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20/05/2008 Ing. SEMS

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS(Universidad del Perú, DECANA DE AMERICA)

20/05/2008Ing. EFREN S. MICHUE

SALGUEDO

2.1 INTRODUCCIÓN

En el capítulo anterior estudiamos de qué manera los datos podrían ser presentados en forma compacta, comprensible mediante cuadros y gráficos. Sin embargo con frecuencia necesitamos resumir aún más para facilitar el análisis e interpretación de la información.Cuando la variable en estudio es cuantitativa, el investigador puede estar interesado en encontrar un solo valor que pueda caracterizar más nítidamente la naturaleza de los datos que se están midiendo.Un valor que refleje la tendencia de los datos puede darse mediante las medidas de posición o tendencia central. Para cuantificar la variabilidad de los datos con respecto a un valor central se utilizará las medidas de dispersión o variabilidad.En el gráfico N° 1 se presenta el polígono de frecuencia de las determinaciones de ácido úrico en 250 pacientes reportada durante un año en una comunidad determinada.

20/05/2008 Ing. EFREN S. MICHUE SALGUEDO

GRÁFICO N° 1Pacientes según las determinaciones del

ácido úrico en una comunidad

Sin embargo, también se puede visualizar una variabilidad o dispersión de los datos con respecto al valor central y para cuantificar esta variabilidad se utiliza una medida de dispersión, y puede ser:Amplitud totalVarianzaDesviación estándarCoeficiente de variación

Según el gráfico, observamos en esta distribución, que los datos tienden a concentrarse alrededor de un valor central que puede ser:Media aritméticaMedianaModaCuantiles

Pacientes según las determinaciones del ácido úrico

0

10

20

30

40

50

60

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0

DET.DE ACIDOURICO

No


2.2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central permiten hallar un solo valor numérico e indican el centro de un conjunto de datos. Debido a esta circunstancia, suelen ser llamados de posición o tendencia central.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS NO AGRUPADOS

A .- MEDIA ARITMÉTICA:

La media aritmética denominada también promedio se considera como un valor representativo del conjunto de datos que se está estudiando y caracteriza a toda una distribución. En su cálculo intervienen todos los valores que se están estudiando. A continuación damos la siguiente definición:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

X


Definición.- Si tenemos n datos representados por: X1, X2, ... , Xn.La media aritmética de estos n datos está dado por:

Simbólicamente lo podemos representar como:

n

XX

n

1ii∑

==

Ejemplo 1: Las edades de 6 pre escolares son:Xi: 4, 1, 3, 5, 2, 3 años.La edad promedio de estos 6 niños es:

36

325314X 618 ==

+++++=

nxx...xxxX n1-n321 +++++

=


La edad promedio de los 6 pre escolares es de 3 años, esto quiere decir que cada pre escolar asume una edad de 3 años por que la media aritmética es un valor representativo del conjunto de datos.

Propiedades de la media aritmética

• La media aritmética puede ser un valor positivo, cero, o un valor negativo.• Si a los valores que estamos estudiando le sumamos o restamos una constante, el valor de la nueva media aritmética quedaría como la media aritmética de los datos originales más o menos la constante que se ha agregado.


Ejemplo 2: Consideremos los datos en el ejemplo 1, es decir; 4, 1, 3, 5, 2, 3. La media aritmética de estos datos fue 3.Si a cada uno de los datos le sumamos el valor de 2, la media aritmética de estos nuevos valores es:

La nueva media aritmética es X´ = 30/6 = 5, es decir,2X23X' +=+=

xi xi+24 61 33 55 72 43 5

18 30


Si a cada uno de los valores le restamos 1, según la propiedad el valor de la nueva media aritmética es:

Si a cada valor de la serie le multiplicamos pon una constante, la nueva media aritmética sería igual a la media aritmética original multiplicada por la constante, es decir:

donde k es una constante

La suma de las desviaciones de los datos con respecto a la mediaes cero, es decir:

2131XX' =−=−=

XkX' =

0X1i

i X =⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

−∑=

n ⎞⎛


B.- MEDIANA (Me)

La mediana es un valor que divide a la distribución ordenada en forma ascendente o descendente en dos grupos iguales, es decir, a cada grupo le corresponde el 50% de los datos. El siguiente diagrama nos da una idea intuitiva de lo que es la mediana:

50% 50%

Vmin Me V max

Para calcular el valor de la mediana de los datos X1, X2, ..., Xn, se tendráen cuenta el siguiente procedimiento:


Se ordenan los datos en forma ascendente o descendente.

