Con esta

estructura establecida, podemos con facilidad aplicar diversos métodos estadísticos

para poder entender mejor el conjunto de datos en estudio. Si quisiéramos realizar un

análisis de tendencia central sobre la edad inicial del uso de Internet entre los

estudiantes de ciencias políticas de la Universidad Pitirre de Puerto Rico del año

académico 2003-2004, el primer paso sería organizar las edades de mayor a menor o

viceversa (ver figura 5.1). A partir de este arreglo de datos es posible obtener con

más facilidad la moda, la mediana y la media aritmética.

Moda

La moda como establecimos anteriormente es el valor que aparece con mayor

frecuencia o el más que se repite. No hay que realizar ningún cálculo, solamente

inspeccionar u observar el conjunto de datos organizados. Si analizamos los

estudiantes de ciencias políticas de la Universidad Pitirre de Puerto Rico organizados

conforme la edad inicial del uso de Internet (ver figura 5.2) podemos establecer a

simple vista que se repiten las edades. No nos debemos confundir, si observamos la

figura 5.2 es posible identificar nueve (9) grupos que repiten sus valores: de la edad

10 se repiten 3; de la edad 12 se repiten 4; de la edad 13 se repiten 6; de la edad 15

se repiten 7; de la edad 16 se repiten 6; de la edad 18 se repiten 3; de la edad 21 se

Σƒ 1008.36

Figura 5.1

Edades organizadas de menor a mayor

10 10 10 12 12 12 12 13 13 13

13 13 13 15 15 15 15 15 15 15

16 16 16 16 16 16 18 18 18 21

21 21 21 22 22 23 23 23 23 23

N= 40 datos hipotéticos


118

repiten 4; de la edad 22 se repiten 2 y de la edad 23 se repiten 5.

Para buscar la moda (mo) de la edad inicial del uso de Internet entre los

estudiantes de ciencias políticas de la Universidad Pitirre de Puerto Rico que más se

ha repetido tendríamos que señalar que la edad quince (15) es el que tiene más

presencia, con siete (7) repeticiones. Podemos concluir que la edad inicial del uso

de Internet entre los estudiantes de ciencias políticas de la Universidad Pitirre

de Puerto Rico para el año académico 2003-2004 que más se repitió fue 15 años.

Obviamente, las demás edades tiene repeticiones pero la edad 15 sobrepasa las

demás edades en cantidad. Veamos otro escenario, supongamos que la edad quince

(15) la elimináramos (ver figura 5.2.a).

Figura 5.2

Para establecer la Moda (mo)

10 10 10 12 12 12 12 13 13 13

13 13 13 15 15 15 15 15 15 15

16 16 16 16 16 16 18 18 18 21

21 21 21 22 22 23 23 23 23 23

N=40 datos hipotéticos

Figura 5.2.a

Para establecer la Moda (mo)

10 10 10 12 12 12 12 13 13 13

13 13 13 __ __ __ __ __ __

16 16 16 16 16 16 18 18 18 21

21 21 21 22 22 23 23 23 23 23



119

Si tuviéramos que buscar la moda (mo) según las edades que aparecen en la figura

5.2.a nos daríamos cuenta que de todas los grupos que se repiten hay dos edades

que tienen el valor máximo de repetición: la edad trece (13) con seis (6) repeticiones y

la edad dieciséis (16) con seis (6) repeticiones. Hay un empate y en el momento de

seleccionar la moda hay que seleccionar ambas edades, es decir, la moda es 13 y 16.

Mediana

Para buscar la mediana según el arreglo de datos, o sea, el valor que está en el

medio de un conjunto de datos, existen dos (2) métodos:

1. Si el número de valores, casos u observaciones es impar, la mediana será el valor que está en el centro, cuando todos los valores se han arreglado en forma ordenada. Ejemplo, si tienes un grupo de 5 individuos con las siguientes edades 16, 21, 19, 19, 17 y deseas obtener la mediana de la edad de dicho grupo podemos observar que la cantidad de sujetos es impar. Por tanto, teniendo los casos organizados de mayor a menor o viceversa la mediana se encontrará en el medio luego de dividir la población en dos mitades.

2. Si el número de valores, casos u observaciones es par, no se tiene una sola observación en el centro, sino dos (2). En este caso se toma la mediana como la media de estas dos (2) observaciones, cuando todas las observaciones se han arreglado en forma ordenada. En otras palabras, se suman los valores y se divide entre dos (2), siendo este resultado la mediana. Ejemplo, si tienes un grupo de 8 individuos con las siguientes edades 16, 21, 19, 18, 17, 24, 22, 22 y deseas obtener la mediana de la edad de dicho grupo podemos observar que la cantidad de sujetos es par. Por tanto, teniendo los casos organizados de mayor a menor o viceversa la mediana se encontrará entre dos valores luego de dividir la población en dos mitades. Para obtener la mediana debemos coger el último valor de la primera mitad y sumarlo con el

16, 17, 19

▲ 19, 21

mediana


120

primer valor de la segunda mitad. Luego dicho resultado debe ser

dividido por 2, es decir: (19 + 21)÷ 2 = 20 siendo dicho resultado la mediana.

