mediante procesadores digitales proceso u(t) y(t) 2.1 ... · generalidades sobre control digital....
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SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-1
2. Controladores implementados
mediante procesadores digitales
2.1. Generalidades sobre Control Digital.
Las ventajas del control digital con respecto de las implementaciones analógicas están dadas por
los puntos siguientes: una fácil reconfigurabilidad funcional, un muy amplio rango de ajuste de
parámetros y una gran constancia temporal de los valores ajustados (excepto eventuales derivas
‘offset’ de los convertidores de entrada/salida).
Un sistema controlado por computadora posee la estructura general que se muestra en la Fig. 2.1.
Está constituido por el proceso a controlar (sistema continuo en el tiempo, cuyas señales de
entrada y salida son funciones continuas del tiempo); un muestreador junto con un conversor
analógico-digital discretiza en el tiempo y cuantifica la señal de salida del proceso (y),
conformando los datos de entrada al algoritmo de control implementado en una computadora
digital. El algoritmo calcula el valor numérico de la variable de control (u) que es transformado
en un señal continua mediante un convertidor digital-analógico dotado de un dispositivo de
retención (hold).
RED DE COMUNICACIONES
CONV. D/A CON RETENCIÓN
MUESTREADOR Y CONV. A/D
PROCESO
COMPUTADORA
y(t)
yk
u(t)
uk
Fig. 2.1. Esquema de un sistema controlado por computadora.
Las comunicaciones entre el proceso o, expresándolo con precisión, entre los convertidores A/D
y D/A y la computadora se realiza mediante un enlace de datos o una red de datos. Por cierto,
todas las operaciones utilizan para su sincronización el reloj de la computadora y son gobernadas
por medio de un sistema operativo en tiempo real.
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-2
Utilizando una computadora digital para implementar las leyes de control, la secuencia ideal de
operaciones es la siguiente:
1. Esperar la señal de interrupción de reloj
2. Convertir y leer la señal de entrada analógica (y)
3. Calcular la señal de control (u)
4. Actualizar la señal analógica de control
5. Actualizar las variables internas del controlador
6. Ir a 1.
Con esta implementación se minimiza el retardo de cálculo. Dependiendo del sistema operativo
en tiempo real y de los tiempos de conversión A/D y D/A, el retardo de cálculo o retardo
computacional puede variar de muestra en muestra (‘jitter’). Ello puede hacerse aún más
pronunciado si el algoritmo de control incluye pasos iterativos u optimizaciones. Una manera de
reducir la variación en el retardo de cálculo es introducir un paso entero de muestreo como
retardo del controlador haciendo 1( ) ( )k ku t y t , (ver Fig. 2.2-B). El retardo de cálculo se
hace así más determinístico, pero también más prolongado, lo que en general no es bueno para la
performance del sistema a lazo cerrado. En cada caso particular deberá efectuarse un análisis de
la influencia del retardo de cálculo y sus variaciones sobre el comportamiento del sistema.
Fig. 2.2. Dos maneras de sincronizar señales de entrada y salida. En (A) las señales de control son apli-
cadas inmediatamente luego de ser calculadas; en (B) la señales medidas en el instante tk son empleadas
para calcular la señal que será aplicada en el instante tk+1. h = tk – tk-1 es el período de muestreo.
La aplicación de un microcomputador a un sistema de control se realiza implementando
físicamente el esquema de hardware mostrado en la Fig. 2.3. Además del algoritmo de control,
que requiere en la mayoría de los casos un programa pequeño pero que sin embargo ocupa un
gran porcentaje del tiempo de cálculo, el computador admite funciones de servicio a través del
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-3
teclado y posibilita la presentación visual de funciones auxiliares que son útiles para el comando
y supervisión del proceso. Muchas computadoras de procesos poseen una interfase de
comunicaciones que facilitan su integración en sistemas jerárquicos de automatización.
Teclado
Display
RAM Memoria
Datos
EPROM Memoria
Programa
CPU
Interface de
Comunicaciones
Interface del Proceso
Converts. A/D y D/A
Timer
Bus
Bus serial
Fig. 2.3. Esquema de un controlador digital de procesos.
Para que el computador pueda ejecutar sus
diversas actividades en tiempo real de acuerdo
a un orden de prioridades, la programación
debe ser subdividida en partes o tareas
(‘tasks’). Estas tareas son iniciadas en tiempos
predeterminados empleando un timer progra-
mable (reloj sincronizador). El timer por una
parte inicia la entrada y salida de las señales
del proceso y, por otra parte, envía una
interrupción a la CPU, la que procede a
ejecutar otro programa. En su forma más
sencilla, el computador posee dos planos o
niveles de programación:
El programa de segundo plano
(‘background’) que ejecuta tareas de
baja prioridad (visualización, super-
visión, servicios).
El programa de primer plano
(‘foreground’), iniciado por la inte-
rrupción del timer, que ejecuta el
algoritmo de control. Posee la máxima
prioridad (programa principal) y no puede ser interrumpido por otras tareas. La Fig. 2.4. muestra
el diagrama de flujo del programa a partir del encendido del computador.
Concluida la fase de inicialización, la intercalación temporal de los programas sigue el andar
indicado en la Fig. 2.5. Regularmente, con el período T de muestreo, se interrumpe el programa
de background y se inicia el programa de primer plano. En primer lugar se salva el estado del
programa interrumpido y luego se leen los datos del proceso (conversión A/D). Luego sigue la
elaboración de los datos de acuerdo con el algoritmo de control, terminando con la entrega de
Fig. 2.4. Secuencia de programa.
Inicialización Hardware
Inicialización Software
Liberar Interrupciones
Multitasking cooperativo
Entrada del Proceso (A/D)
Cálculo Algoritmo ctrl
Salida al Proceso (D/A)
Programa Interrumpible (background)
Señal de Interrupción
Reset
I Return
Int
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-4
datos al proceso (conversión D/A) y la restitución del estado del programa de background. El
retorno al segundo plano puede variar ligeramente de acuerdo a las ramificaciones del programa
principal, en el que deberá evitarse la inclusión de lazos de longitud variable a fin de garantizar
que su ejecución se complete dentro del período de muestreo.
Fig. 2.5. Intercalación de niveles.
La programación de segundo plano incluye entre otros: comandos de puesta en marcha, tareas
de diagnóstico y comunicaciones. Se estructura como un multitasking cooperativo simple, de
acuerdo a la figura siguiente.
Fig. 2.6. Multitasking.
Las condiciones de inicio de las diferentes tareas configuran una cadena, ejecutándose en cada
caso la tarea cuya condición se cumple. Dentro de las tareas, el procesador no puede ejecutar
esperas condicionadas: tales esperas deberán convertirse en condiciones de inicio con su
correspondiente tarea asociada. El tiempo de ejecución de cada tarea debe ser lo más corto
posible para que el comportamiento temporal de las restantes tareas no sea perturbado por el
retraso inducido.
El intercambio de datos entre tasks del mismo nivel se realiza mediante estructuras estáticas de
datos globales, o bien mediante empaquetamiento en procedimientos si se utiliza programación
orientada a objetos.
El intercambio de datos entre programas de diferentes niveles requiere de mucho cuidado.
Mediante una sincronización especial se debe asegurar que las estructuras de datos sean
transferidas de manera completa en un ciclo de muestreo del programa de control, evitando que
la señal de interrupción del timer deje incompleta una operación de lectura o escritura de datos.
Foreground
Background
SÍ
NO NO NO
SÍ SÍ
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-5
2.1.1. Problemas derivados del muestreo.
La interacción entre señales continuas y discretas vuelven variantes en el tiempo a los sistemas
muestreados. Supóngase en la Fig. 2.1 que una perturbación se sumara a la salida del proceso.
La invariancia temporal requiere que un desplazamiento en el tiempo de la excitación de un
sistema dé por resultado un desplazamiento similar en su respuesta. Dado que la conversión A/D
está gobernada por un reloj, el sistema reaccionará de manera diferente si la perturbación es
desplazada en el tiempo. El sistema se mantendrá invariante en el supuesto que todos los
cambios en las variables del sistema, entradas y perturbaciones se sincronizan con los instantes
de muestreo. Recíprocamente, si la frecuencia de muestreo es suficientemente elevada con
respecto a las frecuencias propias de la dinámica del sistema y sus perturbaciones, el sistema
muestreado podrá considerarse como invariante.
