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Intro Vuelo de Crucero Planeo Subida

Mecánica del VueloTema 4: Actuaciones Integrales

Damián Rivas Rivas y Sergio Esteban Roncero

Departamento de Ingeniería AeroespacialEscuela Técnica Superior de Ingeniería, Universidad de Sevilla

Curso 2013-2014

Rivas & Esteban MVI

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Outline

1 Introducción

2 Vuelo de Crucero

3 Planeo

4 Vuelo en Subida

Rivas & Esteban MVI

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Outline

1 Introducción

2 Vuelo de Crucero

3 Planeo

4 Vuelo en Subida

Rivas & Esteban MVI

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Introduction

Actuaciones Integrales para aviones con turborreactor.

Se consideran magnitudes globales: teniendo en cuenta la trayectoriacompleta.

Alcance (range - R).Autonomía (endurance - E).Consumo de combustible.Tiempos de subida

Se van a considerar diversas condiciones de vuelo.

Asociadas a diferentes leyes de pilotaje.

Las actuaciones integrales que se estudiarán:

Vuelo de CruceroVuelo en PlaneoVuelo en Subida

Rivas & Esteban MVI

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Intro Vuelo de Crucero Planeo Subida Intro Resolución α Cte V Cte Comparación P/L Cruise Climbing

Outline

1 Introducción

2 Vuelo de CruceroIntroducción al Vuelo en CruceroResolución Analítica: Avión CD = CD0 + KC2

L cte.Ángulo de Ataque Constante y Altitud ConstanteVelocidad Constante y Altitud ConstanteComparación de Ambos Planes de VueloDiagrama Alcance-Carga de PagoCruise Climbing

3 Planeo

4 Vuelo en Subida

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Introducción al Vuelo en Crucero - I

Crucero horizontal.

En este, y en los demás casos, estudiaremos el vuelo simétrico.Hipótesis simplificativas:

Se desprecian los términos(

V y γ)

⇒ V = 0 y γ = 0

Ángulo de ataque del empuje ε = 0

Ecs. cinemáticas ⇒{

h = 0 ⇒ h = cteγ = γ = 0

Ec. del gasto (variación de la masa) ⇒ dWdt = −cE T

Donde se toma como origen de rumbos la dirección del avión:⇒para quitarlo de en medio

dr

dt= V

Ecs. dinámicas ⇒{

T − D = 0L − W = 0

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Introducción al Vuelo en Crucero - II

El problema de interés es: dada una carga de combustible ⇒determinar:

alcance y autonomía en un vuelo en crucero

Nos interesa por tanto tomar W como variable independiente.Ecuaciones que define el alcance y la autonomía:

alcance ⇒ dr

dW= − V

cE T= − V

cE (h,V , π)T (h,V , π)

autonomía ⇒ dW

dt= − 1

cE T= − 1

cE (h,V , π)T (h,V , π)

De las ecuaciones dinámicas se obtiene:

T (h,V , π) = D(h,V , L) ⇒ L = W ⇒ T (h,V , π) = D(h,V ,W )

⇓{

− drdW = V

cE (h,V ,π)D(h,V ,W )

− dtdW = 1

cE (h,V ,π)D(h,V ,W )

Rivas & Esteban MVI

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Introducción al Vuelo en Crucero - III

Se obtienen 4 variables, h,V , π y W pero no todas son idependientes:

T (h,V , π) = D(h,V ,W ) ⇒ π = π(h,V ,W )

Por lo que las ecuaciones quedan:{

− drdW = V

cE D = f (h, V ,W )

− dtdW = 1

cE D = f (h, V ,W )

Por un lado, en vuelo de crucero, h es un parámetro dado.

Por otro lado se necesita conocer V = V (W ) para la integración de lasecs. ⇒ Ley de Pilotaje.

Normalmente la Ley de Pilotaje no se suele dar como V = V (W ):A partir de la ley de pilotaje dada se calcula V = V (W ) (porejemplo α = cte)

Rivas & Esteban MVI

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Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - I

Resolución Analítica ⇒ avión ⇒ CD = CD0 + kC2L cte.