Para conocer, qué método hay que emplear para obtener la mediana (md),

preguntamos: ¿cuántos estudiantes de ciencias políticas de la Universidad Pitirre de

Puerto Rico están participando en el análisis de la edad inicial del uso de Internet? La

respuesta es cuarenta (40) casos, siendo este un número par (ver figura 5.1) Al dividir

los cuarenta (40) casos tendríamos dos (2) grupos de veinte (20) casos sin que se

registre una observación en el centro (ver figura 5.3).

La mediana (md) de las edades de inicio sobre el uso de Internet entre los

estudiantes de ciencias políticas de la Universidad Pitirre de Puerto Rico recayó entre

las edades 15 y 16 (ver figura 5.3) Para calcular la edad inicial del uso de Internet

mediana (md) entre los estudiantes de ciencias políticas de la Universidad Pitirres de

Puerto Rico usaremos la siguiente ecuación:

16, 17, 18, 19

20

▲ 21, 22, 22, 24

mediana

Figura 5.3

Para establecer la mediana (md)


10 10 10 12 12 12 12 13 13 13

13 13 13 15 15 15 15 15 15 15

16 16 16 16 16 16 18 18 18 21

21 21 21 22 22 23 23 23 23 23 15.5

▲

mediana


121

Podemos concluir que en la Universidad Pitirre de Puerto Rico para el año

académico 2003-2004 la edad mediana de inicio sobre el uso de Internet entre

los estudiantes de ciencias políticas fue de 15.5 años. Profundizando más en

dicha conclusión, se puede indicar que el 50 por ciento de los estudiantes de ciencias

políticas de la Universidad Pitirre de Puerto Rico para el año académico 2003-2004

reflejaba que la edad de inicio en el Internet comenzó a los 15.5 años o más. Por otro

lado, podemos señalar lo inverso, que el 50 por ciento de los estudiantes de ciencias

políticas de la Universidad Pitirre de Puerto Rico para el año académico 2003-2004

reflejaba que la edad de inicio en el Internet comenzó a los 15.5 años o menos.

Media Aritmética

Para obtener la media aritmética o simplemente la media según el arreglo de

datos se suman todos los casos y luego se dividen entre la cantidad de casos. La

media aritmética de la edad inicial del uso de Internet entre los estudiantes de

ciencias políticas de la Universidad Pitirre de Puerto Rico para el año académico

2003-2004 la obtendremos de la siguiente manera:

1. Sumando (Σ) todos las frecuencias (ƒ), es decir, todas las edades de cada estudiantes de ciencias políticas de la Universidad Pitirre de Puerto Rico para el año académico 2003-2004 al momento del inicio al uso de Internet (ver figura 5.4). Dicha sumatoria fue de 654.

15 años + 16 años

= (15 + 16) ÷ 2

= 15.5

Edad inicial en

el Internet,

estudiantes de

ciencias políticas

= 2


122

2. Dividirlo por la cantidad (N) de casos, es decir, todos las edades de

inicio en el Internet de todos los estudiantes de ciencias políticas de la Universidad Pitirre de Puerto Rico. Dicha cantidad suma 40 edades.

Podemos interpretar que la Universidad Pitirre de Puerto Rico para el año

académico 2003-2004 la edad media de los estudiantes de ciencias políticas al

inicio del uso de Internet fue de 16.35 años.

654

40

µ = 16.35 años

µ =

µ =

Figura 5.4

Para establecer la media aritmética (µ)

Σƒ = 10 + 10 + 10 + 12 + 12 + 12 + 12 + 13 + 13 + 13

13 + 13 + 13 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15

16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 18 + 18 + 18 + 21

21 + 21 + 21 + 22 + 22 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23

654

N =40 datos hipotéticos

ΣΣΣΣƒ Suma de todas las edades de cada

estudiantes de ciencias políticas de la

Universidad Pitirre de Puerto Rico

N Cantidad de todas las edades de cada

estudiantes de ciencias políticas de la

Universidad Pitirre de Puerto Rico


123

Ejercicios de Tendencia Central según arreglo de datos Favor de identificar las hojas de ejercicios y elaborar todos los problemas según lo establecido en el texto.

Desprenda las hojas de ejercicios y entréguelas al profesor, SI FUESE NECESARIO.

NOMBRE: FECHA: _______________

NUMERO DE ESTUDIANTE: SECCION: ___________

Ejercicio 5.2.1 Favor de utilizar los datos para calcular y analizar la moda, mediana y

media aritmética según el formato de arreglo de datos.