Si las señales senoidales sin(1.8 t - ) y sin(0.2 t) que se grafican en la Fig. 2.7 son
muestreadas a la frecuencia s=2 /h, con h =1; desde el punto de vista de la señal
muestreada las sinusoides no pueden ser distinguidas entre sí.
Fig. 2.7. Para un período de muestreo h =1, las señales de 0.1Hz (línea de puntos) y
0.9Hz (línea continua) poseen los mismos valores en los instantes de muestreo. Desde el
punto de vista de la señal muestreada, la sinusoide de 0.9Hz produce un “alias” de 0.1Hz.
El muestreo es entonces una operación no lineal y acarrea pérdidas de información, en cuanto no
está garantizada la reconstrucción de la señal continua original a partir de la señal muestreada.
El ejemplo que acabamos de analizar, puede comprenderse mejor, si consideramos dos señales
senoidales
1
2
( ) sin( )
( ) sin( )
s
f t t
f t t n t (2.1)
donde s=2 /h es la frecuencia de muestreo y n un entero cualquiera. En los instantes de
muestreo ( , 0,1,2, t kh k ) se tendrán las señales discretas en el tiempo
1
01
2
2 1
( ) sin( )
2( ) sin( ) sin( ) cos(2 ) cos( ) sin(2 )
es decir: ( ) sin( ) ( )
f kh kh
f kh kh n kh kh nk kh nkh
f kh kh f kh
(2.2)
En definitiva, el muestreo produce un plegado del dominio de frecuencias (‘frequency folding’)
alrededor de s. Una de las maneras en que puede expresarse el teorema de Shannon o teorema
del muestreo, establece que una señal continua puede ser reconstruida a partir de su versión
muestreada, si la frecuencia de muestreo es como mínimo el duplo de la componente de mayor
frecuencia que forma parte del espectro de la señal continua [s/2 max].
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-6
El ruido de los sensores puede dar origen a señales muestreadas espúreas o alias de baja
frecuencia que al confundirse con la dinámica propia del proceso, causen perturbaciones en el
funcionamiento a lazo cerrado. Resulta entonces necesario insertar antes del convertidor A/D un
filtro analógico (filtro ‘anti-alias’) que limite convenientemente el ancho de banda de la señal
y(t) por debajo de la frecuencia de Nyquist (s/2). La dinámica de este filtro deberá
considerarse en conjunto con la dinámica del proceso para un correcto diseño del sistema de
control.
Del siguiente ejemplo, puede extraerse una idea indicativa de la relación entre el ancho de banda
del prefiltro anti-alias y la frecuencia de muestreo. Supóngase que la configuración elegida para
el filtro sea Butterworth de segundo orden1 , que el ancho de banda sea b y que se desea que
el filtro atenúe por un factor de 16 (1/16 –24db) las señales de la frecuencia de Nyquist
(s/2). Se tendrá así:
2
2 116 por lo tanto .
8
sb s
b
(2.3)
En consecuencia, la frecuencia del modo dominante del sistema a lazo cerrado se encontrará bien
por debajo de s/8. Generalizando, si 1/ NG es la atenuación del filtro a la frecuencia de
Nyquist, resultará el ancho de banda 2 Nb s G .
2.1.2. Dispositivos de Retención.
La manera más simple y común de reconstruir un señal muestreada es hacer que la salida del
dispositivo de retención se mantenga constante hasta el advenimiento del próximo valor
muestreado. Al circuito así instrumentado se lo denomina dispositivo de retención de orden cero
(‘zero-order hold’) ya que la señal continua de salida es un polinomio de orden cero entre los
instantes de muestreo. Si f(kh) representa la señal discreta muestreada con período h, entonces
la señal reconstruida a la salida del dispositivo de retención de orden cero será f(t) dada por
( ) ( ) ; f t f kh kh t kh h (2.4)
Un inconveniente del dispositivo de retención de orden cero es que su salida es discontinua (ver
Fig. 2.8). Estas discontinuidades pueden excitar modos dinámicos pobremente amortiguados del
proceso, como así también provocar desgaste en los actuadores del sistema. Una manera de hacer
continua la salida es utilizar un dispositivo de retención de primer orden (‘first-order hold’). La
señal entre los instantes de muestreo es ahora una interpolación lineal. La señal reconstruida
podrá expresarse
( ) ( ) ( ) ( ) ;
t kh
f t f kh f kh h f kh kh t kh hh
(2.5)
Nótese que la reconstrucción (2.5) no es causal dado que ( )f kh h debiera encontrarse
disponible en el instante kh . El valor de ( )f kh h puede ser reemplazado por una predicción
fácilmente calculable en base a una extrapolación.
1 Butterworth de segundo orden es una configuración anti-alias muy difundida. En casos críticos pueden ser
seleccionados filtros de orden superior o bien de configuraciones alternativas (Tschebyscheff, elípticos, etc.).
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-7
Fig. 2.8. Muestreo y reconstrucción de una señal senoidal empleando dispositivos de
retención de orden cero y de primer orden, para un período de muestreo h =1. Los
instantes de muestreo se indican mediante puntos.
Si bien la Fig. 2.8 muestra la innegable ventaja de utilizar un dispositivo de retención de primer
orden cuando la señal de entrada es suave, no debemos perder de vista que es un resultado
meramente académico, ya que una implementación causal del dispositivo manifestará disconti-
nuidades originadas en la extrapolación, pues en (2.5) ha de realizarse el reemplazo de ( )f kh h
por la aproximación
( ) ( )ˆ ( ) ( )
ˆ ( ) 2 ( ) ( )
f kh f kh hf kh h f kh h
h
f kh h f kh f kh h
con lo que la señal reconstruida es ahora
( ) ( ) ( ) ( ) ;
t kh
f t f kh f kh f kh h kh t kh hh
(2.6)
Fig. 2.9. Reconstrucción de una señal senoidal mediante un dispositivo de retención
de primer orden realizado con extrapolación.
Por cierto, la reconstrucción de señales tanto con dispositivos de orden cero como con los de
primer orden, alcanza mayor precisión cuanto mayor sea la frecuencia de muestreo con respecto
de la frecuencia de la señal. Si llamamos fr(t) a la señal reconstruida a la salida de un
dispositivo de retención correspondiente a la señal original f(t)=sin(t), entonces la
reconstrucción será tanto más precisa cuanto menor sea el error cuadrático [fr – f]2 promediado
en el período T=2 / de la señal.
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-8
2
0
1
T
rf f dt h TT
(2.7)
En la figura se muestra el error correspondiente a los dispositivos de retención de orden cero y
de primer orden con extrapolación calculado para un intervalo de valores de la relación entre la
frecuencia de muestreo y la frecuencia de la señal.
Fig. 2.10. Errores cuadráticos según (2.7) para un dispositivo de orden
cero (DOC) y uno de primer orden con extrapolación (DPO-E).
Viendo las formas de onda de las Figs. 2.8 y 2.9, no nos sorprende comprobar que para
frecuencias de muestreo bajas el error sea mayor para el dispositivo de primer orden que para el
de orden cero. Para relaciones de frecuencia de muestreo de 20:1 y superiores, el error para el
dispositivo de primer orden es por lo menos un orden de magnitud inferior al de orden cero.
Para concluir, no podemos dejar de insistir en el concepto de derivación que se encuentra
implícito en la operación de extrapolación: como consecuencia de ello aparece la necesidad de
guardar estrictas precauciones cuando se pretenda utilizar un dispositivo de retención de primer
orden en presencia de señales ruidosas.
2.1.3. Cuantificación (discretización de amplitud).
Como los convertidores A/D y D/A poseen una resolución limitada, las variables convertidas
dejan de ser continuas en amplitud y sufren un proceso de cuantificación, como consecuencia del
cual son representadas por una cantidad finita de dígitos binarios.