Modelo aerodinámico:

CD = CD0+ kC2

LD = 1/2ρV 2SCDL = 1/2ρV 2SCL

⇒ D =1

2ρV 2SCD0

+ k2L2

ρV 2S⇒ D = D(h,V , L)

Para el modelo del empuje se consideran las condiciones en latropopausa (T ∗, ρ∗, c∗

E): el superíndice ∗ indica condiciones enTropopausa

T = T∗(π)(

ρ

ρ∗

)x

⇒{

x = 0, 7 ⇒ en la troposferax = 1 ⇒ en la estratosfera

cE = c∗E (π)

(

ρ

ρ∗

)y

⇒{

y = 0, 2 ⇒ en la troposferay = 0 ⇒ en la estratosfera

Vemos que cE es independiente de V y π

VR y TR variables de referencia ⇒ emplean para adimensionalizar:

VR =√

2WρS

(

kCD0

)1/4

TR = WEmax

⇒u = V

VR

z = TTR

Rivas & Esteban MVI

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Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - II

En vuelo en crucero tenemos que:{

h = cteρ = cte

⇒ cE = c∗E (π)

(

ρ

ρ∗

)y

⇒ cE = cte

cE será un parámetro ⇒ Significará que las ecs. integrales sesimplifican:

− drdW = V

cE D(h,V ,W )

− dtdW = 1

cE D(h,V ,W )

Se emplean las variables adimensionales:

u =V

VR, VR =

√

2W

ρS

(

k

CD0

)1/4

En este caso VR varía por su dependencia con W

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Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - III

Es útil definir:

VRi=√

2WiρS

(

kCD0

)1/4

⇒ VR = VRi

√

WWi

µ = WWi

, θ = t·cEEmax

, ξ = r ·cEEmax VRi

Reescribir D:

D = 12ρuVSCD ⇒

{

CD = CL0+ kC2

LV = uVR

⇒ 12ρu2V 2

RSCD0+ k 2W 2

ρu2V 2RS

⇑

VR =√

2WρS

(

kCD0

)1/4

⇓D = u2W

√

kCD0+ W

u2

√

kCD0⇐ Emax = 1

2√

kCD0

⇓

D =W

2Emax

(

u2 +1

u2

)

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Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - IV

Adimensionalizando las Ecs:

− drdW = V

cE D(h,V ,W )

− dtdW = 1

cE D(h,V ,W )

⇒ empleando

W = Wiµ

r = ξEmax VRi

cE

D = W2Emax

(

u2 + 1u2

)

V = uVR

Ecuación adimensional del alcance:

− drdW = −✟✟Emax VRi

✚cE Wi

dξdµ

= uVR

✚cEW

2✟✟Emax

(

u2+ 1u2

) ⇒ − dξdµ

= 2u VRVRi

WiW

1(

u2+ 1u2

)

⇓

− dξdµ

= 2u VRVRi

WiW

(

u2 + 1u2

)

⇒{

VRVRi

=√

WWi

µ = WWi

⇒ − dξ

dµ=

2u3

1 + u4

1√µ

Para la integración de las ecuaciones se tiene que conocer la ley depilotaje u = u(µ)

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Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - V

Adimensionalizando las Ecs:

− drdW = V

cE D(h,V ,W )

− dtdW = 1

cE D(h,V ,W )

⇒ empleando

W = Wiµ

t = θ EmaxcE

D = W2Emax

(

u2 + 1u2

)

Ecuación adimensional de la autonomía:

− dtdW = −✟✟Emax

✚cE Wi

dθdµ

= 1

✚cEW

2✟✟Emax

(

u2+ 1u2

) ⇒ − dθdµ

= 2 WiW

1(

u2+ 1u2

)

⇓

− dξdµ

= 2 WiW

1(

u2+ 1u2

) ⇒{

µ = WWi

⇒ − dθ

dµ=

2u2

1 + u4

1µ

Para la integración de las ecuaciones se tiene que conocer la ley depilotaje u = u(µ)

Rivas & Esteban MVI

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Resolución Analítica: Avión Polar Parabólica Coeficientes Ctes. - VI

