medida de hausdorff exacta de conjuntos de cantor · 2016-10-26 · los conjuntos de cantor en la...

Medida de Hausdorff exacta de conjuntos deCantor

Leandro Zuberman

CEMIM (Centro Marplatense de Investigaciones Matematicas) y CONICET

Reunion Aunal de la Union Matematica ArgentinaBahıa Blanca 21 de Septiembre de 2016

Medida de Hausdorff

Una estimacion del tamano de un conjunto es la medidade Lebesgue.

Basada en estimaciones por cubrimientos, por exceso, aminimizar.Los conjuntos de Cantor en la recta u otros conjuntos“pequenos” en Rd , al tener medida nula resultanindistinguibles.Requieren una nocion mas refinada de tamano.La medida y dimension de Hausdorff permite distinguirconjuntos de medida nula y tambien esta basada enestimaciones por cubrimientos, por exceso.

Medida de Hausdorff

Una estimacion del tamano de un conjunto es la medidade Lebesgue.Basada en estimaciones por cubrimientos, por exceso, aminimizar.

Los conjuntos de Cantor en la recta u otros conjuntos“pequenos” en Rd , al tener medida nula resultanindistinguibles.Requieren una nocion mas refinada de tamano.La medida y dimension de Hausdorff permite distinguirconjuntos de medida nula y tambien esta basada enestimaciones por cubrimientos, por exceso.

Medida de Hausdorff

Una estimacion del tamano de un conjunto es la medidade Lebesgue.Basada en estimaciones por cubrimientos, por exceso, aminimizar.Los conjuntos de Cantor en la recta u otros conjuntos“pequenos” en Rd , al tener medida nula resultanindistinguibles.

Requieren una nocion mas refinada de tamano.La medida y dimension de Hausdorff permite distinguirconjuntos de medida nula y tambien esta basada enestimaciones por cubrimientos, por exceso.

Medida de Hausdorff

Una estimacion del tamano de un conjunto es la medidade Lebesgue.Basada en estimaciones por cubrimientos, por exceso, aminimizar.Los conjuntos de Cantor en la recta u otros conjuntos“pequenos” en Rd , al tener medida nula resultanindistinguibles.Requieren una nocion mas refinada de tamano.

La medida y dimension de Hausdorff permite distinguirconjuntos de medida nula y tambien esta basada enestimaciones por cubrimientos, por exceso.

Medida de Hausdorff

Una estimacion del tamano de un conjunto es la medidade Lebesgue.Basada en estimaciones por cubrimientos, por exceso, aminimizar.Los conjuntos de Cantor en la recta u otros conjuntos“pequenos” en Rd , al tener medida nula resultanindistinguibles.Requieren una nocion mas refinada de tamano.La medida y dimension de Hausdorff permite distinguirconjuntos de medida nula y tambien esta basada enestimaciones por cubrimientos, por exceso.

Medida de HausdorffSea E ⊂ Rd .

Dado δ > 0, una familia (Ui)∞i=1 tal que:

E ⊂∞⋃

i=1

Ui y |Ui | ≤ δ ∀i≥1,

se dice un δ-cubrimiento de E .Sea s > 0. Definimos:

Hsδ(E) = inf

{ ∞∑i=1

|Ui |s : {Ui} es δ-cubrimiento de E

}.

Hs(E) = limδ→0+

Hsδ(E)

La definicion no cambia si en vez de cubrimientos arbitrarios,tomamos cubrimientos de abiertos o convexos.La definicion cambia si en vez de cubrimientos arbitrarios,tomamos cubrimientos por bolas.

Medida de HausdorffSea E ⊂ Rd .Dado δ > 0, una familia (Ui)

∞i=1 tal que:

E ⊂∞⋃

i=1

Ui y |Ui | ≤ δ ∀i≥1,

se dice un δ-cubrimiento de E .

Sea s > 0. Definimos:

Hsδ(E) = inf

{ ∞∑i=1


}.

Hs(E) = limδ→0+

Hsδ(E)



∞i=1 tal que:

E ⊂∞⋃

i=1

Ui y |Ui | ≤ δ ∀i≥1,


Hsδ(E) = inf

{ ∞∑i=1


}.