La Fig. 2.11 muestra una característica típica de cuantificación: se trata de un convertidor A/D
que opera con una palabra de 3 bits incluyendo signo, suficiente para la finalidad de nuestro
análisis. Centrando un paso de cuantificación en cero, podremos representar 3 incrementos en
sentido positivo y 4 en sentido negativo: en total una cantidad par2 de incrementos, lo que origina
2 Ya que con 2 bits podemos escribir 2
2 = 4 valores diferentes, estando reservado el tercer bit para el signo.
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-9
la asimetría de la característica estática de conversión. La parte inferior de la Fig. 2.11 muestra
el error de cuantificación del convertidor.
Fig. 2.11. Característica de cuantificación y curva de errores.
Para señales de entrada que excedan el rango de conversión, el convertidor operará como un
limitador, lo que puede conducir a problemas de estabilidad a lazo cerrado3. La cuantificación y
limitación de variables que produce el convertidor A/D son fenómenos no lineales, sobre los que
por el momento no diremos más.
Aclarado lo precedente, adoptaremos con respecto a los convertidores y mientras no digamos
nada en contrario, las convenciones siguientes:
a) El proceso de cuantificación posee una granularidad suficientemente fina como
para no interferir con el funcionamiento del sistema de control;
b) El dimensionamiento de los convertidores es adecuado para representar sin
saturación el rango completo de variación de las señales analógicas (incluyendo
sobrepicos y oscilaciones).
2.2. Modelos matemáticos de sistemas discretos.
2.2.1. Modelado de convertidores A/D y D/A.
El proceso de muestreo de una señal continua mediante un convertidor A/D corresponde a la
modulación de una secuencia de impulsos de Dirac4 igualmente espaciados en el tiempo.
3 En el punto 1.7 del capítulo precedente, al analizar el fenómeno de windup, hemos tenido una muestra de lo que
puede llegar a ocurrir a causa de la saturación en un lazo de control. Aceptemos entonces que en general será sano
evitarla. 4 Tratándose de impulsos de Dirac isoespaciados la única modulación posible es la del área encerrada bajo el pulso.
Valor digital
nd
Valor analógico normalizado
Ve/Vref
Ve/Vref
(Ve/Vref)-nd
Error de cuantificación
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-10
( ) ( ) ( )
k
y t t kT y t (2.8)
Fig. 2.12. Modelo gráfico de un convertidor A/D.
Si a los valores numéricos producidos por el procesador digital de un lazo de control, se les
asigna las propiedades de una secuencia de impulsos, su transformación en señal analógica
mediante un convertidor D/A con memoria, se modeliza como un dispositivo de retención de
orden cero, como se indica cualitativamente en la Fig. 2.13.
Fig. 2.13. Modelo gráfico de un convertidor D/A.
Analizando la parte inferior de la Fig. 2.13, donde tenemos representado un muestreador con
dispositivo de retención de orden cero (‘sample and hold’), la señal continua u(t) es muestreada
en los instantes de tiempo t = kT manteniendo el dispositivo de retención su salida constante en
el valor u(kT) hasta el próximo instante de muestreo. Así la función escalonada de salida puede
expresarse como
( ) ( ) para , 0, 1, 2, hu t u kT kT t kT T k (2.9)
Valiéndonos de funciones escalón unitario definidas por
0 para 0
( )1 para 0
tt
t
(2.10)
y*(t)
y(t) y*(t)
y(t)
(t-kT)
y(t)
y(t) y*(t) u
*(t)
P
uh(t) y
*(t)
u*(t)
uh(t)
uh(t)=u(kT) u
*(t)
u(t)
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-11
y con la convención adicional u(kT)=0 para k < 0, podemos expresar la señal uh(t) en forma
completa mediante la expresión
0
( ) ( ) ( ) ( )
h
k
u t u kT t kT t kT T . (2.11)
La suma (2.11) es convergente, ya que para cada t existe un único sumando no nulo. La
transformada de Laplace de uh(t) se calcula de la manera conocida y vale
( 1)
0
0
1 1( ) ( ) ( )
1 ( )
L
kTs k Ts
h h
k
TskTs
k
U s u t u kT e es s
eu kT e
s
(2.12)
La expresión (2.12) evidencia que ‘muestrear’ y ‘retener’ pueden ser concebidos, desde un
punto de vista matemático, como dos procesos separados. Mediante el muestreo se produce una
señal u*(t) cuya transformada de Laplace es
*
0
( ) ( )
kTs
k
U s u kT e , (2.13)
que es procesada por un dispositivo de retención con la función de transferencia
1
( )
Ts
H
eG s
s. (2.14)
La f.t. del dispositivo de retención puede asociarse con las funciones de transferencia de los
restantes componentes continuos conectados en cascada con el mismo.
En el tratamiento de sistemas discretos aparecen muchas veces transformadas de Laplace de la
forma (2.13). Se utiliza en estos casos una notación especial, empleando la substitución
Tsz e (2.15)
se define como ‘transformada z’ de la secuencia uk = u(kT) a la operación
0
:Z
k
k k
k
u u z . (2.16)
En general, indicaremos a la transformada z de una secuencia fk mediante una letra mayúscula
con tilde
( ) : Z kF z f , (2.17)
y entre las funciones y F F vale la relación
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-12
1
( ) ( ) y concordantemente ( ) ln( )
TsF e F s F z F zT
. (2.18)
El dispositivo de retención de orden cero, provoca un retardo de fase, que puede calcularse en
base a su respuesta en frecuencia. De acuerdo a (2.14), con s = j es
/ 2 / 2
/ 2 / 2
fase
módulo
1 2sin( / 2)( )
j T j T j T
j T j T
H
e e e TG j e e
j j (2.19)
el retardo de fase vale T/2 y corresponde a un retardo de tiempo de medio período de
muestreo.
2.2.2. Descripción de un sistema discreto sencillo.
Un sistema muestreado sencillo como el de la Fig. 2.14, consiste de un muestreador seguido por
un elemento lineal cuya función de transferencia es G(s). Por simplicidad, consideraremos que
la función de transferencia del dispositivo de retención se encuentra incluida en G(s). Para el
cálculo de la señal de salida xa asumiremos que el sistema parte de condiciones iniciales nulas
para t = 0.
G(s) xe xe
* xa
Fig. 2.14. Sistema discreto.
Dados xe(t) para t 0, G(s) y el período de muestreo T, nuestro interés es determinar xa(t).
De acuerdo con (2.13) es
0
( ) ( ) ( )
e e
k
x t x kT t kT (2.20)
ya que la antitransformada de es ( - )kTse t kT . A su vez la respuesta al impulso del elemento
con f.t. G(s) es su función ponderante g(t)=L-1{ G(s)}. Como el sistema es lineal la respuesta
total xa(t) puede ser calculada como la superposición de las respuestas parciales a cada uno de
los impulsos (t-kT) actuantes:
0
( ) ( ) ( )
a e
k
x t x kT g t kT . (2.21)
Resulta adecuado escribir al tiempo t en la forma
, 0,1, 2,
0 1
t nT T n (2.22)
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-13
y reformular (2.21)
0
( ) ( ) ( )
a e
k
x nT T x kT g nT T kT (2.23)
expresión que se conoce como suma de convolución y es el equivalente discreto de la integral de
convolución5 de los sistemas continuos.
Vimos al tratar sistemas continuos que la introducción de la transformación de Laplace
simplificó el cálculo de las integrales de convolución; en forma totalmente paralela, la
transformación z contribuye a simplificar el cálculo de las sumas de convolución. Para
demostrarlo, consideraremos primeramente en (2.23) el caso = 0, es decir nos interesamos tan
sólo en conocer la señal de salida en los instantes de muestreo:
0
( ) ( ) ( )
a e
k
x nT x kT g nT kT ; (2.24)
de acuerdo con (2.16) la transformada z correspondiente es
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )n n
a a e
n n k
X z x nT z x kT g nT kT z
(2.25)
Realizando la sustitución m n k se obtiene
0
( ) ( ) ( ) m k
a e
m k k
X z x kT g mT z z
(2.26)
La primera suma de (2.26) puede comenzar en m = 0, ya que por razones de causalidad la
secuencia ponderante es g(mT) = 0 para m < 0. Como los términos de la doble suma dependen
individualmente de k o bien de m, (2.26) puede ser reescrita como el producto de dos
sumatorias simples
0 0
( ) ( ) ( )
m k
a e
m k
X z g mT z x kT z (2.27)
La transformada z de la señal de salida es igual al producto de la transformada de la secuencia de
entrada xe(kT) por la transformada de la secuencia ponderante g(mT).