Si N es impar, el valor de la mediana es el valor del centro, es decir

Donde (n + 1)/2 es la posición de la mediana

Si N es par, el valor de la mediana va a estar dado por:

esto quiere decir, que el valor de la mediana se encuentra entre los valores cuya posición son: n/2 y n/2 + 1

1)/2(ne XM +=

2XX

M 1)(n/2n/2e

++=


Ejemplo 3: Encontrarla edad mediana de las edades de 7 niños que se presentan a continuación: 2, 3, 6, 1, 5, 7, 9

Ordenando la serie se tiene : 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9

Como el número de datos es impar (n = 7), se tiene que la posición de la mediana es: (n + 1)/2 = (7 + 1)/2 = 4, por consiguiente, el valor de la mediana está ubicada en la posición 4, es decir, Me = X4 = 5 años.

Esto significa que el 50% de los pre escolares tienen una edad de 5 años o menos y el 50% restante están por encima de 5.


Ejemplo 4: Encontrar el puntaje mediano, de 8 puntuaciones que se dan a continuación: 11, 8, 13, 20, 14, 3, 7, 12

Ordenando la serie ascendente, se tiene: 3, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 20.En este caso, N es un número par, por consiguiente la mediana se localiza entre los valores X4 y X5 (o sea, está entre la posición 4 y 5), es decir, entre los valores 11 y 12Por tanto el valor de la mediana es: Me = (11 + 12)/2 = 11.5Esto nos indica que el 50% de los puntajes están por debajo de 11.5 años y el 50% restante por encima de los 11.5 puntos.

Nota: El valor de la mediana puede o no coincidir con uno de los datos que se están estudiando.


Ejemplo 5: Calcular la media aritmética y la mediana para la siguiente serie de datos: 2, 4, 5, 6, 9, 30, 11. Además, identifique cuál de ellos es el más representativo.

Tenemos que la media aritmética es:

9.44767

7113076542X ==++++++

=

Para encontrar el valor de la mediana primero ordenamos la serie, es decir: 2, 4, 5, 6, 9, 11, 30. Como n es impar la posición del valor de la mediana es: 8/2 = 4, por consiguiente el valor de la mediana es Me = X4 = 6


Dado que la serie de datos está afectado por un valor extremo, éste va a distorsionar el valor de la media aritmética por que en su cálculo intervienen todos los valores, mientras para calcular el valor de la mediana interviene un solo dato (o los dos datos centrales) por lo tanto no se ve afectada por el valor extremo.

Por consiguiente la mediana será el más representativo por que la media aritmética es más sensible a las variaciones extremas.Por otro lado, la media aritmética se considera una medida más estable de muestra en muestra que la mediana, por que en su cálculo intervienen todos los valores.


Ejemplo 6: Encontrar el valor modal de la siguiente serie de datos: 2, 3, 4, 5, 5, 6, 4, 5. Ordenando los datos, se tiene:

Por consiguiente la moda es Mo = 5, por que es el dato que posee la mayor frecuencia.

C.- LA MODA ( Mo ).-

Se utiliza mayormente cuando la característica en estudio se ha medido en escala nominal u ordinal. La moda es la observación que mayormente se repite (o es la observación que posee la mayor frecuencia).

xi fi

2 13 14 25 36 1

8


Ejemplo 7: En una determinada institución, 100 socios fueron clasificados según su estado civil:

Estado civil fi

Soltero 30Casado 60Divorciado 10

Total 100Como la variable en estudio es cualitativa, el valor modal es unvalor categórico, por consiguiente la moda es la categoría de mayor frecuencia, es decir: Mo = Casado.

Nota: En una distribución puede existir dos o más modas.


MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS

Es decir en tablas de distribución de frecuencias.D.- MEDIA ARITMÉTICATratándose de datos agrupados o que están en una tabla de distribución de frecuencias, tenemos la siguiente fórmula para calcular la X:

Donde:X1, X2, ... , X m : son marcas de clasef1, f2, ... , f m : son frecuencias absolutas que corresponden a las marcas de clases respectivasm : número de clases o intervalos

nfx...fxfxfxX mm332211 ++++

=


La fórmula de la media aritmética en forma abreviada está dada por:

n

Xf

f

XfX

m

1kkk

m

1kk

m

1kkk ∑

∑

∑=

=

= ==


La fórmula para la media cuadrática, cúbica y bi cuadrática:

n

XfM

m

1k

2kk

q

∑==

3

m

1k

3kk

c n

XfM

∑==

4

m

1k

4kk

b n

XfM

∑==

Media cuadrática

Media cúbica

Media bi cuadrática


X´ i-1 X´ i X i f i X if i X2i X2

if i X3i X3

if i X4i X4

if i

10 20 14,5 10 145,0 210,3 2102,5 3048,6 30486,3 44205,1 442050,625

20 30 24,5 18 441,0 600,3 10804,5 14706,1 264710,3 360300,1 6485401,13

30 40 34,5 32 1104,0 1190,3 38088,0 41063,6 1314036,0 1416695,1 45334242

40 50 44,5 20 890,0 1980,3 39605,0 88121,1 1762422,5 3921390,1 78427801,3

50 60 54,5 15 817,5 2970,3 44553,8 161878,6 2428179,4 8822385,1 132335776

60 70 64,5 5 322,5 4160,3 20801,3 268336,1 1341680,6 17307680,1 86538400,3

Total 100 3720,0 155955,0 7141515,0 349563671,3

Media 37,20 1559,6 71415,2 3495636,7

Media q 39,49

Media c 41,49

Media b 43,24

MEDIA ARITMÉTICA, CUADRÁTICA, CUBICA Y BICUADRATICA


La media aritmética, cuadrática, cúbica y bi cuadrática:

49.39100

155955Mq ==

49.41100

7141515M 3c ==

2443100

3349563671M 4b ..

==

Media cuadrática

Media cúbica

Media bi cuadrática

Media aritmética 20.37100

0.3720X ==


La fórmula para la media geométrica y armónica:

n

)fX Ln(antilnM

m

1kkk

g

∑==

1m

1kkk

a n

)f(1/XM

−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=∑

Media geométrica

Media armónica


MEDIA GEOMETRICA Y ARMONICA

X´ i-1 X´ i X i f i X if i LnX i Ln(X i)f i 1/X i (1/X i)f i

10 20 14,5 10 145,0 2,6741 26,7 0,068966 0,6896552

20 30 24,5 18 441,0 3,1987 57,6 0,040816 0,7346939

30 40 34,5 32 1104,0 3,5410 113,3 0,028986 0,9275362

40 50 44,5 20 890,0 3,7955 75,9 0,022472 0,4494382

50 60 54,5 15 817,5 3,9982 60,0 0,018349 0,2752294

60 70 64,5 5 322,5 4,1667 20,8 0,015504 0,0775194

Total 100 3720,0 354,3 3,1540722

Media 37,20 3,5 0,0315407

Media g 34,59

Media a 31,71


La fórmula para la media geométrica y armónica:

59.34100

3.354lnMg =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= anti

71.31100

1540722.3M1

a =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

−

Media geométrica

Media armónica


RELACIONES

bcqga XXXXXX <<<<<


Ejemplo 8: Considerando los datos referente a edades de 40 personas, agrupadas en una tabla de distribución de frecuencias que se da a continuación, se pide encontrar la edad promedio, media armónica, geométrica, cuadrática, cúbica y bi cuadrática.

Por consiguiente, la media aritmética de estas edades es:

Edad fi xi fixi

05 - 09 3 7.0 2110 - 14 9 12.0 10815 - 19 15 17.0 25520 - 24 8 22.0 17625 - 29 5 27.0 135Total 40 695

adaños.de.ed17.37540

695X ⎯→⎯==


Sin embargo, hay situaciones en que los valores de Xi tienen pesos o ponderaciones dados por θi, por consiguiente, se tiene una media aritmética ponderada, es decir:

k21

kk2211

...x...xxX

θθθθθθ

++++++

=


Ejemplo 9: Para determinar el promedio final de un estudiante en el curso de Estadística, se consideran tres componentes con diferentes pesos o ponderaciones. Para tal efecto, se tiene:

Supongamos que un alumno obtiene una nota en el examen parcial 15, en la práctica calificada 16 y en intervenciones orales obtuvo una nota de 12. Por consiguiente, su promedio final es:

Por tanto, la nota promedio final del estudiante es de 14.83 puntos.

xi θi

EP 3PC 2IO 1

83.146

89123

12*116*215*3X ==++++

=


Trabajo : Considerando los datos referente a la distribución de frecuencia ( z, f ). Hallar la media aritmética, armónica, geométrica, cuadrática, cúbica y bi cuadrática.