Hs(E) = limδ→0+

Hsδ(E)



∞i=1 tal que:

E ⊂∞⋃

i=1

Ui y |Ui | ≤ δ ∀i≥1,


Hsδ(E) = inf

{ ∞∑i=1


}.

Hs(E) = limδ→0+

Hsδ(E)

La definicion no cambia si en vez de cubrimientos arbitrarios,tomamos cubrimientos de abiertos o convexos.

La definicion cambia si en vez de cubrimientos arbitrarios,tomamos cubrimientos por bolas.


∞i=1 tal que:

E ⊂∞⋃

i=1

Ui y |Ui | ≤ δ ∀i≥1,


Hsδ(E) = inf

{ ∞∑i=1


}.

Hs(E) = limδ→0+

Hsδ(E)


Dimension de Hausdorff

Dado E ⊂ Rd existe un numero s0 := dim(E) que satisface:

Hs(E) = ∞ si s < s0

Hs(E) = 0 si s > s0.

s

Hs(E)∞

s0



Hs(E) = ∞ si s < s0

Hs(E) = 0 si s > s0.

s

Hs(E)

∞

s0



Hs(E) = ∞ si s < s0

Hs(E) = 0 si s > s0.

s

Hs(E)∞

s0

Ejemplo: [0,1]

[0,1] ⊂ R.

δ = 1/n,

Ui =

[i − 1

n,

in

]i = 1,2, . . . ,n.

{Ui}ni=1 es un δ-cubrimiento de [0,1]

optimo.

Hs1/n([0,1]) ≤

=

n∑i=1

|Ui |s = n(

1n

)s

= n1−s.

Hs([0,1]) = limn→∞

Hs1/n([0,1]) =

0, si s > 11, si s = 1∞, si s < 1.

dim([0,1]) = 1

Ejemplo: [0,1]

[0,1] ⊂ R. δ = 1/n,

Ui =

[i − 1

n,

in

]i = 1,2, . . . ,n.

{Ui}ni=1 es un δ-cubrimiento de [0,1]

optimo.

Hs1/n([0,1]) ≤

=

n∑i=1

|Ui |s = n(

1n

)s

= n1−s.

Hs([0,1]) = limn→∞

Hs1/n([0,1]) =

0, si s > 11, si s = 1∞, si s < 1.

dim([0,1]) = 1

Ejemplo: [0,1]

[0,1] ⊂ R. δ = 1/n,

Ui =

[i − 1

n,

in

]i = 1,2, . . . ,n.

{Ui}ni=1 es un δ-cubrimiento de [0,1] optimo.

Hs1/n([0,1]) ≤

=

n∑i=1

|Ui |s = n(

1n

)s

= n1−s.

Hs([0,1]) = limn→∞

Hs1/n([0,1]) =

0, si s > 11, si s = 1∞, si s < 1.

dim([0,1]) = 1

Ejemplo: [0,1]

[0,1] ⊂ R. δ = 1/n,

Ui =

[i − 1

n,

in

]i = 1,2, . . . ,n.

{Ui}ni=1 es un δ-cubrimiento de [0,1] optimo.

Hs1/n([0,1])

≤

=n∑

i=1

|Ui |s = n(

1n

)s

= n1−s.

Hs([0,1]) = limn→∞

Hs1/n([0,1]) =

0, si s > 11, si s = 1∞, si s < 1.

dim([0,1]) = 1

Ejemplo: conjunto ternario de Cantor


F00 1


F00 1

0 13

23

1F1


F00 1

0 13

23

1F1

0 13

19

29

79

89

23

1F2


F00 1

0 13

23

1F1

0 13

19

29

79

89

23

1F2

F3


F00 1

0 13

23

1F1

0 13

19

29

79

89

23

1F2

F3

F4


F00 1

0 13

23

1F1

0 13

19

29

79

89

23

1F2

F3

F4

C =⋂∞

n=1 Fn.


Notemos Fn = {I1, . . . , I2n}.

Fn es un 3−n-cubrimiento de C.