( ) ( ) ( ) a eX z G z X z (2.28)
La transformada z de la secuencia ponderante
0
( ) ( )
m
m
G z g mT z (2.29)
se denomina ‘función de transferencia z’ o ‘función de transferencia de pulsos’.
5 Si nuestro sistema fuera continuo, escribiríamos
0( ) ( ) ( )
a ex t x g t d .
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-14
De acuerdo a la (2.23) la señal de salida puede ser determinada para tiempos diferentes del
instante de muestreo. Para cada valor del parámetro entre 0 y 1 se obtiene una secuencia
fn() = xa(nT+T). Si se aplica a esta secuencia la transformación z, la transformada obtenida
dependerá también del parámetro , por lo que será en general
0
( , ) ( ) ( ) n
n n
n
F z Z f f z
. (2.30)
Y en particular para nuestro caso
0
( , ) ( ) n
a a
n
X z x nT T z
(2.31)
si se reemplaza xa(nT+T) por su equivalente (2.23) y se substituye m = n–k , se obtendrá en
forma totalmente similar a (2.26) y (2.27)
0 0
( , ) ( ) ( )m k
a e
m k
X z g mT T z x kT z
(2.32)
( , ) ( , ) ( )a eX z G z X z (2.33)
Llamaremos en lo sucesivo a ( , )G z ‘función de transferencia z modificada’. La transformada
z de xe en (2.33) no depende de ya que el comportamiento del sistema, según la Fig. 2.14,
depende exclusivamente de los valores muestreados xe(kT) y no es influido por los valores
intermedios xe(nT+T), 0 < 1.
Las interrelaciones entre las cantidades generadas a partir de f(t) por muestreo y transformación
se grafican en la figura siguiente.
f(t)
F(s)
f(kT+T)
( , )F z
f(kT)
( )F z
t = kT + T
t = kT = 0
= 0
L Z Z
Z
Z
Fig. 2.15. Transformaciones.
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-15
Para la descripción del sistema de la Fig. 2.14 mediante las transformadas (2.28) o (2.33), se
deberán determinar las expresiones de ( ), ( ) o ( , )G s G z G z . En la práctica se utilizan
tablas, como las incluidas en el Apéndice A de estos apuntes, que poseen las columnas
( ), ( ), ( ) y ( , )f t F s F z F z . La relación entre ( ), ( ) y ( , )F s F z F z es muy frecuentemente
utilizada, siendo denotada por los símbolos Z y Z cuya interpretación está dada por
1( ) ( ) : ( )t kT
F z F s F s
Z Z L (2.34)
1( , ) ( ) : ( )t kT T
F z F s F s
Z Z L (2.35)
2.2.3. Interconexión de sistemas muestreados.
Los métodos que acabamos de desarrollar para un sistema simple, pueden ser aplicados a
sistemas muestreados con realimentación o a sistemas con múltiples muestreadores sincrónicos.
En los siguientes ejemplos se calculará siempre la transformada z modificada de la señal de
salida; con = 0 se obtendrá la trasformada z standard.
G1(s) xe xe
* xa
G2(s)
Fig. 2.16. Sistema en ‘serie continua’.
Para el sistema de la Fig 2.16 vale
1 2( , ) ( ) ( ) ( )a eX z X z G s G s Z (2.36)
y, abreviadamente podemos escribir
1 2 1 2( ) ( ) ( , )G s G s G G z Z . (2.37)
Podemos formular una primera regla general: para simplificar un diagrama de bloques discreto
se agrupan los componentes continuos que no se encuentren separados por muestreadores.
G1(s) xe x xa
G2(s)
Fig. 2.17. Sistema en ‘serie discreta’.
Los dos muestreadores de la Fig. 2.17 trabajan en sincronismo, resulta entonces:
2 1 2( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )a eX z X z G z X z G z G z . (2.38)
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-16
G1(s) xe xa
G2(s)
Fig. 2.18. Dispositivo continuo previo al muestreador.
Para el sistema de la Fig. 2.18 se tiene:
1 2( , ) ( ) ( , )a eX z X G z G z . (2.39)
G1(s) xe u xa
G2(s)
–
Fig. 2.19. La Fig. 2.18 a lazo cerrado.
En el sistema de lazo cerrado de la Fig. 2.19
11 1 2
1 2
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 ( )
ee
X G zU z X G z G G z U z U z
G G z
(2.40)
resultando:
21
1 2
( , )( , ) ( )
1 ( )a e
G zX z X G z
G G z
. (2.41)
G1(s) xe u xa
G2(s)
–
Fig. 2.20. La Fig. 2.17 a lazo cerrado.
En la Fig. 2.20 ambos muestreadores son sincrónicos, por lo que es
1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )eU z X z G z G z G z U z
1
1 2
( )( ) ( )
1 ( ) ( )e
G zU z X z
G z G z
(2.42)
y, en consecuencia:
1 2
1 2
( ) ( , )( , ) ( )
1 ( ) ( )a e
G z G zX z X z
G z G z
. (2.43)
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-17
Por último, si se cierra un lazo de realimentación alrededor del sistema de la Fig. 2.16, se
obtendrá
1 2
1 2
( , )( , ) ( )
1 ( )a e
G G zX z X z
G G z
. (2.44)
2.2.4. Relación entre la secuencia temporal y la posición de los polos de su transformada z.
El comportamiento de las señales de salida de los sistemas muestreados queda definido
primordialmente por la posición de los polos de su transformada z. Esta relación es asimismo
significativa desde el punto de vista de la representación de estados, en la que los polos de la
función de transferencia z corresponden a los autovalores del sistema dinámico.
Ejemplo 1:
1
0 0
( ) con
akT
k
akT k k aT
k k
f e
F z e z c c e z
La fórmula de la suma de la serie geométrica se obtiene fácilmente de
2
0
2 1
1
1
( ) 1 (a)
( ) (b)
(1 ) ( ) 1 (a) - (b)
1 ( )
1
Nk N
k
N N
N
N
S N c c c c
c S N c c c c
c S N c
cS N
c
Para |c| < 1
0
1lim ( )
1
k
Nk
c S Nc
(2.45)
Por lo que resulta
( ) para akT aT
aT
zF z e z e
z e
Z (2.46)
Para a real aparece un polo sobre el eje real positivo del plano z. Si a > 0 la secuencia fk es
creciente ubicándose el polo en z > 1. Para a = 0 la secuencia es constante (secuencia unitaria)
( ) ( ) 1
zF z kT
z
Z (2.47)
y el polo se ubica en z = 1. Para a < 0 la secuencia resulta decreciente y el polo se ubica en el
intervalo 0 < z < 1. Los casos tratados se muestran en las figuras 2.21 a), b), c).
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-18
Fig. 2.21. Correlación entre secuencias temporales y posición de los polos en el plano z.
Ejemplo 2: ( ) ( )1cos( )
2
akT akT j kT akT j kT
kf e kT e e .
Según la Ec.(2.46) es
21 cos cos( )( ) ( )
2
j j aT
aT j T aT j T aT j T aT j T
z e z e z z e TF z F z
z e z e z e z e
(2.48)
comparar con e)
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-19
Vemos en (2.48) que aparecen dos polos complejos conjugados en la expresión de la transforma-
da z, con el módulo eaT
y la fase T con respecto del eje real positivo. Para a > 0 la
oscilación es creciente y los polos se ubican por fuera del círculo de radio unitario centrado en el
origen del plano z. Para a = 0 la oscilación es de amplitud constante y corresponde a un par de
polos sobre la circunferencia unidad. La oscilación decreciente para a < 0 da origen a un par de
polos en el interior del círculo unitario. El la Fig. 2.21 d) y e) se muestran dos casos.
