Unidad 2

• DETERMINAR LA MEDIANA

• PTB. Jesus Antonio Nuñez

MEDIANA

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor .

La mediana se representa por Me.

La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas

Cálculo de la mediana

1 Ordenamos los datos de menor a mayor.6 5 2 4 3 4 5 6 5

2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 Me= 5

3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.7, 8, 9, 10, 11, 12 Me= 9.5

Cálculo de la mediana para datos agrupados

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N/2.

Cálculo de la mediana para datos agrupados

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.N/2 es la semisuma de las frecuencias absolutas.Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.ai es la amplitud de la clase.

La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos

Cálculo de la mediana para datos agrupados

xi fi Fi ni Ni % xif 50 60 55 1 1 0,01 0,01 1 5560 70 65 2 3 0,02 0,03 2 13070 80 75 6 9 0,06 0,09 6 45080 90 85 11 20 0,11 0,20 11 93590 100 95 15 35 0,15 0,35 15 1425

100 110 105 34 69 0,34 0,69 34 3570110 120 115 16 85 0,16 0,85 16 1840120 130 125 10 95 0,10 0,95 10 1250130 140 135 3 98 0,03 0,98 3 405140 150 145 2 100 0,02 1,00 2 290

100 1,00 100 10350

CI

Cálculo de la mediana para datos agrupados

xi fi Fi ni Ni % xif 50 60 55 1 1 0,01 0,01 1 5560 70 65 2 3 0,02 0,03 2 13070 80 75 6 9 0,06 0,09 6 45080 90 85 11 20 0,11 0,20 11 93590 100 95 15 35 0,15 0,35 15 1425

100 110 105 34 69 0,34 0,69 34 3570110 120 115 16 85 0,16 0,85 16 1840120 130 125 10 95 0,10 0,95 10 1250130 140 135 3 98 0,03 0,98 3 405140 150 145 2 100 0,02 1,00 2 290

100 1,00 100 10350

CI

Cálculo de la mediana para datos agrupados

xi fi Fi ni Ni % xif 50 60 55 1 1 0,01 0,01 1 5560 70 65 2 3 0,02 0,03 2 13070 80 75 6 9 0,06 0,09 6 45080 90 85 11 20 0,11 0,20 11 93590 100 95 15 35 0,15 0,35 15 1425

100 110 105 34 69 0,34 0,69 34 3570110 120 115 16 85 0,16 0,85 16 1840120 130 125 10 95 0,10 0,95 10 1250130 140 135 3 98 0,03 0,98 3 405140 150 145 2 100 0,02 1,00 2 290

100 1,00 100 10350Li 100 N/2 50fi-1 35ai 10

Mediana 102,17

CI

La moda

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.Se representa por Mo.

Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

Hallar la moda de la distribución:2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 Mo = 1, 5, 9

Cálculo de la moda para datos agrupados

1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

Li Es el límite inferior de la clase modal.fi Es la frecuencia absoluta de la clase modal.fi-1 Es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.fi+1 Es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.ai Es la amplitud de la clase.

Cálculo de la moda para datos agrupados

xi fi Fi ni Ni % xif 50 60 55 1 1 0,01 0,01 1 5560 70 65 2 3 0,02 0,03 2 13070 80 75 6 9 0,06 0,09 6 45080 90 85 11 20 0,11 0,20 11 93590 100 95 15 35 0,15 0,35 15 1425

100 110 105 34 69 0,34 0,69 34 3570110 120 115 16 85 0,16 0,85 16 1840120 130 125 10 95 0,10 0,95 10 1250130 140 135 3 98 0,03 0,98 3 405140 150 145 2 100 0,02 1,00 2 290

100 1,00 100 10350Li 100Fi 34Fi-1 15Fi*1 16ai 10

Moda 105,14

CI

Desviación respecto a la media

La desviación respecto a la media es la diferencia en valor absoluto entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética.

Di = |x - x|Desviación mediaLa desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. La desviación media se representa por

Desviación media

EjemploCalcular la desviación media de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Desviación media para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:

Desviación media para datos agrupados

xi fi Xi*fi | x - x| | x - x| · fi50 60 55 1 55 -48,5 48,560 70 65 2 130 -38,5 7770 80 75 6 450 -28,5 17180 90 85 11 935 -18,5 203,590 100 95 15 1425 -8,5 127,5

100 110 105 34 3570 1,5 51110 120 115 16 1840 11,5 184120 130 125 10 1250 21,5 215130 140 135 3 405 31,5 94,5140 150 145 2 290 41,5 83

100 10350 1255 Media aritmetica 103,5 Desviación media 12,55

CI

Varianza

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una

distribución estadística. La varianza se representa por o2

Varianza

Varianza para datos agrupados

Varianza

Varianza para datos agrupados 1Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar

las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Varianza

Varianza para datos agrupados 1Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar

las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Varianza

Calcular la varianza de la distribución:9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Varianza

xi fi xi*fi xi-X xi-X*fi50 60 55 1 55 48,5 48,560 70 65 2 130 38,5 7770 80 75 6 450 28,5 17180 90 85 11 935 18,5 203,590 100 95 15 1425 8,5 127,5

100 110 105 34 3570 1,5 51110 120 115 16 1840 11,5 184120 130 125 10 1250 21,5 215130 140 135 3 405 31,5 94,5140 150 145 2 290 41,5 83

100 10350 1255

Media Aritmetica 103,5

Desviación media 12,55

CI

Varianza

Observaciones sobre la varianza

1 La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza.

3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado.

Desviación Estándar

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.La desviación típica se representa por σ.

Desviación Estándar

Calcular la desviación típica de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 189, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Desviación Estándar

Desviación Estándar

  xi fi xi · fi xi2 · fi

[10, 20) 15 1 15 225

[20, 30) 25 8 200 5000

[30,40) 35 10 350 12 250

[40, 50) 45 9 405 18 225

[50, 60) 55 8 440 24 200

[60,70) 65 4 260 16 900

[70, 80) 75 2 150 11 250

    42 1 820 88 050

Desviación Estándar

Observaciones sobre la desviación típica

1 La desviación típica, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación típica.

3 Cuanta más pequeña sea la desviación típica mayor será la concentración de datos alrededor de la media.