X i f i

5 4

7 6

9 8

11 15

13 12

15 8

17 6

19 1


0'

m

1kk

'k

0

XXdn

fdXX

−=

+=∑=

cXX

cdd

n

fdcXX

0'

''

m

1kk

''k

0

−==

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+=∑=

1.-

2.-

METODOS ABREVIADO PARA LA MEDIA ARITMETICA


LI LS fk xkd'

(xk-150) d'kfk

117 124 4 120.5 -29.5 -118.0125 132 11 128.5 -21.5 -236.5133 140 18 136.5 -13.5 -243.0141 148 14 144.5 -5.5 -77.0149 156 3 152.5 2.5 7.5

50 -667.0

Xo = 150.00M(d') = -13.34Media= 136.66

66.136X

34.1315050

0.667150X

150Xd '

=

−=−

+=

−=

EJEMPLO

Calcular la media aritmética por el primer método simple de la distribución de frecuencia que aparece a continuación.


LI LS fk xkd''

(xk-143)/8 d''kfk

117 124 4 120.5 -2.8125 -11.25125 132 11 128.5 -1.8125 -19.94133 140 18 136.5 -0.8125 -14.63141 148 14 144.5 0.1875 2.63149 156 3 152.5 1.1875 3.56

50 -39.63

Xo = 143.00M(d'') = -0.79Media= 136.66

66.136X

)79.0(814350

63.398143X

8143Xd ''

=

−−=−

+=

−=

EJEMPLO

Calcular la media aritmética por el segundo método simple de la distribución de frecuencia que aparece a continuación.


Trabajo : Considerando los datos referente a la distribución de frecuencia ( z, f ). Hallar la media aritmética aplicando los métodos abreviados o simples.

X i f i

5 4

7 6

9 8

11 15

13 12

15 8

17 6

19 1


E. MEDIANA (Me)Para calcular la mediana en una tabla de distribución de frecuencias, se usa la siguiente fórmula:Donde:

n/2 = Posición de la MeLi = Límite real inferior de la clase que contiene la Men = Número total de observacionesF i-1 = Frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la que contiene a la mediana (clase mediana)fi = Frecuencia absoluta de la clase que contiene a la Mec = Amplitud de la clase que contiene a la medianaClase mediana: Es la primera clase cuya frecuencia absoluta acumulada excede a n/2.

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+=

−

i

1i

e f

F2n

cLiM


Ejemplo 10: Calcular la Me de la siguiente distribución:Procedimiento:

1.- Calcular las frecuencias acumuladas Fi2.- Calcular N/2 = 40/2 = 20 sirve para detectar la clase mediana3.- Clase mediana: clase cuyo Fi excede a 20 (15-19)4.- De la clase mediana se obtiene

Edad fi Fi

05 - 09 3 310 - 14 9 1215 - 19 15 2720 - 24 8 3525 - 29 5 40Total 40


Li = 14.5 , F i-1 = 12 , C = 5 , f i = 15Los valores encontrados en (2), (3) y (4) lo reemplazamos en la fórmula y se tiene:

Por consiguiente, el 50% de los puntajes están por debajo de 17.17 y el 50% está por encima de 17.17 puntos.

17.17M15

1220514.5M

e

e

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=


LI LS fk Fk117 124 4 4125 132 11 15133 140 18 33141 148 14 47149 156 3 50

50

136.94M181085.132

1815258132.5M

e

e

=

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

EJEMPLO


En una tabla de distribución de frecuencias es aproximadamente la marca de clase o punto medio de la clase que tiene la mayor frecuencia absoluta simple.

Tomado los datos del ejemplo 10, podemos calcular la moda.La moda estará ubicado en el intervalo:

Por lo tanto la marca de clase de dicha clase será:Luego la Mo = 17.0

F. MODA (Mo)

1ii2

1ii1

21

1o

ffΔffΔ

ΔΔΔcLiM

+

−

−=−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+= Clase fi

15 - 19 15

17.02

19.514.5Mo =+

=


LI LS fk Fk117 124 4 4125 132 11 15133 140 18 33141 148 14 47149 156 3 50

50

137.59M11785.132

4778132.5M

O

O

=

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++=

EJEMPLO


Son aquellos que dividen a la distribución en cuatro, diez o cien partes iguales.