Para T = se cancela un polo con un cero y la transformada queda
cos( ) cos( ) cos
kakT aT
aT
zF z e k e
z e
Z Z (2.49)
ilustrándose la situación en la Fig. 2.20 f).
Para |T| > aparece una secuencia que ya ocurriera para |T| < , obteniéndose en ambos
casos la misma transformada. Pero observemos que |T| > significa que la frecuencia
angular supera el máximo valor admisible max = muestreo/2 = /T según el teorema de
Shannon, por lo cual no nos sorprende la aparición de un alias.
Ejemplo 3:
Si una secuencia se compone tan sólo de una cantidad finita de elementos (0 a N), es
decir si se cumple fk = 0 para k > N , entonces la transformada z toma la forma
1
1 0 10 1( )
N NN N
N N
f z f z fF z f f z f z
z
(2.50)
y posee un polo de multiplicidad N en z = 0. Ver Fig. 2.21 h).
Cuando se muestrea una señal continua f(t) cuya transformada de Laplace es ( )F s , a cada polo
si de F(s) corresponderá un polo de ( ) ( )F z f kTZ en is T
iz e con igual multiplicidad. Así,
en el ejemplo 1 es ( ) 1/( )atF s e s a L . Al polo s = a le corresponde el polo en aT
iz e .
En el ejemplo 2, la transformada de Laplace de cos( )ate t posee dos polos en s a j , a
los que corresponden los polos en aT j Tz e .
La relación entre la secuencia temporal y los ceros de su transformada z no es sencilla. Partiendo
de la regla que una multiplicación de 1( ) por F z z corresponde a un retardo (o desplazamiento
hacia la derecha) de la secuencia temporal, la influencia de un cero simple puede explicitarse
como
1( )aT aT aT
bz c z zF z b cz
z e z e z e
.
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-20
La secuencia correspondiente consiste en la suma de la secuencia , 0akTbe k , más la
secuencia desplazada un intervalo a la derecha ( 1) , 1a k T aT akTce ce e k es decir:
1 para 0
( ) para 1
k aT akT
b kf F z
b ce e k
Z (2.51)
Esta secuencia difiere de una secuencia exponencial, únicamente en el valor f0 para k=0.
Concordantemente si ( )F z posee N ceros, éstos influirán en los valores de f0, f1, ... fN-1. A
partir de fN la forma de las secuencias depende exclusivamente de los polos, influyendo los ceros
únicamente en los factores multiplicativos. Una síntesis de las propiedades de las transformadas
z, se incluye en el Apéndice B.
2.3. Resolución de sistemas discretos.
Consideraremos algunos ejemplos aplicativos de sistemas discretos, utilizando en su resolución
los métodos desarrollados precedentemente y algunas herramientas de software standard.
2.3.1. Un sistema intrínsecamente discreto.
Muchos sistemas económicos pueden considerarse en su funcionamiento como intrínsecamente
discretos en el tiempo: así por ejemplo un depósito en caja de ahorros va capitalizando intereses
a fines de cada mes, la reposición de mercaderías en un supermercado se realiza diariamente, etc.
En estos sistemas poco importa cómo evolucionen las variables a lo largo del período de
muestreo, únicamente se consideran sus valores en los instantes de muestreo.
La siguiente es una formulación simplificada de un modelo de regulación de existencias en el
depósito de mercaderías de una fábrica, mediante adecuación de la producción a la demanda.
Sean
i[k] := nivel de inventario en el período k (cantidad de unidades en existencia)
d[k] := demanda acumulada en el intervalo [k–1, k]
e[k] := entregas de Producción (fábrica) a Depósito en el período k
N := plazo de entrega de Producción (tiempo de fabricación), expresado en
períodos,
f[k] := orden de fabricación en el período k (cantidad de unidades a producir).
Consideraremos a todas estas magnitudes como variaciones respecto de sus valores medios, de
tal manera que puedan asumir valores negativos. El modelo de regulación responde a la siguiente
formulación matemática
i[k] = i[k–1] + e[k] – d[k] balance de entradas-salidas de inventario;
(2.52) e[k] = f[k–N] retardo de fabricación;
f[k] = – K i[k] ecuación de producción; el valor de la constante K
determina cuántas unidades producir de acuerdo a la
variación del inventario.
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-21
Resolveremos las ecuaciones de diferencias (2.52) primeramente en forma directa, partiendo de
los siguientes valores numéricos:
a) Demanda en escalón 100 unidades, 0, 1, 2,d k k
b) Retardo de fabricación N = 2 períodos,
c) Política de producción K = 1.
Si reemplazamos valores en (2.52) llegamos a una expresión recursiva que define el esquema de
cálculo:
1 2
(0) 0 0 100 100
(1) 100 0 100 200
(2) 200 100 100 200
(3) 200 200 100 100
(4) 100 200 100 0
(5) 0 100 100 0
(6) 0 0 100 100
i k i k K i k d k
i
i
i
i
i
i
i
(2.53)
Constatamos en (2.53) que, a partir de k = 6 la secuencia se repite periódicamente, hecho que se
muestra en el diagrama siguiente.
Fig. 2.21. Evolución de la variación de stock calculada por (2.53). Se incluyen
las líneas de puntos al solo objeto de facilitar la visualización.
Como controlistas, observamos que la política de hacer variar la producción justo en sentido
contrario a la variación de inventario (K = 1), lleva al sistema de control de stock a operar en el
límite de estabilidad, por lo que nos sentimos tentados a proponer una mejor política de
producción. Queda para ejercicio del lector responder a la pregunta: ¿Cuál?
Hasta el presente, nos hemos limitado a resolver las ecuaciones (2.52) por recursión en el
dominio del tiempo. Aplicando ahora la transformación z a las Ecs.(2.52) tendremos la
siguientes expresiones, donde hemos omitido el tilde
sobre las transformadas ya que, al ser el
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-22
sistema intrínsecamente discreto, no existen funciones o variables continuas con las que puedan
ser confundidas.
1( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1
( ) ( )
( ) ( )
N
I z z I z E z D z
zI z E z D z
z
E z z F z
F z K I z
(2.54)
Las (2.54) nos muestran que nuestro sistema puede ser considerado como un sistema regulador
en el que la demanda D(z) actúa como una variable de perturbación:
K F(z) E(z) I(z)
1
z
z
–
Nz
–
D(z)
Fig. 2.22. El sistema de inventario como regulador perturbado.
La función de transferencia de D(z) a I(z) es
1
( )
( ) ( 1)
N
N
I z z
D z z z K
. (2.55)
Para evaluar la respuesta, emplearemos como ya lo hiciéramos los valores numéricos K=1 y
N=2. Según (2.47) de
100; 0, 1, 2, resulta ( ) 1001
zd k k D z
z
siendo entonces
2 3
2 3 2
100( ) 100
1 1 2 2 1
z z zI z
z z z z z z
. (2.56)
Procederemos en primer lugar a antitransformar numéricamente I(z): para ello dividimos el
numerador en el denominador de la expresión (2.56), véase página siguiente.
No nos sorprende en absoluto obtener en (2.57) el mismo resultado que alcanzáramos en (2.53)
ya que, salvo errores de cálculo, debemos llegar a lo mismo por otra vía.
Vamos ahora a realizar la antitransformada analítica de (2.56) siguiendo el método de los
residuos, ver Apéndice B, expresiones (B.15) a (B.17).
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-23
3 3 2 0 1 2 3 4 5 6
3 2
2
2 1
( ) 100 ( 2 2 1) 100 200 200 100 0 0 100
100 200 200 100
200 200 100
200 400 400 200
I z z z z z z z z z z z z
z z z
z z
z z z
2
2
1
1
1
200 300 200
200 400 400 200
100 200 200
100
z
z
z z
z z
z
2 3
3
1200 200 100
100
zz z
z
(2.57)
Calcularemos en primer término los polos de (2.56)
1
2
3 2,3
1
0.5 3 / 2
0.5 3 / 2; 1 .
z
z j
z j z
(2.58)
Por la presencia de polos complejos conjugados con módulo unitario, es decir ubicados sobre la
circunferencia de radio uno en el plano z, tenemos la seguridad de que la secuencia de salida
poseerá una componente oscilatoria no amortiguada.