Hs3−n (C) ≤

2n∑j=1

|Ij |s = 2n(3−n)s =

(23s

)n

,

Si 3s = 2, entonces Hs(C) ≤ 1 y dimC ≤ s = log 2/ log 3

Si el cubrimiento es optimo, las desigualdades devienenigualdades.


Notemos Fn = {I1, . . . , I2n}.Fn es un 3−n-cubrimiento de C.

Hs3−n (C) ≤

2n∑j=1

|Ij |s = 2n(3−n)s =

(23s

)n

,

Si 3s = 2, entonces Hs(C) ≤ 1 y dimC ≤ s = log 2/ log 3

Si el cubrimiento es optimo, las desigualdades devienenigualdades.

Cubrimientos, Cubrimientos optimos y algoritmos

Cubrimientos me dan cotas superiores para la medida y ladimension de Hausdorff

Es mas difıcil obtener cotas inferiores.Cotas inferiores para la medida, me dan la dimension.Mas difıcil aun es obtener la medida exacta de Hausdorff.Los cubrimientos optimos pueden ser una herramienta.En los ejemplos anteriores:Hs

1/n([0,1]) = n1−s, H1([0,1]) = n0 = 1

Hs3−n (C) = (2/3s)n, Hlog 2/ log 3(C) = 1n = 1.

En otros casos, los δn cubrimientos optimos me puedendar una aproximacion de la medida de Hausdorff.Es una idea para generar un algoritmo que calcule lamedida exacta de Cantor.


Cubrimientos me dan cotas superiores para la medida y ladimension de HausdorffEs mas difıcil obtener cotas inferiores.

Cotas inferiores para la medida, me dan la dimension.Mas difıcil aun es obtener la medida exacta de Hausdorff.Los cubrimientos optimos pueden ser una herramienta.En los ejemplos anteriores:Hs

1/n([0,1]) = n1−s, H1([0,1]) = n0 = 1




Cubrimientos me dan cotas superiores para la medida y ladimension de HausdorffEs mas difıcil obtener cotas inferiores.Cotas inferiores para la medida, me dan la dimension.

Mas difıcil aun es obtener la medida exacta de Hausdorff.Los cubrimientos optimos pueden ser una herramienta.En los ejemplos anteriores:Hs

1/n([0,1]) = n1−s, H1([0,1]) = n0 = 1




Cubrimientos me dan cotas superiores para la medida y ladimension de HausdorffEs mas difıcil obtener cotas inferiores.Cotas inferiores para la medida, me dan la dimension.Mas difıcil aun es obtener la medida exacta de Hausdorff.

Los cubrimientos optimos pueden ser una herramienta.En los ejemplos anteriores:Hs

1/n([0,1]) = n1−s, H1([0,1]) = n0 = 1




Cubrimientos me dan cotas superiores para la medida y ladimension de HausdorffEs mas difıcil obtener cotas inferiores.Cotas inferiores para la medida, me dan la dimension.Mas difıcil aun es obtener la medida exacta de Hausdorff.Los cubrimientos optimos pueden ser una herramienta.

En los ejemplos anteriores:Hs

1/n([0,1]) = n1−s, H1([0,1]) = n0 = 1




Cubrimientos me dan cotas superiores para la medida y ladimension de HausdorffEs mas difıcil obtener cotas inferiores.Cotas inferiores para la medida, me dan la dimension.Mas difıcil aun es obtener la medida exacta de Hausdorff.Los cubrimientos optimos pueden ser una herramienta.En los ejemplos anteriores:

Hs1/n([0,1]) = n1−s, H1([0,1]) = n0 = 1




Cubrimientos me dan cotas superiores para la medida y ladimension de HausdorffEs mas difıcil obtener cotas inferiores.Cotas inferiores para la medida, me dan la dimension.Mas difıcil aun es obtener la medida exacta de Hausdorff.Los cubrimientos optimos pueden ser una herramienta.En los ejemplos anteriores:Hs

1/n([0,1]) = n1−s, H1([0,1]) = n0 = 1





1/n([0,1]) = n1−s, H1([0,1]) = n0 = 1


En otros casos, los δn cubrimientos optimos me puedendar una aproximacion de la medida de Hausdorff.