Estudiantes de trabajo social sobre la edad de inicio en el consumo de bebidas

alcohólicas, Universidad Pitirre, Puerto Rico: 2000

10 23 19 17 15 23 19 16 10 16 19 23 17 19 10

23 19 16 10 19 17 10 16 19 15 10 15 14 23 16

19 16 10 16 19 15 17 19 10 23 19 19 15 17 10

17 19 23 16 14 17 23 10

Casos hipotéticos


124



Estudiantes de criminología con respecto al gasto en dólares diario de gasolina,

Universidad Pitirre, Puerto Rico: 2000

12 20 15 10 22 15 10 12 09 22 09 12 08 10 15

10 22 10 12 09 08 15 05 22 05 15 08 10 20 09

20 12 08 15 09 12 05 20 12 10 22 20 12 15

Casos hipotéticos


125



Estudiantes de sociología con respecto a la cantidad de hermanos en su

familia, Universidad Pitirre, Puerto Rico: 2000

2 1 4 3 6 2 7 3 5 1 2 6 3 5 1 3 4 1 2 3 1 4

3 1 3 4 2 8 3 2 5 7 3 2 9 3 1 1 5 3 8 5 1

3 4 3 5 2 1 4 6

Casos hipotéticos


126



Estudiantes de administración pública con respecto a la cantidad de créditos

acumulado de concentración, Universidad Pitirre, Puerto Rico: 2000

18 12 15 20 15 21 27 18 14 16 27 21 24 15 15

27 15 12 18 15 15 18 14 18 16 27 16 18 21 15

18 12 15 27 15 12 18 16 12 15 20 18 16 13 21

15 27 18 12 14 18 27 20 15 14 27 18 20 16 15

Casos hipotéticos


127

[5.3] Análisis de Tendencia Central a Partir de los

Datos no Agrupados

Otra forma de organizar los datos

cuantitativos es utilizando la estructura de datos

no agrupados. Se organizan las categorías de

la variable de interés en orden de magnitud, o

sea, de mayor a menor o viceversa. Los casos

se acumulan según la categoría que aplique. Si

observamos el cuadro 5.1 notaremos que la

variable de interés es la edad de las madres

adolescentes solteras que tuvieron un

nacimiento en Puerto Rico para el año 1993.

La categoría edad, ubicada en la primera

columna (x), se organización de menor a

mayor, comenzando con la edad de 12 años y

culminando con la edad de 19 años1. La otra

columna que aparece en el cuadro 5.1

establece la frecuencia (ƒ) o cantidad de

nacimientos ocurridos con madres

adolescentes solteras que tienen ciertas

edades. Para cada categoría existe una

frecuencia. Por ejemplo, podemos establecer que 7 nacimientos ocurridos en Puerto

Rico para el año 1993 provienen de madres adolescentes solteras que tenían una

edad de 12 años, o que 1,317 nacimientos ocurrieron con madres adolescentes

solteras que tenían una edad de 18 años. Con este tipo de estructura podemos

realizar un análisis de tendencia central. No obstante, para determinar la mediana y la

media aritmética es necesario completar en el cuadro 5.1 dos (2) columnas

adicionales. En la medida que se desarrolle el análisis de tendencia central según la

estructura de datos no agrupados se explicarán las nuevas columnas.

1 Según el Departamento de Salud de Puerto Rico, establece que una mujer que tenga un hijo(a) a los 19 años o menos es considerada una

madre adolescente.

Cuadro 5.1

Frecuencia de nacimientos ocurridos

por madres adolescentes solteras

Puerto Rico, 1993

Edad de madre

adolescente soltera

χχχχ

Nacimientos

ocurridos

ƒƒƒƒ

12 7

13 65

14 273

15 735

16 1,268

17 1,730

18 1,317

19 1,944

Fuente: Cuadro elaborado por el Dr. Arnaldo Torres

Degró con datos obtenidos del Departamento de Salud,

1995. Informe Anual de Estadísticas Vitales de

Puerto Rico: 1993. Nacimientos Vivos, tabla 7.

Nacimientos vivos por sexo, edad de la madre, Estado

Jurídico: p. 51


128

Moda

La moda podremos

encontrarla en la columna (χ), es

decir en las categorías,

observando la columna de

frecuencias (ƒ). La premisa sería,

¿cuál de las categorías es la más

que se repite?. En otras palabras,

en que edad de la madre

adolescentes solteras ocurrieron

más nacimientos. Si analizamos la

figura 5.5 observamos que entre

todas las categorías de las edades

presentadas, la categoría 19 tiene

más nacimientos (1,944).

Podemos concluir que en Puerto Rico para el año 1993 los nacimientos en el grupo

de las madres adolescentes solteras fueron más frecuentes en madres de 19 años de

edad.