Tenemos entonces
3 3
3 2
1
1 1
100 100( )
2 2 1 ( 1)( 0.5 3 / 2)( 0.5 3 / 2)
Res ( ) lim ( 1)k
z z
z zI z
z z z z z j z j
I z z z
2100
( 1)
kz
z
2
1
0.5 3 / 2 0.5 3 / 2
100( 1)
( 0.5 3 / 2)Res ( ) limk
z j z j
z z
z jI z z
2100
( 1) ( 0.5 3 / 2)
kz
z z j
2
/ 2 /3
( 0.5 3 / 2)
100( 0.5 3 / 2) (0.5 3 / 2) 3 3 3100 0.5 100 1
3 2 3( 1.5 3 / 2)
kk
kj j
z j
j jj j e e
j
(2.59)
Por cierto, el residuo correspondiente a la raíz z3 será el conjugado del residuo que acabamos de
calcular.
1 / 2 / 3
0.5 3 / 2
3Res ( ) 100 1
3
kk j j
z jI z z e e
. (2.60)
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-24
La expresión analítica de la secuencia i[k] será entonces
1
/ 2 /3 / 2 /3
Res ( )
3100 100
3
3 3100 200 cos 100 200 sin
3 3 2 3 3
i
k
z zi
j jk j jk
i k I z z
i k e e e e
i k k k
(2.61)
Como era de esperar, para k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
se obtiene la secuencia {–100, –200, –200, –100, 0, 0, –100,...}.
Con el objeto de ganar experiencia en el manejo de las tablas de transformadas, intentaremos
encontrar la expresión de i[k] mediante una descomposición de I(z)/z en fracciones parciales.
Descomponemos I(z)/z y no simplemente I(z) al objeto de, una vez terminado el procedi-
miento, multiplicar las fracciones por z y así obtener funciones racionales que contienen z en el
numerador, tal como las incluidas en las tablas del Apéndice A. Por otra parte, resulta
aconsejable dejar sin descomponer los elementos correspondientes a polos complejos, a fin de
operar exclusivamente con coeficientes reales.
Partiendo entonces de (2.56) se tiene
2
2 2
2
( ) 100 100 100
11 1 1
100 100( )
1 1
I z z
z zz z z z z
z zI z
z z z
(2.62)
La primera fracción corresponde a la transformada de un escalón de amplitud –100 como
podemos comprobar en la primera línea de la tabla de página A-1. La segunda fracción
corresponde a la forma
00 2
0
sin( )sin( )
2 cos( ) 1
z Tt
z z T
Z
contenida (para =1) en la segunda línea de la página A-3. Siendo nuestro sistema intrínseca-
mente discreto el valor de T corresponde a la unidad (o período de operación). Comparando las
fracciones se obtiene:
0 0 0
0 0
2cos 1 cos 0.5 3
sin 1 1/ sin 2 3 / 3
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-25
Por lo tanto, de (2.62) obtenemos
2
100 100 2 3( ) 100 100 sin
1 3 31
z zI z k k
z z z
Z Z (2.63)
y, nuevamente y como no podía ser de otra manera, llegamos a la expresión
3
100 200 sin3 3
i k k
(2.64)
coincidiendo con (2.61).
2.3.2. Respuesta de un sistema con componentes continuos.
Para el sistema de control muestreado de la Fig. 2.23, se desea calcular la respuesta y(kT) ante
un escalón unitario de excitación w(t) = (t), con los parámetros K=0.326 y T=1.
1 Tse
s
w e u y
–
( 1)
K
s s
Fig. 2.23. Sistema de control muestreado.
La transformada z de la función de transferencia a lazo abierto se obtiene aplicando la (2.36)
1( )( )
( ) 1
Ts
o
eY z KG z
E z s s s
Z (2.65)
Recordando (B.2) y definiendo
2 2( )
1
KG s
s s
, la (2.65) queda
2 2 2
1
2 2 2
( ) 1 ( ) ( ) ( )
1 ( ) ( ) ( )
Ts Ts
oG z e G s G s e G s
zG s z G s G s
z
Z Z Z
= Z Z Z (2.66)
Para calcular la transformada z, expandiremos primeramente G2(s) en fracciones parciales:
2 2 2
1 1 1 1( )
1 1 1
K KG s K
s s s s s s s s
Z Z Z = Z (2.67)
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-26
Según Apéndice A, pág. A-1, línea 2:
22
1
1
Tz
s z
Z
y según pág. A-2, línea 3:
11
1 1
T
T
e z
s s z z e
Z
Reemplazando estos valores en (2.66) queda
2
11 1( )
111
T T
o TT
e zz Tz T eG z K K
z z z ez z ez
. (2.68)
Con T=1 y K=0.326 según lo especificado tendremos
0.718
( ) 0.12( 1)( 0.368)
o
zG z
z z
. (2.69)
Para el escalón w(t) = (t) resulta ( )1
zW z
z
, con lo que la transformada z del error actuante
e(t) se calcula como
2
2
1 1 0.368( ) ( )
1 1.248 0.4541 ( ) 1 ( )
( 0.368)( )
( 0.624 0.255 )( 0.624 0.255 )
o o
z z zE z W z
z z zG z G z
z zE z
z j z j
(2.70)
Aplicando el cálculo de residuos según (B.16)
1 2.353 0.393
0.624 0.255
1 2.353 0.393
0.624 0.255
1
Res ( ) 0.714 0.674
Res ( ) 0.714 0.674
( ) Res ( )i
kk j j
z j
kk j j
z j
k
z zi
E z z e e
E z z e e
e kT E z z
(2.71)
Y siendo ( ) 1 ( )y kT e kT resulta para la secuencia de salida la expresión
2.353 0.393 2.353 0.393( ) 1 0.714 0.674 0.714 0.674
( ) 1 1.42 (0.674) cos 0.393 2.353 .
k kj j j j
k
y kT e e e e
y kT k
(2.72)
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-27
La Fig. 2.24 grafica la secuencia y(kT). Dado que en la Fig. 2.23 la función escalonada u
excita a un sistema dinámico continuo con dos polos más que ceros en su función de
transferencia, está garantizada la continuidad tanto de y(t) como de su derivada dy/dt, por lo
que estamos plenamente autorizados a unir los puntos de la secuencia y(kT) con una curva
continua, resultando entonces innecesario calcular y(kT+T).
Fig. 2.24. Respuesta al escalón de comando, sistema de la Fig. 2.23.
A continuación analizaremos la calidad de los resultados que podemos obtener empleando las
herramientas de software proporcionadas por Matlab. Debemos mencionar aquí que en la
página web de la Cátedra se encuentran disponibles los manuales correspondientes al Control
System Toolbox.
Para comenzar debemos definir el sistema continuo de la Fig. 2.23: 2
0.326
1
K
s s s s
.
Emplearemos las variables num y den para definir los polinomios numerador y denominador
respectivamente. La función de transferencia se genera con la función tf(num,den) y se
almacena en la estructura sysc.
>> num=[0.326];
>> den=[1 1 0];
>> sysc=tf(num,den)
Transfer function:
0.326
-------
s^2 + s
La funcion c2d(sys,T,’método’) convierte al sistema continuo sys en discreto, con el
período de muestreo T y aplicando un método especificado. Si es ’método’='zoh' la
conversión se efectúa presuponiendo que un muestreador con dispositivo de retención de orden
cero ('zoh' = zero order hold ) se encuentra conectado a la entrada del sistema continuo.
Para nuestro caso T = 1 de modo que, si almacenamos en sysd la estructura del sistema dis-
creto será:
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-28
>> sysd=c2d(sysc,1,'zoh')
Transfer function:
0.1199 z + 0.08614
----------------------
z^2 - 1.368 z + 0.3679
Sampling time: 1
Observamos que procediendo de esta manera, hemos obtenido la función de transferencia de lazo
abierto (2.69).