El problema queda cerrado con la imposición de las condicionesiniciales y de contorno:

Wi ⇒ Wf ⇒ {WF = Wi − Wf

µi ⇒ µf ⇒{

µi =WiWi

= 1

µf =WfWi

= 1 − WFWi

Si llamamos ζ = WFWi

⇒ µf = 1 − ζ

Para aviones del largo alcance ⇒ ζ ∼ 0.3 ó 0.4Condiciones de contorno para integrar las ecuaciones:

ξi = 0 ⇒ ξf (Alcance)θi = 0 ⇒ θf (Autonomía)µi = 1 ⇒ µf = 1 − ζ

Lo que resta es dar las leyes de pilotaje posibles.

Veremos 2 casos posibles:

Ángulo de ataque constanteVelocidad constante

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Ángulo de Ataque Constante - I

Ángulo de ataque constante ⇒ CL = cte.

L = W ⇒ W =1

2ρV 2SCL

Como CL, S, y ρ = cte, la velocidad tendrá que ir variando por que asílo hace WRecordando la definición de VR :

VR =√

2WρS

(

kCD0

)1/4

⇒ W = 12ρV 2

RSCLopt

Dividiendo ambas expresiones V y VR, se llega a que:

(

VVR

)2=

12 ρSCLopt

12 ρSCL

=CLopt

CL= cte. ⇒ u =

√

CLopt

CL= cte.

Lo que conduce a ecs. integrales más sencillas: permite análisis

AlcanceAutonomía.

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Ángulo de Ataque Constante - Alcance Máximo - I

Integrales Secillas:

− dξdµ

= 2u3

1+u41√µ

⇒ −∫ ξf

0 dξ = 2u3

1+u4

∫ 1−ζ1

dµ√µ

⇒ −ξf =2u3

1+u4

(

2√µ∣

∣

1−ζ

1

⇓

alcance adimensional ⇒ ξf =4u3

1 + u4

(

1 −√

1 − ζ)

Si lo representamos en función de u, se observa que existe una u a lacual tenemos alcance máximo (ξf )max :

(ξf )max ⇒ dξdu = 0 ⇒ ✄4·3u2

1+u4 − ✄4u3

1+u4 4u3 = 0 ⇒ 3u2 − u6 = 0

⇓

u4 = 3 ⇒ u|(ξf )max=

4√3

ξf = 4u3

1+u4

(

1 −√

1 − ζ)

⇒ u|(ξf )max=

4√3 ⇒ (ξf )max = 334

[

1 −√

1 − ζ]

Vemos que la velocidad adimensional a la que se tiene alcance máximo(ξf )max no depende de la carga de combustible

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Ángulo de Ataque Constante - Alcance Máximo - II

Alcance y autonomía adimensional (vuelo con α = cte)Hay que decir que α = cte es la ley de pilotaje que da alcance máximo(ξf )max

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Ángulo de Ataque Constante - Alcance Máximo - III

Alcance adimensional (vuelo con α = cte) ⇒ ξf =4u3

1+u4

(

1 −√

1 − ζ)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

ξf vs. u (α=cte)

u

ξ f

ζ=0.1ζ=0.2ζ=0.3ζ=0.4ζ=0.5ζ=0.6

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Ángulo de Ataque Constante - Alcance Máximo - IV

Velocidad adimensional máxima u|(ξf )max= 4

√3 (vuelo con α = cte)

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.60

0.5

1

1.5

2

2.5

uξ,max vs. ζ (α=cte)

ζ

u ξ,m

ax

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Ángulo de Ataque Constante - Alcance Máximo - V

Alcance adimensional máximo (ξf )max = 334

[

1 −√

1 − ζ]

(vuelo con

α = cte)

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.60.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

ξf,max

vs. ζ (α=cte)

ζ

ξ f,max

Rivas & Esteban MVI

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Ángulo de Ataque Constante - Autonomía Máxima

Integrales Secillas:

− dθdµ

= 2u2

1+u41µ

⇒ −∫ θf

0 dθ = 2u2

1+u4

∫ 1−ζ1

dµµ

⇒ −θf =2u2

1+u4 (lnµ|1−ζ1

⇓

autonomía adimensional ⇒ θf =2u2

1 + u4ln(

1

1 − ζ

)

Si lo representamos en función de u, se observa que existe una u a lacual tenemos autonomía máxima (θf )max :

(θf )max ⇒ dθdu = 0 ⇒ 4u

1+u4 − 8u5

(1+u4)2 = 0 ⇒(

1 + u4)

2u − u24u3 = 0

⇓2u − 2u5 = 0 ⇒ u4 = 1 ⇒ u|(θf )max

= 1

θf = 2u2

1+u4 ln(

11−ζ

)

⇒ u|(θf )max= 1 ⇒ (θf )max = ln

(

1

1 − ζ

)

Vemos que la velocidad adimensional a la que se tiene alcance máximo(θf )max no depende de la carga de combustible

Rivas & Esteban MVI

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Ángulo de Ataque Constante - Autonomía Máxima - II

Alcance y autonomía adimensional (vuelo con α = cte)

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Ángulo de Ataque Constante - Autonomía Máxima - III

Alcance adimensional (vuelo con α = cte) ⇒ θf =2u2

1+u4 ln(

11−ζ

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

θf vs. u (α=cte)

u

θ f

ζ=0.1ζ=0.2ζ=0.3ζ=0.4ζ=0.5ζ=0.6

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Ángulo de Ataque Constante - Autonomía Máxima - IV

Velocidad adimensional máxima u|(θf )max= 1 (vuelo con α = cte)

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

uθ,max vs. ζ (α=cte)

ζ

u θ,m

ax

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Ángulo de Ataque Constante - Autonomía Máxima - V

Autonomía adimensional máxima (θf )max = ln(

11−ζ

)

(vuelo con α =

cte)

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.60.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

θf,max

vs. ζ (α=cte)

ζ

θ f,max

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Ángulo de Ataque Constante - Alcance & Autonomía - I

Pasando a variables dimensionales:

Alcance dimensionalizado:

(ξf )max = 334

[

1 −√

1 − ζ]

VRi=√

2WiρS

(

kCD0

)1/4 ⇒ r = ξEmax VRi

cE⇒ (rf )max = (ξf )max

Emax VRicE

⇓

(rf )max =Emax

cE

√

2Wi

ρS

(

k

CD0

)1/4

334

[

1 −√

1 − ζ]

Autonomía dimensionalizada:

(θf )max = ln(

11−ζ

)

⇒ t = θ EmaxcE

⇒ (tf )max = (θf )maxEmax

cE

⇓

(tf )max =Emax

cEln(

1

1 − ζ

)

Interesante analizar como influyen los factores al alcance máximo y a laautonomía máxima:

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Ángulo de Ataque Constante - Alcance Máximo (Dimensional)

Para el alcance máximo interesa:

(rf )max =Emax

cE

√

2Wi

ρS

(

k

CD0

)1/4

334

[

1 −√

1 − ζ]

Emax elevada: Hay que tener en cuenta que la dependencia con Emax se

encuentra también en(

kCD0

)1/4.

h elevada:

Por un lado por que se tiene 1√ρ↑ ⇒ h ↑.

Por otro lado la dependencia con h está tambien en cE

cE = c∗E (π)

(

ρ

ρ∗

)y

⇒{


En la Troposfera, si h ↑, cE ↓ ⇒ beneficia (rf )max

c∗E pequeño y ζ elevado, por motivos obvios

WiS elevada: Esto justifica las grandes cargas alares de los aviones

comerciales

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Ángulo de Ataque Constante - Autonomía Máxima (Dimensional )

Para la autonomía máxima interesa:

(tf )max =Emax

cEln(

1

1 − ζ

)

Emax elevada: Dependencia lineal.La dependencia con h sólo aparecerá, admitiendo el modelo de motor:

cE = c∗E (π)

(

ρ

ρ∗

)y

⇒{


En la Troposfera, si h ↑, cE ↓ ⇒ beneficia (tf )max


A la autonomía máxima no le afecta la carga alar WiS .