Mediana

Para la mediana en datos no agrupados necesitamos la frecuencia acumulada

(ƒa) de los nacimientos ocurridos entre las madres adolescentes solteras. La columna

de frecuencia acumulada (ƒa) es la acumulación de frecuencias o casos de

nacimientos, según van pasando las categorías. Si observamos la construcción de la

columna (ƒa) en la figura 5.6 podemos notar que siete (7) nacimientos ocurrieron con

madres adolescentes solteras de 12 años de edad. Este resultado es el primero que

se registra en la columna (ƒa). Si sumamos la (ƒ) de nacimientos ocurridos con las

madres adolescentes solteras de 12 años de edad con la (ƒ) de nacimientos ocurridos

con las madres adolescentes solteras de 13 años de edad, podemos indicar que hasta

la edad de 13 años hay acumulados 72 nacimientos y el resultado se coloca en la

Figura 5.5 Procedimiento para obtener la

moda según los datos del cuadro 5.1

Edad de

madre

adolescente

soltera

(χχχχ)

12

13

14

15

16

17

18

19

Nacimientos

ocurridos

(ƒƒƒƒ)

7

65

273

735

1,268

1,730

1,317

[1,944]

¿Cuál es la

(ƒ) mayor

moda


129

columna (ƒa). Hasta la edad de 14 años tenemos acumulados 7 + 65 + 273, o sea,

345 nacimientos y el resultado se coloca en la columna (ƒa). Se continuará

acumulando y colocando los resultados en la columna (ƒa) hasta que lleguemos a la

última categoría y por ende a la última acumulación. Cuando llegamos a la última

acumulación podemos establecer que dicho resultado tiene que ser el total de casos

del universo (N). Podemos concluir que 7,339 nacimientos ocurrieron con madres

adolescentes solteras de 19 años o menos.

Terminada la construcción de la columna (ƒa) estaremos en posición de buscar

la mediana. Para desarrollar la mediana debemos realizar los siguientes pasos:

Primer paso: Buscar un Indicador. El mismo se obtiene tomando el total de

casos (N), se suma 1 y luego se divide entre dos (2).

Figura 5.6 Procedimiento para obtener la mediana según los

datos del cuadro 5.1

Edad de

madre

adolescente

soltera

(χχχχ)

12

13

14

15

16

17

18

19

Nacimientos

ocurridos

(ƒƒƒƒ)

7

65

273

735

1,268

1,730

1,317

1,944

Frecuencia

Acumulada

(ƒƒƒƒa)

7

72

345

1,080

2,348

4,078

5395

(N) 7,339

Indicador = ( N + 1 ) ÷ 2


130

Segundo paso: Comparar el indicador con los valores de la columna (ƒa).

Debemos encontrar un valor en la columna (ƒa) que sea igual al indicador o mayor inmediato.

Tercer paso: Una vez encontrado el valor correspondiente nos detenemos y

buscamos la categoría que le corresponda para establecer la mediana.

Para buscar la edad mediana de madres adolescentes solteras observamos

que la columna (ƒa) ha sido creada (ver figura 5.7) y que el paso siguiente es buscar

un indicador.

Ahora comparo el indicador obtenido (3,670) con la columna (ƒa) y busco un valor que

sea igual al indicador (ver figura 5.7). En la columna (ƒa) no hay ningún valor que sea

igual al indicador, por lo tanto, busco un valor que sea mayor inmediato que el

indicador. El valor mayor inmediato de 3,670 es 4,078. Al detenerme en ese valor

inmediatamente busco la edad que le corresponde, siendo 17 años. Podemos

establecer que entre el grupo de madres adolescentes solteras que procrearon

un hijo(a) en Puerto Rico para el año 1993, la edad mediana fue de 17 años.

Profundizando más en este hallazgo podemos señalar que el 50 por ciento o la mitad

de las madres adolescentes solteras que procrearon un hijo(a) en Puerto Rico para el

año 1993, la edad fluctúa entre 17 años o más, o 17 años o menos.

Indicador = ( N + 1 )

2

= ( 7,339 + 1 )

2

= 3,670


131

Media Aritmética

Para buscar la media aritmética a partir del cuadro 5.1 es necesario elaborar

(ver figura 5.8) una columna adicional (ƒx). La columna (ƒx) se obtiene multiplicando

la columna (x) por la columna (ƒ), es decir, ƒx = (x) por (ƒ). Realizada la columna se

debe sumar todos los valores de la columna para obtener la sumatoria de la columna

ƒx ( Σ ƒx). Posteriormente, dicha sumatoria (Σƒx) será usada para obtener la media

aritmética.

