medidas de tendencia central (1)
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Medidas De
Tendencia Central
Media, Mediana, Moda.
Como su nombre indica, una
medida de tendencia central es
la que describe un valor central
para ubicar la localización del
conjunto de datos.
MEDIA
La media de un conjunto de datosnumérico es el valor que se obtiene alsumar los valores observados (obtenidos) yal dividir la suma entre el número total deobservaciones.
Si las observaciones provienen de unamuestra se llama media muestral; siproceden de toda la población, recibe elnombre de media poblacional.
Ejemplo:
Determinar a partir de una muestra de
14 fósiles, la altura promedio de un
hueso frontal. Para cada fósil en la
muestra, Xi, con i igual al número de la
observación, se mide el hueso en
milímetros (mm) y se obtienen los datos
siguientes.
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14
42 27 25 40 33 31 42 34 35 25 29 30 29 35
Una desventaja de la media es que
puede resultar muy afectada cuando
existen datos inusualmente grandes o
muy pequeños con relación al resto
dentro de un conjunto. Como se ha
señalado, este tipo de datos se llaman
atípicos.
Ejemplo:
Un alumno universitario acaba de
comprar sus libros y observa la cantidad
de páginas que tienen: 247, 312, 198,
780, 175, 286, 293, 258.
¿Cuál es el promedio de páginas que
tienen sus libros?
¿Es esta una buena aproximación para
todos sus libros?
MEDIANA
La mediana es el valor que está justo en
medio de los datos una vez que han
sido ordenados de forma ascendente.
Cuando la muestra tiene un número
impar de datos solo hay un valor en
medio, pero si el número de datos es
par existen dos; en este caso la media
de ambos es la mediana.
La mediana de una muestra se obtiene
al ordenar los datos de menor a mayor,
incluidos los valores que se repiten, de
manera que todos aparezcan en la lista
ordenada. Por tanto:
Mediana= Valor en medio si el número de datos es impar.
Promedio de los valores de en medio si el número
de datos es par.
Ejemplo:
Calcular la mediana para los datos del
ejemplo anterior:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1425 25 27 29 29 30 31 33 34 35 35 40 42 42
MODA
La moda es el valor más frecuente
dentro del conjunto de datos, es decir,
el que tiene mayor frecuencia.
En muchas ocasiones la moda no es
única, pues puede existir más de un
valor con la misma frecuencia dentro
del conjunto de observaciones (datos).
Ejemplo:
Calcular la moda a partir de los
siguientes datos obtenidos en el grupo
de tercer semestre de la licenciatura en
educación preescolar con relación a la
edad:
22 18 19 18 18 20 19 19 21 19
MEDIDAS DE
TENDENCIA CENTRAL
CON DATOS
AGRUPADOS
Media de un conjunto de datos agrupados
La media de un conjunto de datos
agrupados se calcula al usar las marcas
de clase y las frecuencias relativas
asociadas. Si las marcas de clase son X1,
…, Xn y las frecuencias que
corresponden f1, …, fn entonces la
media es un promedio de las marcas
ponderando por las frecuencias; se
calcula como sigue.
Ejemplo:
Calcular la media de una muestra
que presenta datos agrupados.
Un grupo de 45 alumnos presentan
un examen para ingresar a una
universidad. Las calificaciones se
han agrupado como se muestra en
el siguiente cuadro.
Intervalo de calificaciones
Número de personas
[0,10) 2
[10,30) 5
[30,50) 8
[50,60) 9
[60,75) 10
[75,90) 9
[90,100) 2
Intervalo deCalificaciones
Marca de clase
Xi
Número de personas
fi
Xi * fi
[0,10) 5 2 10
[10,30) 20 5 100
[30,50) 40 8 320
[50,60) 55 9 495
[60,75) 67.5 10 675
[75,90) 82.5 9 742.5
[90,100) 95 2 190
Xi * fi
10
100
320
495
675
742.5
190
Total:
Mediana de un conjunto de datos agrupados
La mediana para datos agrupados seubica en el intervalo donde la frecuenciaacumulada relativa alcanza al menos 50%;este intervalo se llama clase mediana y seobtiene por medio de interpolación.
Sea, Li el limite inferior del intervalo en elque se alcanza al menos 50% de los datos;ai, la longitud de dicho intervalo; Fi-1 lafrecuencia acumulada del intervaloanterior, y fi la frecuencia del intervalo quese considera.
Ejemplo:Calcular la mediana de un conjunto de datos
agrupados.
Determinar la mediana de los datos del ejemplo
anterior.Intervalo de
calificacionesNúmero de personas
[0,10) 2
[10,30) 5
[30,50) 8
[50,60) 9
[60,75) 10
[75,90) 9
[90,100) 2
Intervalo deCalificaciones
Número de personas
fi
Frecuenciaacumulada
[0,10) 2 2
[10,30) 5 7
[30,50) 8 15
[50,60) 9 24
[60,75) 10 34
[75,90) 9 43
[90,100) 2 45
Moda de un conjunto de datos agrupados
La moda es el valor más
frecuente en el conjunto de
datos, se encuentra en el
intervalo de máxima
frecuencia que se llama
clase modal.
L1= limite inferior de la clase modal.
Ai= longitud de la clase modal.
Fi= frecuencia de la clase modal.
Fi-1= frecuencia de la clase anterior a la clase modal.
fi-+1= frecuencia de la clase siguiente a la modal.
Ejemplo:
Calcular la moda de un conjunto de datosagrupados.
Determinar la moda del conjunto de datos delejemplo pasado.
Intervalo de calificaciones
Número de personas
[0,10) 2
[10,30) 5
[30,50) 8
[50,60) 9
[60,75) 10
[75,90) 9
[90,100) 2