Podemos ahora calcular la función de transferencia de lazo cerrado
( )( )
( ) 1 ( )
o
o
G zY z
W z G z
, (2.73)
valiéndonos de la función feedback(sys1,sys2) de Matlab, donde sys1 es la f.t. de la rama
directa y sys2 es la f.t. de la rama de realimentación del sistema. Como en nuestro caso la
realimentación es unitaria, tendremos
>> yw=feedback(sysd,1)
Transfer function:
0.1199 z + 0.08614
---------------------
z^2 - 1.248 z + 0.454
Sampling time: 1
Si nos interesa conocer tan solo la forma de la respuesta ante un escalón de entrada, nos bastará
invocar la función step(sys) y analizar el gráfico resultante:
>> step(yw)
Fig. 2.25. Respuesta y(kT) calculada por Matlab.
Observamos en la Fig. 2.25 que Matlab representa y(kT) simplemente como una función
escalonada, sin realizar ninguna especulación de continuidad respecto de lo que ocurre entre los
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-29
sucesivos instantes de muestreo. Por cierto, existe plena coincidencia entre las Figs. 2.24 y 2.25
en los instantes de muestreo.
Si nos interesa conocer la forma analítica de ( )Y z para un escalón ( )1
zW z
z
, usaremos
>> y=yw*tf([1 0],[1 -1],1)
Transfer function:
0.1199 z^2 + 0.08614 z
---------------------------------
z^3 - 2.248 z^2 + 1.702 z - 0.454
Sampling time: 1
donde tf(num,den,Tmuestreo)es la forma empleada para definir la transformada z de una
función, ya que el período de muestreo debe estar explícitamente definido.
Puede llegar a interesarnos que Matlab nos calcule la transformada inversa de ( )Y z . Para ello
debemos calcular primeramente los residuos de ( ) /Y z z tal como se aconseja en el Apéndice A.
3 2
( ) 0.1199 0.08614
2.248 1.702 0.454
Y z z
z z z z
(2.74)
Nos valdremos de la función [r,p,k]=residue(num,den) para calcular los residuos r sobre
cada uno de los polos p de (2.74).
>> [r,p,k]=residue([0.1199 0.08614],[1 -2.248 1.702 -0.454])
r =
1.0002
-0.5001 + 0.5039i
-0.5001 - 0.5039i
p =
1.0000
0.6240 + 0.2542i
0.6240 - 0.2542i
k =
[]
El cálculo que acabamos de realizar tiene el siguiente significado
( ) 1.0002 0.5001 + 0.5039 0.5001 0.5039
1 0.6240 0.2542 0.6240 0.2542
Y z j j
z z z j z j
(2.75)
Es decir:
0.5001 + 0.5039 0.5001 0.50391.0002
( )1 0.6240 0.2542 0.6240 0.2542
j z j zzY z
z z j z j
. (2.76)
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-30
La antitransformada de la primera fracción de (2.76) es inmediata: se trata de un escalón de
amplitud 1.002; a continuación vamos a antitransformar la segunda fracción empleando el
cálculo simbólico de Matlab. Definimos z como variable simbólica y formamos la expresión
simbólica de la segunda fracción:
>> syms z
>> B=(-0.5001 + 0.5039i)*z/(z-0.6240 - 0.2542i)
B =
(-5001/10000+5039/10000*i)*z/(z-78/125-1271/5000*i)
Vemos que los coeficientes de la expresión simbólica B quedan en formato de fracción de
números enteros. Podemos ahora aplicar la función iztrans(B) para antitransformar B.
>> iztrans(B)
ans =
-5001/10000*(78/125+1271/5000*i)^n+5039/10000*i*(78/125+1271/5000*i)^n
Matlab emplea n como indicador standard de instante de muestreo; algunas versiones admiten
la invocación iztrans(B,k) para sustituir n por k . Acabamos de calcular entonces
10.5001 + 0.5039
0.5001 + 0.5039 0.6240 0.25420.6240 0.2542
kj zj j
z j
Z (2.77)
Podemos llevar la expresión (2.75) a forma polar, empleando comandos elementales de Matlab:
>> abs(-0.5001 + 0.5039i)
ans =
0.7099
>> angle(-0.5001 + 0.5039i)
ans =
2.3524
>> abs(0.6240 + 0.2542i)
ans =
0.6738
>> angle(0.6240 + 0.2542i)
ans =
0.3868
con lo que (2.77) toma la forma
1 2.3524 0.3868
0.3868 2.3524
0.5001 + 0.50390.7099 0.6738
0.6240 0.2542
0.7099 0.6738
kj j
k j k
j ze e
z j
e
Z (2.78)
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-31
Correspondientemente, la antitransformada de la tercera fracción de (2.76) es la conjugada de la
que acabamos de calcular:
0.3868 2.352410.5001 0.5039
0.7099 0.67380.6240 0.2542
k j kj ze
z j
Z . (2.79)
La antitransformada completa de (2.76) calculada mediante Matlab es:
( ) 1.0002 1.4198 (0.6738) cos 0.3868 2.3524 .ky kT k (2.80)
Comparando (2.80) con nuestros cálculos manuales Ec. (2.72), observamos ligeras diferencias
atribuibles a errores numéricos acumulados por los redondeos en la solución Matlab.
Concluimos que las herramientas de software brindan la posibilidad de evaluar rápidamente el
comportamiento de un sistema discreto; sin embargo, a la hora de la determinación de soluciones
analíticas, se hace necesario proceder con cautela por la influencia de los errores numéricos.
2.3.3. Aplicación de la transformada z modificada a sistemas continuos con tiempo muerto.
Analizaremos el sistema simple con tiempo muerto de la Fig. 2.26, donde F(s) indica la función
de transferencia de los componentes racionales del sistema completo G(s), el que incluye un
tiempo muerto Tm. En F(s) consideraremos incluida la f.t. del dispositivo de retención de orden
cero que eventualmente pudiera formar parte del sistema muestreado.
( ) ( ) mT sG s F s e
xe xa
Fig. 2.26. Sistema muestreado con tiempo muerto.
Se busca entonces la expresión de la función de transferencia z
0
( ) ( ) ( ) mT sk
k
G z g kT z F s e
Z . (2.81)
El tiempo muerto Tm se considera expresable por la cantidad entera m de períodos de muestreo
más próxima por exceso, menos una fracción , es decir:
; 0 1mT mT T . (2.82)
La función ponderante de la parte continua vale
( ) ( ) ( )mg t f t T f t mT T (2.83)
Sustituyendo y aplicando la fórmula del retardo de una secuencia (B.2) en (2.81) obtenemos
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-32
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )k k m k
k k k
G z g kT z f kT mT T z z f kT T z
( ) ( , ) ( )m mG z z F z z F s
Z (2.84)
Con ayuda de las tablas del Apéndice A, se calcula la transformada z modificada ( , )F z del
sistema sin tiempo muerto, sustituyendo para el valor de obtenido en la (2.82). Esta
expresión se multiplica por z-m
y el resultado es la transformada buscada.
Sea por ejemplo el sistema de la Fig. 2.27: deben determinarse las funciones de transferencia z
para los valores del período de muestreo T=2 y T=0.25 .
1 Tse
s
xe xa
1.6
1 2
se
s
Fig. 2.27. Sistema con tiempo muerto.
La función de transferencia excluido el tiempo muerto es
1( )
1 2
TseF s
s s
Recordando la metodología empleada en (2.66) se obtiene
0.5 0.5 0.50.5
0.5 0.5
1 1 1 1 1( , )
1 2 0.5
11( , ) ,
1
T T TT
T T
z zF z
z s s z s s
e e e zz z z eF z
z z z e z e
Z Z
(2.85)
que reemplazada en (2.84) da
0.5 0.5 0.5
0.5
1( )
T T T
m T
e e e zG z
z z e
(2.86)
Para un período de muestreo T=2 se tiene: Tm = 1.6 = 2m–2 ; m=1; T =0.4; =0.2
0.181 0.451( )
0.368
zG z
z z
. (2.87)
Y para T=0.25 calculamos: Tm = 1.6 = 0.25m–0.25 ; m=7; T =0.15; =0.6
7
0.072 0.046( )
0.882
zG z
z z
. (2.88)
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-33
Observando (2.87) y (2.88) nos encontramos frente al notable resultado que la función de
transferencia de un sistema muestreado con tiempo muerto resulta racional en z. En
consecuencia, la ecuación característica de un sistema de control discreto con tiempo muerto es
también racional en z, lo que hace que los cálculos resulten mucho más sencillos que en el caso
continuo.