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Ángulo de Ataque Constante - R & E - Velocidad y Empuje

Resulta también de interés analizar cual es la evolución de la velocidady del empuje en un vuelo en crucero con α = cte:

⇒ Evolución de la velocidad:

L = W = 12ρV 2SCL ⇒

ρ = cteS = cteCL = cte

⇒ V ∼√

W

Necesariamente la velocidad tiene que ir disminuyendo ⇒ como asilo hace la "demanda" de sustentación

⇒ Evolución del empuje:

T = D = L DL = W CD

CL⇒

α = cteCL = cteCD = cte

⇒ T ∼ W

Hay que ir disminuyendo el empuje a medida que disminuye W

También podemos calcular, para cada actuación[

(rf )max ó (tf )max

]

El valor de α (equivalente a CL) que hace posible[


]

El valor de E = CLCD

, y T que hace posible[


]

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Ángulo de Ataque Constante (Alcance) - CL, CD , E , T - I

El valor de α (equivalente a CL) que hace posible (rf )max .

α|(ξf )max⇒ CL|(ξf )max

u =

√

CLoptCL

= cte ⇒

CL = 1u2 CLopt

u|(ξf )max=

4√3

⇓

CL|(ξf )max=

1√3

CLopt

Conociendo CL, se obtiene el α.

El α que hay que poner es menor que el que da la eficienciaaerodinámica máxima (CLopt )

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Ángulo de Ataque Constante (Alcance) - CL, CD , E , T - II

Empleando el modelo de polar parabólica:

CD = CD0+ kC2

L ⇐ CL|(ξf )max= 1√

3CLopt

⇒ CD |(ξf )max= CD0

+ k 13 C2

Lopt

⇓

⇒ CD |(ξf )max⇐ CLopt

=

√

CD0k = CD0

+ ✁k13

CD0

✄k⇒ CD |(ξf )max

=4

3CD0

(

CDCL

)

(ξf )max

=CD |(ξf )maxCL|(ξf )max

= 4√

33

CD0√

CD0k

⇒(

CD

CL

)

(ξf )max

=2√

3Emax

Entonces la ley de empuje para obtener alcance máximo:

T = W CDCL

⇐(

CDCL

)

(ξf )max

= 2√3Emax

⇒ T |(ξf )max=

2W√3Emax

La evolución de la ley de empuje será cierta si el empuje máximodel avión es mayor que el que se necesita inicialmente

Rivas & Esteban MVI

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Ángulo de Ataque Constante (Alcance) - CL, CD , E , T - III

Limitación de empuje:al inicio de maniobra puede darse el caso de T > Tmax ⇒ T =cte

T |(ξf )max=

2W√3Emax

Rivas & Esteban MVI

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Ángulo de Ataque Constante (Autonomía) - CL, CD , E , T - I

El valor de α (equivalente a CL) que hace posible (tf )max .

α|(θf )max⇒ CL|(θf )max

u =

√

CLoptCL

= cte ⇒{

CL = 1u2 CLopt

u|(θf )max= 1

⇓CL|(θf )max

= CLopt

Conociendo CL, se obtiene el α.

El α que hay que poner es justamente el que da la eficianciaaerodinámica máxima (CLopt )

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Ángulo de Ataque Constante (Autonomía) - CL, CD , E , T - II

Empleando el modelo de polar parabólica:

CD = CD0+ kC2

L ⇐ CL|(θf )max= CLopt

⇒ CD |(θf )max= CD0

+ kC2Lopt

(

CDCL

)

(θf )max

=CD |(θf )maxCL|(θf )max

=CD0

+kC2Lopt

CLopt⇒

(

CD

CL

)

(θf )max

=1

Emax

Entonces la ley de empuje para obtener autonomía máxima:

T = W CDCL

⇐(

CDCL

)

(θf )max

= 1Emax

⇒ T |(θf )max=

WEmax

Es la misma ley lineal que para alcance, salvo por una constante.La evolución de la ley de empuje será cierta si el empuje máximodel avión es mayor que el que se necesita inicialmente.