Es una idea para generar un algoritmo que calcule lamedida exacta de Cantor.



1/n([0,1]) = n1−s, H1([0,1]) = n0 = 1



Densidades

Dado E ⊂ Rd , definimos

DE (x) = limr→0+

Ld (E ∩ B(x , r))

Ld (B(x , r))=Ld (E ∩ B(x , r))

crd

EP

Q

R

DE (P) = 1

DE (Q) = 1/2

DE (R) = 1/4

P

Q

R

Q

R

FS

T

DF (S) = 1

0 < DF (T ) < 1

T

Densidades


DE (x) = limr→0+

Ld (E ∩ B(x , r))

Ld (B(x , r))=Ld (E ∩ B(x , r))

crd

E

P

Q

R

DE (P) = 1

DE (Q) = 1/2

DE (R) = 1/4

P

Q

R

Q

R

FS

T

DF (S) = 1

0 < DF (T ) < 1

T

Densidades


DE (x) = limr→0+

Ld (E ∩ B(x , r))

Ld (B(x , r))=Ld (E ∩ B(x , r))

crd

EP

Q

R

DE (P) = 1

DE (Q) = 1/2

DE (R) = 1/4

P

Q

R

Q

R

FS

T

DF (S) = 1

0 < DF (T ) < 1

T

Densidades


DE (x) = limr→0+

Ld (E ∩ B(x , r))

Ld (B(x , r))=Ld (E ∩ B(x , r))

crd

EP

Q

R

DE (P) = 1

DE (Q) = 1/2

DE (R) = 1/4

P

Q

R

Q

R

F

S

T

DF (S) = 1

0 < DF (T ) < 1

T

Densidades


DE (x) = limr→0+

Ld (E ∩ B(x , r))

Ld (B(x , r))=Ld (E ∩ B(x , r))

crd

EP

Q

R

DE (P) = 1

DE (Q) = 1/2

DE (R) = 1/4

P

Q

R

Q

R

FS

T

DF (S) = 1

0 < DF (T ) < 1

T

Densidades

Teorema de Densidad de Lebesgue: DE (x) = 1 pct x ∈ E

Si C es una curva suave, limr→0+long(C∩B(x ,r))

2r = 1

Si S es una superficie suave, limr→0+area(S∩B(x ,r))

cr2 = 1¿Que ocurre con fractales, con dimensiones no enteras?

ΘsE (x) = lim supr→0+

Hs(B(x ,r)∩F )(2r)s

ΘsE (x) = lim infr→0+


Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .

Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .

DE (x) = limr→0+

sup|U|<r

Hs(U ∩ E)

(|U|)s

Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .

Densidades



2r = 1


cr2 = 1

¿Que ocurre con fractales, con dimensiones no enteras?





Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .

Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .

DE (x) = limr→0+

sup|U|<r

Hs(U ∩ E)

(|U|)s

Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .

Densidades



2r = 1


cr2 = 1¿Que ocurre con fractales, con dimensiones no enteras?





Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .

Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .

DE (x) = limr→0+

sup|U|<r

Hs(U ∩ E)

(|U|)s

Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .

Densidades

Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .

Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .

DE (x) = limr→0+

sup|U|<r

Hs(U ∩ E)

(|U|)s (U cualquiera o U convexo).

Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .

Elizabeth Ayer y Bob Strichartz (99); Marta Llorente yManuel Moran (04,07,11); Lars Olsen (08)Relacionan los cubrimientos optimos, con la existencia debolas o conjuntos que realicen el supremo.Obtienen algoritmos para estimar las medidas (Hausdorff,Hausdorff centrada y packing) de conjuntos autosimilares.

Densidades

Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .

Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .

DE (x) = limr→0+

sup|U|<r

Hs(U ∩ E)


Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .

Elizabeth Ayer y Bob Strichartz (99); Marta Llorente yManuel Moran (04,07,11); Lars Olsen (08)

Relacionan los cubrimientos optimos, con la existencia debolas o conjuntos que realicen el supremo.Obtienen algoritmos para estimar las medidas (Hausdorff,Hausdorff centrada y packing) de conjuntos autosimilares.

Densidades

Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .

Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .

DE (x) = limr→0+

sup|U|<r

Hs(U ∩ E)


Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .

Elizabeth Ayer y Bob Strichartz (99); Marta Llorente yManuel Moran (04,07,11); Lars Olsen (08)Relacionan los cubrimientos optimos, con la existencia debolas o conjuntos que realicen el supremo.

Obtienen algoritmos para estimar las medidas (Hausdorff,Hausdorff centrada y packing) de conjuntos autosimilares.

Densidades

Hs(E) <∞ =⇒ 2s ≤ ΘsE ≤ 1 pct (Hs) x ∈ E .

Ps(E) <∞ =⇒ ΘsE (x) = 1 pct(Ps) x ∈ E .

DE (x) = limr→0+

sup|U|<r

Hs(U ∩ E)


Hs(E) <∞ =⇒ DsE = 1 pct (Hs) x ∈ E .

Elizabeth Ayer y Bob Strichartz (99); Marta Llorente yManuel Moran (04,07,11); Lars Olsen (08)Relacionan los cubrimientos optimos, con la existencia debolas o conjuntos que realicen el supremo.Obtienen algoritmos para estimar las medidas (Hausdorff,Hausdorff centrada y packing) de conjuntos autosimilares.

Algunas cuestiones tecnicas sobre las hipotesis

Ayer y Strichartz para conjuntos autosimilares contenidosen la recta (conjuntos de Cantor) y satisfaciendo lacondicion del conjunto abierto (convexos son bolas).

Llorente y Moran con la condicion de separacion fuerte.Para la medida Hausdorff centrada y para la medidapacking.Olsen con la condicion del conjunto abierto. Para las tresmedidas (Hausdorff, Hausdorff centrada y packing).


Ayer y Strichartz para conjuntos autosimilares contenidosen la recta (conjuntos de Cantor) y satisfaciendo lacondicion del conjunto abierto (convexos son bolas).Llorente y Moran con la condicion de separacion fuerte.Para la medida Hausdorff centrada y para la medidapacking.

Olsen con la condicion del conjunto abierto. Para las tresmedidas (Hausdorff, Hausdorff centrada y packing).


Ayer y Strichartz para conjuntos autosimilares contenidosen la recta (conjuntos de Cantor) y satisfaciendo lacondicion del conjunto abierto (convexos son bolas).Llorente y Moran con la condicion de separacion fuerte.Para la medida Hausdorff centrada y para la medidapacking.Olsen con la condicion del conjunto abierto. Para las tresmedidas (Hausdorff, Hausdorff centrada y packing).

El caso lineal, conjuntos de Cantor

Jacques Marion (1987) calculan la medida de Hausdorffpara conjuntos autosimilares con la open set condition.Estimaciones directas.

Elizabeth Ayer y Bob Strichartz (1999) Usandodensidades, intervalos optimos y proponen algoritmo.Cheng Qin Qu, Hui Rao, and Wei Yi Su (01) Calculan lamedida de Hausdorff para conjuntos de Cantor nonecesariamente autosimilares, con intervalosequiespaciados (homogeneos).Todos tienen su contrapartida para la medida packingDe-Jun Feng, Su Hua and Zhi-Ying Wen 00, IgnacioGarcıa y Leandro Zuberman 13


Jacques Marion (1987) calculan la medida de Hausdorffpara conjuntos autosimilares con la open set condition.Estimaciones directas.Elizabeth Ayer y Bob Strichartz (1999) Usandodensidades, intervalos optimos y proponen algoritmo.

Cheng Qin Qu, Hui Rao, and Wei Yi Su (01) Calculan lamedida de Hausdorff para conjuntos de Cantor nonecesariamente autosimilares, con intervalosequiespaciados (homogeneos).Todos tienen su contrapartida para la medida packingDe-Jun Feng, Su Hua and Zhi-Ying Wen 00, IgnacioGarcıa y Leandro Zuberman 13


Jacques Marion (1987) calculan la medida de Hausdorffpara conjuntos autosimilares con la open set condition.Estimaciones directas.Elizabeth Ayer y Bob Strichartz (1999) Usandodensidades, intervalos optimos y proponen algoritmo.Cheng Qin Qu, Hui Rao, and Wei Yi Su (01) Calculan lamedida de Hausdorff para conjuntos de Cantor nonecesariamente autosimilares, con intervalosequiespaciados (homogeneos).