Fig. 2.28. Respuesta al escalón, sistema con tiempo muerto, períodos de
muestreo T=2 y T=0.25 unidades de tiempo.
2.4. Respuesta en frecuencia de los sistemas muestreados.
Si un sistema discreto cuya respuesta impulsiva es g(k) es excitado por una sinusoide de
frecuencia variable u(t) = sin(t) muestreada con período T, el sistema recibe a su entrada la
señal u*(n)=sin(nT) por lo que generará a su salida una sucesión de impulsos y(n).
u(t) = sin(t) sin(nT) y(n)
xa
g(k)
T
Fig. 2.29. Sistema con excitación senoidal.
Aplicando convolución calculamos los impulsos de salida
0 0 0
( ) ( ) sin Im ( ) Im ( )n n n
j n k T j nT j kT
k k k
y n g k n k T g k e e g k e
(2.89)
Si el sistema es estable para la frecuencia de muestreo s =2/T, entonces g(n)0 cuando
n, por lo que para valores elevados de n (estado de régimen) tendremos que
*
0 0
( ) ( ) ( )n
skT skT
k k
G s g k e g k e
, (2.90)
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-34
con lo que y(n) quedará de la forma:
*( ) Im ( )j nTy n e G j (2.91)
o bien, expresado como función sinusoidal
* *( ) ( ) sin( ) ; con arg ( )y n G j nT G j . (2.93)
Si hacemos el cambio de variables j Tz e en (2.93) la expresión quedará de la forma
( ) ( ) sin( )j Tz e
y n G z nT
(2.94)
con lo que la salida del sistema es una señal sinusoidal que tiene la misma frecuencia que la
señal de entrada, se encuentra desfasada respecto de ella y su módulo depende de ( )j Tz e
G z
.
Resulta clara la similitud con el caso continuo.
Como ejemplo ilustrativo, compararemos la respuesta en frecuencia del sistema continuo
2
5( )
5G s
s s
(2.95)
con las respuestas en frecuencia del mismo sistema integrado en un sistema discreto, con
muestreadores de período T=0.1 y T=1 y dispositivo de retención de orden cero. Nos
valdremos para ello de las instrucciones pertinentes de Matlab.
Fig. 2.30. Diagrama de Bode de un sistema de segundo orden muestreado.
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-35
>> sys=tf([5],[1 1 5]);
>> sysd1=c2d(sys,0.1,'zoh');
>> sysd2=c2d(sys,1,'zoh');
>> bode(sys,sysd1,sysd2)
Observamos en el gráfico que el comando bode() limita automáticamente la máxima
frecuencia de graficación al valor correspondiente a la frecuencia de Nyquist para los sistemas
discretos ( = y =10, para T=1 y T=0.1 respectivamente).
2.5. Espectro de una señal muestreada.
Recordando el punto 2.1.1. y la expresión (2.8), una señal f(t) muestreada con período T, a la
que designamos f *
(t), puede considerarse como una secuencia infinita de impulsos de Dirac
modulados por el valor de f(t) en el instante de muestreo.
*
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k
f t f t t kT f kT t kT
(2.96)
donde hemos supuesto, para facilitar la posterior aplicación de la transformación de Laplace que
f(t) = 0 para t 0.
La secuencia infinita de impulsos de Dirac es una función periódica de período T y es
representable mediante una serie de Fourier cuyos coeficientes se calculan como:
/ 2
2 /
/ 2
1( )
T
j nt T
n
kT
C t kT e dtT
, (2.97)
como tan solo un elemento de la sumatoria (el correspondiente a k =0) se encuentra compren-
dido dentro de los límites de integración es
/ 2
2 /
/ 2
1( )
T
j nt T
n
T
C t e dtT
; (2.98)
dado que el impulso de Dirac sólo existe para t =0, la exponencial se hace uno (1) y (2.98) vale:
/ 2
/ 2
1 11 ( )
T
n
T
C t dtT T
, (2.99)
ya que por definición el área encerrada por (t) vale 1.
La expresión (2.99) nos dice que todos los coeficientes de la serie de Fourier correspondiente a
un tren de impulsos son iguales entre sí y valen 1/T. Por consiguiente la representación en serie
del tren de impulsos es
2 / 2 /1 1( ) cos(2 / )j nt T j nt T
n
k n n n
t kT C e e nt TT T
(2.100)
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-36
En (2.100) aparecen únicamente los términos en cosenos ya que el tren de impulsos es una
función par. Valga una aclaración respecto de las variables de sumación k y n: no son más que
índices y al aparecer en diferentes términos de la ecuación, nada nos impediría usar el mismo
nombre para los dos; de hecho algunos autores lo hacen. Nosotros por una cuestión de
‘prolijidad’ los diferenciamos: k aparece como marcador en el tren de impulsos y n aparece
como índice de los coeficientes de Fourier.
Si reemplazamos el tren de impulsos en (2.96) por su representación en serie, obtenemos:
* 2 /1( ) ( ) ( ) ( ) j nt T
k n
f t f t t kT f t eT
. (2.101)
Estamos ahora en condiciones de calcular la transformada de Fourier de la señal muestreada
* * 2 /1
( ) ( ) ( ) j nt T j t
n
F f t f t e e dtT
F
(2.102)
que se puede reescribir como
* ( 2 / )1( ) ( ) j n T t
n
F f t e dtT
. (2.103)
Como la transformada de la función continua f(t) es
( ) ( ) j tF f t e dt
, (2.104)
la relación entre las transformadas de Fourier de la señal continua y la muestreada resulta ser
* 1( ) ( 2 / )
n
F F n TT
. (2.105)
La transformada de Fourier F *
() de la señal muestreada f *
(t) está compuesta por la superposi-
ción de infinitas copias de F(), separadas entre sí por múltiplos del valor de la frecuencia de
muestreo m = 2 /T. Si el espectro de amplitudes contiene componentes de frecuencias
superiores a m /2 (frecuencia de Nyquist), entonces las copias desplazadas de F() se
superpondrán y la señal original no podrá ser reconstruida mediante un filtro pasabajos aplicado
a la señal muestreada. Aparecen aquí los problemas de alias que tratamos en el punto 2.1.1. La
Fig. 2.31 ejemplifica las relaciones que acabamos de exponer.
Aplicando la transformación de Laplace a (2.101)
* * 2 / 2 /1 1( ) ( ) ( ) ( )j nt T j nt T
n n
f t F s f t e f t eT T
L L L , (2.106)
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-37
Fig. 2.31. Espectros de señales muestreadas.
y recordando que un amortiguamiento temporal corresponde en el dominio transformado a un
desplazamiento en la variable s, de (2.106) se deduce:
* 1 1( ) ( 2 / ) ( )m
n n
F s F s j n T F s jnT T
(2.107)
Fig. 2.32. Mapeo de la franja principal del plano s sobre la totalidad del plano z.
Al igual que se repite el espectro de frecuencias en el dominio de Fourier, vemos que la
transformada de Laplace de la señal muestreada se repite con desplazamiento periódico a lo
largo del eje j en el plano s. Ello a su vez significa que las singularidades de la transformada
SISTEMAS DE CONTROL APLICADO - Capítulo 2 - pág. 2-38
continua F(s) son repetidas en franjas horizontales sucesivas (normales al eje j). La franja del
plano s comprendida entre –jm/2 y +jm/2 se denomina franja principal y es la región que se
mapea sobre la totalidad del plano de la variable z a través de la transformación z=eTs
(Fig.2.32).
Fig. 2.33. Mapeo correspondiente al círculo unitario en el plano z.
Cuando un punto recorre el segmento [/T, +/T] del eje j en el plano s, el punto
correspondiente en el plano z recorre la circunferencia de radio unitario centrada en el origen.
En la Fig. 2.33, la región de estabilidad de la franja principal del plano de s se mapea en el
interior del círculo unitario en el plano z, siempre bajo la transformación z=eTs
.