Figura 5.7 Procedimiento para obtener la mediana según los datos

del cuadro 5.1

Edad de

madre

adolescente

soltera

(χχχχ)

12

13

14

15

16

17

18

19

Nacimientos

ocurridos

(ƒƒƒƒ)

7

65

273

735

1,268

1,730

1,317

1,944

Frecuencia

Acumulada

(ƒƒƒƒa)

7

72

345

1,080

2,348

4,078

5395

(N) 7,339

¿Qué valor de la columna (ƒa) es igual o mayor

inmediato al valor del indicador (3,670)?

mediana


132

Con la Σƒx obtenida, es decir la suma de todos los valores de la columna ƒx, se

dividirá por la cantidad de casos, es decir por la N. Con esto podemos calcular la

media aritmética:

Podemos interpretar que en Puerto Rico para el año 1993 la edad media (promedio

o media aritmética) de las madres adolescentes solteras que procrearon un

hijo(a) fue de 17.18 años.

Figura 5.8 Procedimiento para obtener la media aritmética según

los datos del cuadro 5.1

Edad de

madre

adolescente

soltera

(χχχχ)

12 por

13 por

14 por

15 por

16 por

17 por

18 por

19 por

Nacimientos

ocurridos

(ƒƒƒƒ)

7 =

65 =

273 =

735 =

1,268 =

1,730 =

1,317 =

1,944 =

(ƒƒƒƒx)

84

845

3,822

11,025

20,288

29,410

23,706

36,936

ΣΣΣΣ ƒx 126,116

µµµµ = ΣΣΣΣƒx N

µµµµ = 126,116 7,339

µµµµ = 17.1843575

µµµµ = 17.18


133

Ejercicios de Tendencia Central según datos no agrupados Favor de identificar las hojas de ejercicios y elaborar todos los problemas según lo establecido en el texto.


NOMBRE: FECHA: _______________


Ejercicio 5.3.1 Favor de utilizar los datos y completar las columnas para realizar un análisis

de tendencia central según datos no agrupados

Frecuencia de nacimientos por edad de madres adolescentes casadas

Puerto Rico, 1993

Edad

14

15

16

17

18

19

ƒ

47

257

579

922

1,317

1,705

ƒa* ƒx*

Σƒx

Fuente: Departamento de Salud de Puerto Rico, 1995. Informe Anual

de Estadísticas Vitales: Puerto Rico 1993. Nacimientos, tabla, 7: pág.

51.


134

[5.3.1.a] Favor de buscar y analizar la moda

[5.3.1.b] Favor de calcular y analizar la mediana

[5.3.1.c] Favor de calcular y analizar la media aritmética


135


de tendencia central según datos no agrupados.

Frecuencia de nacimientos por edad de madres adolescentes (total)

Puerto Rico, 1993

Edad

12

13

14

15

16

17

18

19

ƒ

7

65

320

987

1,847

2,652

3,293

3,649

ƒa* ƒx*

Σƒx

Fuente: Departamento de Salud de Puerto Rico, 1995. Informe Anual de

Estadísticas Vitales: Puerto Rico 1993. Nacimientos, tabla, 7: pág. 51.


136





137

[5.4] Análisis de Tendencia Central a partir de los

Datos Agrupados

Otra forma de organizar los datos

cuantitativos es utilizando la estructura

de datos agrupados. Las categorías se

organizan en grupos o en clases. La

cantidad o frecuencia (ƒ) se va ubicando

conforme la asociación que tenga dicho

caso con la clase. Para el año 2003 en

Puerto Rico se pudo constatar que

21,164 ciudadanos fueron víctimas de

violencia doméstica. Como dato

significativo se puede señalar que el

86.09 por ciento de las víctimas por

violencia doméstica fueron mujeres

(18,221 casos), mientras que el 13.91

por cientos de las víctimas por violencia

doméstica fueron varones (2,943

casos). Esto sugiere que en Puerto

Rico para el 2003 por cada 6.19

mujeres víctimas por violencia

doméstica un varón fue víctima por la

misma causa. Retomando otra vez el

hilo conductor de este tópico, si

observamos el cuadro 5.2 las víctimas

por violencia doméstica en Puerto Rico

para el año 2003 fueron ubicados en

grupos de edades, lo que llamaremos clases. Dichas edades están presentadas en

grupos quinquenales, o sea, en grupos de cinco (5) años. Las edades fueron

organizadas en clases tales como 15 años hasta 19 años, de 20 años hasta 24 años y

así sucesivamente hasta llegar a la última clase de 65 años hasta los 69 años. Cada

clase está constituida por un límite inferior y superior. Al analizar la primera clase del

Cuadro 5.2

Cantidad de víctimas en incidentes de

violencia doméstica por edad

Puerto Rico, 2003

Edad

(x)

(ƒƒƒƒ)

15-19 1,982

20-24 4,901

25-29 4,354

30-34 3,427

35-39 2,442

40-44 1,832

45-49 978

50-54 631

55-59 320

60-64 152

65-69 145

Fuente: Cuadro elaborado por el Dr. Arnaldo Torres Degró con

datos obtenidos de la Policía de Puerto Rico, Superintendencia

Auxiliar del servicio a la ciudadanía, División de Estadística


138

cuadro 5.2 (edad de 15 a 19 años) notaremos que el primer valor (15 años) es inferior

al segundo valor (19 años). Por deducción podemos afirmar que entre la clase (15-

19) la edad de 15 años es un límite inferior (LI), mientras que la edad 19 es un límite

superior (LS).

