MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Nivel: Tercero medio

Asignatura: Matemática

1http://portal.cepech.cl/

Apoyar con paginas del libro (11 – 14) y

realizar actividad de las paginas 4 y 5 del

cuadernillo de ejercicio

MOTIVACIÓN

Si nos limitáramos solamente a fijarnos en las

medidas de tendencia central, no tendríamos una

idea acabada de cómo se distribuyen los datos.

Comparemos la cantidad de llamadas recibidas

en un call center por trimestre en 2011 y 2012:

La media y la mediana son las mismas en 2011 y

2012, ¿se puede decir que los dos grupos son

parecidos.

http://portal.cepech.cl/ 2

ACTIVACIÓN DE CONOCIMIENTOS PREVIOS

http://portal.cepech.cl/ 3

Ambas familias tienen la misma media, pero son claramente distintas. La familia García tiene miembros

de distintas alturas, mientras que en la familia González todos miden lo mismo. Aun así la media sale la

misma para ambas familias.

¿Cómo podemos reflejar que las alturas varían mucho en la familia García, mientras que en la

familia González no varían nada?

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las medidas de dispersión reflejan la mayor o menor concentración con que se

encuentran distribuidos los valores de la serie alrededor de un valor central.

Principales medidas:

• Rango

• Varianza

• Desviación típica

• Coeficiente de variación

http://portal.cepech.cl/ 4

RANGO

El rango corresponde a la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de

un conjunto.

En datos agrupados, el rango corresponde a la diferencia entre el límite superior

del último intervalo y el límite inferior del primer intervalo.

Propiedades del rango

• Es fácil de calcular y sus unidades son las mismas que las de la variable.

• No utiliza todas las observaciones (solo dos de ellas);

• Se puede ver muy afectada por alguna observación extrema;

• El rango aumenta con el n ́umero de observaciones, o bien se queda igual. En

cualquier caso nunca disminuye 5http://portal.cepech.cl/

VARIANZA 𝜎 2

Es la media aritmética de las diferencias al cuadrado de cada dato respecto a la

media aritmética de ellos.

Donde 𝑥 corresponde al promedio de la muestra y 𝑛 corresponde al número

total de datos.

7http://portal.cepech.cl/

Para calcular el rango es necesario ordenar los datos. Para la famil ia

García el rango es:

10

MEDIDAS DE DISPERSIÓN –FAMILIA GARCÍA

En este caso el valor máximo es 195 y el mínimo, 65; de modo que el rango de los

datos es:

R = valor máximo – valor mínimo = 195 – 65 = 130 cm

Calculamos la varianza para la familia García. Primero calculamos el numerador

Y con el numerador ya calculado, hacemos la división y obtenemos la varianza

para las estaturas de la familia García. Esta familia tiene 7 miembros, así que n =

7. Por lo tanto:

Cuanto mayor sea la varianza, mayor será la dispersión de los datos. Y cuanto

mayor sea la dispersión de los datos, menor será la representatividad de la

media como resumen de la información de la muestra.

𝜎2 =13593

7= 1941,85 𝑐𝑚2

Y con el numerador ya calculado, hacemos la división y obtenemos la varianza

para las estaturas de la familia González. Esta familia tiene 4 miembros, así que

𝑛 = 4. Por lo tanto:

Cuando las medidas de dispersión de una muestra son muy pequeñas se dice

que la muestra es muy homogénea. Como puede verse, las alturas de la familia

García varían mucho, y las de la familia González nada, y eso se refleja en los

rangos (130 frente a 0) y en las varianzas (1941,85 frente a 0).

Para calcular el rango es necesario ordenar los datos. Para la famil ia

García el rango es:

MEDIDAS DE DISPERSIÓN –FAMILIA GONZÁLEZ

En este caso el valor máximo coincide con el mínimo porque todos los valores

son iguales.

R = valor máximo – valor mínimo = 133 – 133 = 0 cm

Calculamos la varianza para la familia González. Primero calculamos el

numerador

𝜎2 =0

4= 0 𝑐𝑚2

11

¿QUÉ CONCLUSIÓN SACAMOS ENTONCES?

Que las medidas de centralización son muy cómodas y útiles, pero deben venir siempre acompañadas de una medida de dispersión, que nos indica si realmente la medida de

centralización resume bien la muestra (cuando la medida de dispersión es pequeña) o si por el contrario no recoge bien toda la información (medida de dispersión alta).

http://portal.cepech.cl/ 12

DESVIACIÓN ESTÁNDAR O DESVIACIÓN TÍPICA 𝜎

Es la raíz cuadrada de la varianza.