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Ángulo de Ataque Constante (Autonomía) - CL, CD , E , T - III

Limitación de empuje:al inicio de maniobra puede darse el caso de T > Tmax ⇒ T =cte

T |(ξf )max=

W

Emax

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Ángulo de Ataque Constante

La ley de empujes lineal que se exigen en ambas actuacionesno podrá ser satisfecha.

Lo que sucede en general en cualquier vuelo de crucero conα =cte

Cabe la posibilidad de que en los instante iniciales de lamaniobra se necesite T > Tmax :

En tal caso, la ley de pilotaje no podrá ser α = cte sino quedebería T =cte.

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Ángulo de Ataque Constante - Comparación R & E - I

Alcance y autonomía (vuelo con α = cte) ⇒ alas sin curvatura

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Ángulo de Ataque Constante - Comparación R & E - II

Alcance y autonomía (vuelo con α = cte) ⇒ alas con curvatura

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Ángulo de Ataque Constante - Comparación R & E - III

Alcance y autonomía (vuelo con α = cte) ⇒ Comparación

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Velocidad Constante - I

Velocidad constante

u = VVR

= V√

2WρS

(

kCD0

) 14

⇐ VRi=√

2WiρS

(

kCD0

) 14= cte ⇒ h = cte.

⇓

u = VVRi

1√µ

⇒ u = ui1√µ

⇒ con ui = cte{

V = cteVRi

= cte

Esa es la ley de pilotaje u(µ) = ui√µ

: introduciendo la ley de pilotaje enlas ecuaciones adimensionales de alcance y autonomía:

− dξdµ

⇒ u(µ) = ui√µ

⇒ − dξdµ

= 2u3

1+u41√µ

=2u3

i µ−

32

1+u4i µ

−21√µ

⇒ − dξ

dµ=

2u3i

u4i + µ2

− dθdµ

⇒ u(µ) = ui√µ

⇒ − dθdµ

= 2u2

1+u41µ

=2u2

i µ−1

1+u4i µ

−21µ

⇒ − dθ

dµ=

2u2i

u4i + µ2

Rivas & Esteban MVI

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Velocidad Constante - Alcance Máximo - I

Integrales:

− dξdµ

=2u3

iu4

i +µ2 ⇒ −∫ ξf

0 dξ = 2u3i

∫ 1−ζ1

dµ

u4i +µ2 ⇒ −ξf = 2ui

(

arctan(

µ

u2i

)∣

∣

∣

∣

1−ζ

1

−ξf = −2ui

[

arctan(

1u2

i

)

− arctan(

1−ζ

u2i

)]

como{

tan (a1) = λ1tan (a2) = λ2

⇒ tan (a1 − a2) =λ1−λ21+λ1λ2

⇒ alcance adimensional ⇒ ξf = 2ui arctan

[

u2i ζ

u4i + (1 − ζ)

]

Si se desea (ξf )max :

(ξf )max ⇒ dξfdui

= 0 ⇒ 2 arctan(

u2i ζ

u4i +(1−ζ)

)

+

2ui

[

2uiζ

u4i+(1−ζ)

−4u5

i ζ

[u4i+(1−ζ)]2

]

1+u4iζ2

[u4i +(1−ζ)]2

⇒ arctan(

u2i ζ

u4i +(1−ζ)

)

+2ζu2

i

(

1−ζ−u4i

)

[u4i +(1−ζ)]2+(u2

i ζ)2 = 0

Rivas & Esteban MVI

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Velocidad Constante - Alcance Máximo - II

Alcance y autonomía adimensional (vuelo con V = cte):No es fácil despejar ui |(ξf )max

⇒ ui |(ξf )max= f (ζ)

Rivas & Esteban MVI

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Velocidad Constante - Alcance Máximo - III

Alcance adimensional (vuelo con V = cte)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

ξfvs. u

i(V=cte)

ui

ξf

ζ=0.2

ζ=0.3

ζ=0.4

ζ=0.5

ζ=0.6

Rivas & Esteban MVI

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Velocidad Constante - Alcance Máximo - IV