Para realizar un análisis de tendencia central según la configuración de los

datos agrupados se debe generar otra información (ver diagrama 5.1), adicional a las

clases, las frecuencias (ƒ) y la frecuencia acumulada (ƒa).

Clase = Categorías de la variable cualitativa organizadas en grupos.

LI = Límite inferior o el valor más pequeño de la clase.

LS = Límite superior o el valor más grande de la clase.

ƒ = Frecuencia o cantidad de casos y observaciones.

ƒa = Es la frecuencia (ƒ) acumulada. Esta se obtiene sumando (Σ) la

columna de la frecuencia (ƒ).

I = Es el intérvalo de clase, o sea la distancia que existe entre el límite superior vs. el límite inferior de cada clase. La forma para obtener el intérvalo de clase es:

Pt½ = Es el punto medio, o sea, el valor que se encuentra en el medio de cada clase. Para obtener el Pt½ de cada clase se debe sumar el límite inferior y el límite superior y luego dividirlo entre 2. Las implicaciones del (Pt½) es que se asume que todos los casos se

Diagrama 5.1

Pt½

Clase ƒƒƒƒ ƒƒƒƒa I (x) LRI LRS ƒƒƒƒx (LI-LS)

donde:

I = LS - LI + 1

Pt½ = LI + LS

2


139

encuentran en el medio de su clase. Tomando el cuadro 5.2 como ejemplo, podemos decir que 4,354 víctimas por violencia doméstica en Puerto Rico para el año 2003 tenían entre 25 años a 29 años. Sin embargo, es impredecible establecer cuantos de esa frecuencia tienen 25 años, 26 años, 27, años, 28 años o 29 años. Por tanto, se asume que todos los casos se encuentran en el medio de la clase. Podemos entonces indicar que la edad de todos los casos (4,354 víctimas por violencia doméstica) tenían 27 años. Por tanto, el Pt½ se convierte para cada clase la categoría que representará la frecuencia.

LRI = Límite real inferior: el límite inferior de cada clase se le resta punto cinco (.5)

LRS = Límite real superior: el límite superior de cada clase se le suma punto cinco (.5)

ƒx = Frecuencia (ƒ) multiplicado por el punto medio (Pt½).

Moda

Con estas columnas podemos, sin ninguna dificultad, completar un análisis de

tendencia central. Si quisiéramos obtener la edad que más se repite (moda) de las

víctimas por violencia doméstica en Puerto Rico para el año 2003, tendríamos que

analizar cuál de las clases es la más que se repite. Entre todas las clases (ver figura

5.9) la más que se repite el grupo de 20 a 24 años. Si observamos, en dicha clase se

registraron 4,901 casos, siendo este la frecuencia mayor comparado con las otras

frecuencias. No obstante, entre la clase 20-24 años existen cinco (5) edades. ¿Cuál

de esas edades es la más que se repite?. En otras palabras, de los 4,901 casos,

podremos determinar cuántas víctimas por violencia doméstica tenían 20 años, 21

años, 22 años 23 años o 24 años. Realmente no se posible. Por consiguiente, se

sugiere que se escoja el punto medio de la clase seleccionada. En teoría, estamos

suponiendo que todas las 4,901 víctimas por violencia doméstica que fueron ubicados

LRI = LI ─ . 5

LRS= LS + . 5

ƒƒƒƒx = (ƒƒƒƒ) • (Pt½)


140

entre 20 a 24 años se agrupan en el medio de la clase. Podemos establecer que en

Puerto Rico para el año 2003 la edad que más se repitió entre las víctimas por

violencia doméstica fue de 22 años.

Mediana

Para desarrollar la mediana debemos realizar los siguientes pasos:

Primer paso: Buscar un Indicador. El mismo se obtiene tomando el total

de casos (N), se suma 1 y luego se divide entre dos (2).

Figura 5.9 Procedimiento para obtener la moda según los datos del cuadro 5.2

Edad

(clases)

15-19

20-24

25-29

30-34

35-39

40-44

45-49

50-54

55-59

60-64

65-69

(ƒ)

1,982

[4,901]

4,354

3,427

2,442

1,832

978

631

320

152

145

ƒa

1,982

6,883

11,237

14,664

17,106

18,938

19,916

20,547

20,867

21,019

21,164

I

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

Pt½

(x)

17

22

27

32

37

42

47

52

57

62

67

¿ Cuál es la clase que más se repite?