Cuartiles (Q), son aquellos que dividen a la distribución en cuatro partes iguales, en donde cada uno de ellos incluye el 25%de las observaciones.

25% 25% 25% 25%

Q1 Q2 Q3 Q4

G. LOS CUARTILES


Donde:Li = Límite real inferior de la clase que contiene el Q1 o Q3Fi-1 = Frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la que contiene a Q1 o Q3fi = Frecuencia absoluta de la clase que contiene el Q1 o Q3C = ancho de la clase que contiene el Q1 o Q3

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+=

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+=

−

−

i

1i

3

e2

i

1i

1

f

F4

n*3

cLiQ

MQ

f

F4n

cLiQ

Las fórmulas para calcular los cuartiles son parecidas a la de la mediana, así:


Deciles (D), son aquellos que dividen a la distribución en diez partes iguales, en donde cada uno de ellos incluye el 10% de las observaciones.

Me = Q2 = D5

10% 10% … 10% 10%

D1 D2 … D9 D10


Las fórmulas son también similares a las del Q1, Q3. Así:Donde:

Li = Límite real inferior a la clase que contiene el D1 o D7Fi-1 = Frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la que contiene el D1 o D7Fi = Frecuencia absoluta simple de la clase que contiene el D1 o D7C = Ancho de la clase que contiene al D1 o D7

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+=

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+=

−

−

i

1i

7

e5

i

1i

1

f

F10

n*7

cLiD

MD

f

F10n

cLiD


Percentiles (P), son aquellos que dividen a la distribución en 100 partes iguales, en donde cada uno de ellos incluye el 1% de las observaciones:Las fórmulas son parecidas a los cuartiles y deciles, así:

C = ancho de la clase que contiene al P10 o P60

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+=

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+=

−

−

i

1i

60

e50

i

1i

10

f

F100

n*60

cLiP

MP

f

F100

n*10

cLiP


Ejemplo 11: Como los cálculos de los cuartiles, deciles y percentiles son similares, se calculará el Q3 de la siguiente distribución:

Edad fi Fi

55 - 58 20 2059 - 62 30 5063 - 66 80 13064 - 70 70 20071 - 74 40 24075 - 78 10 250Total 250


PROCEDIMIENTO:Calcular las frecuencias acumuladas FiCalcular la posición de Q3: 3N/4 = 3 (250) / 4 = 187.5Clase que contiene a Q3: es la clase cuyo Fi excede a 187.5 y que

corresponde al intervalo 67 – 70Límite real inferior de la clase que contiene a Q3 es: Li = 66.5Frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase que contiene a Q3 es: Fi-

1 = 130Frecuencia absoluta de la clase que contiene a Q3 es: f4 = 70

Reemplazando estos valores en la fórmula:

69.870

130187.5466.5Q3 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

Por consiguiente, se tiene que el 75% de los valores están por debajo de 69.8 puntos y el 25% de los valores están por encima de 69.8


Ejemplo.- Los salarios semanales (en nuevos soles) de un grupo de obreros son los siguientes:

153134138137128

123148138146127

129125122138146

132139146146144

147146137140137

138145151137128

137148145129143

134135124126141

131152132117136

147128138136138

1.-Calcule la media aritmética de los datos originales.2.- Agrupe los datos en un cuadro de frecuencias con cinco intervalos3.-Calcule la media aritmética:

- A base de las frecuencias absolutas- A base de las frecuencias relativas


4.- Compruebe que la suma de las desviaciones con respecto a la media aritmética es cero5.- Calcule la media aritmética, mediante el primer método abreviado, considerando como origen de trabajo:i. 0t = 135 ii. 0t = 1506.- Calcule la media aritmética mediante el segundo método abreviado, considerando como origen de trabajo:i. 0t = 143 ii. 0t = 1277.- Compruebe que la suma de los cuadrados de las desviaciones es mínima, cuando dichas desviaciones se consideran con respecto a la media aritmética, utilizando:i. 0t = la media aritmética ii. 0t = 150 iii. 0t = 1358.- Calcule la media aritmética de la muestra, a base de las medias aritméticas de dos sub muestras (la primera compuesta por los tres primeros intervalos del cuadro), y la segunda por los dos intervalos restantes.9.- Multiplique por dos los valores de la variable en el cuadro y calcule la media. Compruebe así una propiedad de la media aritmética. ¿Cuál?

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