Velocidad adimensional máximo ui |(ξf )max= f (ζ) (vuelo con V = cte)

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.61.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

uiξ,max

vs. ζ (V=cte)

ζ

uiξ,max

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Velocidad Constante - Alcance Máximo - V

Alcance adimensional máximo (ξf )max = f (ζ) (vuelo con V = cte)

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.60.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

ξf,max

vs. ζ (V=cte)

ζ

ξf,max

Rivas & Esteban MVI

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Velocidad Constante - Autonomía Máxima - I

Integrales:

− dθdµ

=2u2

iu4

i +µ2 ⇒ −∫ θf

0 dθ = 2u2i

∫ 1−ζ1

dµ

u4i +µ2 ⇒ −θf = 2

(

arctan(

µ

u2i

)∣

∣

∣

∣

1−ζ

1

⇓

−θf = −2[

arctan(

1u2

i

)

− arctan(

1−ζ

u2i

)]

⇓

como{

tan (a1) = λ1tan (a2) = λ2

⇒ tan (a1 − a2) =λ1−λ21+λ1λ2

⇓

⇒ autonomía adimensional ⇒ θf = 2 arctan

[

u2i ζ

u4i + (1 − ζ)

]

Rivas & Esteban MVI

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Velocidad Constante - Autonomía Máxima - II

Si se desea calcular (θf )max :Se calcula primero ui |(θf )max

:

(θf )max ⇒ dθfdui

= 0 ⇒2

[

2uiζ

u4i +(1−ζ)

−4u5

i ζ

[u4i +(1−ζ)]2

]

1+u4i ζ2

[u4i +(1−ζ)]2

= 0 ⇒2uiζ

[

u4i +(1−ζ)

]

−u2i ζ4u3

i

[u4i +(1−ζ)]2

= 0

⇒ 2uiζ[

u4i + (1 − ζ)

]

− u2i ζ4u3

i = 0 ⇒ ui[

(1 − ζ)− u4i +]

= 0

⇒{

ui = 0 ⇒ No válidau4

i = 1 − ζ⇒ ui |(θf )max

= 4√

1 − ζ

Se calcula (θf )max a partir de ui |(θf )max:

θf = 2 arctan[

u2i ζ

u4i +(1−ζ)

]

⇐ ui |(θf )max= 4√

1 − ζ

⇓

(θf )max = 2 arctan

(

ζ

2√

1 − ζ

)

Son expresiones más sencillas que para el alcance máximo.Permite ver la dependencia de (θf )max con ζ

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Velocidad Constante - Autonomía Máxima - II

Alcance y autonomía adimensional (vuelo con V = cte)

Rivas & Esteban MVI

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Velocidad Constante - Autonomía Máxima - III

Autonomía adimensional (vuelo con V = cte)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

θfvs. u

i(V=cte)

ui

θf

ζ=0.1

ζ=0.2

ζ=0.3

ζ=0.4

ζ=0.5

ζ=0.6

durance

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Velocidad Constante - Autonomía Máxima - IV

Velocidad adimensional máxima ui |(θf )max= 4

√

1 − ζ (vuelo con V = cte)

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.60.78

0.8

0.82

0.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

uiθ,max

vs. ζ (V=cte)

ζ

uiθ,max

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Velocidad Constante - Autonomía Máxima - V

Autonomía adimensional máxima (θf )max = 2 arctan(

ζ

2√

1−ζ

)

(vuelo

con V = cte)

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.60.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

θf,max

vs. ζ (V=cte)

ζ

θf,max

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Velocidad Constante - Alcance & Autonomía - I

Pasando a variables dimensionales:Alcance dimensionalizado:

(ξf )max = (ξf )max (ζ)

VRi=√

2WiρS

(

kCD0

)1/4 ⇒ r = ξEmax VRi

cE⇒ (rf )max = (ξf )max

Emax VRicE

⇓

(rf )max =Emax

cE

√

2Wi

ρS

(

k

CD0

)1/4

(ξf )max (ζ)

Autonomía dimensionalizada:

(θf )max = 2 arctan(

ζ

2√

1−ζ

)

⇒ t = θ EmaxcE

⇒ (tf )max = (θf )maxEmax

cE

⇓

(tf )max =2Emax

cEarctan

(

ζ

2√

1 − ζ

)

Interesante analizar como influyen los factores al alcance máximo y a laautonomía máxima:

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Velocidad Constante - Alcance Máximo (Dimensional)


(rf )max =Emax

cE

√

2Wi

ρS

(

k

CD0

)1/4

(ξf )max (ζ)

Emax elevada: Hay que tener en cuenta que la dependencia con Emax se

encuentra también en(

kCD0

)1/4.

h elevada:

Por un lado por que se tiene 1√ρ↑ ⇒ h ↑.

Por otro lado la dependencia con h está tambien en cE

cE = c∗E (π)

(

ρ

ρ∗

)y

⇒{


En la Troposfera, si h ↑, cE ↓ ⇒ beneficia (rf )max

c∗E pequeño y ζ elevado

WiS elevada: Esto justifica las grandes cargas alares de los aviones

comerciales

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Velocidad Constante - Autonomía Máxima (Dimensional)


(tf )max =2Emax

cEarctan

(

ζ

2√

1 − ζ

)

Emax elevada: Dependencia lineal.La dependencia con h sólo aparecerá, admitiendo el modelo de motor:

cE = c∗E (π)

(

ρ

ρ∗

)y

⇒{


En la Troposfera, si h ↑, cE ↓ ⇒ beneficia (tf )max


A la autonomía máxima no le afecta la carga alar WiS .

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Comparación de Ambos Planes de Vuelo - Alcance

Comparación entre ambos planes de vuelo:Vemos que para ζ ∼ 0.4 (40%) ⇒ el incremento en alcance puedeser del 1% en el plan de vuelo α =cte vs. V =cte

(ξf )αmax

(ξf )Vmax

=3

34

[

1 −√

1 − ζ]

f (ζ)

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.60.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

ξf,max

α/ξf,max

Vvs. ζ

ζ

ξf,max

α/ξf,max

V

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Comparación de Ambos Planes de Vuelo - Autonomía

Comparación entre ambos planes de vuelo:Vemos que para ζ ∼ 0.4 (40%) ⇒ el incremento en autonomíapuede ser del 1% en el plan de vuelo α =cte vs. V =cte

(θf )αmax

(θf )Vmax

=ln(

11−ζ

)

2 arctan(

ζ

2√

1−ζ

)

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.60.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

θf,max

α/θ

f,max

Vvs. ζ

ζ

θf,max

α/θ

f,max

V

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Diagrama de Alcance-Carga de Pago - I

Diagrama de Pesos y Alcances:

Son distintos diagramas para un mismo avión en función del vuelode crucero.Descripción de un diagrama de los distintos pesos ⇒ alcances deun avión.Limitaciones por peso de despegue, aterrizaje, capacidad decombustible, etc.

Diagramas de carga de pago-radio de acción:

Diagrama carga de pago-radio de acción a partir de los diagramasde pesos-alcances.Zona de interés comercial:

Productividad.Utilización real.

Determinación del parámetro de alcance a partir del diagrama.Modificaciones por reformas y evolución de los aviones.Comparación de diagramas de distintos aviones.

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Diagrama de Alcance-Carga de Pago - II

Punto A:

- Peso al despegue = MTOW

- Peso al aterrizaje = MLW = MPL + OEW + RF

- Carga de Pago = MPL

Punto B:

- Peso al despegue = MTOW

- Peso al aterrizaje = MLW – MFW + RF = MLW

- Carga de Pago = MTOW – MFW + RF

Punto C:

- Peso al despegue = OEW + MFW

- Peso al aterrizaje = OEW + RF

- Carga de Pago = 0

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Diagrama de Alcance-Carga de Pago - III

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Diagrama de Alcance-Carga de Pago - IV

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mecánica del vuelo - universidad de sevillaaero.us.es/mv/files/tema4_mv_cp.pdf · intro vuelo de...

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