Moda ►

Por consiguiente, la moda es el Pt½ de la clase.

Indicador = (N + 1) ÷ 2


141

Segundo paso: Comparar el indicador con los valores de la columna

(ƒa). Debemos encontrar un valor en la columna (ƒa) que sea igual al indicador o mayor inmediato.

Tercer paso: Una vez encontrado el valor correspondiente nos

detenemos en ese valor y separamos toda la línea incluyendo la

frecuencia acumulada (ƒa) anterior. El propósito de la separación es que en la misma se encuentra toda la información necesaria para

calcular la mediana.

Cuarto paso: Utilizar la fórmula para calcular la mediana.

LRI = Límite real inferior

I = Intervalo de clase

ƒ = Frecuencia

N = Población

ƒa anterior = Frecuencia acumulada anterior

Prosiguiendo con el ejercicio, para obtener la mediana se debe calcular primeramente

el indicador.

Mediana = LRI + I

ƒ

donde:

N ─ ƒa anterior

2

Indicador = ( N + 1) ÷÷÷÷ 2

= (21,164 + 1) ÷÷÷÷ 2

= 10,582.5


142

Una vez calculado el indicador (10,582.5) reiteramos que el propósito del mismo es

sólo y únicamente señalar. Con esto en mente es posible comenzar el cálculo de la

mediana, veamos:

Ahora, comparo el indicador obtenido (10,582.5) con la columna (ƒa) y busco un

valor que sea igual al indicador. Al no encontrarlo busco un valor que sea mayor

inmediato que el indicador. El valor mayor inmediato a 10,582.5 es 11,237. Al

detenerme en ese valor inmediatamente separo toda la línea y cuando paso por la

columna de ƒa separo la frecuencia acumulada anterior. Recordemos que el propósito

de encasillar la línea correspondiente a la clase 25- 29 años (ver figura 5.10) es

separar la data que será utilizada para calcular la mediana. Con esto establecido

podemos calcular la mediana:

Figura 5.10 Procedimiento para obtener la mediana según los datos del cuadro 5.2

Edad

(clases)

15-19

20-24

25-29

30-34

35-39

40-44

45-49

50-54

55-59

60-64

65-69

Hombres

(ƒ)

1,982

4,901

4,354

3,427

2,442

1,832

978

631

320

151

145

ƒa

1,982

6,883

11,237

14,664

17,106

18,938

19,916

20,547

20,867

21,019

21,164

I

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

Pt½

(x)

17

22

27

32

37

42

47

52

57

62

67

LRI

14.5

19.5

24.5

29.5

34.5

39.5

44.5

49.5

54.5

59.4

64.5

LRS

19.5

24.5

29.5

34.5

39.5

44.5

49.5

54.5

59.5

64.5

69.5

ƒx

33,694

107,822

117,558

109,664

90,354

76,944

45,966

32,812

18,240

9,362

9,715

Σƒx 652,131

N


143

Podemos establecer que en Puerto Rico para el año 2003, la edad mediana

de las víctimas por violencia doméstica fue de 28.75 años. Profundizando más en

este hallazgo podemos señalar que el 50 por ciento o la mitad de las víctimas por

violencia doméstica en Puerto Rico para el año 2003 fluctuaba entre 28.75 años o

más, o 28.75 años o menos.

Media Aritmética

Para buscar la media aritmética a partir del cuadro 5.2 es necesario elaborar

(ver figura 5.10) una columna adicional conocida como (ƒx). La columna (ƒx) se

obtiene multiplicando la columna (Pt½) por la columna (ƒ), es decir, ƒx = (Pt½) por

(ƒ). Realizada la columna se deben sumar todos los valores de la columna para

obtener la sumatoria de la columna ƒx (Σƒx). Posteriormente, dicha sumatoria (Σƒx)

será usada para obtener la media aritmética. La Σƒx obtenida, es decir la suma de

Edad Mediana = LRI + I

ƒ

Edad Mediana = 24.5 + 5

4,354

= 24.5 + 5 (10,582 ─ 6,883)

4,354

= 24.5 + 5 (3,699)

4,354

= 24.5 + .001148369 (3,699)

= 24.5 + 4.247816931

= 28.7478169

= 28.75 años

N ─ ƒa anterior

2

21,164 ─ 6,883

2


144

todos los valores de la columna ƒx, se dividirá por la cantidad de casos, es decir por la

N. Con esto podemos realizar la media aritmética:

Podemos interpretar que en Puerto Rico para el año 2003 la edad media (o la

media aritmética de la edad) de las víctimas por violencia doméstica fue de 30.81

años.

µµµµ = ΣΣΣΣƒx

N

µµµµ = 652,131

21,164

µµµµ = 30.81322056

µµµµ = 30.81


145

Ejercicios de Tendencia Central según datos agrupados Favor de identificar las hojas de ejercicios y elaborar todos los problemas según lo establecido en el texto.