Todos tienen su contrapartida para la medida packingDe-Jun Feng, Su Hua and Zhi-Ying Wen 00, IgnacioGarcıa y Leandro Zuberman 13


Jacques Marion (1987) calculan la medida de Hausdorffpara conjuntos autosimilares con la open set condition.Estimaciones directas.Elizabeth Ayer y Bob Strichartz (1999) Usandodensidades, intervalos optimos y proponen algoritmo.Cheng Qin Qu, Hui Rao, and Wei Yi Su (01) Calculan lamedida de Hausdorff para conjuntos de Cantor nonecesariamente autosimilares, con intervalosequiespaciados (homogeneos).Todos tienen su contrapartida para la medida packingDe-Jun Feng, Su Hua and Zhi-Ying Wen 00, IgnacioGarcıa y Leandro Zuberman 13

El caso lineal, conjuntos de Cantor no autosimilares uhomogeneos

Steen Pedersen y Jason Phillips (14) calcularon la medidade Hausdorff de conjuntos de Cantor, no necesariamenteautosimilares u homogeneos.

Sin embargo, no todos los conjuntos considerados por Qu,Rao y Su satisfacen las hipotesis de Pedersen y Philipscondiciones de separacion muy fuertes.Nos propusimos lograr un resultado que abarque todos losanteriores. considerados por estos autores.


Steen Pedersen y Jason Phillips (14) calcularon la medidade Hausdorff de conjuntos de Cantor, no necesariamenteautosimilares u homogeneos.Sin embargo, no todos los conjuntos considerados por Qu,Rao y Su satisfacen las hipotesis de Pedersen y Philipscondiciones de separacion muy fuertes.

Nos propusimos lograr un resultado que abarque todos losanteriores. considerados por estos autores.


Steen Pedersen y Jason Phillips (14) calcularon la medidade Hausdorff de conjuntos de Cantor, no necesariamenteautosimilares u homogeneos.Sin embargo, no todos los conjuntos considerados por Qu,Rao y Su satisfacen las hipotesis de Pedersen y Philipscondiciones de separacion muy fuertes.Nos propusimos lograr un resultado que abarque todos losanteriores. considerados por estos autores.

Conjuntos de Cantor

Autosimilares

λ

λ2

λ

λ2

λ

λ2

λ

λ2

λ

λ2

λ

λ2

λ

λ2

λ

λ2

λ

λ2

Datos: factor de contraccion λ

cantidad de hijos m.

Conjuntos de Cantor

No-autosimilares

λ1

λ1λ2

λ1

λ1λ2

λ1

λ1λ2

Datos: sucesion de factores de contraccion λn

sucesion de cantidad de hijos mn.

Conjuntos de Cantor

No-autosimilares u homogeneos

λ1 λ1 λ1

d1,0 d1,1 d1,2



sucesion de conjuntos finitos Dn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.

g12

g11

Conjuntos de Cantor

No-autosimilares u homogeneos

λ1 λ1 λ1

d1,0 d1,1

d1,2



sucesion de conjuntos finitos Dn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.

g12

g11

Conjuntos de Cantor no necesariamente autosimilaresu homogeneos

Dados

(rn)n≥1 ⊂ (0,1/2),(mn)n∈N ⊂ N≥2 yDn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.Notamos: sn = r1 . . . rn.

Pn := D1s1 + · · ·+ Dnsn = {∑n

j=1 djsj : dj ∈ Dj}Cn = Pn + [0, sn] =

⋃x∈Pn

[x , x + sn].

C =⋂∞

n=1 Cn


Dados(rn)n≥1 ⊂ (0,1/2),

(mn)n∈N ⊂ N≥2 yDn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.Notamos: sn = r1 . . . rn.

Pn := D1s1 + · · ·+ Dnsn = {∑n


⋃x∈Pn

[x , x + sn].

C =⋂∞

n=1 Cn


Dados(rn)n≥1 ⊂ (0,1/2),(mn)n∈N ⊂ N≥2 y

Dn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.Notamos: sn = r1 . . . rn.