13

Para datos agrupados:

La desviación estándar de un conjunto es cero solo si todos los elementos del

conjunto tienen el mismo valor, y va aumentando en la medida que aumenta la

diferencia entre los valores de los datos.

La desviación estándar o desviación típica (σ) es una medida de la

homogeneidad de un conjunto, es decir, permite determinar qué tan dispersos

se encuentran los elementos de un conjunto con respecto al promedio del

mismo y compararlo con otros conjuntos.

http://portal.cepech.cl/

EJEMPLO DESVIACIÓN ESTÁNDAR O DESVIACIÓN TÍPICA 𝜎

Por ejemplo, la varianza del conjunto {2, 5, 8, 9} es

7,5 (calculada previamente), luego la desviación

estándar de dicho conjunto es 7,5 ≈ 2,74.

Para apreciar la utilidad de la desviación estándar en

comparación con el rango y el promedio, es posible

observar estos tres conjuntos:

◆ El conjunto {2, 5, 8, 9} tiene rango 7, promedio 6y desviación estándar 2,74 (aprox.)

◆ El conjunto {2, 4, 9, 9} tiene rango 7, promedio 6y desviación estándar 3,08 (aprox.)

◆ El conjunto {2, 6, 7, 9} tiene rango 7, promedio 6y desviación estándar 2,55 (aprox.)

Si bien los tres conjuntos tienen igual rango y promedio,

el segundo conjunto tiene los datos más alejados del

promedio con respecto al primer conjunto, por lo cual

tiene mayor desviación estándar que él, es decir, es más

heterogéneo. Por otro lado, el tercer conjunto tiene

sus datos más cercanos al promedio con respecto al

primer conjunto, por lo cual tiene menor desviación

estándar que él, es decir, es más homogéneo. Así, la

desviación estándar es la medida de la dispersión de los

datos de un conjunto con respecto a su promedio.

14http://portal.cepech.cl/

PREGUNTA PSU

http://portal.cepech.cl/ 15

RESOLUCIÓN

http://portal.cepech.cl/ 16

EJERCICIO RESUELTO

En Nicaragua, el 27% de partos

corresponde a adolescentes entre 14 y 18

años de edad. En el municipio de Diriá, hay

jóvenes que salen embarazadas, como se ve

en la tabla abajo:

Edad Casos 2012

10 - 14 4

15 - 19 61

20 o más 119

TOTAL 184

17

Entre las 4 embarazadas de 10 a 14 años, la distribución de las edades es así: 12, 12, 13, 14.

Calcula la variación de estos datos,

http://portal.cepech.cl/

Como miembro del equipo de la unidad materno-infantil del MINSA,

tienes que usar tu conocimiento sobre estadísticas para medir la

dispersión, desviación y varianza.

Obtener la media aritmética de 12, 12, 13, 14

PASO 1:

𝑥 =12 + 12 + 13 + 14

4=51

4= 12,75

PASO 2:

𝑥 𝒙 − 𝒙 (𝒙 − 𝒙)^2

12 12 − 12,75 = −0,75 −0,75 2

= 0,5625

12 12 − 12,75 = −0,75 −0,75 2

= 0,5625

13 13 − 12,75 = 0,25 0,252 = 0,0625

14 14 − 12,75 = 1,25 1,252 = 1,5625

18

PASO 3: Sumar todos los resultados del PASO 2. 2,75

PASO 4: Dividir el valor del PASO 3 por la cantidad de N datos.

2,75

4= 0,6875

PASO 5: Obtener la raíz cuadrada del valor del PASO 4.

0,6875 = 0,83

Entonces, 0,83 es la desviación estándar de jóvenes embarazadas entre 10

a 14 años, según los datos de sus edades.

http://portal.cepech.cl/

¿QUÉ S IGNIF IC A QUE 0,83 ES LA DESV IACIÓN ESTÁNDAR DE JÓVENES

EMB ARAZADAS ENTRE 10 A 14 AÑOS , SEGÚN LOS DATOS DE SUS EDADES ?

19http://portal.cepech.cl/

EJERCICIO PROPUESTO 1

Los resultados de un test de aptitud tomado a un grupo de 100 personas se

volcaron en la siguiente tabla:

¿Cuál es el intervalo modal? ¿En qué intervalo se encuentra la mediana? Calcule

la media, la varianza y la desviación estándar

20

INTERVALO FRECUENCIA

20,5 – 25,5 28

15,5 – 20,5 32

10,5 – 15,5 21

5,5 – 10,5 12

0,5 – 5,5 7

http://portal.cepech.cl/