NOMBRE: FECHA: _______________



de tendencia central según datos agrupados.

Frecuencia de víctimas femeninas por violencia doméstica y grupos de edades, Puerto

Rico, 2003

Fuente: Policía de Puerto Rico, Superintendencia Auxiliar del servicio a la ciudadanía, División de Estadística

Edad

(clases)

15-19

20-24

25-29

30-34

35-39

40-44

45-49

50-54

55-59

60-64

65-69

Mujeres

(ƒ)

1,916

4,359

3,717

2,869

2,052

1,539

796

514

250

107

102

ƒa

I

Pt½

(x)

LRI

LRS

ƒx

Σƒx


146





147



Frecuencia de víctimas masculinos por violencia doméstica y grupos de edades, Puerto

Rico, 2003

Fuente: Policía de Puerto Rico, Superintendencia Auxiliar del servicio a la ciudadanía, División de Estadística

Edad

(clases)

15-19

20-24

25-29

30-34

35-39

40-44

45-49

50-54

55-59

60-64

65-69

Hombres

(ƒ)

66

542

637

558

390

293

182

117

70

45

43

ƒa

I

Pt½

(x)

LRI

LRS

ƒx

Σƒx


148





149



Frecuencia de suicidios por grupo de edades, Puerto Rico, 1990

Fuente: Departamento de Salud de Puerto Rico, 1993. Estadísticas Vitales de Puerto Rico: Resumen de una década 1980

al 1990. Muertes por causas externas, tabla 1, pág. 93.

Edad

(clases)

15-19

20-24

25-29

30-34

35-39

40-44

45-49

50-54

55-59

60-64

65-69

70-74

75-79

Suicidios

(ƒ)

12

30

35

45

45

28

30

25

21

21

27

30

32

ƒa

I

Pt½

(x)

LRI

LRS

ƒx

Σƒx


150





151

[5.5] Fórmulas

Media aritmética o media para población

Media aritmética o media para muestras

Indicador

Mediana para datos agrupados

µµµµ = ΣΣΣΣƒƒƒƒ N

χχχχ = ΣΣΣΣƒƒƒƒ n

µµµµ = ΣΣΣΣƒƒƒƒx N

χχχχ = ΣΣΣΣƒƒƒƒx n

I = ( N + 1 )

2

Md = LRI + I

ƒ

N ─ ƒa anterior

2


152

[5.5] Ejercicios Adicionales Arreglo de datos

[5.5.1] Favor de buscar y analizar la moda, mediana y media de la nota del primer examen de los atletas de la

Universidad Pitirre para el año 2004 en el curso de primeros auxilios: datos hipotéticos 56; 78; 78;

75; 77; 72; 75; 79; 79; 80; 72; 73; 74; 72; 75; 73; 72; 70; 72; 80; 77; 75; 72; 90; 88; 72; 74; 78; 80;

66; 72; 76; 83; 90; 72; 77; 79.

[5.5.2] Favor de buscar y analizar la moda, mediana y media de la cantidad de horas semanales viendo

televisión entre los atletas de la Universidad Pitirre para el año 2004: datos hipotéticos 15; 10; 20; 10;

10; 27; 22; 10; 16; 16; 09; 17; 28; 19; 15; 15; 15; 18; 10; 10; 10; 14; 17; 20; 13; 12; 12; 18; 20; 08;

09; 10; 12; 14; 20; 16; 12.

[5.5.3] Favor de buscar y analizar la moda, mediana y media de la cantidad en dólares por concepto en

compra de libros para estudios entre los atletas de la Universidad Pitirre para el año 2004: datos

hipotéticos 95; 76; 50; 88; 50; 89; 74; 90; 56; 86; 89; 90; 69; 150; 120; 120; 90; 96; 89; 100; 89; 58;

90; 60; 100; 58; 88; 79; 90; 100; 120; 90; 99; 87; 90; 99; 130.

Datos no agrupados

[5.5.4] Favor de buscar y analizar la moda, mediana y media de la edad de las mujeres menores quienes se les

presentaron querellas en Puerto Rico para el año fiscal 1991-1992, según los datos registrados en el

ejercicio 6.3 de la página 169.

[5.5.5] Favor de buscar y analizar la moda, mediana y media de la edad de las varones menores quienes se les


ejercicio 6.3 de la página 169..

[5.5.6] Favor de buscar y analizar la moda, mediana y media de la edad de todos los menores quienes se les


ejercicio 6.3 de la página 169.

Datos agrupados

[5.5.7] Favor de buscar y analizar la moda, mediana y media de la edad por suicidio en Puerto Rico para el

año 1980, según los datos registrados en el cuadro 4.1 de la página 105.





medidas de tendencia central

Documents