Pn := D1s1 + · · ·+ Dnsn = {∑n


⋃x∈Pn

[x , x + sn].

C =⋂∞

n=1 Cn


Dados(rn)n≥1 ⊂ (0,1/2),(mn)n∈N ⊂ N≥2 yDn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.

Notamos: sn = r1 . . . rn.

Pn := D1s1 + · · ·+ Dnsn = {∑n


⋃x∈Pn

[x , x + sn].

C =⋂∞

n=1 Cn


Dados(rn)n≥1 ⊂ (0,1/2),(mn)n∈N ⊂ N≥2 yDn = {dn,0, . . . ,dn,mn−1}.Notamos: sn = r1 . . . rn.

Pn := D1s1 + · · ·+ Dnsn = {∑n


⋃x∈Pn

[x , x + sn].

C =⋂∞

n=1 Cn



Pn := D1s1 + · · ·+ Dnsn = {∑n

j=1 djsj : dj ∈ Dj}

Cn = Pn + [0, sn] =⋃

x∈Pn[x , x + sn].

C =⋂∞

n=1 Cn



Pn := D1s1 + · · ·+ Dnsn = {∑n


⋃x∈Pn

[x , x + sn].

C =⋂∞

n=1 Cn

Hipotesis

Hipotesis: condiciones de separacion.

mnrn < 1,Para todo 1 ≤ j < j ′ ≤ mn − 1 se verifica:

rn(dn,j ′ − dn,j) ≥(j ′ − j − 1)(1− rn)

mn − 1

Para todo 1 ≤ j ≤ mn − 1, se verifica:∑mn−1t=j+1 gn

t

gn−1j ′ +

∑mn−1t=1 gn

t

≤ mn − jmn

.

Teorema:

Hs(C) = lim infn→∞

(m1 . . .mn)(r1 . . . rn)s = lim infn→∞

µ(n)ssn

Hipotesis

Hipotesis: condiciones de separacion.mnrn < 1,

Para todo 1 ≤ j < j ′ ≤ mn − 1 se verifica:

rn(dn,j ′ − dn,j) ≥(j ′ − j − 1)(1− rn)

mn − 1


t

gn−1j ′ +

∑mn−1t=1 gn

t

≤ mn − jmn

.

Teorema:


(m1 . . .mn)(r1 . . . rn)s = lim infn→∞

µ(n)ssn

Hipotesis

Hipotesis: condiciones de separacion.mnrn < 1,Para todo 1 ≤ j < j ′ ≤ mn − 1 se verifica:

rn(dn,j ′ − dn,j) ≥(j ′ − j − 1)(1− rn)

mn − 1


t

gn−1j ′ +

∑mn−1t=1 gn

t

≤ mn − jmn

.

Teorema:


(m1 . . .mn)(r1 . . . rn)s = lim infn→∞

µ(n)ssn

Hipotesis comparadas

Qu Rao Su Pedersen Philips

mnrn < 1 mnr sn < 1 mnrn < 1

gaps decrecientes dk ′,j − dk ′,i ≥ 2(j − i)

∑mn−1t=j+1 gn

t

gn−1j′ +

∑mn−1t=1 gn

t≤ mn−j

mn.



mnrn < 1

mnr sn < 1 mnrn < 1


∑mn−1t=j+1 gn

t

gn−1j′ +

∑mn−1t=1 gn

t≤ mn−j

mn.



mnrn < 1 mnr sn < 1

mnrn < 1


∑mn−1t=j+1 gn

t

gn−1j′ +

∑mn−1t=1 gn

t≤ mn−j

mn.





∑mn−1t=j+1 gn

t

gn−1j′ +

∑mn−1t=1 gn

t≤ mn−j

mn.




gaps decrecientes

dk ′,j − dk ′,i ≥ 2(j − i)

∑mn−1t=j+1 gn

t

gn−1j′ +

∑mn−1t=1 gn

t≤ mn−j

mn.





∑mn−1t=j+1 gn

t

gn−1j′ +

∑mn−1t=1 gn

t≤ mn−j

mn.

GRACIAS POR SU ATENCION

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